人教A版选修4-5 4.2用数学归纳法证明不等式举例 学案

4.2 用数学归纳法证明不等式举例

学习目标

1.理解数学归纳法证明不等式的基本思路．

2．会用数学归纳法证明贝努利不等式：(1＋x )n

>1＋nx (x >－1，x ≠0，n 为大于1的自然数)． 3．了解n 为实数时贝努利不等式也成立. 一、自学释疑

根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究 思考探究

在应用贝努利不等式时应注意什么？

名师点拨：

1.对贝努利(Bernoulli)不等式的理解 当指数n 推广到任意实数α时，x >－1时， ①若0<α<1，则(1＋x )α

≤1＋αx . ②若α<0或α>1，则(1＋x )α

≥1＋αx . 当且仅当x ＝0时等号成立．

2．贝努利不等式的应用

贝努利不等式：如果x 是实数，且x >－1，x ≠0，n 为大于1的自然数，那么有(1＋x )n

>1＋nx . 推论：当x 是实数，且x >－1，x ≠0，n 为不小于2的正整数时，有⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－x 1＋x n

>1－nx

1＋x .

3．数学归纳法与其他方法的联系

数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与正整数有关的不等式，其他证明不等式的方法运用比较广泛，但在具体应用时，各自又有具体的要求，如反证法，必须有严格的格式(以否定结论入手，推出矛盾)，分析法也有独特的表达格式，而数学归纳法必须分两步且在第二步中，要从假设出发推证n ＝k ＋1命题正确时，也经常用到综合法、分析法、比较法、放缩法等．

4．用数学归纳法证明不等式时常用技巧

用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，要注意初始值n 0的定位，要弄清楚n ＝k 和

n ＝k ＋1时的结论是什么，要有目标意识，紧盯n ＝k ＋1时的目标，对n ＝k ＋1时的结论进行

一系列的变化，变化的目标就是n ＝k ＋1时的结论形式，这种变化就是“凑假设，奔结论”．常用放缩法做辅助手段．

【例1】 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n >56

(n ≥2，n ∈N )．

【变式训练1】 用数学归纳法证明： 1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1

n (n ≥2，n ∈N )．

【例2】 求证：当n ≥1(n ∈N )时，(1＋2＋…＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1

3＋…＋1n ≥n 2.

【变式训练2】 求证：1＋12＋13＋…＋1n ≥2n

n ＋1(n ∈N ＋)

【例3】 已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145. (1)求数列{b n }的通项公式b n ；

(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a ⎝

⎛⎭

⎪⎫1＋1b n ，(其中a >0，且a ≠1)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，试

比较S n 与1

3

log a b n ＋1的大小，并证明你的结论．

【变式训练3】 在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，

b n ＋1成等比数列(n ∈N ＋)

(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：

1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n <5

12

.

参考答案

提示 在应用贝努利不等式时要注意应用条件x >－1，且x ≠0.

【例1】 【分析】 本题由n ＝k 到n ＝k ＋1时的推证过程中，n ＝k 时，首项是

1

k ＋1

，尾项是13k ，分母是从k ＋1开始的连续正整数，因而当n ＝k ＋1时，首项应为1k ＋2，尾项是13k ＋1，与n ＝k 时比较，13k 后面增加13k ＋1，13k ＋2，13k ＋3共三项，而不只是增加

1

3k ＋1

一项，且还减少了一项

1k ＋1

. 【证明】 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760>5

6，不等式成立．

(2)假设n ＝k (k ≥2，n ∈N)时，不等式成立， 即

1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56

， 则当n ＝k ＋1时，

1k ＋1＋1＋1k ＋1＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＝1k ＋1＋

1

k ＋2

＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

3k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1

>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1

>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋3＋13k ＋3＋13k ＋3－1k ＋1

＝56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33

k ＋1－1k ＋1＝5

6

. ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．

由(1)(2)，知原不等式对一切n ≥2的自然数都成立．

【变式训练1】证明 (1)当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝3

2，

∴不等式成立．

(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N)时命题成立，即 1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1

k ， 则n ＝k ＋1时，

1＋122＋132＋…＋1k 2＋1k ＋1

2

<2－1k

＋1

k ＋1

2

<2－1k ＋1

k

k ＋1

＝2－1k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1

＝2－

1

k ＋1

，不等式成立． 由(1)(2)知原不等式在n ≥2(n ∈N)时均成立．

【例2】【分析】 本例中不等式左边是两项的积，而且含有等号，第一步需验证n ＝1和n ＝2时不等式成立，第二步推n ＝k ＋1时，为了凑出(k ＋1)2

，要恰当的放缩．

【证明】 (1)当n ＝1时，左边＝1×1＝1＝右边，不等式成立．

当n ＝2时，左边＝(1＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝92

>22

，不等式也成立．

(2)假设n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即(1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ≥k 2

.

则当n ＝k ＋1时，有

左边＝[(1＋2＋…＋k )＋(k ＋1)]⎣⎢⎡⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1

2＋…＋1k ＋1k ＋1

＝(1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋(1＋2＋…＋k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k ＋1

≥k 2

＋k 2＋1＋(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1k .

∵当k ≥2时，

1＋12＋…＋1k ≥1＋12＝3

2

，(*) ∴左边≥k 2

＋k 2＋1＋32

(k ＋1)

＝k 2＋2k ＋1＋32

>(k ＋1)2

.

这就是说当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)知，当n ≥1时，原不等式成立．

【变式训练2】证明 (1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×1

1＋1＝1，

左边＝右边．

当n ＝2时，左边＝32，右边＝43，∵32>4

3

，

∴左边>右边，∴当n ＝1或n ＝2时，不等式成立．