变换法解微分方程
拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程
拉普拉斯变换方法解分数阶微分方程分数阶微积分是一种新兴领域，在近年来得到了越来越多的关注。
它是传统微积分的扩展，将传统的整数阶导数引入了非整数的情况。
在工程、物理、生物学等很多研究领域中，分数阶微积分有着广泛的应用。
因此解决分数阶微分方程成为了重要的课题之一。
本文将从拉普拉斯变换的角度出发，介绍使用该方法解决分数阶微分方程的基本思路和方法。
一、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程中包含分数阶导数的一类微分方程。
分数阶导数可以描述在非连续介质中的扩散、渐近行为以及超弹性函数等现象。
分数阶微分方程的形式一般为：$$ \begin{aligned} D^{\alpha}y(t)&=f(t)\\y(0)&=y_0,\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}=y_1,\\beta\in[0,\alpha) \end{aligned} $$其中，$D^{\alpha}y(t)$为分数阶导数，$f(t)$为已知函数。
$y(0),\ D^{\beta}y(t)|_{t=0}$是初始条件，$y_0,y_1$为已知初值。
一般情况下，分数阶微分方程无法通过传统的解析方法求解，因此需要采用不同的数值方法和函数变换方法。
下文将介绍使用拉普拉斯变换来解决分数阶微分方程的方法。
二、拉普拉斯变换方法简介拉普拉斯变换方法是一种常用的函数变换方法，它将一个函数在实线上的时间域（t域）转化为复平面上的复变量域（s域）上的函数。
它的核心是拉普拉斯积分：$$ F(s)=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt,\s=x+jy\in R $$其中，$f(t)$为实函数，$e^{-st}$为复指数函数，$x,y$为实数。
当$y<0$时，$F(s)$是收敛的；当$y>0$时，$F(s)$是发散的。
通过拉普拉斯变换，可以将微分和积分转化为代数运算，进而可以更方便地解决微分方程等问题。
下面将介绍具体的解决分数阶微分方程的过程。
用laplace变换求解微分方程
用laplace变换求解微分方程Laplace变换是求解微分方程的重要工具之一。
它将微分方程转换为代数方程，进而利用代数方法进行求解。
下面将介绍Laplace变换的定义、性质和用法，并以一个例子来说明如何用Laplace变换求解微分方程。
一、Laplace变换的定义和性质Laplace变换将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)，表示如下：F(s) = L[f(t)] = ∫_0^∞e^(-st)f(t) dt其中，s是复数变量，f(t)是一定条件下的函数。
Laplace变换具有以下性质：1. 线性性：若f(t)和g(t)是两个函数，a和b是常数，则有L[af(t)+bg(t)] = aL[f(t)]+bL[g(t)]。
2. 移位性：若F(s)是函数f(t)的Laplace变换，则有L[e^(at)f(t)] = F(s-a)。
3. 导数定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则f'(t)的Laplace变换为sF(s)-f(0)。
4. 积分定理：若f(t)的Laplace变换为F(s)，则∫_0^t f(t) dt的Laplace变换为1/(sF(s))。
二、Laplace变换的用法1. 用Laplace变换求解微分方程：将微分方程转换为代数方程进行求解。
具体而言，可将微分方程左右两边同时进行Laplace变换，然后利用Laplace变换的性质进行消元求解。
2. 利用Laplace变换求解初值问题：即给定f(0)和f'(0)的初值条件下，求解微分方程的解。
可将初值条件施加于代数方程中，通过消元得到解F(s)，再对其进行反演Laplace变换即可得到解f(t)。
三、例题解析求解微分方程y''+2y'+y = t, y(0)=0, y'(0)=1。
1. 进行Laplace变换：对两边同时进行Laplace变换，得到(s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)) +2(sY(s)-y(0)) + Y(s) = 1/s^2化简得到：Y(s) = 1/(s^2+2s+1) + s/(s^2+2s+1)2. 分解代数式：将分母因式分解，得到Y(s) = 1/[(s+1)^2] + s/[(s+1)^2]3. 反演Laplace变换：分别对两项进行反演Laplace变换，得到y(t) = t*e^(-t)因此，原微分方程的通解为y(t) = c1*e^(-t) + c2*t*e^(-t)，带入初值条件y(0)=0和y'(0)=1可得到c1=0和c2=1，因此，原微分方程的解为y(t) = t*e^(-t)。
变换法在解微分方程中的应用
ｂｙ 则 有 ｕ＝ ａ ＋ ｂ ｙ ｚ ， ｄ 。 。ｄ
代入 上 式 ， 得 ＝ａ＋ｂｇ 。
程 。可 以利用 分 离变量 的方法 将原 方程 写成
一
（ ） 即转 化成 为变量 分离 方程 。 ｕ，
ｆｘ ｄ ， （）ｘ 然后借 助 于积分 法来求 其通解 。 是最 基本 这
常微 分方 程就是 包含 有单变 量 的未知 函数 及其 导数 的方程 ， 常分 为线性 与非 线性 两大 类 ， 数学 通 是
专 业 的一 门重 要 的基 础课 。由于 它在 工程 、 经济 、 管
理 等科 学 技术 领域 中有着 广泛 的应 用 ， 而 在理 工 从 科 等各专 业 的高等数 学课程 中也 占据 十分重 要 的位 置 。常微 分方程 的解 法很多 ， 在许 多文 献和教 材 （ 见 文 ［］ ３） １ 一［ ］ 中都 有归纳 与 总结 ， 常根 据方 程 的结 通
变换 法 在 解 微 分 方 程 中的 应 用
徐 秀 荣
（ 宿州学院 数学系， 安徽 宿州 ２ ４ ０） ３０ ０
摘 要 ： 量 代换 法 是 解 常徽 分 方 程 的 一种 辅 助 方 法 ， 托使 问题 简化 ． 文 通 过 联 系 实例 给 出 了 变挟 在 求解 微 分 方 变 它 本
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第 ２ 第 ２期 ３卷 ２００８年 ４月
宿
州 学 院 学 报
ＶＯ ． ３， Ｏ ２ １２ Ｎ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｕ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｒ ａ ｆ Ｓ ｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｙ
Ａｐｒ． ２ ０ ０ ８
构特 点选 择适 当的方法 进行求解 。本 文就 变 量代 换
［
用拉普拉斯变换方法解微分方程
2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。
这样就使方程求解问题大为简化。
拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。
有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。
应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。
用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。
而应用拉氏变换就可省去这一步。
因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。
而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的dt d ，2s 代替22dtd ，…就可得到。
应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下：（1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s 的代数方程（称为变换方程）（2）求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。
（3）将输出的象函数表达式展开成部分分式（部分分式展开法参见附录二）。
（4）对部分分式进行拉氏反变换（可查拉氏变换表），即得微分方程的全解。
举例说明【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关K 闭合之前，电容C 上有初始电压)0(c u 。
试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压c u （网络输出）。
解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。
故网络微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ，得网络微分方程为)(t u u dt du RCr c c =+ （2-44）对上式进行拉氏变换，得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式su s U r 0)(=代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式)0()1()1()(0c c u RCs RC RCs s u s U +++= 可见等式右边由两部分组成，一部分由输入所决定，另一部分由初始值决定。
微分方程的Laplace变换解法
微分方程的Laplace变换解法微分方程在数学和工程领域中是一种常见的数学工具，用来描述物理现象和自然规律。
在解微分方程时，Laplace变换是一种非常有用的转换方法。
通过将微分方程转换为代数方程，我们可以更容易地求解微分方程的解。
Laplace变换的定义Laplace变换是一种线性积分变换，用来将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)。
其定义如下： \[F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)dt\]其中，s是一个复变量，t是实数。
Laplace变换在工程中的应用非常广泛，能够有效地解决很多常见的微分方程问题。
Laplace变换的性质在求解微分方程时，我们需要了解一些Laplace变换的基本性质：1.线性性质：\[L(a_1f_1(t) + a_2f_2(t)) = a_1F_1(s) + a_2F_2(s)\]2.积分性质：\[L\left(\int_0^t f(u)du\right) = \frac{F(s)}{s}\]3.微分性质：\[L\left(\frac{d n}{dt n}f(t)\right) = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) -s^{n-2}f’(0) - \ldots - f^{(n-1)}(0)\]掌握这些性质对于有效地应用Laplace变换解微分方程至关重要。
Laplace变换解微分方程的步骤利用Laplace变换解微分方程的一般步骤如下：1.应用Laplace变换将微分方程转换为代数方程。
2.解代数方程得到F(s)。
3.对F(s)进行逆变换，得到原方程的解f(t)。
在解微分方程时，我们通常遵循这些步骤，并注意一些常见的Laplace变换对应表。
实例分析让我们以一个示例来说明Laplace变换解微分方程的过程。
考虑一个简单的线性微分方程： \[ \frac{d}{dt}y(t) + 2y(t) = 3e^{-t}, \quad y(0) = 1\]我们首先应用Laplace变换将方程转换为代数方程： \[ sY(s) - y(0) + 2Y(s) =\frac{3}{s+1}\] \[ (s+2)Y(s) = 1 + \frac{3}{s+1}\]解出Y(s)为： \[ Y(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{3}{(s+2)(s+1)}\]进一步求解反变换，我们得到微分方程的解为： \[ y(t) = e^{-2t} + 2e^{-t}\] 通过以上实例，我们展示了如何利用Laplace变换解一个简单的微分方程。
微分方程中的变换方法和特殊函数解
微分方程中的变换方法和特殊函数解微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
解微分方程是研究微分方程的核心问题之一，而变换方法和特殊函数解是解微分方程的重要工具和方法。
一、变换方法变换方法是一种将原微分方程通过变换转化为更简单形式的方法。
常用的变换方法有线性变换、积分因子法、特征方程法等。
1. 线性变换线性变换是一种将原微分方程转化为线性微分方程的方法。
通过适当的变量替换，可以使原微分方程的形式变得更简单。
例如，对于一阶常微分方程y' + P(x)y= Q(x)，我们可以通过变量替换u(x) = y(x)e^(-∫P(x)dx)将其转化为线性微分方程u'(x) = e^(-∫P(x)dx)Q(x)。
2. 积分因子法积分因子法是一种通过乘以适当的积分因子将原微分方程转化为恰当微分方程的方法。
对于形如M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0的一阶微分方程，如果存在函数μ(x,y)使得∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x，那么乘以积分因子μ后，方程变为d(μM)/dx + d(μN)/dy= 0，即d(μM + μN)/d(x,y) = 0，这是一个恰当微分方程，可以通过求解得到解析解。
3. 特征方程法特征方程法是一种通过求解特征方程得到微分方程解的方法。
对于形如a_ny^(n) + a_(n-1)y^(n-1) + ... + a_1y' + a_0y = 0的n阶常系数线性微分方程，可以通过假设y = e^(rx)的形式，代入原方程得到特征方程a_nr^n + a_(n-1)r^(n-1) + ... +a_1r + a_0 = 0。
根据特征方程的解，可以得到微分方程的通解。
二、特殊函数解特殊函数是一类在微分方程中具有特殊性质的函数，可以用于求解特定类型的微分方程。
常见的特殊函数包括常数变易法、欧拉方程、贝塞尔方程等。
1. 常数变易法常数变易法是一种用于求解非齐次线性微分方程的方法。
2-3 用拉普拉斯变换求解线性微分方程
−∞ 0 ε →0
∫
∞
r ( t ) dt =
∫
ε
lim
A
dt = lim
A
ε →0
t |ε = A 0
A – ε
δ (t ) =
{
0
t
0 ∞
t≠0 t=0
ε
δ（t）函数的图形如下图所示。 脉冲函数的积分就是阶跃函数。 脉冲函数的拉氏变换为
0
存在，则称它为函数f(t)的拉普拉斯变换。变换后 的函数是复变量s的函数，记作F(s)或L[f(t)]即
L[ f ( t )] = F ( s ) =
∫
∞
f ( t )e − st dt
0
常称F(s)为f(t) 的变换函数或象函数，而f(t)为 F(s) 的原函数。 在上式中，其积分下限为零，但严格说有0-和 0+之分 。对于在t=0处连续或只有第一类间断点的 函数，0-和0+型的拉氏变换是相同的，但对于在 t=0处有无穷跳跃的函数，两种拉氏变换的结果是 不一致的。为了反映这些函数在[0-，0+]区间的表 现，我们约定式中的积分下限为0-。 二、几种典型函数的拉氏变换 ㈠阶跃函数 阶跃函数的定义是
r (t ) =
{
0 A
t <0 t ≥0
对系统输入阶跃函数就是在t=0时，给系统加 上一个恒值输入量。其图形如下图所示。 若A=1，则称之为单位阶跃函数，记作1(t)即
1(t ) =
{
0 1
t <0 t ≥0
A 0
阶跃函数的拉氏变换为
R ( s ) = L[ r (t )] =
微分方程变换与解析
微分方程变换与解析微分方程是数学中的重要概念，它描述了变化率与未知量之间的关系。
在解微分方程时，常常会使用变换与解析的方法，以更好地理解与求解给定的微分方程。
以下是关于微分方程变换与解析的讨论。
1. 变换的引入在解微分方程时，有时候可以通过适当的变换将给定的微分方程转化成更简单或者更易于求解的形式。
这种变换可以是代换变量、乘法变换、加法变换等，根据具体问题的特点选择合适的变换方法。
2. 代换变量通过适当的代换变量，可以将微分方程转化为更简单的形式。
例如，对于一阶线性微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)，可以进行代换变量u =e^(-∫p(x)dx)来得到新的微分方程du/dx = e^(-∫p(x)dx)q(x)。
通过这种代换变量的变换，原本的微分方程被转化为更易于求解的形式。
3. 乘法变换乘法变换也是一种常用的变换方法。
乘法变换是指通过对微分方程左右两边同时乘以一个适当的函数，从而将微分方程转化为可分离变量或者可线性化的形式。
例如，考虑二阶线性齐次微分方程y'' + p(x)y' + q(x)y = 0，可以通过乘以一个适当的函数v(x)将其转化为可分离变量的形式。
4. 加法变换加法变换是对微分方程进行线性组合的方法。
通过对给定的微分方程进行加法变换，可以得到一个新的微分方程，新的微分方程的解与原微分方程的解之间存在着一定的关系。
加法变换常常用于求解具有特殊形式的微分方程。
5. 解析方法解析方法是指通过数学解析的方式来求解微分方程。
解析方法包括分离变量法、常系数线性齐次微分方程的解法、特殊函数法等。
这些方法在具体问题中选择的依据为微分方程的类型、形式以及求解的难度等。
总结：微分方程变换与解析是解微分方程中常用的方法之一。
通过适当的变换，可以将复杂的微分方程转化为简单的形式，从而更便于求解。
而解析方法则是通过数学解析的方式来求解微分方程，其中包括分离变量法、常系数线性齐次微分方程的解法以及特殊函数法等。
变换法在求解微分方程中的应用
对 于 某 些 微分 方 程 ，直 接 求 解 很 难 进 行 ，但 如 果 对 方 程 进 行 一 些 简 单 的 变量 变 换 ，则 很 容 易 求 解 ．因 此 ，在 求 解 这 些 微 分 方 程 时 ，需要 根 据 方 程 的 特 点 ，引 入 适 当 变 量 ，将 方 程 化 为 易 于 求 解 的类 型 ，下 面 加 以综 述 ．
为 变 量 分 离 型 方 程 ，两 边 积 分 ，然 后 代 回 原 变 量 ，即 可求 得 方 具 体 形 式 ，选 择 初 等 解法 求 解 ．但 如 果 难 以从 方 程 中 解 出 ｙ ，
程 的通 解 ．
或 即 使 解 出 ｙ ，而 其表 达 式 相 当 复 杂 ，则 宜 作 适 当变 换 ，将 方
２３０ ·
·
内江 师范 学 院学 报 Ｊ０ＵＲＮＡ Ｌ ＯＦ ＮＥＩＪＩＡＮＧ ＮＯＲＭ ＡＬ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
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第 ２３卷 （增 ）
（２００８）
变 换 法 在 求 解 微 分 华 ， 余 永 波
边 积 分 ，然 后 代 回 原 变 量 ，即可 求 得 方 程 的通 解 ． 方 程 ，（ ＋ ）（州 ＋ ｚ）＋ ｇ（ｘｙ）（ｄ工＋ ｄｙ），作 变 换 “ 以 一 代 入 ，得 到 一 ＋
，再 用 初 等 解 法 求 解 ．
一 计 ， ｘｙ，将 其 化 为 变 量 分 离 型 方 程 ，两 边 积 分 ，然 后 代
量 ，即 可 求 得 方 程 的通 解 ．
准齐次方程 ｄ ＇ｖ ｆ／ ａ ｘ ＇－ Ｉ－ ｂｙ ＇－Ｉ－ｃ ），其中ｎ＇６，ｃ，ｍ，６１，
。
、。 。 ］＿
］＿
量 ，直 接求 解 显 得 很 困难 ．若 引入 一个 变 量 整体 代 换 函 数 中 的 ｑ 为 常 数 ，若 两 直 线 ｎ ＋ ＋ ｃ一 ０与 ｍ ＋ ６ｌ ＋ ＣＩ一 ０相
常微分方程拉氏变换法求解常微分方程课件
求解得到的代数方程，得到$F(s)$的表达式。
解出常微分方程的解
要点一
反变换求解
通过反拉氏变换将$F(s)$还原为$f(t)$，从而得到常微分方 程的解。
要点二
验证解的正确性
将得到的解代入原常微分方程进行验证，确保解的正确性。
06
总结与展望
总结
拉氏变换法的优势
拉氏变换法在求解常微分方程时 具有明显的优势，它可以将复杂 的微分方程转化为代数方程，大 大简化了求解过程。
通过逐一求解一阶常微分方程，拉氏变换法可以应用于高阶微分方程的求解。
拉氏变换法的缺点
计算量大
在应用拉氏变换法求解常微分方程时，需要进行复 杂的积分和代数运算，计算量较大。
对初值条件敏感
对于某些常微分方程，初值条件的微小变化可能导 致拉氏变换法的失效。
不易理解
拉氏变换法的概念较为抽象，不易被初学者理解。
与其他方法的结合
可以考虑将拉氏变换法与其他数值方法或解析方法结合，以更有效 地求解各种类型的微分方程。
实际应用价值
随着科学技术的不断发展，常微分方程在各个领域的应用越来越广 泛，因此拉氏变换法在实际应用中也将发挥更大的作用。
感谢观 看
THANKS
信号处理中，拉氏变换法可以用于分析信号的滤波、调制 和解调等过程，优化信号处理效果。
04
拉氏变换法的优缺点
拉氏变换法的优点
求解过程简化
拉氏变换法可以将复杂的常微分方程转化为简 单的代数方程，从而简化了求解过程。
适用于多种初值条件
拉氏变换法可以处理多种初值条件，使得该方 法具有更广泛的适用性。
可应用于高阶微分方程
拉氏变换法求解一阶常微分方程
拉氏变换求解微分方程
拉氏变换求解微分方程拉氏变换是求解微分方程的有效方法，它在求解一些比较复杂的微分方程时，发挥了重要作用，因此，在求解微分方程的过程中，拉氏变换也成为必不可少的方式之一。
一、拉氏变换的定义拉氏变换：是指将一阶常系数微分方程的求解通过一次的变换，从原来的形式转变为差分方程的过程，而这种变换被称为拉氏变换。
二、拉氏变换的基本思想拉氏变换有着一般性、简洁性和有效性的特点，它的基本思想就是将一阶常系数微分方程转换为其相应的差分方程，从而可以把原来复杂的、难以求解的微分方程变换到简单的、容易求解的差分方程中。
三、拉氏变换的具体方法1、对于一阶常系数微分方程对于针对一阶常系数的微分方程，我们可以定义拉氏变量$u(x)=y′(x)$，这样可以把原来的微分方程转换成相应的差分方程：$u(x)−f(x)u(x−a)$，在此$a$为常数。
2、对于二阶常系数微分方程同样，对于针对二阶常系数的微分方程，也可以定义若干拉氏变量来完成拉氏变换，即对于二阶常系数微分方程，可以定义$u(x)=y(x)$和$v(x)=y′(x)$，这样可以将原来的微分方程转化成差分方程：$u(x+a)−u(x−a)=av(x+b)−bv(x−b)−c(v(x+b)+v(x−b))$，在此$a$、$b$和$c$均为常数。
四、拉氏变换的优缺点1、优点(1)拉氏变换能够有效地将微分方程转换为差分方程，并且只需要进行一次变化。
(2)拉氏变换使得微分方程的求解更简单，更有效，可以提高求解效率。
2、缺点(1)无法求解高阶常系数微分方程，只适用于一、二阶常系数微分方程。
(2)拉氏变换不能用来求解非线性微分方程。
自动控制原理--用拉氏变换求解线性微分方程
R
u0 uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc t
应用拉a)氏变换法求解微分b方) 程的步骤归纳如下：
（1）对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，将微分方 程变成关于的代数方程；
（2）整理代数方程，求得待求函数的拉氏变换表达式；
（3）对拉氏变换式进行反变换得到待求函数的时域表达 式，即微分方程的解。
压
uc
(0)，求开关瞬时闭合后T 电容R 的端电压u0uc
t 。
uc (t)
u0
C uc uc0
u0 1et Rc
uc(0) et Rc
解：网络的微分方程为 RC 两边进行拉氏变换得 sRCU
cd(aus)dc)t(t)RCuucC(t()0)uU0
C
(s)
1 s
U
0
(s)b)
t
所以
U (s) U0 RC U (0)
1．线性性质
设F1(s) L f1(t) ，F2(s) L f2(t)，a，b 均为常数，则有
Laf1(t) bf2(t) aL f1(t)bL f2(t) aF1(s) bF2(s)
2．微分性质
若L f (t) F(s) ，则有 L f '(t) sF (s) f (0)
3．积分性质
F (s)
s1）m1
s s1 s sm1
s sn
… cm1
lim
s s1
d ds
(s
s1 ) m
F (s)
cm j
1 dj lim
j! ss1 ds j
(s s1)m F(s)
…
c1
1
用拉普拉斯变换求解微分方程的过程
用拉普拉斯变换求解微分方程的过程引言：微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了自然界和工程中许多现象的变化规律。
求解微分方程是数学中的一个重要问题，有许多不同的方法可以解决，其中之一就是使用拉普拉斯变换。
本文将介绍使用拉普拉斯变换求解微分方程的过程。
第一部分：拉普拉斯变换的概念和基本性质在介绍求解微分方程的具体过程之前，首先需要了解拉普拉斯变换的概念和基本性质。
拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，它可以将一个函数转换为一个复变量函数。
它的定义如下：L{f(t)} = F(s) = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt其中，f(t)是输入函数，F(s)是拉普拉斯变换后的函数，s是复变量。
第二部分：拉普拉斯变换的性质和定理拉普拉斯变换具有很多重要的性质和定理，这些性质和定理可以简化求解微分方程的过程。
其中一些重要的性质和定理包括：- 线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)- 积分性质：L{∫[0,t] f(u) du} = 1/s F(s)- 初值定理：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)- 终值定理：lim_(t→∞) f(t) = lim_(s→0) sF(s)通过这些性质和定理，可以将微分方程转化为一个代数方程，从而更容易求解。
第三部分：拉普拉斯变换求解微分方程的具体步骤1. 对于给定的微分方程，首先将方程两边取拉普拉斯变换。
2. 根据拉普拉斯变换的性质和定理，将微分方程转化为一个代数方程。
3. 解代数方程得到拉普拉斯变换后的函数。
4. 根据拉普拉斯变换的反变换，将代数方程的解转化为原始函数的解。
5. 检验解是否满足原始微分方程，并根据初值条件确定特定的解。
第四部分：举例说明为了更好地理解使用拉普拉斯变换求解微分方程的过程，下面举一个例子进行说明。
例子：求解微分方程y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 0，y(0) = 1，y'(0) = 0。
用laplace变换求解微分方程
用laplace变换求解微分方程Laplace变换是一种重要的数学工具，用于求解线性微分方程。
它将微分方程转化为代数方程，简化了求解过程。
本文将介绍Laplace变换的定义和性质，并通过具体的例子详细说明如何使用Laplace变换求解微分方程。
Laplace变换的定义如下：设函数f(t)在区间[0,∞)上连续，则其Laplace变换F(s)定义如下：F(s)=L{f(t)}=∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s为复变量，e为自然对数的底。
Laplace变换的性质包括线性性、尺度变换、复平移、微分变换等。
这些性质使得Laplace变换成为求解微分方程的有力工具。
首先，我们来看一个简单的例子。
例子1：求解微分方程y′(t)+2y(t)=2e^(-3t)，其中y(0)=1解法：首先，我们将微分方程应用Laplace变换，得到：sY(s)-y(0)+2Y(s)=2/(s+3)整理得：Y(s)=(2/(s+3)+1)/(s+2)接下来，我们需要对Y(s)进行反变换，得到y(t)。
为此，我们将Y(s)拆分为两个部分：Y(s)=2/(s+3)(s+2)+(1/(s+2))对于右边的部分，我们知道其反变换为e^(-2t)。
对于左边的部分，我们需要先进行部分分式分解，然后再进行反变换。
根据部分分式分解，我们可以得到：2/(s+3)(s+2)=2/(s+3)-2/(s+2)两个分式的反变换可以通过查表得到：L^(-1){2/(s+3)}=2e^(-3t)L^(-1){2/(s+2)}=2e^(-2t)因此，最后的结果为：y(t)=2e^(-3t)-2e^(-2t)+e^(-2t)=2e^(-3t)-e^(-2t)上述例子展示了如何利用Laplace变换求解微分方程。
实际上，对于更复杂的微分方程，也可以通过类似的方法进行求解。
下面我们来看一个稍微复杂的例子。
例子2：求解微分方程y′′(t)+4y′(t)+3y(t)=4e^(-2t)，其中y(0)=1，y′(0)=0。
用拉普拉斯变换求解微分方程的过程
用拉普拉斯变换求解微分方程的过程拉普拉斯变换是一种将时间域函数转换为复频率域函数的方法，它在求解微分方程中有着广泛的应用。
下面将介绍用拉普拉斯变换求解微分方程的过程。
首先，我们需要将微分方程转换为代数方程。
假设我们要求解的微分方程为：y''(t) + 2y'(t) + 5y(t) = f(t)其中，y(t)为未知函数，f(t)为已知函数。
我们可以将该微分方程转换为拉普拉斯域中的代数方程：(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + 2(s Y(s) - y(0)) + 5Y(s) = F(s)其中，Y(s)为y(t)的拉普拉斯变换，y(0)和y'(0)分别为y(t)在t=0时的初值和初导数，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
接下来，我们需要解出Y(s)。
将上式变形可得：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)这样，我们就得到了y(t)的拉普拉斯逆变换：y(t) = L^-1{Y(s)} = L^-1{(s y(0) + y'(0) + F(s)) / (s^2 + 2s + 5)}其中，L^-1表示拉普拉斯逆变换。
最后，我们需要求出y(t)的具体表达式。
这可以通过分解分母的根来实现。
我们可以将分母的根表示为：s^2 + 2s + 5 = (s + 1)^2 + 4因此，我们可以将Y(s)表示为：Y(s) = (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]接下来，我们需要求出Y(s)的部分分式分解。
假设分解结果为：Y(s) = A / (s + 1) + B / (s + 1)^2 + C / (s^2 + 4)将Y(s)代入上式，可以得到：A = lim(s->-1) [(s + 1) Y(s)] = lim(s->-1) [(s + 1) (s y(0) + y'(0) +F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]B = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 Y(s))] = lim(s->-1) [d/ds((s + 1)^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4])] = y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]C = lim(s->0) [s^2 Y(s)] = lim(s->0) [s^2 (s y(0) + y'(0) + F(s)) / [(s + 1)^2 + 4]] = lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]最终，我们可以得到y(t)的表达式：y(t) = (y(0) + lim(s->-1) [F(s) / (s + 1)]) e^(-t) + (y'(0) + lim(s->-1) [(s + 1) F(s) / [(s + 1)^2 + 4]]) t e^(-t) + lim(s->0) [s F(s) / [(s + 1)^2 + 4]] sin(2t)其中，e^(-t)和sin(2t)是拉普拉斯逆变换的结果。
拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用
拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用拉普拉斯变换法在求解微分方程中的应用微分方程是自然界中各种问题的数学表达式。
其中最常见的为线性微分方程，它们可以用拉普拉斯变换法求解。
拉普拉斯变换法不仅使求解微分方程变得容易，而且还具有广泛的应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种函数变换方法，它能够将一个函数从时间域变换到频率域。
设函数f(t)在区间[0,∞)上有定义，并且成立：L{f(t)}=F(s)=∫_0^∞e^(-st)f(t)dt其中s为复变量，s可以取任意值。
函数F(s)就是函数f(t)的拉普拉斯变换。
二、拉普拉斯变换法的应用1.求解线性微分方程对于线性微分方程Lu(t)=f(t)（其中L为微分算子，u为未知函数，f为已知函数），可以将其转化为代数方程Lu(s)=F(s)。
因此，对于已知f(t)，只需要求出它的拉普拉斯变换F(s)，再求出L的逆变换L^-1，即可得到解u(t)。
2.求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程具有形式为ay''(t)+by'(t)+cy(t)=f(t)的特定形式，其中a、b、c为常数。
利用拉普拉斯变换法，可以将它们转化为关于变量s的代数方程，可以更方便地求解。
3.求解偏微分方程偏微分方程是一类多元函数的微分方程，包括了一些重要的物理和工程问题。
利用拉普拉斯变换法将其转化为关于s的代数方程，再求出逆变换，可以得到偏微分方程的解。
三、总结拉普拉斯变换法是求解微分方程的一种常用方法，它可以将微分方程转化为代数方程来求解。
特别是对于常系数线性微分方程和偏微分方程，应用拉普拉斯变换法可以更方便地获得解析解。
因此，它在物理，工程学和应用数学中都有极为丰富的应用。
微分方程拉普拉斯变换法求解
微分方程拉普拉斯变换法求解1. 引言：微分方程的“烦恼”嘿，朋友们，今天咱们来聊聊微分方程。
听到这个词，很多人可能会感觉头大，仿佛上了个天文课，脑袋里全是星星。
不过，别担心，我们不是来搞天文的，而是要用一种神奇的工具——拉普拉斯变换，来解开微分方程的“心结”。
你可能会问，这个拉普拉斯变换究竟是什么鬼？其实，它就像是数学界的“万能钥匙”，能帮我们打开微分方程这个锁住的盒子。
1.1 微分方程的小故事微分方程就像生活中的那些烦人的问题，总是跟你“捣乱”。
想象一下，你早上起来，看到一堆工作待办事项，就像一道微分方程，满是未知数。
要解决这些问题，你得找到一个合适的方法。
而拉普拉斯变换就好比是你工作清单上的一支魔法笔，轻轻一划，事情就变得简单明了。
用这个变换，我们可以把复杂的微分方程转变成简单的代数方程，简直是“雪中送炭”啊！1.2 拉普拉斯变换的魅力拉普拉斯变换，听起来挺高大上的，其实，它的核心思想很简单。
可以理解为把一个函数从时间域“搬家”到频率域，帮我们更容易地处理那些复杂的微分方程。
它就像是一个桥梁，把两岸的“河流”连接起来。
你想啊，原本时间域里那一团乱麻，经过拉普拉斯变换，就成了一条清晰的道路，让你能够一路畅通无阻地找到解答。
想要解决的问题，转眼间就能用简单的代数形式呈现出来，真是让人感叹“好功夫”！2. 拉普拉斯变换的步骤：一探究竟那么，怎么才能用这个拉普拉斯变换呢？别急，我们一步步来。
首先，咱们得明确自己的微分方程是什么，可能是个一阶的，或者更复杂的高阶的。
比如说，假设我们有一个一阶微分方程 ( frac{dy{dt + ay = f(t) )，这里的 ( a ) 和 ( f(t) ) 是常数，或者是某个函数。
其实，听起来也不算复杂吧？2.1 变换的第一步：拉普拉斯变换的应用。
接下来，咱们就要给这个方程施加“魔法”了。
我们把方程两边都进行拉普拉斯变换。
这里有个小细节，拉普拉斯变换是线性的，换句话说，你可以分别对每一项进行变换，然后再合并。
利用变换t=e^x,求微分方程
利用变换t=e^x,求微分方程1. 概述微分方程是描述自然界各种现象的重要数学工具，它在物理学、工程学、生物学等领域有着广泛的应用。
求解微分方程的方法多种多样，其中变换法是其中一种常见的解题方法。
本文将重点讨论利用变换t=e^x求解微分方程的方法。
2. 变换t=e^x的意义在解微分方程时，我们有时会遇到需要使用变换t=e^x的情况。
这是因为e^x在微分方程中具有特殊的性质，通过变换t=e^x可以将原微分方程转化为更易于求解的形式。
3. 利用变换t=e^x求微分方程的步骤下面将介绍利用变换t=e^x求微分方程的具体步骤：3.1. 已知微分方程我们需要有一个已知的微分方程，如y'' - 2y' + y = 0。
我们要求解这个微分方程。
3.2. 对变量进行变换我们将变量x替换为t=e^x，即令y(x) = u(t)。
这样可以将原微分方程转化为u(t)的微分方程。
3.3. 求导对y(x)进行求导，然后用链式法则将其转化为u(t)的微分表达式。
3.4. 代入原微分方程将u(t)的微分表达式代入原微分方程，并化简得到关于u(t)的微分方程。
3.5. 解微分方程解出u(t)的微分方程，然后将u(t)替换回y(x)即可得到原微分方程的解。
4. 举例说明为了更好地理解利用变换t=e^x求微分方程的方法，我们举一个具体例子：已知微分方程y'' - 2y' + y = 0，我们希望通过变换t=e^x来求解该微分方程。
我们令y(x) = u(t)，则y' = u'(t) * (1/t)，y'' = u''(t) * (1/t)^2 - u'(t) / t^2。
将y(x)的表达式代入原微分方程，得到u''(t) - 3u'(t) + 2u(t) = 0。
解此微分方程得到u(t)的表达式，然后将u(t)替换回y(x)，即得到原微分方程的解。
用拉氏变换法解线性微分方程
用拉氏变换法解线性微分方程一 基本定义若函数f(t)，t 为实变量，线积分∫ f(t)e -st dt (s 为复变量)存在，则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或£[f(t)]，即F(s)=£[f(t)]=∫ f(t)e -st dt常称：F(s)→f(t)的象函数；f(t) →F(s)的原函数。
二 基本思路用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算三10 F(s)=£[f(t)]= ∫ f(t)e -st dt =∫ 1 e -st dt =1/s2、单位斜坡函数 f(t)=t1(t)= t t ≥00 t<0F(s)=£[f(t)]=∫ t e -st dt =1/s ²3、等加速度函数∞∞0 ∞0 ∞0 ∞tf(t)= 1/2 t ² t ≥0 0t<0F(s)=∫1/2 t²e -st dt =1/s ³ 4、指数函数t ≥0t<0F(s)=∫1/2 t ²e -st dt =1/(s-α) 5、正弦函数f(t)= sinwt t ≥0 0 t<0F(s)=∫sinwte -st dt=w/(s ²+w ²) 四 拉氏变换的几个法则对于一些简单原函数，可根据拉氏变换定义求象，但对于较复杂的原函数，必须用到下面几个定理求取其象函数：1、线性定理若：£[f 1(t)]=F 1(s) ，£[f 2(t)]=F 2(s)(a 、b 为常数) 则 £[a f 1(t)+bf 2(t)]=aF 1(s)+bF 2(s)2、微分定理 若：£[f(t)]=F(s)则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ]=sⁿF(s) - ∑s n-i-1 f (i) (0)t∞0 t∞∞ 0n-1i=0式中f (i) (0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值 若 f (i) (0) = 0 （a=1，2，…n ）则 £[dⁿf(t)/dtⁿ] =sⁿF(s)3、积分定理若：£[f(t)]=F(s) ， 在零初始条件下： 则 £[∫…∫f(t)dtⁿ]=1/sⁿF(s)4、位移定理（延时定理） 若：£[f(t)]=F(s)则 时域：£[f(t-t 0)1(t-t 0)]=F(s)eS 域：£[f(t)e ] = F(s+α)5、初值与终值定理若：£[f(t)]=F(s) ，且f(t)的拉氏变换存在， 则 f(0)=limf(t)=lim sF(s) f(∞)=limf(t)=lim sF(s) 例：求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数 解：F(s)=£[A1(t)]= A £[1(t)]=A1/s 例：求脉冲函数δ(t) 的象函数 解： ∵δ(t) = d1(t)/dt ∴应用微分定理（初零）得：F （s ）=£[d1(t)/dt]=sF(s)=s 1/s=1-αt-st o-αtt →0 t →∞s →∞ s →0例：求f(t) = e sinwt 的拉氏变换 解：应用位移定理，F （s ）=£ [e sinwt] =w/[(s+α)²+w ²] 五 拉普拉斯反变换定义：若£-¹[F(s)]=f(t)=1/（2πj ）∫F(s)edt ，则称上式为F(s)的拉氏反变换。
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题目: 变换法在求解常微分方程中的应用姓名:学院: 数学与统计学院专业: 数学与应用数学年级班级: 2011级1班指导教师: 刘伟2015年 5 月 31 日毕业论文（设计）作者声明本人郑重声明:所呈交的毕业论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。
除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。
本人完全了解有关保障、使用毕业论文的规定,同意学校保留并向有关毕业论文管理机构送交论文的复印件和电子版。
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本毕业论文内容不涉及国家机密。
论文题目:变换法在求解常微分方程中的应用作者单位:数学与统计学院作者签名:2015 年5 月31 日目录摘要 (1)引言 (2)1．在一阶方程中的应用 (3)1.1变量分离方程 (3)1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： (3)1.3一阶线性方程 (7)1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 (8)1.5伯努利方程 (9)1.6黎卡提方程 (10)2．在n阶微分方程中的应用 (10)2.1 在n阶非齐次线性微分方程 (10)2.2 非齐次线性微分方程 (12)3．变系数齐次方程 (13)3.1尤拉方程 (13)3.2二阶变系数线性方程 (13)3.3三阶变系数微分方程 (14)结束语 (14)参考文献 (16)致谢 (17)变换法在求解常微分方程中的应用摘要:变换法是常微分方程中的一种计算方法. 它可以起到简化问题的作用，变量变换思想也是一种常微分方程中的重要思想. 应用原始变量的变换与新的变量代换, 使原始方程的类型相对简单的解决方案，从而达到解决的目的. 在常微分方程中, 变换法在许多类型的常微分方程的求解中起到及其重要的作用. 本文就应用变换法在求解几类微分方程进行探究, 通过陈述理论与联系实例结合阐述变量变换法以及变量变换思想在求解常微分方程的应用.关键词：常微分方程；变量分离；变换法；Application of transform method in solving thedifferential equationAbstract: Transform method is a calculation method of ordinary differential equation. It can play a role to simplify the problem, the idea of variable transformation is an important thought in ordinary differential equation. The application of the original variable transform and the new type of variable substitution, the original equation solution is relatively simple, so as to achieve the purpose of solving. In the differential equation, variable substitution plays its important role in the ordinary solution differential equations in many types of. This paper explores the solutions for several classes of differential equations on the application of variable substitution, through the statement of theory and examples combined with variable transformation method and the application of variable transformation thought in the solution of ordinary differential equations.Key Words: Ordinary differential equation;Separable variable;Transform method引言常微分方程是在解决实际问题的过程中产生的, 而在对它研究的过程中又促进了许多实际问题的研究,与此同时也对其他学科的发展也起到了十分积极的作用. 微分方程也在很多学科领域里中有着极其重要的应用,如化学中反应的稳定性问题, 飞机导弹飞行时飞行状态的稳定性问题, 电子装置的设计等等.这些问题都可以化成常微分方程的求解问题, 或者化为研究解的性质问题, 微分方程在实际问题中的背景广泛, 应用性强.在解决数学问题的过程中, 变换法的应用占有着重要的地位, 也是在数学的各个方面的转化运用能力的一种体现形式,本文以变换法为主线, 就一些典型的微分方程的变换法求解,对一阶常微分方程在[1-4]中给出了计算方法与类型, n阶常微分方程在[5-7]中涉及以及一些变系数常微分方程的变换法在[8-13]中给出初步的探讨, 灵活运用变换法达到更加简单直接的求解一些常微分方程的目的, 以帮助我们进一步的理解基本概念, 提高我们的理解能力、解题能力和把理论用于实践的能力.1 在一阶方程中的应用变换法在解微分方程中应用的实质是将我们不熟悉的微分方程通过变换法化为我们熟悉的，或者说是容易求解的微分方程，然后解出该方程, 最后将变量带回，以达到将一般的方法难以解出的方程简单的求解出的目的。
一阶常微分中许多方程的求解问题都可以转化为求解变量分离方程， 多种一阶微分方程都可通过变换法等方法， 最终转换成变量分离或者其它可求解类型的微分方程方程, 进而求出结果, 以下我们以可以转化为变量分离方程的微分方程为例子简单的阐述变量变换的应用.步骤：（1）通过变换法将方程转化成变量分离方程. （2）分离变量.（2）对方程两边同时积分, 整理通解. （3）根据初始条件来得到方程的特解. 1.1变量分离方程我们定义变量分离方程为形如)()(x g x f dxdy= 的微分方程为变量分离方程.运用变量分离的方法将原方程化为dx x f y g dy)()(= 的形式，然后将该方程左右两边进行积分，很容易就可以求解该方程，这是最基本的微分方程的类型，后面的许多其他类型我们最终也会通过适当的变换转化成该类型进行计算.1.2齐次与可以经过变量代换化为齐次的常微分方程： 形如)(xyf dx dy =，的方程称为齐次方程. 通过变换法引入新变量令xyu =或ux y =带入得 u x dxduu f +=)(， 整理一下变为xu u f dx du 1])([-=， 可看做变量分离方程，分离变量得xduu u f du =-)(.两端积分后得u ，再将xyu =带入即可得到齐次方程的解. 一些方程可以通过简单的变量代转化为齐次方程，然后在用解其次方程的方式即可求解. 例 方程满足)(222111zc y b x a c y b x a g dx dy ++++=, 的形式，由于系数的不同可以分成三种情况进行讨论，解题过程如下： （1）当021==c c 时，原方程即为)()(2211x y f xy b a x y b a g dx dy =++=, 为齐次方程,再令yxu =即为变量分离方程. （2）当21,c c 不全为零且2121b b a a =（即行列式02211=b a b a )时令λ==2121b ba a 则原方程可化为)())((22222122y b x a f c y b x a c y b x a g dx dy +=++++=λ()()(21x f c x c x g =++λ), 再令y b x a u 22+=易有dxdyb a dx du 22+=. 代入上式可得)(22u f b a dxdy+=, 即为变量分离方程计算依照前文所述即可得到结果.（3）当21,c c 不全为零且02121≠=b b a a （即行列式02121≠b b a a ）时联立方程组⎩⎨⎧=++=++.0,0222111c y b x a c y b x a不妨令其解为),(βα，由于21,c c 不全为0，所以0,0≠≠βα. 进行坐标变换令⎩⎨⎧-=-=,,βαy Y x X原式转化为)(22112211X Yf bYX a b Y X a Y b X a Y b X a dX dY =++=++=, 为齐次方程，利用分离变量的方法可以求解. 例1 解方程yx y x dx dy 2332++=. 解: 令xyu =(ux y =)代入可得 32)1(22+-=u u dx dy x , 分离变量，左右同时积分，化简可得)1()1(4+=-u c x u ，将原变量带回，易得到方程的通解)()(5x y c x y +=-.例2 解方程564432++++=y x y x dx dy 解: 令y x u 32+=带入可得52432+++=u u dx dy . 化简可得分离变量方程52227++=u u dx dy .分离变量左右两边积分，化简后得)27(14)722ln(9c x u u +-=+, 将y x u 32+=带回，可得到原方程的通解)233(14)72232ln(9c x y y x +-=++. 例3 解方程823732-+-+=y x y x dx dy 解: 由⎩⎨⎧=-+=-+08230732y x y x , 解得⎩⎨⎧==12y x , 作如下坐标变换:⎩⎨⎧-=-=12y Y x X 得⎩⎨⎧+=+=12Y y X x , 代回可得YX YX dX dY 2332++=, 左右积分后可得)()(5X Y c X Y +=-.代回原变量得原方程的通解)3()1(5-+=+-x y c x y .例4 解方程22342y x dxdyxy+=. 解: 左右同时除以xy 将它化做齐次型：)(23)(223422xy y x xy y x dx dy +=+=. 令xyv =，vx y =，dx dv x v dx dy +=，y x v =1, 带入得到v v dx dv xv 232+=+, 即vv v v dx dv x 24222+=+=.于是⎰⎰=+dx x dv v v 142,可得到c x v ln ln )4ln(2+=+,得x c v =+42即 x c xy =+422.3224kx x y =+∴（由于常数的任意性）.1.3一阶线性方程： 一阶线性方程)()(x q y x p dxdy=+ 其中)(x p ，)(x q 为已知函数, 0)(=x q 时为变量分离方程该方程通解为⎰=-dxx p ce y )(,当0)(≠x q 时用常数变异法作代换⎰=-dx x p e x c y )()(,代入原方程得⎰=-dx x p e x q dxx dc )()()(. 从中解出)(x c ，进而完成原方程求解，最后可求得其通解为：))(()()(c dx e x q e y dxx p dxx p +⎰⎰=⎰（这里的c 为任意常数）.例1 解方程yx dx dy +=1. 解: 令y x u +=所以11+=u dx du ，即uu dx du 1+=. 变量分离，有dx du u u=+1, 两端积分C x u u +=+-|1|ln .以y x u +=带入上式得到通解为0ln |1|ln =+++-C y x y .1.4几种特殊类型的一阶常微分方程 1）1)(-=a a x xyf dx dy （a 为已知实数）形式的方程. 做变换a xyu =（a ux y =）带入得 11)(--=+a a ax u f aux x dxdu , 即为1))((--=x au u f dxdu, 是变量分离方程两边积分，最后变量带回便可. 2）形如)(xy f x y dx dy =，)(xy f x y dx dy =+，)(2xy f dxdy x =，形式的方程. 我们以最后一个为例，做变换xy u =（ux y =）有2xux dx du dx dy -=. 带入有u u f x dxdu +=)(3, 是变量分离方程接下来将两边积分，然后将变量带回即可得到这类方程的通解. 3）形如)()(xyf xg x y dx du +=形式的方程. 通过变量变换xyu =，代入可化为 )()(u f xx g dx du = 的形式,是变量分离方程，两边积分然后带回变量即可. 4)形如)(cz by ax f dxdy++=形式的方程： 通过变量变换cz by ax u ++=,可以化作变量分离方程,两边积分将原变量带回，即可得到方程的通解. 1.5伯努利方程 形如n y x q y x p dxdy)()(+=, )(),(x q x p 为关于x 的连续函数, ≠n 0, 1且是常数.应用变量代换的方式，对于0≠y , 将n y -乘至方程的左右两端可以得到方程)()(1x q x p y dxdyy n n+=--. 做变量变换：n y z -=1,带入易有dxdy y n dx dz n --=)1(, 将上式代入变形方程)()(1x q x p y dxdyy n n+=--. 可以得到)()1()()1(x q n z x p n dxdz-+-=, 是线性微分方程，可按前面面介绍的线性方程的求解方式得到通解.例1 求方程2xy xydx dy -=的通解 解: 这是2=n 时的伯努利方程左右同时乘以2-y ,再令1-=y z 易得dxdy y dx dz 2--=, 代入原方程得x z xdx dz +-=1, 是线性微分方程求得它的通解为C x z +=22.代回原变量y ，得到：C x z +=22（C 为任意常数）,得到了原方程的通解. 方程还有解0=y . 1.6黎卡提方程 形如)()()(2x r y x q y x p dxdy+=+ 的方程我们称之为黎卡提方程,在一般的情况下亦不能使用用初等积分法求解. 但若知道它的一个特解为)(1x y ,则能作求解, 先做变换)(1x y a y +=, 代入原方程, 可以转化为21)()]()()(2[z x P z x Q x y x P dxdz++= 的伯努利方程形式, 从而能对该形式的方程用初等积分法来求解.若方程满足m bx ay dx dy=+2（a,b,m 均为常数，且0≠a 时）的形式： 则当124--=k k m , 124+-k k, 0, 2-( ,2,1=k 时)可经过变量变换转化为可分离变量方程.2 在n 阶微分方程中的应用2.1 在n 阶非齐次线性微分方程： 形如)()()()(1111t f x t a dtdxt a dt x d t a dt x d n n n n n n =++++--- (),,2,1)((n i t a i =，)(t f 都为区间b t a ≤≤上的连续函数)的方程我们称之为n 阶非齐次线性微分方程.1)形如0),()1()(=-n n y y F 的形式的高阶方程：做变量代换令1-=n y z ，如果能从中解出n n y y f =-)(1，带入有则有z z f =)(.然后分离变量两侧积分可求出通解. 如果可以得到解),(1c x z ψ=，则有),(11c x y n ψ=-,接着进行1-n 次积分可求得通解.如果不能解出n y 则通过变量代换引进参数t 令)1()(-=n yt f , )()(n yt g =， )()()()1(t g dtt f y dy dx n n ==-,可以求出方程参数形式的通解.例1 求方程04455=-xdxyd dx y d 的解. 解: 令u dxyd =44，方程为01=-u xdx du ， 这是一阶方程. 积分后得cx u =,即cx dx ud =44, 继续积分于是：54233241c x c x c x c x c u ++++=(其中54321,,,,c c c c c 为任意常数).2)形如0),,,,()()1()(=+n k k y y y x F 的形式：做变量代换)()(x f y k =, 带入可得到关于)(x f 的k n -阶方程,0))(),(),(,()('=-x f x f x f x F k n 若能求的方程的通解),()(C x q x f =, 将此解进行k 次积分就能得出原方程的通解. 3)形如0),,,()('=n y y y F 的形式：做变量代换)('y f y =则可以将方程转化为关于)(x f 的1-n 阶方程， 某些方程便能求出齐解, 热别是二阶方程),,('''y y y F 通过上述代换可以化为一阶方程, 然后利用一阶方程求解的方式来解决问题. 例2 求解方程0)(2'''=+x xx 解: 令y x ='，可得dxdyyx ='',于是可化为02=+y dxdyxy, 得0=y 或 0=+y dxdyx. 积分可得xc y =， 所以)2(1212c c c t c x =+=.为原方程的通解.2.2 非齐次线性微分方程我们讨论如下的n 阶非齐次线性微分方程)()()()(1111t f x t a dt dxt a dtx d t a dt x d n n n n n n =++++--- , 其中),,2,1)((n i t a i =及)(t f 都是区间b t a ≤≤上的连续函数.例 1 求方程tx x cos 1'''=+的通解，已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为t t sin ,cos .解: 令t t c t t c x sin )(cos )(21+=, 将它代入方程， 则可得决定)('1t c 和)('2t c 的两个方程：0)(sin )(cos '2'1=+t tc t tc ,tt tc t tc cos 1)(cos )(sin '2'1=+- 解得tt t c cos sin )('1-=，1)('2=t c , 由此有2211)(,cos ln )(γγ+=+=t t c t t c .于是原方程的通解为：t t t t t t x sin cos ln cos sin cos 21+++=γγ（其中21,γγ为任意常数）.3 变系数齐次方程如今关于高阶变系数线性微分方程我们不能找到其一般的解法，所以得到一般解法是很困难, 或许是不可能的, 因此, 以下只就二阶与三阶变系数线性方程进行研究. 3.1尤拉方程（0'1)1(11)(=+++--+y a xy a y x a y x n n n n n n ）（n a a a ,,21是常数）我们可以通过变量代换将t e x =带入, 就能将尤拉方程化成常系数其次微分方程,0'1)1(1)(=++++--y b y b y b y n n n n （n b b b ,,,21 为常数）求出该方程的解然后将变量带回即可.3.2二阶变系数线性方程：0)()('''=++y x q y x p y 其中)(),(x q x p 是关于x 的连续函数.令)()(x u x a y =()(x a 是关于x 的待定函数)则可以将该二阶变系数线性方程转化,如果最终需要转化为常数方程0''=+cu u 还需要满足的条件为c x p x p x q =--)(21)(41)('2是（c 为常数）. 例1 求0)41(2'''2=-++y x xy y x 的通解, 已知0''=+u u 的通解为x c x c u s i n c o s 21+=.解: 能将原方程转化为0)411(12'''=-++y xy x y , 则12141411)(21)(41)(222'2=+--=--xx x x p x p x q (为常数). 令xu dx x y 1)121exp(=-=⎰代入得0''=+u u , 易求出其通解x c x c u s i n c o s 21+=. 代回原变量y 得原方程的通解 xx c xx c y s i n c o s 21+=.3.3三阶变系数微分方程：0)1()1()(1)(320221222233=++++++y x a dx dy x x a dx yd x x a dx y d （0a 为常数）. 能使三阶变系数方程0)1()1()(1)(320221222233=++++++y x a dx dy x x a dx yd x x a dx y d , 作变换t x tan =化为常系数微分方程00122233=+++y a dt dy c dt y d c dt y d . 需要增加的条件是：⎩⎨⎧==+++=.6)(,226)(221221c x x a c x c x x a .例2 将方程0)1(1)1(6163222222233=++++++y x dx dy x x dx y d x x dx y d 化为常系数微分方程。