小学五年级-抽屉原理

第24讲抽屉原理二

内容概述

抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用．能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子．

典型问题

兴趣篇

1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？

答案：7

详解：60÷（8＋1）=6……6,6＋1=7个。

2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？

答案：3

详解：答案的结果有23=8种情况，即8个抽屉。17÷8=2……1，2＋1=3名。

3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．

详解：两位数的情况共4种：12,21,11,22。六位数可以截取出5个两位数，所以必有重复。

4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和

不小于8。

详解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=21,21÷3=7，图形总共有3行，第一行只有一个数，最大填6，那么后两行至少有一行是大于7的整数，即不小于8。

5．从l，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明：

(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；

详解：构造差为50的抽屉：（1,51）、（2,52）、……、（50,100），共50个抽屉。选出51个数，必有两数来自一组，即差为50.

(2)在这51个数中，一定有两个数差1．

详解：构造差为1的抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（99,100），共50个抽屉。必有两数来自一组，即差为1.

6．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？答案：12

详解：构造差为4的抽屉：（1,5）、（2,6）、（3,7）、（4,8）、（9,13）、（10，14）、（11，15）、（12,16）、（17,21）、（18）、（19）、（20）共12个抽屉，最多取12个数。

7．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为12？答案：7

详解：构造和为12的抽屉：（1,11）、（2,10）、（3,9）、（4,8）、（5,7）、（6）共6个抽屉，至少取7个。

8．(1)任给4个自然数，请说明：一定有两个数的差是3的倍数；

详解：将全部自然数按照除以3的余数分成3组，则4个数中必有两数来自于同一组，即除以3同余，那么这两个数的差是3的倍数。

(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？

详解：将全部自然数按照除以7的余数分成7组，则8个数中必有两数来自于同一组，即除以7同余，那么这两个数的差是7的倍数。

9．至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的两位数．

答案：12

详解：即差是11的倍数，将全部自然数按照除以11的余数分成11组，那么至少取出12个数，才能保证必有两数来自于同一组。

10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于1．

详解：顺次连接三角形的各边中点，将原三角形分成4个相等的边长为1的小等边三角形，选5个点，必有两点来自同一个小三角形，那么这两点的距离肯定不超过1.

拓展篇

1．如图24—2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的．

详解：图形共有5列，而每列染色的情况共有4种：白白、白黑、黑白、黑黑，必有重复。

2．任意写一个由数字l、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等．

详解：由数字1、2、3组成的三位数共33=27种，三十位数可截取28个三位数，必有重复。

3．27只小猴分140颗花生，每只小猴最少分1颗，最多分9颗，请问：其中至少有几只小猴分到的花生颗数一样多？

答案：4

详解：1＋2＋…＋9=45,140÷45=3……5，3＋1=4只。

4．能否在4×4方格表的每个格子中填l、2、3中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同？

答案：不能

详解：4行、4列、2条对角线，共需要10个不同的和，而由1、2、3中取出4个数的和有4、5、……、12，共只有9种，所以不能。

5．从l至99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于100？最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于5？

答案：50,50

详解：和为100的抽屉共有50个，（1,99）、（2,98）、……、（50），最多取50个数。

差为5的抽屉共50个(10个数一大组，每大组分5小组)，最多取50个数。

6．如果在1，2，…，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？答案：36

详解：12个数一大组，每大组分成差为6的6个小组，每组2数。取19个数，最多18组，那么n=36.

7．从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？

答案：26

详解：相邻两个自然数互质，构造抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（49,50），共25个抽屉。至少取26个数。

8．从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多