求行列式的方法

浅谈求行列式的方法

【摘要】

行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。本文归纳行列式的各种计算方法，通过这一方法可以提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。 【关键词】

行列式，范德蒙行列式，数学归纳法，递推法。 引言

行列式起源于1757年马拉普斯研究解含两个和三个未知量的线性方程组而创建的，然而它的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具。本文主要探讨行列式的计算方法以及它的简单应用。而行列式的计算方法并不是唯一的，本文主要针对行列式的特点，应用行列式的性质，给出了计算行列式的常用方法。

1．定义法：

根据行列式的定义，直接求其值。

例： 计算D=

h

g

f e d c b a

000000

分析：根据定义，D 是一个4！=24项的代数和，而每一项是取自不同的行不同的列。因而，在这个行列式里，除了acfh ，adeh ，bdeg ，bcfg ，与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个是奇排列。因此D=acfh-adeh+bdeg-bcfg 。 注意：在应用定义法求非零元素的乘积项时，不一定从第一行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。

2．性质法：

例：已知1998，2196，2394，1800均能被18整除，证明：四阶行列式D=

0814********

991能被18整除。

分析：根据行列式的性质（行列式的某行（列）的倍数相应的加到另一行（列），行列式不

变，因此，D 可变形为

1800

081239493221969121998

991 即：D=18

100

081133932122912111

991 其中（根据一个行列

式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 因而，D 能被18整除。 3．三角化法：

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角行列式。这是计算行列式的基本方法之一。

例： 求D=

3

111131111311

113的值。

分析：通过观察，每行所含元素相同，可以根据行列式的性质——行列式的某行（列）相应

的倍数加到另一行（列），行列式不变。也就是说，D 变为

3

116131611361

116，再根据行列式的

性质（一个行列式的某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。

则，D=6

3

111131111311

111，然后把它化成上三角形行列式，D=6

2

000020000201

111，显然，D=48。

注意：原则上，每个行列式都可以利用行列式的性质为上（下）三角形行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

4．按行（列）展开法（降阶法）

降阶法是根据行列式D 等于它的任意一行（列）的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积的和。

例： 计算D=

x

y

y x y x y x

000000

分析：由于每行所含的零元素比较多，我们可以通过降阶来减化计算。（按第列展开）

则：D=x x y x

y x

00

0－y y

x

y x y 0

00

0=4x －4y

注意：一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较

多的零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，在按该行（列）展去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。 5．递推法：

应用行列式的性质，把一个n 阶行列式表示具有相同的较低阶行列式（比如，n －1阶与n －2阶等）的线性关系，这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式）的值，变可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

例：n 阶行列式为

2

1

```

12```000``````````````````0

0```2100

```

1

2

1

00```012

分析：此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零。这种行列式称为“三对角”行列式。从行列式的左下方

则：根据降阶法，可知 n D =22

1

```

12```00

```````````````00```2100```12－2

1

```

12````00````````````

```0

0```2

10

0```01=21-n D －2-n D ，从而，n D －1-n D =1-n D －2-n D =2-n D －3-n D =…=2D —1D =1，也就是n D =n+1。

注意：递推法的实质是降阶。这是由1-n D 和2-n D 表示n D 的递推关系式。虽然我们从一个行列式中可以看出有低阶的相同结构，然后得到一个递推关系式，但我们不要盲目乱代，一定要看清这个递推关系式是否可以简化我们的计算，如果不行是话，就要适当地换递推关系式。

6．范德蒙行列式

形如D=

111

13

12

1

122

12322212

21

23

22

211

3

2

1

`````````

``````

```

```

````````11```111--------------n n

n n n n n n n n n n n n n

n n

n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =

∏

≤≤-n

j i j i

x x 1）

（ 分析：此行列式的特点是第一行的元素均为1，其余各行对应元素的幂底数相同，从第二行

起幂指数依次是1，2，3，…，n-1

例： D=

514

729125864

81

25

4

89521111

7．数学归纳法：

一般是利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。