导数在使用函数中的应用

导数在使用函数中的应用

一．解答题（共30小题）

1．如图所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱柱P﹣ACFE的体积．（1）求证：面PEF⊥面ACFE；

（2）求V（x）的表达式，并求当x为何值时V（x）取得最大值？

2．已知函数．

（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；

（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；

（Ⅲ）求证：（n∈N*）．

3．已知f（x）=3﹣4x+2xln2，数列{a n}满足：

（1）求f（x）在[，0]上的最大值和最小值；

（2）用数学归纳法证明：．

4．已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），

（1）若a=﹣2，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）当a＜﹣2时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；

（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求a的取值范围．

5．已知函数f（x）=x（x﹣a）2+b在x=2处有极大值．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若过原点有三条直线与曲线y=f（x）相切，求b的取值范围；

（Ⅲ）当x∈[﹣2，4]时，函数y=f（x）的图象在抛物线y=1+45x﹣9x2的下方，求b的取值范围

6．已知函数，（其中常数m＞0）

（1）当m=2时，求f（x）的极大值；

（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；

（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．

7．设函数

（1）若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若函数f（x）的单调递减区间为（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠∅．求实数a的取值范围．

8．设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+m（a＞0）．

（I）若函数f（x）在x=2时取得极值，求a的值；

（II）若函数f（x）在x∈[﹣1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

（III）当a∈[3，6]时，不等式f（x）≤1对于任意x∈[﹣2，2]时恒成立，求m的取值范围．

9．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．

（1）若b=﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；

（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；

（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．

10．已知函数，

（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若函数f（x）在x=x1和x=x2处有极值，且，求实数a的取值范围．

11．把函数y=lnx﹣2的图象按向量平移得到函数y=f（x）的图象．

（I）若x＞0，试比较的大小，并说明理由；

（II）若不等式．当x，b∈[﹣1，1]时恒成立，求实数m的取值范围．

12．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；

（3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2．

13．已知函数（a，b，c∈R）在点（1，f（1））处的切线斜率为，且a＞2c＞b．（1）证明：．

（2）证明：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个极值点．

14．已知函数f（x）=bx，g（x）=ax2+1，h（x）=lnx．（a，b∈R）

（1）若M={x|f（x）+g（x）≥0}，﹣1∈M，2∈M，z=3a﹣b，求z的取值范围；

（2）设，且b＜0，试判断函数F（x）的单调性；

（3）试证明：对∀n∈N*，不等式恒成立．

15．已知的定义域为R，函数的定义域为[0，2]．（1）设a≠0，求f（x）的单调区间；

（2）求g（x）的值域；

（3）设a＞0，若对任意x1∈[0，2]，总存在x0∈[0，2]，使g（x1）﹣f（x0）=0，求实数a的取值范围．16．已知函数（e为自然对数的底数）设方程f（x）=x的一个根为t，且a＞t，f（a）=b．

（1）求函数f（x）的导函数f′（x）；求导函数f′（x）的值域；

（2）证明：①a＞b，②a+f（a）＞b+f（b）．

17．已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．

18．已知函数，g（x）=﹣ax2+4x﹣m，a，m∈R．

（I）当a=1，x∈[0，3]时，求f（x）的最大值和最小值；

（Ⅱ）若a＜2时关于x的方程f（x）=g（x）总有三个不同的根，求m的取值范围．

19．函数f（x）=xlnx﹣ax2﹣x（a∈R）．

（I）若函数f（x）在x=1处取得极值，求a的值；

（II）若函数f（x）的图象在直线y=﹣x图象的下方，求a的取值范围；

（III）求证：．

20．设函数f（x）=xlnx（x＞0）．

（1）求函数f（x）的最小值；

（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；

（3）斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）两点，求证：．

21．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx在x=1时取得极大值5

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m2﹣8m成立，求m的取值范围．

22．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）

（1）若定义域内存在x0，使得不等式f（x0）﹣m≤0成立，求实数m的最小值；

（2）g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间[0，3]上恰有两个不同的零点，求a范围．

23．已知函数，

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）设a＞0，求函数f（x）在[2a，4a]上的最小值．

24．函数f（x）=x3﹣ax2+的极值点是x1，x2，函数g（x）=x﹣alnx的极值点是x0，若x0+x1+x2＜2．

（I ）求实数a的取值范围；

（II）若存在实数a，使得对∀x3，x4∈[1，m]，不等式f（x3）≤g（x4）恒成立，求实数m的取值范围．