高考数学总复习 二次函数
(完整版)二次函数知识点及经典例题详解最终
二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y =ax2 +bx +c （a ，b，c是常数，a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠ 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y =ax2 +bx +c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y =ax2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值0 ．a < 0向下(0，0)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值0 ．2.y =ax2 +c 的性质：上加下减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而增大；x < 0 时，y 随x 的增大而减小；x = 0 时，y 有最小值c ．a < 0向下(0，c)y 轴x > 0 时，y 随x 的增大而减小；x < 0 时，y 随x 的增大而增大；x = 0 时，y 有最大值c ．3.y = a (x - h )2的性质：左加右减。
a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而增大； x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值0 ．a < 0向下(h ，0)X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小； x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值0 ．4.y = a (x - h )2+ k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0向上(h ，k )X=h x > h 时， y 随 x 的增大而增大；x < h 时， y 随x 的增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k ．a < 0向下(h ，k )X=hx > h 时， y 随 x 的增大而减小；x < h 时， y 随x 的增大而增大； x = h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y = a (x - h )2+ k ，确定其顶点坐标(h ，k )；⑵ 保持抛物线 y = ax 2 的形状不变，将其顶点平移到(h ，k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数 y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a (x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 y = a +，其中h= - ，k=(b2a )24ac - b 24ab2a 4ac - b 24a 五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为,顶点坐标为.b2a (‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)当x < - 时，y 随x 的增大而减小；b2a当x > - 时，y 随x 的增大而增大；b2a 当x =- 时，y 有最小值 .b 2a 4ac ‒ b 24a 2. 当α<0时，抛物线开口向下，对称轴为x =- , 顶点坐标为.当b2a(‒b 2a ,4ac ‒ b 24a)x < -时， y 随 x 的大而增大y;当随 x > - 时,y 随 x 的增大而减小;当x =- 时 , y 有最大值.b2ab 2a b 2a 4ac ‒ b 24a六、二次函数解析式的表示方法1.一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2.顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3.两根式（交点式）： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式， 只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a ⑴ 当 a > 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a < 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右b 为 0 对称轴为 y 轴）3.常数项c⑴ 当c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：① 当 ∆ = b 2 - 4ac > 0 时，图象与 x 轴交于两点 A (x 1 ，0)，B (x 2 ，0 ) (x 1 ≠ x 2 ) ，其中的 x 1 ，x 2是一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根．②当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2 +bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1.二次函数解析式的确定例 1求满足下列条件的二次函数的解析式(1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);(2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;(3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得解得 {3=a ‒b +c 3=a +b +c 6=4a +2b +c {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8,∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2,∴解析式为 y=2x 2-4x-6.解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a.∵函数有最小值-8.∴ =-8.4a (‒3a )‒(2a)24a又∵a≠0,∴a=2.⎬∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x-x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2).2.二次函数的图象例 2y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知:抛物线开口向上⇒ a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 ⇒ c < 0b ⇒ bc>0.对称轴x = - 2a 在y 轴右侧 ⇒ b < 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标o系中的大致图象是().分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:⎧开口上下决定a 的正负⎪左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号⎪⎨与a 的符号相同;)来判别b 的符号⎪抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定⎪⎩c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D.3.二次函数的性质例 4对于反比例函数 y=-与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:2x ①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函2数开放性题目是近几年命题的热点.4.二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足 x 12+x 2=-2k 2+2k+1.①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k.∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1.∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.22②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称,∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n 2=m 2+m 2.∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0.∵P 、Q 是抛物上不同的点,∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0.∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数 y = x 2- 4x - 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2.把抛物线 y = -2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y = -2(x +1)2B. y = -2(x -1)2C. y = -2x 2+1D. y = -2x 2-13.函数 y = kx 2- k 和 y = k(k ≠ 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;② 当 x = 1和 x = 3时,函数值相等;③ 4a + b = 0 ④当 y = -2时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1 个B.2 个C. 3 个D.4 个5.已知二次函数 y = ax 2+ bx + c (a ≠ 0) 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 的两个根分别是 x 1 = 1.3和x 2 =（）Ａ．-1.3 B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则点(ac , bc ) 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7.方程 2x - x 2= 的正根的个数为（）2xA.0 个B.1 个C.2 个.3个08.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y = x 2 - x - 2B. y = -x 2+ x + 2C. y = x 2- x - 2 或 y = -x 2+ x + 2 D. y = -x 2- x - 2 或 y = x 2+ x + 2二、填空题9．二次函数 y = x 2+ bx + 3 的对称轴是 x = 2 ，则b = 。
高考数学考点归纳之二次函数
高考数学考点归纳之二次函数一、基础知识1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－b2a的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．二、常用结论1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．(1)当－b2a≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m<－b2a≤m＋n2时，最小值为f⎝⎛⎭⎫－b2a，最大值为f(n)；(3)当m＋n2<－b2a≤n时，最小值为f⎝⎛⎭⎫－b2a，最大值为f(m)；(4)当－b2a>n时，最小值为f(n)，最大值为f(m)．考点一求二次函数的解析式求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同.[典例]已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解]法一：利用二次函数的一般式设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：利用二次函数的顶点式 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：利用零点式由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.[题组训练]1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.解析：法一：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由已知得⎩⎨⎧－b2a＝－2，4ac －b24a＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a ＝－2，4a －2b ＋c ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法三：设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1， 将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.答案：19x 2＋49x －592．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则函数的解析式f (x )＝____________.解析：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的对称轴为x ＝2.又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)． 又∵f (x )的图象经过点(4,3)， ∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3. 答案：x 2－4x ＋3考点二 二次函数的图象与性质考法(一) 二次函数图象的识别[典例] 若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )[解析] 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以a <0，b <0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x ＝－b2a<0，只有选项C 适合．[答案] C考法(二) 二次函数的单调性与最值问题[典例] (1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， 所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0， 所以a ＝1±52(舍去)．当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.(2)依题意a ≠0，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递减，所以a >0，即函数图象的开口向上，所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.[答案] (1)－1或2 (2)[0,2][解题技法]1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题[典例] (1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[解析] (1)作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f (m )<0，f (m ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22<m <0. (2)由题意得x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立． 设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]， 则g (x )在[－3，－1]上递减． ∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k <1.故k 的取值范围为(－∞，1)． [答案] (1)⎝⎛⎭⎫－22，0 (2)(－∞，1)[解题技法]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[题组训练]1．(2019·杭州模拟)已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( )A.54 B ．1或54C ．－1或54D ．－5或54解析：选D f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －a 22－4a ，对称轴为直线x ＝a 2. ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴f (x )max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a ＝±1(舍去)．②当0<a2<1，即0<a <2时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－4a . 令－4a ＝－5，得a ＝54.③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，得a ＝－5或a ＝1(舍去)． 综上所述，a ＝54或－5.2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤74，4，则m 的取值范围为( ) A ．(0,4] B.⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 解析：选C y ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为⎣⎡⎦⎤74，4，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3，故选C. 3．已知函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．解析：令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以a 的最大值为2.答案：2[课时跟踪检测]A 级1．(2019·重庆三校联考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( )A ．2,4B ．－2,4C ．2，－4D ．－2，－4解析：选C ∵y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴是x ＝1，∴－b2a ＝1. ①又图象过点P (－1,7)，∴a －b ＋1＝7，即a －b ＝6. ② 由①②可得a ＝2，b ＝－4.2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－2解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a 的对称轴为直线x ＝2，开口向下，f (x )＝－x 2＋4x ＋a 在[0,1]上单调递增，则当x ＝0时，f (x )的最小值为f (0)＝a ＝－2.3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解析：选C若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，则()A．a>0,4a＋b＝0B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0D．a<0,2a＋b＝0解析：选A由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－b2a＝2，∴4a＋b ＝0，又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.5．若关于x的不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－2)B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞)D．(－∞，－6)解析：选A不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，所以f(x)<f(4)＝－2，所以a<－2.6．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为________．解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.答案：(－∞，－6]∪[4，＋∞)7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0)， 方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1，x 2， 则|x 1－x 2|＝2－49a＝7， 所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋408．(2018·浙江名校协作体考试)y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，y ＝4x －1，值域为[0，＋∞)，满足条件；当a ≠0时，要使y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，只需⎩⎪⎨⎪⎧2a >0，Δ＝16－8a (a －1)≥0，解得0<a ≤2.综上，0≤a ≤2.答案：[0,2]9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．解：函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2<－1，－1≤a 2≤1，a2>1，即a <－2，－2≤a ≤2和a >2三种情形讨论．(1)当a <－2时，由图①可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ＝－(a ＋1)． (2)当－2≤a ≤2时，由图②可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a24.(3)当a >2时，由图③可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1.综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)，a <－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a >2.10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x .所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1>2x ＋m 恒成立；即x 2－3x ＋1>m 在区间[－1,1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －322－54， 因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m <－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．B 级1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B 因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b 2a＝－1,2a －b ＝0，②错误； 结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12，所以f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1，所以m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.所以m －n 的最小值是1.3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴为x ＝－32∈[－2,3]， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)∵函数f (x )的对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时， f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1. 4．求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值．解：函数y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2的图象的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，－2)，函数图象如图所示，对t 进行讨论如下：(1)当对称轴在闭区间右边，即当t ＋1<1，即t <0时，函数在区间[t ，t ＋1]上单调递减，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －1.(2)当对称轴在闭区间内时，0≤t ≤1，有两种情况：①当t ＋1－1≤1－t ，即0≤t ≤12时， f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －1；②当t ＋1－1>1－t ，即12<t ≤1时， f (x )max ＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－1＝t 2－2.(3)当对称轴在闭区间左侧，即当t >1时，函数在区间[t ，t ＋1]上单调递增， f (x )max ＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)－1＝t 2－2.综上所述，t ≤12时，所求最大值为t 2－2t －1；t >12时，所求最大值为t 2－2.。
高考数学中的二次函数与相关题型分析
高考数学中的二次函数与相关题型分析高考数学是考生们最为担心的科目之一，而其中涉及到的二次函数和相关题型更是让人头疼。
二次函数是高中数学的重点和难点，因此在备战高考时务必要重视和复习。
本文将着重分析高考数学中的二次函数和相关题型，并介绍备考中的一些技巧和方法。
一、二次函数的基本概念二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的一类函数，其中 a、b、c都是实数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为一个开口向上或向下的抛物线。
二次函数的一些基本概念包括：1. 零点：指函数图象与 x 轴的交点，也就是方程 ax^2 + bx + c= 0 的解。
2. 判别式：指二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的 b^2-4ac 部分，用于判断此方程的解的数量和类型。
3. 对称轴：指函数图象中抛物线的对称轴，其方程为x = -b/2a。
4. 单调性和极值：指函数图象的凹凸性和最值点。
二、高考中的二次函数题型在高考数学中，二次函数的考察主要分为以下几个方面：1. 二次函数的图像及性质该题型主要考查二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴等性质，需要通过化式子、配方法、求导等方法计算。
例如：已知二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求出它的零点、对称轴和顶点坐标。
2. 二次函数的解析式以及单调性和极值该题型主要考查对二次函数解析式的把握和对单调性和极值的理解，需要通过求导、解方程等方法计算。
例如：已知二次函数 f(x) = x^2 - 2x + 3，求出它的解析式和单调性和极值。
3. 二次函数与其他函数的关系该题型主要考查二次函数与指数函数、对数函数、三角函数等其他函数的关系，需要掌握函数的基本性质和变换。
例如：已知二次函数 y = x^2 + 2x + 1 和指数函数 y = e^x，求出它们的交点坐标。
4. 实际问题中的二次函数该题型主要考查将二次函数应用于实际问题中的能力，需要理解问题背景和建立模型。
高考数学复习初等函数知识点：二次函数
高考数学复习初等函数知识点：二次函数二次函数的差不多表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
，下面是高考数学复习初等函数知识点：二次函数，期望对考生有关心。
1、二次函数的定义一样地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等差不多上二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范畴是全体实数;(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对比定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.2、二次函数y=ax2的图象和性质(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象差不多上抛物线.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0).①当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,顶点是抛物线上位置最低的点,也确实是说,当a>0时,函数y=ax2具有如此的性质：当x0时,函数y随x的增大而增大;当x=0时,函数y=ax2取最小值,最小值y=0;高考数学复习初等函数知识点：二次函数就为大伙儿分享到那个地点，更多杰出内容请关注高考数学知识点栏目。
二次函数知识点高三
二次函数知识点高三一、概念和基本形式二次函数是指具有形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为常数，且a不等于0。
其中，x为自变量，y为因变量。
二次函数的图像为抛物线。
二、顶点坐标和轴对称性质1. 顶点坐标：二次函数的图像在平面直角坐标系中的顶点坐标为（h，k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为抛物线的最低点（或最高点）的纵坐标。
2. 轴对称性质：二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
三、开口方向和开口大小1. 开口方向：由二次函数的系数a的取值决定。
- 当a > 0时，抛物线开口向上；- 当a < 0时，抛物线开口向下。
2. 开口大小：由二次函数的系数a的绝对值决定。
- 当|a| > 1时，抛物线开口较为狭窄；- 当0 < |a| < 1时，抛物线开口较为宽阔；- 当|a| = 1时，抛物线为特殊情况，开口方向上等于1。
四、零点（根）和交点1. 零点（根）：二次函数零点指的是使得函数值为0的自变量值，即方程ax^2 + bx + c = 0的解。
- 若方程有两个不同实数解，则二次函数与x轴有两个不同交点；- 若方程有两个相等实数解，则二次函数与x轴有一个重复交点；- 若方程无实数解，则二次函数与x轴没有交点。
2. 交点：二次函数与y轴的交点为(0，c)。
五、对称轴和焦点1. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的垂直线，对称轴方程为x = h。
2. 焦点：二次函数的焦点是抛物线的最低点（或最高点），焦点坐标为（h，k + 1/4a）。
六、求解二次函数图像与其他函数的交点1. 与直线的交点：将二次函数与直线的方程相等，解方程即可求得交点的横坐标，进而带入二次函数中得到纵坐标。
2. 与其他二次函数的交点：将两个二次函数的方程相等，解方程即可求得交点的横坐标，进而带入任意一个二次函数中得到纵坐标。
七、二次函数的应用1. 建模问题：二次函数可以用于对现实生活中的一些问题进行建模，如抛射问题、物体运动轨迹的描述等。
二次函数-高考数学复习
PART3Fra bibliotek微专题 3
一元二次方程根的分布
目录
解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；
（2）对称轴 x ＝－ 与所给区间的位置关系；
2
（3）区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但
＋2） x ＋ c ，
因为 g （ x ）为偶函数，所以 g （－ x ）＝ g （ x ），
即 x 2－（ b ＋2） x ＋ c ＝ x 2＋（ b ＋2） x ＋ c ，可得 b ＝－2，
所以 f （ x ）＝ x 2－2 x ＋ c ，图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1.
若选条件①，因为函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以 f
A. [－6，2]
B. [—6，1]
C. [0，2]
D. [0，1]
）
解析： 函数 f （ x ）＝－2 x 2＋4 x 的对称轴为直线 x ＝1，则 f
（ x ）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴ f （ x ）max
＝ f （1）＝2， f （ x ）min＝ f （－1）＝－2－4＝－6，即 f （ x ）的
∴ f （ x ）＝－4 −
1 2
＋8＝－1，解得 a ＝－4，
2
1 2
＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7.
2
法三（利用二次函数的零点式）
由已知 f （ x ）＋1＝0的两根为 x 1＝
2， x 2＝－1，
故可设 f （ x ）＋1＝ a （ x －2）（ x ＋1）（ a ≠0），
高中数学二次函数知识点
高中数学二次函数知识点一、基本概念二次函数是指关于自变量的二次多项式函数，通常表达为y=ax²+bx+c，其中a、b、c是定值且a≠0。
二、图像及特征二次函数的图像为一个开口朝上或朝下的平滑曲线，对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
当a>0时，曲线在对称轴上方存在最小值；当a<0时，曲线在对称轴下方存在最大值。
三、函数变形及性质1. 平移：将二次函数y=ax²+bx+c沿x 轴平移h个单位，得到y=a(x-h)²+b(x-h)+c2. 垂直伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿y轴纵向伸缩k倍，得到y=kax²+kbx+c3. 水平伸缩：将二次函数y=ax²+bx+c的图像沿x轴横向伸缩k倍，得到y=a(x/k)²+b(x/k)+c4. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a5. 零点：二次函数的零点为y=0的解，即ax²+bx+c=0的解，其判别式为△=b²-4ac。
当△>0时，有两个不同的实数零点；当△=0时，有一个实数零点；当△<0时，无实数零点。
6. 解析式：y=ax²+bx+c的解析式为y=a(x+h)²+k四、常见类型1. 线性函数：当a=0、b≠0时，二次函数化为y=bx+c，其图像为一直线。
2. 完全平方型：当△=0时，二次函数化为y=a(x+h)²+k，其图像为一个顶点在对称轴处的抛物线。
3. 拉伸型：当a>0、|a|<1时，二次函数的图像沿y轴纵向收缩；当a>1时，二次函数的图像沿y轴纵向伸展。
4. 正比例型：当a>0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于原点的抛物线。
5. 负比例型：当a<0、b=0时，二次函数化为y=ax²，其图像为对称于y轴的抛物线。
2024版高考数学总复习：二次函数与幂函数教师用书
第四节二次函数与幂函数考试要求：1．通过具体实例，结合y＝x，y＝x-1，y＝x2，y＝�12，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．一、教材概念·结论·性质重现1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数．(1)自变量x处在幂底数的位置，幂指数3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1)．(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限逼近x轴．4．二次函数的图象与性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关．5．常用结论(1)“ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＞0且Δ＜0”．(2)“ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＜0且Δ＜0”．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)函数y ＝2�12是幂函数．(×)(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(√)(3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．(×)(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．(×)2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点4f (2)＝()A．14B．4C．22D ．2C 解析：设f (x )＝x α，因为图象过点4所以f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，所以f (2)＝2−12＝22.3．二次函数f (x )的图象经过(0，3)，(2，3)两点，且f (x )的最大值是5，则该函数的解析式是()A．f (x )＝2x 2－8x ＋11B．f (x )＝－2x 2＋8x －1C．f (x )＝2x 2－4x ＋3D．f(x)＝－2x2＋4x＋3D解析：二次函数f(x)的图象经过(0，3)，(2，3)两点，则图象的对称轴为x＝1.又由函数的最大值是5，可设f(x)＝a(x－1)2＋5(a≠0)．于是3＝a＋5，解得a＝－2.故f(x)＝－2(x－1)2＋5＝−2�2＋4x＋3.故选D.4．(多选题)(2022·海南中学月考)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，27)，则幂函数f(x)是() A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数AC解析：设幂函数为f(x)＝xα(α为常数)，因为其图象经过点(3，27)，所以27＝3α，解得α＝3，所以幂函数f(x)＝x3.因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又α＝3＞0，所以f(x)在R上是增函数．5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值是_________．－1解析：因为函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝32>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减．当x＝1时，y取得最小值，所以y min＝2－6＋3＝－1.考点1幂函数的图象和性质——基础性1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是()A．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数D解析：设幂函数f(x)＝x a，则f(3)＝3a＝3，解得a＝12，所以f(x)＝�12＝�，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数．2．若幂函数y＝(m2－3m＋3)·��2−�−2的图象不过原点，则() A．－1≤m≤2B．m＝1或m＝2C．m＝2D．m＝1B解析：因为幂函数y＝(m2－3m＋3)��2−�−2的图象不过原点，所以�2−�−2≤0，�2−3�+3=1，解得m＝1或2，符合题意．故选B.3．与函数y＝�12－1的图象关于x轴对称的图象大致是()B解析：y＝�12的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函数y＝�12－1的图象可看作由y＝�12的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图象所示)．将y＝�12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.4．若(a＋1)-2＞(3－2a)-2，则a的取值范围是_________．(－∞，－1)∪−1解析：因为(a＋1)-2＞(3－2a)-2，又f(x)＝x-2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，所以푎+1＜3−2푎，푎+1≠0，3−2푎≠0，解得a＜23且a≠－1或a＞4.1．解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第考点2二次函数的解析式——综合性已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)的解析式．解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得4푎+2�+ =−1，푎−�+ =−1，4푎 −�24푎=8，解得푎=−4，�=4，=7.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.(方法二：利用二次函数的顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a �＋8.因为f (2)＝－1，所以a 2−＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4×�−＋8＝－4x 2＋4x ＋7.(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x＋1)，a ≠0，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y maxa ＝－4.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A．与a 有关，且与b 有关B．与a 有关，但与b 无关C．与a 无关，且与b 无关D．与a 无关，但与b 有关B 解析：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m ＝�12＋ax 1＋b ，M ＝�22＋ax 2＋b .所以M －m ＝�22−�12＋a (x 2－x 1)，显然与a 有关，与b 无关．2．(2022·青岛模拟)设a ，b 为不相等的实数，若二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足f (a )＝f (b )，则f (2)＝()A．7B．5C．4D．2C解析：由f (x )＝x 2＋ax ＋b 可得函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－푎2.又由a ≠b ，f (a )＝f (b )得f (x )图象的对称轴为直线x ＝푎+�2，所以－푎2＝푎+�2，得2a ＋b ＝0，所以f (2)＝4＋2a ＋b ＝4.故选C.考点3二次函数的图象和性质——应用性考向1二次函数的图象应用(1)已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2，1)，则函数y ＝f (－x )的图象为()D 解析：因为函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2，1)，所以－2，1是方程ax 2－x－c ＝0的两根．把x ＝－2，1分别代入方程得4푎+2− =0，푎−1− =0，联立解得a ＝－1，c ＝－2.所以f (x )＝－x 2－x ＋2.所以函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，可知其图象开口向下，与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)和(2，0)．故选D.(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是()A解析：若0<a<1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递减；y＝(a－1)x2－x的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，排除C，D.若a>1，则y＝log a x在(0，＋∞)上单调递增，y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴在y轴右侧，因此B不正确，只有A满足．1．解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法．抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．2．分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．[－3，0)B．(－∞，－3]C．[－2，0]D．[－3，0]D解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a≠0时，f(x)的图象对称轴为x＝3−푎2푎.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减知푎<0，3−푎2푎≤−1，解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3，0].若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝_________．－3解析：由题意知f(x)必为二次函数且a<0.(1)对于二次函数的单调性，的位置不确定，则需要分类讨论．已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a的值．解：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去．②当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝3.8③当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，a的值为3或－3.8将本例改为：求函数解：f(x)＝(x＋f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线1二次函数的最值问题主要有以下几类：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1，1]上不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．解：由题意可知，f(x)＞2x＋m等价于x2－x＋1＞2x＋m，即x2－3x＋1－m＞0.令g(x)＝x2－3x＋1－m，要使g(x)＞0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g(x)在[－1，1]上的最小值大于0即可．因为g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1＞0得m＜－1.因此，满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．将问题归结为求函数的最值，依据是1．(2021·洛阳一中检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若a>b>c且a＋b＋c＝0，则f(x)的图象可能是()D解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除选项A，C.又f(0)＝c＜0，排除选项B.故选D.2．(多选题)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，则f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(5)ACD解析：因为对任意实数t都有f(4＋t)＝f(－t)成立，所以函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴是x＝2.当a＞0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(2)；当a＜0时，函数值f(－1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是f(－1)和f(5)．3．函数f(x)＝ax2－(a－1)x－3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是() A．−∞B．(－∞，0)C．0D ．0D解析：若a ＝0，则f (x )＝x －3，f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，符合题意．若a ≠0，因为f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，故푎>0，푎−12푎≤−1，解得0<a ≤13.综上，0≤a ≤13.故选D.4．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为_________．−∞解析：2ax 2＋2x －3＜0在[－1，1]上恒成立．当x ＝0时，－3＜0，成立；当x ≠0时，a ＜32－16，易知1�∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值12，所以a＜12.综上，实数a 的取值范围是−∞课时质量评价(九)A 组全考点巩固练1．若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)��2－6�＋8在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为()A．1或3B．1C．3D．2B 解析：由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8＞0，解得m ＝1.2．函数y ＝3�2的图象大致是()C 解析：y ＝3�2＝�23，其定义域为x ∈R ，排除A，B.又0<23<1，图象在第一象限为上凸的，排除D.故选C.3．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为()A．f (x )＝－x B．f (x C．f (x )＝x 2D．f (x )＝3�D解析：对于A，f (x )＝－x 为R 上的减函数，不合题意．对于B，f (x为R 上的减函数，不合题意．对于C，f (x )＝x 2在(－∞，0)上单调递减，不合题意．对于D，f (x )＝3�为R 上的增函数，符合题意．4．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)，已知f (m )<0，则()A．f (m ＋1)≥0B．f (m ＋1)≤0C．f (m ＋1)>0D．f (m ＋1)<0C 解析：因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝－12，f (0)＝a >0，所以f (x )的大致图象如图所示．由f (m )<0，得－1<m <0.所以m ＋1>0.所以f (m ＋1)>f (0)>0.5．(2023·潍坊模拟)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则()A．a >0，4a ＋b ＝0B．a <0，4a ＋b ＝0C．a >0，2a ＋b ＝0D．a <0，2a ＋b ＝0A解析：由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－�2푎＝2，所以4a ＋b ＝0，又f (0)>f (1)，f (4)>f (1)，所以f (x )先减后增，于是a >0.6．已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )＝_________．x 2－2x ＋3解析：由f (0)＝3，得c ＝3.又f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以�2＝1，所以b ＝2，所以f (x )＝x 2－2x ＋3.7．设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围28．若푎+1−13<3−2푎−13，则实数a的取值范围是___________．(－∞，－1)∪解析：不等式푎+1−13<3−2푎−13等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.9．(2023·福州模拟)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围.解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，所以a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以2푎=2，푎+�=0，所以푎=1，�=−1，所以f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意得x2－x＋1＞2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m＞0在[－1，1]上恒成立．设g(x)＝x2－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝32，所以g(x)在[－1，1]上单调递减．故只需最小值g(1)＞0，即12－3×1＋1－m＞0，解得m＜－1.10．已知幂函数f(x)＝(m－1)2��2－4�＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q 成立的必要条件，求实数k的取值范围．解：(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，当m＝2时，f(x)＝x-2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0.(2)由(1)得，f(x)＝x2，当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)，当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)，即B＝[2－k，4－k)．因为p是q成立的必要条件，所以B⊆A，则2−�≥1，4−�≤4，即�≤1，�≥0，得0≤k≤1.故实数k的取值范围是[0，1].B组新高考培优练11．设函数f(x)＝1�，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0B．当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0C．当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0D．当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0B解析：当a＜0时，作出两个函数的图象，如图所示，由题意不妨记函数f(x)与g(x)的图象在第三象限交于点A(x1，y1)，在第一象限相切于点B(x2，y2)．因为函数f(x)＝1�是奇函数，所以设A关于原点对称的点为�'(−�1，−�1)，显然x2＞－x1＞0，即x1＋x2＞0，－y1＞y2，即y1＋y2＜0.当a＞0时，由对称性知x1＋x2＜0，y1＋y2＞0.12．(多选题)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是()A．b 2>4ac B．2a －b ＝1C．a －b ＋c ＝0D．5a <bAD 解析：因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，A 正确；二次函数的图象的对称轴为直线x ＝－1，即－�2푎＝－1，得2a －b ＝0，B 错误；结合图象知，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，C 错误；因为函数的图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，D 正确．故选AD.13．(多选题)若函数f (x )＝(x －1)(x ＋a )在区间(1，2)上单调递增，则满足条件的实数a 的值可能是(AB )A．0B．2C．－2D．－314．(2022·潍坊质检)已知函数f (x )＝�2+�，−2≤�≤ ，1�， <�≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是−14，2，则实数c 的取值范围是_________．−14，+∞1解析：当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x)∈−14，2，当x ∈(0，3]时，f (x +∞，所以f (x )的值域为−14，+∞.作出y ＝x 2＋x 和y ＝1�的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1�＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为−14，2时，需满足12≤c ≤1.15．已知函数f (x )＝x 2＋2x .(1)若f (x )>a 在区间[1，3]上恒有解，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )>a 在区间[1，3]上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于푎<��max .又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，当x＝3时，f(x)max＝15，故a的取值范围为{a|a<15}．(2)f(x)>a在区间[1，3]上恒成立，等价于푎<��min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1，3]，当x＝1时，f(x)min＝3，故a的取值范围为{a|a<3}．16．(2022·郑州模拟)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1(a≠0，b＜1)在区间[2，3]上有最大值4，最小值1.(1)求a，b的值；(2)设f(x f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)g(x)＝ax2－2ax＋b＋1＝a(x－1)2－a＋b＋1.若a＞0，则g(x)在[2，3]上单调递增，所以g(2)＝b＋1＝1，g(3)＝3a＋b＋1＝4，解得a＝1，b＝0；若a＜0，则g(x)在[2，3]上单调递减，所以g(2)＝b＋1＝4，解得b＝3.因为b＜1，所以b＝3(舍去)．综上，a＝1，b＝0.(2)因为f(x f(x)＝�2−2�+1�＝x＋1�－2.因为不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，所以2x＋12�－2－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，即k 12对x∈[－1，1]恒成立．因为x∈[－1，1]，所以12�∈2，−12∈[0，1]，所以k≤0，故实数k的取值范围是(－∞，0].。
二次函数知识点总复习附解析
二次函数知识点总复习附解析
一、定义
二次函数是由一元二次多项式表示的函数，它的形式为：
f(x)=ax2+bx+c（a≠0）。
这个函数的曲线是一条开口向上的抛物线，其
图像上的点满足二次恒定关系。
二、二次函数的性质
1、图像的形状：当a>0，抛物线的顶点是变量x的最小值；当a<0，
抛物线的顶点是变量x的最大值。
2、顶点：顶点的坐标是（-b/2a，f(-b/2a）），即（x,y）=（-b/2a，c-b^2/4a）。
3、极值：若a>0，则抛物线的变量x的最小值是顶点，即最大值是
f(-b/2a）；若a<0，则抛物线的变量x的最大值是顶点，即最小值是f(-
b/2a）。
4、求根：二次函数的根是-b±√（b^2—4ac）/2a，可能有0个、1
个或2个，具体情况取决于b^2—4ac的值。
5、无穷极：抛物线的两条边都是x轴，因此抛物线的两条边都是x
轴的无穷极。
三、二次函数的应用
1、力学中的抛物线：物体受重力的作用，经过其中一点后抛出的轨
迹是抛物线，由于重力加速度的恒定性，即可用抛物线方程表示物体的轨迹。
2、统计学中的回归曲线：在一些情况下，其中一个自变量与其中一应变量之间存在着一种最佳拟合的抛物线，这种抛物线就是统计学中的回归曲线，抛物线方程数学表示就是二次函数。
2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数
b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线x=- b 对称
2a
考点二 幂函数 1.定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.几个常用幂函数的图象
3.几个常用幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞)
R
奇偶性 单调性 定点
奇
偶
奇
y=x
y=x2
y=x3
3
故m的取值范围为
2 3
,1
.
例4 已知f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意t∈R,关于x的方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(-1,0)和
0,
1 2
内各有一个实数根,求实数t的取值范
围.
解析 (1)证明:方程f(x)=1⇒x2+(2t-1)x-2t=0,因为Δ=(2t-1)2+8t=4t2+4t+1=(2 t+1)2≥0,所以方程f(x)=1必有实数根.
例1 (2022广东深圳六校联考二,2)若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x <1},则二次函数y=2bx2+4x+a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为
()
A.-1,-7 B.0,-8
C.1,-1 D.1,-7
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},∴-2,1是关于x的方程ax2 +bx+2=0的两个实数根,且a<0,
(完整版)高考二次函数
二次函数知识梳理知识点1 二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x) = ax2+ bx+ c (a^ 0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x) = ___ ax2+ bx+ c ( a* 0) ______ .②顶点式：f (x) = __ a (x- m) + n(a*0) ________ .③零点式：f(x) = ____ a (x —x i)( x-X2) ( a*0) __________________ .点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.①已知三个点的坐标时，宜用一般式.②已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式③已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求 f (x)更方便. 2.nb 4ac — b 2 ②顶点：(—2a ，二^)3.二次函数f (x ) = ax 2 + bx + c ( a *0)，当A = b 2— 4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M (x i,O)、M (X 2,O), I MM | = |x i — X 2| =f —1 a|2ax bx c 0的实根分布问题，用图象求解,有如下结论:令f(x) ax bx c ( a 0)(同理讨论a 0的结论)知识点2 二次函数、 •兀二次方程及一兀二次不等式之间的关系当f(x)2 2ax bx c 的图像与x 轴无交点 ax bxc 0无实根ax 2 bxc 0( 0)的解集为 或者是R;当 0f(x)2 2ax bx c 的图像与x 轴相切 ax bx c0有两个相等的实根ax 2 bxc 0( 0)的解集为 或者是R;当f(x)2ax bx c 的图像与x 轴有两个不同的交点ax 2 bx c 0 有两个不等的实根ax 2 bx c 0( 0)的解集为(，)()或者是( ,)U(,)。
二次函数复习专题讲义全
二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。
2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。
3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。
4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
6.对称轴：为x=-b/2a。
7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。
8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。
9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。
10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。
其中，顶点式和交点式可以相互转换。
注意，a≠0，而b和c可以为零。
1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。
当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。
3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。
当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。
4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。
5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。
二次函数重要知识点归纳
二次函数重要知识点归纳二次函数是高中数学中的重要内容，下面是关于二次函数的重要知识点的归纳。
1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
2.二次函数的图象特点：二次函数的图象是一个抛物线，其开口方向由二次函数的系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
3.二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点（当a>0时）或最高点（当a<0时）。
顶点的坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
4.二次函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的直线，其方程为x=-b/2a。
5. 二次函数的零点：二次函数的零点是函数图象与x轴的交点。
可以通过解二次方程ax² + bx + c = 0来求得二次函数的零点。
6. 二次函数的判别式：对于二次函数ax² + bx + c，判别式的值为D = b² - 4ac。
判别式的值可以用来判断二次函数的零点情况。
当D > 0时，二次函数有两个不相等的实数根；当D = 0时，二次函数有两个相等的实数根；当D < 0时，二次函数没有实数根。
7.二次函数的最值：当a>0时，二次函数的最小值为函数的顶点值；当a<0时，二次函数的最大值为函数的顶点值。
可以通过求解二次方程f'(x)=0来找到最值点。
8. 二次函数的平移：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，横向平移h个单位和纵向平移k个单位后的函数为f(x-h) + k。
9. 二次函数的因式分解：对于一般式为f(x) = ax² + bx + c的二次函数，若可以因式分解成f(x) = a(x-x₁)(x-x₂)的形式，则x₁和x₂为f(x)的零点。
10. 二次函数的导数：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，其导数f'(x) = 2ax + b。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
2.二次函数图像的一般特征：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
3.二次函数的平面坐标系：二次函数的图像在平面直角坐标系中的形状、位置以及与坐标轴的焦点有关。
二、顶点坐标与开口方向：1.顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过化简函数式得到，即x=-b/(2a)得到x坐标，再代入函数式计算得到y坐标。
2.开口方向：二次函数开口向上当且仅当a大于零，开口向下当且仅当a小于零。
三、对称轴与焦点：1.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)。
2.焦点：二次函数的焦点与平面坐标系画图时的焦点位置有关。
四、性质与变化规律：1.奇偶性：二次函数的奇偶性由二次项的系数a的奇偶性决定，即，若a为奇数，则函数为奇函数；若a为偶数，则函数为偶函数。
2.正负性：二次函数的正负性由函数值的正负决定，其函数值与x的值、a的符号以及顶点坐标的y值正负有关。
3.单调性与极值：二次函数的单调性与开口方向有关，开口向上的二次函数在对称轴两侧单调递增，开口向下的二次函数在对称轴两侧单调递减。
二次函数的极值即为顶点值。
4.过点性质：给定两点，可以通过这两点在函数上的坐标计算出唯一确定的二次函数的函数式。
5.零点求解：二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。
五、两点式与标准式：1.两点式：已知二次函数经过两点，可以利用两点式直接写出函数的函数式。
2.标准式：将二次函数的一般式化简成标准式，即f(x)=a(x-h)^2+k 的形式，能够直接得到函数的顶点坐标。
六、函数图像：1.函数图像绘制：根据顶点坐标、对称轴方程、开口方向以及函数值的正负性，可以绘制出二次函数的图像。
2.辅助判断：利用辅助判断函数的图像与坐标轴的交点，确定函数的变化规律。
高考数学中的重难点——二次函数
高考数学中的重难点——二次函数知识梳理： 1．二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)。
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。
2．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴a b x 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b --（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a b --∞上单调递减，在),2[+∞-ab上单调递增，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2min-=；（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(a b --∞上单调递增，在),2[+∞-ab上单调递减，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2max-=。
3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)(。
4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0) ，(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f5 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞疑点一：求二次函数的解析式例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。
高考数学总复习 二次函数
高考数学总复习 二次函数1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 23、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。
4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题：（1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑：开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。
(2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0)注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法.5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m).（☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n).。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解9 二次函数
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第9讲二次函数通关一、二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方程(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。
通关二、二次函数的图像和性质R对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较小。
【结论第讲】结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系【例1】设abc >0，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像可能是（）【答案】D【解析】A 选项，由图像开口向下知a <0，由对称轴位置知2ba-<0，所以b <0。
若abc >0，则c >0，而由题图知f (0)=c <0，所以A 选项不符；B 选项，由题意知a <0，2ba->0，所以 0b >.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =>,所以B 选项不符;C 选项,由题图知0a >,02ba-<,所以0b >.若0abc >,则0c >,而由题图知(0)0f c =<,所以C 选项不符;D 选项,由题图知0,02ba a>->,所以0b <.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =<,所以D 选项正确.故选D.【变式】右图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分,图像过点(3,0)A -,对称轴为1x =-.给出下面四个结论:①24b ac >;②2a b -＝－1;③0a b c -+=;④5a b <.其中正确的是( ). A.②④B.①④C.②③D.①③【答案】B【解析】因为图像与x 轴交于两点,所以240b ac ->,即24b ac >,①正确.对称轴为1x =-,即1,202ba b a-=--=,②错误.结合图像,当1x =-时,0y >,即0,a b c -+>③错误.由对称轴为1x =-知,2b a =.又函数图像开口向下,所以0a <,所以52a a <,即5a b <,④正确.故选B.结论二、二次函数的对称性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2bx a=-,顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①如果二次函数()y f x =满足()()12f x f x =,那么函数()y f x =的图像关于x 122x x +=对称.②二次函数()y f x =使()()f a x f a x +=-成立的充要条件是函数()y f x =的图像关于直线(x a a =为常数)对称.【例2】若2()(2)3,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称,则c =_______. 【答案】2 【解析】由题意可知212b +=,解得0b =,所以012c+=,解得2c =. 【变式】已知二次函数2()f x ax bx c =++,如果()()(12f x f x =其中)12x x ≠,则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭_____.【答案】244ac b a-【解析】因为()()12f x f x =,所以()y f x =的图像关于122x x x +=对称,122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭244ac b a-=. 结论三、二次函数的单调性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠ (1)当0a >时,如图(a)所示,抛物线开口向上,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递减,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增,当2bx a=-时,2min 4()4ac b f x a -=;(2)当0a <时,如图(b)所示,抛物线开口向下,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递增,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.【例3】已知函数2()f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数,则实数k 的取值范围为_______.【答案】4k …或8k …【解析】函数2()f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是x 2k=.因为已知函数在[2,4]上是单调函数,所以区间[2,4]应在直线2k x =的左侧或右侧,即有22k …或42k …,解得4k …或8k …. 【变式】若函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是(). A.(0,3) B.(1,3) C.[1,3] D.[0,4]【答案】C【解析】因为函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,所以对称轴x a =应在1x =的右侧,3x =的左侧或与1,3x x ==重合,所以[1,3]a ∈.故选C.结论四、给定区间上的值域对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令02p qx +=: (1)若2bp a-…,则(),()m f p M f q ==; (2)若02b p x a <-<,则,()2b m f M f q a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;(3)若02b x q a -<…,则,()2b m f M f p a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭; (4)若2b q a-…,则(),()m f q M f p ==. 【例4】如果函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[,1]t t +上,求()f x 的最小值.【答案】2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟 【解析】函数2()(1)1f x x =-+,其对称轴方程为1x =,顶点坐标为(1,1),图像开口向上.如图()a 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +左侧时,有1t <,此时,当x t =时,函数取得最小值2min ()()(1)1f x f t t ==-+.如图()b 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +上时,有11t t +剟,即01t 剟.当1x =时,函数取得最小值min ()(1)1f x f ==.如图(c)所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +右侧时,有11t +<,即0t <.当1x t =+时,函数取得最小值,2min ()(1) 1.f x f t t =+=+综上,2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟【变式】已知二次函数()f x 的最小值为1,且(0)(2)3f f ==.(1)求()f x 的解析式;(2)若()f x 在区间[2,1a a +]上不单调,求a 的取值范围; (3)若[,2]x t t ∈+,试求()y f x =的最小值.【解析】(1)因为()f x 是二次函数,且(0)(2)f f =,所以()f x 图像的对称轴为1x =.又()f x 的最小值为1,设2()(1)1(0)f x k x k =-+>,又(0)3f =,所以2k =.所以()f x =222(1)1243x x x -+=-+.(2)要使()f x 在区间[2,1]a a +上不单调,则211a a <<+,所以102a <<. (3)由(1)知,()y f x =的对称轴为1x =,若1t …,则()y f x =在[,2]t t +上是增函数,min y 2243t t =-+;若21t +…,即1t -…,则()y f x =在[,2]t t +上是减函数,min (2)y f t =+=2243t t ++;若12t t <<+,即11t -<<,则min (1)1y f ==.综上,当1t …时,2min 24y t t =-3+;当11t -<<时,min 1y =;当1t -…时,2min 243y t t =++.结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系设2()(0)f x ax bx c a =++> ①0∆<⇔函数()y f x =的图像与x 轴无交点⇔方程()0f x =无实根⇔不等式()0f x >的解集为⇔R 不等式()0f x …的解集为∅.②0∆=⇔函数()y f x =的图像与x 轴相切⇔方程()0f x =有两个相等的实根⇔不等式()0f x >的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭.③0∆>⇔函数()y f x =的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程()0f x =有两个不等的实根:,(αβ设)αβ<⇔不等式()0f x >的解集为(,)(,)αβ-∞⋃+∞⇔不等式()0f x <的解集为(,)αβ.【例5】设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足0121x x a<<<(1)当()10,x x ∈时,证明1()x f x x <<;(2)函数()f x 的图像关于直线0x x =对称,证明:102x x <.【解析】证明(1)由题意可知()()12()f x x a x x x x -=--.因为1210x x x a<<<<,所以()()120a x x x x -->,所以当()10,x x ∈时,()f x x >.又1()(f x x a x -=-)()()()1211211,0x x x x x x x ax ax x x -+-=--+-<且22110ax ax ax -+>->,所以1()f x x <.综上可知,所给问题获证.(2)由题意可知2()(1)f x x ax b x c -=+-+,它的对称轴方程为12b x a-=-,由方程()f x 0x -=的两个根12,x x 满足1210x x a <<<,可得121102b x x a a -<<<<-得1212b x x a --=-12b a---,所以121111222b b b x x a a a a ----=-<----,即1b x a -<,而02bx a =-,故102x x <. 【变式】设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和()223x a a x a -++<0()a ∈R 的解集分别是A 和B .(1)若A B ⋂=∅,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使得A B ⋃=R ?如果存在,求出a 的值,如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)(){}2(,1)(2,),|()0A a a B x x a x a=-∞-⋃++∞=--<①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋂=∅,得212a aa a -⎧⎨+⎩……,解得12a -剟. 所以10a -<…或12a <….②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋂=∅显然成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋂=∅,得212a aa a ⎧-⎨+⎩……,解得a ∈R .所以01a <<.综上,实数a 的取值范围是[1,2]-. (2)假设存在实数a ,使得A B ⋃=R ,则:①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋃=R ,得212a a a a <-⎧⎨+<⎩,所以a 不存在.②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋃=R 显然不成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋃=R ,得212a a a a a ⎧<-⇒∈∅⎨>+⎩. 综上,不存在实数a 使得A B ⋃=R 成立.结论六、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>根的分布令2()(0)f x ax bx c a =++>图像＞充要0∆⎧…0∆⎧…()0f k <0∆…图像＞注:(1)一元二次方程根的分布问题需考虑:①∆;②对称轴;③区间端点函数值的符号.(2)若()0f k <,则不用考虑∆、对称轴的范围;方程有两根时要注意区分0∆>,还是0∆…. 【例6】二次方程()22120x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是().A.31a -<<B.20a -<<C.10a -<<D.02a << 【答案】C 【解析】令()22()12f x x a x a =+++-,则由题意可知(1)0f <且(1)0f -<,即220,20a a a a ⎧+<⎨-+>⎩,解得10a -<<.故选C .【变式】求实数m 的范围,使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=.(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.(2)有两个实根,αβ,且满足014αβ<<<<.(3)至少有一个正根.【答案】75(1)1(2)(3)154m m m <--<<--… 【解析】2()2(1)26y f x x m x m ==+-++.(1)依题意有(2)0f <,即44(1)260m m +-++<,得1m <-.(2)依题意有(0)260(1)450(4)10140f m f m f m =+>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩,解得7554m -<<-. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能:①有两个正根,此时可得0)0(0)(10202)f m ∆>⎧⎪⎪>⎨--⎪>⎪⎩…,即1531m m m m -≥⎧⎪>-⎨⎪<⎩或…,所以31m -<-….②有一个正根,一个负根,此时可得(0)0f <,得3m <-. ③有一个正根,另一根为0,此时可得6202(1)0m m +=⎧⎨-<⎩,所以3m =-.综上,1m -….。
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高考数学总复习 二次函数
1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 2
3、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。
4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题：
（1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑：
开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。
(2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论：
令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0)
注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法.
5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点
处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m).
（☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n).。