求行列式的方法

浅谈求行列式的方法
【摘要】
行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。

本文归纳行列式的各种计算方法，通过这一方法可以提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。

【关键词】
行列式，范德蒙行列式，数学归纳法，递推法。

引言
行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。

本文主要探讨行列式的计算方法以及它的简单应用。

而行列式的计算方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，给出了计算行列式的常用方法。

1．定义法：
根据行列式的定义，直接求其值。

例： 计算D=
h
g
f e d c b a
000000
分析：根据定义，D 是一个4！=24项的代数和，而每一项是取自不同的行不同的列。

因而，在这个行列式里，除了acfh ，adeh ，bdeg ，bcfg ，与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。

其中第一个和第三个是偶排列，第二个是奇排列。

因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg 。

注意：在应用定义法求非零元素的乘积项时，不一定从第一行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。

2．性质法：
例：已知1998，2196，2394，1800均能被18整除，证明：四阶行列式D=
0814********
991能被18整除。

分析：根据行列式的性质（行列式的某行（列）的倍数相应的加到另一行（列），行列式不
变，因此，D 可变形为
1800
081239493221969121998
991 即：D=18
100
081133932122912111
991 其中（根据一个行列
式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

因而，D 能被18整除。

3．三角化法：
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角行列式。

这是计算行列式的基本方法之一。

例： 求D=
3
111131111311
113的值。

分析：通过观察，每行所含元素相同，可以根据行列式的性质——行列式的某行（列）相应
的倍数加到另一行（列），行列式不变。

也就是说，D 变为
3
116131611361
116，再根据行列式的
性质（一个行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

则，D=6
3
111131111311
111，然后把它化成上三角形行列式，D=6
2
000020000201
111，显然，D=48。

注意：原则上，每个行列式都可以利用行列式的性质为上（下）三角形行列式，在一般情况下，计算往往较繁。

因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

4．按行（列）展开法（降阶法）
降阶法是根据行列式D 等于它的任意一行（列）的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和。

例： 计算D=
x
y
y x y x y x
000000
分析：由于每行所含的零元素比较多，我们可以通过降阶来减化计算。

（按第列展开）
则：D=x x y x
y x
00
0－y y
x
y x y 0
00
0=4x －4y
注意：一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较
多的零元素时，它才能发挥真正的作用。

因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，在按该行（列）展去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。

5．递推法：
应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示具有相同的较低阶行列式（比如，n －1阶与n －2阶等）的线性关系，这种关系式称为递推关系式。

根据递推关系式及某个低阶初始行列式）的值，变可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

例：n 阶行列式为
2
1
```
12```000``````````````````0
0```2100
```
1
2
1
00```012
分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零。

这种行列式称为“三对角”行列式。

从行列式的左下方
则：根据降阶法，可知 n D =22
1
```
12```00
```````````````00```2100```12－2
1
```
12````00````````````
```0
0```2
10
0```01=21-n D －2-n D ，从而，n D －1-n D =1-n D －2-n D =2-n D －3-n D =…=2D —1D =1，也就是n D =n+1。

注意：递推法的实质是降阶。

这是由1-n D 和2-n D 表示n D 的递推关系式。

虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同结构，然后得到一个递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行是话，就要适当地换递推关系式。

6．范德蒙行列式
形如D=
111
13
12
1
122
12322212
21
23
22
211
3
2
1
`````````
``````
```
```
````````11```111--------------n n
n n n n n n n n n n n n n
n n
n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =
∏
≤≤-n
j i j i
x x 1）
（ 分析：此行列式的特点是第一行的元素均为1，其余各行对应元素的幂底数相同，从第二行
起幂指数依次是1，2，3，…，n-1
例： D=
514
729125864
81
25
4
89521111
7．数学归纳法：
一般是利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。

例： 证明β
ααββ
αβααββ
ααββ
α+++++=
1
0000
010001
000
n D 分析：利用数学归纳法可知：当n=1时，β
αβαβα--=+=2
21D ，结论成立。

假设当n=k
时。

结
论
成
立。

则
当
n=k+1
时。

()β
αβαβαβααββαβαβααββα--=---⋅+=-+=++++-+1
1111
1k k k k k k K K K D D D ——）（
即：结论成立。

充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。

还有乘积法、对称法、辅助法定义法、拉普拉斯展开法等，行列式的计算方法之间不是相互独立，而是相互联系的，，一个行列式可能有几种解法，这就要求我们在掌握了行列式的解法之后，灵活运用，找到一种最简便的方法，使复杂问题简单化，有时几种方法结合着用效果更好。

行列式也有一些简单的应用，例如：应用行列式解线性方程组，非奇异矩阵的判别等。

参考文献：
1、 李师正等 《高等代数复习解题方法与技巧》 高等教育出版社 2005
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5、 许甫华 张贤科 《高等代数解题方法》 清华大学出版社 2001 6 李永乐 《研究生入学考试线性代数》 北京大学出版社 2000 7、 张敬和等 《数学二考研题典丛书》 东北大学出版社 2004.3 8、 张永曙 《考研·数学应试强化辅导与解题指南》 西北工业大学出版社 1999.5。