激光原理第二章答案
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第二章 开放式光腔与高斯光束
1. 证明如图所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为12 1 00 ηη⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，根据几何关系可知
211122, sin sin r r ηθηθ== 傍轴光线sin θθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式
2121121 00 r r θθηη⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
得证 2. 证明光线通过图所示厚度为d 的平行平面介质的光线变换矩阵为121
0 1
d ηη⎡
⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d ，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得
212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡
⎤
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
得证。 3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
由于是共焦腔，则有
12R R L ==
将上式代入计算得往返矩阵
()
()()1
2
101
0110101n n
n
n n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中1212
11,1L L
g g R R =--
=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。则122
1,1L
g g R ==-
，再根据稳定性条件 1201g g <<可得2
2011L
R R L <-
<>⇒。 对双凹共轴球面腔有，120,0R R >>则1212
1,1L L
g g R R =-
=-,根据稳定性条件1201g g << 可得11221
212010 01 1R L
R L R L R L R R L L R R L
<<⎧>⎧⎪
<<⎨⎨>⎛⎫⎛⎫<--<⇒ ⎪⎩⎪+> ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 或。
对凹凸共轴球面镜腔有，120,0R R ><则1212
1,1,0L L
g g R R =-
=>-根据稳定性条件1201g g << 可得121120111R L R R R L L R L ⎛⎫⎛⎫
<--<⇒ ⎪⎪⎝⎭+⎝><⎭
⎧⎨⎩。
121
01
01122
110101A B L L T C D R
R ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
1001T -⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜1M 和2M 的曲率半径分别为1R 和2R ，121m,2m R R =-= 工作物质长0.5m l =，折射率 1.52η=
当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l ,工作物质左右两边剩余的腔长分别为1l 和2l ，则12l l l L ++=。设此时的等效腔长为L '，则光在腔先经历自由传播横向距离1l ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l ，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离2l ，则
所以等效腔长等于 21()l
l
L l l L l η
η
'=+
+=-+
再利用稳定性条件
由(1)解出 2m 1m L '>> 则 所以得到：
1.17m<
2.17m L <
6. 图所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos )/2F R θ=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，
/(2cos )F R θ=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。
011 1 (1)
21L L ''⎛
⎫⎛⎫<-+< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭1
0.5(1)0.171.52
L L L ''=+⨯-
=+212
11011101110010100101101L l l l l l l ηηη⎡⎤
'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
++⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦