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高二上学期数学期末检测试卷真题

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2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)

2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)

EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2

黑龙江省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

黑龙江省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（ ） 26y x =+(1,7)(1,7)x y +∆+∆yx∆∆A ． B ． 2x +∆12x x ∆--∆C ． D ． 12x x∆++∆12x x+∆-∆【答案】A【分析】根据平均变化率，代入计算． ()()00+∆-∆=∆∆f x x f x y x x【详解】()26172x x x x y ⎡⎤+-∆⎣⎦==+∆+∆∆∆故选：A2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） l 66cos 130x y β-+=l αA ． B ．[0,]πππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率cos 0β=π2cos 0β≠1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， cos 0β=6130+=x π2当时，由直线方程可得斜率， cos 0β≠1tan cos αβ==k 且，[]cos 1,1β∈- cos 0β≠，即，][(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞][()tan ,11,α∈-∞-⋃+∞又，，[)0,πα∈πππ3π,,4224α⎡⎫⎛⎤∴∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦由上知，倾斜角的范围是．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C ．3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 0n a >7448S Sa a-=+A ．2B ．C ．1D ．3212【答案】B【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】由题意得.745676486633222S S a a a a a a a a -++===+故选：B4．已知双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）22221(0,0)y x a b a b -=>>A． B ．0y ±=0x ±=C ． D ．30x y ±=30x y ±=【答案】B【分析】设，由题有，据此可得，即可得双曲线的渐近线方程.222+=a b c 3c a =228b a =【详解】设，由题有，则222+=a b c 3ce a ==222222298c a b b a b a a a +==⇒=⇒=±故双曲线渐近线方程为，即.y =0x ±=故选：B5．函数过点的切线方程为（ ）()2e xf x x =()0,0A ． B ． C ．或 D ．或0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=【答案】C【分析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求2(,e )m m m ()0,0参数m ，即可得切线方程.【详解】由题设，若切点为，则， 2()(2)e x f x x x '=+2(,e )m m m 2()(2)e m f m m m '=+所以切线方程为，又切线过， 22(2))e e (m m y m m m x m +-=-()0,0则，可得或，22(2e )e m m m m m +=0m =1m =-当时，切线为；当时，切线为，整理得. 0m =0y =1m =-e 1(1)y x --=+e 0x y +=故选：C6．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂24y x =足分别为两点，以线段为直径的圆C 过点，则圆C 的方程为（ ）11,A B 11A B (2,3)-A ．B ． 22(1)(2)2x y ++-=22(1)(1)5x y ++-=C ．D ．22(1)(1)17x y +++=22(1)(2)26x y +++=【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB 的中点24y x =(1,0)F 11A B =1x -1122(,),(,)A x y B x y 为E ，而圆心C 是线段的中点，又，即有，，11A B 111111,AA A B BB A B ⊥⊥11////EC AA BB 11EC A B ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线，由消去x 得：，:1AB x ty =+214x ty y x =+⎧⎨=⎩2440y ty --=则，E 的纵坐标为， 12124,4y y t y y +==-12||y y -==1222y y t +=于是得圆C 的半径，而圆C 过点， 111211||||22r A B y y ==-=(1,2)C t -(2,3)M -则有，解得， ||MC r ==12t =因此圆C 的圆心，半径C 的方程为. (1,1)C -r =22(1)(1)5x y ++-=故选：B7．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） x R ∈20x ax a +->a A ． B ． (]ln 2,0e -[)0,ln 2e C ． D ．(]2ln 2,0e -[)0,2ln 2e 【答案】C【分析】由不等式在上恒成立，问题转化为图象恒在上方，分类讨论参数x R ∈2x y =()1y a x =--，结合函数图象、导数，即可求在何范围时图象符合要求.a a 【详解】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立，x ∀∈R 20x ax a +->()21xa x >--问题可转化为：曲线恒处于直线的上方， 2x y =()1y a x =--当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.0a >当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件.0a =2x y =()1y a x =--当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点a<0(),2mm 22ln 2()mm y x m -=-，代入方程得，此时切线斜率为， ()1,0211log 2ln 2m e =+=2ln 2e由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方， 02ln 2a e <-<2ln 20e a -<<2x y =()1y a x =--综上，. 2ln 20e a -<≤故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围.8．已知，设，则（ ）ln 20.69≈3ln 8 3.527 3.536,,132a b c e ===A ． B ． a c b >>b c a >>C ． D ．a b c >>b a c >>【答案】D【分析】将化为，和b 比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即a 33323()2x x f x =可比较大小，再比较，即可得答案.,a b ,a c 【详解】由于，33ln83 3.527273 3.5,822a b e ====故设函数 ， 32322322ln 2(3ln 2)(),()2(2)2x x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅⋅-⋅'=∴==当时，，即在上单调递增， 3ln 2x <()0f x '>()f x 3(,ln 2-∞由于， 33 4.35ln 20.69≈≈故，即， (3)(3.5)f f <333 3.53 3.522a b =<=又，故， ln82727363813a c e ==>>=b a c >>故选：D【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，,a b 这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.二、多选题 9．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．函数在上单调递减B ．函数在上单调递增 ()f x (0,e)()f x (e,)+∞C ．函数没有最小值D ．函数的最小值为()f x ()f x e 【答案】BC【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案. 【详解】由，定义域为，且，则，()ln xf x x={|0x x >1}x ≠2ln 1()(ln )x f x x -'=当和时，，01x <<1e x <<()0f x '<故函数在上单调递减，故A 错误；()f x (0,1),(1,e)当时，，故函数在上单调递增，故B 正确； e x >()0f x '>()f x (e,+)∞当时，，当时，， 01x <<()0f x <1x >()0f x >作出其大致图像如图：由图像可知函数没有最小值，故C 正确，D 错误， ()f x 故选：BC10．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） (0,)+∞()f x ()f x '2()()()0f x x x f x '++<A ． B ． 4(2)3(1)f f <8(2)9(3)f f >C ． D ．3(3)2(1)f f >15(3)16(4)f f <【答案】AB【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可. ()()()01xf x g x x x =>+【详解】令，()()()01xf x g x x x =>+则， ()()()()()()()()()()222111f x xf x x xf x x g f x x x x x f x '++-⎡⎤⎣⎦'++'==++因为恒成立， 2()()()0f x x x f x '++<所以恒成立， ()0g x '<所以在上递减， ()g x (0,)+∞所以， ()()()()1234g g g g >>>即， ()()()()12233442345f f f f >>>所以，故A 正确； 4(2)3(1)f f <，故B 正确；8(2)9(3)f f >，故C 错误； 3(3)2(1)f f <故D 错误.15(3)16(4)f f >故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解()()()01xf x g x x x =>+决本题的关键.11．已知，令，则取到的值可以112(,6),(A x x B x -L =L 有（ ）A ．BCD ． 【答案】BCD【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从L =A B 而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错. 【详解】由，得点为直线上的点，11(,6)A x x -A 6y x =-由得点为曲线,(2B x B y则可以看作点到点的距离，L =A B由，y 221(0)2y x y +=≥所以点为椭圆且在轴上方的点，B 221(0)2y x y +=≥x如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为6y x =-221(0)2y x y +=≥y x C =-+联立，消得， 2212y x y x C ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩y 223220x Cx C -+-=则，解得（舍去()2241220C C ∆=--=C =则=-+y x所以直线与直线6y x =-=-+yxd==所以L≥对于A ，，A 错误；=<对于B B 正确；>=对于C C 正确；>=对于D ，D 正确. =>故选：BCD12．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者n )(n ϕn n )(n ϕ欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，3与4互质），则（ ） (4)2ϕ=A ．B ．如果为偶数，则数列单调递增(13)12ϕ=n {}()n ϕC ．数列的前6项和等于63D ．数列前项和为(){}2nϕ()54nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 1514n --【答案】AC【分析】根据欧拉函数的定义，即可求解AC,根据反例即可排除BD.【详解】对于A,13与1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12均互质，所以，故A 正(13)12ϕ=确，对于B,当时，6与1，5互质，所以，故B 错误，6n =(6)(4)2ϕϕ==对于C,由于2为质数，所以小于等于的正整数中,所有的偶数的个数为个，所以剩下的均与2n 12n -互质，故，所以前6项和等于，故C 正确，2n ()112=222n n n n ϕ---=(){}2nϕ251222=63++++ 对于D ，当时，5与1，2，3，4均互质，所以，而，，显然不成1n =()54ϕ=()514ϕ=051=04-立，故D 错误，（与不互质的数有，共有个，所以与不互质的数有5n 51055n n ，，-5，15n -5n ，因此，则前项和为，故错误） 115545n n n ---=⨯()(){}1155=45,54n nn n ϕϕ--⎧⎫⎪⎪⨯∴=⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 514n -故选：AC三、填空题13．圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆的圆心为，半径为，221:130O x y +-=(0,0)1r =圆的圆心为，半径为，222:650O x y x +-+=(3,0)22r =则，则两圆相交，121212||3r r O O r r -<=<+故将两圆方程相减可得：，即，6180x -=30x -=即圆与圆的公共弦所在直线方程为，221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=30x -=故答案为：30x -=14．已知，数列的前项和的通项公式为___________.21nn a =-12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n S 【答案】 112221n n n S ++-=-【分析】先化简为，再利用裂项相消法可求解. 112112121n n n n n a a ++=-⋅--【详解】因为，()()111212122211121n n n n n n n n a a +++----==-⋅所以 12231111111212121212121n n n S +-+--=++------ . 11111122212121n n n +++=--=---故答案为：. 112221n n n S ++-=-四、双空题15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，6m =共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数）， {}n a 1a m =m 1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当时，试确定使得至少需要________步雹程；若，则所有可能的取值集合34m =1n a =91a =m M 为________.【答案】 13{4,5,6,32,40,42,256}【分析】第一空，根据运算法则，写出每一个步骤，即可得答案；第二空，根据运算法则一步步逆推，分类求解，可得答案.【详解】当时，则按运算法则得到：34m =，34175226134020105168421→→→→→→→→→→→→→即使得需要13步雷程． 1n a =若，则或， 91a =8762,4,8a a a ===1当 时，则或， 68a =5416,32a a ==5若，则或；432a =3264,128a a ==21若，则，若，则； 2128a =1256a =221a =142a =当时，或，45a =3210,20a a ==3若时，则，若时，则； 220a =140a =23a =16a =当时，则或，61a =5432,4,8a a a ===1若，则或；38a =2116,32a a ==5若，则，31a =212,4a a ==故所有可能的取值集合为，m M {4,5,6,32,40,42,256}故答案为：13；{4,5,6,32,40,42,256}五、填空题16．已知分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，,A B 2213x y t -=,P Q x设直线的斜率分别为，若点A 到直线,AP BQ ,m n 2y mnx =________.【分析】确定的坐标，设点，表示出的表达式，结合化简可得,A B (,)P u v ,m n 2213u v t -=2y mnx =即，根据点A 到直线t 的值，即可求得答案.60x ty +=2y mnx =【详解】由题意可得双曲线中，，故， 2213x y t -=0t >(A B 设点,则,则，则， (,)P u v (,)Q u v -2213u v t -=223v t u t =--所以 AP m k ==BQ n k ==故即，即，即， 2y mnx =2(y x =2226v y x x t u t==--60x ty +=由于点A 到直线，2y mnx =解得， 6t =故双曲线离心率为 c e a ====【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设点，从而表示出，结合化简可得(,)P u v ,m n 2213u v t -=，从而可得即，这是关键的环节，然后再结合题意求解即可. 223v t u t=--2y mnx =60x ty +=六、解答题17．过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为 (0,1)P 22:20E x y kx k ++-=AB 、(1)求实数的取值范围.k (2)当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.10k =-AB 【答案】(1) 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭(2)存在，5200x y --=【分析】（1）根据点在圆外和圆方程的条件即可求解；P （2）易知四点共圆且以为直径，求其方程，利用两圆方程相减即可得到相交弦所P A B E 、、、PE 在直线方程，从而求解.【详解】（1）由题意可知，点在圆外，即，解得. P 120k ->12k <又因为圆，即， 22:20E x y kx k ++-=222824k k k x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以，即或，280k k +>8k <-0k >综上，实数的取值范围是. k 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭（2）当时，，10k =-22:10200E x y x +-+=即，所以圆心，22(5)5x y -+=()5,0E 因为与圆相切，所以四点共圆且以为直径.,PA PB P A B E 、、、PE 设过四点的圆上一点，P A B E 、、、(),M x y 则，即，即0PM EM ⋅= (5)(1)0x x y y -+-=2250x y x y +--=所以过过四点的圆的方程为，P A B E 、、、2250x y x y +--=两圆方程相减得，5200x y --=于是直线的方程为.AB 5200x y --=18．设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的2:2(0)E x py p =>0l T 0TT l '⊥T 'K 坐标为，则有最小值(6,0)KT TT '+(1)求抛物线的方程；(2)已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的(2,1)H -E E ,M N ，斜率分别为，求的值. HM HN 12,k k 1212k k k k +【答案】(1)24x y =(2) 12-【分析】（1）结合抛物线定义确定的最小值，即可求得p 的值，可得答案.KT TT '+（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将化简，即可求得答案. 1212k k k k +【详解】（1）设抛物线焦点为，则，则有， F (0,)2p F ||||||||KT TT KT TF KF '+=+≥即三点共线时取得最小值，,,F T K KT TT '+而有最小值KT TT '+=得，则抛物线的方程为 12p =E 24x y =（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设为k ，则其方程为，(0,1)F MN 1y kx =+设，()()1122,,,M x y N x y 由，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx --=216(1)0k ∆=+>，，124x x k ∴+=124x x =-，，111y kx =+221y kx =+ 121212221111x x k k y y --∴+=+++ 1212221111x x kx kx --=+++++ ()()()()()()122112222222x kx x kx kx kx -++-+=++ ()()12122121222(1)824kx x k x x k x x k x x --+-=+++， 222288(1)888248444k k k k k k k ------===--+++所以的值为. 1212k k k k +12-【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.19．设为数列的前项和，已知.n S {}n a n ()2*0,484n n n n a a a S n >+=-∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和. 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)()*42n a n n =-∈N (2) 11(1)224(2)n n T n n =-+-++【分析】（1）利用与的关系式即可求出；n S n a n a （2）结合的奇偶，利用分组求和法、裂项相消法求和.n 【详解】（1）由，①，得：0n a >2484n n n a a S +=-当时，，解得.1n =2111148484a a S a +=-=-12a =当时，②，2n ≥2111484n n n a a S ---+=-①-②得：，2211144888n n n n n n n a a a a S S a ---+--=-=即()()()1114n n n n n n a a a a a a ---+-=+所以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列.14n n a a --={}n a 所以.()*42n a n n =-∈N （2） ()()()()()()188111424242n n n n n n n n a n a a n n +⎛⎫-⋅+=-+-⋅- ⎪-+⎝⎭, ()()()()()()()()2111114211222212122121n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=-+-⋅-=-⨯++-⋅-+ ⎪-+-+⎝⎭设数列的前项和为， (1)21211112⎧⎫⎛⎫⨯+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭--+n n n n n C ； (1)1(1)(1)33557212111212111111111122214⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++⋅⋅⋅++=+=-+ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-----+⎭⎣⎦++n n n n C n n n n 设数列的前项和为，(){}(1)222-⋅-+n n n n n D .()()()()()()02244668(1)222(1)2+++-++++-⋅==--+-⋅n n n n n n D所以数列的前项和 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n 11(1))224(2=-+-+++=n n n n T C D n n 利用分组，列项和并项求和即可获得. 11(1)224(2)n n T n n =-+-++20．已知等差数列的前项和为，首项为，.数列是等比数列，公比小于0，{}n a n n T 38-63T T ={}n b q 且，，数列的前项和为，121b a =39b a ={}n b n n S (1)记点，证明：在直线上； ()*,,N n n n L b S n ∈n L :330l x y -+=(2)对任意奇数恒成立，对任意偶数恒成立，求的最小值.,n n M S ≥,n n N S ≤M N -【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据题意求得等常数列的通项公式，即可求得等比数列的通项公式，继而求得,n n b S 的表达式，即可证明结论；（2）结合（1）可判断当为奇数和偶数时的单调性，从而求得的最值，即可得答案.n n S ,M N 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d ， {}n a 则由首项为，可得，则， 38-63T T =365332638282d d ⨯⨯-⨯+⋅=-⨯+⋅332d =故， 33315(1)8323232n a n n =-+-⨯=-由，，得，， 0q <121b a =39b a =131532132322b ⨯-==2131519,32322q q b ⨯-∴=-=故，， 131()22n n b -=⋅-311()1221(121()2n n n S ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----则，即， 1311(22233(3n n n n S b -=-=-=--330n n S b -+=则点在直线上；(),n n n L b S :330l x y -+=（2）由（1）可知， n S =111()1(12()2n n n --=--当为奇数时，在奇数集上单调递减，； n (112n n S =+31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦当为偶数时，在偶数集上单调递增，， n 11()2n n S =-3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以. min max min 333,,()244M N M N ==∴-=21．已知函数.()ln (2)1(R)f x x m x m m =+-+-∈(1)当时，求函数的最小值；1m =()e ()x h x x f x =-(2)是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.m ()0f x ≤m 【答案】(1)1(2)存在,最小正整数3m =【分析】（1）根据题意可得，构造函数，利用导数说明其单调ln ()e (ln )x x h x x x +=-+()e x m x x =-性，结合设，判断其取值情况，即可求得答案.()ln ,(0)g x x x x =+>（2）求出函数的导数，根据其表达式，讨论时，说明不合题意，当时，将问题转化为2m ≤m 2>函数的最值问题，即可求得答案.【详解】（1）当时，，1m =()ln ,(0)f x x x x =+>，ln ()e ()e (ln )e (ln )x x x x h x x f x x x x x x +=-=-+=-+令，则，()e x m x x =-()e 1x m x '=-当时，，当时，，0x <()0m x '<0x >()0m x '>即在上单调递减，在上单调递增，()m x (,0)-∞(0,)+∞故，仅当时取等号，1())(0m m x ≥=0x =故对于，此时，ln ()e (ln )x x h x x x +=-+ln 0x x +=令，则， ()ln ,(0)g x x x x =+>11()10x g x x x+'=+=>即在在上单调递增，()ln g x x x =+(0,)+∞，，故，使得， 1110e e g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭(1)10g =>01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x =函数的最小值为.()e ()x h x x f x =-00ln 000()e (ln )1x x h x x x +=-+=（2）由题意的定义域为，()ln (2)1f x x m x m =+-+-(0,)+∞， 1(2)1()2m x f x m x x-+'=+-=当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合题意；2m ≤()0f x '>()f x (0,)+∞当时，时，，时，， m 2>102x m <<-()0f x '>12x m >-()0f x '<函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x 10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,2m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭当时，函数取得最大值，且， 12x m =-()f x max 11()ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭要使恒成立，即，()0f x ≤max ()0f x ≤所以，即， 1ln 02m m -≤-ln(2)0m m -+≥令，， ()ln(2),(2)m m m m ϕ=-+>11'()10,(2)22m m m m m ϕ-=+=>>--所以在上单调递增， ()m ϕ(2,)+∞，， 6120e ϕ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(3)ln130ϕ=+>所以存在最小正整数，使得，即使得恒成立.3m =()ln(2)0m m m ϕ=-+≥()0f x ≤【点睛】方法点睛：（1）第一问中要能根据的表达式的结构特征进行变形为()h x ，从而构造函数，利用导数判断单调性，解决问题；ln ()e (ln )x x h x x x +=-+（2）第二问中，根据函数不等式恒成立问题，求出函数导数，分类讨论参数范围，进而转化为函数最值问题解决.22过点，点分别为椭圆的左、2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F C 右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭2F x 0l T 1l OT O 圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.C ,M N 0l P P ,M N (1)当面积最大时，求的方程；TMN △1l (2)求证：.||||||||TM PN TN PM ⋅=⋅【答案】(1) 2y x =-(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点联立方程即可解，进而可得椭圆方2a b c ===程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，进而由弦长公式求解弦长，利用面积公式表达面积，结合基本不等式即可求解最值，（2）根据比例关系可将问题转化成斜率之和为0，代入斜率公式即可化简求解.【详解】（1）由题意可知，解得,22222231c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c ===所求椭圆的方程为. C 22184x y +=当时，，所以 2x =211422y æöç÷=-´=ç÷èø(2T 由于的方程为，设，，OT k =1l y t =+()11,M x y ()22,Nx y 由，消去整理得， 22184y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2240xt +-=由韦达定理可得：，()12212224Δ2808x x x x t t t ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-->⇒<⎪⎩则||MN===又点到的距离 T 1ld ==所以. 11|22TMN S MN d t ===V≤=当且仅当，即时，等号成立.228t t -=24t =又介于两点之间， P ,MN 2P y t t ++所以，故.0t t --<<2t =-故直线的方程为：. 1l 2y =-（2）要证结论成立，只须证明， ||||||||TM TN PM PN =由角平分线性质即证：直线为的平分线，2x =MTN ∠转化成证明：.0TM TN k k +=由于TM TN k k+= ()()()()122112222222t x t x x x ⎡⎡⎫⎫+-++--⎢⎢⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=--===0=因此结论成立.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用。

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市房山区高二上学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则z的共轭复数()A. B. C. D.2.在三棱柱中，D为棱的中点．设，用基底表示向量，则()A. B. C. D.3.两条直线与之间的距离是()A.5B.1C.D.4.设直线l的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，下列叙述中错误的是()A.平面PCDB.C. D.平面平面ABCD6.已知M为抛物线上一点，M到C的焦点F的距离为6，到x轴的距离为4，则()A.6B.4C.2D.17.下列双曲线中以为渐近线的是()A. B. C.D.8.已知点，若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是()A. B.C.D.9.已知双曲线Q 与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为P ，是以为底边的等腰三角形，则双曲线Q 的标准方程为()A.B.C.D.10.如图，在棱长为2的正方体中，P 为线段的中点，Q 为线段上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点Q ，使得B.存在点Q ，使得平面C.三棱锥的体积是定值D.存在点Q ，使得PQ 与AD 所成的角为二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.若直线与直线垂直，则a 的值为__________.12.复数的实部为__________.13.已知圆则圆的圆心坐标为__________；若圆与圆内切，则__________.14.如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为__________；平面ABCD 与平面夹角的余弦值为__________.15.已知直线，则与的交点坐标为__________；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数a的值__________.16.已知曲线，给出下列四个命题：①曲线关于x轴、y轴和原点对称；②当时，曲线共有四个交点；②当时，③当时，曲线围成的区域内含边界两点之间的距离的最大值是3；④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．其中所有真命题的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

高二上学期的数学期末考试题目及答案

高二上学期的数学期末考试题目及答案

高二上学期的数学期末考试题目及答案一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 以下哪个是等差数列？- A. 2, 4, 6, 8- B. 3, 6, 9, 12- C. 1, 3, 9, 27- D. 2, 5, 8, 11答案：A2. 函数y = x^2 + 3x + 2的图像是一个什么形状？- A. 抛物线- B. 直线- C. 双曲线- D. 圆答案：A3. 若a + b = 7，且a^2 + b^2 = 37，则a和b的值分别为多少？- A. a = 4, b = 3- B. a = 3, b = 4- C. a = 5, b = 2- D. a = 2, b = 5答案：B4. 在一个等边三角形中，每个内角是多少度？- A. 60°- B. 90°- C. 120°- D. 180°答案：A5. 已知一个正方形的边长为2cm，那么它的周长是多少？- A. 4cm- B. 6cm- C. 8cm- D. 12cm答案：C6. 若sinθ = 0.5，那么θ的值是多少？- A. 30°- B. 45°- C. 60°- D. 90°答案：B7. 以下哪个是素数？- A. 12- B. 17- C. 20- D. 25答案：B8. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了2小时30分钟，那么它行驶的距离是多少公里？- A. 75公里- B. 100公里- C. 125公里- D. 150公里答案：C9. 若a:b = 3:5，且b:c = 4:7，则a:c的比值是多少？- A. 12:20- B. 9:20- C. 3:7- D. 12:35答案：B10. 一个扇形的半径为5cm，弧长为10πcm，那么它的圆心角是多少度？- A. 36°- B. 54°- C. 72°- D. 90°答案：C二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 当x = 2时，函数y = 2x^2 + 3x - 1的值为 \_\_\_。

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内表示的点位于（）A. 实轴B. 虚轴C. 线段AB的中点D. 圆心O答案：C2. 已知函数f(x)=2x+1，若f(f(x))=3，则x等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A3. 设函数g(x)=x²-4x+c，若g(x)的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°（其中O为坐标原点），则c的取值范围是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 3]D. [3, +∞)答案：A4. 已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的首项为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B5. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，∠DCE=30°，则BD的长度为（）A. 8B. 10C. 12D. 16答案：B6. 已知函数h(x)=x³-3x，若h(x)的图象上存在一个点P，使得∠AOP=90°（其中O为坐标原点），则x的取值范围是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：C7. 若等比数列{bn}的前三项分别为1、2、4，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A8. 已知函数p(x)=x²-2x+1，若p(p(x))=0，则x等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 设函数q(x)=|x-1|+|x+1|，则q(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 若三角形ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=4，则BC的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 若复数z=a+bi（a、b为实数），且|z|=2，则___。

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（共40分，每小题2分）1. 一次函数y = 2x - 3的图象是直线，下列说法正确的是（）。

A. 过点(-3, 3)B. 过点(0, -3)C. 过点(3, 0)D. 过点(0, 3)答案：C2. 已知函数y = ax² + bx + c的图象经过点(1, 4)，则a + b + c的值为（）。

A. 4B. 6C. 8D. 10答案：B3. 在直角坐标系中，已知点A(2, 3)，点B在x轴上，且AB = 5，则点B的坐标为（）。

A. (2, 0)B. (0, -3)C. (7, 0)D. (-3, 0)答案：A4. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x² - 4，则f(g(2))的值为（）。

A. 3B. 7C. 9D. 11答案：C5. 函数y = x² - 6x + 8的图象是一条抛物线，下列说法正确的是（）。

A. 开口向上B. 开口向下C. 与x轴平行D. 与y轴平行答案：A二、解答题（共60分）6. 解方程组：2x - y = 3x + y = 5解答：将第一式两边同时加上第二式得到：2x - y + x + y = 3 + 53x = 8x = 8/3将x的值代入第二式得到：8/3 + y = 5y = 5 - 8/3y = 15/3 - 8/3y = 7/3因此，方程组的解为x = 8/3，y = 7/3。

7. 某商品原价为120元，现在打8折出售，求出售价格。

解答：打8折即为原价乘以0.8，所以出售价格为120元 × 0.8 = 96元。

8. 某数的5倍减去6等于30，求这个数。

解答：设这个数为x，则根据题意可以列出方程：5x - 6 = 305x = 30 + 65x = 36x = 36/5因此，这个数为36/5。

9. 已知等差数列的首项为3，公差为4，求第10项。

解答：第10项可以通过首项加上9倍公差来计算：第10项 = 3 + 9 × 4= 3 + 36= 39因此，第10项为39。

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市丰台区高二上学期期末练习数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线l经过，两点，则直线l的倾斜角为()A. B. C. D.2.已知数列的前n项和为，且，，则()A. B. C.1 D.33.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.若，则()A.2B.3C.4D.54.已知椭圆的焦点在x轴上，则m的取值范围是()A. B. C. D.5.如图，在四面体OABC中，，，点M在OC上，且，N为AB 的中点，则()A. B.C. D.6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上.若，则的面积为()A.2B.4C.8D.97.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，且表示第i天月球被太阳照亮部分所占满月的份数.例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即已知的第1项到第5项是公比为q的等比数列，第5项到第15项是公差为d的等差数列，且q，d均为正整数，则()A.40B.80C.96D.1128.已知点P在由直线，和所围成的区域内含边界运动，点Q在x轴上运动.设点，则的最小值为()A. B. C. D.9.如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱上一动点.给出下列四个结论：①存在点F，使得平面；②直线EF与所成角的最大值为；③点到平面的距离为；④点到直线的距离为其中所有正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.410.过双曲线的右焦点F引圆的切线，切点为P，延长FP交双曲线C的左支于点若，则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知向量，，若与共线，则__________.12.双曲线的渐近线方程为__________.13.已知等差数列的前n项和为，能够说明“对，若，则”是假命题的的一个通项公式为__________.14.在平面直角坐标系xOy中，已知点，点Q在圆上运动，当取最大值时，PQ 的长为__________.15.已知是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为，且给出下列四个结论：①；②各项中的最大值为2；③，使得；④，都有其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共6小题，共72分。

河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

2022级高二第一学期期末考试数学试卷及详解

2022级高二第一学期期末考试数学试卷及详解

2022级高二第一学期期末考试数学试卷（答案在最后）一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD P AC 夹角的余弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且（*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =都有1n n c c +>成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1l （直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l，与椭圆C 相交于,P Q 两点，求PF QFTM TN ⋅⋅的值.参考答案：8．D【详解】 1112n n n n n n a a a a a a +-++= 112a =，418a =，∴112a =，41a 1115．99100/0.99【详解】因为2312555a a a ++所以当2n ≥时，21255a a ++将1 与2 式相减得：5nn a 1，的最小距离为d r-=则(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3),A B P 所以(0,1,3),(3,1,0),PB CB =-= 设平面PBC 的一个法向量(n = 令3z =，则1,3x y =-=，所以联立方程()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 后整理为(2022级高二第一学期期末考试数学试卷一、单选题(每小题五分)二、多选题（每小题五分）三、填空题（每小题5分）表示的圆中，当圆面积最小时，此时k =.是边长为43的等边三角形，则251n a +，则{}n b 的前99项和为是该正四面体内切球球面上的动点，当PA PD ⋅取得最小值时，点四、解答题（17题10分，18-22题12分）(1)证明：//PC 平面ADE ；(2)若平面BDEP ⊥平面ABCD 弦值.21．已知函数()y f x =的图象经过坐标原点，且(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足3log n a +(3)令22n n a d +=，若3d n c =成立.22．已知椭圆2222:1(x y C a b +=(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,0T a 作直线1（直线1的斜率不为0）与椭圆C 相交于,M N 两点，过焦点F 作与直1l 的倾斜角互补的直线2l ，与椭圆。

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含解析)

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含解析)

安徽省五市2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．直线的倾斜角为( )A.45°B.60°C.135°D.150°2．在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则m 的值为( )3．已知等差数列满足，则( )A.10B.8C.6D.44．如图，三棱柱中，，，，点M 为四边形的中心点，则( )B.D.5．已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的焦点坐标分别为( )A.， B.， C.， D.，6．已知数列的前n项和为，前n 项积为，满足，则( )A.45B.50C.55D.607．已知点F 为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A ,B 两点，点M 为的中点，过点M 向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若20x y ++=()0,0,1A ()1,2,3B (),,2C m n ABBC{}n a 1356a a a ++=24a a +=111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =11BCC B AM =1122b c ++ 1122a b c++1122b c +-1122a b c--222:14y x C b -=20x =()3,0()3,0-()0,3()0,3-()1,0()1,0-()0,1()0,1-{}n a n S n T 21n n S a =-1224log T T =22(0)y px p =>:21l y x =+AB 1M 1||MM =( )A.2B.3C.4D.58．已知函数表示不超过x 的最大整数，，，数列的前n 项和为，则( )A.673B.747C.769D.821二、多项选择题9．在空间直角坐标系中，已知向量，，则下列结论正确的是( )A.向量关于平面的对称向量的坐标为B.若，则D.若，10．已知椭圆的上顶点为B ，左、右焦点分别为，，则下列说法正确的是( )A.若，则C.当时，过点D.若直线与椭圆C 的另一个交点为A ，，则11．已知等差数列的前n 项和为，且满足，，现将数列与数列的公共项从小到大排列可以得到新数列，则下列说法正确的是( )A. B. C. D.数列的前10项和为12．点A ,B 为圆上的两点，点为直线上的一个动点p =()[]f x x =41n a n =-[]2log n n b a ={}n b n S 100S =Oxyz ()2,2,1a =-(),,2b x y = a Ozx ()2,2,1a b ⊥ 20x y -+=225x y +=a b ⊥ 2x =-1y =-222:1(1)x C y a a +=>1F 2F 12BF BF ⊥a =2=2a =F 1BF 112BF F A = 232a ={}n a n S 11a =238a a +={}n a {}1n S -{}n b 21n a n =-21n S n =-10399b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭102122():21M x y -+=()1,P t -:1l x =-，则下列说法正确的是( )A.当，且为圆直径时，面积的最大值为3B.从点向圆C.A ,B 为圆M上的任意两点，在直线l 上存在一点P ，使得D.当三、填空题13．已知直线，，则直线，之间距离的最大值为______.14．过点的直线l 被圆：所截得的弦长的最小值为______.15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，直线与双曲线C 交于P ，Q 两点，点M 为双曲线C 在第一象限上的点，记直线、的斜率分别为、，且，若的面积为、的斜率分别为、，则______.16．已知抛物线，过该抛物线焦点F 的直线l 与该抛物线相交于A ,B两点（其中点A 在第一象限），当直线l 的倾斜角为，O 为坐标原点，则面积的最小值为______.四、解答题17．已知直线l 过点.（1）若直线l 在y 轴上的截距b 、在x 轴上的截距的a 满足，求直线l 的方程；（2）若直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点，O 为坐标原点，当的面积最小时，求直线l 的方程.18．已知数列的前n 项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和.19．如图，三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，的0t =AB PAB △P M π3APB ∠=(1,2P -+1+1:1l y kx =+()2:2l y k x =-1l 2l ()3,122450x y x +--=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F :l y kx =MP MQ MP k MQ k 3MP MQ k k ⋅=12MF F △1MF 2MF 1MF k 2MF k 12MF MF k k +=22(0)y px p =>602OAB △()1,23b a =OAB △{}n a n S 2n S n ={}n a 2n n n b a ={}n b n T P ABC -ABC PA PC ==（1）证明：；（2）若，点F 为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.20．已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆C 上任意一点，点P 到距离的最大值为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点的两条不同的直线，关于x 轴对称，直线，与椭圆C 在x轴上方分别交于M 、N 两点.直线是否过x 轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由.21．已知数列的前n 项和为，前n 项积为，满足.（1）求，和；22．已知点，圆，点，点的轨迹为曲线C ，点A 为曲线C 上一点且在y 轴右侧，曲线C 在点A 处的切线l 与圆交于M ，N 两点，设直线，的倾斜角分别为,.（1）求曲线C 的方程；AC BP ⊥2PB =PB ACF PBC 2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 2F 1F )21+1F 1l 2l 1l 2l MN {}n a n S n T ()*12n n T a n =-∈N 1T 2T n T 11122n n S +⎛⎫-+<<⎪⎝⎭()12,0F -222:(2)10F x y -+=(,P x y 2(),P x y 2F 1F M 1F N αβ参考答案1．答案：C解析：根据题意：，所以该直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，且，可得.故选：C 2．答案：B解析：根据题意：，，与共线，所以，可得故选：B 3．答案：D解析：由，得到，即，所以，故选：D.4．答案：A解析：根据题意，，又，所以，故选：A.5．答案：B解析：已知双曲线的渐近线方程为，对照202x y y x ++=⇔=--1-α0180α︒≤<︒tan 1135αα=-⇔=︒()1,2,2AB = ()1,2,1BC m n =---AB BC()()1,2,11,2,2BC AB m n λλ=⇔---= λ==1356a a a ++=336a =32a =24324a a a +==1111()22AM AB BM AB BC AB BB BC =+=+=++BC AC AB =-1111111222222AM AB BB AC a b c =++=++ 222:14y x C b -=220y x x by b =±⇔±=，可得，所以，所以该双曲线的焦点坐标分别为，.故选：B.6．答案：D解析：根据题意：，，两式作差可得，当时，，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，所以，故选：D.7．答案：B解析：根据题意，过点A ,B 分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，，所以设，，，联立.故选：B.20x =25b =2549c =+=()0,3()0,3-21n n S a =-1121n n S a --=-12n n a a -=1n =11a ={}n a 2n n a -=()()44156056128922a a a a a =⋅⋅⋅⋅=⋅==1224log 60T T =1A 1B 111||||2||AA BB MM +==()11,A x y ()22,B x y 121222p px x x x p +++=++()221224421021y px x p x x x y x ⎧=⇒+-+=⇒+=⎨=+⎩1227322p AF BF x x p p p -+=++=+=⇒=8．答案：A解析：根据题意分析可得：，，，，，，，，，所以.故选：A 9．答案：AC解析：对于选项A:根据题意可知向量关于平面的对称向量的坐标为,故A 正确；对于选项B:若，则，即，故B 错误；，故C 正确；对于选项D:若或，故D 错误.故选：AC.10．答案：ABD解析：对于A 项，若，则对于B项，由可解得：，故B 项正确；对于C 项，时，椭圆，因过点的直线被椭圆C 所截的弦长的最小[][]1212log log 31b a ===[][]2222log log 72b a ===[][]3232log log 113b a ===[][]4242log log 153b a ===584b b ~=9165b b ~=17326b b ~=33647b b ~=651008b b ~=10012324458616732836673S =++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()2,2,1a =-Ozx ()2,2,1a b ⊥ 2220a b x y ⋅=-+= 10x y -+=225x y =⇔+=a b ⊥ 2210251x y x x y y -+==-⎧⇒⎨+==-⎩12x y =⎧⎨=⎩1BF BF ⊥1c ==a =22221e a a -==2a =2a =22:14x C y +=1F 1=≠对于D 项，如图，因为，，设点，由可得，解得：，代入椭圆，故选：ABD.11．答案：ACD解析：设等差数列的公差为d ，，由解得：，故，，故A 项正确，B 项错误；将数列列举出来为：数列列举出来为：故共同项依次有：,即，故，则，C 项正确；，故选：ACD.12．答案：ABD解析：对A ：当，为直径时，为点A 的纵坐标），所以当点A 为或时，三角形面积最大，的()0,1B ()1,0F c -(,)A m n 112BF F A =(,1)2(,)c m c n --=+31,22c A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭222:x C y a +=114==2={}n a 11a =231238a a a d +=+=2d =12(1)21n a n n =+-=-()21212n n n S n +-=={}n a 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,, {}1n S -0,3,8,15,24,35,,3,15,35, 13,35,57,(21)(21)n n ⨯⨯⨯-⨯+ 2(21)(21)41n b n n n =-⨯+=-1041001399b =⨯-=()()21111141212122121n n n n n ⎛⎫===⨯- ⎪--+-+⎝⎭11111111111323521921221⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-++⨯-=⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0t =AB 1122PAB S PM =⨯△A ()2,1()2,1-PAB，所以A 正确；对B ：设，交与点N ，由圆的切线性质，则，，当点P 在处时，最大，此时对C ：当点在处，且，为切线时，最大，此时所以不存在符合的点，C 错误；对D ：设的中点D，则设小圆半径为，D 正确.()1max 1232PAB S PM r =⨯⨯=△APM θ∠=AB PM Rt Rt BNP MNB :△△ABM APM θ∠=∠=2cos θθ()1,0-θsin θ=θ==P ()1,0-PA PB APB ∠1sin 3APM ∠=<APM <2APB APM =∠<AB MD ⊥=+r 1PM r =+=+ +1+解析：由题意可知：直线的斜率为k ，过定点；直线的斜率为k ，过定点；可知14．答案：判断可知点在圆内，而圆，若直线l 斜率存在时，设，圆心到直线的距离为，若，则，若,，则，解得或直线l 斜率存在时，，若直线l 斜率不存在时，即，圆心到直线的距离为，综上所述，圆心所以所截的弦长的最小值为故答案为：15．答案：解析：1:1l y kx =+()0,1A ()2:2l y k x =-()2,0B 1//l l ()3,122450x y x +--=2222450(2)9x y x x y +--=⇔-+=:31l y kx k =-+()2,031y kx k =-+d )2221210d k k d -++-=1d =0k =0d >1d ≠()224410d ∆=--≥01d <<1d <≤max d =1=-:3l x =()2,03x =1d =(2,0=设，，，根据题意，可得，联立，化简得，所以,所以，又，可得，，所以双曲线，的面积为代入双曲线C 的方程可得，所以故答案为：.解析：如图所示，分别过A ,B 向准线作垂线，垂足分别为、，过B 作的垂线，垂足为M ，当直线l 的倾斜角为，，即，(),M M M x y 0M x >0M y >2c =22221x y a by kx⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222220b a k x a b --=2k <120x x +=12x x =()()()()222222222222222121222222212123M M M MP MQ M M M MM k kx y kx y k x x y b k a b b x k x x b x x x x x a a k b a a b a k b x ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭--+⋅====-=--++2224a b c +==21a =23b =22:13y C x -=12MF F △2M M c y y ⨯=⇔=M x =12MF MF k k +==A 'B 'AA '602()601cos 60p BF BF p ︒=-⇔+︒=3232p =⨯=设，，满足，，设直线，代入抛物线方程，可得，，所以，当时，三角形.17．答案：（1）或；（2）解析：（1）根据题意：直线l 在y轴上的截距是在x 轴上的截距的3倍，当直线l 不过原点，将代入可得所以直线l 的方程为；当直线l 过原点，所以直线l 的方程为即.综上，直线l 的方程为或；（2）设直线l 的方程为，所以，，()11,A x y ()22,B x y 2116y x =2226y x =3:2AB x my =+26y x =2690y my --=121269y y my y +=⎧⎨=-⎩()1219222OAB p S y y =⨯+≥△0m =350x y +-=20x y -=240x y +-=(0,013ya =()1,2n =350x y +-=(0,02=()221y x -=-20x y -=350x y +-=20x y -=()21(0)y k x k -=-<21,0A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2B k -所以，当且仅当，（舍），所以直线l 的方程为即.18．答案：（1）；（2）解析：（1）根据题意：，当时，，两式相减即得：，因时，，满足上式，故；（2），则，，两式相减可得：，故.19．答案：（1）证明见解析；如图，取的中点O ，连接，，因为，所以，又因为底面是边长为2的等边三角形，()1214124422OAB S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=⨯--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△k -=2442OAB k k =⇔=⇔=-△2k =()()221y x -=--240x y +-=21n a n =-()12326n n T n +=-⨯+2n S n =2n ≥21(1)n S n -=-22(1)21n a n n n =--=-1n =11a =21n a n =-()2212n n n n b a n ==-⋅2121232(21)2,n n n T b b b n =+++=⨯+⨯++-⨯ ()23121232212n n T n +=⨯+⨯++-⨯ ()21122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⨯--⨯ ()()()111412122212632212n n n n T n n -++--=⨯+⨯--⨯=-+-⨯-()12326n n T n +=-⨯+AC PO BO PA PC =PO AC ⊥ABC所以，又,平面，可得平面，又平面，所以.（2）因为，所以，因为，由可得：，又，,平面，所以平面，如图，以，，分别为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，，因，，设平面的法向量，则，取，得，则，又，，设平面的法向量，则取，得.设平面与平面的夹角为，则故平面与平面.BO AC ⊥PO BO O = ,PO BO ⊂POB AC ⊥POB BP ⊂POB AC BP ⊥PA PC ==1AO =1PO =BO =2PB =222PO BO PB +=PO BO ⊥PO AC ⊥BO AC O = ,BO AC ⊂ABC PO ⊥ABC OA OB OP()1,0,0A ()B ()1,0,0C -()0,0,1P 12F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()2,0,0AC =- 1(2AF =-ACF ()1,,n x y z = 1120102AC n x AF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩ 1y =z =0x =1(0,1,n =()1,0,1PC =--()1PB =- PBC ()2,,n x y z = 220,0PC n x z PB n z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =z ==2(=ACF PBC θ1212cos n n n n θ⋅===⋅ ACF PBC；（2）是，解析：（1）根据题意，，解得，又，；（2）根据题意可得：设直线的方程为，联立，设直线与椭圆C 的交点为，，可得：由对称性可知：，直线的方程为，设直线与x 轴交点为，所以，可得：，所以直线过定点.的214y +=()4,0-c e a ==2c +=+a =2=22224a b c b =+⇔=214y +=1l ()2y k x =+()()2222222128880184y k x k x k x k x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩1l ()11,M x y ()22,M x y '1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()22,N x y -2l ()2y k x =-+MN (),0T t ()()1212121222TM TN k x k x y y k k x t x t x t x t+-+-=⇔=⇔=----()()()()1221220x x t x x t ⇔+-++-=()()22212122216168162240401212k tk k x x t x x t t k k--+-+-=⇔+-=++24160412t t k--⇔=⇔=-+MN ()4,0-21．答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）当时，当时，数列的前n 项积为，满足，时，，，数列是首项为4，公比为2的等比数列，时，（2）先证明左边：即证明，又由，解得又所以，1T =217=n T =1n =111112T a T a =-⇔==2n =2212222312127T a a a a a T =-⇔=-⇔=⇔= {}n a n T ()*12n n T a n =-∈N ∴2n ≥1n T =112n T -=⨯+11121n T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭n =14=11n T ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭∴1111422n n n n T T -++=⨯=⇔=1n =1T =n =111222n n n S +⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭n T =12n n T a =-n a =11212112122n n n n n a ++--=>=--123111142111111111222222222212nn n n n n S ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦>-+-++-=-=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-再证明右边：22．答案：（1）；根据题意：，，，根据定义可得，，所以曲线C 的轨迹方程为；（2）根据题意：，，当l 的斜率不存在时，，此时，，，当l 的斜率存在时，设，，()1212121221n n n n n a +--=<=--∴n S <2213y x -=()12,0F -(22,0F 12224a c F =<==221(0,0)y a b b-=>>221a a =⇔=242c c =⇔=222b c a b =-⇔=2213y x -=()12,0F -()22,0F :1l x =()1,3M ()1,3N -110F M F N ⋅=β=()11,M x y ()22,N x y设直线，联立直线l 与圆可得：，，所以代入韦达定理可知，因为直线l 与曲线C 相切，联立，，所以，故得，:l y kx m =+2F ()()1222221212460(2)10x x y kx m k x km x m x y x x ⎧+⎪=+⎧⎪⇒++-+-=⇒⎨⎨-+=⎩⎪=⎪⎩()()()22222Δ244161616244240km k m km k m =--+-=-++-+>()()()()()22111212121222124F M F N x x y y k x x km x x m ⋅=+++=++++++()()()22221122234262411m k km F M F N m km m k k -+-⋅=-++⋅++=++ ()22222132303y x k x kmx m y kx m ⎧-=⎪⇒----=⎨⎪=+⎩()230k -≠22Δ030k m =⇔--=110F M F N ⋅=β=。

2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年江苏省南通市高二(上)期末数学试卷(含答案)

2023-2024学年江苏省南通市高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列1,53,52，…的通项公式可能是a n =( )A. n 2+1n +1B. n +1n 2+1C. n 22n−1D. n 2+12n−12.圆(x +1)2+y 2=1和圆(x−2)2+(y−4)2=16的位置关系为( )A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切3.某校文艺部有7名同学，其中高一年级3名，高二年级4名.从这7名同学中随机选3名组织校文艺汇演，则两个年级都至少有1名同学入选的选法种数为( )A. 12B. 30C. 34D. 604.已知F 是抛物线C ：x 2=2py(p >0)的焦点，点A(1,14)在C 上，则|AF|=( )A. 38B. 58C. 54D. 945.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4=6，S 8=18，则S 16=( )A. 48B. 90C. 96D. 1626.已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l 经过点T(1,12)与C 交于A ，B 两点.若T 是线段AB 的中点，则l 的方程为( )A. 4x−6y−1=0 B. 3x−2y−1=0 C. 4x +6y−7=0 D. 3x +2y−4=07.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，AA 1=3，BD =4，AD 1⋅DC−AB 1⋅BC =5，则cos <AA 1，BD >=( )A. 512B. −512C. 415D. −4158.已知F 是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线y = 52b 与C 交于A ，B 两点.若△ABF 的周长为7a ，则C 的离心率为( )A. 43 B. 65 C. 2 105二、多选题：本题共4小题，共20分。

贵州省高二上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)

贵州省高二上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)

一、单选题1．已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） l 30 lA ．BCD 12【答案】D【分析】根据计算即可.tan k α=【详解】由题意可得直线l 的斜率tan 30k == 故选：D2．已知向量，若，则实数的值为（ ） ()()1,2,3,2,,4a b x =-=- a b ⊥x A ．8 B ．7C ．D ．147-【答案】B【分析】根据向量垂直，则向量数量积为0，得到，解出即可.()122340x -⨯++⨯-=【详解】已知向量，因为， ()()1,2,3,2,,4a b x =-=- a b ⊥所以，解得． ()122340x -⨯++⨯-=7x =故选：B ．3．若P ，Q 分别为直线与直线上任意一点，则的最小值为34120x y +-=6810x y ++=PQ （ ） A ．B ．C ．D ．32135231052【答案】D【分析】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解. 【详解】解：因为，所以两直线平行，3412=681≠-将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，，所以|PQ |的最小值为. 255102=52故选：D.4．已知抛物线：上一点到轴的距离是5，则该点到抛物线焦点的距离是（ ） C 24y x =y C A ． B ．C ．D ．5678【答案】B【分析】求出抛物线的准线方程，由焦半径公式求出答案.【详解】由题意得：抛物线：的准线方程为， C 24y x ==1x -由焦半径公式得：该点到抛物线焦点的距离等于. C 516+=故选：B5．已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是（ ）． (),M a b 22:1O x y +=1ax by +=O A ．相切 B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【分析】由题意结合点与圆的位置关系考查圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系.【详解】点在圆外，， (),M a b 22:1O x y +=221a b ∴+>圆心到直线距离，O 1ax by +=1d =<直线与圆相交.∴1ax by +=O 故选B.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）22221(0)x y b a a b-=>>π3A ．2B ．2CD 【答案】A【分析】根据渐近线方程和两条渐近线的夹角为可得. π3b a=2e =【详解】由题意可得双曲线的渐近线方程为；22221(0)x y b a a b-=>>b y x a =±又，所以，0b a >>1ba>由两条渐近线的夹角为，可得渐近线方程为， π3y =则； b a =2e ==故选：A7．我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入的方33⨯格内，使得三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，便得到一个3阶幻方；一般地，将连续的正整数1，2，3，…，填入个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，2n n n ⨯这个正方形叫做n 阶幻方．记n 阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为，如，那n S 345S =么10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为（ ）A ．555B ．101C ．505D ．1010【答案】C【分析】利用等差数列求和公式得到，进而求出10阶幻方每行、每列、每条对角线上的105050S =数的和.【详解】由题意得：，()10100110012310050502S ⨯+=++++== 故10阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为. 505010505÷=故选：C8．已知圆和两点，，若圆上存在点，使得()()22:341C x y -+-=(),0A m -()(),00B m m >C P ，则的最大值为90APB ∠=︒m A ．7 B ．6C ．5D ．4【答案】B【详解】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.15m -=【解析】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.二、多选题9．若等比数列的第4项和第6项分别是48和12，下列选项中说法正确的是（ ） {}n a A ．的公比为或B ．的第5项是24 {}n a 1212-{}n a C ． D ．3202212024a a a a ⋅=⋅3202212024a a a a +=+【答案】AC【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列下标性质逐一判断即可.【详解】设该等比数列的公比为，q 由题意可知：，选项A 正确； 226412114842a a q q q =⇒==⇒=±，选项B 不正确，54148242a a q ⎛⎫==⨯±=± ⎪⎝⎭由等比数列性质知：任意两项的下标和相等，则其乘积相等，故选项C 正确，D 不正确． 故选：AC10．已知曲线C 方程为：，则下列结论正确的是（ ）()222101x y m m m -=≠+A ．若，则曲线C 为双曲线B ．若曲线C 0m >C ．曲线C 不可能为一个圆D ．当时，其渐近线方程为1m =2xy =±【答案】AC【分析】根据椭圆、双曲线标准方程的结构特征及其几何性质可得.【详解】当时，显然A 正确；当，，故0m >0m <210m m +>->a =，B 不正确；因为恒成立，所以C 正确；当时，方程为，2a =21m m +>-1m =2212x y -=其渐近线方程为，故D 不正确. y x =故选：AC11．已知过点作圆的两条切线，切点分别为，两点，下列说法正确的是()2,1P 22:1O x y +=M N （ ）A ．其中一条切线方程是 1y =B ．切线长2PN =C ．点到圆 P O 1D ．四边形的面积为2 PMON 【答案】ABCD【分析】利用圆心到切线距离判断A ，根据切线长定理判断B ，由圆的性质判断C ，根据四边形面积为两全等直角三角面积判断D.【详解】由题意，切线斜率存在，设切线方程为：，()12120y k x kx y k -=-⇒-+-=，解得：或， 10k =43所以切线方程为：或，选项A 正确；10y -=4350x y --=由切线长定理：，选项B 正确；||||2PN PM ===点P 到圆上一点的距离最小值为 ，C 选项错；O ||1PO r -=由知四边形的面积为2，选项D 正确．1=22||122POM PMON S S PM =⨯⨯⨯=△四边形PMON 故选：ABCD12．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列说法正确{}n a n n S d 312a =120S >70a <的是（ ） A ．60a >B ．当取得最大值时， n S 6n =C ．时，的最小值为130n S <n D ．数列是递增数列．1n a ⎧⎫⎨⎩⎭【答案】ABC【分析】根据，，代入等差数列求和公式，可得AB 120S >70a <()()112126712602a a S a a +==+>选项正确；根据，可知C 选项正确；由时，，()11371371313213022a a a S a +⨯===<[]1,6n ∈10n a >时，可知数列不是递增数列. 7n ≥10na <1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【详解】由已知得，*N n ∈ 311212,122a a d a d =+=∴=- 由 ()()112126712602a a S a a +==+>又，所以，故A ，B 选项正确； 70a <60a >由于， ()11371371313213022a a a S a +⨯===<而，所以时，的最小值为13，故C 选项正确 ；120S >0n S <n 由，解得， 716167161240512302112470a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩2437d -<<-又，()()33123n a a n d n d =+-=+-当时，，时，，[]1,6n ∈0n a >7n ≥0n a <又，所以时，， ()11123n d a n =+-[]1,6n ∈10na >时，，所以在（）上单调递增，7n ≥10na <1n a []1,6n ∈*N n ∈在（）上单调递增， 1na [)7n ∞∈+，*N n ∈所以数列不是递增数列，故D 选项不正确．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选：ABC.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前和公式的基本性质，代入公式化简时要充分利n 用题设给定的条件，通过与问题联立转化变形即可求解.三、填空题13．在长方体中，，，，则________．（用向量，1111ABCD A B C D -AB a = AD b =1AA c = 1AC = a b，表示）c【答案】a b c ++r r r 【分析】根据空间向量的加法法则及图形即可求解.【详解】由题意得，111AC AB BC C D a b C AB A AA c =++=++=++故答案为：.a b c ++14．已知数列的前项之和为，满足，且，则时，{}n a n n S ()122n n S S n -=≥11a =2n ≥n a =__________． 【答案】22n -【分析】先得到是等比数列，求出，从而利用时，求出答案.{}n S 12n n S -=2n ≥1n n n a S S -=-【详解】∵，， ()122n n S S n -=≥111S a ==∴是以1为首项，2为公比的等比数列，{}n S ∴，12n n S -=∴时，．2n ≥212n n n n a S S --=-=故答案为：.22n -15．古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的A B (0,1)λλλ>≠轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：已知AB，，动点与点的距离是它与的轨迹方程为()2,0A -()2,0B M A B M ________．【答案】22412x y -+=（）【分析】设，根据动点与点和点的距离关系列方程得到(),M x y M A B.=【详解】解：设，又因为，，依题有(),M x y ()2,0A -()2,0B化简，得，即M 的轨迹方程为：． 22840x x y -++=()22412x y -+=故答案为：.()22412x y -+=四、双空题16．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则1111ABCD A B C D -122AA AB AD ===E F 1BB 11D C 长方体的外接球表面积为________，平面被三棱锥外接球截得的1111ABCD A B C D -11A BCD 1C CEF -截面圆面积为________． 【答案】9π9π8【分析】第一空，求出长方体的体对角线即可得长方体外接球的半径，即可求得外接球表面积；第二空，建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，即可证明，从而确定三棱锥外EF EC ⊥1C CEF -接球的球心位置，求出外接球半径，继而求得截面圆半径，即可求得答案.【详解】设长方体外接圆半径为R ， ，， 23R ==32R ∴=所以长方体外接球表面积为；24π9πR =以点为原点,以为轴，建立空间直角坐标系如图所示：D 1,,DA DC DD ,,x y z依题意得：，，，()0,2,0C ()1,2,1E ()0,1,2F 则，，()1,0,1EC =--()111EF ,,=-- 所以，则即； 1010EC EF ⋅=+-= EF EC ⊥EF EC ⊥设为中点，连接,O CF 1,EO C O 因为，，则， EF EC ⊥11C F C C ⊥1EO OC FO C O ===所以点为三棱锥外接球的球心，O 1C CEF -则三棱锥外接球的半径为， 1C CEF -12R CF =='=设球心到平面的距离为，又因为为中点， O 11A BCD h O CF 所以点到平面的距离为，F 11A BCD 2h 根据长方体特征可知平面平面, 1111ABCD A B C D -11A D ⊥111,DCC D DC ⊂11DCC D 所以,又，而平面， 111A D DC ⊥11⊥D C DC 1111111,A D D C D A D D C =⊂ ，11A BCD 故平面，设交于H ，则平面,1DC ⊥11A BCD 11,D C C D 1C H ⊥11A BCD故到平面的距离为,1C 11A BCD 111122C H CD ==⨯=因为F 为的中点，故11D C 1122h C H ==h =故截面圆的半径为 r ==所以截面圆面积为， 298r ππ=故答案为：；9π9π8【点睛】关键点点睛：要求得平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积，关键点在于11A BCD 1C CEF -首先要确定外接球的球心位置，从而可得其半径，继而求出截面圆的半径，即可求得答案.五、解答题17．已知是等差数列，，. {}n a 11a =47a =(1)求数列的通项公式及前项和；{}n a n n S (2)若等比数列满足，，求的通项公式.{}n b 22b a =35b a ={}n b 【答案】(1)，21n a n =-2n S n =(2)13n n b -=【分析】（1）根据条件列出方程求出公差即可得解； （2）根据条件列出方程求出公比，即可得出通项公式. 【详解】（1）设等差数列的公差为， {}n a d 则. 41712413a a d --===-∴，()12121n a n n =+-=-.()21212n n n S n +-==（2）设等比数列的公比为， {}n b q 由，，可得， 223b a ==359==b a 323b q b ==∴的通项公式为.{}n b 21333n n n b --=⨯=18．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点．1111ABCD A B C D -E 1AA F AE(1)求证：平面； //CE BDF (2)求三棱锥的体积． E BDF -【答案】(1)证明见解析 (2) 13【分析】(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可.【详解】（1）如图，连接交于点，再连接,AC BD O OF 在中，为中点，为的中，所以, ACE △O AC F AE //OF CE 且平面，平面,所以平面.CE ⊄BDF OF ⊂BDF //CE BDF （2）因为该几何体为正方体，所以点到平面的距离等于， D 11ABB A AD 所以点到平面的距离等于，D BEF AD 根据等体积法可知.11113323E BDF D BEF BEF V V S AD EF AB AD --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△19．已知圆：和圆相交于两点.1C 2220x y x +-=222:6440C x y x y +--+=,A B (1)求公共弦所在直线的方程. AB (2)求的面积. 2ABC △【答案】(1) 10x y +-=(2)【分析】（1）将两圆的方程相减即可得到公共弦所在直线的方程；AB（2）利用垂径定理构造直角三角形，再利用点到直线的距离公式求出，勾股定理求出，2C O AO 然后求面积即可.【详解】（1）因为：，：，所以得：1C 2220x y x +-=2C 226440x y x y +--+=12C C -，即，所以公共弦所在的直线方程为：.4440x y +-=10x y +-=10x y +-=（2）如图，取中点，连接，，，，根据圆的性质可得，AB O AB 2AC 2BC 2C O 2C O AB ⊥圆可整理为，所以，， 2C 226440x y x y +--+=()()22329x y -+-=()23,2C 23AC =点到直线的距离，2C ABd1AO ==2AB =. 2122ABC S =⨯⨯=A 20．已知数列的前项和为，，．{}n a n n S 12a =()()11n n na S n n n ++=++∈N (1)求证：数列是等差数列；{}n a (2)设，求数列的前项和． 11n n n b a a +={}n b n n T 【答案】(1)证明见解析(2) n T 4(1)n n =+【分析】（1）由条件得数列的递推关系，证明数列为等差数列；{}n a （2）由（1）写出数列的通项公式，用裂项相消法求和.{}n a 【详解】（1）证明：由题意，当时，，1n =2112224a S =+⨯=+=当时，由，可得，2n ≥1(1)n n na S n n +=++1(1)(1)n n n a S n n --=+-两式相减，可得，1(1)2n n n na n a a n +--=+化简整理，得， 12n n a a +-=也满足上式， 即当时，，212a a -=2n ≥12n n a a --=数列是以2为首项，2为公差的等差数列.{}n a （2）由（1）知，数列是以2为首项，2为公差的等差数列，{}n a ，，22(1)2n a n n =+-=N n +∈可得， 1111111()22(1)4(1)41n n n b a a n n n n n n +====-⋅+++则 12n n T b b b =++⋅⋅⋅+11111111(1)()(4242341n n =⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+． 11111111(1(1)4(42231141)n n n n n =⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=+++21．如图，四棱锥中，平面，E P ABCD -PA ⊥ABCD ,//,22,AB ADAD BC AD BC AB ⊥===为中点．CD(1)求证：平面；CD ⊥PAE (2)若的余弦值．PA =--A PBE 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明，，可得平面.CD AE ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAE （2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.PAB PBE 【详解】（1）连接，如图所示： AC中，，Rt ABC△2AC ===，为等腰三角形，E 为中点，∴，AC AD =ACD A CD AE ⊥平面，平面，∴PA ⊥ABCD DC ⊂ABCD PA CD ⊥，平面，PA AE A = ,PA AE ⊂PAE 所以平面.CD ⊥PAE （2）以A 为原点，，，的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角AB AD AP 坐标系，有，，，，，， ()0,0,0A )B (P 3,02E ⎫⎪⎪⎭(BP =23,PE = 平面的一个法向量，PAB ()0,1,0m = 设平面的一个法向量为 ，PBE (),,n x y z = 则，令，得,∴, 0302n BP n PE y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =x z =n = 二面角的平面角为， --A PB E θcos m n m n θ⋅=== 所以二面角. --A PB E 22．欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有椭圆，长轴长为4，从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>C 的一个焦点发出的一条光线经该椭圆内壁上一点反射之后恰好与轴垂直，且． F P x 72PF =(1)求椭圆的标准方程；C (2)已知为坐标原点，A 为椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点A 的直线与椭圆交于，O C k l C M 两点，记直线，的斜率分别为，，且满足，且，求N AM AN 1k 2k ()122k k k +=225OM ON +=k的值.【答案】(1) 2214x y +=(2)k =12k =± 【分析】（1）利用椭圆的定义得出，再利用垂直关系和进行求解； 121PF =212b a =（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，韦达定l y kx m =+x 理，利用斜率公式及得到关于、的关系式，化简两根之和与积，利用()122k k k +=k m 及点在椭圆上得到，代入化简即可求解.22||5OM ON +=22124x x +=【详解】（1）不妨设、是椭圆的左焦点、右焦点，F 1F则轴，又因为，，1PF x ⊥72PF =24a =所以，所以点，代入得，1212PF a PF =-=1(,2P c 22214x y b +=221144c b +=又，解得，，22224c a b b =-=-21b =23c =所以椭圆的标准方程为：；2214x y +=（2）设直线的方程为，，，l y kx m =+11(,)M x y 22(,)N x y 联立，得：，2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(14)84(1)0k x kmx m +++-=则，，122814km x x k +=-+21224(1)14m x x k -=+因为，所以， ()122k k k +=1212222y y x x k +=++即，1212211212()(2)()(2)222(2)(2)kx m kx m kx m x kx m x x x x x k++++++++==++++即，121212122(2)()422()4kx x k m x x mx x x x k++++=+++即，221212(22)(24)()480k x x k km x x mk -++-++-=则， 222224(1)(22)8(24)4801414m k km k km mk k k --+--+-=++即，即，则或， 2210920k km m -+=(2)(52)0k m k m --=2m k =52m k =当时，直线可化为，即直线过定点（与左焦点重合，舍2m k =:l y kx m =+:(2)l y k x =+l (2,0)-去），所以，则，， 52m k =21222014k x x k +=-+212225414k x x k -=+且， 2222222255=6416(14)(1)64()16(14)[()1]022k m k m k k k k ∆-+-=-+->解得；因为，所以， 249k <22||5OM ON +=222211225x y x y +++=即，即，即， 2222121211544x x x x +-++-=22124x x +=21212()24x x x x +-=即， 4222222400(508)(14)4(14)(14)k k k k k -+-=++即，即，42682520k k -+=22(172)(41)0k k --=则或，所以 2217k =214k =k =12k =±。

高二上学期期末数学试卷及答案

高二上学期期末数学试卷及答案

高二上学期期末数学试卷及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$表示的点在（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 单位圆上D. 第一象限答案：C2. 已知函数$f(x)=\sqrt{1-x^2}$，则$f(x)$的定义域为（）A. $[-1,1]$B. $[0,1]$C. $(-1,1)$D. $[1,+\infty)$答案：A3. 若$a$，$b$是方程$x^2+(a+b)x+ab=0$的两根，则实数$a$，$b$满足（）A. $a+b=0$B. $a+b=2$C. $ab=1$D. $a^2+b^2=2$答案：C4. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为（）A. 5B. 8C. 11D. 14答案：B5. 若$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BC=6$，$\angle BAC=45^\circ$，则$\triangle ABC$的面积为（）A. $9\sqrt{2}$B. $18$C. $9$D. $6\sqrt{2}$答案：A二、填空题（每题5分，共25分）1. 若$f(x)=\ln x$，$g(x)=x^2-2x+1$，则$f(g(2))=______$。

答案：22. 已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f'(x)=______$。

答案：$3x^2-3$3. 若$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\cos\beta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\alpha$，$\beta$都在第二象限，则$\sin\beta=______$。

答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$4. 若$a$，$b$，$c$是等差数列，且$a+b+c=12$，$a-b=4$，则$b=______$。

答案：45. 若$\triangle ABC$中，$AB=AC$，$BC=10$，$\angleBAC=60^\circ$，则$\triangle ABC$的周长为______。

上学期高二的数学期末考试试题和答案

上学期高二的数学期末考试试题和答案

上学期高二的数学期末考试试题和答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 若函数f(x) = 2x + 1是单调递增的，则实数a的取值范围是：A. a > -1B. a ≤ -1C. a > 0D. a ≤ 02. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则g'(x)的正确表达式是：A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 + 12x - 9C. 6x^2 - 12x + 9D. 6x - 123. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为：A. -7B. 7C. -5D. 54. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为：A. 5B. 6C. 7D. 85. 若复数z = 3 + 4i的模为5，则复数z的辐角主值为：A. π/4B. π/2C. 3π/4D. π二、填空题（每题5分，共25分）1. 若函数f(x) = x^3 - 6x在区间（-∞，2）内单调递减，则实数a的取值范围是______。

2. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，则g'(x)的正确表达式是______。

3. 设向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为______。

4. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为______。

5. 若复数z = 3 + 4i的模为5，则复数z的辐角主值为______。

三、解答题（每题10分，共50分）1. （10分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x，求f'(x)并讨论f(x)的单调性。

2. （10分）已知等差数列的首项为a，公差为d，前n项和为S，求证：S = n/2 * (2a + (n - 1)d)。

3. （10分）解方程：x^2 + (a - 2)x + 1 = 0，讨论方程的实数根情况。

4. （10分）已知复数z = a + bi（a, b为实数），且|z| = 5，求复数z的模和辐角主值。

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。

A。

2π/3 B。

π/3 C。

π D。

3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。

答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。

A。

充要条件B。

充分不必要条件C。

必要不充分条件D。

既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。

答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。

A。

9 B。

27 C。

54 D。

72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。

答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。

A。

n^2/(n-1) B。

n(n+1)/(2n+1) C。

3(2n+3)/(2n+1) D。

3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。

答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。

A。

10 B。

8 C。

5 D。

2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。

答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。

其中真命题的个数为（）。

A。

0个 B。

1个 C。

2个 D。

3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。

答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。

高二上学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

高二上学期期末教学质量检测数学试题(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！教学质量检测试卷高二数学一､单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分）1. 向量()2,4,5a =r ，向量()1,2,b t =r ，若a b ^r r，则实数t =（ ）A.52B. 1C. 2-D. 85-【1题答案】【答案】C 【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程即可求解.【详解】因为向量()2,4,5a =r ，向量()1,2,b t =r ，若a b ^r r，则214250a b t ×=´+´+=r r，解得：2t =-，故选：C.2. 如图，在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，则MN =uuuu r（ ）A. 111222OB OC OA +-uuur uuu r uuu r B. 111222OA OC OB --uuur uuu r uuu r C. 111222OB OC OA ++uuur uuu r uuu r D. 111222OA OC OB +-uuur uuu r uuu r 【2题答案】【答案】A 【解析】【分析】利用向量的加法法则直接求解.【详解】Q 在四面体OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，()()11112222111111222222MN MA AN OA AB AC OA OB OA OC OAOA OB OC OA OB OC OA \=+=++=+-+-=++-=+-uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 故选：A ．3. 以x 轴为对称轴，抛物线通径的长为8，顶点在坐标原点的抛物线的方程是（ ）A. 28y x= B. 28y x =-C. 28y x =或28y x =- D. 28x y =或28x y=-【3题答案】【答案】C 【解析】【分析】由分焦点在x 轴的正半轴上和焦点在x 轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据28p =，即可求解.【详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，且通经长为8，当抛物线的焦点在x 轴的正半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =>，可得28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =；当抛物线的焦点在x 轴的负半轴上时，设抛物线的方程为22(0)y px p =->，可得28p =，解得4p =，所以抛物线方程为28y x =-，所以所求抛物线的方程为28y x =±.故选：C.4. 圆2241210x y x y ++-+=关于直线60(0,0)ax by a b -+=>>对称，则26a b+的最小值是（ ）A. B.203C.323D.163【4题答案】【答案】C 【解析】【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得33a b +=，然后由()2621333a b a b a b æö+=++ç÷èø，展开利用均值不等式可得答案.【详解】由圆2241210++-+=x y x y 可得标准方程为()()222639x y ++-=，因为圆2241210++-+=x y x y 关于直线60(0,0)ax by a b -+=>>对称，\该直线经过圆心()2,6-，即2660a b --+=，33(0,0)a b a b \+=>>，()26213233232319103333a b a b a b a b b a ææöæö\+=++=+++³+=çç÷ç÷çèøèøè，当且仅当33b a a b=，即34a b ==时取等号，故选：C.5. 某研究所计划建设n 个实验室，从第1实验室到第n 实验室的建设费用依次构成等差数列，已知第7实验室比第2实验室的建设费用多15万元，第3实验室和第6实验室的建设费用共为61万元.现在总共有建设费用438万元，则该研究所最多可以建设的实验室个数是（ ）A. 10B. 11C. 12D. 13【5题答案】【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列通项公式，列出方程组72361561a a a a -=ìí+=î，求出1203a d ==，的值，进而求出令n S ，根据题意令438n S £，即可求解.【详解】设第n 实验室的建设费用为n a 万元，其中1,2,3,n =×××，则{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由题意可得723615152761a a d a a a d -==ìí+=+=î，解得1203a d =ìí=î，则()23133720222n n n S n n n -=+=+.令438n S £，即23378760n n +-£，解得73123n -££，又*N n Î，所以112n ££，*N n Î，所以最多可以建设12个实验室.故选：C.6. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且56476a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=LL （ ）A. 53 B. 5C. 3log 15D. 30【6题答案】【答案】B 【解析】【分析】利用对数的运算性质，结合等比数列的性质可求得结果.【详解】{}n a Q 是各项均为正数的等比数列，11029384756a a a a a a a a a a \====，56476a a a a +=Q ，56473a a a a \==，53132310312103log log log log ()log 35a a a a a a \+++===LL LL .故选：B7. 从直线34:15x l y +=上动点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为C 、D ，则CPD Ð最大时，四边形OCPD （O 为坐标原点）面积是（ ）A.B.C. D. 2【7题答案】【答案】B 【解析】【分析】分析可知当OP l ^时，CPD Ð最大，计算出OP 、PC ，进而可计算得出四边形OCPD （O 为坐标原点）面积.【详解】圆221x y +=的圆心为坐标原点O ，连接OC 、OD 、OP ，则OPC OPD Ð=Ð，设OPC OPD q Ð=Ð=，则2CPD q Ð=，OC PC ^，则1sin OC OP OPq==，的当OP 取最小值时，OP l ^，此时3OP ==，=，OC OD =，OP OP =，故OPC OPD @△△，此时，21OPC OCPD S S OC PC ==×=´=△四边形故选：B.8. 已知双曲线2221(0)4x y b b-=>的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF V 是等腰三角形，且120A Ð=o ，则1ABF V 的周长为（ ）A.8 B. )41- C.8+ D. )22-【8题答案】【答案】A 【解析】【分析】设2AF m =，2BF n =．根据双曲线的定义和等腰三角形可得4n =，再利用余弦定理可求得m ，从而可得1ABF V 的周长.【详解】由双曲线2221(0)4x y b b-=>可得2a =．设2AF m =，2BF n =．则1224AF AF a -==，1224BF BF a -==，所以14AF m =+，14BF n =+．因为1ABF V 是等腰三角形，且120A Ð=°，所以1AF AB =，即4m m n +=+，所以4n =，所以18BF =，4AB m =+，在1ABF V 中，由余弦定理得2221112|cos BF AF AB AF AB A =+-´´´，即()()()22221844242m m m æö=+++-+´-ç÷èø，所以()23464m +=，解得4m =，1ABF \V 的周长44m m n n=+++++()828m n =++=．故选：A ．【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.二､多选题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）9. 已知M ，A ，B ，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{,,}MA MB MC uuu r uuur uuu u r成为空间的一个基底的是（ ）A. 111345OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r B. 2MA MB MC=+uuu r uuu r uuu u rC. 23OM OA OB OC=++uuuu r uuu r uuu r uuu r D. 32MA MB MC=-uuu r uuu r uuu u r【9题答案】【答案】AC 【解析】【分析】根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M 、A 、B 、C 是否共面，即可知{,,}MA MB MC uuu r uuur uuu u r是否能成为空间基底.【详解】A ：因为111345OM OA OB OC =++uuuu r uuu r uuu r uuu r ，且1111345++¹，利用平面向量基本定理知：点M 不在平面ABC 内，向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r能构成一个空间基底；B ：因为2MA MB MC =+uuu r uuu r uuu u r，利用平面向量基本定理知：向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r 共面，不能构成一个空间基底；C ：由23,1231OM OA OB OC =++++¹uuuu r uuu r uuu r uuu r，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM 是以点O 为顶点的对角线，向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r能构成一个空间基底；D ：由32MA MB MC =-uuu r uuu r uuu u r，根据平面向量的基本定理知：向量,,MA MB MC uuu r uuur uuu u r 共面，不能构成空间的一个基底.故选：AC.10. 圆221:20+-=Q x y x 和圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，则有（ ）A. 公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B. 线段AB 中垂线方程为10x y +-=C. 公共弦ABD. P 为圆1Q 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大1+【10题答案】【答案】ABD 【解析】【分析】两圆方程作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆1Q 的圆心即可线段AB 中垂线方程，可判断B ；求出圆心1Q 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1Q 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A ，由圆221:20+-=Q x y x 与圆222:240++-=Q x y x y 的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20+-=Q x y x 的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-´-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆22=x ，圆心1Q ()1,0到0x y -=的距离为d1r ==，故C 不正确；对于D ，P 为圆1Q 上一动点，圆心1Q ()1,0到0x y -=的距离为d =，半径1r =，即P 到直线AB 距1+，故D 正确.故选：ABD11. 已知数列{a n }的n 项和为233n S n n =-+，则下列说法正确的是（ ）A. 234n a n =-+ B. S 16为S n 的最小值C. 1216272a a a +++=LD. 使得0n S >成立的n 的最大值为33【11题答案】【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件求得n a ，结合等差数列前n 项和公式确定正确选项.【详解】233n S n n =-+，当1n =时，1132a S ==，当2n ³时，()()221331331234n n n a S S n n n n n -éù=-=-+---+-=-+ëû，132a =也符合上式，所以234n a n =-+，A 正确.由于233n S n n =-+开口向下，对称轴为3316.52n ==，所以16S 是n S 的最大值，B 错误.由2340n a n =-+³解得*117,N n n ££Î，所以21216121616163316272a a a a a a S +++=+++==-+´=L L ，C 正确.()*233330133,N n S n n n n n n =-+=-->Þ£<Î，所以使0n S >成立的n 的最大值为32，D 错误.故选：AC12. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为 1F ，2F 且122F F =，点 ()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A. 1QF QP +的最小值为 21a -B. 椭圆C 的短轴长可能为2C. 椭圆C 的离心率的取值范围为æççèD. 若11PF FQ =uuu r uuur ，则椭圆 C +【12题答案】【答案】ACD【解析】【分析】A. 将1QF QP +，利用椭圆的定义转化为12222+=-+³-QF QP a QF QP a PF 求解；B.假设椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，与点P 在椭圆的内部验证；C. 根据点()1,1P 在椭圆内部，得到22111a b +<，又221a b -=，解得a ，再由1e a =求解；D. 根据11PF FQ =uuu r uuur，得到1F 为线段PQ 的中点，求得Q 坐标，代入椭圆方程求解.【详解】A. 因为122F F =，所以()221,0,1F PF =，所以1222221QF QP a QF QP a PF a +=-+³-=-，当2,,Q F P ，三点共线时，取等号，故正确；B.若椭圆C 的短轴长为2，则1,2b a ==，所以椭圆方程为22121x y +=，11121+>，则点P 在椭圆外，故错误；C. 因为点()1,1P 在椭圆内部，所以22111a b+<，又221a b -=，所以221b a =-，所以221111a a +<-，即42310a a -+>，解得2a >=，所以a >，所以1e a =<，所以椭圆C 的离心率的取值范围为æççèD. 若11PF FQ =uuur uuur ，则1F 为线段PQ中点，所以()3,1Q --，所以22911ab+=，又221a b -=，即421190a a -+=，解得2a ===，所以a =，所以椭圆C .故选：ACD【点睛】本题主要考查椭圆的定义，点与椭圆的位置关系以及椭圆的几何性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.三､填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知等比数列{}n a 满足1135121a a a a =++=，，则357a a a ++=_________．【13题答案】【答案】84的【分析】设公比为q ，求出2q ，再由通项公式代入可得结论．【详解】设公比为q ，则24135121a a a q q ++=++=，解得24q =所以()246224357184a a a q q q q q q++=++=++=．故答案为：84．14. 已知圆22:1214600M x y x y +--+=，圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，则圆N 的标准方程为________．【14题答案】【答案】22(6)(1)1x y -+-=【解析】【分析】根据题干求得圆M 的圆心及半径，再利用圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上确定圆N 的圆心及半径.【详解】圆的标准方程为22(6)(7)25x y -+-=，所以圆心()6,7M ，半径为5．由圆心N 在直线6x =上，可设()06,N y ．因为N 与x 轴相切，与圆M 外切，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =．因此，圆N 的标准方程为22(6)(1)1x y -+-=．故答案为：22(6)(1)1x y -+-=【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.15. 已知(3,2,3)a =--r ，(1,1,1)b x =--r ，且a r 与b r的夹角为钝角，则x 的取值范围是___.【15题答案】【答案】523æö-ç÷èø，∪5+3¥æöç÷èø，【解析】【分析】根据题意得出0a b ×<r r 且a r 与b r不共线，然后根据向量数量积的定义及向量共线的条件求出x 的取【详解】∵a r 与b r 的夹角为钝角，0a b \×<r r 且a r 与b r 不共线，即()32130a b x ×=----<r r ，且1132x --¹-，解得2x >-，且53x ¹，∴x 的取值范围是523æö-ç÷èø，∪5+3¥æöç÷èø，.故答案为：523æö-ç÷èø，∪5+3¥æöç÷èø.16. 如图，椭圆E 的左右焦点为1F ，2F ，以2F 为圆心的圆过原点，且与椭圆E 在第一象限交于点P ，若过P ､1F 的直线l 与圆2F 相切，则直线l 的斜率k =______；椭圆E 的离心率e =______.【16题答案】【答案】①. ②. 1-【解析】【分析】根据直角三角形的性质求得12PF F Ð，由此求得k ，结合椭圆的定义求得离心率.【详解】连接2PF ，由于l 是圆2F 的切线，所以12PF PF ^.在12Rt PF F V 中，212PF OF OF c ===，所以21212PF F F =，所以126PF F p Ð=，所以直线l 的斜率6tan πk ==.1PF =，根据椭圆的定义可知1212212F Fc cea a PF PF======-+.1-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义、椭圆的离心率，属于中档题.四､解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17. 直线l经过两直线1:3420l x y+-=和2:220l x y++=的交点．（1）若直线l与直线310x y+-=平行，求直线l的方程；（2）若点(3,1)A到直线l的距离为5，求直线l的方程．【17~18题答案】【答案】（1）340x y++=（2）2x=-或125340x y-+=【解析】【分析】（1）由题意两立方程组，求两直线的交点的坐标，利用两直线平行的性质，用待定系数法求出l的方程．（2）分类讨论直线l的斜率，利用点到直线的距离公式，用点斜式求直线l的方程．【小问1详解】解：由3420220x yx y+-=ìí++=î，解得22xy=-ìí=î，所以两直线1:3420l x y+-=和2:220l x y++=的交点为(2,2)-．当直线l与直线310x y+-=平行，设l的方程为30x y m++=，把点(2,2)-代入求得4m=，可得l 的方程为340x y ++=．【小问2详解】解：斜率不存在时，直线l 方程为2x =-，满足点(3,1)A 到直线l 的距离为5．当l 的斜率存在时，设直限l 的方程为2(2)y k x -=+，即220kx y k -++=，则点A 到直线l5=，求得125k =，故l 的方程为122205x y k -++=，即125340x y -+=．综上，直线l 的方程为2x =-或125340x y -+=．18. 已知等差数列{}n a 满足：25a =，5726a a +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求n a 及n S ；（2）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和nT 【18题答案】【答案】（1）22n n +；（2）23122n n n -++【解析】【分析】(1)先根据已知求出13,2a d ==，再求n a 及n S .(2)先根据已知得到13n n n b a -=+，再利用分组求和求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以11521026a d a d +=ìí+=î， 解得13,2a d ==， 所以32(1)=2n+1n a n =+-；n S =n(n-1)3n+22´=2n +2n . （2）由已知得13n n n b a --=，由（1）知2n+1n a =，所以 13n n n b a -=+，n T =()123113322n n n S n n --+++×××+=++.【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n 项和求法，考查分组求和和等比数列的求和公式，意在考的查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.19. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1// 22AD BC AB AD AB AD AA BC ^====，，（1）求二面角111C B C D --的余弦值；（2）若点P 为棱AD 的中点，点Q 在棱AB 上，且直线1B C 与平面1B PQ AQ 的长．【19题答案】【答案】（1）23，（2）1=AQ 【解析】【分析】（1）推导出11,,AB AA AD AA AB AD ^^^，以A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角111C B C D --的余弦值；（2）设(02)AQ l l =££，则(,0,0)Q l ，求出平面1B PQ 的法向量，利用空间向量求出AQ 的长【详解】解（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1AA ^平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，AD Ì平面ABCD ，所以11,,AB AA AD AA ^^因为AB AD ^，所以以A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为122AB AD AA BC ====，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),A B C D 1111(0,0,2),(2,0,2),(2,1,2),(0,2,2)A B C D ,所以111(2,2,0),(0,1,2)B D B C =-=-uuuur uuur ，设平面11B CD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则11122020n B D x y n B C y z ì×=-+=ïí×=-=ïîr uuuur r uuur ，令2x =，则(2,2,1)n =r ，因为AB ^平面11B C C ，所以平面11B C C 的一个法向量为(2,0,0)AB =u u u r ，设二面角111C B C D --的平面角为a ，由图可知a 为锐角，所以二面角111C B C D --的余弦值为42cos 323n AB n AB a ×===´r uuu r r uuu r （2）设(02)AQ l l =££，则(,0,0)Q l ，因为点P 为AD 的中点，所以(0,1,0)P ，则1(,1,0),(2,0,2)PQ B Q l l =-=--uuu r uuur ，设平面1B PQ 一个法向量为111(,,)z m x y =u r ，则111110(2)20m PQ x y m B Q x z l l ì×=-=ïí×=--=ïîu r uuu r u r uuur ，令12x =，则(2,2,2)m l l =-u r ，设直线1B C 与平面1B PQ 所成角的大小为b ，因为直线1B C 与平面1B PQ，所以sin b =，解得1l =或15l =-（舍去）所以1=AQ 的【点睛】关键点点睛：此题考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，解题的关键是根据是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，属于中档题20. 已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>过点，且离心率e =（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，1112AF BF ×=uuur uuu r ，求1ABF V 的面积．【20题答案】【答案】（Ⅰ）2212x y +=；【解析】【分析】（Ⅰ）根据已知点，离心率以及222c a b =-列方程组，解方程组可得,a b 的值即可求解；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x my =+，联立直线与椭圆方程消去x ，可得12y y +，12y y ，利用向量数量积的坐标表示列方程可得m 的值，计算12y y -，利用面积公式计算1121212ABF S F F y y =-V 即可求解.【详解】（Ⅰ）将代入椭圆方程可得2213241a b +=，即2213124a b +=①因为离心率c e a ===222a b =，②由①②解得21b =，22a =，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（Ⅱ）由题意可得()11,0F -，()21,0F ，设直线l 的方程为1x my =+．将直线l 的方程代入2212x y +=中，得()222210m y my ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+．所以()1111,AF x y =---uuur ，()1221,BF x y =---uuu r ，所以()()111212121212111AF BF x x y y x x x x y y ×=+×++=++++uuur uuu r ()()()1212122111m y y my my y y =+++++++222222222142222m m m m m m m =----++++2272m m -=+，由227122m m -=+，解得24m =，所以1223y y +=±，1216y y =-，因此1121211222ABF S F F y y =-=´=V 21. 已知数列{}n a 满足12a =，()*112N n na n a +=-Î．（1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对任意的*N n Î都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．【21题答案】【答案】（1）1+=n n a n ；（2）存在，3．【解析】【分析】(1)结合递推关系可证得b n +1－b n =1，且b 1＝1，可证数列{b n }为等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式；(2)结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+æö=-ç÷+èø求和有111213212n T n n æö=+--<ç÷++èø，再结合条件可得()134m m +³ ，即求．【详解】（1）证明：∵1111111111112111n n n n n n n n n a b b a a a a a a ++-=-=-=-=-------，又由a 1＝2，得b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以b n ＝1+(n －1)×1＝n ，由11n n b a =-，得1+=n n a n．（2）解：∵221n n a c n n==+，()2411222n n c c n n n n +æö==-ç÷++èø，所以11111111212133242212n T n n n n æöæö=-+-++-=+--<ç÷ç÷+++èøèøL ， 依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +³，解得m ≥3或m ≤-4．又m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．22. 如图，方程为22x py =的抛物线C ，其上一点(),2Q a 到焦点F 的距离为3，直线AB 与C 交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧，点B 在y 轴右侧），与y 轴交于D 点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若4OA OB ×=-uuu r uuu r ，求证直线AB 过定点，并求出定点坐标；（3）若()0,5D ，OA BF ^，求直线OA 的斜率t 的值.【22题答案】【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析，定点为()0,2；（3）【解析】【分析】（1）本题首先可根据抛物线方程得出准线方程为2p y =-，然后根据抛物线定义得出232p +=，解得p 的值，即可得出结果；（2）本题首先可设直线AB 的方程为y kx b =+，然后联立直线方程与抛物线方程，得出124x x k +=、124x x b =-，从而得出212y y b =，最后根据4OA OB ×=-uuu r uuu r 即可求出b 的值以及直线经过的定点坐标；（3）本题首先可以设直线OA 的方程为y tx =，与抛物线方程联立得出()24,4A t t ，然后得出直线AB 方程，与抛物线方程联立得出2525,4B t t æöç÷-ç÷èø，最后根据OA BF ^即可求出斜率t 的值.【详解】（1）因为抛物线C 的方程为22x py =，所以抛物线C 的准线方程为2p y =-，因为抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点F 的距离为3，所以结合抛物线定义易知，232p +=，解得2p =，故抛物线C 的方程为24x y =，()0,1F .（2）由题意易知直线AB 的斜率定存在，设直线AB 的方程为y kx b =+，联立24y kx b x y=+ìí=î，整理得2440x kx b --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x b =-，故()22222212121244y y k x x kb x x b bk kb b b =+++=-++=，因4OA OB ×=-uuu r uuu r ，所以12124x x y y +=-，即2440b b -+=，解得2b =，故直线AB 的方程为2y kx =+，过定点()0,2.（3）设直线OA 的方程为y tx =，联立24y tx x y =ìí=î，整理得240x tx -=，解得0x =或4t ，()24,4A t t ，则2454AD t K t -=，直线AB 方程为24554t y x t-=+，联立2245544t y x t x y ì-=+ïíï=î，整理得2245200t x x t ---=，解得4x t =或5t -，2525,4B t t æöç÷-ç÷èø，则()24,4OA t t =uuu r ，2525,14BF t t æöç÷=-ç÷èøuuu r ，因为OA BF ^，所以2204250OA BF t ×=+-=uuu r uuu r，解得t =±，结合图像易知，t =-OA 的斜率t的值为.【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线定义的应用以及直线与抛物线相交的相关问题的求解，抛物线的定义为到定点和定直线的距离相等的点的轨迹，考查韦达定理的应用，考查向量数量积的坐标表示以及利用向量垂直求参数，考查计算能力，考查函数方程思想，是难题.为。

2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京市东城区高二上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线的倾斜角为()A.B.C.D.2.已知空间中直线l 的一个方向向量，平面的一个法向量，则()A.直线l 与平面平行B.直线l 在平面内C.直线l 与平面垂直D.直线l 与平面不相交3.设F 为抛物线C ：的焦点，则F 到其准线的距离为()A.1 B.2 C.3D.44.已知是数列的前n 项和，，则()A.1B.3C.5D.85.双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.6.线上支付已成为当今社会主要的支付方式，为了解某校学生12月份A ，B 两种支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，对样本中仅用一种支付方式及支付金额的人数情况统计如下：支付金额元支付方式大于1000仅使用A 20人8人2人仅使用B10人6人4人从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，两人支付金额均多于500元的概率是()A.B.C.D.7.哈雷彗星大约每76年环绕太阳一周，因英国天文学家哈雷首先测定其轨道数据并成功预言回归时间而得名.已知哈雷是1682年观测到这颗彗星，则人们最有可能观测到这颗彗星的时间为()A.2041年年B.2061年年C.2081年年D.2101年年8.在平面直角坐标系中，M ，N 分别是x ，y 轴正半轴上的动点，若以MN 为直径的圆与直线相切，则该圆半径的最小值为()A. B.1C.D.29.已知，则“，a ，b ，2为等比数列”是“”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.曲线C：，其中m，n均为正数，则下列命题错误．．的是()A.当，时，曲线C关于中心对称B.当，时，曲线C是轴对称图形C.当，时，曲线C所围成的面积小于D.当，时，曲线C上的点与距离的最小值等于1二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

高二数学上册期末试卷及答案

高二数学上册期末试卷及答案

＝ λ （ λ ≠0）．
【解答】解：由双曲线系方程可得：双曲线的渐近线方程为
y＝± x，
则双曲线方程为
＝ λ （λ ≠ 0），即
＝ λ （ λ≠ 0），
＝ λ （ λ≠ 0），即
故答案为：
＝ 1．
【点评】本题考查了已知双曲线的渐近线方程的双曲线系方程，属简单题．
12．
【分析】由
＝ + + ，得
? ＝（ + + ）？ ＝ ＝1
＝ +＝ ．
故选： C． 【点评】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．
5 / 16
【分析】 ＝（ 4， 2， 3）是直线 l 的方向向量， 与平面 α 的位置关系是相交但不垂直．
＝（﹣ 1， 3， 0）是平面 α 的法向量，由
≠ 0，得到直线 l
【解答】解：∵ ＝（ 4， 2， 3）是直线 l 的方向向量，
△ B1D1C 的面积是定值， P 到平面 B1D1C 的距离是定值，从而三棱锥 由 DC1⊥D1 C， DC1⊥ BC，得 DC1⊥平面 BCD1A1，从而 DC1⊥ D1P．
B1﹣D1PC的体积为定值，故 C 正确；在 D 中，
【解答】解：在 A 中，∵ A1D1⊥平面 A1AP， A1 D1? 平面 D1A1P，∴平面 D1A1 P⊥平面 A1AP，故 A 正确；
∴ c＝
，
∴ e＝
＝，
求得 m＝ 2， 故选： B． 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．应熟练掌握双曲线标准方程中， 4． 【分析】根据向量三角形法则、向量共线定理即可得出． 【解答】解：连接 AF， E， F 分别是BC，CD的中点，

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。

贵州省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

贵州省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}1A x x =<{}11B x x =-≤≤A B ⋃=A ． B ． {}11x x -<<{}11x x -≤≤C ． D ．{}11x x -≤<{}1x x ≤【答案】D【分析】根据并集的运算即可求解.【详解】因为，， {}1A x x =<{}11B x x =-≤≤由并集的定义可得：． {}1A B x x ⋃=≤故选：. D2．复数，则（ ） z =z =A B C ． D ．12【答案】C【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.z【详解】因为. z ==1=故选：C.3．已知双曲线，则双曲线的焦距是（ ） 22:22C x y -=CA B C D ．【答案】D【分析】根据双曲线的焦距直接求出.【详解】由，得，22:22C x y -=22:12y C x -=则 c ==故选：D. 4．已知，，，则下列正确的是（ ） 12a =3log 2b =lg 3c =A ． B ． C ． D ．b ac >>b c a >>c b a >>a b c >>【答案】A【分析】根据对数函数的单调性和中间值比大小.【详解】因为和在上单调递增， 3log y x =lg y x =()0,∞+所以，，则．331log 2log 2b =>=1lg 32c =<<=b a c >>故选：A5．已知的内角，，的对边分别为，，，，ABC AA B C a b c ABC A 60A =︒，则（ ）223b c bc +==aA ．2B ．C ．4D ．16【答案】B【分析】由三角形面积公式得到，进而求出，由余弦定理求出答案. 4bc =2212b c +=【详解】由题意，，，1sin 2ABC S bc A ===△4bc =2212b c +=所以，22212cos 122482a b c bc A =+-=-⨯⨯=解得． a =a =-故选：B6．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（ ） {}n a n n S 0q >232S =4238S S -=4a =A ．1 B ．C ．D ．121418【答案】D【分析】由等比数列通项公式基本量计算出公比，进而求出首项和. 418a =【详解】，，即，， 232S =4238S S -=1232a a +=3438a a +=则，()22234121238a a a q a q a a q +=+=+=所以，由，则，23328q =0q >12q =由，则，所以． 1132a a q +=11a =34118a a q ==故选：D7．已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（ ）221:1C x y +=()()()2222:221C x y r r -+-=>rA ．B ．()1()1,1-C ．D ．(1⎤⎦1,1⎡⎤-⎣⎦【答案】B【分析】根据两圆相交的性质直接得出.【详解】由题意知，圆心与圆心， ()10,0C ()22,2C则圆心距 12C C =因为圆与圆有两个交点， 1C 2C 则圆与圆相交， 1C 2C 则， 1211r C C r -<<+解得． 11r <<故选：B.8．如图，在平面四边形中，，，，现将沿ABCD AD CD ⊥AC BC ⊥30DAC BAC ∠=∠=︒ABC A折起，并连接，使得平面平面，若三棱锥AC BD ACD ⊥ABC D ABC -外接球的体积为（ ）D ABC -A ．B ．C ．D ．43π32π3π4π【答案】A【分析】利用面面垂直的性质，线面垂直的判定定理可以证得为直角，又为直角，ADB ∠ACB ∠进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为斜边的中点，然后根据棱锥的体积求出球的半AB 径，进而计算球的体积.【详解】∵平面平面，平面平面，，ACD ⊥ABC ABC ⋂BCD AC =AC BC ⊥平面，∴平面，又∵平面，∴，BC ⊂ABC BC ⊥ACD AD ⊂ACD AD BC ⊥又∵，，平面，平面， AD DC ⊥BC DC C = BC ⊂BCD CD ⊂BCD ∴平面，又∵平面，∴，即为直角， AD ⊥BCD BD ⊂BCD AD BD ⊥ADB ∠又∵为直角，∴取的中点，连接，， ACB ∠AB O OC OD 由直角三角形的斜边上的中线性质， OA OB OC OD ===可得为三棱锥外接球的球心，设为， O D ABC -CD x =则，，； 2AC x =AD =BC x =∵平面，为直角，BC ⊥ACD ADB ∠∴， 23111333D ABC B ACD ACD V V BC S x x --==⋅===△则，∴三棱锥外接球的体积为, x 1R =D ABC -4π3故选：.A二、多选题9．下列叙述不正确的是（ ） A ．若，则0a b >>22a b >B ．“”是“”的充分不必要条件a b >ln ln a b >C ．命题：，，则命题的否定：， p x ∀∈R 20x >p x ∃∈R 20x ≤D ．函数的最小值是4 ()4f x x x=+【答案】BD【分析】对于A ．由不等式的性质验证； 对于B ．解对数不等式，再判断； 对于C ．由全称命题的否定验证； 对于D ．举反例．【详解】对于A ．由不等式两边同正时两边同平方不等式符号不变，则若，则，0a b >>22a b >故A 正确；对于B ．由得，则，即“”是“”的必要不充分条ln ln a b >0a b >>ln ln a b a b >⇐>a b >ln ln a b >件，故B 不正确；对于C ．由全称命题的否定知，命题：，，的否定为，，故C 正确； p x ∀∈R 20x >x ∃∈R 20x ≤对于D ．当时，，故函数的最小值不为4，故D 错误．0x <()40f x x x=+<()4f x x x =+综上所述，选项BD 不正确， 故选：BD.10．已知直线，则下列说法正确的是（ ）():cos 20l x θθ+=∈RA ．直线倾斜角的取值范围是l π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．直线在轴的截距为l y C ．当时，直线与圆相离 π3θ=l 22:1C x y +=D．直线垂直 l cos 10y θ-+=【答案】BCD【分析】对A ：先求得直线的斜率，再根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解；对k θ=B ：根据截距的定义运算求解；对C ：根据直线与圆的位置关系分析判断；对D ：根据直线垂直关系分析判断.【详解】对于A ：直线的斜率，k θ⎡=∈⎢⎣∴直线的倾斜角的范围是，故A 错误；π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭对于B ：在直线方程中令，得B 正确； l 0x =y =对于C ：当时，直线， π3θ=1:202l x +=圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故C()0,0Cl 1d ==>l 22:1C x y +=正确；对于D ，故D正确． ()cos 0θθ+-=故选：BCD.11．函数的最小正周期为，且函数的图象过()()()πsin cos 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭π()f x 点，则下列正确的是（ ） π,2⎛ ⎝A ．函数在单调递减B ．，()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭x ∀∈R ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．满足条件的最小正整数为1D ．函数为奇函数()()()10f x f x ->x ()π2g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】ABC【分析】根据所给条件求出，在对函数化简，得到的解析式，依次对选项进行判断，即,ωϕ()f x 可得到正确结论.【详解】函数，()()()πsin cos 4f x x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭因为函数的最小正周期为，所以，因为函数图象过点， π2π2πω==π,2⎛ ⎝，，即，， ππ224ϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭5π3π2π42k ϕ+=+Z k ∈π2π4k ϕ=+Z k ∈因为，所以，则，π2ϕ<π4ϕ=()2f x x =对于A ，当时，，则由余弦函数的性质知在单调递减，故A 正π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()20,πx ∈()f x π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭确；对于B ，因为，所以是的一条对称轴，故B 正确；π2f π⎛⎫== ⎪⎝⎭π2x =()f x 对于C ，由得或 ()()()10f x f x ->()1f x >()0f x <①当时，．解得，，即，()0f x <cos 20x <π3π2π22π22k x k +<<+Z k ∈344ππππ+<<+k x k Zk ∈，当时，，此时最小正整数为1． 0k =π3π44x <<x②当时，，，当时，，不符合()1f x >cos 2x >ππππ88k x k -<<+Z k ∈0k =ππ88x -<<题意，当时，，此时最小正整数为3，综上所述，满足条件的1k =7π9π88x <<x ()()()10f x f x ->最小正整数为1，故C 正确．x对于C ，另解：，故C 正确．()120f =<对于D ，函数为偶函数，故D 错误．()()π2π22g x f x x x ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭故选：ABC.12．如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，则下1111ABCD A B C D -P 111B P B D λ=[]0,1λ∈列结论正确的是（ ）A ．有且仅有一点，使得P 1BD A P ⊥B ．的周长与的大小有关1A BP A λC ．三棱锥的体积与的大小有关 1P A BD -λD ．当时，直线与平面12λ=1A P 1A BD 【答案】ABD【分析】A 选项，因，要使，使即可； 11BD B D ∥1BD A P ⊥111B D A P ⊥B 选项，找到的周长关于的表达式即可；1A BP A λC 选项，注意到平面，所以到平面的距离相为定值； 11B D ∥1A BD P 1A BD D 选项，以D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法可判断选项正误.【详解】对于A 选项，因，要使，使即可，则当且仅当P 为中11BD B D ∥1BD A P ⊥111B D A P ⊥11B D 点时，，则此时，故A 正确；111B DA P ⊥1BD A P ⊥对于B 选项，由题可得，11B D =111B P B D λ=则，，.由余弦定理， 1B P=()11PD λ=-114πA D P ∠=1AP ==BP==故的周长的周长与的大小有关，故B 1A BP A 1A B =1A BP A λ正确；对于C 选项，因，BD 平面，平面，则平面.所以到11BD B D ∥⊂1A BD 11B D ⊄1A BD 11B D ∥1A BD P 平面的距离d 相为定值，又为定值，则三棱锥的体积为定1A BD 1BD S △A 1P A BD -113A DBV S d =⋅⋅A 值.故C 错误；对于D 选项，如图以D 为原点建立空间直角坐标系， 则.()()()()1202000220112,,，,,，,,，,,A D B P =.()()()11202220110,,，,,，,,DA DB A P ===-设平面法向量为，则，令，1A BD (),,n x y z = 1220220DA n x z DB n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x =得，设直线与平面所成的角为，()1,1,1n =--1A P 1A BD θ则D正确.si nθ故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题为立体几何中的动点问题，难度较大.A选项，因BD与异面，故利用平行关系将转化为；1A P1BD A P⊥111B D A P⊥B选项，因难以直观判断周长与关系，故从代数角度求出周长关于的表达式；λλC选项，涉及体积的动点问题常需要观察其中是否存在线面平行关系；D选项，向量法是求线面角的强有力工具.三、填空题13．已知向量，，，若，则______．()1,2a=r()2,1b=r()1,3c=()c a tb+At=【答案】##15-0.2-【分析】根据平面向量平行的坐标表示求解.【详解】由向量，，，()1,2a=r()2,1b=r()1,3c=则，()12,2a tb t t+=++由，则，解得．()c a tb+∥236t t+=+15t=-故答案为: .15-14．已知函数，则______．2log(1),0()πtan(),04x xf xx x+>⎧⎪=⎨≤⎪⎩()()7f f-=【答案】1【分析】根据给定的分段函数，依次代入计算作答.【详解】依题意，，所以. ()77tan(14f π-=-=()()()271log 21f f f -===故答案为：115．已知定义在R 上的函数满足下列条件： ()f x ①函数的图象关于轴对称； ()f x y ②对于任意，； x ∈R ()()1f x f x +=-③当时，；[]0,1x ∈()f x x =若函数（且）有6个零点，则的取值范围是______． ()()log a F x f x x =-0a >1a ≠a 【答案】()3,5【分析】根据函数的奇偶性，对称性以及周期性，通过作图，利用数形结合的思想，找到临界问题，即可得到答案．【详解】函数的图象关于轴对称，则为偶函数， ()f x y ()f x 对于任意，，则， x ∈R ()()1f x f x +=-()()()21f x f x f x +=-+=即函数的最小正周期为2．()f x 当时，；函数有6个交点 []0,1x ∈()f x x =()()log a F x f x x =-作图如下：由图易知，则且，解得， 1a >log 31a <log 51a >35a <<所以的取值范围是． a ()3,5故答案为：．()3,516．如图是数学家Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin 双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球，球的半径分别为4和1，球心距，截面分别与球，球切于点，，1O 2O 126O O =1O 2O E F （，是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．E F【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答.【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图，1O 2O点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， ,A B 12,O O MN 椭圆长轴长，2a MN MF FN MF ME MB MA AB ==+=+=+=过作于D ，连，显然四边形为矩形，又， 2O 21O D O A ^2O B 2ABO D 2112||1,||4,||6O B O A O O ===则22||||a AB O D ====过作交延长线于C ，显然四边形为矩形， 2O 21O C O E ⊥1O E 2CEFO椭圆焦距 22||||c EF O C ====所以椭圆的离心率 22c e a ==【点睛】关键点睛：涉及与旋转体有关的组合体，作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.四、解答题17．的内角，，的对边分别为，，，且． ABC A A B C a b c 2cos 1c A b=+(1)若，，求的值； a =2b =c (2)若，求角．0CA CB ⋅= B 【答案】(1)1(2)π6【分析】（1）由已知结合余弦定理，可得关于的方程，求解即可； c （2）由已知结合正弦定理得，由得，从而sin sin 2sin cos C B B A -=⋅0CA CB ⋅= π2C =，即可得出答案．21sin 2sin B B -=【详解】（1）由，则， 2cos 1c A b=+2cos c b A b =+由余弦定理得， 222cos 2b c a A bc+-=∴，即， 22222222b c a b c a c b b bc c+-+--=⋅=22ab bc =+则，解得.2222c =+1c =（2）∵，即，∴由正弦定理得， 2cos 1c A b=+2cos c b b A -=⋅sin sin 2sin cos C B B A -=⋅由，则，可得，， 0CA CB ⋅= π2C =π2A B +=sin 1C =∴，即，21sin 2sin B B -=()()2sin 1sin 10B B -⋅+=解得或（舍去）， 1sin 2B =sin 1B =-又∵，∴． π02B <<π6B =18．已知数列满足，．{}n a ()12n n a a n *+-=∈N 23a =(1)求数列的通项公式；{}n a n a (2)令，求数列的前项和．11n n n b a a +={}n b n n S 【答案】(1)21n a n =-(2) 21n n S n =+ 【分析】（1）由等差数列的定义可知数列为等差数列，确定该数列的公差，可求得数列的{}n a {}n a 通项公式；（2）求得，利用裂项求和法可求得. 11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭n S 【详解】（1）解：由，则数列是以为公差的等差数列，()12n n a a n *+-=∈N {}n a 2d =所以，数列的通项公式.{}n a ()()2232221n a a n d n n =+-=+-⨯=-（2）解：， ()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+--+⎝⎭故. 111111111111233557212122121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ 19．凯里市2020年被评为全国文明城市，为了巩文固卫，凯里一中某研究性学习小组举办了“文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取400份试卷作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布[)40,50[)50,60[]90,100直方图．(1)求的值，并估计知识竞赛成绩的第80百分位数；a (2)现从该样本成绩在与的市民中按分层抽样选取6人，求从这6人中随机选取2[)40,50[)50,60人，且2人的竞赛成绩来自不同组的概率．【答案】(1)，860.03a =(2)815【分析】（1）根据频率分布直方图列出方程即可求出的值，再由频率分布直方图的性质得出第80a 百分位数；（2）根据分层抽样，在内选取2人，记为，，在内选取4人，记为，，[)40,50A B []90,100a b c ，，利用列举法即可求出答案.d 【详解】（1）因为，()0.0050.010.0200.0250.010101a +++++⨯=所以，0.03a =设知识竞赛成绩的第80百分位数为，m 由的频率为0.65，的频率为0.9，[)40,80[)40,90则位于，m [)80,90则，()0.65800.0250.8m +-⨯=解得，86m =则知识竞赛成绩的第80百分位数为86．（2）根据分层抽样，在内选取2人，记为，，在内选取4人，记为，，[)40,50A B []90,100a b c ，．d 从这6人中选取2人的所有选取方法：，，，，，，，，，，，，，，，共15种． AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 2人的竞赛成绩来自不同组的选取方法：，，，，，，，共8种． Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 所以所求概率为． 81520．如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，且直三棱柱的111ABC A B C -111ABC A B C -体积为为的中点．E 1AA(1)证明：平面；1BC ⊥1EB C (2)求平面与平面夹角的余弦值．1C EB EBC 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）说明，即可；11BC CB ⊥1BC OE ⊥（2）取的中点，建立以为原点的空间直角坐标系，后利用向量方法可得答案.AB O 'O '【详解】（1）由题意知，，设1π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=A 1111ABC A B C ABC V S AA -=⋅=A 12AA =与交点为，连接．1BC 1CB O OE 由题可知四边形为正方形，所以，11BCC B 11BC CB ⊥且为中点．又因，，所以，O 1BC 222BE AB AE =+2221111C E A E A C =+1BE C E =又O 为中点，所以．1BC 1BC OE ⊥又因为，平面，平面，1OE OB O ⋂=OE ⊂1EB C 1OB ⊂1EB C 所以平面．1BC ⊥1EB C（2）取的中点，连接，，在平面过点内作的垂线，如图所示，AB O 'O C 'O C AB '⊥11ABB A O 'AB 建立空间直角坐标系．则，， O xyz '-()0,1,1E -()10,1,2B ()12C ，．所以，． ()0,1,0B ()C ()0,2,1EB =- ()1EC =- 设平面的一个法向量为，CEB (),,n x y z = 则，令．200nEB y z n EC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩y =(n =- 由（1）可知平面的一个法向量为， 1CEB ()11,2BC =- 设平面与平面夹角为，由图可知其为锐角.1C EB EBC θ则cos cos ,n BC BC n n BC⋅===⋅θ则平面与平面 1C EB EBC21．设函数（，且）．()x x f x a a -=-x ∈R 0a >1a ≠(1)若，且不等式在区间恒成立，求实数的取值范围；()10f >()()10f tx f x ++>[]0,2t (2)若，函数在区间上的最小值为，求实数的值． ()312f =()()222x xg x a a mf x -=+-(],1-∞2-m 【答案】(1) 3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭(2)或 2m =-2512m =【分析】（1）求得的范围，判断的奇偶性和单调性，并由此把问题转化为在区a ()f x ()11t x +>-间恒成立，求解即可；[]0,2（2）求出的值，得，利用换元法，令，设a ()()()2222222x x x x g x m --=---+22x x t -=-，转化为二次函数求最值问题，分类讨论求解即可．()222G t t mt =-+【详解】（1），因为，解得， ()1110f a a a a-=-=->0a >1a >因为，且，在R 上为单调递增函数，()()f x f x -=-x y a =x y a -=-则函数为R 上单调递增的奇函数，()x x f x a a -=-不等式等价于，()()10f tx f x ++>()()()1f tx f x f x +>-=-所以，即在区间恒成立，1tx x +>-()11t x +>-[]0,2当时，，则，0x =01>-R t ∈当时，，即，解得， (]0,2x ∈11t x +>-max1112t x ⎛⎫+>-=- ⎪⎝⎭32t >-综上所述，实数的取值范围是． t 3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2），即，解得或（舍）， ()1211132a a a a f a a ---====-22320a a --=2a =12a =-所以，()()()()22222222222222x x x x x x x x g x m m ----=+--=---+令，则在单调递增，所以，即， 22x x t -=-22x x t -=-(],1-∞1322222x x t -=-≤-=32t ≤设，对称轴为，()222G t t mt =-+t m =当时，则在区间单调递减， 32m ≥()G t 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦则，解得：符合题意， ()2min3331722322224G t G m m ⎛⎫⎛⎫==-⨯+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭253122m =>当时，则在区间单调递减，在区间单调递增， 32m <()G t (],m -∞3,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，解得：或（舍），()()22min 222G t G m m m ==-+=-2m =-2m =综上所述或． 2m =-2512m =22．抛物线上的点到抛物线的焦点的距离为2，（不与重()2:20C y px p =>()01,M y C F ,A B O 合）是抛物线上两个动点，且．C OA OB ⊥(1)求抛物线的标准方程及线段的最小值；C AB (2)轴上是否存在点使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．x P 2APB APO ∠=∠P 【答案】(1)，最小值为82:4C y x =(2)存在；()4,0P -【分析】（1）利用抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程，设直线方程，与抛物线联立,OA OB 求得点坐标，利用两点的距离公式结合基本不等式和一元二次函数的单调性即可求得线段,A B AB 的最小值； （2）由可得，假设点存在，设，利用对任意2APB APO ∠=∠OPA OPB ∠=∠P ()0,0P x 0PA PB k k +=恒成立求的值即可.OA k 0x 【详解】（1）由抛物线的定义得，解得， 122p MF =+=2p =则抛物线的标准方程为，C 2:4C y x =依题意知直线与直线的斜率存在，设直线方程为， OA OB OA ()0y kx k =≠由得直线方程为：， OA OB ⊥OB 1=-y x k由解得点，由解得点， 24y kx y x =⎧⎨=⎩244,A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭214y x k y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩()24,4B k k -==令，当且仅当，即时等号成立，则，2212t k k=+≥221k k =1k =±AB =又因为函数在区间单调递增，()22f t t t =+-[)2,+∞所以，则，()()min 24f t f ==min8AB ==所以线段的最小值为.AB 8（2）由得，2APB APO ∠=∠OPA OPB ∠=∠假定在轴上存在点使得，设点，x P OPA OPB ∠=∠()0,0P x 则由（1）得直线斜率，直线斜率， PA 20024444PA k k k k x x k ==--PB 2044PB k k k x -=-由得，则有，即， OPA OPB ∠=∠0PA PB k k +=22004444k k k x k x =--220044k x k x -=-整理得，显然当时，对任意不为0的实数，恒成立， ()()20140k x -+=04x =-k ()()20140k x -+=即当时，恒成立，恒成立，04x =-0PA PB k k +=OPA OPB ∠=∠所以轴上存在点使得，点. x P 2APB APO ∠=∠()4,0P -。

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高二上学期数学期末检测试卷
一、单选题
1. 下列命题一定正确的是（）
A . 三点确定一个平面
B . 依次首尾相接的四条线段必共面
C . 直线与直线外一点确定一个平面
D . 两条直线确定一个平面
2. 若实数满足，则下列不等式成立的是（）
A .
B .
C .
D .
3. 已知是两条不同直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）
A . 若，，则
B . 若，
，则 C . 若，，则 D . 若，，则
4. 设，则“ ”是“ 恒成立”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充分必要条件
D . 既不充分也不必要条件
5. 在三棱锥中，是的中点，且
，则（）
A .
B .
C .
D .
6. 在三棱柱中，分别是
的中点，则必有（）
A .
B .
C . 平面
D . 平面
7. 在平行六面体中，，
，，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A .
B .
C .
D .
8. 已知-2与1是方程的两个根，且，则
的最大值为（）
A . -2
B . -4
C . -6
D . -8
9. 关于的不等式只有一个整数解，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
10. 已知直角，，，
，分别是的中点，将
沿着直线翻折至，形成四棱锥，则在翻折过程中，①；② ；③ ；④平面平面，不可能成立的结论是（）
A . ①②③
B . ①②
C . ③④
D . ①②④
二、填空题
11. 已知命题“若，则” ，其逆命题为________．
12. 已知空间向量，，若
，则________．
13. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.
14. 若对任意正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是________．
15. 在三棱锥中，底面为正三角形，各侧棱长相等，点
分别是棱的中点，且，则
________．
16. 在四棱锥中，底面为平行四边形，
平面，，，，，则当变化时，直线与平面所成角的取值范围是________．
17. 已知长方体，，，点是面上异于的一动点，则异面直线与所成最小角的正弦值为________．
18. 已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是________．
三、解答题
19. 已知， .
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
20. 如图，矩形与直角三角形所在平面互相垂直，且
，分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）过作，垂足为，求证：
平面 .
21. 已知，， .
（1）求证：；
（2）求的最小值.
22. 已知三棱锥，底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，，，二面角的大小为 .
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求二面角的正切值.。

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