新人教版高中数学《基本不等式》导学案

基本不等式

1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.

2.能够利用基本不等式求最大(小)值.

3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.

下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边

长分别为a,b,那么正方形的边长为√a2+b2.

问题1:上述情境中,正方形的面积为,4个直角三角形的面积的和,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形的面积,于是就可以得到一个不等式:,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有,当且仅当时,等号成立.

我们也可以通过作差法来证明:- =(a-b)2≥0, 所以,当且仅当a=b时取等号.

问题2:基本不等式

若a,b∈(0,+∞),则a+b

√ab,当且仅当时,等号成立.

2

问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.

(1)基本不等式的几何解释:

在直角三角形中,直角三角形斜边上的斜边上

的.在圆中,半径不小于半弦长.

看作正数a、b的,√ab看作正数a、b

(2)如果把a+b

2

的,那么该定理可以叙述为:两个正数的不小于它们的.

为a、b的,称√ab为a、b

(3)在数学中,我们称a+b

2

的.因此,两个正数的不小于它们的.

问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:

(1)已知x ,y ∈(0,+∞),若积x ·y=p (定值),则和x+y 有最 值 ,当且仅当x=y 时,取“=”.

(2)已知x ,y ∈(0,+∞),若和x+y=s (定值),则积x ·y 有最 值 ,当且仅当x=y 时,取“=”.

即“积为常数, ;和为常数, ”. 概括为:一正二定三相等四最值.

利用基本不等式求最值

(1)已知x>5

4,求函数y=4x-2+

14x-5

的最小值.

(2)已知正数a ,b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围.

利用基本不等式证明不等式

已知x 、y 都是正数,求证:(x+y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.

单调性与基本不等式 设函数f (x )=x+

a x+1

,x ∈[0,+∞).

(1)当a=2时,求函数f (x )的最小值; (2)当0

若函数f (x )=x+1

x-2(x>2)在x=a 处取最小值,则实数a 的值为( ).

A .1+√2

B .1+√3

C .3

D .4

参考答案 知识体系梳理

问题1:a 2+b 2 2ab a 2+b 2≥2ab a 2+b 2≥2ab a=b a 2+b 2 2ab a 2+b 2≥2ab 问题2:≥ a=b

问题3:(1)中线不小于 高 (2)等差中项 等比中项 等差中项 等比中项 (3)算术平均数 几何平均数 算术平均数 几何平均数

问题4:(1)小 2√p (2)大 s 24

和有最小值 积有最大值

重点难点探究

探究一:【解析】(1)∵x>5

4,∴4x-5>0,

∴y=4x-5+1

4x-5+3.

∵4x-5+1

4x-5≥2√(4x-5)·1

4x-5=2, 当且仅当4x-5=1

4x-5,即x=3

2时,等号成立.

∴y ≥2+3=5.

故当x=3

2时,函数y=4x-2+1

4x-5取得最小值5.

(2)∵ab-3=a+b ≥2√ab ,∴ab-2√ab -3≥0且ab>0,即(√ab -1)2≥4,∴√ab ≥3,即ab ≥9(当且仅当a=b 时取等号),

∴ab 的取值范围是[9,+∞).

【小结】使用基本不等式时要注意“一正二定三相等”. 探究二:【解析】∵x ,y 都是正数,

∴x 2>0,y 2>0,x 3>0,y 3>0.

∵x+y ≥2√xy >0,x 2+y 2≥2√x 2y 2>0,x 3+y 3≥2√x 3y 3>0, ∴(x+y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥2√xy ·2√x 2y 2·2√x 3y 3=8x 3y 3,

即(x+y )(x 2+y 2)(x 3+y 3)≥8x 3y 3.当且仅当“x=y ”时取“=”.

【小结】多次利用基本不等式证明时,一定要注意是否每次都能保证等号成立,并且取等号的条件应当一致.

探究三:【解析】(1)把a=2代入f (x )=x+a x+1中,得f (x )=x+2x+1=x+1+2

x+1-1.

由于x ∈[0,+∞),所以x+1>0,2

x+1>0,

所以f (x )≥2√2-1,当且仅当x+1=2

x+1,即x=√2-1时,f (x )取得最小值2√2-1.

(2)因为f (x )=x+a x+1=x+1+a

x+1-1.

当且仅当x+1=a

x+1时,等式成立,即x=√a -1<0, 又x ∈[0,+∞),所以基本不等式等号取不到. 设x 1>x 2≥0,则f (x 1)-f (x 2)=x 1+a

x 1

+1

-x 2-a

x 2

+1

=(x 1-x 2)·[1-a

(x 1+1)(x 2+1)

].

由于x 1>x 2≥0,所以x 1-x 2>0,x 1+1>1,x 2+1≥1,所以(x 1+1)(x 2+1)>1,而0

所以a

(x

1+1)(x 2+1)

<1,

所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以f (x )在[0,+∞)上单调递增. 所以f (x )min =f (0)=a.

【小结】本题第(2)问要从函数的单调性或结合双勾函数来考虑,因为基本不等式等号取不到,这是用基本不等式经常碰到的问题. 全新视角拓展

【解析】∵x>2,∴f (x )=x+1

x-2=(x-2)+1

x-2+2≥2√(x-2)·1

x-2+2=4,当且仅当x-2=1

x-2,即x=3时取等号.∴a=3.

【答案】C