2017年4月湖州、衢州、丽水三地市教学质量检测试卷

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高三数学

第Ⅰ卷（共40分）

一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合}2{<∈=x R x P ，}31{≤≤-∈=x R x Q 则=Q P ( )

A ．[-1，2） B.（-2,2） C ．（-2，3] D ． [-1,3]

2. 已知复数)2(i i z -=，其中i 是虚数单位，则z 的模=z ( )

A ．3

B ．5

C ．3

D ． 5

3. 已知平面α与两条不重合的直线a ，b ，则“α⊥a ，且α⊥b ”是“b a //”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C. 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

4. 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧≤-+≥-,

02,0y x y x 则x y -2的最大值是( )

A ．-2

B ．-1 C.1 D. 2

5. 二项式7)2(+x 的展开式中含5x 项的系数是( )

A ．21

B ．35 C.84 D ．280

6. 下列命题正确的是( )

A ．若b a b a 3ln ln -=-，则0<

B ．若b a b a 3ln ln -=-，则b a <<0

C. 若a b b a -=-3ln ln ，则0>>b a D ．若a b b a -=-3ln ln ，则b a >>0

7. 已知某口袋中有3个白球和a 个黑球（*∈N a ），现从中随机取出一球，再换回一个不 同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球）， 记换好球后袋中白球的个数是ξ．若3=ξE ，则=ξD ( )

A ．21

B ．1 C. 2

3 D ． 2 8. 已知)(x f 是定义在R 上的函数，若方程x x f f =))((有且仅有一个实数根，则)(x f 的解析式可能是( )

A ．12)(-=x x f

B ．x e x f =)( C. 1)(2++=x x x f

D ．x x f sin )(=

9. 已知O 是ABC ∆的外心，︒=∠45C ，则OB n OA m OC +=),(R n m ∈，则n m +的取值范围是( )

A ．]2,2[-

B ．)1,2[- C. )1,2[-- D ．]2,1(

10. 已知矩形ABCD ，AB AD 2=，沿直线BD 将ABD ∆折成BD A '∆，使点A '在平面BCD 上的射影在BCD ∆内（不含边界）．设二面角C BD A --'的大小为θ，直线D A '，C A '与平面BCD 所成的角分别为α，β，则（ )

A ．βθα<<

B ．αθβ<< C. θαβ<< D ．θβα<<

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题（每题5分，满分36分，将答案填在答题纸上）

11. 双曲线132

2

=-y x 的焦距是 ，离心率是 ． 12.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若7=a ，3=c ，︒=30A ，则=b ，ABC ∆的面积=S ．

13. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是 3

cm ，表面积是 2cm ．

14.已知圆C ：2)()(22=-+-b y a x ，圆心C 在曲线])2,1[(1∈=x x

y 上.则=ab ，直线l ：02=+y x 被圆C 所截得的长度的取值范围是 ．

15. 6个标有不同编号的乒乓球放在两头有盖的棱柱型纸盒中，正视图如图所示，若随机从

一头取出一个乒乓球，分6次取完，并依次排成一行，则不同的排法种数是 （用数字作答）．

16. 已知等差数列}{n a ，等比数列}{n b 的公比为),(*∈N q n q ，设}{n a ，}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若n q n S T =+12，则=n a ．

17. 已知函数c bx ax x f ++=2)(),,(R c b a ∈，若存在实数]2,1[∈a ，对任意]2,1[∈x ，都有1)(≤x f ，则c b 57+的最大值是 ．

三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

18. 函数)sin(2)(ϕω+=x x f )20,0(π

ϕω<<>的部分图象如图所示, M 为最高点,该

图象与y 轴交于点)2,0(F ,与x 轴交于点B ,C , 且MBC ∆的面积为π．

(Ⅰ)求函数)(x f 的解析式；

(Ⅱ)若5

52)4(=-π

αf ,求α2cos 的值. 19. 如图，在三棱柱中DEF ABC -，点P ，G 分别是AD ,EF 的中点，已知⊥AD 平面ABC ，3==EF AD ，2==DF DE ．

（Ⅰ）求证：⊥AD 平面BCEF ；

（Ⅱ）求PE 与平面BCEF 所成角的正弦值．

20. 设函数b ax e x f x +-=)(),(R b a ∈．

（Ⅰ）若1==b a ，求)(x f 在区间[-1,2]上的取值范围；

（Ⅱ）若对任意R x ∈，0)(≥x f 恒成立，记b a b a M -=),(，求),(b a M 的最大值．

21. 已知点)21,(t P 在椭圆C ：12

22

=+y x 内，过P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点，O 为坐标原点．

（Ⅰ）是否存在实数t ，使直线l 和直线OP 的倾斜角互补？若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；

（Ⅱ）求OAB ∆面积S 的最大值．

22. 数列}{n a 中，211=a ，1

221+-=+n n n n a a a a )(*∈N n （Ⅰ）求证：n n a a <+1；

（Ⅱ）记数列}{n a 的前n 项和为n S ，求证：1