随机变量的数字特征(答案)
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征
（完整版）概率论习题答案随机变量的数字特征第3章随机变量的数字特征1，在下列句⼦中随机地取⼀单词，以X 表⽰取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求)(X E .“They found Peking greatly changed ”解：根据题意，有1/5的可能性取到5个单词中的任意⼀个。
它们的字母数分别为4，5，6，7，7。
所以分布律为5/29)77654(51)(=++++=X E .2，在上述句⼦的29个字母中随机地取⼀个字母，以Y 表⽰取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并求)(Y E 。
解：５个单词字母数还是４，５，６，７，７。
这时，字母数更多的单词更有可能被取到。
分布律为29/175)147665544(291)(=?+?+?+?=Y E .3，在⼀批12台电视机中有2台是次品，若在其中随即地取3台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望。
解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为1163123100==C C p ， 229312210121==C C C p ， 221312110222==C C C p 。
所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=?+?+?=E 。
4，抛⼀颗骰⼦，若得6点则可抛第⼆次，此时得分为6+（第⼆次所抛的点数），否则得分就是第⼀次所抛的点数，不能再抛。
求所得分数的分布律，并求得分的数学期望。
解：根据题意，有1/6的概率得分超过6，⽽且得分为7的概率为两个1/6的乘积（第⼀次6点，第2次1点），其余类似；有5/6的概率得分⼩于6。
分布律为得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=++++++++++=E 。
5，（1）已知)(~X λπ，}6{}5{===X P X P ，求)(X E 。
（2）设随机变量X 的分布律为Λ,4,3,2,1,6}{22--===k k k X P π，问X 的数学期望是否存在？解：（1）根据)(~X λπ，可得}6{!6!5}5{65=====--X P e e X P λλλλ，因此计算得到6=λ，即)6(~X π。
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第四章随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=22Y X -=，则34） A C 5A 6、)1=（C ） A ．34?B ．37C ．323?D ．326 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ．-13?B ．15C ．19?D ．238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ）A ．6?B ．22C ．30?D ．469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ．31?B ．1C ．310?D ．1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A.E （X ）=1?B.D （X ）=3?C.P （X=1）=0?D.P （X<1）=0.511A ．C ．12、XY ρ=（D 13x =(B)A ．14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为则)(XY E =（B ）A ．91-?B ．0 C ．91?D ．3117、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}22εσεμn n X P ≥<-?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ．{}221εσεμn X P -≤≥-?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91?B ．31C ．98?D ．124、设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A25A 1234且5x =710 67、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =948、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=0 9、设随机变量序列 ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ- 10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2,则E?(?Y?)=-0.5 121314、3=，则cov(X 1516大于1724}=0.6826 附：18、-0.5，19的期望E?(Y)=4,D?(Y?)=9,又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P XP ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y。
考研数学三(随机变量的数字特征)模拟试卷5(题后含答案及解析)
考研数学三（随机变量的数字特征）模拟试卷5(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若随机变量X与Y满足且D(X)=2，则cob(X，Y)=( )A．1．B．2．C．－1．D．-2．正确答案：C解析：由于注意到cov(X，X)=DX，cov(X，1)=0，从而知识模块：随机变量的数字特征2．设随机变量X和Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max(X，Y)，V=min(X，Y)，则E(UV)=( )A．EU·EVB．EX·EYC．EU·EY．D．EX·EV正确答案：B解析：【解法1】应选(B)．如果X>Y，则U=X，V=Y；如果X≤Y，则U=Y，V=X，从而E(UV)=E(XY)．由于X和Y相互独立，所以E(UV)=E(XY)=XE·EY 【解法2】所以知识模块：随机变量的数字特征3．设(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是( )A．E(X)=E(Y)．B．E(X2)－[E(X)]2=E(Y2)－[E(Y)]2．C．E(X2)=E(Y2)．D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2．正确答案：B解析：ξ=X+Y与η=X－Y不相关的充分必要条件是cov(ξ，η)=0，即cov(X+Y，X—Y)=cov(X，X)－cov(X、Y)+cov(Y，X)－cov(Y，Y)=DX—DY=0，从而DX=DY，又DX=E(X2)－(EX)2，DY=E(Y2)－(EY)2，从而应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征填空题4．设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0．5，则根据切比雪夫不等式，有P{|X—Y|≥6}≤____________．正确答案：解析：由已知，E(X)=E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=0．5，从而由切比雪夫不等式，知识模块：随机变量的数字特征5．在每次试验中，事件A发生的可能性是0．5，则1 000次独立试验中，事件A发生的次数在400次到600次之间的概率≥__________．正确答案：0．975．解析：设X表示事件A发生的次数，则X服从B(1 000，0．5)，E(X)=500，D(X)=250．P{400＜X＜600}=P{－100<X－500＜100} =P{|X－500|＜100}．由切比雪夫不等式，有[*] 知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
概率论~第三章习题参考答案与提示
第三章 习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
22．已知 X 、 Y 分别服从正态分布 N (0，32 ) 和 N (1，42 ) ，且 X 与Y 的相关系数 ρ XY = −1/ 2 ，设 Z = X / 3 + Y / 2 ，求：
（1）求数学期望 EZ ，方差 DZ ； （2）Y 与 Z 的相关系数 ρYZ ； 答案与提示：本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态 分布的性质。
X
Y
0
1
0
0.1
0.2
1
0.3
0.4
求：（1） EX ， EY ， DX ， DY ；
（2）( X ， Y )的协方差，相关系数，协方差阵，相关阵。
答案与提示： （1） EX = 0.7 ， DX = 0.21， EY = 0.6 ， DY = 0.24 。
（2） EXY = 0.4 ； Cov ( X ,Y ) = −0.02 ， ρXY = 0.089 ；
（1） X 的概率密度；
（2）Y = 1 − 2 X 的概率密度。
答案与提示：考查服从正态分布随机变量的概率密度的一般表达形式、参数的
几何意义及正态分布随机变量的性质。
（1） f (x) = 1 e−(x−1.7)2 /6 (−∞ < x < +∞) 6π
（2） f ( y) = 1 e−( y+2.4)2 / 24 2 6π
概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征习题解答
习题4-11、设随机变量X 服从参数为p 的01-分布，求()E X 。
解：据题意知，X 的分布律为根据期望的定义，得()0(1)1E X p p p =⋅-+⋅=。
2、袋中有n 张卡片，记有号码1,2,,n 。
现从中有放回地抽出k 张卡片，求号码之和X 的数学期望。
解：设i X 表示第i 次取到的卡片的号码（1,2,,i k =），则12k X X X X =+++。
因为是有放回地抽出卡片，所以i X 之间相互独立。
所以第i 次抽到号码为m 的卡片的概率为1{},(1,2,,;1,2,,)i P X m m n i k n====，即i X 的分布律为1{},(1,2,,)i P X m m n n===， 所以11()(12)2i n E X n n+=+++=， 所以，1(1)()()2k k n E X E X X +=++=。
注：求复杂随机变量期望时可先引入若干个简单的随机变量，再根据期望的性质即可。
3、某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。
每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求()E X 。
（设诸产品是否是次品是相互独立的。
）解：令Y 表示一次抽检的10件产品的次品数，据题意知，~(10,0.1)Y b ，00101191010{1}1{0}{1}10.10.90.10.90.2639p P Y P Y P Y C C =>=-=-==--=，因此，~(4,0.2639)X b ，从而()40.2639 1.0556E X np ==⋅=。
注：此题必须先求出一天中调整设备的概率。
即p 值。
4、据统计，一位60岁的健康（一般体检未发生病症）者，在5年内仍然活着或自杀身亡的概率为p （01p <<，p 为已知），在五年内非自杀身亡的概率为1p -。
保险公司开办5年人寿保险，条件是参保者需缴纳人寿保费a 元（a 已知），若5年内非自杀死亡，保险公司赔偿b 元（b a >）。
随机变量与数字特征练习题及答案
1 第8章 随机变量与数字特征一、填空题⒈ 设随机变量X 的概率分布为则a = . ⒉ 设X 服从区间[1，5]上的均匀分布，当5121<<<x x 时，}{21x X x P ≤≤= .⒊ 设),(~p n B X ，且6)(=X E ，6.3)(=X D ，则n = .4．设)10,5(~2N X ，若5.0)5(=<-a X P ，则a = .5. 设随机变量X 的期望方差分别为E X ()和D X ()，令Y aX b =+，则有E Y ()= ，D Y ()= .二、单项选择题⒈ 设X 是连续型随机变量，其密度函数为 ⎩⎨⎧∉∈=],1(0],1(ln )(b x b x x x f 则常数b =（ ）.A . eB . e + 1C . e - 1D . e 2⒉ 设)10,50(~2N X ，则随机变量（ ）~)1,0(N . A .10050-X B . 1050-X C . 50100-X D . 5010-X ⒊ 设),2(~2σN X ，已知4.0)42(=≤≤x P ，则=≤)0(x P （ ）. A . 0.4 B . 0.3 C . 0.2 D . 0.14. 已知X N ~(,)222，若aX b N +~(,)01，则有（ ）A . a b ==-22,B . a b =-=-21,C . a b ==-121, D . a b ==122, 5. 已知1)(-=X E ，3)(=X D ，则=-)]2(3[2X E （ ）. A . 30 B . 9 C . 6 D . 366. 设随机变量X 的密度函数为f x ()，则E X ()2=（ ）A .xf x x ()-∞+∞⎰d B . x f x x 2()-∞+∞⎰d C . xf x x 2()-∞+∞⎰d D . (())()x E X f x x --∞+∞⎰2d 三、解答题1．设随机变量X 的密度函数为f x x x ()()=-≤≤⎧⎨⎩311202其它， 求：⑴ P X (..)1525<<； ⑵ E X ().2．盒中装有分别标12345,,,,数字的球，从中任取2个，用X 表示所取2球中最大的数字. 求X 的概率分布.3．设)5.0,3(~2N X ，求)6.32(≤≤X P .已知9772.0)2(,8849.0)2.1(=Φ=Φ.4．在一次数学考试中，其分数服从均值为65，标准为10的正态分布，求分数在60~75的概率. (6915.0)5.0(=Φ，8413.0)1(=Φ)。
随机变量的数字特征历年真题数学
随机变量的数字特征历年真题数学一：1（87，2分）已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π则EX = ，DX = 。
2（89，6分） 设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。
3（90，2分） 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。
4（90，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0<X <1, |y |<x 内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量Z =2X +1的方差DZ 。
5（91，3分）设随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布，且=<=<<}0{,3.0}42{X P X P 则。
6（92，3分） 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则=+-)(2xe X E。
7（93，6分）设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=-x e x f x ,21)(|| （1） 求EX 和DX ；（2） 求X 与|X |的协方差，并问X 与|X |是否不相关？ （3） 问X 与|X |是否相互独立？为什么？ 8（94，6分）已知随机变量的相关系数与且，Y X N Y N X ),4,0(~)3,1(~2223,21Y X Z XY +=-=设ρ。
（1） 求EZ 和DZ ；（2） 求X 与Z 的相关系数;XZ ρ（3） 问X 与Z 是否相互独立？为什么？9（95，3分） 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则)(2X E =。
10（96，3分） 设和ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。
11（96，6分） 设和ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为).,min(),,max(3,2,1,31)(ηξηξξ=====Y X i i P 又设 （1） 写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律； （2） 求EX 。
随机变量的数字特征
第三章、随机变量的数字特征一、选择题：1．设随机变量X 的分布函数为40,1(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩，则EX= （ C ）A ．140x dx ⎰ B ．15014x dx ⎰ C ．1404x dx ⎰ D ．1401x dx xdx +∞+⎰⎰2．设X 是随机变量，0x 是任意实数，EX 是X 的数学期望，则 （ B ）A ．220()()E X x E X EX -=-B ．220()()E X x E X EX -≥-C ．220()()E X x E X EX -<-D ．20()0E X x -=3．已知~(,)X B n p ，且EX=2.4，EX=1.44，则参数,n p 的值为 （ B ）A ．n = 4，p = 0.6B ．n = 6，p = 0.4C ．n = 8，p = 0.3D ．n = 24，p = 0.14．设X 是随机变量，且EX a =，2EX b =，c 为常数，则D （CX ）=（ C ）A ．2()c a b -B ．2()c b a -C ．22()c a b -D ．22()c b a -5．设随机变量X 在[a ，b ]上服从均匀分布，且EX=3，DX=4/3，则参数a ，b 的值为 （ B ）A ．a = 0，b = 6B ．a = 1，b = 5C ．a = 2，b = 4D ．a = -3，b = 36．设ξ服从指数分布()e λ，且D ξ=0.25，则λ的值为 （ A ）A ．2B ．1/2C ．4D ．1/47．设随机变量ξ~N （0，1），η=2ξ+1 ，则 η~ （ A ）A ．N （1，4）B ．N （0，1）C ．N （1，1）D ．N （1，2）8．设随机变量X 的方 差DX =2σ，则()D aX b += （ D ）A ．2a b σ+B ．22a b σ+C ．2a σD ．22a σ9．若随机变量X 的数学期望EX 存在，则[()]E E EX = （ B ）A ．0B ．EXC ．2()EXD ．3()EX10．若随机变量X 的方差DX 存在，则[()]D D DX = （ A ）A ．0B ．DXC ．2()DXD ．3()DX11．设随机变量X 满足D （10X ）=10，则DX= （ A ）A ．0.1B ．1C ．10D ．10012．已知1X ，2X ，3X 都在[0，2]上服从均匀分布，则123(32)E X X X -+= （ D ）A ．1B ．2C ．3D ．413．若1X 与2X 都服从参数为1泊松分布P （1），则12()E X X += （ B ）A ．1B ．2C ．3D ．414．若随机变量X 的数学期望与方差均存在，则 ( B )A ．0EX ≥B ．0DX ≥C ．2()EX DX ≤D ．2()EX DX ≥15．若随机变量2~(2,2)X N ，则1()2D X = （ A ）A ．1B ．2C ．1/2D ．316．若X 与Y 独立，且DX=6，DY=3，则D(2X-Y ）= （ D ）A ．9B ．15C ．21D ．2717．设DX = 4，DY = 1，XY ρ= 0.6，则D(2X-2Y) = （ C ）A ．40B ．34C ．25.6D ．17.618．设X 与Y 分别表示抛掷一枚硬币n 次时，出现正面与出现反面的次数，则XY ρ为（ B ）A ．1B ．-1C ．0D ．无法确定19．如果X 与Y 满足D(X+Y) = D(X-Y), 则 （ B ）A ．X 与Y 独立B ．XY ρ= 0C ．DX-DY = 0D ．D X DY=020．若随机变量X 与Y 的相关数XY ρ=0，则下列选项错误的是 （ A ）A ．X 与Y 必独立B ．X 与Y 必不相关C ．E (XY ) = E(X) EYD ．D (X+Y ) = DX+DY二、填空题：1. 设X 表示10次独立重复射击命中的次数，每次射击命中目标的概率为0.4，则2EX = 18.4 .2. 若随机变量X ~ B （n, p ），已知EX = 1.6，DX = 1.28，则参数n = 8 ，P = 0.2 .3. 若随机变量X 服从参数为p 的“0—1”分布，且DX = 2/9，21,92DX EX =<，则EX = 1/3 .4. 若随机变量X 在区间 [a , b]服从均匀分布，EX = 3，DX = 1/3，则a = 2 ,b = 4 .5. 若随机变量X 的数学期望与方差分别为EX = 2，DX = 4，则2EX = 8 .6. 若随机变量X 服从参数为λ泊松分布 ~()X P λ，且EX = 1，则DX = 1 .7. 若随机变量X 服从参数为λ指数分布~()X e λ，且EX = 1，则DX = 1 .8. 若随机变量X 服从参数为2与2σ的正态分布2~(2,)X N σ，且P{2 < X < 4} = 0.3, 则P{X<0} = 0.2 .9. 若X 是一随机变量，EX = 1，DX = 1，则D （2X - 3）= 4 .10. 若X 是一随机变量，D （10X ）= 10，则DX = 0.1 .11. 若X 是一随机变量，2(1)2X E -= 2，1(1)22X D -=，则EX = 2或—2 . 12. 若随机变量X 服从参数为n 与p 的二项分布X ~ B （n, p ），EX = 2.4，DX = 1.44，则{1}p X < = .13. 若随机变量X 服从参数为2与22的正态分布X ~ 2(2,2)N ，则1()2D X = . 14. 若随机变量X 服从参数为2指数分布X ~e （2），则2()E X X += 1 .15. 若随机变量X 的概率密度为 2,01()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他，则EX = 2/3 ，DX = 1/18 . 16. 若随机变量X 的分布函数为300(),011,1y F x y y y <⎧⎪=<<⎨⎪>⎩， ，则EX = 3/4 .17. 若随机变量1X 与2X 都在区间 [0 ，2]上服从均匀分布，则12()E X X += 2 .18. 人的体重是随机变量X ，EX = a, DX = b, 10个人的平均重量记为Y ，则EY = a .19. 若X 与Y 独立，且DX = 6，DY = 3，则D （2X-Y ）= 21 .20. 若随机变量X 与Y 独立，则X 与Y 的相关系数为R （X ，Y ）= 0 。
【高等数学】概率论与数理统计-随机变量的数字特征专项试卷及答案解析
CA)P{Y=-2X-1} = 1.
+ (C)P{Y =-ZX 1} = 1.
(B)P{Y = 2X-1} = 1. (D)P{Y = 2X+l} = 1.
(5）将长度为lm的木棒随机地截成两段，则两；段长度的相关系数为
CA)l.
ω÷
(C） 一 ÷
CD) -1.
ω 已知随机变量 X,Y 均服从分布BCl,f），且仰 ＝ ÷，则P{X+Y ζl｝等于
P(B) + P(AB)
= 4P(AB) -2P(A) -2P(B）十1.
因此 E(XY) - EXEY = 4P(AB) -2P(A) - 2PCB) + 1 一 ［2P(A) -1][2PCB) - l]
= 4P(AB) - 4P(A)P(B),
所以X与Y不相关等价子 P(AB) = P(A)P(B） ，即 A,B 相互独立．
专 =1-d＝
（旧，Y均服从B(2，÷）分布
Cov(X,Y) E(XY)-EX • EY
ρXl' = ft5X" ./f5V =
� ./f5V
。XY
1
试验只重复2次， XY 的分布为 p
7 9
2 9
f f EX= EY= ,DX=DY= t,E(XY)= ,1.!iJ.pxy ＝ 一 ÷
【 i平注】 本题也可用对称性求解：
I I (3)£Y =
E[max(I
X
1,1)]
=
J IXl>l
Ix I
f(x)dx+ J
1
IXI运l
•
f(x)dx
＞. 士 = 2f
dx+
[1 1
概率论与数理统计教程第四版课后答案
2
j
j
i
j
i
j
6
连续型随机变量 ( X,Y),
DX = ∫
( x − EX )2 f X ( x )dx −∞
+∞
( x − EX )2 f ( x , y )dxdy , =∫ ∫ −∞ −∞
+∞ +∞
DY = ∫
( y − EY ) −∞
+∞
2
f Y ( y )dy
+∞ 2 −∞
=
∫ ∫ ( y − EY ) f ( x , y )dxdy .
D( X ) = E( X 2 ) − E 2 ( X ) = 0 .319
(X σX = D ) = 0 .565
13
3.3 对一目标射击，直至击中为止。如果每次射击命中率为 对一目标射击，直至击中为止。 p，求射击次数的数学期望和方差。 ，求射击次数的数学期望和方差。 解 设随机变量X表示射击次数， 服从几何分布。 设随机变量 表示射击次数， 则X 服从几何分布。 表示射击次数 P ( X = m ) = p(1 − p ) m −1 m = 1 , 2L ∞ ∞ 1 1 1 n−1 n−1 = p⋅ = p⋅ E(X) = = ∑npq = p∑nq 2 2 = (1−q) [1−(1− p)] p n=1 n=1 =1 ∞ ∞ 1+ q 2− p 2 n−1 2 n−1 2 n pq = p∑n q = p⋅ . E(X ) = ∑ 3 = 2 (1+q) p n=1 n=1
第三章 随机变量的数字特征小结
一、一维随机变量的数学期望
定义1 设X是一离散型随机变量，其分布列为： 定义 是一离散型随机变量，其分布列为： 是一离散型随机变量
随机变量的数字特征试题答案
第四章 随机变量的数字特征试题答案一、 选择（每小题2分）1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=0.5，D （X ）=0.5? B. E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=22、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D（Z ）=? （??C?） A. 1 ?B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. 0.04? C. 0.4? D. 44、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X -C ）=D （X ）5、设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=4,142,122,0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ）A ．31 ?B ． 21 C ．23?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)31,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ）A ． 34 ?B ． 37C ． 323 ?D ． 3267、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ）A ． -13 ?B ． 15C ． 19 ?D ． 238、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 469、设)31,10(~B X，则)(X E =（C ）A ． 31 ?B ． 1C ． 310 ?D ． 1010、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ）A. E （X ）=1?B. D （X ）=3?C. P （X=1）=0?D. P （X<1）=0.5 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ）A ．)(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y DC ．)(XD +)(Y D -2),cov(Y X ?D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)21,10(~B X，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数XY ρ=（D ）A ． -0.8 ?B ． -0.16C ． 0.16 ?D ． 0.8 13、已知随机变量X 的分布律为25.025.012p P xX i-，且E （X ）=1?，则常数x =( B)A ． 2 ?B ． 4C ． 6 ?D ． 814、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. -0.5 B. 0 C. 0.5 D. 215、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--otherx e x12，则X 的均值和方差分别为（?D ） A ．4)(,2)(==X D X E ?B ． 2)(,4)(==X D X E C ．21)(,41)(==X D X E ?D ．41)(,21)(==X D X E 16则)(XY E =（B ） A ．91- ?B ． 0 C ． 91 ?D ． 31 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A ． 2- ?B ． 0 C ．0.5 ?D 218、设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为2的指数分布，Y ～B(6，0.5)，则E(X-Y)=( A)A ．5.2- ?B ． 0.5 C ． 2 ?D ． 519、设二维随机变量(X ，Y)的协方差cov(X ，Y)=61，且D(X)=4，D(Y)=9，则X 与Y 的相关系数XYρ为（?B ） A ．2161 ?B ． 361 C ． 61 ?D ． 1 20、设随机变量X 与Y 相互独立，且X ～N?(0，9)，Y ～N?(0，1)，令Z=X-2Y ， 则D?(Z)=（D ） A ． 5 ?B ． 7 C ． 11 ?D 13 21、设(X ，Y)为二维随机变量，且D?(X)>0，D?(Y)>0，则下列等式成立的是（B ） A ． )()()(Y E X E XY E = ? B ．)()(),cov(Y D X D Y X XY ⋅=ρC ． )()()(YD X D Y X D +=+ ?D ． ),cov(2)2,2cov(Y X Y X =22、设n X X X ,,,21Λ是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ）A ． {}22εσεμn n X P ≥<- ?B ．{}221εσεμn X P -≥<-C ． {}221εσεμn X P -≤≥- ?D ．{}22εσεμn n X P ≤≥-23、设随机变量X 的μ=)(X E ，2)(σ=X D ，用切比雪夫不等式估计{}≥<-σ3)(X E X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 98?D ． 1 24、设随机变量 X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计{}≤≥-32X P （C ）A ．91 ?B ． 31 C ． 94 ?D 21 25、已知随机变量X ～N(0，1)，则随机变量Y=2X-1的方差为（D ） A ． 1 ?B ．2 C ．3 ?D4 二、填空（每小题2分） 1、设X~)21,4(B ，则)(2X E =5 2、设E （X ）=2，E （Y ）=3，E （XY ）=7，则cov （X ，Y ）=1 3、已知随机变量X 满足1)(-=X E ，2)(2=X E ，则)(X D =1 4、设随机变量X ，Y 的分布列分别为 且X ，Y 相互独立，则E （XY ）=2413-5、随机变量X 的所有可能取值为0和x ，且3.0}0{==X P ，1)(=X E ，则x =710 6、设随机变量X 的分布律为4.03.02.01.02101iP X -，则)(X D =17、设随机变量X 服从参数为3的指数分布，则)12(+X D =94 8、设二维随机变量);,;,(~),(222121ρσσμμN Y X ，且X 与Y 相互独立，则ρ=09、设随机变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 独立同分布，且μ=)(i X E ，0)(2>=σi X D ，Λ,2,1=i ，则对任意实数x ，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-∑=∞→x n n X P n i i n σμ1lim =)(1x Φ-10、设随机变量X 具有分布51}{==k XP ，5,4,3,2,1=k ，则)(X E =3 11、设随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y=3X -2, 则E?(?Y?)=-0.5 12、已知随机变量X 的分布律为2.03.05.0501iP X -，则)}({X E X P <=0.813、已知E （X ）= -1?，D （X ）=3,则)23(2-X E =1014、设1X ，2X ，Y 均为随机变量，已知1),cov(1-=Y X ，3),cov(2=Y X ，则),2cov(21Y X X +=515、设)1,0(~N X ，)21,16(~B Y，且X ，Y 相互独立，则)2(Y X D +=816、将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为0.0228 （附：Φ（2）=0.9772）17、设随机变量X?~?B （100，0.2），应用中心极限定理计算P{16?X ?24}=0.6826 附：Φ（1）=0.841318、设随机变量X ，Y 的期望和方差分别为E(X)=0.5，E(Y)=-0.5，D(X)=D(Y)=0.75，E(XY)=0，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 19、设随机变量X 的期望E?(X?)=2，方差D?(X?)=4，随机变量Y 的期望E?(Y)=4, D?(Y?)=9, 又E?(XY?)=10，则X ，Y 的相关系数XY ρ=31 20、设随机变量X 服从二项分布)31,3(B ，则)(2X E =35 三、计算：每小题5分1、某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾客数X 服从泊松分布，则)(~λP X ，若已知}2{}1{===X P X P ，且该柜台销售情况Y （千元），满足2212+=X Y 。
随机变量的数字特征
使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X ) 的分布，一般是比较复杂的 . 那么是否可以不先求g(X )的分布而只根据 X 的分布求得 E[g(X )] 呢？ 下面的基本公式指出，答案是肯定的.
20
类似引入上述EX 的推理，可得如下的基本公式: 设X 是一个随机变量，Y =g(X )，则
∞ 散 ∑g(xk ) pk , X离 型 EY = E[g( X )] = k=1 +∞ g(x) p(x)dx, X连 型 续 ∫−∞ 当X 为离散型时, P( X = xk ) = pk ;
−λ x
d(−λx) = −∫0 x de
+∞
−λ x
=
1
λ
18
∵ λ = 0.002
∴ EX = 500
小时。
三、随机变量函数的数学期望 问题的提出： 1. 问题的提出： 设已知随机变量X 的分布， 我们需要计算的不是X 的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X )也是随机变量， 故应有概率 分布，它的分布可以由已知的X 的分布求出来. 就可以按照期望的 一旦我们知道了g(X )的分布， 定义把 E[g(X )] 计算出来.
E( X2 ) =8×0.1+ 9×0.5+10×0.4 = 9.3
因此乙的平均环数比甲的多， 因此乙的平均环数比甲的多， 即乙射手比甲射手的成绩好。 即乙射手比甲射手的成绩好。
15
二、连续型随机变量的数学期望 定义2 定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为 p(x) . 如果 则称
∫
x p(x)dx 绝对收敛， 绝对收敛， −∞
n n
推广: E(∑Xi ) = ∑EXi
考研数学一(随机变量的数字特征)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学一（随机变量的数字特征）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)=EXEY，则X与YA．相关．B．不相关．C．独立．D．不独立．正确答案：B解析：因E(XY)=EXEY，故Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，X与Y不相关，应选(B)．知识模块：随机变量的数字特征2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1．B．0．C．D．1正确答案：A解析：依题意，Y=n—X，故ρXY=－1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y=aX+b，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=－1．知识模块：随机变量的数字特征3．对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是A．EXY=EXEY．B．Cov(X，Y)=0．C．DXY=DXDY．D．D(X+Y)=DX+DY．正确答案：C解析：由于Cov(X，Y)=EXY—EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是Coy(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价．于是，“X和Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价．故应选(C)．选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例．设X和Y同服从参数为p(0＜p＜1)的0-1分布且相互独立，从而X与Y不相关．易见DX=DY=p(1一p)；乘积XY服从参数为p2的0-1分布：P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=p2，p{ XY=0}=1一p2．因此DXY=P2(1一P2)≠P2(1一p)2=DXDY．知识模块：随机变量的数字特征4．假设随机变量x在区间[一1，1]上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX 的相关系数等于A．一1．B．0．C．0．5．D．1正确答案：A解析：注意到U=arcsinX和V=arccosX满足下列关系：arcsinX=－arccosX，即U=－V+，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ=－1．应选(A)．知识模块：随机变量的数字特征5．设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且方差σ2＞0，记的相关系数为A．一1．B．0．C．．D．1正确答案：B解析：由于Xi独立同分布，故DXi=σ2，D，Cov(X1，Xi)=0(i≠1)，故应选(B)．(注：容易计算D(X1一σ2．) 知识模块：随机变量的数字特征填空题6．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中概率为Pi(0＜Pi＜1，i=1，2)，则两射手均停止射击时脱靶(未命中)总数的数学期望为___________．正确答案：解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一1=未击中的次数．以Xi表示第i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi+1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi=k}=(1一Pi)kPi，i=1，2，且E(Xi+1)=，i=1，2，于是EXi=E(Xi+1)－1=－1，两射手脱靶总数X=X1+X2的期望为EX=EX1+EX2=一2．知识模块：随机变量的数字特征7．将长度为￡的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为___________．正确答案：解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且知识模块：随机变量的数字特征8．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X—1，则Y与Z的相关系数为___________．正确答案：0．9解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X一1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X一1)=4DX．Y 与Z的相关系数ρYZ为知识模块：随机变量的数字特征9．设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=___________．正确答案：6解析：DX=EX2一(EX)2=2，DY=2，Cov(X，y)=ρXY=1，E(X+Y)=EX+EY=0，E(X+Y)2=D(X+Y)+[E(X+Y)]2=D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=2+2+2=6．知识模块：随机变量的数字特征解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
离散型随机变量的数字特征有答案
高二数学离散型随机变量的数字特征1.随机变量X 的分布列为 则X 的均值为（ ） A.2 B.2.1C. 2.3D.随m 的变化而变化 答案：B2.已知离散型随机变量X 的概率分布列为 则其方差D (X )＝ A ．1 B ．0.6C ．2.44D ．2.4【答案】C【详解】解：∵分布列中出现的所有的概率之和等于1， ∴0.5＋m ＋0.2＝1解得m ＝0.3所以E （x ）＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4， 所以222D(x)(1 2.4)0.5(3 2.4)0.3(5 2.4)0.2 2.44=-⨯+-⨯+-⨯=． 故选：C ．3.已知随机变量,X Y 满足Y aX b =+，且,a b 为正数，若()2,()8D X D Y ==，则（ ）A ．2b =B ．4a =C ．2a =D ．4b =【答案】C【分析】根据题中条件，由方差的性质列出方程求解，即可得出结果. 【详解】由方差的性质可得，2()()()D Y D X b X a a D +==， 因为()2,()8D X D Y ==，所以282a =， 又a 为正数，所以2a =． 故选：C.A ．6B ．9C ．3D ．47.袋中有10个大小相同得小球，其中记为0号的有4个，记为n 号的有n 个（321，，=n ），现从袋中任取一球，X 表示所取到的球的标号，则)(X E 等于( ) A. 2 B.23 C. 54 D. 57答案：D解析：X 所有可能的取值是：0，1，2，352)0(==X P ,101)1(==X P ,51)2(==X P ,103)3(==X P 5710335121011520)(=⨯+⨯+⨯+⨯=∴X E8.已知随机变量X 的分布列如表所示，且．(1)求的值；(2)若，求的值； (3)若，求的值．【解题思路】（1）利用离散型随机变量的分布列的性质以及期望和方差的计算公式即可求解； （2）利用方差的性质求解即可； （3）利用方差的性质求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知，解得，又∵，解得．∴． （2）∵， ∴． （3）∵，∴． 9．在课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，每投进一次得2分，否则得0分．已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为，若前一次没有投进，则该次投进的概率为．X 0 1 x Pp(1)求甲3次投篮得4分的概率；(2)若乙3次投篮得分为，求的分布列和数学期望．【解题思路】（1）甲3次投篮得4分即2次中1次不中，根据每次中的概率即可求解；（2）由题意得，的所有可能取值为依次求出每种取值的概率，然后写出分布列，求出期望.【解答过程】（1）由题意得，甲3次投篮得4分即2次中1次不中，其概率．（2）由题意得，的所有可能取值为则，，，的分布列为0 2 4 6.。
第4章随机变量的数字特征
⎧ax + b, 0 ≤ x ≤ 1 2. 设随机变量 X 的密度函数 f ( x ) = ⎨ ，且 E ( X ) = 7 / 12 ，则（ 其它 ⎩ 0,
9. 二维随机向量 ( X , Y ) 满足 E ( XY ) = E ( X ) E (Y ) ，则（ (A) D ( XY ) = D ( X ) D (Y ) (C) X 与 Y 独立
） ．
(B) D ( X + Y ) = D ( X − Y ) (D) X 与 Y 不独立
） ．
10. 设 X ~ N(3,2),Y ~ U(2,8) ，且 X 与 Y 相 5 (C) 11 (D) 1
） ．
(A) -1 (B) 4 (C) 2 (D) 7 ． 4. 如果随机变量 X 存在二阶原点矩，则下列表达式正确的是（ ） (A) E ( X 2 ) < [ E ( X )] 2 (C) E ( X 2 ) ≥ E ( X ) (B) E ( X 2 ) ≥ [ E ( X )] 2 (D) E ( X 2 ) < E ( X )
Y=
1 n ∑ X i ，则（ n i =1
(A) Cov( X 1 , Y ) =
） ．
σ2
n
(B) Cov( X 1 , Y ) = σ 2
(C) D( X 1 + Y ) =
n+2 2 σ n
(D) D( X 1 − Y ) =
理学席第讲随机变量数字特征
若 g(xi , y j ) pij
i, j
期望存在，而且有
绝对收敛，则Z的数学
E(Z ) E[g( X,Y )] g(xi , y j ) pij
i, j
（2） 设二维连续型随机变量(X, Y)的联合 密度为 f (x, y), Z= g(X,Y)也是连续型随机变量
若
g( x, y) f ( x, y)dxdy
如果 xk pk 绝对收敛，则称它为X的数学期望 k 1
或均值，记为E(X), 即
E( X ) xk pk
k 1
若
xk pk 发散，则称X 的数学期望
k
不存在。
例2：已知X 的分布如下
X
100 200
P
0.01 0.99
求E(X) 解
E:( X ) 100 0.01 200 0.99
•
测量结•a•• •
甲仪器测量结果
•••• •a•• •••
乙仪器测量结果
••
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图：
• •
中•心 ••
•
•
•
••中•••心•• •••
••
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙炮
你认为哪门炮射击效果好一些呢?
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
为此需要引进另一个数字特征,用它 来度量随机变量取值在其中心附近的离 散程度.
这个数字特征就是我们下面要介绍的 方差
§4-2 方 差
一. 方差的概念
定义 设 随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 为 E(X), 若 E(XE(X))2存在, 则称它为X 的方差（此时，也称 X的方差存在），记为D(X)或Var(X),即
考研数学一-概率论与数理统计随机变量的数字特征(一)
考研数学一-概率论与数理统计随机变量的数字特征(一)(总分：88.01，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：28，分数：28.00)1.设随机变量X的二阶矩存在，则(A) EX2＜EX． (B) EX2≥EX．(C) EX2＜(EX)2． (D) EX2≥(EX)2．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由DX=EX2-(EX)2≥0，即知正确选项为(D)．选项(A)、(B)对某些随机变量可能成立，对某些随机变量可能不成立．例如X服从参数为λ的泊松分布，则EX=DX=λ，EX2=DX+(EX)2=λ+λ2＞λ=EX，选项(B)成立；如果X在(0，1)上服从均匀分布，则，，选项(A)成立．2.设X是随机变量，EX=μ，DX=σ2(σ＞0)，则对任意常数C，有(A) E(X-C)2=EX2-C2． (B) E(X-C)2=E(X-μ)2．(C) E(X-C)2＜E(X-μ)2． (D) E(X-C)2≥E(X-μ)2．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析]E(X-C)2≥E(X-μ)2，故选(D)．当然我们也可以通过计算来证明：E(X-X)2=E[(X-μ)+(μ-C)]2=E[(X-μ)2+2(μ-C)(X-μ)+(μ-C)2]=E(X-μ)2+2(μ-C)(EX-μ)+(μ-C)2=E(X-μ)2+(μ-C)2≥E(X-μ)2．3.设随机变量X的期望、方差都存在，则对任意常数C，有(A) E(X-C)2＜DX+E2(X-C)． (B) E(X-C2)2＞DX+E2(X-C)．(C) E(X-C)2=DX+E2(X-C)． (D) E(X-C)2=DX-E2(X-C)．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于DX=D(X-X)=E(X-C)2-E2(X-C)，所以E(X-C)2=DX+E2(X-C)，故选(C)．4.设X为离散型随机变量，且p i=PX=a i(i=1，2，…)，则X的期望EX存在的充分条件是(A) ． (B)(C) (D)（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由级数收敛的必要条件知，选项(A)或(B)不能选，否则(C)或(D)也成立．又收敛不能保证收敛(即EX存在)，因此选项(C)不能选．所以应该选(D)．下面我们证明：如果收敛，则收敛．事实上，由于，故已知，所以收敛，EX存在．5.假设X是连续型随机变量，其分布函数为F(x)，如果X的期望EX存在，则当x→+∞时，1-F(x)的(A) 低阶无穷小． (B) 高阶无穷小．(C) 同阶但不等价无穷小． (D) 等价无穷小．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由题设，我们只能通过计算来确定正确选项．设X的密度函数为f(x)，则EX存在，所以即1-F(x)的高阶无穷小(当x→+∞)，故应选(B)．6.假设X服从二项分布B(n，p)，已知EX=2.4，DX=1.44，则n，p值分别为(A) 4；0.6． (B) 6；0.4． (C) 8；0.3． (D) 12；0.2．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于X～B(n，p)，所以p=0.4．故应选(B)．求得n，p，从而确定正确选项．7.已知随机变量X的分布中含有若干个未知参数，如果仅对唯一的参数值才有EX=DX，则X必服从(A) 参数为(μ，σ2)的正态分布． (B) 参数为λ的指数分布．(C) 参数为λ的泊松分布． (D) 参数为a，b的[a，b]区间上的均匀分布．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 直接由EX=DX来确定正确选项．如果X～N(μ，σ2)，则EX=DXμ=σ2．参数(μ，σ2)不唯一．X～E(λ)，则．参数λ唯一．X～P(λ)，则EX=DXλ=λ．参数λ不唯一．X～U[a，b]．参数a、b不唯一．因此正确选项是(B)．8.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反而向上的次数，则X和Y的相关系数等于(A) -1．(B) 0．(D) 1．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由题设知X+Y=n，Y=-X+n，故选择(A)．事实上，X与Y的相关系数，cov(X，Y)=cov(X，-X+n)=-cov(X，X)=-DX，DY=D(-X+n)=DX，．所以选(A)．9.设随机事件A与B互不相容，0＜P(A) ＜1，0＜P(B) ＜1，记X与Y的相关系数为ρ，则(A) ρ=0． (B) ρ=1． (C) ρ＜0． (D) ρ＞0．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 选项(B)不能选，否则(D)必成立．因此我们的问题转化为确定X、Y相关系数ρ的符号，而它仅取决于cov(X，Y)=EXY-EXEY，由题设知AB=，因此所以 cov(X，Y)=-P(A)P(B)＜0，ρ＜0，故应选(C)．10.设随机变量X与Y不相关且DX=DY≠0，则随机变量X与X+Y的相关系数ρ等于(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由题设cov(X，Y)=0，DX=DY，所以故应选(C)．11.已知随机变量X与Y的相关系数为ρ，随机变量ξ=aX+b，η=cY+d(abcd≠0)，则ξ与η的相关系数为(A) 0． (B) -p．(C) 当ac＞0时为ρ． (D) 当bd＞0时为ρ．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知，所以ξ与η的相关系数为故应选(C)．12.设随机变量X与Y的方差相等且不为零，则ξ=X+Y与η=X-Y相关系数为(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 已知DX=DY≠0，所以cov(ξ，η)=cov(X+Y，X-Y)=cov(X，Y)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)=DX-DY=0，即X与Y相关系数为0，故应选(B)．13.假设随机变量X，Y，Z两两不相关，方差相等且不为零，则X+Y与Y+Z的相关系数为(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知cov(X，Y)=cov(X，Z)=cov(Y，Z)=0，DX=DY=DZ≠0，所以X+Y与Y+Z的相关系数为故应选(C)．14.已知二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)且满足条件f(x，y)=f(-x，y) 或 f(x，y)=-f(x，-y)，则X与Y相关系数为(A) -1． (B) 0．． (D) 1．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意f(x，y)对每个变元都是偶函数，因此x(x，y)或yf(x，y)为奇函数，所以EXY=EXEY=0X与Y XY=0，故应选(B)．15.设X，Y为随机变量，现有6个等式①E(X+Y)=EX+EY；②D(X+Y)=DX+DY；③D(X-Y)=DX+DY；④EXY=EX·EY；⑤D(XY)=DX·DY；⑥)cov(X，Y)=0．则上面与“X和Y不相关”等价的等式共有(A) 0个． (B) 2个． (C) 4个． (D) 6个．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] ①对任意随机变量都成立，②、③、④、⑥是X与Y不相关的充要条件，因此选(X)．而⑤式DXY=E(XY)2-(EXY)2=DXDY并不能断言X与Y的相关性．16.假设随机变量X与Y的二阶矩都存在，则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关的充分必要条件是(A) EX=EY． (B) EX2=EY2．(C) EX2-E2X=EY2-E2Y． (D) EX2+E2X=EY2+E2Y．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] ξ与η不相关cov(ξ，η)=0cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=0DX=DYEX2-E2X=EY2-E2Y，选择(C)．17.已知(X，Y)服从二维正态分布，且EX=μ1，X与Y相关系数为ρ，则X+bY与X-bY，相互独立的充分必要条件是参数b(A) 可以取任意实数． (B) 等于p．(C) 等于σ1/σ2． (D) 等于μ1/μ2．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：18.已知(X，Y)服从二维正态分布，且EX=μ1，EY=μ2，DX=DY=σ2，ξ=aX+bY，η=aX-bY(ab≠0)，则ξ与η独立的充要条件是(A) a、b为任意实数． (B) a=b-1．(C) a2=62． (D) a=b+1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由于对任意常数c，d(c、d不全为0)，有cξ+dη=c(aX+bY)+d(aX-bY)=a(c+d)X+b(c-d)Y服从一维正态分布，所以(ξ，η)服从二维正态分布．因此ξ与η独立ξ与η不相关cov(ξ，η)=0cov(aX+bY，aX-bY)=a2cov(X，X)+abcov(Y，X)-abcov(X，Y)-b2cov(Y，Y)=a2DX-b2DY=σ2(a2-b2)=0a2=b2．故应选(C)．19.设X与Y都是服从正态分布的随机变量，则X与Y不相关是X与Y独立的(A) 充分必要条件． (B) 充分非必要条件．(C) 必要非充分条件． (D) 非必要非充分条件．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] X与Y都服从正态分布并不意味着(X，Y)服从二维正态分布，因此X与Y不相关仅仅是独立的必要条件而不充分，所以选(C)．20.假设(X，Y)服从二维正态分布，且EX=μ1，EY=μ2，DX=DY=σ2，X与Y不相关，则下列四对随机变量中相互独立的是(A) X与X+Y． (B) X与X-Y．(C) X+Y与X-Y． (D) 2X+Y与X-Y．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由题设知各选项中的二个随机变量其联合分布都是二维正态分布，因此它们相互独立等价于不相关．又cov(X，Y)=0，DX=DY=σ2，所以 cov(X，X±Y)=DX=σ2≠0，cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=0，cov(2X+Y，X-Y)=2DX-DY=σ≠0．故应选(C)．21.已知随机变量X在[-1，1]上服从均匀分布，Y=X3，则X与Y(A) 不相关且相互独立． (B) 不相关且相互不独立．(C) 相关且相互独立． (D) 相关且相互不独立．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于Y=X3，因此Y与X不独立，但又有某种线性相依的关系，即Y与X相关，所以选择(D)．事实上，已知EXY≠EX·EY，因此X与Y相关．下面证明Y=X3与X不独立．X与Y=X3相互独立，y∈R有P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，即P{X≤x，X3≤y}=P{X≤x}P{X3≤y}．取，则，故而所以故X与Y=X3不独立．22.假设随机变量X与Y相互独立且有非零的方差，则(A) 3X+1与4Y-2相关． (B) X+Y与X-Y不相关．(C) X+Y与2Y+1相互独立． (D) e X与2Y+1相互独立．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于X与Y相互独立，由独立性质知e X与2Y+1相互独立，所以选(D)．下面我们对各选项逐一加以验证．由于X与Y相互独立，所以cov(X，Y)=0．(A)：cov(3X+1，4Y-2)=12cov(X，Y)=0，3X+1与4Y-2不相关，选项(A)不成立．(B)：cov(X+Y，X-Y)=cov(X，X)-cov(X，Y)+cov(Y，X)-cov(Y，Y)选项(B)不成立．(C)：cov(X+Y，2Y+1)=2cov(X，Y)+2cov(Y，Y)=2DY≠0，X+Y与2Y+1相关，因而不独立，选项(C)不成立．(D)：x，y∈R，如果x＞0，则=P{e X≤x}P{2Y+1≤y}．如果x≤0，则P{e X≤x}=0．P{e X≤x，2Y+1≤y}=0=P{e X≤x}P{2Y+1≤y}，所以e X与2Y+1相互独立，选项(D)成立．23.设X，Y为随机变量，其期望与方差都存在，则下列与PX=Y=1不等价的是，有P|X-Y|≥ε=0．(B) EX=EY，DX=DY．(C) EX=EY，D(Y-X)=0．(D) EX=EY，EX2=EY2，X与Y的相关系数为1．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 从四个选项中我们可以看到选项(B)是EX=EY，DX=DY，而这并不意味着X与Y以概率1相等即P{x=Y}=1，所以选(B)．下面我们证明其他三个选项都与P{X=Y}=1等价．(A)：P{X=Y}=1P{X≠Y}=0．，有{|X-Y|≥ε}{X≠Y}P{|X-Y|≥ε}=0．反之，如果，P{|X-Y|≥ε}=0，则由．选项(A)成立．(C)：EX=EY，D(Y-X)=0E(Y-X)=0，D(Y-X)=0P{Y-X=E(Y-X)}=1即P{Y-X=0}=P{Y=X}=1．选项(C)成立．(D)：EX=EY，EX2=EY2，X与Y相关系数ρXY=1，EX=EY，EX2=EY2，P{y=aX+b}=1，其中，b=EY-aEX=0．从而{Y=X}=1．反之若ρXY=1，且，EX2=EY2，ρXY=1，所以(D)成立．24.设随机变量X1和X2不相关，且DX1=DX2=σ2≠0，令X=X1+aX2，Y=X1+bX2(ab≠0)，如果X与Y不相关，则(A) a与b可以是任意实数． (B) a=b．(C) ab=-1． (D) ab=1．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 已知cov(X1，X2)=0且DX1=DX2=σ2≠0，所以X与Y不相关cov(X，Y)=0cov(X1+aX2，Xl+bX2)=DX1+abDX2=σ2(1+ab)=0ab=-1，选(C)．25.设X是连续型随机变量且方差存在，则对任意常数C和ε＞0，必有(A)(B)(C)（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 各个选项左式全为P{|X-C|≥ε}，因此希望通过计算选出正确选项．设X的密度函数为f(x)，则故应选(C)．26.设随机变量X的方差DX存在，并且有则一定有(A) DX=2．(B) DX≠2．(C) (D)（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由题设P{|X-EX|≥3}≤，可得故应选(D)．27.设事件A在每次试验中发生的概率都是p，将此试验独立重复进行n次．X表示n次试验中A发生的次数，Y表示n次试验中A发生的次数，则下面结论不成立的是(A) D(X+Y)=0．(B) D(X-Y)=0．(C) PX=k=PY=n-k(k=0，1，…，n)．(D) X～B(n，p)，Y～B(n，1-p)．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意X～B(n，p)，Y～B(n，1-p)，X+Y=n，所以选项(A)、(C)、(D)都成立，不成立的是(B)．事实上，Y=-X+n，又DX=np(1-p)，DY=n(1-p)p，所以 D(X-Y)=DX+DY-2cov(X，Y)=2np(1-p)+2np(1-p)=4np(1-p)．28.已知试验E1为：每次试验事件A发生的概率都是p(0＜p＜1)，将此试验独立重复进行n次，以X1表示在这n次试验中A发生的次数；试验E2为：第i次试验事件A发生的概率为p i(0＜p i＜1，i=1，2，…)，将此试验独立进行n次，以X2表示在这n次试验中A，则(A) EX1＜EX2． (B) EX1=EX2．(C) EX1＞EX2． (D) 以上结论都不对．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 依题意X1～B(n，p)，．对试验E2而言，如果记故应选(B)．二、填空题(总题数：17，分数：20.00)29.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1服从区间[0，6]上的均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为3的泊松分布，则D(X1-2X2+3X3)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：46）解析：[解析]D(X1-2X2+3X3)=DX1+4DX2+9DX3=3+4×4+9×3=46．30.设随机变量X和Y独立同服从正态分 N(0，1/2)，则D|X-Y|=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 易见，E(X-Y)=0，D(X-Y)=1，故U=X-Y～N(0，1)．因此E|U|2=EU2=DU+(EU)2=1．31.设X服从参数为2的指数分布，则E(X+e-X)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由指数分布的数学期望知EX=1/2，又于是32.设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-0.02）解析：[解析] 由题设可知，EX2=0.60，EY2=0.50，EX2EY2=0.30，又EX2Y2=P{X=1，Y=-1}+P{X=1，Y=1}=0.28，于是 cov(X2，Y2)=EX2Y2-EX2EY2=-0.02．33.以X表示接连10次独立重复射击命中目标的次数，已知每次射击命中目标的概率为0.4，则EX2= 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：18.4）解析：[解析] 由题设知，10次独立重复射击命中目标的次数X服从参数为(10，0.4)的二项分布．因此，EX=4，DX=2.4．于是EX2=DX+(EX)2=18.4．34.设对某一种商品的需求量X(件)是一随机变量，其概率分布为则期望需求量为______．（分数：1.00）填空项1:__________________解析：[解析] 由数学期望的定义，可知期望需求量为35.假设无线电测距仪无系统误差，其测量的随机误差服从正态分布．已知随机测量的绝对误差以概率0.95不大于20米，则随机测量误差的标准差σ=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：10.20）解析：[解析] 由题设条件“无系统误差”知，测量误差X服从正态分布N(0，σ2)，所以由可知36.100次独立重复试验成功次数的标准差的最大值等于 1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：5）解析：[解析] 设每次试验成功的概率为p，则100次独立重复试验成功的次数X服从参数为(100，p)的二项分布，故DX=100p(1-p)．易见，当p=0.5时，p(1-p)取最大值．这时DX=100pq=100×0.25=25，因此，标准差的最大值等于5。
随机变量的数字特征历年真题数学
随机变量的数字特征历年真题数学一：1（87，2分）已知连续型随机变量X 的概率密度为1221)(-+-=x xe xf π则EX = ，DX = 。
2（89，6分） 设随机变量X 与Y 独立，且X~N （1，2），Y~N （0，1），试求随机变量Z =2X -Y +3的概率密度函数。
3（90，2分） 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z =3X -2，则EZ = 。
4（90，6分） 设二维随机变量（X ，Y ）在区域D ：0<X <1, |y |<x 内服从均匀分布，求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量Z =2X +1的方差DZ 。
5（91，3分）设随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布，且=<=<<}0{,3.0}42{X P X P 则。
6（92，3分） 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则=+-)(2xe X E。
7（93，6分）设随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=-x e x f x ,21)(|| （1） 求EX 和DX ；（2） 求X 与|X |的协方差，并问X 与|X |是否不相关？ （3） 问X 与|X |是否相互独立？为什么？ 8（94，6分）已知随机变量的相关系数与且，Y X N Y N X ),4,0(~)3,1(~2223,21Y X Z XY +=-=设ρ。
（1） 求EZ 和DZ ；（2） 求X 与Z 的相关系数;XZ ρ（3） 问X 与Z 是否相互独立？为什么？9（95，3分） 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则)(2X E =。
10（96，3分） 设和ξη是两个相互独立且均服从正态分布N （0，21）的随机变量，则=-|)(|ηξE。
11（96，6分） 设和ξη是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知ξ的分布律为).,min(),,max(3,2,1,31)(ηξηξξ=====Y X i i P 又设 （1） 写出二维随机变量（X ，Y ）的分布律； （2） 求EX 。
第四章随机变量的数字特征(有答案)
第四章随机变量的数字特征1. (2016)设随机变量X 的概率密度函数2,01(),0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他 则2()E X =0.5 .2. (2016)设随机变量X 与Y 满足()1,()2,()4,()9,0.5XY E X E Y D X D Y ρ=====, 则()E XY = 5 .3. (2016)设二维随机变量(,)X Y 的联合分布律为(1) 求,X Y 的边缘分布律; (2) 求,X Y 的相关系数XY ρ; (3) 判断,X Y 是否相关、是否独立？ 解答: （1）X 与Y分分（2）2()()3E X E Y ==, 4()()9D X D Y ==, 2()9E XY =, 因此 故 1.2XY ρ===- …...................................4分（3）X 与Y 相关, 不独立. ...............................................................................2分4.(2016)设A 与B 是两个随机事件, 随机变量1,,0,A X A ⎧=⎨⎩出现不出现 1,,0,B Y B ⎧=⎨⎩出现不出现证明: 随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立.证明: X故 ()()E X P A =, 同理, ()()E Y P B =.XY故 ()()E XY P AB =. ...........................................................................................3分XY ρ==因此 X 与Y 不相关0XY ρ⇔=()()()E XY E X E Y ⇔=()()()P AB P A P B ⇔= 即 X 与Y 不相关的充分必要条件是A 与B 相互独立. ..................................2分 5. (2015)设随机变量X 服从参数为2的泊松分布, 则期望2[(1)]E X +=11 . 6. (2015)设随机变量X 服从正态分布2(1,3)N , Y 服从正态分布2(0,4)N , X 与Y的相关系数12XY ρ=-, 设32X YZ =+, 求:(1) Z 数学期望()E Z 及方差()D Z ;(2) X 与Z 的协方差cov(,)X Z 及相关系数XZ ρ. 解答：（1）111()()()323E Z E X E Y =+=;()()32X YD Z D =+1111()()29432XY D X D Y ρ=++⋅⋅2211111342()34394322=⋅+⋅+⋅⋅⋅-⋅⋅=. …...................................…6分（2）cov(,)cov(,)32X YX Z X =+ 11cov(,)cov(,)32X X X Y =+11()32XY D X ρ=+21113(0322=⋅+-=. 故 0XZ ρ=. ............................................................................................……...4分 7. (2014)对球的半径做近似测量, 设测量值均匀分布在区间(2,3)上, 则球的体积的数学期望为653π . 8. (2014)设随机变量X 与Y 的方差均为4, 相关系数12XY ρ=, 2Z X Y =+, 则协方差cov(,)X Z = 8 .9. (2014)设X ,Y 为随机变量, 下列选项中, 不是()()()E XY E X E Y =的充要条件的是 D . (A) cov(,)0X Y = (B) ()D X Y DX DY -=+ (C) X 与Y 不相关(D) X 与Y 独立10. (2014)设连续型随机变量X 的概率密度函数为,01()0,Ax x f x <<⎧=⎨⎩，其他. （1）求常数A ;（2）设随机变量2Y X =, 求Y 的概率密度函数()Y f y ;（3）设随机变量11,,210,.2X Z X ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩, 求()E Z .解答：（1）+-()d 1f x x ∞∞=⎰，即+d 1Ax x ∞-∞=⎰，得2A =. ……………………3分（2）法1：2y x =的反函数为x =(01,()0,X XYf f yf y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.0,01,0,y⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它.1,01,0,y<<⎧=⎨⎩其它.…………………4分法2：2(){}{}YF y P Y y P X y=≤=≤当0y≤时：()0YF y=，当01y<<时：(){dYF y P X x x y=≤≤==⎰，当1y≥时：()1YF y=.因此1,01,()()0,Y Yyf y F y<<⎧'==⎨⎩其它.……………………………………4分（3）11213{1}{}2d24P Z P X x x==≥==⎰，故3()4E Z=. ………………………3分11.(2014)设某厂生产的某种设备的寿命（单位: 年）X服从指数分布, 其概率密度函数为141e, 0,()40,0.xxf xx-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩工厂规定: 若出售的设备在一年内损坏, 则可予以调换. 工厂售出一台设备后, 若在一年内未损坏, 厂方可获利100元, 若在一年内损坏, 厂方则亏损200元.试求厂方售出一台设备的平均利润.解答：设Y为厂方售出一台设备的利润，有114411{1}e d1e4xP X x--<==-⎰，……………………3分则Y平均利润111444()100e200(1e)300e200E Y---=--=-. (3)分。
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概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（一）一、选择题：1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ]（A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数2．设X 的概率密度为910()900xex f x x -⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则1()9E X -= [ C ] （A ）919x x e dx +∞-∞⋅⎰ （B ）919xx e dx +∞-∞-⋅⎰ （C ）1- （D ）13．设ξ是随机变量，()E ξ存在，若23ξη-=，则()E η= [ D ]（A ）()E ξ （B ）()3E ξ （C ）()2E ξ- （D ）()233E ξ- 二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则()E X =2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 93．设随机变量X 的概率分布，则2(3)E X X += 116/154．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()E X = 0 三、计算题：1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编号，求()E X解：X 的可能取值为3，4，53511(3)10P X C ===， 23353(4)10C P X C === 24356(5)10C P X C ===133()345 4.510105E X =⨯+⨯+⨯=2．设随机变量X 的密度函数为2(1)01()0x x f x -≤≤⎧=⎨⎩其它，求()E X解：11()2(1)3E X x x dx =⋅-=⎰3．设随机变量2~(,)X N μσ，求(||)E X μ- 解：222()22|||x y x x dx y y edy μσμμσ---∞∞--∞-∞--=⎰令22y yedy ∞-==4．设随机变量X 的密度函数为0()0xe xf x x -⎧≥=⎨<⎩，试求下列随机变量的数学期望。
（1） 21XY e -= （2）2max{,2}Y X = （3）3min{,2}Y X =解：（1）2013x x E Y e e dx +∞--=⋅=⎰() （2）2202()2xx E Y e dx xe dx +∞--=+⎰⎰2222232ee e ---=-+=+（3）2302()2x x E Y xe dx e dx +∞--=+⎰⎰2221321e e e ---=-+=-概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（二）一、选择题：1．已知()1,()3E X D X =-=，则2[3(2)]E X -= [ B ]（A ）9 （B ）6 （C ）30 （D ）362．设~(,)X B n p ，则有 [ D ] （A ）(21)2E X np -= （B ）(21)4(1)1D X np p -=-+ （C ）(21)41E X np +=+ （D ）(21)4(1)D X np p -=-3．设ξ服从参数为λ的泊松分布，23ηξ=-，则 [ D ] （A ）()23()23E D ηληλ=-=- （B ）()2()2E D ηληλ==（C ）()23()43E D ηληλ=-=- （D ）()23()4E D ηληλ=-= 二、填空题：1．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , , .01，则 ()D X = 2．设随机变量X 的密度函数为||1()()2x f x e x -=-∞<<+∞，则()D X = 2 3．随机变量X 服从区间[0，2]上的均匀分布，则2()[()]D X E X = 1/34．设正态分布Y 2(3)y--，则()D X = 1/2三、计算题：1．设随机变量X 的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为 , , .02，求：21Y X =-的期望与方差；解：()10.320.530.2 1.9E X =⨯+⨯+⨯=222()()()10.340.590.2(1.9)0.49D X E X EX =-=⨯+⨯+⨯-=()2()1 2.8E Y E X =-= ()4() 1.96D Y D X ==2．设随机变量~(0,1)X N ，试求||E x 、||D X 、3()E X 与4()E X解：22||||x E X x dx -+∞-∞=⎰222x dx -+∞=⎰= 220|x -+∞==222||(||)(||)()D X E X E x E X =-=-2222()x E X dx -+∞-∞=⎰22x -+∞-∞=-⎰2222]x x xeedx --+∞+∞-∞-∞=-⎰ = 1所以 2||1D X =-π2332()x E X dx ∞-=⎰= 02442()x E X dx ∞-=⎰232x ∞-=-⎰2223x dx ∞-=⎰= 33．设随机变量X 的分布密度为02()240axx f x bx c x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它，已知3()2,(13)4E X P X =<<=，求：（1）常数A ，B ，C 的值； （2）方差()D X ； （3）随机变量XY e =的期望与方差。
解：（1）2422()()E X x axdx x bx c dx ==⋅++⎰⎰323424022|||332a b c x x x =++856633a b c =++得8566233a b c ++= 3(13)4P X <<=得 353224a b c ++= ()1f x dx +∞-∞=⎰得 2621a b c ++=所以 解得11,, 1.44a b c ==-=242220211(2)()(2)()(2)(1)(2)44D X x f x dx x x dx x x dx +∞-∞=-=-+--⎰⎰⎰23=242202111(3)()()(1)(1)444xx x E Y e f x dx xe dx x e dx e +∞-∞==+-=-⎰⎰⎰2222221()()(())()[(1)]4x D Y E Y E Y e f x dx e +∞-∞=-=--⎰ 222242220211111142424244()|[()][()]x x x x e x e e e =-+---- 422221111164()[()]e e =--- 2221(1)4e e =-概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第四章 随机变量的数字特征（三）一、选择题：1．对任意两个随机变量X 和Y ，若EY EX XY E ⋅=)(，则 [B ]（A ）()()()D XY D X D Y = （B ）()()()D X Y D X D Y +=+ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）X 与Y 不相互独立2．由()()()D X Y D X D Y +=+即可断定 [ A ] （A ）X 与Y 不相关 （B ）(,)()()X Y F x y F x F y =⋅ （C ）X 与Y 相互独立 （D ）相关系数1XY ρ=- 二、填空题：1．设维随机变量(,)X Y 服从(0,0,1,1,0)N ，则(32)D X Y -= 13 2．设X 与Y 独立，且6)(=X D ，3)(=Y D ，则(2)D X Y -= 27 三、计算题：1． 已知二维随机变量),(Y X 的分布律如表： 试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立。
解：X 的分布律为:X 1- 0 1 P Y 的分布律为:X 1- 0 1 P103750025103750E X =-⨯+⨯+⨯=()()...103750025103750E Y =-⨯+⨯+⨯=()()...110125100125110125E XY =--⨯+-⨯⨯+-⨯⨯()()().().(). 01101250110125++⨯-⨯++⨯⨯().. = 00xy E XY E X E Y ρ=-=()()() 所以X 与Y 不相关。
110125P X Y =-=-=(,).≠1103750375P X P Y =-=-=⨯()().. 所以X 与Y 不相互独立。
2．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===，求：(),()D X Y D X Y +- 解：(,)xy Cov X Y ρ=0.45612=⨯⨯=()()2(,)()85D X Y D X Cov X Y D Y +=++=， ()()2(,)()37D X Y D X Cov X Y D Y -=-+=3．设~(0,4),~(0,4)X N Y U ，且X ，Y 相互独立，求：(),(),(23)E XY D X Y D X Y +-解：()0,()4E X D X ==， 40()22E Y +==，244()123D Y ==，0xy ρ= 0)(=XY E ,416()()()433D X Y D X D Y +=+=+=, (23)4()9()161228D X Y D X D Y -=+=+=4．设X ，Y 相互独立，其密度函数分别为21()0X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩0其它，(5)5()05y Y e y f y y --⎧>=⎨≤⎩，求()E XY解：3110022()2|33x E X x xdx =⋅==⎰ (5)555()(1)|6y y E Y y e dy e e y +∞---+∞=⋅=-+=⎰2()()()643E XY E X E Y ==⨯= 5．（1）设随机变量23041605(),()(),(),(),.XY W aX Y E X E Y D X D Y =+====ρ=-。
求常数a 使()E W 为最小，并求()E W 的最小值。
（2）设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且有22(),()XYD X D Y =σ=σ，证明当222X Ya σ=σ时，随机变量W X aY =-与V X aY =+相互独立。
解：（1）22269W a X aXY Y =++2222226969()[]()()()E W E a X aXY Y a E X aE XY E Y =++=++ 22269[()(())]()[()(())]a D X E X aE XY D Y E Y =++++ 2424144a a =-+2246364327()[()]a a a =-+=-+当3a =时，()E W 最小，最小值为108。