解析:选A.f (x )有负值,则必须满足f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点,其充要条件是:Δ=(-a )2-4>0,a 2>4即a >2或a <-2.
3.若f (x )=x 2-x +a ,f (-m )<0,则f (m +1)的值为( ) A .正数 B .负数 C .非负数 D .与m 有关
解析:选B.法一:∵f (x )=x 2
-x +a 的对称轴为x =12,
而-m ,m +1关于1
2对称, ∴f (m +1)=f (-m )<0,故选B. 法二:∵f (-m )<0,∴m 2+m +a <0,
∴f (m +1)=(m +1)2-(m +1)+a =m 2+m +a <0.故选B. 4.已知函数y =ax 2+bx +c ,如果a >b >c ,且a +b +c =0,则它的图象是( )
解析:选D.∵a >b >c ,且a +b +c =0,得a >0,c <0(用反证法可得),∴f (0)=c <0,∴只能是D.
5.已知函数f (x )=x 2
+ax +b ,且f (x +2)是偶函数,则f (1),f (5
2),
f (7
2)的大小关系是( )
A .f (52)<f (1)<f (72)
B .f (1)<f (72)<f (52)
C .f (72)<f (1)<f (52)
D .f (72)<f (5
2)<f (1)
解析:选A.由f (x +2)是偶函数可知函数f (x )=x 2+ax +b 关于直线x =2对称,所以f (1)=f (3),又该函数图象开口向上,当x >2时单
调递增,故f (52)<f (3)=f (1)<f (7
2),故答案为A.
6.如图,有一直角墙角,两边的长度
足够长,在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0<a <12)、4 m ,不考虑树的粗细.现在想用16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S
m 2,S 的最大值为f (a ),若将这颗树围在花圃内,则函数u =f (a )的图象大致是( )
解析:选C.据题意设BC =x ,则DC =16-x ,要使树围在花圃
内,需⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥a 16-x ≥4
⇒a ≤x ≤12,此时花圃的面积f (x )=x (16-x )=-(x
-8)2+64(a ≤x ≤12),当8<a <12时,有f (a )=-a 2+16a ,当0<a
≤8时有f (a )=f (8)=64,综上所述可得:f (a )=⎩⎪⎨⎪⎧
-a 2
+16a ,8<a <12
64,0<a ≤8
,
作出图形易知C 选项正确.
7.已知函数f (x )=x 2-2x +2的定义域和值域均为[1,b ],则b =________.
解析:∵f (x )=(x -1)2+1,∴f (x )在[1,b ]上是增函数, f (x )max =f (b ),∴f (b )=b ,∴b 2-2b +2=b , ∴b 2-3b +2=0,∴b =2或1(舍). 答案:2
8.方程x 2-mx +1=0的两根为α、β,且α>0,1<β<2,则实数m 的取值范围是________.
解析:∵⎩
⎪⎨⎪⎧
α+β=m ,α·β=1,∴m =β+1β,∵β∈(1,2)且函数m =β+1
β在(1,2)上是增函数,∴1+1<m <2+12,即m ∈(2,5
2).
答案:(2,5
2)
9.已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )=kx 2-2kx 的最大值为3,那么实数k 的取值范围为________.
解析:∵f (x )=k (x -1)2-k ,
(1)当k >0时,二次函数图象开口向上,当x =3时,f (x )有最大值,f (3)=k ·32-2k ×3=3k =3⇒k =1;
(2)当k <0时,二次函数图象开口向下,当x =1时,f (x )有最大值,f (1)=k -2k =-k =3⇒k =-3.
(3)当k =0时,显然不成立. 故k 的取值集合为{1,-3}.
答案:{1,-3}
10.求下列二次函数的解析式:
(1)图象顶点坐标为(2,-1),与y 轴交点坐标为(0,11); (2)已知二次函数f (x )满足f (0)=1,且f (x +1)-f (x )=2x . 解:(1)法一:(一般式)设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0).
由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧
-b
2a =2,
4ac -b
2
4a =-1,11=c ,
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a =3,
b =-12,
c =11,
所以y =3x 2-12x +11.
法二:(顶点式)设y =a (x -2)2-1.
将(0,11)代入可得:11=4a -1,于是a =3, 所以y =3(x -2)2-1=3x 2-12x +11. (2)设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=1,可知c =1.
而f (x +1)-f (x )=[a (x +1)2+b (x +1)+c ]-(ax 2+bx +c )=2ax +a +b ,
由f (x +1)-f (x )=2x ,可得2a =2,a +b =0. 因而a =1,b =-1, 所以f (x )=x 2-x +1.
11.已知函数f (x )=x 2-4ax +2a +6(a ∈R ). (1)若函数的值域为[0,+∞),求a 的值;
(2)若函数值为非负数,求函数f (a )=2-a |a +3|的值域. 解:(1)∵函数的值域为[0,+∞), ∴Δ=16a 2-4(2a +6)=0 ⇒2a 2
-a -3=0⇒a =-1或a =3
2.
(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负数,
∴Δ=8(2a 2
-a -3)≤0⇒-1≤a ≤32,