初中数学人教版八年级下册：18.2.2.2-菱形的判定ppt教学课件

当堂练习
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形； ╳
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； √
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
╳
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组 ╳
对角的四边形是菱形．
2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为
24cm和26cm，那么平行四边形的面积是 312cm2 .
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
归纳总结
菱形的判定定理：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
A
D
A
D
AC⊥BD
B
C
□ABCD
B
C
菱形ABCD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴ □ABCD是菱形.
典例精析
例1 如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交于点 O，AB=5，AO=4，BO=3.
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形，A AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
思考 还有其他的判定方法吗？
B C
D
讲授新课
一 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固 定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根 橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行 四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？
A
∴四边形ABCD是平行四边形.
C D
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结 菱形的判定定理：
四条边都相等的四边形是菱形
A
A
D AB=BC=CD=AD
D
B
C
四边形ABCD
B
C
菱形ABCD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形 ABCD是菱形.
练一练 下列命题中正确的是
导入新课
复习引入
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形 一组邻边相等
菱形
两组对边平行
菱
边 四条边相等
形 的 性
角 两组对角分别相等 邻角互补
质
两条对角线互相垂直平分
对角线 每一条对角线平分一组对角
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
6.如图,在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的
平分线交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF为菱形；
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长． （1）证明：由尺规作∠BAF的平分线的过程可得 AB=AF，∠BAE=∠FAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE， ∴BE=FA，∴四边形ABEF为平行四边形， ∵AB=AF， ∴四边形ABEF为菱形；
解：四边形EFGH是菱形.
理由如下：连接AC、BD
A
∵点E、F、G、H为各边中点，
பைடு நூலகம்
EF GH 1 BD，FG EH 1 AC. F
2
2
又∵AC=BD,
∴EF=FG=GH=HE，
D
∴四边形EFGH是菱形.
EB H
G
C
归纳 顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得 到四边形是菱形.
拓展1 如图，顺次连接平行四边形ABCD各边中点，得
A
21 F
E
同理△ACF≌△AEF(SAS) . ∴CD=ED, CF=EF.
CD
B
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
例4 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm， BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到 △DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接 AD.求证：四边形ACFD是菱形． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
3.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，
下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（ B ）
A．AB=BC B．AC=BC
C．∠B=60° D．∠ACB=60°
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ABED为平行四边形. 当AC=BC时， 平行四边形ACED是菱形． 故选B．
练一练
如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB， AB=2，求平行四边形ABCD的周长.
解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠DAC=∠ACD， ∴AD=DC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条
件可以是
（ B）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
二 四条边相等的四边形是菱形
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
B
小刚：分别以A、C为圆心,以
大于 1 AC的长为半径作弧,两条
同学们自己 去解答吧
思考 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽 的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形， 你能进一步判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
FD BE C
请补充完整的 证明过程
分析：易知四边形ABCD是平行四边形，只需证一 组邻边相等或对角线互相垂直即可. 由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，
形． 证明: ∵四边形ABCD是矩形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC， ∴AO = OC .
A1
E
O
D
又∠AOE =∠COF，
B
F
2
C
∴△AOE≌△COF，∴EO =FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴ 四边形AFCE是菱形.
练一练
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
课后作业
见《学练优》本课时练习
证明：连接AC、BD.
A
E
D
∵四边形ABCD是矩形，
F
H
∴AC=BD.
∵点E、F、G、H为各边中点， B
G
C
EF GH 1 BD，FG EH 1 AC,
2
2
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形.
【变式题】 如图，顺次连接对角线相等的四边形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ OA=4,OB=3,AB=5，
D
∴ AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形， A
O
C
即AC⊥BD，
B
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
例2 如图,矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边
AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱
（ C）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
典例精析
例3 如图,在△ABC中, AD是角平分线,点E、F分别在 AB、 AD上,且AE=AC,EF = ED. 求证：四边形CDEF是菱形.
证明： ∵ ∠1= ∠2,
又∵AE=AC,AD=AD, ∴ △ACD≌ △AED (SAS).
2
A
C 弧分别相交于点B , D,依次连接
A、B、C、D四点. D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证
小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵AB=BC=CD=AD;
B
∴AB=CD , BC=AD.
然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD.
三 菱形的性质与判定的综合运用 例3 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点 ，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形；
CD.求证：四边形ADCE是菱形. 证明：∵MN是AC的垂直平分线，
A
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
MD
O E
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，
∴四边形ADCE是平行四边形 B
C
到四边形EFGH是什么四边形？ 解：连接AC、BD.
E
B
A
∵点E、F、G、H为各边中点，
F
EF GH 1 BD，FG EH 1 AC,
2
2
D
G
H C
∴四边形EFGH是平行四边形.
拓展2 如图，若四边形ABCD是菱形，顺次连接菱形 ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？
四边形EFGH是矩形.
AC AB2 BC2 62 82 10cm.
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形．
归纳 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系 时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较 方便．
例5 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四
边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形.
你能证明这 一猜想吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证一证 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC 与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
B
∴OA=OC.
O
又∵AC⊥BD,
A
C
∴BD是线段AC的垂直平分线.
D
∴BA=BC.
（2）AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．
解：∵四边形ABEF为菱形，
∴AE⊥BF，BO=
1 2
FB=3，AE=2AO，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO =4，
∴AE=2AO=8．
课堂小结
定义法
有一组邻边相等的平行四边 形是菱形.
菱形的 判定
判定 定理
对角线互相垂直的平行四边形 是菱形.
精品课件
初中数学人教版八年级下册 实用资料
第十八章
学练优八年级数学下（RJ） 教学课件
平行四边形
18.2.2 菱 形
第2课时 菱形的判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判 定定理．（重点）
2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点）
(2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
(2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为 2 3 ， ∴菱形的面积为4 2 3 8 3 . 归纳 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选 择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形； 如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以 先尝试证出这个四边形是平行四边形．
4.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC, CE ∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD， A
D
∴四边形OCED是平行四边形.
O
E
∵四边形ABCD是矩形，
B
C
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
5.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点
D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、