苏州大学 微积分复习题

微积分一复习题(第一章-第三章)

1.求函数6

712arcsin

2−−−=x x x y 的定义域. 2.求].ln )1[ln(lim n n n n −−∞

→ 3.求)

1()34(lim 22

x x x x −+∞→.

4.lim x →+∞

5.n n n n 31

212(lim −+∞→ 6.)1(13

21211[lim +++×+×∞→n n n L

7.n →∞+++L

8.0lim tan x x x

→ . 9.3

0arcsin 22arcsin lim x x x x →− 10.)1ln(1

0)(cos lim x x x x +→ 11.22020sin lim x

x t x te dt →∫ 12.]cos 1[cos lim x x x −++∞

>− 13.已知2)3(=′f ，求0(3)(3)lim 2h f h f h

→−−. 14.已知()[]01

13lim 21=−−+−+→x x B A x x ，求常数,A B 之值. 15.设函数()f x 在x e =处有连续的一阶导数，且2()f e e ′=

，求0lim (x d f e dx +→. 16.设()f x 在0[,)+∞上连续，且1lim ()x f x →+∞=，求0lim ()x x x x e e f x dx −→+∞∫.

17.设当0x →时，求a 为何值量,23()a x x +与2sin x 是等价无穷小.

18.设⎩⎨⎧≤+>+=0

,0,1)(x b x x e x f x 在x =0处连续，求常数b .

19.设21cos sin ,0()1,

0x x x f x x

x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩ ，讨论函数在0x =处的连续性. 20.求曲线()1sin 0y x x x

=>的水平渐近线和垂直渐近线. 21.试确定常数a 、b 之值，使函数(1sin )20()01ax b x a x f x x e +++≥⎧=⎨

<−⎩处处可导，并求()f x ′。 22.设sin x y e =，求y ′.

23.设cos ln y x =，求dy .

24.设sin x y x =，求y ′.

25.求()()2ln sin x d e d x ⎡⎤⎣

⎦ 26.设,ln 3⎩⎨⎧==t

y t x 求22,dy d y dx dx . 27.设方程arctan x y y +=决定的函数为y ，求22,dy d y dx dx

. 28.设)()()(x a x x f ϕ−=，)(x ϕ在a x =处有连续的一阶导数，求)(a f ′、)(a f ′′. 29.设()f x 在0x =处二阶可导，且()0lim

1cos x f x A x →=−，求()()()0,0,0f f f ′′′. 30. 求函数21

x y x x =+−的单调区间，极值点. 31. 求曲线43341y x x =−+的凹凸区间和拐点.

32. 若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0f x ′<，令

1()(),x a

F x f t dt a x b x a =<<−∫，证明：()F x 在(,)a b 内单调减少. 33.求函数2

0()(2)x t f x t e dt −=−∫的最大值、最小值.

34.设()x f 在[]b a ,上连续，且()a a f <，()b b f >，试证在()b a ,内至少存在一点ξ，

使()ξξ=f .

35.设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，且()()0f a f b ==，求证：存在(),a b ξ∈ 使()()0f f ξξ′+=成立.

36.证明:当01x <

<+<+ 38.设()f x 在[],a b 上连续, 在(),a b 上可导,且()()f a f b =,证明,存在(),a b ξ∈,使

得()()()f a f f ξξξ′−=.