系统辨识 第7章 模型结构辨识
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16.800 17.649
按AIC准则n1=3、n2=2
4、AIC信息准则
(2) 有色噪声情况
系统模型 a(z1 ) y(k) b(z 1 ) u(k) c(z1 ) (k)
a( z 1 ) 1 a1 z 1 a n1 z n1 b( z 1 ) b0 b1 z 1 bn 2 z n 2 c( z 1 ) 1 c1 z 1 c n 3 z n 3
7.3 用残差平方和判定模型的阶次
3、残差平方和定阶
定阶原理
计算不同阶次n辨识结果的估计误差方差， 按估计误差方差最小或最显著变化原则来确定模 型阶次n
按估计误差方差最小定阶
F检验法 实际工程中采用F检验法
3、残差平方和定阶 1.按估计误差方差最小定阶
系统差分方程
向量形式
a(z1 ) y(k) b(z1 )u(k) ε(k)
N N 1 2 T ln 2 π lnσ e ( Y Φθ ) (Y Φθ) 2 2 2 2 σe
lnL( Y | θ) N 2 lnσ e const 2
由
lnL ˆ (Φ T Φ) 1 Φ T Y 0θ θ lnL 1 T 2 ˆ e ˆ ˆe 0 σ e 2 N σe
b( z 1 ) b0 b1 z 1 bn 2 z n 2
e(k)为服从正态分布的白噪声, 则似然函数为：
1 2 N / 2 T ˆ L(Y | θ) (2 πσσ e ) exp (Y Φ θ) (Y Φ θ) 2 2 σ e
lnL
i 1 i 0 i 1
n1
n2
n3
计算不同n1、n2、n3时的AIC值，取最小的AIC值对应的
n1、n2、n3值为系统的阶次。
5、零点--极点消去检验
定阶原理：
a( z 1 ) y(k ) b( z 1 )u(k ) (k )
则系统的闭环脉冲传函G(z)为：
G( z) b( z 1 ) a( z 1 )
Y Φθ ε
ˆ (ΦT Φ) 1 ΦT Y θ
LS估计 残差
指标函数
ˆ(k ) y(k ) y ˆ (k ) e
ˆ 2 (k ) Jn e
k n 1 n N
依次计算n=1,2,3,· · · 时的指标函数Jn，并将其绘制成曲线。
3、残差平方和定阶
定阶原则：则随着n增大，J值是下降的。若n0为正确的阶次，
选取不同的阶数n1、n2，按上式计算AIC值，其中最小 AIC对应的n1、n2值即为系统的阶次
n1, n2 1 2 3 4
1
2 3 4
1022.94
280.046 25.864 15.931
341.766
51.085 14.070 15.108
97.353
30.393 15.599 16.218
23.380
第 7章 模型结构辨识
模型结构的判断问题
系统辨识中重要的一环
单输入-单输出系统
模型阶次
延迟时间
多输入-多输出系统
ห้องสมุดไป่ตู้
各种结构参数（状态模型的结构不变量）
1、模型结构的确定 1、纯滞后时间的确定
u(k)
B d z A
y(k)
y(k ) a1 y(k 1) ... an y(k n) b1u(k d 1) ... bn u(k d n)
N--输入输出数据的组数； J1—模型阶次n1时的损失函数； J2—模型阶次n2时的损失函数 当N足够大是，t服从F(f1,f2)分布 自由度 f1 2(n2 n1 ), f 2 N 2n2
3、残差平方和定阶
J 1 J 2 N 2n2 t (n1 , n2 ) J2 2(n2 n1 )
纯滞后时间一般式可事先已知的 阶跃响应曲线 计算输入与输出信号的互相关函数
比较不同纯滞后时间的损失函数
先辨识模型参数，再用F检验u(k)前面几项的零参数
1、模型结构的确定 2、模型阶次n的确定： (1)按残差方差定阶 (2) AIC准则定阶 (3)按残差白色定阶 (4)零点-极点消去检验定阶 (5)利用行列式比定阶 (6)利用Hankel矩阵定阶
式中 L--是模型的似然函数； P--是模型中的参数个数。 定阶原则：AIC最小值所对应的n即为系统阶次。 含义：使L最大时的最小的n值为模型阶次
4、AIC信息准则 2.AIC计算公式
(1) 白噪声情况 系统模型
a(z1 ) y(k) b(z 1 ) u(k) e(k) a( z 1 ) 1 a1 z 1 an1 z n1
令置信度
, 0.05 N 100,200,300,1000
F (2,100) 3.09 F (2,200) 3.04,
由F分布表查得
F (2,300) 3.03 F (2,1000) 3.00 F (2, ) 3.00
在置信度
0.05
下，当N>100时，若模型阶次增
弱噪声情况
解决方法
行列式检测法
对于每个不同的l值，计算出汉格尔矩阵的行列式的平均值
H (l , k )的平均值 Dl H (l 1, k )的平均值
Dl
画出Dl和l的关系图
l n0
Dl为最大时的l值是系统模型的合适阶次
2、 Hankel矩阵定阶
问题 当噪声较大时，上图中的尖峰很难看出来
ε(k)为服从正态分布的白噪声, 经推导可得：
2 ˆ AIC N ln 2(n1 n2 n3)
1 ˆ 式中： N
2
2 ˆ (k ) k 1
N
ˆ u (k i ) c ˆ (k ) y (k ) a ˆ i y (k i ) b ˆiˆ(k i) i
强噪声情况
解决方法
根据脉冲响应序列，求自相关序列的估计值
N 1 Rh ( ) hk hk , 0,1,2,.... N 1 k 0 Rh ( ) , 0,1,2,.... 自相关系数 h ( ) Rh (0)
以自相关系数作为汉格尔矩阵的元素，确定矩阵的秩
此时J值所在的点是曲线上最大的拐点，此后J值基本不变化或
变化很小。
依上述原则，上述曲线模型阶次为3
3、残差平方和定阶 2.F检验法
实际工程应用时，在定阶过程中，并不是取Jn最小时n值， 作为系统模型的阶次，而是对在n增大过程中，使Jn显著 减小的n值感兴趣。 引入统计量t作为检验的准则
J 1 J 2 N 2n2 t (n1 , n2 ) J2 2(n2 n1 )
n J 1 592.65 2 469.64 3 447.25 4 426.40 5 418.73 6 416.56
t
50.94
9.67
9.43
3.15
0.99
依F检验法，系统模型阶次为3。
7.3
AIC信息准则(赤池，akaike)
4、AIC信息准则 1.AIC定阶原则
AIC准则定义为：
AIC 2lnL 2p
如果实际系统的阶数为n0 ,则当 n n0 时， G(z)中必有零极点可对消。 此时，通过计算多项式 a( z 1 )和b( z 1 ) 的根， 就可判定阶次的合理性。
推论：当
2、 Hankel矩阵定阶
无噪声情况（扰动=0）
定理(1964年Lee)： 若l大于系统的阶次n，则汉格尔矩阵的秩等于 系统的阶次n。
推论：
当l=n+1时，汉格尔矩阵的行列式为0 对于每个k值以及不同的l值，计算汉格尔矩 阵的行列式，可以判定模型的阶次n
2、 Hankel矩阵定阶
问题 由于数据受到噪声的污染，当l=n+1时，行 列式的值并不会等于零
4、AIC信息准则
由
N 2 lnL( Y | θ ) lnσ e const 2 p n 1 n2 2
2 ˆe AIC 2lnL 2p N lnσ 2(n1 n2) C
取
2 ˆe AIC N lnσ 2(n1 n2)
7.2 用Hankel矩阵确定模型阶次
2、Hankel矩阵定阶
根据脉冲响应的采样值来判定模型的阶次
扰动 脉冲 系统 输出 h0 , h1 ,...,hN
汉格尔（Hankel）矩阵
hk h H (l , k ) k 1 ... hk l 1 hk 1 hk 2 ... hk l hk 2 hk 3 ... hk l 1 hk l 1 ... hk l ... ... ... hk 2l 2 ll ...
加1，则t至少大于3，J值的下降才明显。
3、残差平方和定阶
方法 1. 试探模型阶次n逐次的从n=1,2,…对模型参 数做出估计
2. 计算 J 1 , J 2 ,... t1 , t 2 ,...
3. 若 t (n0 1, n0 ) 3.00, t (n0 , n0 1) 3.00
则表示模型阶次从n0增加到n0+1，J减小已不明显
按AIC准则n1=3、n2=2
4、AIC信息准则
(2) 有色噪声情况
系统模型 a(z1 ) y(k) b(z 1 ) u(k) c(z1 ) (k)
a( z 1 ) 1 a1 z 1 a n1 z n1 b( z 1 ) b0 b1 z 1 bn 2 z n 2 c( z 1 ) 1 c1 z 1 c n 3 z n 3
7.3 用残差平方和判定模型的阶次
3、残差平方和定阶
定阶原理
计算不同阶次n辨识结果的估计误差方差， 按估计误差方差最小或最显著变化原则来确定模 型阶次n
按估计误差方差最小定阶
F检验法 实际工程中采用F检验法
3、残差平方和定阶 1.按估计误差方差最小定阶
系统差分方程
向量形式
a(z1 ) y(k) b(z1 )u(k) ε(k)
N N 1 2 T ln 2 π lnσ e ( Y Φθ ) (Y Φθ) 2 2 2 2 σe
lnL( Y | θ) N 2 lnσ e const 2
由
lnL ˆ (Φ T Φ) 1 Φ T Y 0θ θ lnL 1 T 2 ˆ e ˆ ˆe 0 σ e 2 N σe
b( z 1 ) b0 b1 z 1 bn 2 z n 2
e(k)为服从正态分布的白噪声, 则似然函数为：
1 2 N / 2 T ˆ L(Y | θ) (2 πσσ e ) exp (Y Φ θ) (Y Φ θ) 2 2 σ e
lnL
i 1 i 0 i 1
n1
n2
n3
计算不同n1、n2、n3时的AIC值，取最小的AIC值对应的
n1、n2、n3值为系统的阶次。
5、零点--极点消去检验
定阶原理：
a( z 1 ) y(k ) b( z 1 )u(k ) (k )
则系统的闭环脉冲传函G(z)为：
G( z) b( z 1 ) a( z 1 )
Y Φθ ε
ˆ (ΦT Φ) 1 ΦT Y θ
LS估计 残差
指标函数
ˆ(k ) y(k ) y ˆ (k ) e
ˆ 2 (k ) Jn e
k n 1 n N
依次计算n=1,2,3,· · · 时的指标函数Jn，并将其绘制成曲线。
3、残差平方和定阶
定阶原则：则随着n增大，J值是下降的。若n0为正确的阶次，
选取不同的阶数n1、n2，按上式计算AIC值，其中最小 AIC对应的n1、n2值即为系统的阶次
n1, n2 1 2 3 4
1
2 3 4
1022.94
280.046 25.864 15.931
341.766
51.085 14.070 15.108
97.353
30.393 15.599 16.218
23.380
第 7章 模型结构辨识
模型结构的判断问题
系统辨识中重要的一环
单输入-单输出系统
模型阶次
延迟时间
多输入-多输出系统
ห้องสมุดไป่ตู้
各种结构参数（状态模型的结构不变量）
1、模型结构的确定 1、纯滞后时间的确定
u(k)
B d z A
y(k)
y(k ) a1 y(k 1) ... an y(k n) b1u(k d 1) ... bn u(k d n)
N--输入输出数据的组数； J1—模型阶次n1时的损失函数； J2—模型阶次n2时的损失函数 当N足够大是，t服从F(f1,f2)分布 自由度 f1 2(n2 n1 ), f 2 N 2n2
3、残差平方和定阶
J 1 J 2 N 2n2 t (n1 , n2 ) J2 2(n2 n1 )
纯滞后时间一般式可事先已知的 阶跃响应曲线 计算输入与输出信号的互相关函数
比较不同纯滞后时间的损失函数
先辨识模型参数，再用F检验u(k)前面几项的零参数
1、模型结构的确定 2、模型阶次n的确定： (1)按残差方差定阶 (2) AIC准则定阶 (3)按残差白色定阶 (4)零点-极点消去检验定阶 (5)利用行列式比定阶 (6)利用Hankel矩阵定阶
式中 L--是模型的似然函数； P--是模型中的参数个数。 定阶原则：AIC最小值所对应的n即为系统阶次。 含义：使L最大时的最小的n值为模型阶次
4、AIC信息准则 2.AIC计算公式
(1) 白噪声情况 系统模型
a(z1 ) y(k) b(z 1 ) u(k) e(k) a( z 1 ) 1 a1 z 1 an1 z n1
令置信度
, 0.05 N 100,200,300,1000
F (2,100) 3.09 F (2,200) 3.04,
由F分布表查得
F (2,300) 3.03 F (2,1000) 3.00 F (2, ) 3.00
在置信度
0.05
下，当N>100时，若模型阶次增
弱噪声情况
解决方法
行列式检测法
对于每个不同的l值，计算出汉格尔矩阵的行列式的平均值
H (l , k )的平均值 Dl H (l 1, k )的平均值
Dl
画出Dl和l的关系图
l n0
Dl为最大时的l值是系统模型的合适阶次
2、 Hankel矩阵定阶
问题 当噪声较大时，上图中的尖峰很难看出来
ε(k)为服从正态分布的白噪声, 经推导可得：
2 ˆ AIC N ln 2(n1 n2 n3)
1 ˆ 式中： N
2
2 ˆ (k ) k 1
N
ˆ u (k i ) c ˆ (k ) y (k ) a ˆ i y (k i ) b ˆiˆ(k i) i
强噪声情况
解决方法
根据脉冲响应序列，求自相关序列的估计值
N 1 Rh ( ) hk hk , 0,1,2,.... N 1 k 0 Rh ( ) , 0,1,2,.... 自相关系数 h ( ) Rh (0)
以自相关系数作为汉格尔矩阵的元素，确定矩阵的秩
此时J值所在的点是曲线上最大的拐点，此后J值基本不变化或
变化很小。
依上述原则，上述曲线模型阶次为3
3、残差平方和定阶 2.F检验法
实际工程应用时，在定阶过程中，并不是取Jn最小时n值， 作为系统模型的阶次，而是对在n增大过程中，使Jn显著 减小的n值感兴趣。 引入统计量t作为检验的准则
J 1 J 2 N 2n2 t (n1 , n2 ) J2 2(n2 n1 )
n J 1 592.65 2 469.64 3 447.25 4 426.40 5 418.73 6 416.56
t
50.94
9.67
9.43
3.15
0.99
依F检验法，系统模型阶次为3。
7.3
AIC信息准则(赤池，akaike)
4、AIC信息准则 1.AIC定阶原则
AIC准则定义为：
AIC 2lnL 2p
如果实际系统的阶数为n0 ,则当 n n0 时， G(z)中必有零极点可对消。 此时，通过计算多项式 a( z 1 )和b( z 1 ) 的根， 就可判定阶次的合理性。
推论：当
2、 Hankel矩阵定阶
无噪声情况（扰动=0）
定理(1964年Lee)： 若l大于系统的阶次n，则汉格尔矩阵的秩等于 系统的阶次n。
推论：
当l=n+1时，汉格尔矩阵的行列式为0 对于每个k值以及不同的l值，计算汉格尔矩 阵的行列式，可以判定模型的阶次n
2、 Hankel矩阵定阶
问题 由于数据受到噪声的污染，当l=n+1时，行 列式的值并不会等于零
4、AIC信息准则
由
N 2 lnL( Y | θ ) lnσ e const 2 p n 1 n2 2
2 ˆe AIC 2lnL 2p N lnσ 2(n1 n2) C
取
2 ˆe AIC N lnσ 2(n1 n2)
7.2 用Hankel矩阵确定模型阶次
2、Hankel矩阵定阶
根据脉冲响应的采样值来判定模型的阶次
扰动 脉冲 系统 输出 h0 , h1 ,...,hN
汉格尔（Hankel）矩阵
hk h H (l , k ) k 1 ... hk l 1 hk 1 hk 2 ... hk l hk 2 hk 3 ... hk l 1 hk l 1 ... hk l ... ... ... hk 2l 2 ll ...
加1，则t至少大于3，J值的下降才明显。
3、残差平方和定阶
方法 1. 试探模型阶次n逐次的从n=1,2,…对模型参 数做出估计
2. 计算 J 1 , J 2 ,... t1 , t 2 ,...
3. 若 t (n0 1, n0 ) 3.00, t (n0 , n0 1) 3.00
则表示模型阶次从n0增加到n0+1，J减小已不明显