中考数学圆与相似综合题汇编含答案

由
，解得
，
∴ C（ ， ）．
∴ OC=
=8，
BC=
=10
（2）解：①当
时，△ OPQ∽ △ OCB，
∴
，
∴ t= ．
②当
时，△ OPQ∽ △ OBC，
∴
，
∴ t=1，
综上所述，t 的值为 或 1s 时，△ OPQ 与△ OBC 相似
（3）解：如图作 PH⊥OC 于 H．
∵ OC=8，BC=6，OB=10， ∴ OC2+BC2=OB2 ， ∴ ∠ OCB=90°， ∴ 当∠ PCH=∠ CBQ 时，PC⊥BQ． ∵ ∠ PHO=∠ BCO=90°， ∴ PH∥ BC，
（1）当 t=2 时，求△ PBQ 的面积； （2）当 t= 时，试说明△ DPQ 是直角三角形； （3）当运动 3s 时，P 点停止运动，Q 点以原速立即向 B 点返回，在返回的过程中，DP 是 否能平分∠ ADQ？若能，求出点 Q 运动的时间；若不能，请说明理由. 【答案】 （1）解：当 t=2 时，AP=t=2，BQ=2t=4， ∴ BP=AB-AP=4， ∴ △ PBQ 的面积= ×4×4=8；
=________.
（4）是否存在时刻 ，使得
若存在，求出 的值；若不存在,请说明理由.
【答案】（1） （2）解：如图 1，过点 P 作 PH⊥BC 于点 H，
∴ ∠ PHB=∠ PHQ=90°， ∵ ∠ C=90°，AD∥ BC， ∴ ∠ CDP=90°， ∴ 四边形 PHCD 是矩形， ∴ PH=CD=3，HC=PD=2t， ∵ CQ=t，BC=4， ∴ HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，
（1）直接写出点 C 坐标及 OC、BC 长； （2）连接 PQ，若△ OPQ 与△ OBC 相似，求 t 的值； （3）连接 CP、BQ，若 CP⊥BQ，直接写出点 P 坐标．
【答案】（1）解：对于直线 y=﹣ x+ ，令 x=0，得到 y= ，
∴ A（0， ）， 令 y=0，则 x=10， ∴ B（10，0），
OC 的长，就可得出点 A 的坐标，利用待定系数法就可求出 a 的值。
（2）过 B 作 BE⊥x 轴于 E，过 A 作 AG⊥BE，交 BE 延长线于点 G，交 y 轴于 F，根据平行
线分线段成比例证出 AF=4FG，根据点 A 的横坐标为﹣4，求出点 B 的横坐标为 1，则 A（-
4 ， 16a ） ， B （ 1 ， a ） ， 再 根 据 已 知 证 明 ∠ BOE=∠ DAO ， ∠ ADO=∠ OEB ， 就 可 证 明
∵ ∠ BCD=∠ MCD=90°， ∴ BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2 ， ∵ BM2=(BC+CM)2=(4+t)2 ，
∴ 由 BM2=BD2+DM2 可得：
，解得：
，
∴当
时，∠ BDM=90°，
即当
时，PQ⊥BD.
【解析】【解答】解：（1）由题意可得 BQ=BC-CQ=4-t，点 P 到 BC 的距离=CD=3，
∴ S△ PBQ= BQ×3=
；
（ 3 ）解：如图 2，过点 P 作 PM⊥BC 交 CB 的延长线于点 M，
∴ ∠ PMC=∠ C=90°， ∵ AD∥ BC， ∴ ∠ D=90°，△ OAP∽ △ OBQ，
∴ 四边形 PMCD 是矩形，
，
∴ PM=CD=3，CM=PD=2t，
∵ AD=6，BC=4，CQ=t，
（2）以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分 PQ=BQ、BP=BQ、PB=PQ 三
种情况，在 Rt△ PMQ 中根据勾股定理，就得到一个关于 t 的方程，就可以求出 t。
（3）根据相似三角形对应边比例可列式求出 t，从而根据正切的定义求出值；
（4）首先假设存在，然后根据相似三角形对应边成比例求证。 5．如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 开始以 1cm/s 的速度沿 AB 边向点 B 运动，点 Q 从点 B 以 2cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动，如果 P、Q 同时出发， 设运动时间为 ts，
中考数学圆与相似综合题汇编含答案
一、相似
1．如图，在□ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 是 AD 上的点，且 AE=EF=FD.
连结 BE、BF。使它们分别与 AO 相交于点 G、H （1）求 EG ：BG 的值 （2）求证：AG=OG （3）设 AG =a ,GH =b，HO =c，求 a : b : c 的值 【答案】（1）解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
3．已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax2（a＞0）相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D．
（1）若∠ AOB=60°，AB∥ x 轴，AB=2，求 a 的值； （2）若∠ AOB=90°，点 A 的横坐标为﹣4，ABiblioteka Baidu=4BC，求点 B 的坐标； （3）延长 AD、BO 相交于点 E，求证：DE=CO．
∴ = = =，
∴ = ，即 AH= AC． ∵ AC=4AG，
∴ a=AG= AC，
b=AH﹣AG= AC﹣ AC= AC， c=AO﹣AH= AC﹣ AC= AC， ∴ a：b：c= ： ： =5：3：2 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 AO= AC，AD=BC，AD∥ BC，从而可证 得△ AEG∽ △ CBG，得出对应边成比例，由 AE=EF=FD 可得 BC=3AE，就可证得 GB=3EG，即 可求出 EG：BG 的值。 （2）根据相似三角形的性质可得 GC=3AG，就可证得 AC=4AG，从而可得 AO=2AG，即可证 得结论。 （3）根据平行可证得三角形相似，再根据相似三角形的性质可得 AG= AC，AH= AC，结合 AO= AC，即可得到用含 AC 的代数式分别表示出 a、b、c，就可得到 a：b：c 的值。
∴ PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,
∴
，解得：
，
∴ MQ=
，
又∵ PM=3，∠ PMQ=90°，
∴ tan∠ BPQ=
；
【分析】（1）点 P 作 PM⊥BC，垂足为 M，则四边形 PDCM 为矩形，根据梯形的面积公式
就可以利用 t 表示，就得到 s 与 t 之间的函数关系式。
2．如图，在平面直角坐标系中，直线 y=﹣ x+ 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、A，与直线 y= 相交于点 C．动点 P 从 O 出发在 x 轴上以每秒 5 个单位长度的速度向 B 匀速运动，点 Q 从 C 出发在 OC 上以每秒 4 个单位长度的速度，向 O 匀速运动，运动时间为 t 秒（0＜t＜ 2）．
△ ADO∽ △ OEB，得出对应边成比例，建立关于 a 的方程求解，再根据点 B 在第一象限，
确定点 B 的坐标即可。
（3）根据（2）可知 A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍，则设 B（m，am2），则 A（-mn，
am2n2），得出 AD 的长，再证明△ BOF∽ △ EOD，△ BCO∽ △ BAE，得对应边成比例，证得
∴
，
∴
，
∴ PH=3t，OH=4t，
∴ tan∠ PCH=tan∠ CBQ，
∴
，
∴ t= 或 0（舍弃），
∴ t= s 时，PC⊥BQ． 【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴交点的坐标特点求出 A,B 点的坐标，解联立直线 AB,与直线 OC 的解析式组成的方程组，求出 C 点的坐标，根据两点间的距离公式即可直接 算出 OC,OB 的长； （2）根据速度乘以时间表示出 OP=5t，CQ=4t，OQ=8-4t，①当 OP∶ OC=OQ∶ OB 时， △ OPQ∽ △ OCB，根据比例式列出方程，求解得出 t 的值；②当 OP∶ OB=OQ∶ OC 时， △ OPQ∽ △ OBC，根据比例式列出方程，求解得出 t 的值，综上所述即可得出 t 的值； （ 3 ）如 图作 PH⊥OC 于 H ．根 据勾 股定 理 的逆 定 理判 断出 ∠ OCB=90°， 从 而得 出当 ∠ PCH=∠ CBQ 时，PC⊥BQ．根据同位角相等二直线平行得出 PH∥ BC，根据平行线分线段 成比例定理得出 OP∶ OB=PH∶ BC=OH∶ OC,根据比例式得出 PH=3t，OH=4t，根据等角的同 名三角函数值相等及正切函数的定义，由 tan∠ PCH=tan∠ CBQ，列出方程，求解得出 t 的 值，经检验即可得出答案。
【答案】 （1）解：如图 1，
∵ 抛物线 y=ax2 的对称轴是 y 轴，且 AB∥ x 轴， ∴ A 与 B 是对称点，O 是抛物线的顶点， ∴ OA=OB， ∵ ∠ AOB=60°， ∴ △ AOB 是等边三角形， ∵ AB=2，AB⊥OC， ∴ AC=BC=1，∠ BOC=30°， ∴ OC= ， ∴ A（-1， ）， 把 A（-1， ）代入抛物线 y=ax2（a＞0）中得：a= ；
CO=am2n，就可证得 DE=CO。
4．如图，在四边形 ABCD 中，AD//BC，
，BC=4，DC=3，AD=6.动点 P 从点 D 出
发，沿射线 DA 的方向,在射线 DA 上以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出
发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P、Q 分别从点 D,C 同时出发,当
点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动.设运动的时间为 t(秒).
（1）设
的面积为 ，直接写出 与 之间的函数关系式是________（不写取值范
围）.
（2）当 B,P,Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时 的值.
（3）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2OA=OB 时，直接写出
（2）解：如图 2，过 B 作 BE⊥x 轴于 E，过 A 作 AG⊥BE，交 BE 延长线于点 G，交 y 轴于 F，
∵ CF∥ BG，
∴
，
∵ AC=4BC，
∴ =4， ∴ AF=4FG， ∵ A 的横坐标为-4， ∴ B 的横坐标为 1， ∴ A（-4，16a），B（1，a），
∵ ∠ AOB=90°， ∴ ∠ AOD+∠ BOE=90°， ∵ ∠ AOD+∠ DAO=90°， ∴ ∠ BOE=∠ DAO， ∵ ∠ ADO=∠ OEB=90°， ∴ △ ADO∽ △ OEB，
∴
，
∴
，
∴
，DE=am2n，
∴
，
∵ OC∥ AE，
∴ △ BCO∽ △ BAE，
∴
，
∴
，
∴ CO=
=am2n，
∴ DE=CO．
【解析】【分析】（1）抛物线 y=ax2 关于 y 轴对称，根据 AB∥ x 轴，得出 A 与 B 是对称
点，可知 AC=BC=1，由∠ AOB=60°，可证得△ AOB 是等边三角形，利用解直角三角形求出
∴ BQ2=
，BP2=
，PQ2=
，
由 BQ2=BP2 可得：
，解得：无解；
由 BQ2=PQ2 可得：
，解得：
；
由 BP2= PQ2 可得：
，解得：
或
，
∵当
时，BQ=4-4=0，不符合题意，
∴ 综上所述，
或
；
（3） （4）解：如图 3，过点 D 作 DM∥ PQ 交 BC 的延长线于点 M，
则当∠ BDM=90°时，PQ⊥BD，即当 BM2=DM2+BD2 时，PQ⊥BD， ∵ AD∥ BC，DM∥ PQ， ∴ 四边形 PQMD 是平行四边形， ∴ QM=PD=2t， ∵ QC=t, ∴ CM=QM-QC=t，
∴ AO= AC，AD=BC，AD∥ BC， ∴ △ AEG∽ △ CBG，
∴ ==． ∵ AE=EF=FD， ∴ BC=AD=3AE， ∴ GC=3AG，GB=3EG， ∴ EG：BG=1：3 （2）解：∵ GC=3AG（已证）， ∴ AC=4AG，
∴ AO= AC=2AG， ∴ GO=AO﹣AG=AG （3）解：∵ AE=EF=FD， ∴ BC=AD=3AE，AF=2AE． ∵ AD∥ BC， ∴ △ AFH∽ △ CBH，
∴
，
∴
，
∴ 16a2=4，
a=± ， ∵ a＞0，
∴ a= ；
∴ B（1， ）；
（3）解：如图 3，
设 AC=nBC， 由（2）同理可知：A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍， 则设 B（m，am2），则 A（-mn，am2n2）， ∴ AD=am2n2 ， 过 B 作 BF⊥x 轴于 F， ∴ DE∥ BF， ∴ △ BOF∽ △ EOD，