“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解题思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明．
一、有直角、有中点，利用垂直平分线性质
【例1】如图，BD 、CE 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点，N 是DE 的中点．求证：MN 垂直平分DE ．
二、有直角、无中点，取中点，连线出中线
【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD ∥BC ，∠CBE=21∠ABE ，求证：DE=2AB ．
三、有中点、无直角，造直角
【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 、N 是AB 、CD 的中点，∠ADC+∠BCD=270°，
求证：MN=
2
1（AB －CD ）．
四、逆用性质解题
【例4】如图，延长矩形ABCD 的边CB 至E ，使CE=CA ，P 是AE 的中点．求证：BP ⊥DP ．
【习题练习】
1、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABD=∠CBD ，BD ⊥DE 于D ，DE 交BC 于E ，求证：CD=21BE ．
2、如图，△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 是BC 的中点，求证：AB=2DM ．
3、如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90°，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系．
直角三角形斜边上中线性质的应用
一、直角三角形斜边上中线的性质
1、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图，在Rt △BAC 中，∠BAC=90°，D 为BC 的中点，则BC 21AD =．
2、性质的拓展：
如图：因为D 为BC 中点，
所以BC 2
1DC BD ==， 所以AD=BD=DC=BC 21， 所以∠1=∠2，∠3=∠4，
因此∠ADB=2∠1=2∠2，
∠ADC=2∠3=2∠4．
因而可得如下几个结论：
①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；
②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
二、性质的应用
1、2
1倍关系求值 例1、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，若CD=4，则AB= ．
2、证明线段相等
例2、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D 点，使AB 2
1AD =，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点．（1）求证：DF=BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于G ．求证：AG=DG ．
3、证明角相等及角的倍分关系
例3、已知，如图，在△ABC中，∠BAC 90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE．
例4、已知：如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线。

DC=BE，DG⊥CE，G为垂足．
求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE．
4、证明线段的倍分及和差关系
例5、如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE．求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC．
三、基础训练
1、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边上中线长为．
2、如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2所示），将纸张△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P．
（1）当△AC1D1平移到如图3所示时，猜想图中D1E与D2F数量关系，并证明猜想：
图1 图2 图3
3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC与BD相交于O，∠BOC=60°，G、E、F分别是AB、OC、OD的中点．求证：△GEF为等边三角形．。