数学-初三-圆的相关概念与垂径定理

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1、圆是如何确定的？大小怎么判定？

2、圆中有哪些概念？

3、垂径定理如何应用？

*曲需提#

【知识梳理1】圆的确定

定理同圆或等圆中半径相等

1•点与圆的位置关系

圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。

圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。

圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

点P与圆心的距离为d，则点P在直线外二d r ；点P在直线上=d = r ；点P在直线内=d ：：：r。

【例题精讲】例1•如图，圆0的半径为15，O到直线I的距离0H=9，P、Q、R为I上的三点.PH=9，QH=12，RH=15，

请分别说明点P、Q、R与圆0的位置关系

【试一试】

1•矩形ABCD中，AB= 8, BC=3.5，点P在边AB上，且BP = 3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( ).

(A) 点B、C均在圆P夕卜；(B)点B在圆P夕卜、点C在圆P内；

(C)点B在圆P内、点C在圆P夕卜；(D)点B、C均在圆P内.

2•如图所示，已知丄ABC ,乙ACB=90, AC=12, AB “3, CD _ AB于点D，以C为圆心，5为半径作圆C ( )

A.点D在圆内，B、A在圆外

B.点D在圆内，点B在圆上，点A在圆外

C.点B、D在圆内，A在圆外

D.点D、B、A都在圆外

2. 过三点的圆

1. 不在同一直线上的三点确定一个圆。

2. 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。

例2•如图，作出AB所在圆的圆心，并补全整个圆.

【试一试】

1. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到 商定去的一块玻璃片应该是 （ ）

2.

三角形的外心一定在该三角形上的三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

【知识梳理2】圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1. 圆心角：顶点在圆心的角。

2. 弧：圆上任意两点之间的部分。大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，能够重合的弧叫等弧。

3. 弦：联结圆上任意两点的线段。直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。

4. 弦心距：从圆心到弦的距离。

定理1在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等

【例题精讲】 例1•已知，如图，ABCD 是O O 的直径，弦 AE // CD ，联结CEBC.

求证：BC=DE.

A .第①快

B .第②快

C .第③快

D .第④快

定理2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等•

例2.如图，O O是厶ABC的外接圆，AO平分/ BAC，/ AOB= / BOC，探究△ ABC的形状，并说明理由【巩固练习】

1.如图，AB=CD,OE L AB OFl CD / OEF25°，求/ EOF的度数.

2.如图，点P是O O外的一点，PB与O O相交于点AB PD与O O相交于C D, AB=CD 例

3.如图，在OO中，弦AB的长是半径0A的J3倍，C为AB的中点，AB 0C相交于P

求证：四边形OACB为菱形.

【巩固练习】

1.如图，弦AB和CD相交于圆0内一点P,且/ OPB= / OPD,求证；AB =

CD

求证：（1）PO平分/ BPD

(2) AE =EC

【知识梳理3】垂径定理

定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧

推论1 一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦(非直径) ：④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧•这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质.

推论2圆的平行弦所夹的弧相等

【例题精讲】

例1.已知ABC中，AD _BC，垂足为D，且AD =4，以AD为直径作圆0,交AB边于点G,交AC边于点F，如果点F恰好是AD的中点.

(1)求CD的长度；

(2)当BD =3时，求BG的长度.

【试一试】

1•如图，已知O 0的半径为5,弦AB的长等于8, 0D丄AB，垂足为点D , D0的延长线与O 0相交

3

于点C,点E在弦AB的延长线上，CE与O O相交于点F, cosC二,

5

求：(1) CD的长(5分)；(2) EF的长(7分).

例2•如图，AB是O O的直径，弦CD与AB相交，过点A、B向CD引垂线，垂足分别为E、F.

求证：CE=DF

【试一试】

1.如图，CD为O O的弦，EF在直径AB上，EC丄CD, DF丄CD.

求证：AE=DF

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1.下列命题中假命题是( )

(A)平分弦的半径垂直于弦；

(B)垂直平分弦的直线必经过圆心；

(C)垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧；

(D)平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.

2.如图，EF是O O的直径，CD交O O于M、N , H为MN的中点，EC _ CD于点C , FD _ CD于点D , 则下列结论错误的是()

A. CM =DN ；

B . CH =HD ；

C . OH _C

D ;

D . EC=OH OH FD

3. 我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距.如图4，在Rt △ ABC和Rt △ ACD中，•_ACB = • ACD =90，

点D在边BC的延长线上，如果BC = DC = 3，那么△ ABC和厶ACD的外心距是

4•如图，已知在L O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果.BAD =30 , OE =2，那么CD = . 5点P为。O内一点，过点P的最长的弦长为10cm ,最短的弦长为8cm ,那么OP的长等于_________________ cm 6•如图，CD为O O的直径，以D为圆心，DO长为半径作弧，交O O于AB两点，

求证：AC =BC = BA