2011届高三数学一轮巩固与练习：二次函数

练习与巩固
1．(2008年高考辽宁卷)若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
解析：选C.∵y ＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 是偶函数 ∴1－a ＝0，∴a ＝1，故选C.
2．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >2或a <－2 B ．－2<a <2 C ．a ≠±2 D ．1<a <3
解析：选A.f (x )有负值，则必须满足f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，其充要条件是：Δ＝(－a )2－4>0，a 2>4即a >2或a <－2.
3．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．与m 有关
解析：选B.法一：∵f (x )＝x 2
－x ＋a 的对称轴为x ＝12，
而－m ，m ＋1关于1
2对称， ∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0，故选B. 法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，
∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0.故选B. 4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )
解析：选D.∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，得a ＞0，c ＜0(用反证法可得)，∴f (0)＝c ＜0，∴只能是D.
5．已知函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b ，且f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (5
2)，
f (7
2)的大小关系是( )
A ．f (52)＜f (1)＜f (72)
B ．f (1)＜f (72)＜f (52)
C ．f (72)＜f (1)＜f (52)
D ．f (72)＜f (5
2)＜f (1)
解析：选A.由f (x ＋2)是偶函数可知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)，又该函数图象开口向上，当x ＞2时单
调递增，故f (52)＜f (3)＝f (1)＜f (7
2)，故答案为A.
6．如图，有一直角墙角，两边的长度
足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0＜a ＜12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S
m 2，S 的最大值为f (a )，若将这颗树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )
解析：选C.据题意设BC ＝x ，则DC ＝16－x ，要使树围在花圃
内，需⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥a 16－x ≥4
⇒a ≤x ≤12，此时花圃的面积f (x )＝x (16－x )＝－(x
－8)2＋64(a ≤x ≤12)，当8＜a <12时，有f (a )＝－a 2＋16a ，当0＜a
≤8时有f (a )＝f (8)＝64，综上所述可得：f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－a 2
＋16a ，8＜a <12
64，0＜a ≤8
，
作出图形易知C 选项正确．
7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b ＝________.
解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，∴f (x )在[1，b ]上是增函数， f (x )max ＝f (b )，∴f (b )＝b ，∴b 2－2b ＋2＝b ， ∴b 2－3b ＋2＝0，∴b ＝2或1(舍)． 答案：2
8．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m 的取值范围是________．
解析：∵⎩
⎪⎨⎪⎧
α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β，∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1
β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈(2，5
2)．
答案：(2，5
2)
9．已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________．
解析：∵f (x )＝k (x －1)2－k ，
(1)当k >0时，二次函数图象开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1；
(2)当k <0时，二次函数图象开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3.
(3)当k ＝0时，显然不成立． 故k 的取值集合为{1，－3}．
答案：{1，－3}
10．求下列二次函数的解析式：
(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)； (2)已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，且f (x ＋1)－f (x )＝2x . 解：(1)法一：(一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
－b
2a ＝2，
4ac －b
2
4a ＝－1，11＝c ，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝3，
b ＝－12，
c ＝11，
所以y ＝3x 2－12x ＋11.
法二：(顶点式)设y ＝a (x －2)2－1.
将(0,11)代入可得：11＝4a －1，于是a ＝3， 所以y ＝3(x －2)2－1＝3x 2－12x ＋11. (2)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，可知c ＝1.
而f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ，
由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0. 因而a ＝1，b ＝－1， 所以f (x )＝x 2－x ＋1.
11．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )． (1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；
(2)若函数值为非负数，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2
－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝3
2.
(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负数，
∴Δ＝8(2a 2
－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32，
∴a ＋3>0，
∵f (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝
⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32， ∴二次函数f (a )在⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－1，32上单调递减． ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤f (a )≤f (－1)，即－19
4≤f (a )≤4， ∴f (a )的值域为⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
－194，4.
12．已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a 、c ∈N *)满足：①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11.
(1)求a 、c 的值；
(2)若对任意的实数x ∈[12，3
2]，都有f (x )－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)∵f (1)＝a ＋2＋c ＝5， ∴c ＝3－a .①
又∵6＜f (2)＜11，即6＜4a ＋c ＋4＜11，②
将①式代入②式，得－13＜a ＜4
3， 又∵a 、c ∈N *，∴a ＝1，c ＝2. (2)由(1)知f (x )＝x 2＋2x ＋2.
法一：设g (x )＝f (x )－2mx ＝x 2＋2(1－m )x ＋2. ①当－2(1－m )
2≤1，即m ≤2时， g (x )max ＝g (32)＝29
4－3m ， 故只需29
4－3m ≤1，
解得m ≥25
12，又∵m ≤2，故无解．
②当－2(1－m )
2＞1，即m ＞2时， g (x )max ＝g (12)＝13
4－m ， 故只需13
4－m ≤1， 解得m ≥9
4. 又∵m ＞2，∴m ≥9
4.
综上可知，m 的取值范围是m ≥9
4. 法二：∵x ∈[12，3
2]，
∴不等式f (x )－2mx ≤1恒成立⇔2(1－m )≤－(x ＋1x )在[12，3
2]上恒成立．
易知[－(x ＋1x )]min ＝－5
2， 故只需2(1－m )≤－5
2即可． 解得m ≥9
4.。