(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列(二)

2019-2020年高考数学压轴题集锦——数列（二）

1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，

*

23()n n S a n n =-∈N ． （1）证明数列{}3n a +是等比数列，求出数列{}n a 的通项公式． （2）设21

(3)3

n n n b a -=

+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． （3）数列{}n b 中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

2.设数列{}

n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n n S a =，

则称{

}n a 是“H 数列”．

（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n =∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”．

（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值．

3.已知点

(,)()n n a n ∈N *

在函数()22f x x =--的图象上，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且n T 是6n S 与8n 的等差中项．

（1）求数列{}n b 的通项公式．

（2）设83n n c b n =++，数列{}n d 满足11d c =，()n n l d c n d +∈=N *

．求数列{}n d 的前n 项和

n D ．

（3）在（2）的条件下，设()g x 是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数1x ，2x ，恒有121221()()()g x x x g x x g x =+成立，且(2)g a =（a 为常数，0a ≠），试判断数列121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭

是否为等差数列，并说明理由．

4.已知等比数列{}n a 的公比1q >，11a =，且1a ，3a ，214a +成等差数列，数列{}n b 满

足：

1122(1)31n n n a b a b a b n +++=-⋅+L ，*n ∈N ．

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式．

（Ⅱ）若8n n ma b -≥恒成立，求实数m 的最小值．

5.已知每项均为正整数的数列1:A a ，2a ，3a ，4a ，L ，n a ，其中等于i 的项有k 个(1,2,3)i =L ，设12(1,2,3)j j b k k k j =+++=L L ，12()(1,2,3)m g m b b b nm m =+++-=L L ．

（1）设数列:1A ，2，1，4，求(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，(5)g ． （2）若数列A 满足12100n a a a n +++-=L ，求函数()g m 的最小值．

6.已知数列

{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列．

（Ⅰ）证明：当01q <<时，{}n a 是递减数列．

（Ⅱ）若对任意*k ∈N ，都有k a ，2k a +，1k a +成等差数列，求q 的值．

7.已知数列{a n }满足a n =2a n-1-2n +5，（n ∈N 且n ≥2），a 1=1，

（I ）若b n =a n -2n +1，求证数列{b n }（n ∈N *）是常数列，并求{a n }的通项；

（II ）若S n 是数列{a n }的前n 项和，又c n =（-1）n S n ，且{C n }的前n 项和T n ＞tn 2在n ∈N *时恒成立，求实数t 的取值范围。

8.已知数列{},{}n n a b ，2

111(,0),(),.1n n n n n

a R a a a n N

b a λλλ+=∈>=+∈=+ （Ⅰ）记12n n P b b b =⋅⋅⋅L ，求n P 的取值范围； （Ⅱ）记12n n S b b b =+++L ，问：1

n n P S λ

+是否为定值？如果是，请证明，如果不

是，请说明理由。

9.数列{a n }满足：a 1=2，当n ∈N *，n ＞1时，a 2+a 3+…+a n =4（a n ﹣1﹣1）． （Ⅰ）求a 2，a 3，并证明，数列{a n +1﹣2a n }为常数列；

（Ⅱ）设c n =

5

)1(21

++n

n a a ，若对任意n ∈N *，2a ＜c 1+c 2+…+c n ＜10a 恒成立，求实数a

的取值范围．

10.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2

*122n n S a n N ⎛

⎫=+∈ ⎪⎝

⎭.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1

22

1n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 前n 项和n T 的值.

11.已知数列{}n a 的满足a 1=1，前n 项的和为n S ，且112

41

n n n n n a a a a S ++-=-（*n N ∈）．

（1）求2a 的值； （2）设1n

n n n

a b a a +=

-，证明：数列{}n b 是等差数列；

（3）设n b

n a c n ⋅=2，若21≤≤λ，求对所有的正整数n 都有n c k <+-2322λλ成立

的k 的取值范围．

12.已知数列{}n x 满足11x =

，13n x +=+，求证： （I ）09n x <<； （II ）1n n x x +<；

（III ）1

2983n n x -⎛⎫

≥-⋅ ⎪⎝⎭

.