24.4圆复习教案

第24章圆小结与复习
教学目标
知识技能
梳理本单元知识，使学生全面理解本章知识，提高学生逻辑思维能力和分析解决问题的能力．
过程与方法
重视渗透数学思想与方法，进一步培养推理能力．
情感态度价值观
培养学生对数学的好奇心与求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯，感受知识的实际应用价值，同时加强学生的思维意识．
重难点、关键
重点：垂径定理及推论、圆周角定理及推论，切线的性质与判定，正多边形的有关计算．难点：几何知识的综合应用．
关键：抓住基础知识进行复习，并且注意将圆的有关知识与其他知识进行联系。

教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：写一份本章知识结构图．
教学过程
知识网络图表∙
【师生共识】
1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，•并且平分弦所对的两条弧及其运用．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对的弦也相等及其运用．
3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．
4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
6．直线L和⊙O相交⇔d<r；直线L和圆相切⇔d=r；直线L和⊙O相离⇔d>r及其运用．
7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．
8．•经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．
9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，•这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．
10．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离⇔d>r1+r2；外切⇔d=r1+r2；相交⇔│r2-r1│<d<r1+r2；内切⇔d=│r1-r2│；内含⇔d<│r2-r1│．
11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关
系解决具体题目．
12．n °的圆心角所对的弧长为L=180n R π，n °的圆心角的扇形面积是S 扇形=2
360
n R π及其
运用这两个公式进行计算．
13．圆锥的侧面积和全面积的计算．
一、 范例点击
例1:例⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB=16，CD=12，则AB 、CD 间的距离是__________ . 例2:如图，AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C,使DC=BD,连接AC 交⊙O 与点F.（1）AB 与AC 的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类, 请你判断△ABC 属于哪一类三角形， 并说明理由
解：：（1）方法1 连接DO. ∵OD 是△ABC 的中位线，
∴DO ∥CA.∵∠ODB ＝∠C ，∴OD ＝BO ∴∠OBD ＝∠ODB ，∴∠OBD ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC
方法2 连接AD ，
∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥BC ， ∵BD ＝CD ，∴AB ＝AC. 方法3 连接DO. ∵OD 是△ABC 的中位线, ∴OD=AC
OB=OD=AB ∴AB=AC
（2） 连接AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90° ∴∠B ＜∠ADB ＝90°.∠C ＜∠ADB ＝90°. ∴∠B 、∠C 为锐角.
∵AC 和⊙O 交于点F ，连接BF ， ∴∠A ＜∠BFC ＝90°. ∴△ABC 为锐角三角形
例3：已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．
求证：（1）AD ＝BD ；（2）DF 是⊙O 的切线．
O
F
D
C
B
A
例4.如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）
（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形/
（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时， ⊙P 和⊙Q 外切？
【活动方略】
学生独立思考、独立解题． 教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
为学生提供实际演练的机会，加强对已学知识的复习并检查对新知识的掌握情况.
二、 随堂巩固
课本P130 复习题24 第1、3、6、8、9、11、12、14、15题
三、 小结作业
1.问题：谈一谈本节课自己的收获和感受？
2.作业：课本P130 复习题24 第2、4、5、7、10、13题 【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程． 学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，课外作业，使学生优化概念，内化知识。

B
第24章 圆 复习题
基础演练
一、选择题
1．已知⊙O 和三点P ，Q ，K ，⊙O 的半径为3，OP=2，OQ=3，OR=4，经过这三点中的一点任意作直线总是与⊙O 相交，这个点是（ ）． A ．P B ．Q C ．R D ．P 或Q
2．如图1，在⊙O 中，∠B=37°，则劣弧 AB 的度数为（ ）．
A ．106°
B ．126°
C ．74°
D ．53°
（1） （2） （3） （4）
3．如图2，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，且∠AOC=50°，作AE ∥CD ，交⊙O 于E ，则 AE 的度数为（ ）．
A ．65°
B ．70°
C ．75°
D ．80°
4．边长分别为3，4，5的三角形的内切圆半径与外接圆的半径之比为（ ）． A ．1：5 B ．2：5 C ．3：5 D ．4：5
5．一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形周长为（ ）． A ．50 B ．52 C ．54 D ．56 6．如图3，⊙O 的半径OA=3，以点A 为圆心，OA 的长为半径画弧交⊙O 于B ，C ，•则BC=（ ）．
A ．．．
3
2
7．如图4，一定滑轮的起重装置图，滑轮半径为12cm ，当重物上升4 cm 时，滑轮的一条
半径OA 按顺时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（ ）． A ．12° B ．30° C ．60° D ．90°
8．如图，将图中的阴影部分剪下来，围成一个几何体的侧面，使AB ，DC•重合，则所围成
的几何体图形是（ ）．
二、填空题 9．如图1，已知A ，B ，C ，D ，E 均在⊙O 上，且AC 为⊙O 的直径，则∠A+•∠B+•∠C=________．
（1）（2）（3）（4）
10．如图2，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，且AB=AC，则∠C=_______．
11．已知⊙O的半径为2cm，⊙O所在平面内有一点P，使，则点P在⊙O•的
________．（填“内部”、“外部”或“圆上”）
12．在⊙O中，给出下面三个论断：①OC是⊙O的半径；②直线AB⊥OC；③直线AB是⊙O 的切线且AB经过C点，以其中两个论断为条件，一个论断为结论，•用“ ”形式写出一个真命题：_________．
13．如图3，AD是⊙O的直径，AB=AC，∠BAC=120°，•根据以上条件写出三个正确的结论．（OA=OB=OC=OD除外）
①___________；②___________；③___________．
14．如图4，⊙O的半径OD为5cm，直线L⊥OD，垂足为O，则直线L沿射线OD•方向平移________cm时与⊙O相切．
15．若Rt△ABC的内切圆半径为1，斜边长是6，则此三角形的周长为________．
16．如图5，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=2，分别以A，B，C为圆心，以1
2
AC为半径
画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是________．
（5）（6）（7）
17．如图6，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，•那么这个圆锥的侧面积是______cm2．18．如图7，扇形AOB的圆心角是为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C，E，D 分
别在OA，OB， AB上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，•那么图中阴影部分的面积为____________．
三、解答题
19．小明投铅球，铅球着地后落在图中点A处，•试估计小明投铅球的成绩．
20．如图，已知⊙O半径为8cm，点A为半径OB延长线上一点，射线AC切⊙O于点C， BC
的长为8
3
cm．求线段AB的长．
21．阅读下面材料，回答下列问题．
对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．
（a） (b)
如图a中的三角形被一个圆所覆盖，图b•中的四边形被两个圆所覆盖．
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_____cm．
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_____cm．• （3）边长为2cm，1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是_____cm，•这两个圆的圆心距是_______cm．
22．如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，•且分别交OA，OB于点E，F．（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）若△ABO腰上的高等于底边的一半，且 ECF的长．
23．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥BC 于点E ，交 BC
于点D ． （1）请写出三个不同类型的正确结论；
（2）连接CD ，设∠CDB=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系式，并给予证明．
24．如图，矩形ABCD 的长与宽分别是2cm 和1cm ，AB 在直线L 上．依次以B ，C ′，D ″为
中心将矩形ABCD 按顺时针方向旋转90°，这样点A 走过的曲线依次为
'''''''''
,,AA A A A A ，
其中
'AA 交CD 于点P ．
（1）求矩形A ′BC ′D ′的对角线A ′C ′的长； （2）求
'AA 的长；
（3）求图中 部分的面积． （4）求图中 部分的面积．
25．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．
（1）如图，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；
（2）如图，若半径为r2的两个等圆⊙O1，⊙O2外切，且⊙O1与AC，AB相切，⊙O2与BC，AB相切，求r2；
（3）如图，当n是大于2的正整数时，若半径为r n的n个等圆⊙O1，⊙O2，…，•⊙O n 依次外切，且⊙O1与AC，AB相切，⊙O n与BC，AB相切，⊙O2，⊙O3，…，⊙O n-1均与AB
边相切．求r n．
能力提升
26．如图所示是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形的扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，•下底面直径为4cm，母线长EF=8cm，求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用 表示）
27．空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，△ABG是等边三角，C、•D是以AB为直径的半圆O的两个三等分点，CG、DG分别交AB于点E、F，试判断点E、F•分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证一种情况即可）．
28．如图所示，AB 是半圆O 的直径，点M 是直径OA 的中点，点P 在线段AM 上运动（•不与点M 重合），点Q 在半圆上运动，且总保持PQ=PO ． 过Q 点作⊙O 的切线交BA 延长线于点C ．
（1）当∠QPA=60°，请你对△QCP 的形状做出猜想，并给予证明． （2）当QP ⊥AB 时，△QCP 形状__________三角形．
（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想点P 在线段AM 上运动到任何位置时，∠QCP 一定是_______三角形．
聚焦中考
29．（2008。

山东威海）如图，在平面直角坐标系中，点A 1是以原点O 为圆心，半径为2的圆与过点（0，1）且平行于x 轴的直线l 1的一个交点；点A 2是以原点O 为圆心，半径为3的圆与过点（0，2）且平行于x 进行下去，点A n 的坐标为 ．
_B
_A _O
_P _M
30．（2008.浙江杭州） 如图，大圆O 的半径OC 是小圆O 1的直径，且有OC 垂直于⊙O 的直
径AB 。

⊙O 1的切线AD 交OC 的延长线于点E ，切点为D 。

已知⊙O 1的半径为r ，则AO 1=________；DE_________
31．（2008.四川达州）如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线l 滚动，则A 点
从开始至结束所走过的路线长为 _______（结果保留准确值）．
32．(2008.甘肃兰州)如图点A B ，是O 上两点，10AB =，点P 是O 上的动点（P 与
A B ，不重合）连结AP PB ，，过点O 分别作OE AP ⊥于点E ，OF PB ⊥于点F ，
则EF = ．
33．（2007.山东枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交 BC
于D ． (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径
A
C B
A
l
P
图3
34. （2007.韶关市）如图，AB 是半⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°的角，AC=CD. （1）求证：CD 是半⊙O 的切线； （2）若OA=2，求AC 的长.
答案:
1．A 2．A 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 9．90° 提示：∠A+∠B+∠C=
12（ CD DE EF ++）=12
×180°=90°． 10．45° 11．内部 12．①③⇒②或②③⇒①
13．①∠BDC=60° ②四边形ABOC 是菱形 ③Rt △ABD ≌Rt △ACD 14．5 提示：运用直线与圆相切的定义． 15．14 提示：直角三角形内切圆半径为r=2
a b c
+-，则a+b=8，∴周长=8+6=14． 16．2-
1
2
π 17．60π
1819．在8m 和9m 之间．
20．解：如图（原题），∵ BC
=8,1803
n R n ππ
∴=×180÷8π=60°， ∴∠O=60°，∵AC 切⊙O 于C ，•∴OC ⊥AC ．
在Rt △AOC ，∠A=30°，∴OA=2OC=16． ∴AB=OA-OB=16-8=8（cm ） 21．（
1（2
（3
1 提示：（1）正方形的外接圆半径等于其对角线的一半，因此r
cm ． （2）等边三角形的外接圆的半径是其高的
23，故
r 的最小值为3
cm ．
（3）r 的最小值为
2
cm ，圆心距是1cm ． 22．如右图所示，（1）证明：连接OC ．
∵OA=OB ，AC=BC ， ∴OC ⊥AB ，
故AB 是⊙O 的切线．
（2）解：过B 作BD ⊥AO 交AO 的延长线于D 点． 据题意有AB=2BD ，∴∠A=30°， ∵OA=OB ，
∴∠AOB=120°．
在Rt △ACO 中，AC=
1
2
由∠A=30°，得AO=2OC ，
∵AO 2-OC 2=AC 2
，
∴3OC 2
=（2
=12，∴OC=2．
∴ ECF
的长度为1202180
π⨯⨯=4
3π． 23．如右图所示，（1）不同类型的正确结论不唯一．
以下供参考：
①BE=CE ；② BD
DC =；③∠BED=90°；④∠BOD=∠A ；⑤AC ∥OD ；⑥AC ⊥BC ； ⑦OE 2
+BE 2
=OB 2
；⑧S △ABC =BC ·OE ；⑨△BOD 是等腰三角形．
（2）α与β的关系式主要有如下两种形式： ①α-β=90°．
证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠A+∠ABC=90°． 又四边形ACDB 为圆内接四边形． ∴∠A+∠CDB=180°． ∴∠CDB-∠ABC=90°， 即α-β=90°， ②α>2β．
证明：∵OD=OB ，∴∠ODB=∠OBD ．
又∠OBD=∠ABC+∠CBD ，∴∠ODB>∠ABC ，
∵OD ⊥BC ，∴ BD
DC =，∴CD=BD ， ∴∠CDO=∠ODB=1
2
∠CDB ． ∴
1
2
∠CDB>∠ABC ． 即α>2β．
24．解：（1）由旋转得A ′C ′=cm ）．
（2）
'AA 的长为
902
180
π⨯=π（cm ）． （3）由旋转的性质，△A ′D ′C ′≌△A ″D ″C ′，
故所求的面积S=S 扇形C`A`A``=290(``)360
A C π⨯=1
4π×2=54π（cm 2）．
（4）连接BP ，在Rt △BCP 中，BC=1，BP=BA=2．∴∠BPC=30°，
∴∠ABP=30°，•∴T=S 扇形ABP +S △PBC =2302360π⨯+12×3π（cm 2）．
25．解：（1）如右图所示，
∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴．
如图得⊙O 1与Rt △ABC 的边AB ，BC ，CA 分别切于D ，E ，F ，
连接O 1D ，O 1E ，O 1F ，AO 1，BO 1，CO 1，于是，O 1D ⊥AB ，O 1E ⊥BC ，O 1F ⊥AC ，
S △AO1C =
12AC·O 1F=1
2AC·r 1=3r 1， S △BO1C =12BC·O 1E=1
2BC·r 1=4r 1，
S △AO1B =12AB·O 1D=1
2
AB·r 1=541，
又S △ABC =S △AO1C +S △BO1C +S △AO1B ，
∴24=3r 1+4r 1+5r 1，
∴r 1=2．
（2）如下图所示，连接AO 1，BO 2，CO 1，CO 2，O 1O 2，则 S △AO1C =
1
2
AC·r 2=3r 2，
S △BO2C =
1
2
BC·r 2=4r 2， ∵等圆⊙O 1，⊙O 2外切， ∴O 1O 2=2r 2，且O 1O 2∥AB ，
过点C 作CM ⊥AB 于M ，交O 1O 2于点N ，
则CM=
AC BC AB =245，CN=CM-r 2=24
5-r 2． ∴S △CO1O2 =12O 1O 2·CN=（24
5-r 2）r 2，
∴S 梯形AO1O2B =1
2
（2r 2+10）r 2=（r 2+5）r 2，
∵S △ABC =S △AO1C +S △BO2C +S △CO1O2+S 梯形AO1O2B ， ∴24=3r 2+4r 2+（24
5
-r 2）r 2+（r 2+5）r 2， 解得r 2=
107
． （3）如下图所示，连接AO 1，BO n ，CO 1，CO n ，O 1O n ．
S △AO1C =
1
2AC·r n =3r n ． S △BOnC =1
2
BC·r n =4r n ．
∵等圆⊙O 1，⊙O 2，…，⊙O n 依次外切，且均与AB 边相切， ∴O 1，O 2，…，O n 均在直线O 1O n 上，且O 1O n ∥AB ，
∴O 1O n =（n-2）2r n +2r n =2（n-1）r n ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，交O 1O n 于点K ，
则CH=
245，CK=24
5-r n ． ∴S △CO1On =12O 1O n ·CK=（n-1）（24
5-r n ）r n ，
S 梯形AO1OnB =1
2
[2（n-1）r n +10]r n =[（n-1）r n +5]r n ，
∵S △ABC =S △AO1C +S △BOnC +S △CO1On +S 梯形AO1OnB ， ∴24=3r n +4r n +（n-1）（
245-r n ）r n +[（n-1）r n +5]r n ，解得r n =1023
n +． 25．45° 44πcm 2．
26．点E 、F 均为所在线段的三等分点，
证明：连结AC 、BC ，∵C 、D 是半圆O 的三等分点，△ABG 是等边三角形， ∴∠CAB=60°=∠ABG ，∠ACB=90°，
O
D
∴AC=
12AB=12BG ，AC ∥BG ，∴AE CE AC BE GE BG ===1
2
，
故点E 为AB 和CG 的三等分点．
28．（1）当∠QPA=60°时，△QCP 为等边三角形，连结OQ ，
∵QC 为半圆切线，•∴OQ ⊥CQ ，
∵PQ=PO ，∴∠PQO=30°，∴PQC=60°， 又∵∠QPA=60°，∴∠C=•60•°，• ∴△QCP 为等边三角形． （2）等腰直角 （3）等腰
29．（12+n ，n ） 30。

r r 3
4;
5 31。

π3
8
32．5
33．解：(1)不同类型的正确结论有：
①BC=CE ;② BD
CD == ③∠BED=90°④∠BOD=∠A;⑤AC ∥OD ，⑥AC ⊥BC; ⑦OE 2+BE 2=OB 2;⑧S △ABC ＝BC ·OE;⑨△BOD 是等腰三角形，⑩△BOE ∽△BAC;等 (2)∵OD ⊥BC ， ∴BE ＝CE=
1
2
BC=4． 设⊙O 的半径为R ，则OE=OD-DE=R-2．
在Rt △OEB 中，由勾股定理得 OE 2＋BE 2=OB 2，即(R-2)2＋42=R 2． 解得R ＝5．∴⊙O 的半径为5．
34．（1）连结OC
∵OA=OC ，∴∠A=∠ACO=30°∴∠COD=60°
又∵AC=CD ，∴∠A=∠D=30°∴∠OCD=180°-60°-30°=90°
∴CD 是半⊙O 的切线
（2）连结BC
∵AB 是直径，∴∠ACB=90° 在Rt △ABC 中，
cos 42
AC AB A ==⨯=。