超全数列基本知识点复习讲义
数列知识点归纳总结详细
数列知识点归纳总结详细数列是数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
本文将对数列的基本概念、常见类型以及解题方法等进行详细的归纳总结。
通过本文的学习，读者可以全面了解数列的相关知识，为日后的学习和应用打下坚实的基础。
一、数列的概念数列是按照一定规律排列的数的集合。
其中，每个数都称为数列的项，每个项的位置称为项数。
通常用字母a1，a2，a3，…，an 等表示数列的项，其中an表示第n个项。
数列可以分为有限数列和无限数列。
有限数列是指项数有限的数列，而无限数列是指项数无限的数列。
二、数列的表示方式1. 显式表示法：数列的每一项都直接用公式表示。
常见的显式公式有等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 和等比数列的通项公式an=a1*r^(n-1)。
2. 递推关系式表示法：数列的每一项通过前一项来表示。
常见的递推关系式有等差数列的递推关系式an=an-1 +d 和等比数列的递推关系式an=an-1*r。
三、常见数列类型1. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。
常用的求和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数，a1为首项，an为末项。
2. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。
常用的求和公式为Sn=a1(1-r^n)/(1-r)，其中n为项数，a1为首项，r为公比。
3. 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的特点是每一项都等于前两项之和，即a1=a2=1，an=an-1+an-2（n>=3）。
4. 平方数列：数列中的每一项都是该项的平方。
例如1，4，9，16，…5. 等差平方数列：数列中的相邻两项之差为平方数。
例如3，8，15，24，…四、数列的求和1. 等差数列的求和公式为Sn=n/2(a1+an)。
2. 等比数列的求和公式为Sn=a1(1-r^n)/(1-r)。
3. 其他特殊数列的求和需要根据数列的特点进行推导计算。
五、数列的性质和运算1. 数列的项可以进行加减乘除等运算，同类型数列可以互相进行运算。
数列的有关知识点总结
数列的有关知识点总结一、数列的基本概念1.1 数列的定义数列是指按照一定的顺序排列的一组数，这组数称为数列的项。
数列通常用符号{an}或(an)表示，其中an表示第n个数列的项。
例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个常见的数列，其第n 个项表示为an=n。
1.2 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为不同的类型。
常见的数列包括等差数列、等比数列、等差数列、递减数列、递增数列等。
不同类型的数列具有不同的性质和规律，需要根据具体情况选择适当的方法进行研究和分析。
1.3 数列的通项公式对于某些特定的数列，可以通过观察数列的规律和性质，得到其通项公式。
通项公式可以表示数列的第n个项与n之间的关系，通常用公式an=f(n)表示，其中f(n)为关于n的函数。
通过通项公式，可以方便地计算数列的任意项，从而更好地理解数列的规律和性质。
1.4 数列的性质数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、敛散性等。
这些性质对于研究数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析数列的特点。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列的相邻两项之差是一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如，{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，公差为2。
2.2 等差数列的通项公式对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为等差数列的首项，d为公差，n为项数。
通过这个通项公式，可以方便地计算等差数列的任意项。
2.3 等差数列的性质等差数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、求和性质等。
这些性质对于研究等差数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析等差数列。
2.4 等差数列的求和公式对于等差数列，有求和公式Sn=n/2(a1+an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
通过这个求和公式，可以方便地计算等差数列的前n项和。
三、等比数列3.1 等比数列的定义等比数列是指数列的相邻两项之比是一个常数的数列，这个常数称为公比。
数列的基本知识点
数列的基本知识点一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（）（答：A ）二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
数学数列知识点归纳总结
数学数列知识点归纳总结一、数列的概念1.1 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合，通常用一对大括号{}表示，其中的每个数称为数列的项。
例如：{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个数列，它包含了无穷多个项，每个项都是自然数。
1.2 数列的表示数列可以用不同的方式表示，常见的表示方法有公式法、图形表示法和文字描述法。
- 公式法：可以用一个通项公式来表示数列的每一项，例如：an = n^2表示数列{1, 4, 9, 16, ...}的通项公式。
- 图形表示法：可以用图形来表示数列，例如：等差数列可以用直线表示，等比数列可以用曲线表示。
- 文字描述法：可以用文字描述数列的规律，例如：数列{2, 4, 6, 8, ...}可以描述为“每一项都比前一项大2”。
1.3 数列的分类数列可以按照不同的规律进行分类，常见的分类有等差数列、等比数列和斐波那契数列等。
- 等差数列：数列中相邻两项的差等于一个常数，这个常数称为公差。
- 等比数列：数列中相邻两项的比等于一个常数，这个常数称为公比。
- 斐波那契数列：数列中每一项都是前两项之和，例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...1.4 数列的通项公式数列的通项公式是指数列中任意一项与项号之间的函数关系式，一般用an表示第n项的值，n表示项号。
如果一个数列存在通项公式，则可以利用通项公式计算数列的任意项的值。
1.5 数列的性质数列有许多重要的性质，例如数列的有界性、单调性、敛散性以及极限等。
- 有界性：如果数列的项有上界或下界，则称该数列是有界的。
- 单调性：如果数列的项都单调递增或单调递减，则称该数列是单调的。
- 敛散性：数列是否有极限，如果有极限则称该数列是收敛的，否则是发散的。
二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列中相邻两项的差等于一个常数的数列，这个常数称为公差。
例如：{2, 4, 6, 8, ...}就是一个等差数列，公差为2。
数列知识点总结框架
数列知识点总结框架一、数列的概念和性质1. 数列的定义数列是指由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合，常用符号表示为{an}或(a1,a2, a3, …)，其中an表示第n个数。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
2. 数列的常见形式常见的数列形式包括等差数列、等比数列、等差-等比数列、递推数列等。
3. 数列的通项公式对于数列{an}，如果能找到一个关于n的表达式an=f(n)，使得对于任意n，an都能用f(n)来表示，则f(n)便为数列的通项公式。
4. 数列的性质数列的性质包括有界性、单调性、极限性等。
其中，有界性指数列的值在一定范围内；单调性指数列中的项是递增或递减的；极限性指数列随着n的增大，其值趋于某一定值。
二、等差数列1. 等差数列的定义等差数列是指数列中的任意两项之间的差都相等的数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2. 等差数列的性质等差数列的性质包括前n项和公式、n项倒数和公式、性质及推导等。
3. 等差数列的应用等差数列常用于算术平均数的计算、数列求和、数列前n项和等问题的解答。
三、等比数列1. 等比数列的定义等比数列是指数列中的任意两项之间的比值都相等的数列，其通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 等比数列的性质等比数列的性质包括前n项和公式、无穷项和公式、收敛性等。
3. 等比数列的应用等比数列常用于几何平均数的计算、复利计算、无穷等比数列的求和等问题的解答。
四、递推数列1. 递推数列的定义递推数列是指数列中的每一项都是前面一项的某个函数，其通项公式可以通过前面一项来表示。
2. 递推数列的性质递推数列的性质包括递推关系、递推方程、解法等。
3. 递推数列的应用递推数列常用于递归函数的求解、动态规划问题的解答等。
五、数列求和1. 等差数列求和等差数列的前n项和可用公式S_n=(a1+an)n/2来表示，其中n为项数，a1为首项，an 为末项。
数列复习基本知识点归纳与总结
数列基本知识点归纳与总结一、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为__（答：125）； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项a n-1（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。
数列的前n 项和：a a a a s n n ++++= (3)21.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n=⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
二、等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+).（1） 等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
高中数学数列知识点归纳
高中数学数列知识点归纳一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。
例如，1，2，3，4，5……就是一个自然数列。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……以此类推。
数列的一般形式可以写成 a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，其中 aₙ 是数列的第 n 项。
我们用｛aₙ} 来表示一个数列。
二、数列的分类1、按项数分类（1）有穷数列：项数有限的数列。
例如，数列 1，2，3，4，5 就是一个有穷数列。
（2）无穷数列：项数无限的数列。
比如自然数列 1，2，3，4，……就是一个无穷数列。
2、按项的大小变化分类（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。
例如，数列 1，2，4，8，16，……就是一个递增数列。
（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。
比如数列 10，8，6，4，2 就是一个递减数列。
（3）常数列：各项都相等的数列。
例如，数列 3，3，3，3，……就是一个常数列。
（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。
比如数列 1，－1，1，－1，1，……就是一个摆动数列。
三、数列的通项公式如果数列｛aₙ} 的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
例如，数列 1，3，5，7，9，……的通项公式为 aₙ ＝ 2n 1 。
通项公式可以帮助我们快速求出数列中的任意一项，也能让我们更深入地了解数列的性质。
四、数列的递推公式如果已知数列｛aₙ} 的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 aₙ 与它的前一项 aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。
例如，已知数列｛aₙ} 的首项 a₁＝ 1 ，且 aₙ ＝ aₙ₋₁＋ 2 （n ≥2 ），则可以依次求出 a₂＝ a₁＋ 2 ＝3 ，a₃＝ a₂＋ 2 ＝ 5 ，……五、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。
第4章 数列-基础知识汇总
第4章 数列§4.1 数列的概念1.定义：我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.第一项叫首项，常用1a 表示.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那这个式子叫做这个数列的通项公式.3.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.4.数列{}n a 的前n 项和：把数列{}n a 从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和.记作n S ，即12...n n S a a a =+++.5.通项n a 与n S 之间的关系：11,1, 2.n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ §4.2 等差数列1.等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示.2.等差中项：有三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，此时A 叫做a 与b 的等差中项.可知2A a b =+.3. 等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-.引申式：()n m a a n m d =+-，()n m a a n m d -=-，n m a a d n m-=- 4.等差数列的前n 项和公式： ()()11122n n n n n a a S na d -+=+= 5.等差数列常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+；②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列；③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈，…也成等差数列.⑤单调性：{}n a 的公差为d ，则：ⅰ）⇔>0d {}n a 为递增数列；ⅱ）⇔<0d {}n a 为递减数列；ⅲ）⇔=0d {}n a 为常数列；⑥数列{n a }为等差数列n a pn q ⇔=+（p,q 是常数）⑦若等差数列{}n a 的前项和，则、、…是等差数列. §4.3 等比数列1.等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，常用q 来表示（0q ≠）.2.等比中项：若三数a b 、G 、成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时2G ab =.n n S k S k k S S -2k k S S 23-3.通项公式：11n n a a q -=引申式：n m n m a a q -=，n m n ma q a -=. 4.等比数列前n 项和公式：()()111111n n n a q a a q S q q q--==≠-- 5.等比数列常用性质： ①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则m n p q a a a a ⋅=⋅； ② ,,,2m k m k k a a a ++为等比数列，公比为kq (下标成等差数列,则对应的项成等比数列) ③数列{}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列； 对于正项等比数列{}n a ，则{}lg n a 是公差为lg q 的等差数列； ④若{}n a 是等比数列，则{}{}2n n ca a ，， 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}()r n a r Z ∈是等比数列，公比依次是21.r q q q q ，，， ⑤单调性：110,10,01a q a q >><<<或{}n a ⇒为递增数列；{}110,010,1n a q a q a ><<<>⇒或为递减数列；{}1n q a =⇒为常数列；{}0n q a <⇒为摆动数列；⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列. ⑦若等比数列{}n a 的前项和，则、、…是等比数列. n n S k S k k S S -2k k S S 23-。
数列知识点总结大纲
数列知识点总结大纲
一、数列的概念和性质
1.1 数列的定义
1.2 数列的项、通项公式和前n项和
1.3 数列的分类：等差数列、等比数列、等差数列
1.4 数列的性质：有界性、单调性、周期性
二、等差数列
2.1 等差数列的概念和性质
2.2 等差数列的通项公式和前n项和公式
2.3 等差数列的应用：等差数列的中项、倒数第n项等问题
三、等比数列
3.1 等比数列的概念和性质
3.2 等比数列的通项公式和前n项和公式
3.3 等比数列的应用：等比数列的中项、倒数第n项等问题
四、递推数列
4.1 递推数列的概念和性质
4.2 递推数列的通项公式和前n项和公式
4.3 递推数列的应用：如何构造递推数列、递推数列的性质
五、综合应用
5.1 几何问题与数列：等差数列、等比数列在几何图形中的应用5.2 累加与数列：数列的和与级数的求和
5.3 数列的特殊问题：收敛性、散度性、收敛上界、收敛下界等问题
六、挑战问题
6.1 数列的特殊性质：如何判断一个数列的性质
6.2 数列的极限问题：数列的极限性质与收敛性定理
6.3 数列的推广问题：数列在数学、物理、工程等领域中的应用
七、拓展应用
7.1 数列与函数：数列与函数的关系
7.2 数列与级数：级数求和与展开
7.3 数列与微积分：数列在微积分中的应用
以上是对数列知识点的一个大致总结，通过学习这些知识点，我们可以深入了解数列的概念、性质与应用，从而更好地应用数列知识解决实际问题。
希望这份总结对你有所帮助，谢谢！。
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数列高考知识点大扫描数列基本概念数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：()n a f n =2、等差数列1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-1）、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数，其图象是以点 1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2）、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--, 即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,相减得 ()n m a a n m d -=-，即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ，则以 m a 为第一项，n a 是第n-m+1项，公差为d ； 若n<m ，则 m a 以为第一项时，n a 是第m-n+1项，公差为-d.3）、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列，则12(2)p q a a a p q d +=++- ，12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题：在等差数列中，若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=.3、前n 项和公式由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++L L ， 相加得 12n n a a S n +=， 还可表示为1(1),(0)2n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。
高三数学第一轮复习——数列(知识点很全)
数列一、 知识梳理概念1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n=.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n na a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n na a a S +++= 21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n .5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差.2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n)1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=.3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法 ⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 等比数列1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式：11-=n nq a a ，1a 为首项，q 为公比 .⑵前n 项和公式：①当1=q时，1na S n =②当1≠q 时，qqa a q q a S n n n --=--=11)1(11.3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项⇔a ，A ，b 成等差数列⇒b a G ⋅=2.4.等比数列的判定方法 ⑴定义法：q a a nn =+1（+∈N n ，0≠q 是常数）⇔{}n a 是等比数列； ⑵中项法：221++⋅=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ⇔{}n a 是等比数列.5.等比数列的常用性质⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为kq .⑶),(+-∈⋅=N m n q a a m n m n⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，则q p n m a a a a ⋅=⋅；⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列.二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列） 1）根据基本量求解（方程的思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63,6,994=-==nS a a ，求n ；2、等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．3、设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ，求数列{}n a 前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=n n T S nn，则=55b a . 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ）4、等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n na b =（ ） 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(,m n n S m S m n ≠==，则=+n m S .6、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。
数列详细知识点归纳总结
数列详细知识点归纳总结数列是数学中常见的概念，也是数学与实际问题相联系的桥梁。
在数学的学习过程中，掌握数列的相关知识点是非常重要的。
本文将对数列的定义、性质、分类和常用公式进行详细的归纳总结。
一、数列的定义和性质数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
通常用{a₁，a₂，a₃，...}或{aₙ}表示，其中a₁，a₂，a₃等表示数列的各项。
数列的性质主要包括有穷性、无穷性和有界性。
1. 有穷数列：数列中项的个数是有限的，即存在某个正整数N，使得当n>N时，aₙ为常数，此时数列也被称为等差数列。
2. 无穷数列：数列中的项的个数是无穷的，此时数列也被称为等比数列。
3. 有界数列：数列中的项有一个上界或者下界限制，即存在某个正整数M，使得当n>M时，aₙ≤M（或者aₙ≥M）。
二、数列的分类1. 级数数列：级数数列是由级数的部分和组成的数列，级数数列的通项公式通常为公差公式或者公比公式。
2. 等差数列：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数的数列，常用的关系式为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
3. 等比数列：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数的数列，常用的关系式为aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比。
三、数列的常用公式1. 等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)，其中Sn为前n项和，a₁为首项，aₙ为前n项的最后一项。
2. 等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中aₙ为第n项，a₁为首项，d为公差。
3. 等比数列的前n项和公式：Sn = a₁(1-rⁿ)/(1-r)，其中Sn为前n项和，a₁为首项，r为公比。
4. 等比数列的通项公式：aₙ = a₁ * r^(n-1)，其中aₙ为第n项，a₁为首项，r为公比。
四、数列的应用数列作为数学的一个重要概念，在实际问题的建模和解决中有着广泛的应用。
数列知识点及典型题分析
数列的概念与简单表示法知识要点梳理知识点一：数列的概念⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.)⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. (如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….)⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。
3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项知识点二：数列的分类1. 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列2. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列知识点三：数列的通项公式与前项和1. 数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：的通项公式为（）；的通项公式为（）；的通项公式为（）；注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…；它的通项公式可以是，也可以是.（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.（4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．2. 数列的前项和数列的前项逐个相加之和：；当时；当时，，.故.知识点四：数列与函数的关系数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
数列知识点归纳总结笔记
数列知识点归纳总结笔记一、数列的概念1. 数列的定义数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。
我们通常用{n}来表示一个数列，其中n为自然数。
2. 数列的常见表示方式（1）通项公式表示：数列的一般形式为a₁，a₂，a₃，......，aₙ，其中aₙ是第n项的值。
数列的通项公式通常是一种算式，可以用来表示数列的第n项。
（2）递推关系表示：数列的第n项与它的前几项之间存在某种关系，这种关系称为数列的递推关系，通常用递归的方式表示。
3. 数列的分类（1）等差数列：数列中任意两项之间的差是常数，这种数列称为等差数列。
（2）等比数列：数列中任意两项之间的比是常数，这种数列称为等比数列。
（3）等差-等比混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，这种数列称为等差-等比混合数列。
（4）等差-等比-等比差混合数列：数列中既存在等差关系，又存在等比关系，同时等差项间的差也构成等差数列，这种数列称为等差-等比-等比差混合数列。
二、数列的性质1. 数列的有界性（1）有界数列：如果一个数列存在一个上界和一个下界，那么该数列称为有界数列。
（2）无界数列：如果一个数列不存在上界或下界，那么该数列称为无界数列。
2. 数列的单调性（1）单调递增数列：如果数列的每一项都大于等于前一项，那么该数列称为单调递增数列。
（2）单调递减数列：如果数列的每一项都小于等于前一项，那么该数列称为单调递减数列。
3. 数列的极限（1）数列的极限定义：对于一个数列{aₙ}，如果对于任意给定的ε>0，存在N∈N，对于所有n>N，有|aₙ-L|<ε成立，则称数列{aₙ}的极限为L，记为lim(n→∞) aₙ=L。
（2）数列的极限存在性：一个数列未必存在极限，但只要该数列有上界和下界，则该数列一定存在极限。
4. 数列的和（1）数列的部分和：对于数列{aₙ}，它的前n项的和称为数列的部分和，用Sₙ表示。
（2）数列的无穷和：如果lim(n→∞) Sₙ=L，那么L称为数列{aₙ}的无穷和，即∑ aₙ=L。
数列知识点复习
单调递增（或递减）且有上界（或下界）的数列必定收敛。即如果一个数列单调递增且有上界，或者单调递减且 有下界，则该数列必定收敛。这个定理可以用来证明某些数列极限的存在性。
03 数列的收敛与发散
收敛数列的定义与性质
定义：如果数列的极限存在，则称该数列为收敛数列。 性质 唯一性：收敛数列的极限值是唯一的。
根值判别法
计算数列项的n次方根，并根据该n次方根的极限值判断数列的收敛性。若n次方根极限小 于1，则数列收敛；若大于1，则数列发散。这些方法在判断数列收敛性时具有一定的适 用条件和局限性，需要综合运用其他知识和技巧来进行判断和证明。
04 数列的应用
数列在日常生活中的应用
01
02
03
存款利息计算
在银行存款时，利用等比 数列计算复利，从而得到 更准确的利息收益。
数列极限的几何意义
数列极限的几何意义在于，当n无限增大时，数列的项越来越接近一个常数，这 个常数就是数列的极限。
数列极限的性质
唯一性
如果数列$a_n$的极限存在，则极限值是唯一的。
有界性
如果数列$a_n$收敛于A，则数列$a_n$必有界，即存在 正数M，使得$|a_n| \leq M$对一切n成立。
保序性
如果$\lim_{n \to \infty} a_n = A$，且A大于0（或小于 0），则存在正整数N，当$n>N$时，$a_n$大于0（或 小于0）。
保号性
如果$\lim_{n \to \infty} a_n = A$，且存在正整数N， 当$n>N$时，$a_n \geq 0$（或$a_n \leq 0$），那么 A也大于等于0（或小于等于0）。
数列知识点复习
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高三数学总复习讲义——数列概念
高三数学总复习讲义——数列概念 知识清单1．数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a = 1n（n N +∈）。
说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k -=-⎧∈⎨+=⎩； ③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
数列知识点总结word文档
数列知识点总结word文档一、数列的概念数列是按照一定的顺序排列的一系列数的集合。
数列中的每个数叫做这个数列的项。
二、数列的表达方式1. 通项公式：数列的每一项和项号之间的函数关系式。
2. 递归公式：通过前一项或者前几项来表示后一项的公式。
3. 初项和公差：初项表示数列中的第一个数，公差表示数列中的相邻两项之间的差值。
三、等差数列1. 概念：如果一个数列中任意两相邻的项的差值都相等，这个数列就是等差数列。
2. 通项公式：如果等差数列的首项为a1，公差为d，那么该数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。
四、等比数列1. 概念：如果一个数列中任意两相邻的项的比值都相等，这个数列就是等比数列。
2. 通项公式：如果等比数列的首项为a1，公比为q，那么该数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。
五、数列的性质1. 数列的前n项和：数列前n项之和的公式为Sn=n(a1+an)/2。
2. 数列前n项平方和：数列前n项平方和的公式为Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6。
3. 等差数列求和公式：等差数列前n项和的公式为Sn=n(a1+an)/2。
4. 等比数列求和公式：等比数列前n项和的公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
六、常见数列1. 斐波那契数列：该数列的前两项为1，第三项开始每一项都是前两项之和。
2. 等差数列：每一项与前一项的差值都相等。
3. 等比数列：每一项与前一项的比值都相等。
4. 等比数列：首项为a1，公比为q的等比数列为an=a1*q^(n-1)。
七、数列的应用1. 数学问题：在数学中，数列常常应用于求和问题、发现规律等。
2. 物理问题：在物理学中，数列可以用来描述变化过程。
3. 经济问题：在经济学中，数列可以被用来预测发展趋势。
4. 生活中的应用：例如车流量的变化、人口增长等都可以用数列来描述和预测。
总结：数列是数学中的一个重要概念，它包含了等差数列、等比数列等不同类型的数列，具有广泛的应用价值。
数列知识点复习课件
除法：如果lim(n→∞) a(n) = A， lim(n→∞) b(n) = B，且B≠0，那 么lim(n→∞) (a(n) / b(n)) = A / B。
极限的存在条件
极限的存在条件是数列收敛的充 分必要条件。
极限存在的条件是数列的项与某 一固定值之间的差值的绝对值可 以无限减小，即数列收敛于某一
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等比数列的前n项和公式
总结词
等比数列的前n项和公式可以表示为 S_n=a1(1-q^n)/(1-q)，其中a1为 首项，q为公比。
详细描述
等比数列的前n项和公式是根据通项公 式推导出来的，它表示等比数列的前n 项和是首项乘以(1-公比的n次方)/(1公比)。
04 数列的极限
数列极限的定义
极限是描述数列收敛性的重要 概念，表示当数列的项无限增 大时，数列的项无限接近某个 固定值。
乘法：如果lim(n→∞) a(n) = A， lim(n→∞) b(n) = B，那么 lim(n→∞) (a(n) × b(n)) = A × B 。
极限的四则运算是极限运算的基 本法则，包括加法、减法、乘法 和除法。
减法：如果lim(n→∞) a(n) = A， lim(n→∞) b(n) = B，那么 lim(n→∞) (a(n) - b(n)) = A - B 。
详细描述
等差数列的通项公式是$a_n = a_1 + (n - 1)d$，其中$a_n$ 表示第n项的值，$a_1$表示第一项的值，d表示公差，n表示 项数。这个公式可以用来计算等差数列中任何一项的值。
等差数列的前n项和公式
总结词
等差数列的前n项和公式是用来计算等差数列的前n项的和的公式。
详细描述
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等差数列一、数列定义：有序的一列数表示方法：1）最常见的枚举法：1,2,3,4,5,6……2）★★★通项公式：()n a f n =，理解：数列是一种特殊的函数，特殊在定义域上，定义域n 是从1开始的自然数，所以说，数列又可以从函数解析式的角度来分析数列特征3）递推关系：1()n n a f a +=，理解：递推公式是最直观的，比如说等差数列就是后一项和前一项的差相等，但是递推公式不利于分析数列的性质，比如想知道第100项是多少，就需要由递推公式去推出通项公式4）求和公式：n S ，理解：n S 和n a 的关系11(2)(1)n n S S n S n --≥⎧⎨=⎩（记⑤）★★★难点：递推公式⇒通项公式 通项公式⇔求和公式 ☆☆☆一般考察思路：/n n a S ⇒递推公式⇒通项公式n S ⇒⇒不等式（中间截取一段或者几段）二、等差数列1. 递推公式：1n n a a d +=+（d 可以是0） ()n m a a n m d =+-2. 通项公式：1(1)()na a n d f n =+-=（可以把这个式子看成一个关于n 的一次函数（记①））1(dn a d =+-）（一次项系数为d （记②），这个式子递增递减的变化取决于公差d （记③））3. 求和公式： 1()2n n a a nS +=（把n a 的式子代入）1(1)2n n na d -=+ （更常用） 21=()22d d n a n +-（可看成二次函数，无常数项。
二次项系数为2d，决定开口方向。
（记④）⇒从函数的角度看一个数列的n S 有没有最大值和最小值是由d 的正负决定的）考点1：由数列函数性质速算通项公式和求和公式例题1.已知一个等差数列{}n a ，25a =，57a =，求通项公式解析：1）通常解法：求通项公式，求1a 求d52233a a d -== ，1133a =，1132211(1)(1)=3333n a a n d n n =+-=+-⋅+ 2）口算解法：把n a 看成一个函数1(n a dn a d =+-）（由②，只需要记住一次项系数为d ）所以23n a n =+一个数，然后代入2a ，解得那个数是113例题2．1）已知数列{}n a 的通项公式是25n a n =+，求n S解析：由①知，通项公式为关于n 的一次函数，则n a 是等差数列常规解法：21221(1)7,9,2,7262n n n a a d a a S n n n -===-==+⋅=+ 口算解法：（函数的角度）由②，知道2d =，由④知，22n d S n =+一个数n ⨯2=n +一个数n ⨯想求得这个数只需要代入一个n S 即可，21171S a ===+一个数1⨯，可知，这个数为6所以26nS n n =+2）已知数列{}n a 的前n 项和为23nS n n =-，求{}n a 的通项公式解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列由口算解法，可知6na n =+一个数，由112S a ==，64n a n =-3）已知数列的前n 项和为232nS n n =--，求{}n a 的通项公式解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列由⑤，2n ≥，221=(32)(3(1)(1)2)64nn S S n n n n n ---------=-1n =，110S a ==（思考：其实，在2n ≥部分，上一题中的2213(3(1)(1))n n n a S S n n n n -=-=-----这一题中的22132(3(1)(1)2)n n n a S S n n n n -=-=-------恰好常数项约掉了，所以即使这题中的n S 不是等差数列的n S ，在2n ≥部分也可按上题的方法求得） 例题3. 已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，且2331n n A n B n +=-，则?n na b = 解析：由④，n A 和n B 的前n 项和应该是无常数项的二次函数，所以，可以这样理解22233n n A n nB n n+=-，因为要求的n na b ，要的是比值，与,n n a b 分别是多少没有关系，所以令2223,3n n A n n B n n =+=-，那么由例题2（2）可以口算求得41,64n n a n b n =+=-考点2：判断数列增减性例题4.（2013辽宁理4文4）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题1:p 数列{}n a 是递增数列 2:p 数列{}n na 是递增数列3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列 上述命题中真命题的个数是几个？ 解析：★★判断数列增加性的方法：1.从通项公式，函数的角度分析，增函数，即为递增数列，减函数，即为递减数列2.从递推公式的角度分析，10n na a +->，即为增函数，反之，减函数1p ，由③，0d >函数是个增函数，正确2p ，1(1)n n b na na n n d ==+-，111(1)(1)(1)n n b n a n a n nd ++=+=+++11+2n n b b a nd +-=，由于0d >，所以增减性取决于1a ，因此不能确定 3p ，解答思路同2p ，增减性也取决于1a ，因此不能确定4p ，11(1)3(41)n b a n d nd a n d =+-+=+-，11(4(1)1)n b a n d +=++-1(4(1)1(41))40n n b b n n d d +-=+---=> 递增数列，正确考点3：数列的最值问题例题5.（2012年浙江理7）设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误的是？ A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意的n N ∈*，均有0n S >D ．若对任意的n N ∈*，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列 解析：★★思路1：从函数的角度分析数列的增加性和最值A.数列{}n S ，把12,S S ……看成数列的每一项，可以把n S 看成一个函数，数列{}n S 有最大项，即函数n S 有最大值，由④，n S 是一个二次函数，二次项系数为2d，所以，0d <，开口向下，有最大值，正确 B ．同理A ，有最大项，即开口向下，正确C ．n S 为递增数列，即函数n S 在1n ≥上是增函数，所以开口向上。
而且，由④，n S 的常数项为0，所以(0)0f =，横过(0,0)。
开口向上，横过原点的函数，在1n ≥上，一定是恒正的，正确。
D ．同C ，正确※※正确答案，本题错误的应该为C 选项，虽然n S 过零点，但是有可能对称轴并不在负半轴，而在(0,1)之间，这样的话，1S 是负的，后面依旧是单调递增的。
三、等差数列性质1．n a 之间的性质（等差中项）※反映了等差数列的对称性1122n n n n n p n p m n p qm n p qa a a a a a a a a a -+-++=+=+⇒=+−−−−−→+=+若2．n a 和n S 之间的性质=S ⨯奇数项数中项 例：12345152433()()5a a a a a a a a a a a ++++=++++= =2S ⨯偶数中间两项的和项数3．n S 之间的性质232,,n n n n n S S S S S --……成等差数列例：36396,,S S S S S --成等差数列，（3123S a a a =++，63456S S a a a -=++，96789S S a a a -=++，对应项的差是相等的，147258369,,;,,;,,a a a a a a a a a ）已知34S =，610S =，求9?S = （注意，并不是914S =，是36396,,S S S S S --成等差数列，不是369,,S S S 成等差数列）3639694,6818S S S S S S =-=⇒-=⇒=例题6. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当?n =时，{}n a 的前n 项和最大 解析：★★思路2：对于满足单调性的数列若12,p a a a …是正的，12,p p a a ++…是负的，则p S 最大若12,p a a a …是负的，12,p p a a ++…是正的，则p S 最小789880300a a a a a ++>⇒>⇒> 87108990000a a a a a a >+<⇒+<−−−→< 8n ∴=时，取最大值等比数列一、等比数列等差数列等比数列递推公式1 1()n n a a d +=++1()n n a qa +=⨯注意：0q ≠等比数列的任意一项非零通项公式211(1)()n a a n d dn a d =+-=+-1111n nn a a a q q q-+=⨯=⨯ 前n 项和n S 3 1(1)2n n n S na d -=+11(1)(1)1(1)n n a q q S q q na⎧-≠⎪=-⎨=⎪⎩注：1.等差数列和等比数列是类似的，只是等差数列中加的关系在等比数列中变成了乘的关系，使得很多性质发生了变化2.等差数列的通项公式可以看成是一次函数，类似的等比数列的通项公式可以看做是指数函数。
等差数列是由一次项系数d 的正负可以决定函数的单调性，而且是线性的增加或者减少，但是等比数列的的变化趋势受很多因素的影响：（记①）1）1a 的正负：若0q >且1q ≠，作为指数函数，前面系数的正负决定了函数的增加性当1q >时，10a >增，10a <减 反之，当01q <<时，10a <增，10a >减 2）q 的正负：决定了数列是波动的，还是有单调性的若0q >，则可按照1）判断，若0q <，则数列是一正一负的，在x 轴的上下波动123）q 与1的大小关系：当1q <时，函数图像不断接近x 轴，收敛；当1q >，函数图像不断远离x 轴，发散3等比数列的求和公式要注意两点: 1） 求和公式是一个分段函数2） 等比数列的求和公式推导原理：错位相减12311211231n nn n n nS a a a a a qa qa qa qS qa qa qa qa qa --=++++=++++=+++++后面两个式子相减得到11111(1)(1)1n n n n n a q q S a qa a q q a S q---=-+=-+⋅⇒=-例题1.{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的不充分不必要条件 解析：由①，取决于1a 的正负 成等差数列成等比数列2232,,n n n n nS S S S S --成等比数列解释： 12n n S a a a =+++ 2122n n n n n S S a a a ++-=+++ 3221223n n n n n S S a a a ++-=+++对应的项的比值为nq ，所以各项的和比值也是nq例题2.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比?q =解析：24352040a a q q q a a +=⎧⎪↑↑↑⎨⎪+=⎩ 2q ∴=不必用通项公式把每一项都带进去，我们看到项数之间的关系，3a 比2a 大一，5a 比4a 大一，也就是说对应项的比值为q ，那么40就应该是20的q 倍所以说，这一章包括等比数列的概念，递推公式通项公式求和公式，还有等比数列的性质，一定要记住的是等比数列这里是怎么讲的，不光要记住这些性质，我们是通过等差数列和等比数列的类比来完成这件事情的。