随机变量的数字特征(答案)

概率论与数理统计练习题

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第四章 随机变量的数字特征（一）

一、选择题：

1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ]

（A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数

2．设X 的概率密度为910()9

00

x

e

x f x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩

，则1

()9

E X -

= [ C ] （A ）919x x e dx +∞-∞⋅⎰ （B ）91

9x

x e dx +∞-∞

-⋅⎰ （C ）1- （D ）1

3．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若2

3

ξη-=，则()E η= [ D ]

（A ）()E ξ （B ）()3E ξ （C ）()2E ξ- （D ）()2

33

E ξ- 二、填空题：

1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则()E X =

2．设X

为正态分布的随机变量，概率密度为2

(1)

8()x f x +-=，则2(21)E X -= 9

3．设随机变量X 的概率分布

，则2(3)E X X += 116/15

4．设随机变量X 的密度函数为||

1()()2

x f x e x -=

-∞<<+∞，则()E X = 0 三、计算题：

1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求()E X

解：X 的可能取值为3，4，5

3511(3)10P X C ===， 23353(4)10C P X C === 2

4356

(5)10

C P X C ===

133

()345 4.510105

E X =⨯

+⨯+⨯=

2．设随机变量X 的密度函数为2(1)01

()0

x x f x -≤≤⎧=⎨

⎩其它，求()E X

解：1

1

()2(1)3

E X x x dx =⋅-=

⎰

3．设随机变量2

~(,)X N μσ，求(||)E X μ- 解：

222

()22

|||

x y x x dx y y e

dy μσ

μ

μσ

---

∞

∞

-

-∞

-∞

--=

⎰

令

2

2

y ye

dy ∞

-

=

=

4．设随机变量X 的密度函数为0

()0

x

e x

f x x -⎧≥=⎨

<⎩，试求下列随机变量的数学期望。 （1） 21X

Y e -= （2）2max{,2}Y X = （3）3min{,2}Y X =

解：（1）201

3

x x E Y e e dx +∞

--=⋅=

⎰

() （2）2

20

2

()2x

x E Y e dx xe dx +∞--=

+⎰

⎰

2

222232e

e e ---=-+=+

（3）2

30

2

()2x x E Y xe dx e dx +∞--=

+⎰

⎰

2

221321e e e ---=-+=-

概率论与数理统计练习题

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第四章 随机变量的数字特征（二）

一、选择题：

1．已知()1,()3E X D X =-=，则2

[3(2)]E X -= [ B ]

（A ）9 （B ）6 （C ）30 （D ）36

2．设~(,)X B n p ，则有 [ D ] （A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4(1)1D X np p -=-+ （C ）(21)41E X np +=+ （D ）(21)4(1)D X np p -=-

3．设ξ服从参数为λ的泊松分布，23ηξ=-，则 [ D ] （A ）()23()23E D ηληλ=-=- （B ）()2()2E D ηλ

ηλ==

（C ）()23()43E D ηληλ=-=- （D ）()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：

1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则 ()D X = 2．设随机变量X 的密度函数为||

1()()2

x f x e x -=

-∞<<+∞，则()D X = 2 3．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则

2

()

[()]D X E X = 1/3

4．设正态分布Y 2

(3)y

--，则()D X = 1/2

三、计算题：

1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为 , , .02，求：21Y X =-的期望与方差；

解：()10.320.530.2 1.9E X =⨯+⨯+⨯=

222()()()10.340.590.2(1.9)0.49D X E X EX =-=⨯+⨯+⨯-=

()2()1 2.8E Y E X =-= ()4() 1.96D Y D X ==

2．设随机变量~(0,1)X N ，试求||E x 、||D X 、3

()E X 与4

()E X