上海市中考数学一模试卷(I)卷

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2023年上海市崇明区中考数学一模试卷及答案解析

2023年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列各组图形，一定相似的是（）A．两个等腰梯形B．两个菱形C．两个正方形D．两个矩形2．（4分）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，下列结论中正确的是（）A．开口方向不变B．顶点不变C．对称轴不变D．与y轴的交点不变3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么cos A的值是（）A．B．C．D．4．（4分）已知为单位向量，向量与方向相反，且其模为||的4倍；向量与方向相同，且其模为||的2倍，则下列等式中成立的是（）A．＝2B．＝﹣2C．＝D．＝﹣5．（4分）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．（4分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，以下条件中不能推出△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝∠BCD B．＝C．＝D．＝二、填空题（本大题共12题，题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝（x≠0），那么＝．8．（4分）计算：5﹣3（2﹣）＝．9．（4分）点P是线段MN的黄金分割点，如果MN＝10cm，那么较长线段MP的长是______cm．10．（4分）如果抛物线y＝（m﹣2）x2有最高点，那么m的取值范围是．11．（4分）如果抛物线y＝2x2﹣bx+1的对称轴是y轴，那么它的顶点坐标为．12．（4分）已知点A（2，y1），B（﹣3，y2）为二次函数y＝（x+1）2图象上的两点，那么y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．（4分）如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为．14．（4分）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标A点的俯角为α，那么此时飞机与目标A点的距离为千米．（用α的式子表示）15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，∠D＝45°，则＝．16．（4分）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么＝．17．（4分）如图，菱形ABCD的边长为8，E为BC的中点，AF平分∠EAD交CD于点F，过点F作FG∥AD，交AE于点G，若cos B＝，则FG的长为．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AC边上，点E在射线AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点A′处，当A′D⊥AC且CA′∥AB 时，BE的长为．三、解答题（大题共7题，满分78分）.19．（10分）计算：4cos30°﹣cos45°tan60°+2sin245°．20．（10分）在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC＝3AD．过点A作AE∥DC，分别交BC，BD于点E、F，若＝，＝．（1）用、表示和；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21．（10分）如图，D是△ABC边上的一点，CD＝2AD，AE⊥BC，垂足为点E，若AE＝9，sin∠CBD＝．（1）求BD的长；（2）若BD＝CD，求tan∠BAE的值．22．（10分）如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i＝1：的斜坡CD．如果高为3米的标尺EF竖立在地面BC上，垂足为F，它的影子的长度为4米．（1）当影子全在水平地面BC上（图1）．求标尺与路灯间的距离；（2）当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，对角线AC与BD交于点F，点G是AB边上的中点，联结CG交BD于点E，并满足BG2＝GE•GC．（1）求证：∠GAE＝∠GCA；（2）求证：AD•BC＝2DF•DE．24．（12分）如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线x＝的抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、点M（1，m），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标；的面积；（2）联结AB、AM、BM，求S△ABM（3）过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上点，当△BMQ与△AMP相似时，求点Q的坐标．25．（14分）已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，AD∥BC．点E为射线AD上的一个动点（不与A重合），过点E作EF⊥BE，交射线CA于点F，联结BF．（1）如图，当点F在线段AC上时，EF与AB交于点G，求证：△AEG∽△FBG；（2）在（1）的情况下，射线CA与BE的延长线交于点Q，设AE＝x，QF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BE＝3时，求CF的长．2023年上海市崇明区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答．【解答】解：A、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意；B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意；C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；D、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键，难度适中．2．【分析】由于抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，a不变，抛物线的增减性不变．【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，a不变，开口方向不变，故正确；B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，顶点的横坐标改变，纵坐标不变，故错误；C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，形状不变，顶点改变，对称轴改变，故错误；D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向右平移2个单位，与y轴的交点也改变，故错误．故选：A．【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，注意：抛物线平移后的形状不变，开口方向不变，顶点坐标改变．3．【分析】利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴cos A＝＝，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．4．【分析】根据平面向量的性质进行一一判断．【解答】解：根据题意知，＝﹣4，＝2．则＝﹣2，观察选项，只有选项B符合题意．故选：B．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．5．【分析】根据各个选项中的条件和图形，利用相似三角形的判定和性质、平行线的判定，可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：当时，无法判断AD∥BC，故选项A不符合题意；当＝时，∠AFB＝∠DFE，则△AFB∽△DFE，故∠ABF＝∠DEF，AB∥CD，但无法判断AD∥BC，故选项B不符合题意；当时，无法判断AD∥BC，故选项C不符合题意；当时，∠FED＝∠BEC，则△FED∽△BEC，故∠EFD＝∠EBC，可以判断判断AD∥BC，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线分线段成比例、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】根据题意和各个选项中的条件，可以判断各个选项中的条件能否推出△BCD∽△CAD，从而可以判断△ABC是否为直角三角形．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°∴若∠A＝∠BCD，则∠ACD+∠BCD＝90°，故∠ACB＝90°，选项A不符合题意；若＝，则△BCD∽△CAD，∠BCD＝∠A，故∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACB＝90°，选项B不符合题意；若＝，则△BCD∽△CAD，∠BCD＝∠A，故∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACB＝90°，选项C不符合题意；若，无法判断△BCD∽△CAD，从而可以不能推出△ABC为直角三角形，故选项D不符合题意；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题共12题，题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据＝（x≠0），可以得到＝，然后将所求式子变形，再将＝代入计算即可．【解答】解：∵＝（x≠0），∴＝，∴＝+1＝+1＝，故答案为：．【点评】本题考查比例的性质，解答本题的关键是明确题意，求出的值．8．【分析】先去括号，然后计算加减法．【解答】解：5﹣3（2﹣）＝5﹣6+3＝﹣+3．故答案为：﹣+3．【点评】本题主要考查了平面向量的知识，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，属于基础题．9．【分析】由黄金分割的定义即可计算．【解答】解：较长线段MP＝10×＝（5﹣5）（cm）．故答案为：（5﹣5）．【点评】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．10．【分析】由抛物线有最高点可得抛物线开口方向，进而求解．【解答】解：∵抛物线有最高点，∴抛物线开口向下，∴m﹣2＜0，解得m＜2，故答案为：m＜2．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．11．【分析】由抛物线的对称轴为y轴可得b＝0，进而求解．【解答】解：∵抛物线的对称轴为y轴，∴﹣＝0，∴b＝0，∴y＝2x2+1，∴抛物线顶点坐标为（0，1），故答案为：（0，1）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．12．【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．【解答】解：∵y＝（x+1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3），∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数的关系．13．【分析】直接利用相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是4：9，∴两个相似三角形的相似比为4：9，∴它们的对应角平分线的比为4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比．14．【分析】根据题意可得：BC⊥AC，BC＝3千米，∠DBA＝α，BD∥AC，从而可得∠A＝∠DBA＝α，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答．【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，由题意得：BC⊥AC，BC＝3千米，∠DBA＝α，BD∥AC，∴∠A＝∠DBA＝α，在Rt△ABC中，AB＝＝（千米），∴此时飞机与目标A点的距离为千米，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．15．【分析】根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质，可以得到＝（）2，再根据锐角三角函数即可求得的值，从而可以求得的值．【解答】解：∵∠ACD＝90°，∠D＝45°，∴∠DAC＝45°，∵AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝45°，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△DCA∽△ABC，∴＝（）2，∵∠B＝90°，∠BCA＝45°，∴∠CAB＝45°，∴sin∠CAB＝＝，∴＝（）2＝（）2＝，故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形、梯形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．【分析】由三角形的重心定理得出＝，＝，由平行线分线段成比例定理得出＝，从而得到的值．【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，∴＝，＝，∵EF∥BC，∴＝＝，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG＝1：2是解决问题的关键17．【分析】作AM⊥BC于M，延长AE、DC交于点N，首先说明AM垂直平分BE，可得AB＝AE，再证明△ABE≌△NCE（ASA），得NE＝AE＝8，由CE∥FG，得△NCE∽△NFG，从而解决问题．【解答】解：作AM⊥BC于M，延长AE、DC交于点N，∵cos B＝，AB＝8，∴BM＝2，∵点E为BC的中点，∴BE＝4，∴ME＝BM＝2，∴AM垂直平分BE，∴AB＝AE＝8，∵AF平分∠EAD，∴∠DAF＝∠GAF，∵AD∥GF，∴∠DAF＝∠AFG，∴∠GAF＝∠GFA，∴AG＝FG，设AG＝FG＝x，∴EG＝8﹣x，∵BE＝CE，∠AEB＝∠NEC，∠ABE＝∠NCE，∴△ABE≌△NCE（ASA），∴NE＝AE＝8，∵CE∥FG，∴△NCE∽△NFG，∴，解得x＝，∴FG＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．18．【分析】延长A′D交AB于点G，由A′D⊥AC，得∠A′DC＝∠ADG＝∠ACB＝90°，由CA′∥AB，得∠A′CD＝∠A，则A′D＝CD•tan∠A′CD＝CD•tan A＝CD，所以AD＝（4﹣AD），求得AD＝，则GD＝AD＝，CD＝，由勾股定理得AG＝＝，则BG＝5﹣＝，可证明∠CDF＝45°，则CF＝CD＝，BF＝，再证明△EBF∽△EGD，即可根据相似三角形的对应边成比例求得BE＝．【解答】解：如图，延长A′D交AB于点G，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵A′D⊥AC，∴∠A′DC＝∠ADG＝∠ACB＝90°，∵CA′∥AB，∴∠A′CD＝∠A，∴A′D＝CD•tan∠A′CD＝CD•tan A＝CD，由翻折得AD＝A′D＝CD，∴AD＝（4﹣AD），解得AD＝，∴GD＝AD•tan A＝AD＝×＝，CD＝4﹣＝，∴AG＝＝＝，∴BG＝5﹣＝，∵∠A′DE＝∠ADE＝＝135°，∴∠CDF＝135°﹣90°＝45°，∴CF＝CD•tan∠CDF＝CD•tan45°＝CD×1＝CD＝，∴BF＝3﹣＝，∴BF∥GD，∴△EBF∽△EGD，∴＝，∴＝，解得BE＝，故答案为：．【点评】此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（大题共7题，满分78分）.19．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．【解答】解：原式＝4×﹣×+2×（）2＝2﹣+2×＝2﹣+1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．【分析】（1）利用平行线的性质，平行四边形的判定和性质，三角形法则求解即可；（2）利用平行四边形法则画出图形即可．【解答】解：（1）∵AD∥BC，＝，BC＝3AD，∴＝，∴＝+＝﹣+，∵AD∥EC，AE∥CD，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD＝EC，∴BE＝2EC，∴＝，∴＝+＝+，∵AD∥BE，∴＝＝，∴AF＝AE，∴＝+；（2）如图，，即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，梯形的性质，平面向量等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．21．【分析】（1）作DF⊥BC于点F，根据平行线分线段澄碧，可以得到DF的长，再根据sin∠CBD＝，即可得到BD的长；（2）根据（1）中的结论和勾股定理，可以得到BE的长，然后即可计算出tan∠BAE的值．【解答】解：（1）作DF⊥BC于点F，∵AE⊥BC，∴DF∥AE，∴，∵CD＝2AD，CD+AD＝CA，∴，∵AE＝9，∴＝，解得DF＝6，∵sin∠CBD＝，sin∠CBD＝，∴，解得BD＝8；（2）∵BD＝CD，DF⊥BC，∴BF＝CF，由（1）知：DF＝6，BD＝8，∠DFC＝90°，∴CF＝＝＝2，∴BF＝2，∵DF∥AE，CD＝2AD，∴CF＝2EF，∴EF＝，∴BE＝BF﹣EF＝2﹣＝，∴tan∠BAE＝＝．【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．22．【分析】（1）连接AE并延长，交BC于点G，根据题意可得AB∥EF，易证明△GEF∽△GAB，根据相似三角形的性质即可求解．（2）连接AE并延长，交CD于点H，过点H作HN⊥AB于点N，交EF于点M，过点H作HP⊥BC交BC延长线于点P，根据题意可得CF+CH＝4米，，设CH＝x米，则CF＝（4﹣x）米，HP＝米，CP＝米，再分别表示出MH、AN、ME、NH的长，易证△HEM∽△HAN，根据相似三角形的性质可得关于x的方程，求解即可．【解答】解：如图1，连接AE并延长，交BC于点G，由题意可知，AB＝9米，EF＝3米，FG＝4米，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴△GEF∽△GAB，∴，即，∴BG＝12米，∴BF＝BG﹣FG＝12﹣4＝8（米），∴标尺与路灯间的距离为8米；（2）如图2，连接AE并延长，交CD于点H，过点H作HN⊥AB于点N，交EF于点M，过点H作HP⊥BC交BC延长线于点P，由题意可得，CF+CH＝4米，，设CH＝x米，则CF＝（4﹣x）米，HP＝米，CP＝米，∴MF＝BN＝HP＝米，MH＝米，∴AN＝米，ME＝米，∵BC＝15.5米，∴NH＝米，∵AB⊥BC，EF⊥BC，∴AB∥EF，∴∠EMH＝∠ANH，∠HEM＝∠HAN，∴△HEM∽△HAN，∴，即，整理得：2x2+9x﹣35＝0，解得：x1＝﹣7（不符合题意，舍去），，则CF＝4﹣x＝4﹣＝1.5（米），∴BF＝BC﹣CF＝15.5﹣1.5＝14（米），∴此时标尺与路灯间的距离为14米．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡脚问题、中心投影、相似三角形的判定与性质，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．23．【分析】（1）由BG＝GA，且BG2＝GE•GC，得GA2＝GE•GC，则＝，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△EGA∽△AGC，则∠GAE＝∠GCA；（2）先证明△EGB∽△BGC，得∠GBE＝∠GCB，则∠AED＝∠GAE+∠GBE＝∠GCA+∠GCB＝∠FCB，由AD∥BC，得∠ADE＝∠FBC，所以△ADE∽△FBC，得＝，所以AD•BC＝FB•DE，再证明△ADF∽△CBF，推导出FB＝2DF，则AD•BC＝2DF•DE．【解答】证明：（1）∵点G是AB边上的中点，∴BG＝GA，∵BG2＝GE•GC，∴GA2＝GE•GC，∴＝，∵∠EGA＝∠AGC，∴△EGA∽△AGC，∴∠GAE＝∠GCA．（2）∵BG2＝GE•GC，∴＝，∵∠EGB＝∠BGC，∴△EGB∽△BGC，∴∠GBE＝∠GCB，∴∠AED＝∠GAE+∠GBE＝∠GCA+∠GCB＝∠FCB，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠FBC，∴△ADE∽△FBC，∴＝，∴AD•BC＝FB•DE，∵△ADF∽△CBF，AD＝BC，∴＝＝，∴FB＝2DF，∴AD•BC＝2DF•DE．【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ADE∽△FBC是解题的关键．24．【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝，得﹣＝①，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0），有16a+4b+2＝0②，可解得a＝﹣，b＝，y＝﹣x2+x+2，即得抛物线顶点D的坐标为（，）；（2）过M作MP∥y轴交AB于P，在y＝﹣x2+x+2中，得B（0，2），故直线AB解析式为y＝﹣x+2，令x＝1得P（1，），在y＝﹣x2+x+2中，可得M（1，3），从＝PM×|x A﹣x B|＝3；而PM＝3﹣＝，S△ABM（3）过B作BH⊥MP于H，由B（0，2），M（1，3），可得BH＝MH＝1，BM2＝2，即知∠BMQ＝45°，可求出AM2+BM2＝AB2，∠AMB＝90°，故∠AMP＝90°﹣∠BMQ＝45°＝∠BMQ，要使△BMQ与△AMP相似，只需＝或＝，设Q（1，t），则MQ＝3﹣t，即得＝或＝，分别解方程可得答案．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x＝，∴﹣＝①，∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0），∴16a+4b+2＝0②，由①②可得a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2，在y＝﹣x2+x+2中，令x＝得：y＝﹣×（）2+×+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（，）；（2）过M作MP∥y轴交AB于P，如图：在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0得y＝2，∴B（0，2），∵A（4，0），∴直线AB解析式为y＝﹣x+2，在y＝﹣x2+x+2中，令x＝1得y＝3，∴M（1，3），在y＝﹣x+2中，令x＝1得y＝，∴P（1，），∴PM＝3﹣＝，＝PM×|x A﹣x B|＝××4＝3；∴S△ABM（3）过B作BH⊥MP于H，如图：由（2）知，B（0，2），M（1，3），∴BH＝MH＝1，BM2＝2，∴△BMH是等腰直角三角形，∴∠BMQ＝45°，∵A（4，0），∴AB2＝20，AM2＝18，∴AM2+BM2＝AB2，∴∠AMB＝90°，∴∠AMP＝90°﹣∠BMQ＝45°＝∠BMQ，要使△BMQ与△AMP相似，只需＝或＝，设Q（1，t），则MQ＝3﹣t，当＝时，＝，解得t＝，∴Q（1，），当＝时，＝，解得t＝﹣1，∴Q（1，﹣1），综上所述，Q的坐标为（1，）或（1，﹣1）．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．25．【分析】（1）取BF的中点O，连接OE，OA．证明EBFA四点共圆，可得结论；（2）过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N．证明△BME ≌△ENF（AAS），推出BM＝EN＝EM＝FN，解直角三角形可得BM＝AM＝EN＝AB ＝2，推出AM＝NF＝2﹣x，推出AF＝AN＝4﹣x，可得AQ＝y﹣（4﹣x），由AE∥CB，推出＝，由此构建关系式，可得结论；（3）分两种情形：当点F在线段AC上时，当点F在CA的延长线上时，分别求解可得结论．【解答】（1）证明：取BF的中点O，连接OE，OA．∵∠BEF＝∠BAF＝90°，OB＝OF，∴OE＝BF，OA＝BF，∴OE＝OB＝OA＝OF，∴E，B，F，A四点共圆，∴∠AEG＝∠GBF，∵∠AGE＝∠FGB，∴△AEG∽△FBG；（2）解：过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FN⊥DA交DA的延长线于点N．∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠C＝45°，∵AD∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∵A，E，B，F四点共圆，∴∠EFB＝∠EAB＝45°，∵∠BEF＝90°，∴∠EBF＝∠EFB＝45°，∴EB＝EF，∵∠BME＝∠BEF＝∠N＝90°，∴∠BEM+∠FEN＝90°，∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠BEM＝∠EFN，∵BE＝EF，∴△BME≌△ENF（AAS），∴BM＝EN＝EM＝FN，∵AD∥CB，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠NAF＝∠C＝45°，∴BM＝AM＝EN＝AB＝2，∴AM＝NF＝2﹣x，∴AF＝AN＝4﹣x，∴AQ＝y﹣（4﹣x），∵AE∥CB，∴＝，∴＝，∴y＝（0＜x≤2）；（3）解：当点F在线段AC上时，∵BE＝3，BM＝2，∴ME＝＝＝1，∴AN＝AF＝1，∴AF＝，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣．当点F在CA的延长线上时，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FN⊥DA交DA于点N．同法可证EM＝FN＝AN＝1，∴AF＝，∴CF＝AF+AC＝4+，综上所述，满足条件的CF的值为4﹣或4+．【点评】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．。

2024届上海市浦东新区初三一模数学试题及答案

上海市浦东新区2024届初三一模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列函数中，是二次函数的是（）.A 21y x ；.B 21y x ；.C 221y x x ；.D 21y x．2.已知在Rt ABC 中，90C ，3AC ，4BC ，那么下列等式正确的是（）.A 3sin 3333.已知a .A a4..A 1:45..A .C 6..A .B .C .D 7.如果34x y ，那么x y y．8.计算：43a a b．9.已知线段2MN cm ，P 是线段MN 的黄金分割点，MP NP ，那么线段MP 的长度等于cm ．10.如果点G 是ABC 的重心，且6AG ，那么边BC 上的中线长为．11.已知在Rt ABC 中，90C ，6BC ，3sin 4A，那么AB 的长为．12.如图，ABC 是边长为3的等边三角形，D 、E 分别是边BC 、AC 上的点，60ADE ，如果1BD ，那么CE．13.小明沿着坡度1:2.4i 的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了米．14.在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为x （03x ）的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是．15.已知点 2,A m ， 3,B n 都在二次函数 21y x 的图像上，那么m 、n的大小关系是：mn ．（填“ ”“ ”或“ ”）16.如图，正方形CDEF 的边CD 在Rt ABC 的直角边BC 上，顶点E 、F 分别在边AB 、AC 上．已知两条直角边BC 、AC 的长分别为5和12，那么正方形CDEF 的边长为．17.平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AD 18.在菱形落在点19.计算：20.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且2AD ，4DB ，3AE ，6EC ．（1）求DEBC的值；（2）联结DC ，如果DE a ，DA b ，试用a 、b 表示向量CD．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，90ABC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，2AD ，3AB ，4BC ．（1）求BOC 的面积；（2）求ACD 的正弦值．第20题图第21题图221第22题图322.（本题满分10分）上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B 组第2题及参考答案．的代数式表示，以下同），2BD t ；某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：如图1然后延长（1）（2）（3）如图2然后延长【拓展应用】如图3，在Rt ABC 中，90C ，18AC ，25BC ，点D 、E 分别在边AC 、BC 上，且5DC ，12EC ，联结AE 、BD 交于点P ．求证：tan 1BPE ．第23题图第24题图23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 相交于点E ，且DEC DCB ．（1）求证：AD ACCE CB；（2）点F 在DB 的延长线上，联结AF ，2AF AE AC ．求证：EC AF BC AE ．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）题4分，第（3）题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:M y x bx c 过点 2,2A 、点 0,2B ，顶点为点C ，抛物线M 的对称轴交x 轴于点D ．（1）求抛物线M 的表达式和点C 的坐标；（2）点P 在x 轴上，当AOP 与ACD 相似时，求点P 坐标；（3）将抛物线M 向下平移t （0t ）个单位，得到抛物线N ，抛物线N 的顶点为点E ，再把点C 绕点E 顺时针旋转135 得到点F ．当点F 在抛物线N 上时，求t 的值．第25题图备用图备用图25.（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（2）小题4分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6，点E 是射线BC 上一点（点E 不与点B 、C 重合），过点A 作AF AE ，交边CD 的延长线于点F ，直线EF 分别交射线AC 、射线AD 于点M 、N ．（1）当点E 在边BC 上时，如果15ND AN ，求BAE 的余切值；（2）当点E 在边BC 延长线上时，设线段BE x ，y EN MF ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当3CE 时，求EMC 的面积．浦东新区2023学年度第一学期期末练习卷初三数学参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．D ；3．D ；4．A ；5．C ；6．B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．74；8．3a b ；91 ；10．9；11．8；12．23；13．50；14．29y x ；15．<；16．6017；17．23；18．34．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）1922+121222……………………（5分）（每个三角比的值各1分）112…………………………………（3分）（后3个数据，各1分）=12．………………………………………（2分）（每个数据，各1分）20．解：（1）∵AD =2，DB =4，AE =3，EC =6，∴12 AD DB ，12 AE EC ．∴ AD AEDB EC．……………………………………（1分）∴DE//BC ．……………………………………………………………………（1分）∴ DE ADBC AB ．………………………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴13 AD AB ．……………………………………………………（1分）∴13DE BC ．…………………………………………………………………（1分）（2）∵13 DE BC ，∴BC =3DE ．∵ BC 和 DE 方向相同，∴3 BC DE ．（1分）∵ DE a ，∴3BC a ．…………………………………………………（1分）∵12 AD DB ，∴DB =2AD ．∵ BD 和 DA 方向相同，∴2 BD DA ．……（1分）∵ DA b ，∴2BD b ．…………………………………………………（1分）∵ CD BD BC ，∴23CD b a ．………………………………………（1分）21．解：（1）∵AD//BC ，∴AD AOBC OC．…………………………………………（1分）∵AD =2，BC =4，∴1=2AO OC ．∴23OC AC ．………………………………（1分）∵△BOC 和△ABC 同高，∴2=3BOC ABC S OC S AC ．……………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴1=34=62ABC S ．…（1分）∴=4 OBC S ．……………………………………………………………………（1分）（2）过点D 作DM ⊥BC ，垂足为点M ，过点D 作DH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABC 中,∠ABC=90°，AB=3，BC =4，∴AC =5．∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，DM ⊥BC ，∴AB =DM ．∴△ADC 和△ABC 等高．∴1==2ADC ABC S AD S BC ．∴=3 ACD S ．……………（1分）∴1=32 AC DH ．∴6=5DH ．………………………………………………（1分）∵DM ⊥BC ，∴∠DMC=90°．∵∠ABC =90°，∴∠ABC=∠DMC ．∴AB ∥DM ．∵AD ∥BC ，∴四边形ABMD 是平行四边形．∴BM=AD=2，DM=AB=3．∵BC =4，∴MC=2．…………………………（1分）在Rt △DMC 中,∠DMC=90°，DM=3，MC =2，∴ DC ．………（1分）在Rt △DHC 中,∵∠DHC=90°，6=5DH， DC，∴sin 65DH ACD CD ．…（1分）22．解：【问题探究】∠D=22.5°，BD，tan 22.51 ．……………（各1分）【知识迁移】∵BD=AB ，∴∠D =∠BAD ．∵∠ABC =∠D+∠BAD ，∴1=2D ABC ．………………………………（1分）在Rt △ABC 中,2tan 3ABC ，设AC=2k ，BC=3k，则 AB BD ．（1分）∴13tan tan 22AC ABC D DC ．……………………（1分）【拓展应用】联结DE ．………………………………………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，CD=5，CE =12，∴DE =13．∵CE =12，BC=25，∴BE =13．∴BE =DE ．∴∠EBD =∠EDB ．∵∠DEC =∠EBD+∠EDB ，∴1=2 DBE DEC ．∵CD =5，AC=18，∴AD =13．∴AD =DE ．∴∠DAE =∠DEA ．∵∠EDC =∠DAE+∠DEA ，∴1=2DAE EDC ．…………………………（1分）在Rt △EDC 中,∠ECD=90°，∴∠DEC +∠EDC=90°．∴∠DBE +∠DAE=45°．……………………………………………………（1分）在Rt △ABC 中,∠ACB=90°，∴∠ABC +∠BAC=90°．∴∠ABP +∠BAP=45°．∴∠BPE =∠ABP +∠BAP=45°．………………（1分）∴tan 1BPE ．23．证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠DCB=180°．……………………………（1分）又∵∠CEB +∠DEC=180°，∠DEC =∠DCB ，∴∠ADC =∠CEB ．……（1分）∵AD ∥BC ，∴∠DAC =∠ECB ．……………………………………………（1分）∴△ADC ∽△CEB ．…………………………………………………………（2分）∴ AD AC CE CB．……………………………………………………………（1分）（2）∵∠AED =∠CEB ，∠ADC =∠CEB ，∴∠AED =∠ADC ．…………（1分）∵∠EAD =∠DAC ，∴△AED ∽△ADC ．……………………………………（1分）∴ AE AD AD AC．即2 AD AE AC ．…………………………………………（1分）∵2 AF AE AC ，∴22 AD AF ．∴AD =AF ．…………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴AE ADEC BC．……………………………………………（1分）∴ AE AF EC BC．即 EC AF BC AE ．………………………………………………………（1分）24．解：（1）抛物线M ：2y x bx c 过点A （2，2）、点B （0，2），∴4222.，b c c ………………………………………………………（2分）∴2 b ，2 c ．∴抛物线M 的表达式是222 y x x ．………………………………（1分）∴点C 的坐标为（1，3）．…………………………………………………（1分）（2）由（1）得抛物线的对称轴是直线1 x ．……………………………（1分）过点A 作AH 垂直直线1 x ，垂足为点H ．∴点H 的坐标为（1，2）．过点A 作AG 垂直x 轴，垂足为点G ．∴点G 的坐标为（2，0）．在Rt △ACH 与Rt △AOG 中，根据题意可得tan 1 AH ACH CH ，tan 1 AGAOG OG．∴tan tan ACH AOP ，∴∠ACH =∠AOP ．……………………………（1分）∴当△AOP 与△ACD 相似时，有 CA CD OA OP 或CA CDOP OA．○1 CA CDOA OP 3 OP，OP =6．点P 的坐标是（6，0）．……………（1分）○2CA CDOP OA ， OP 43 OP ．点P 的坐标是（43，0）．………（1分）∴综上所述，点P 的坐标是（6，0）或（43，0）．（3）过点F 作FQ 垂直直线1 x ，垂足为点Q ．根据题意可得∠FEQ =45°，FE =CE =t ．……………………………………（1分）在Rt △EFQ 中,∵∠EQF=90°，∠FEQ =45°，FE =t ，∴EQ=FQ =2t ．∴点F 的坐标是（1+2t ，32t ）．………………………………（1分）∵当点F 在平移后的抛物线N ：21)3（y x t 上时，可得231)322（1+t t t ．……………………………（1分）解得10 t （舍），2 t 1分）25．解：（1）根据题意可得∠ABC =∠BAD=∠ADC=90°，AB =BC =CD =AD =6，AD ∥BC ．∴∠BAE +∠EAD=90°，∠ADF=∠ABC =90°．∵AF ⊥AE ，∴∠DAF +∠EAD=90°．∴∠BAE=∠DAF ．∴△BAE ≌△DAF ．∴DF =BE ．……………………………………………（1分）设BE=x ，则DF =BE =x ，EC =6－x ，FC =6＋x ．∵正方形ABCD 的边长为6，15ND AN ，∴ND=1，AN =5．………………（1分）∵AD ∥BC ，∴ ND FD EC FC ．即166xx x．……………………………（1分）整理得2560 x x ．解得12 x ，23 x ．……………………………（1分）当2 x 时，6cot 32 BE BAE AB ；当3 x 时，6cot 23BE BAE AB ．∴∠BAE 的余切值为2或3．………………………………………………（1分）（2）当点E 在边BC 延长线上时，根据条件可证△BAE ≌△DAF ．∴AE =AF ．∴∠AEF ＝∠AFE ．∵AF ⊥AE ，∴∠EAF=90°．∵∠EAF ＋∠AEF ＋∠AFE ＝180°，∴∠AEF ＝∠AFE=45°．∴∠ANE ＝∠AFE ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAC=45°．∴∠MAF ＝∠DAC ＋∠FAD =45°＋∠FAD ．∴∠ANE ＝∠MAF ．∴△ANE ∽△MAF ．…………………………………………………………（2分）∴ EN AE FA MF．∴2== y EN MF AE FA AE ．…………………………（1分）在Rt △ABE 中,∠ABE=90°，AB =6，BE=x ，∴22=36 AE x ．即2=36 y x ．（x ＞6）…………………………………………………（2分）（3）有两种情况：点E 在边BC 上，点E 在边BC 延长线上．（i ）当点E 在边BC 上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=96=272 AFC S ，∴27=8EMC S ．……………（1分）（ii ）当点E 在边BC 延长线上时．易证△EMC ∽△AMF ，△AMF ∽△AFC ．∴△EMC ∽△AFC ．∴2= （EMC AFC S EC S AC．…………………………………………………………（１分）∵EC =3，AC=1=156=452AFC S ，∴45=8EMC S ．……………（1分）综上所述，△EMC 的面积为278或458．。

中考数学2022年上海市中考数学第一次模拟试题(含答案及解析)

2022年上海市中考数学第一次模拟试题考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列分数中，最简分数是（）A ．69B ．24C ．46D ．292、下列说法中，正确的是（） A ．整数包括正整数和负整数 B ．自然数都是正整数C ．一个数能同时被2、3整除，也一定能被6整除D ．若0.3m n ÷=，则n 一定能整除m3、下列四条线段为成比例线段的是（）A ．a ＝10，b ＝5，c ＝4，d ＝7B ．a ＝1，bc，dC ．a ＝8，b ＝5，c ＝4，d ＝3D ．a ＝9，bc ＝3，d4、关于x 的方程5264x a a x -=+-的解是非负数，则a 的取值范围是（） A ．1a ≥ B ．1a ≤- C ．1a ≥- D ．0a ≥ ·线○封○密○外5、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝ax+c在同一坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．6、下列说法中正确的是（）A．符号相反的两个数互为相反数B．0是最小的有理数C．规定了原点、方向和单位长度的射线叫做数轴D．0既不是正数，也不是负数〈〉=，不超过7的素数有2、3、5、7共4 7、x是正整数，x〈〉表示不超过x的素数的个数．如：74〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉的值是（）个，那么2395134188A．9 B．10 C．11 D．128、下列命题正确的有几个（）①如果整数a能被整数b（不为0）除尽，那么就说a能被b整除；②任何素数加上1都成为偶数；③一个合数一定可以写成几个素数相乘的形式；④连续的两个正整数，它们的公因数是1．A．0 B．1 C．2 D．39、下列哪个数不能和2，3，4组成比例（）A ．1B ．1.5C ．223D ．6 10、下面分数中可以化为有限小数的是（） A ．764 B ．730 C ．7172 D ．1272 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、若3423x =，则x =______． 2、一个扇形面积等于这个扇形所在圆面积的25，则这个扇形的圆心角是______． 3、若23a b =，则a a b =+________． 4、13小时=________分钟． 5、求比值：125克：0.5千克=_______________ 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、已知：:2:3a b =，(5):()2:3a b x ++=，求x 的值 2、计算：1743.51 1.252 3.84105⨯+⨯-÷． 3、一条公路长1500米，已修好900米，还需修全长的几分之几？ 4、将6本相同厚度的书叠起来，它们的高度为14厘米，再将15本这样相同厚度的书叠在上面，那么这叠书的总高度是多少厘米？ 5、求19962的末三位是多少．-参考答案- 一、单选题·线○封○密○外1、D【分析】根据最简分数是分子，分母只有公因数1的分数即可得出答案．【详解】∵622142=== 934263，，，∴29是最简分数，故选：D．【点睛】本题主要考查最简分数，掌握最简分数的定义是解题的关键．2、C【分析】根据整数的分类，自然数的定义，倍数与约数，可得答案．【详解】解：A、整数包括正整数、零和负整数，故A错误；B、自然数都是非负整数，故B错误；C、一个数能同时被2、3整除，也一定能被6整除，故C正确；D、m÷n=整数，则n一定能整除m，故D错误；故选：C．【点睛】本题考查了有理数，整数包括正整数、零和负整数，注意自然数都是非负整数．3、B【详解】A ．从小到大排列，由于5×7≠4×10，所以不成比例，不符合题意； B1=，所以成比例，符合题意； C ．从小到大排列，由于4×5≠3×8，所以不成比例，不符合题意； D故选B ．【点睛】本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 4、C 【分析】先求出方程的解，然后根据题意得到含参数的不等式求解即可．【详解】解：由5264x a a x -=+-，方程的解为1x a =+， ∴10a +≥，即1a ≥-．故选C ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解及一元一次不等式的解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 5、D 【分析】观察两图象，分别确定,a c 的取值范围，即可求解．【详解】·线○封○密○外解：A 、抛物线图象，开口向下，即0a < ，而一次函数图象自左向右呈上升趋势，则0a > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B 、抛物线图象与y 轴交于负半轴，即0c < ，而一次函数图象与y 轴交于正半轴，0c > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C 、抛物线图象，开口向上，即0a > ，而一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、抛物线图象，开口向下，即0a < ，一次函数图象自左向右呈下降趋势，即0a < ，两图象与y 轴交于同一点，即c 相同，故本选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数20y ax bx c a ++≠＝（） a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点位置是解题的关键．6、D【分析】根据有理数的相关概念直接进行排除选项即可．【详解】A 、符号相反的两个数不一定是相反数，如4和-3，故错误；B 、0不是最小的有理数，还有负数比它小，故错误；C 、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，故错误；D 、0既不是正数也不是负数，故正确．故选D ．【点睛】本题主要考查相反数、数轴及零的意义，熟练掌握各个知识点是解题的关键．7、C【分析】根据题意所给定义新运算及素数与合数的概念直接进行求解．【详解】解：23〈〉表示不超过23的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23共九个，则23=9〈〉；95〈〉表示不超过95的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89共24个，则有95=24〈〉，由1=0〈〉可得134188=0〈〉⨯〈〉⨯〈〉； 2395134188=33=11∴〈〈〉+〈〉+〈〉⨯〈〉⨯〈〉〉〈〉；故选C ．【点睛】本题主要考查素数与合数，熟练掌握素数与合数的概念是解题的关键． 8、C 【分析】 ①除尽是指被除数除以除数（除数≠0），除到最后没有余数，就说一个数能被另一个数除尽；而整除是指一个整数除以一个非0整数，得到的商是整数还没有余数，就说一个数能被另一个数整除； ②根据质数的定义，2为最小的质数，但是2+1=3，3为质数； ③根据合数的定义：一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数，分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，所以任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式； ④相邻的两个正整数是互质数，互质数的公因数是1，由此即可解答．【详解】 ①根据“整除”和“除尽”概念的不同，可知能被b 除尽的数不一定能被b 整除．如：15÷2=7.5，15能被2除尽，但不能被2整除，故①错误； ②由于2为最小的质数，2+1=3，3为奇数，所以任何质数加1都成为偶数的说法是错误的，故②错误；·线○封○密○外③任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式，故③正确；④根据相邻的两个自然数是互质数，互质数的公因数是1，故④正确；综上，正确的是③和④，共2个．故选：C．【点睛】本题考查了数的整除，合数的定义以及分解质因数的意义，因数、公因数的概念，解题的关键是理解“整除”和“除尽”的意义以及两个数互质，最大公因数是1，最小公倍数是它们的积．9、A【分析】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积逐一分析即可．【详解】解：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，则：A．1423⨯≠⨯，不可以组成比例；B．1.5423⨯=⨯，可以组成比例；C．223243⨯=⨯，可以组成比例；D．2634⨯=⨯，可以组成比例；故选：A．【点睛】本题考查比例，掌握比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积是解题的关键．10、A【分析】根据题意可直接进行分数化简小数，然后排除选项即可．【详解】A 、7=0.10937564，故符合题意；B 、7=0.2330，故不符合题意； C 、71=1.097272，故不符合题意； D 、72=2.58312，故不符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查分数化小数，熟练掌握分数化小数是解题的关键．二、填空题 1、89 【分析】根据等式的基本性质解方程即可．【详解】解：3423x = 34232233x ⨯=⨯ 89x = 故答案为：89．【点睛】此题考查的是解方程，掌握等式的基本性质是解题关键． ·线○封○密○外2、144°【分析】由题意可知：扇形面积占圆面积的25，则其圆心角也占圆的度数的25，而整圆是360°，所以就能求出圆心角是多少度．【详解】解：360°×25=144°故答案为：144°．【点睛】此题主要考查圆的面积的计算方法以及在同圆或等圆中，扇形面积与圆面积的比等于扇形圆心角与圆周角度数的比．3、2 5【分析】根据23ab=，得到23a b=，代入式子计算即可．【详解】解：∵23ab=，∴23a b =，∴2233232553aa b b bb bb+===+，故答案为：25．【点睛】此题考查分式的求值以及比例式恒等变形能力，掌握等式的性质变形得到23a b =是解题的关键． 4、20 【分析】根据1小时等于60分钟换算即可．【详解】 13小时=160=203⨯分钟，故答案为：20．【点睛】本题主要考查单位的换算，掌握小时和分钟之间的换算是解题的关键． 5、14 【分析】先统一单位，再用比的前项除以比的后项，据此解答．【详解】解：125克：0.5千克 =125克：500克 =125÷500 =14 故答案为：14．【点睛】本题主要考查了求比值方法的掌握情况，注意要先统一单位． ·线○封○密○外三、解答题1、152【分析】根据:2:3a b =可用a 表示b 并代入(5):()2:3a b x ++=中化简即可抵消a ，解出x ．【详解】解：因为:2:3a b =，所以32b a =，所以3(5):()2:32a a x ++=，即33(5)2()2a a x +=⋅+ 31532a a x +=+ 解得152x =．【点睛】本题考查比的性质．化简过程中注意内项之积等于外项之积．2、3【分析】把分数统一成小数，除法运算转化成乘法运算，再利用乘法分配律计算．【详解】1743.51 1.252 3.84105⨯+⨯-÷ 3.5 1.25 1.25 2.7 3.8 1.25=⨯+⨯-⨯1.25(3.52.73.8)=⨯+-1.252.4=⨯3=．【点睛】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，运用乘法分配律能使计算简便． 3、25 【分析】先求出剩下的米数，再用剩下的米数除以公路的总长度即可．【详解】解：（1500-900）÷1500， =600÷1500， =25，答：还需修全长的25．【点睛】本题属于求一个数是另一个数几分之几，只要找准对应量，用除法计算即可．4、49厘米【分析】先算出每本书的厚度，再乘以书的总本数即可得到解答．【详解】解：由题意得：()14615496⨯+=，∴这叠书的总高度是49厘米，答：这叠书的总高度是49厘米．【点睛】 ·线○封○密·○外本题考查乘除法的综合应用，根据不同的问题情境采用不同的列式计算方法是解题关键．5、336．【分析】末三位从2的一次方开始：002，004，008，016，032，064，128，256，512，024，048，096，192,，384，768，536，072，144，288，576，152，304，608，216，432，……504，008，因此找到一个规律就是：末位数有008的循环，即从2的3次方开始，到2的103次方，每100次出现末三位008的循环．因此199631993-=，1993/100余93，因此从008向前找7个即为336，依此即可求解．【详解】解：末三位从2的一次方开始：002，004，008，016，032，064，128，256，512，024，048，096，192,，384，768，536，072，144，288，576，152，304，608，216，432，……504，008，因此找到一个规律就是：末位数有008的循环，即从2的3次方开始，到2的103次方，每100次出现末三位008的循环．因此199631993-=，1993/100余93，因此从008向前找7个即为336．故答案为：336．【点睛】本题主要考查了数字类规律探索，解题的关键是从简单的乘方运算开始，通过运算找出规律解决问题．。

2024年中考数学第一次模拟考试(上海卷)(全解全析)

有公共点，那么⊙A 的半径可以是（）
A．4
B．5
C．6
D．7.
【答案】D
【解析】根据勾股定理得：AB=5，根据题意，⊙A 与直线 BC 相交，所以⊙A 的半径的取值范围是大于
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3；又⊙A 与⊙B 没有交点，则 r＜5-1=4 或 r＞5+1=6，∴3＜r＜4 或 r＞6．故选 D．
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【答案】10 【解析】过点 A 作 AE⊥BC，DF⊥BC，
由题意可得：AD=EF=6m，AE=DF=4m，
∵背水坡 AB 和迎水坡 CD 的坡度都是 1：0.5，
∴BE=FC=2m，
∴BC=BE+FC+EF=6+2+2=10（m）．
故答案为 10．
15．已知△ABC，点 D、E 分别在边 AB、AC
【解析】A、 6 与 3 不是同类二次根式，
B、 9 3 与 3 不是同类二次根式， C、 1 3 与 3 是同类二次根式，
33 D、 18 3 2 与 3 不是同类二次根式. 故选 C． 2．将抛物线 y = x2 向左平移 2 个单位后，所得新抛物线的解析式是（）
A． y x2 2
B． y x2 2
【解析】∵ AB = -4 CD ，∴ AB 与 CD 是共线向量，由于 AB 与 CD 没有公共点，
∴AB∥CD，故答案为平行．
9．如图，已知在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，∠A＝45o，将这个三角形绕点 B 旋转，使点 A 落在射线 AC
上的点 A1 处，点 C 落在点 C1 处，那么 AC1＝
（）
A． AD BC
B． AC BD

上海市2024届嘉定区中考数学一模

一、选择题1. 上海市2024届嘉定区中考数学一模如果抛物线=−+y k x 122)(的开口向下，那么k 的取值范围是（）A . k >0B . k <0C . k >1D . k <12. 抛物线=++≠y ax bx c a 02)(的对称轴是直线=−x 2，那么下列等式成立的是（） A . =b a 2B . =−b a 2C . =b a 4D . =−b a 43. 已知在ABC 中，∠C =90°，BC =3，AB =5，那么下列结论正确的是（） A . =A 5sin 3B . =A 5cos 3C . =A 5tan 3D . =A 5cot 3 4. 一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为30°，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是（） A . 6000米B . 12000米C.D. 米5. 如图1，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，,AB a AC b ==，那么AD 等于（）A . 11AD a b =−22 B . 11AD a b =−+22 C . 11AD a b =−−22D . 11AD a b =+226. 下列命题是真命题的是（）A . 有一个角是36°的两个等腰三角形相似B . 有一个角是45°的两个等腰三角形相似C . 有一个角是60°的两个等腰三角形相似D . 有一个角是钝角的两个等腰三角形相似二、填空题7. 如果函数=−+−y k x kx 112)(（k 是常数）是二次函数，那么k 的取值范围是____________8. 将抛物线=+−y x x 322向下平移2个单位，那么平移后抛物线的表达式是____________9. 如果抛物线=+y x c 2经过两点A （2,1）和B （1,b ），那么b 的值是____________10. 二次函数=−−+y x x m 22图像的最高点的横坐标是____________11. 如果=a b 53（a b ,都不等于零），那么=−ba b____________ 12. 已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AB =4cm ，AP <BP ，那么BP =____________cm 13. 如果向量,,a b x 满足关系式()3223a x b a b −−=−，那么x =____________（用向量,a b 表示） 14. 在ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，AD :AB =1:2，AC =4，那么当AE =___________时DE //BC15. 如图2，在ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 上，DE //BC ，DEAS形边四=S BCED81，BC =9，那么DE =____________16. 如图3，在ABC 中，∠ACB =90°，⊥DA AB ，连接BD ，==AC BC 1，AD =2，那么cosD =____________17. 如图4，在港口A 的南偏西30°方向有一座小岛B ，一艘船以每小时12海里的速度从港口A 出发，沿正西方向行驶，行了30分钟时这艘船在C 处测得小岛B 在船的正南方向，那么小岛B 与C 处的距离BC =____________海里（结果保留根号）18. 在ABC 中，∠ACB =90°，AB =25，AC =20，点P 、Q 分别在边AC 、BC 上，且CP :BQ =3:2（如图5），将PQC 沿直线PQ 翻折，翻折后点C 落在点C 1处，如果QC 1//AB ，那么∠=QPC cot 1___________19. 计算：20. ︒−︒︒2tan 453cot 6041cos302sin 60)(−︒+已知平面直角坐标系xOy （图6），抛物线=++y x bx c 2经过点−A 3,0)(和−B 0,3)(两点.（1）求抛物线的表达式；（2）如果将这个抛物线向右平移k （k >0）个单位，得到新抛物线经过点B ，求k 的值.21. 如图7，在平行四边形ABCD 中，点H 是边AB 上一点，且BH =2AH ，直线DH 与AC 相交于点G . （1）求ACAG的值；（2）如果⊥∠==DH AB BCD AD 3,cos ,91，求四边形ABCD 的面积.三、解答题AB 为39米，在小山的坡底A 处测得该塔的塔顶C 的仰角为45°，在坡顶B 处测得该塔的塔顶C 的仰角为74°.（1）求坡顶B 到地面AH 的距离BH 的长；（2）求古塔CD 的高度（结果精确到122. 如图8，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔CD ，小山斜坡AB 的坡度为i =1:2:4，坡长米）（参考数据：︒≈︒≈︒≈︒≈sin740.96,cos740.28,tan74 3.49,cot 740.29）23. 如图9，在ABC 中，∠ACB =90°，点D 是BC 延长线上一点，点E 是斜边AB 上一点，且⋅=⋅BC BD BE BA .（1）求证：⊥AB ED ；（2）联结AD ，在AB 上取一点F ，使AF =AC ，过点F 作FG //BC 交AD 于点G . 求证：FG =DE .24. 定义：对于抛物线=++y ax bx c 2（a b c ,,是常数，≠a 0），若=b ac 2，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系xOy （图10），抛物线=−+y x x k 22是黄金抛物线，与y 轴交于点A ，顶点为D .（1）求此黄金抛物线的表达式及D 点坐标；（2）点B (2,b )在这个黄金抛物线上. ①点⎝⎭⎪−⎛⎫C c 2,1在这个黄金抛物线的对称轴上，求∠OBC 的正弦值. ②在射线AB 上是否存在点P ，使以点P 、A 、D 所组成的三角形与AOD 相似，且相似比不为1，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.25. 如图11，在ABC 和ACD 中，∠ACB =∠CAD =90°，BC =16，CD =15，DA =9. （1）求证：∠B =∠ACD ；（2）已知点M 在边BC 上一点（与点B 不重合）且∠MAN =∠BAC ，AN 交CD 于点N ，交BC 的延长线于点E . ①如图12，设==BM x CE y ,，求y 与x 的函数关系式，并写出定义域； ②当CEN 是等腰三角形时，求BM 的长.一、选择题1. D2. C3. A4. B5. D6. 参考答案C二、填空题7. ≠k 1 8. =−++y x x 2129. −2 10. −1 11. −5212. 2 13. 5a b + 14. 2 15. 316.17. 18. 21三、解答题 19. 720.（1）=+−y x x 232；（2）221.（1）41；（2） 22.（1）15米；（2）29米 23.证明略24.（1）=−+y x x 242，D （1,3）；（2）①17 ②存在，⎝⎭⎪⎛⎫P 2,41 25.（1）证明略；（2）①−=<≤x y x x 250169)(②10或225或7。

2024年上海市奉贤区中考一模数学试题(学生版+解析版)

2024年上海市奉贤区中考一模数学试题一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）l下列函数中是二次函数的是()A.y=2x+lB.y =—2xC.y=x 2 +22.将抛物线y=x 2向右平移3个单位长度得到的抛物线是（A. y=x 2+3B. y=x 2-3C. y =(x -3)2D.y＝启D.y=(x +3)23在Rt丛ABC 中，乙C=90气AC=S ，乙4=a ，那么BC 的长是（）A.St an aB. 5c ot aC. 5sin aD. Sc os a4如图，在心灶死中，点D、E 分别在AB、AC 的反向延长线上，已知AB =2AD,下列条件中能判定DEii BC 的是()EDBAC l DEl AC 2 A.—=－B.—=－C —= －AE2BC 2EC 3s.已知同＝5,例＝3'且b 与a 方向相反，下列各式正确的是（）3.3.5.5 A .b=::...aB. b=-::...aC. b=::...aD.b=-::...a5 5 336如图，将＂访C 绕点8顺时针旋转，使得点A 落在边AC 上，点A、C 的对应点分别为D、E ，边DE 交AE 2D.—=－EC 3BC 千点F,连接CE.下列两个三角形不一定相似的是(BCA.6BAD 与_BCEB.VBDF 与1:::,.ECFC.. DCF 与6.BEFD. 6DBF 与．DEB二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）x-y 7.如果x :y =5:3,那么——-=8计算3(2a+b)-4a=9已知抛物线y =(a-2)入3-x开口向上，那么a的取值范围是10已知抛物线y =-2x 2 +l在对称轴左侧部分是的．（填“上升”或“下降”)ll．如果P是线段AB的黄金分割点，AB=2cm,那么较长线段AP的长是12.某人顺着坡度为1:✓3的斜坡滑雪，下滑了120米，那么商度下降了一米．cm13如图，已知ADIi BEi/CF,它们依次交直线l 1千点A 、B、C，交直线l 2千点D 、E 、F,已知AB:AC=3:5, DF=lO,那么EF的长为14如图，已知6.ABC的周长为15,点E、F是边BC的三等分点，DEii AB, DF I I AC,那么心DEF 的周长是．ABc15如图，已知"ABC 在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么L.ABC 的正切值为．广六----，-勹,B[----';--7.y..－斗I --4AC石16在1.A BC中，乙4=45°'cos乙B =—-（乙B是锐角），BC=✓S ，那么AB的长为517如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷固定点A距离地面4米（即AB=4米），遮阳篷的宽度5AC为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角a的余弦值为—，当太阳光与地面的夹角为60°时，遮阳篷在地13面上的阴影宽度BD 为米．18如图，在梯形ABCD 中，ADIi BC, BC=3AD,点E 是AB中点，如果点F在DC 上，线段EF 把梯形分成而积相等的两个部分，那么——=DF DC8A D三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算tan45° -l cot 30°-l l .2 s in 60°-2cos 60° 20已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点A(3,0), B(O, -3).（］）求抛物线表达式并写出顶点坐标；(2)联结AB,与该抛物线的对称轴交千点P,求点P的坐标．2]如图，在ABC 中，G 是,ABC 的重心，联结AG 并延长交BC 千点D.AC(I)如果AB动，万它＝石，那么AD =（用向榄;、b 表示）；(2)已知AD=6,AC=8,点E 在边AC 上，且LAGE ＝乙C,求AE 的长．22.如图l，某小组通过实验探究凸透镜成像规律，他们依次在光具座上垂直放趾发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的窝度．如图2,主光轴／垂直千凸透镜MN,且经过凸透镜光心O,将长度为8厘米的发光物箭头AB 进行移动，使物距oc 为32厘米，光线AO 、BO 传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个消晰的像A'Ir,此时测得像距OD 为12.8厘米．4,｀＇I尤I＼片Pl(I)求像A'B'的长度．(2)已知光线AP平行千主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F,求凸透镜焦距OF的长．l'&!l23如图，在J访C中，AB=AC,点D在边BC上，已知LAFD＝乙B,边DF交AC千点E.(I)求证：AF·CE=CD-FE:AB BC(2)连接AD，如果—-＝——，求证：AD2=AEAC.AF DF24在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关千直线x=m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关千直线·x=I/1的镜像抛物线(I)如图，已知抛物线y=x2-2x顶点为A.yiXA＠求该抛物线关千y轴的镜像抛物线的表达式；I＠已知该抛物线关千直线x=rn的镜像抛物线的顶点为B,如果tanL.OB A=..:.（乙OBA是锐角），求m的4仙I(2)已知抛物线y=-:;-x2 +bx+ c(b >0) 顶点为C,它的一条镜像抛物线的顶点为D,这两条抛物线4的交点为E(2,l)．如果CDE是直角三角形，求该抛物线的表达式25在直角梯形ABCD中，ADIi BC,乙8=90°,AD=6, AB=4, BC> AD, LADC 平分线交边BC于点E,点F在线段DE上，射线CF与梯形ABCD的边相交千点G.4(l )如图1,如果点G 与A 重合，当tan 乙BCD ＝一时，求BE 的长；B二C3(2)如图2,如果点G 在边AD 上，联结BG,当DG =4,且YCGB cn VBAG 时，求sin 乙BCD 的值；B A穹三(3)当F 是D E 中点，且AG =l 时，求CD 的长．2024年上海市奉贤区中考一模数学试题一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）l下列函数中是二次函数的是(A. y=2x+l 【答案】C 【解析）B. y=—2xC.y=x2 +2D.y＝启【分析】木题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键．【详解】A.y=2x+l是一次函数，故不符合题意：B.y=—是反比例函数，故不符合题意：2xC.y= x2 +2是二次函数，故符合题意：D. y＝石了不是二次函数，故不符合题意，故选：C.2.将抛物线y=x2向右平移3个单位长度得到的抛物线是（A. y= x2 +3【答案）C【解析】B. y=x2-3C. y =(x-3)2【分析】根据抛物线平移规律：上加下减，左加右减解答即可D.y=(x+3)2【详解】解：抛物线y= x2向右平移3个单位长度得到的抛物线是y=(x-3)2.故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解乎移规律是解题的关键．3在Rt丛ABC中，乙C=90°,AC=S, LA=a,那么BC的长是（）A.Stana【答案】A【解析）B. ScotaC. SsinaD. Scosa【分析】木题考查了正切定义，正切等千对边比邻边，先画出图形，再根据正切三角函数的定义即可得．【详解】由题意，画出图形如下：AB C BC 则tan A =—一，即tan a ＝一—,AC 5 解得BC=5tana,故选：A .4如图，在心钮C 中，点D、E 分别在AB、AC 的反向延长线上，已知AB =2AD,下列条件中能判定DEii BC的是()E DBACl A—=－AE2【答案］C 【解析］【分析】木题考查了相似三角形的判定及性质，利用相似三角形的判定及性质逐一判断即可求解，熟练掌握DEl B —=－BC 22-3＝ AC -EC c AE 2D.—=－EC 3相似三角形的判定及性质是解题的关键．AB【详解】解：AB=2AD ,...—-=2,ADAC 1.... ABA、巾—=－，及—-＝2不能判定DEii BC,故不符合题意；AE 2AD DE IAB B、巾—-＝一，—－＝2不能判定DEii BC,则错误，故不符合题意；BC 2 AD AC 2 C、—=－,EC 3 AC 2 ·-=-=2,AE 1AB ·—=2,AD ：心EO公ABC,：．乙ADE＝乙ABC,:.DEii BC,故符合题意；AE 2 ABD、巾—=－、—=2不能判定DEii BC,故不符合题意EC 3 AD 故选：C5.已知忖＝5,树＝3,且E与；的方向相反，下列各式正确的是（）3-A . b =::...a【答案l B 【解析l【分析】本题考查了平面向见的线性运算由b与a的方向相反，且lal=S,I 叶＝3'可得b和a的关系．3 -B.b = －－aa 5-3＝ bcta 5-3＝ -b D 【详解】解：·:1111=5,I 叶＝3,. ·. I 叶＝3忆I,5... b与a的方向相反，�3-:.b=-::....a .故选：B .6如图，将.ABC 绕点B 顺时针旋转，使得点A 落在边AC 上，点A、C 的对应点分别为D、E,边D E 交BC千点F,连接CE.下列两个三角形不一定相似的是（B CA.6BAD 与.c.BCEB.VBDF与6.ECFC.DCF与6.BEFD. DBF 与...D邸【答案】D 【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定、旋转性质、等腰三角形的性质，根据旋转的性质和相似三角形的判定逐项判断即可．熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键．【详解】解：如图，BE由旋转性质得AB=BD, BC= B E, L.ABD＝乙CBE,乙4=乙BDE,乙4CB＝乙DEB AB BD BCBE:.,6.BAJ)v>心BCE,故选项A不符合题意；．：乙ABD＝乙CBE,AB=BD, BC=BE, :.丛＝丛DB =纽CE=纽EC ,：．乙BDF =乙BCF,又LDFB＝乙CFE,：．D:.BDFV>D:.ECF，故选项B 不符合题意；．：乙DCF＝乙FEB,又乙DFC＝乙BFE,:. e.DCF (/)t.BEF,故选项C 不符合题意；根据题意，无法证明DBF 与..DEB 相似，故选项D 符合题意，故选：D .二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）x-y 7.如果x:y=S :3,那么一一－＝【答案］23【解析］5【分析】根据x :y =5:3得到x =-:-Y,把它代入后而的式子求出比值．3 【详解】解：·:x: y =5:3, 5 :. 3x=5y ,即x ＝－ y ,35 -y-y :.江立＝3＝3.yy3故答案是：一．23【点睛】木题主要考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例基本的性质．8.计算3(2a+b)-4a =【答案】2a+3h【解析】【分析】木题主要考查了平面向揽，利用平面向量的定义与运算性质解答即可，熟练掌握平面向量的运算性质是解题的关键．【详解】3(2a+E)-4a=6a+3b-4a=2a+3l1:故答案为：2a+3b.9.已知抛物线y=(a-2)入3_x开口向上，那么a的取值范围是【答案l a>2##2<a令【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．利用二次函数y= ax2 +bx+c的性质：a>o时，抛物线开口向上，列出不等式解答即可．【详解】解：？抛物线y=(a-2)x2-x开口向上，:. a-2>0,:. a>2.:. a的取值范围是：a>2.故答案为：a>2.10已知抛物线y=-2x2+]在对称轴左侧部分是的．（填“上升”或“下降”)【答案】上升【解析】【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2 +k的性质是解答本题的关键．根据性质解答即可．【详解）解：·:y=-2x2+1, a=-2<0,:．抛物线升口向下．对称轴是直线y轴，．．在对称轴左侧部分是上升的．故答案为：上升．l l.如果P是线段AB的黄金分割点，AB=2cm,那么较长线段AP的长是【答案】(-1＋石）【解析J【分析】木题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比根据黄金分割的定义解答．【详解】解：设AP=xcm,根据题意列方程得，X2=2(2-X),即x2+2x-4=0,解得X1=-1+✓5心2=－l－石（负值舍去）故答案为：（－l+..f.订12.某人顺着坡度为1:.f_诈筛斜坡滑雪，下滑了120米，那么商度下降了一米．【答案）60【解析）cm【分析】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，设垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可，解题的关键是掌握坡度坡角的定义．【详解】？坡度为l:✓3,．．．设高度下降了x(x>O)米，则水平前进了石x米，由勾股定理得：x2+(✓3x) 2+ 3x =120气解得：x=60,故答案为：60.13.如图，已知ADIi BEi/CF,它们依次交直线l1千点A、B、c.交直线l2千点D、E、F,已知AB:AC=3:5, DF=lO,那么EF的长为【答案】4【解析）【分析】木题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．【详解】？AD I BE CF, AB: AC=3:5,AB DE 3＝＝－，AC DF 5·: DF=lO,DE 3=-,l0 5:. D E=6,:. EF=l0-6=4.故答案为：4.14如图，已知6.ABC的周长为15,点E、F是边BC的三等分点，DEii AB, DF II AC,那么丛DEF 的周长是．AB c【答案）5【解析）【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，利用平行线的性质和相似三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：？点E,F是边BC的三等分点，I:.EF =..:.B e.'."DE II AB, DF II AC,:．乙DEF＝乙B,. ·..• DEF C/)•ABC,．．七DEF 的周长：心FE＝乙C,E F I 凇C的周长＝—－＝-,B C 3:. DEF的周长＝－xl5=5.3故答案为： 5.l5．如图，已知乙ABC 在边长为1个单位的方格纸中，三角形的顶点在小正方形顶点位置，那么LABC 的正切值为广．十六.勹,B:: ，，， AC 【答案）－##0.5【解析）【分析】本题考查勾股定到及三角形函数的性质等知识点，构建合适的直角三角形即可解决问题，构造出合适的直角三角形是解题的关键．【详解】连接CD，如图所示，r····r····,....-,.B ， : ::····！ ,...,...,.1.] A C易得6.BCD是直角三角形，由勾股定理得，CD＝扩了F＝丘，在R t 矗BCD 中，BD＝卢＝2石，CD 扛1tan乙ABC =—=—=－．BD 2石2故答案为：一．I 16．在..ABC 中，石乙A=45°,cos乙B=—（乙B是锐角），【答案】3BC＝石，那么AB的长为．【解析）【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作CD.L AB寸－/),先解Rt b.DBC得到BD=l，即可利用勾股定理求出CD=2,再解Rt七ADC求出AD=2,则AB=AD+BD=3.【详解】解：如图所示，过点C作CD上AB-=f D,在R心DBC中，cosB＝壁汇正，BC＝石，B C 5:. B D=l,:.CD=�=2•CD在R t1,.AD C中，tan A＝一—＝1,AD:. AD=2,:. AB=AD+BD=3,故答案为：3.ABD17如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米（即AB=4米），遮阳篷的宽度5AC为2.6米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角a的余弦值为—，当太阳光与地面的夹角为60°时，遮阳篷在地13面上的阴影宽度BD为米．【答案】(2.4－石）【解析）【分析】本题考查解直角三角形的应用，先作CF上AB千点F,作CE上BD,交BD的延长线千点E,然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得BE和DE的值，从而可以求得BD的值．【详解】解：作CF上AB千点F,作C E.L BD，交BD的延长线千点E，如图，5 由已知可得，AC=2.6米，cosa=—,LAFC=9()气AB=4米，13:. AF= AC-cos a = 2.6x —= 1 13...CF=J AC 2 -AF 2 ＝五言＝2.4（米），BF=AB-AF = 4-1= 3（米），:.CE=BF=3米，CF=BE=2.4米，．乙CDE =60°,乙CED =90气:.DE= C E 3＝＝ tan60°石石:. BD= B E-DE= (2.4－和（米）故答案为：（2.4－打）18如图，在梯形ABCD 中，ADIi BC, BC=3AD,点E 是AB 中点，如果点F 在DC 上，线段EF 把梯形分成而积相等的两个部分，那么——=DF D CA DB3 【答案l .:..##0.754【解析】【分析】木题考查梯形，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到CFM=3FN,证明VFDM戎FCN,即可求解连接AF ,BF,过F 作MN_j_BC交BC 于N,交AD 延长线千M,由ADIi BC,得到MN_j_AD,由点E 是AB 中点，得到屾FAE 的面积＝VFBE 的面积，由线段EF 把梯形分成面积相等的两个部分，得到6ADF 的面积＝心BCF 的面积，由三角形面积公式得到FM=3FN,由YFDMcnYFCN,得到FD MF DF 3 —=—=3,即可求出——=－.FC NF DC 4【详解】解：连接AF ,BF ,过F作MN..1BC交BC于N,交AD延长线千M,A D M...夕.--�·: ADIi BC,:.MN..1.AD,了点E是AB中点，:..,.FAE 的面积＝VFBE 的面积线段EF把梯形分成面积相等的两个部分，：．心AD F的面积＝纽CF的面积，.. -AD· FM =－BC·FN , 2 2·: BC=3AD,:. FM =3FN,·: DMIICN,:. V FDM戎FCN,FD MF :.—=—=3, FC NFDF 3 ·-=-DC 4故答案为：一．34 三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.计算即145°2 s in 60° -2cos 60°-lcot30°-ll.3-【答案）石2【解析）【分析】本题考查了实数的运算原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解本题的关键．【详解】tan45° 2si n 60°-2cos60°石l l -I石－112x 一－2x-2 2 ＝古－（石－I)＝罕－扣l3－石＝－ -!cot 30° -II 20.已知抛物线y= x 2 +bx+c 经过点A(3,0),B(0,-3)(1)求抛物线表达式并写出顶点坐标；(2)联结AB,与该抛物线的对称轴交千点P,求点P的坐标．【答案】（1)抛物线表达式为y =x2－2.x -3;顶点坐标为(1,--4)；(2)P (l ,-2)【解析J【分析】木题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质．(L)利用待定系数法和配方法解答即可；(2)利用待定系数法求得直线AB 的解析式，令x=l,求得Y 值，则结论可得．【小问l详解】解：抛物线y= x 2+bx+c 经过点A(3,0),B(0,-3), 9+3b =0{�::+c =O , b =-2 •{c =－3'＇．．．抛物线表达式为y="y =x " -2x -3;y = x 2 -2x -3= (x -1)2-4, ．抛物线的顶点坐标为(1,-4)；【小问2详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+n,3k+n=0•{n= －3'{：：1-3直线AB的解析式为y=x-3. A B与该抛物线的对称轴交千点p,抛物线的对称轴为直线x=l,．．当x=l时，y=1-3=-2.:. P(I,-2).2]如图，在ABC中，G是乙ABC的重心，联结AG并延长交BC千点D.AC(I)如果AB=a,A C =b，那么AD=（用向量a、b表示）；(2)已知AD=6,AC=8,点E在边AC上，且L A GE＝乙C,求AE的长．1 I2 2【答案】(l)－a+－b(2)3;【解析】【分析】本题主要考查了平面向量，三角形的巫心，相似三角形的判定与性质，(l)利用平面向量的定义解答即可；(2)利用三角形的重心的定义和相似三角形的判定与性质解答即可．【小问l详解】解：AB=a,AC=b,:. BC=B A+AC=-a+b·G是ABC的重心，联结AG并延长交BC千点D,:.A D为心ABC的BC边上的中线，即点D为BC的中点，1 1 -l -.. B D =－B C =－－a ．十－b2 2 2 __ _ _ ＿ 1-l -l -i -:. AD=AB+BD=a-.:...a+.:...b=.:...a+.:...b 2 2 2 2故答案为： 1 l-a+－b .2 2【小问2详解】·G 是._ABC 的重心，2 2 . ·. AG = －AD = -x6=4.3 3·LAGE＝乙C,:._GAE c.n 1..CAD,AE AD :.-= AGAC AE 6 ．．＝－ 4 8:. A E =3乙GAE =LCAD,22如图］，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放趾发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的商度．如图2,主光轴l垂直千凸透镜MN,且经过凸透镜光心O,将长度为8匣米的发光物箭头AB进行移动，使物距oc 为32匣米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A'B',此时测得像距OD为12.8匣米．儿八牲广I(I)求像A'B'的长度，,.A[H2 (2)已知光线AP 平行干主光轴I'经过凸透镜MN 折射后通过焦点F,求凸透镜焦距OF 的长．【答案】(1)3.2厘米64 (2)—厘米．【解析l【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，平行四边形的判定与性质等知识点，(I )利用相似三角形的判定与性质，通过证明丛OAB丑�O A'B'与6.0AC v>,OA'D 解答即可；(2)过点A'作A'E I OD交1\tlN于点E,利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【小问l详解】巾题意得：AB I MN I A'B', OC=32cm,OD=l2.8cm,AB=8cm,·: AB/I AB',:. LOAB-LOA'B',． AB OA..＝A,B OA'，·: AB/I AB',:. "OAC v>•QA'D,OA OCOA'OD. AB OCA'B'OD8 32A'B'12.8:. A'B'=3.2.占像A'B'的长度3.2厘米．【小问2详解】过点A'作A'E I OD交MN于点E,如图，｀＇I •';，·: A'E I OD, MN A'B',．．．四边形A'EOD为平行四边形，:. A'E=OD=l2.8cm,OE=A'D.同理：四边形ACOP为平行四边形，:. AP=0C=32cm,·: AP I CD, A'E I OD,:. AP J A'E,:.6AP沪ti.A'EO,PO AP 32 5=-=-=-,OE A'E 12.8 2PO 5＝－A'D 2·: MN j: A'B',:. �PQF cn�'DF,PO OF 5＝＝－，A'D DF 25 64:. OF=-=-OD=—（厘米）．7 7:．凸透镜焦距OF的长为—－厘米．723如图，在..ABC中，AB=AC,点D在边BC上，已知LAFD＝乙B,边DF交AC千点E.(1)求证：AFCE=CD·FE;AB BC(2)连接AD，如果—-＝——，求证：AD2 =AEAC.AF DF【答案】(l)见详解(2)见详解【解析】【分析】木题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．(I)利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；(2)利用相似三角形判定与性质解答即可．【小问l详解】证明：·:AB=AC,．．乙ABC＝乙ACB,·:乙AFD＝乙B,:.乙AFD＝乙ACB.：乙AEF＝乙DEC,：心AEF0立EC,AF FE :.-=— DC CE':.AF-CE=CD-FE;【小问2详解】AB BC ·:—=—乙AFD=乙B ，AF DF':.L:::,.ABC夕心AFD,．．．乙ACB=乙ADF,乙DAC＝乙EAD,. ·. µADC O µAED,AD AC :.-= AE AD':. AD 2 = AE·AC.24在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关千直线x=m对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关千直线x=m的镜像抛物线(I)如图，已知抛物线y=x 2-2x顶点为A.XA＠求该抛物线关千y轴的镜像抛物线的表达式；＠已知该抛物线关千直线x=m 的镜像抛物线的顶点为B,如果tan LOBA =.:.（乙OBA 是锐角），求m 的4值．(2)已知抛物线y=�x 2 +bx+c(b> 0)的顶点为C,它的一条镜像抛物线的顶点为D,这两条抛物线4的交点为E(2,l )．如果CDE 是直角三角形，求该抛物线的表达式3 5 【答案J Cl) (D y = x 2 + 2x ;@-－或－(2)y=�(x+2)2-34【解析】2 2【分析】Cl )＠由y=x 2 -2x=(x-1) -1，可得A(l,-1)，则该抛物线关千y 轴的镜像抛物线的顶点为A(-1,-1)，然后求镜像抛物线的表达式即可：＠当X=/11.在点A 左侧时，该抛物线关千直线X=m.的镜像抛物线的顶点为B(2m-l,-l)，如图1-l ，连接AB 交Y 轴于点E,则OE=I,由tan 乙OBA =－，可4得BE=-2m+l=4,计算求解即可；如图1-2,当x=m 在点A 右侧时，同理可得，2m-1=4,计算求解即可；(2)如图2,由题意知，若A CDE 是直角三角形，则"CDE 是等腰直角三角形，则EH =CH =DH,设EH=CH =DH= t,由£(2,1)，可得C(2-t,l -t)，即抛物线表达式为4 y=�(x-2+t)2 +1-t,将E(2,J )代入得，l ＝�(2-2+t)2+1-t,求出满足要求的t.进而可得抛物4线的表达式．【小问l详解】＠解：·:y=x 2-2x=(x-1}2-l, :. A(l,-1),．．．该抛物线关于y 轴的镜像抛物线的顶点为A(-1,-1),：．该抛物线关千y 轴的镜像抛物线的表达式为y=(x+Jf-1.即y=X 2 +2X;＠当x =m 在点A 左侧时，·: A(l,-1)，该抛物线关千直线x=m 的镜像抛物线的顶点为B,:. B(2m-l,-l),如图1-1,连接AB 交Y 轴千点E,则OE =l,vxx=m图1-1·: tan 乙OB A=.:....,1 4:. BE=-2m +l=4,3解得，m ＝－一；2如图1-2,当x=m在点A右侧时，I ，，，，， A x=m图1-2同理可得，2m-l =4,5解得，m ＝一；23.. 5 综上所述，m 的值为－－或－；2 2【小问2详解】解：如图2,y,图2由题意知，若CDE是直角三角形，则CDE是等腰直角三角形，则EH=CH=DH,设EH=CH=DH=t,·: E(2,1),:. C(2-t,1-t), :．抛物线的表达式为＝ y -(x-2+t)2+l -t ,4 将E (2,l )代入y =�(4 �(x -2+t)2+1-t 得，I =�(2-2+1/ +1-t ,4 解得，t=4或t=O （舍去），:．抛物线的表达式为1=) -（x+2)2 -3.4 【点睛】木题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键．25在直角梯形ABCD 中，ADI/BC,乙B=90°,AD=6, AB=4, BC> AD,乙ADC 的平分线交边BC 于点E,点F在线段DE 上，射线CF 与梯形ABCD 的边相交千点G.4(I)如图I,如果点G 与A 重合，当tan乙BCD ＝一时，求BE 的长：勹三C (2)如图2,如果点G在边AD 上，联结BG,当DG=4，且VCGBcnVBAG 时，求sin 乙BCD 的值；B 三((3)当F 是D E 中点，且AG =l 时，求CD 的长【答案］（I) 4石(2)—(3)CD 的长为5或9＋寸7【解析】【分析】(I )过点D 作DH .L BC 千点H,利用且角梯形的性质，矩形的判定与性质求得DH,利用直角三角形的边角关系定理求得CH,利用勾股定理求得CD,利用角平分线的定义和平行线的性质得到CD=CE,则BE=BC-CE,(2)过点D作DM..LBC千点M,利用（I)结论，勾股定理和相似三角形的判定与性质求得BC,CM,再利用等腰直角三角形的判定与特殊角的三角函数值解答即可；(3)利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：＠当点G在AD上时，利用等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质解答即可；＠当点G在AB上时，连接DG,GE,延长DG,CG交千点N,利用勾股定理求得BE，利用相似三角形的判定与性质求得AN,再利用全等三角形的判定与性质解答即可．【小问l详解】尸｀C·: A D Ii BC，乙B=90°,解：过点D作DH..L BC千点H，如图，:.乙BAD=90°,·:DH.LBC,:．四边形ABHD为矩形，:. DH= A B= 4, BH =AD= 6,4tan乙BCD=_:_,DH 4=-,CH 3:.CH =3,:.CD=�=S,QADII BC,．．．乙ADE=乙DEC,Q乙心E＝乙CDE,．．．乙CDE＝乙CED,:.CE=CD=S,:. BC=BH +CH =9,.·.BE= BC -CE= 9-5 =4:【小问2详解】过点D作DM..l BC千点M，如图，产三c由（1)知：AD=BM =6, DM =AB= 4, CD= C E,QDG=4,AD=6,:.AG=2,:.BG=�=2乔·: VCGB=VBAG,BG BC．．．乙BAG＝乙CGB=90°,—=—AG BG'2石BC· ·. ＝2 2石＇:.BC=lO,:.CM=BC-BM=4,:.DM=CM=4,: ..,.D MC为等腰直角三角形，．．．乙BCD＝乙CDM=45°,:.sin乙BCD=sin45°=—;【小问3详解】＠当点G在AD上时，如图，三c由（1)知：CD=C E,·: F是DE中点，:.CF..l DE,『DF G:F D；乙CDF在6DGF几DCF中，乙DF G＝乙DFC=90°．」氏F车DCF(ASA),:. DG =DC,QAG=l,A D=6,:.DG=5,:. C D=DG=5:＠当点G在AB上时，连接DG,GE,延长DG,CG交于点N,如图，A D人'-二二2..－．一．一一··一G I''、·．、·`｀、、、、`、E C由（1)知：CD=CE,·: F是D E中点，:.CF上DE,:.cc为DE的垂直平分线，:.GD=GE,:. G D2 =GE2,:. A G2 +A D2 = B G2 +BE2,:. 12 +62 =32 + B E2,:. BE=2打，·: ADIi BC,:. V A NGv>VBCG,AG ANBG B CI AN..-=3 BC在l::JJNF和"DCF中，{；：D F D F乙CDF,乙NFD＝乙CF D=90°:.,.DNF轧DCF(AAS),:. CD=ND,设CD=x,则BC=CE+ B E= x+ 2打，AN=DN -DA= CD-DA= x-6,1x-6-=.. 3-x+2打＇:. x=9＋打，:. CD=9＋打，综上，CD的长为5或9+.J了【点睛】木题主要考查了直角梯形的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，过梯形的上底的一点作高线是解决此类问题常添加的辅助线．。

上海市宝山区2024届中考一模考试数学试卷(附答案)

上海市宝山区2024届中考一模考试数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列各组中的四条线段成比例的是（ ▲ ）（A ）2cm ，3cm ，4cm ，5cm ；（B ）2cm ，3cm ，4cm ，6cm ；（C ）1cm ，2cm ，3cm ，2cm ；（D ）3cm ，2cm ，6cm ，3cm ．2.已知线段AB ＝2，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，则AP 的长是（ ▲ ）（A ）253−；（B ）53−；（C ）215−；（D ）15−.3.许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图1，AB 的长为50米，AB 与AC 的夹角为24°，则高BC 是（ ▲ ）（A ） 2450sin 米；（B ） 2450cos 米；（C ）︒2450sin 米；（D ）︒2450cos 米. 4.在四边形ABCD 中，如果BC AD 32=，|AB DA +|＝|DA DC −|，那么四边形ABCD 是（ ▲ ）（A ）矩形；（B ）菱形；（C ）正方形；（D ）等腰梯形.5.二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像如图2所示，则一次函数y ＝ax ＋b 的图像不．经过（ ▲ ）（A ）第一象限；（B ）第二象限；（C ）第三象限；（D ）第四象限.图2图3图16. 如图3，在正方形网格中，A 、B 、C 、D 、M 、N 都是格点，从A 、B 、C 、D 四个格点中选取三个构成一个与△AMN 相似的三角形，某同学得到两个三角形：①△ABC ；②△ABD .关于这两个三角形，下列判断正确．．的是( ) （A ）只有①是；（B ）只有②是；（C ）①和②都是；（D ）①和②都不是．二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7. 已知线段a ＝2，b ＝4，如果线段c 是a 和b 的比例中项，那么c ＝ ▲ .8. 比例尺为1:100000的地图上，A 、B 两地的距离为2cm ，那么A 、B 两地的实际距离为 ▲ km . 9. 计算：sin 30°－sin 45°．cos 45°＝ ▲ .10. 二次函数()20y ax bx c a =++≠图像上部分点的坐标（x ，y ）对应值如表1所示，那么该函数图像的对称轴是直线 ▲ .11. 直径是2的圆，当半径增加x 时，面积的增加值s 与x 之间的函数关系式是 ▲ . 12. 在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点G 为重心，联结AG 并延长，交BC 于点F ，如果BC ＝6，那么GF 的长是 ▲ .13. 如图4，斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，如果坡比i ＝1:3，那么这个斜坡的长度AB ＝ ▲ m .14. 在△ABC 中，如果2BC =，7AB =，3AC =，那么cos A = ▲ . 15. 如果二次函数)0()2(<−=a x a y 2的图像上有两点），（149y 和），（237y ，那么y 1 ▲ y 2.（填“>”、“=”或“<”）16. 如图5，已知正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，如果BC ＝ 6，△ABC 的面积为12，那么EF 的长为 ▲ .17. 平面直角坐标系中，在x 轴上，且到一条抛物线的顶点及该抛物线与y 轴的交点的距离．．之和．．最小的点，称为这条抛物线与x 轴的“亲密点”．那么抛物线2245y x x =++与x 轴的“亲密点”的坐标是 ▲ .18. 已知AC 和BD 是矩形ABCD 的两条对角线，将△ADC 沿直线AC 翻折后，点D 落在点E 处，三角形AEC 与矩形的重叠部分是三角形ACF ，联结DE ．如果AB ＝6，BF ＝2，那么∠BDE 的正切值是 ▲ .图5表1图4三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （本题满分10分）如图6，在△ABC 中，∠C ＝ 90︒，sinB ＝ 54，AB ＝10，点D 是AB 边上一点，且BC ＝ BD ．（1）求BD 的长；（2）求∠ACD 的余切值．20. （本题满分10分）如图7，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝4，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E .（1）求DE 的长；（2）联结CE 交BD 于点F ，设a AB =，b AD =，用a 、b 的线性组合表示向量BD ＝ ▲ ，BF ＝ ▲ ．21. (本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过点A (1,0)和B (0,3).（1）求该二次函数的表达式；（2）如果点E (4,m )在该函数图像上，求△ABE 的面积．图6图722. （本题满分10分）综合实践活动中，某小组利用木板和铅锤自制了一个简易测高仪测量塔高.测高仪ABCD 为矩形，CD ＝30cm ，顶点D 处挂了一个铅锤H .图8是测量塔高的示意图，测高仪上的点C 、D 与塔顶G 在一条直线上，铅垂线DH 交BC 于点M .经测量，点D 距地面1.9m ，到塔EG 的距离DF ＝13m ，CM ＝20cm .求塔EG 的高度(结果精确到1m )．23. （本题满分12分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分）如图9，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，且CE ＝BF ，DF 分别交 AE 、AC 于点P 、Q ．（1）求证：AE ⊥DF ；（2）求证：DFPQ BF AQ ⋅=⋅2．图8图924.（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线221x y =平移，使平移后的抛物线仍经过原点O ，新抛物线的顶点为M （点M 在第四象限），对称轴与抛物线221x y =交于点N ，且MN ＝4.（1）求平移后抛物线的表达式；（2）如果点N 平移后的对应点是点P ，判断以点O 、M 、N 、P 为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）抛物线221x y =上的点A 平移后的对应点是点B ，BC ⊥MN ，垂足为点C ，如果△ABC是等腰三角形，求点A 的坐标.图1025.（本题满分14分，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各5分）如图11，已知△ABC中，AB＝AC＝1，D是边AC上一点，且BD＝AD，过点C作CE∥AB，并截取CE＝AD，射线AE与BD的延长线交于点F.（1）求证：BFAF⋅DF=（2）设AD＝x，DF＝y，求y与x的函数关系式；（3）如果△ADF是直角三角形，求DF的长.图11评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.B ；2.D ；3.A ；4.D ；5.C ；6.B .二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.22；8.2；9.0；10.x ＝2 ；11.S ＝πx 2+2πx ； 12. 1；13.1030； 14.37； 15.>； 16.2.417. ），085(−； 18. 31或33. 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. 解：（1）∵在Rt △ABC 中，sinB ＝ ABAC ，又∵sinB ＝54，AB ＝10， ∴AC ＝8，…………………………………………………………………………2分 ∵∠C ＝ 90︒， ∴，222AB BC AC =+∴BC ＝6，…………………………………………………………………………2分 ∵BC ＝ BD ，∴BD ＝6.………………………………………………………………………… 1分（2）过点D 作DE ⊥AC ,垂足为点E .………………………………………………………1分又由∠C ＝ 90︒，可得DE ∥BC ， ∴，ABAD BC DE =∵BC ＝6，A D ＝4，AB ＝10，∴DE ＝2.4， ………………………………………………………………………1分同理可得EC ＝4.8，………………………………………………………………1分 ∵在Rt △DEC 中，cot ∠ACD ＝ DE EC ， …………………………………………1分∴cot ∠ACD ＝ 2. …………………………………………………………………1分20. 解：（1）∵BD 平分∠ABC ，∴∠1＝∠2，∵DE ∥BC ，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3， ………………………………………………………………………1分 ∴DE ＝BE ， ………………………………………………………………………1分设DE ＝BE ＝x ，则AE ＝5-x , ……………………………………………………1分 ∵DE ∥BC ，∴AB AE BC DE =， ……………………………………………………1分∴，554x x −= ………………………………………………………………………1分解得920=x ，所以，.920=DE …………………………………………………1分（2）BD ＝a b −， ……………………………………………………………………2分BF ＝.149149a b −…………………………………………………………………2分21. 解：（1）由图像经过点B (0,3)，可知c ＝3， ………………………………………2分再由图像经过点A (1,0)，可得0312=++b ，解得b ＝－4， ……………………2分所以，该二次函数的表达式为.342+−=x x y …………………………………1分（2）把x ＝4代入342+−=x x y ，得y ＝3，……………………………………1分由B (0,3)、E (4,3)可知BE ∥x 轴，……………………………………………1分于是BE ＝4，BE 边上的高为3,…………………………………………………2分 ∴.63)04(21=⋅−⋅=∆ABE S…………………………………………………1分22. 解：在Rt △CDM 中，cot ∠CDM ＝ CMCD ， ……………………………………………1分又∵CD ＝30cm ，CM ＝20cm ， ………………………………………………………1分 ∴cot ∠CDM ＝ 23， ……………………………………………………………………1分∵DF ⊥EG ，∴∠DGF +∠GDF ＝90°，……………………………………………………………1分又由题意可得∠CDM +∠GDF ＝90°，∴ ∠CDM ＝∠DGF ， …………………………………………………………………1分在Rt △DGF 中，cot ∠DGF ＝ DF GF ，…………………………………………………1分又∵DF ＝13m ，∴GF ＝m 239， ………………………………………………………………………1分∴EG ＝GF+EF ＝m 219.1239≈+， ……………………………………………………2分答：塔EG 的高度约为21m . …………………………………………………………1分23. 证明：（1）∵在正方形ABCD 中，∴CD ＝BC ，AD ＝CD ，∠ADE ＝∠DCF ＝90°， …………………………………1分又∵CE ＝BF ，∴CD -CE ＝BC -BF ，即DE ＝CF ， …………………………………………………………………………1分 ∴△ADE ≌△CDF ，∴∠1＝∠2， …………………………………………………………………………1分 ∵∠ADE ＝90°∴∠1+∠3＝90°，∴∠2+∠3＝90°， ……………………………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝∠2+∠3，∴∠APQ ＝90°，………………………………………………………………………1分 ∴AE ⊥DF.（2）过点E 作EG ⊥AC ,垂足为点G . ………………………………………………1分 ∵∠APQ ＝90°， ∴∠APQ ＝∠AGE ，又∵∠PAQ ＝∠EAG ，∴△APQ ∽△AEG ，……………………………………………………………………1分∴EGAEPQ AQ =，…………………………………………………………………………1分 ∵在正方形ABCD 中，∴ 45214=∠=∠DCF ，在Rt △CDM 中，cot ∠4＝ 22=CE EG ，∴CE EG 22=， ………………………………………………………………………1分∵CE ＝BF ，∴BF EG 22=，………………………………………………………………………1分∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝DF ， …………………………………………………………………………1分 ∴BF DF PQAQ 22=， ∴DF PQ BF AQ ⋅=⋅2.……………………………………………………………1分24. 解：（1），，设)0)(21(2>t t t N )421(2−t t M ，则，……………………………………………………1分于是平移后抛物线的表达式是421)(2122−+−=t t x y ， ………………………………1分由平移后抛物线经过原点O (0，0)，可得t ＝2(负值不合题意舍去），………………1分所以，平移后抛物线的表达式是2)2(212−−=x y . ……………………………………1分（2）四边形OMPN 是正方形.根据题意可得O (0，0)，M (2，-2)，N (2，2)，P (4，0)， …………………………1分记MN 与OP 交于点G ，则G (2，0)，∴OG ＝GP ＝2，MG ＝NP ＝2，MN ＝OP ＝4，22==NP NO ，∴四边形OMPN 是平行四边形， ……………………………………………………1分 ∵MN =OP =4，∴四边形OMPN 是矩形， ……………………………………………………………1分 ∵22==NP NO ，∴四边形OMPN 是正方形. ……………………………………………………………1分（3），，设)21(2a a A ，，则)2212(2−+a a B )2212(2−a C ，，222,2)2(22a BC a AC AB =+−==，可得，……………………………………1分；，（舍去①)84(),0,4,04,2)2(22,11222A a a a a a AC AB ===−+−== …………1分；，或，②)422()422(,22,22,22,112−−====A A a a a BC AB ………………1分；，，，③)22(2,2)2(222A a a a BC AC ==+−=……………………………………1分所以，点A 的坐标是)2,2()422()422()8,4(、，、，、−.25.（1）证明：∵CE ∥AB ，∴∠1＝∠2，………………………………………………………………………………1分又∵AB ＝AC ，CE ＝AD ，∴△ABD ≌△AEC ，………………………………………………………………………1分 ∴∠3＝∠4，又∵∠AFB ＝∠AFD ，∴△ABF ∽△ADF ，………………………………………………………………………1分 ∴AFBF DF AF =， ∴BF DF AF ⋅=2.…………………………………………………………………………1分解：（2）过点D 作DG ∥AB ，交AE 于点G. ………………………………………………1分又∵CE ∥AB ，∴DG ∥CE ， ∴AC AD CE DG =，……………………………………………………………………………1分由AD ＝x ，则CE ＝x ，CD ＝1-x ，∴2x DG =，………………………………………………………………………………1分 ∵DG ∥AB ， ∴BF DF AB DG =，……………………………………………………………………………1分 ∴y x y x +=12， ∴231x x y −=. ……………………………………………………………………………1分（3）①∠DAF ＝ABD ≠90°，………………………………………………………………1分 ②如果∠AFD ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3+∠4＝90°，可得∠3＝∠4＝30°，……………………1分设DF ＝m ，则AD ＝BD ＝2m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝ABBF ， ∴2312=+m m ，63=m .………………………………………………………………1分③如果∠ADF ＝90°，由∠1＝∠3＝∠4，∠1+∠3＝90°，可得∠3＝∠4＝45°，……………………………1分设DF ＝m ，AD ＝BD ＝m ，在Rt △ABF 中，cos ∠3＝BFAB ， ∴221=+m m ，22=m . ………………………………………………………………1分所以,当△ADF 是直角三角形时，DF 的长为63或22.。

2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷(含答案解析)

2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，．下列四个选项，正确的是（）A ．3tan 4B =B ．4cot 3B =C ．4sin 5B =D ．4cos 5B =2．下列命题中假命题是（）A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似3．如图，a b c ∥∥，若32AD DF =，则下面结论错误的是（）A ．35AD AF =B ．32BC CE =C ．23AB EF =D ．35BC BE =4．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，点P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，下列选项中正确的是（）A ．0a >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．0b <5．将抛物线212y x =-经过下列平移能得到抛物线()21132y x =-+-的是（）A ．向右1个单位，向下3个单位B ．向左1个单位，向下3个单位C ．向右1个单位，向上3个单位D ．向左1个单位，向上3个单位6．如图，点D 在ABC 边AB 上，ACD B ∠=∠，点F 是ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且2AF EF =，则下列选项中不正确的是（）A ．23AD AC =B ．23CF BE =C ．23DC BC =D ．23AD DB =二、填空题7．已知43x y =，则=x y x y-+________________．8．计算：()()3213a b a b ---=__________________．9．两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，则这两个三角形面积之比为_____________．10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．11．如图，已知G 为ABC ∆的重心，过点G 作BC 的平行线交边AB 和AC 于点D 、E 设GB a = 、GC b = ．用xa yb +（x y 、为实数）的形式表示向量=DE ____________．12．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD 为6.6米，小明到凉亭的距离BD 为12米，凉亭与观景台底部的距离DF 为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为________________米．13．已知点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，则m _____________n （填“>”、“=”或“<”）．三、解答题14．小球沿着坡度为1:1.5i =的坡面滚动了13m ，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m ．四、填空题15．计算：cos60sin 60cot 30tan 45︒-︒=︒-︒_________________16．如图，在由正三角形构成的网格图中，、、A B C 三点均在格点上，则sin BAC ∠的值为___________．17．如图，点E 是矩形ABCD 纸片边CD 上一点，如果沿着AE 折叠矩形纸片，恰好使点D 落在边BC 上的点F 处，已知36cm tan 4BF BAF =∠=，，那么折痕AE 的长是_____________cm ．18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt ABC △中，90,C CA CB ∠=︒=，CD 是斜边AB 上的高，其中ACD 是等腰三角形，且BCD △和ABC 相似，所以ABC 是“和谐三角形”，直线CD 为ABC 的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F ∠的度数是_______________（写出所有符合条件的情况）五、解答题19．如图，在ABC 中，已知590,sin 13C A ∠=︒=．点D 为边AC 上一点，45,7BDC AD ∠=︒=，求CD 的长．20．如图，点E 在平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上，且2CE BC =，AE 与CD 交于点F ．设,AB a AD b ==．(1)用向量a 、b 表示向量DE；(2)求作：向量EF 分别在向量EC 、ED方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21．已知二次函数2369y x x =-++．(1)用配方法把二次函数2369y x x =-++化为()2y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标；(2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与x 轴交于点A B 、（点A在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，求四边形DACB 的面积．22．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高AB 为5cm ，宽MN 为10cm ，点A 是MN 的中点，连杆BC CD 、的长度分别为18.5cm 和15cm ，150CBA ∠=︒，且连杆BC CD 、与AB 始终在同一平面内．(1)求点C 到水平桌面的距离；(2)产品说明书提示，若点D 与A 的水平距离超过AN 的长度，则该支架会倾倒．现将DCB ∠调节为80︒，此时支架会倾倒吗？（参考数据∶tan 200.36,cot20 2.75,sin 200.34,cos 200.94︒≈︒≈︒≈︒≈）23．如图，已知ABC 是等边三角形，D E 、分别是边BC AC 、上的点，且BC CE BD DC ⋅=⋅．在DE 的延长线上取点F ，使得DF AD =，联结CF ．(1)求证：60ADE ∠=︒；(2)求证：CF AB ∥．24．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A -、()4,0B 与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线PD x ⊥轴，垂足为点D ，直线PD 与直线BC 相交于点E ．①当CP CE =时，求点P 的坐标；②联结AC ，过点P 作直线AC 的平行线，交x 轴于点F ，当BPF CBA ∠=∠时，求点P 的坐标．25．如图1，已知菱形ABCD ，点E 在边BC 上，BFE ABC ∠=∠，AE 交对角线BD 于点F ．(1)求证ABF DBA ∽△△；(2)如图2，联结CF ．①当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小；②如图3，联结DE ，当DE FC ⊥时，求cos ABD ∠的值．参考答案：1．C【分析】先利用勾股定理求出3BC =，再根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：∵在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，，∴3BC ==，∴4343tan cot sin cos 3455AC BC AC BC B B B B BC AC AB AB ========，，，故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，熟知对应的三角函数的定义是解题的关键．2．B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B.任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C.等边三个角都相等，故两三角形相似；D.任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．C【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可【详解】 ADDF ＝32，35AD AF ∴=,故A 选项正确，不符合题意；l 1∥l 2∥l 3，且ADDF ＝32，32AD BC DF CE ∴==,故B 选项正确，不符合题意；32BC CE = 35BC BE ∴=故D 选项正确，不符合题意；根据已知条件不能求出ABEF的值，故C 选项不正确，故选C ．【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键．4．D【分析】根据开口方向，即可判断A ；根据与y 轴的交点，即可判断B ；把1x =代入，即可判断C ；根据对称轴的位置，即可判断D ．【详解】解：A 、∵函数图象开口向下，∴a<0，故A 不正确，不符合题意；B 、∵函数图象与y 轴交于正半轴，∴0c >，故B 不正确，不符合题意；C 、把1x =代入得y a b c =++，∵1OP =，∴当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故C 不正确，不符合题意；D 、∵函数对称轴在y 轴左侧，a<0，∴0b <，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质，会根据函数的开口，对称轴，与坐标轴的交点判断各个系数的符号．5．B【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵212y x =-的顶点坐标为()0,0，()21132y x =-+-的顶点坐标为()1,3--，∴将抛物线212y x =-向左平移1个单位，再向下平移3个单位，可得抛物线()21132y x =-+-．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6．D【分析】证明ACD ABC∽，得出AD DC AC AFAC BC AB AE===，利用2AF EF =判断选项A 、C ，证明ACF ABE ∽△△得出23CF AC BE AB ==判断选项B ，分别用AB 表示出AD 和BD ，判断选项D ，即可得出结论．【详解】 ACD B ∠=∠，CAB CAB ∠=∠，∴ACD ABC∽，∴AD DC AC AFAC BC AB AE ===，AF EF AE += 且2AF EF =，∴32AF AE =，23AF AE ∴=，∴23AD DC AC AF AC BC AB AE ====，故选项A 、C 正确；∴23AC AB =，23AD AC =，49AD AB ∴=，AD BD AB += ，∴4599BD AB AD AB AB AB =-=-=，449559ABAD BD AB ∴==，故选项D 错误； AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE ∠=，ACD B ∠=∠，ACF ABE ∴△∽△，23CF AC BE AB ∴==，故选项B 正确；故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．7．17【分析】设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，代入求解即可得到答案；【详解】解：设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，∴431=437x y k k x y k k --=++，故答案为17．【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是设出公比表示出x ，y ．8．53a b- 【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：原式1=223a b a b--+53a b=- 故答案为53a b -．【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键．9．16:25##1625【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，∴两个相似三角形的相似比为4:5，∴两个相似三角形的面积之比为16:25，故答案为：16:25．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，熟练掌握其性质是解题的关键．10．（4）cm【分析】利用黄金分割的定义计算出AP.【详解】P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，()118422AP AB cm ∴==⨯=故答案为：（4）cm..11．2233a b -+ 【分析】由于G 是三角形ABC 的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，可得到:2:3AG AM =，再根据平面向量加减运算可求得答案．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于点M ：∵DE BC ∥∴AG AD DE AM AB BC ==∵点G 是ABC 的重心，∴23AG AM =∴23DE BC =∴23DE BC =∵BC GC GB b a =-=- ∴()23DE b a =- ∴2233DE a b =-+ 故填：2233a b -+ ．【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键．12．22.3##32210##22310【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：过点A 作AM EF ⊥于点M ，交CD 于点N ，由题意得，12AN =， 6.6 1.65CN =-=，42MN =，E CN M ∥，∴ACN AEM ∽ ，∴CN AN EM AM =，∴5121242EM =+，∴22.5EM =，∵ 1.6AB MF ==，∴22.5 1.6 1.822.3+-=（米）．故答案为：22.3．【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．13．<【分析】根据抛物线的解析式得到对称轴为直线12b x a=-=-，由抛物线开口向下，可得在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，即可得到答案．【详解】解：点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，∴对称轴为直线12b x a=-=-，抛物线开口向下，∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，32-<- ，m n ∴<，故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象及其性质，熟练掌握知识点是解题的关键．14．【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =，故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．15．12-##0.5-【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【详解】解：原式1122=-，故答案为：12-．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．16【分析】根据等边三角形的性质可得90ACB ∠=︒，然后设正三角形构成的网格线段长为1，分别求出直角边AC ，BC ，然后根据勾股定理求出AB ，最后根据三角函数定理即可求出sin BAC ∠．【详解】解：由正三角形的性质可知16060902ACB ∠=︒+⨯︒=︒，设正三角形构成的网格线段长为1，在Rt ABC △中，2AC =，BC =，根据勾股定理，可得AB，sin 7BC BAC AB ∠==，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．17．【分析】由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，由矩形的性质得到90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，先解Rt ABF 求出8cm 10cm AB AF ==，，进而得到10cm AD BC ==，则4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，由勾股定理得到()22248x x =+-，解方程求出5cm DE =，则AE ==．【详解】解：由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，∵四边形ABCD 是矩形，∴90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，∵在Rt ABF 中，36cm tan 4BF BAF =∠=，，∴8cm tan BF AB BAF ==∠，∴10cm AF ==，∴10cm AD AF BC ===，∴4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，在Rt CEF △中，由勾股定理得：222EF CF CE =+，∴()22248x x =+-，解得5x =，∴5cm DE =，∴AE ==，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解直角三角形，正确求出AD DE ，的长是解题的关键．18．54 46 32 27︒︒︒︒、、、【分析】分类讨论，①EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =；②DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =；③DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =；④FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =；根据等腰三角形的性质，相似三角形的性质即可求解．【详解】解：DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，EG 是DEF 的“和谐分割线”，①根据题意，如图所示，EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =，∴42D DEG GEF ∠=∠=∠=︒，∴在DEG △中，180180424296DGE D DEG ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵DGE ∠是EGF △的外角，∴964254F DGE GEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②如图所示，DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =，∴DEG F FEG ∠=∠=∠，设F a ∠=，则DEG F FEG a ∠=∠=∠=，1802EGF a ∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF D DEG ∠=∠+∠，即180242a a ︒-=︒+，解得，46a =︒，∴46∠=︒F ；③如图所示，DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =，∴FE FG =，F GED ∠=∠，FEG FGE ∠=∠，设F x ∠=，则F GED x ∠=∠=，1(180)2FEG FGE x ∠=∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF GED D ∠=∠+∠，即1(180)422x x ︒-=+︒，解得32x =︒，∴32F ∠=︒；④如图所示，FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =，∴42D GEF ∠=∠=︒，1(18042)692DEG DGE ∠=∠=︒-︒=︒，∵DGE ∠是EFG 的外角，∴DGE F GEF ∠=∠+∠，即6942F ︒=∠+︒，∴694227F ∠=︒-︒=︒；综上所述，DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F∠的度数是54463227︒︒︒︒、、、，故答案为：54463227︒︒︒︒、、、．【点睛】本题主要考查等腰三角形，相似三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．19．5【分析】解直角三角形ABC ，表示出AB AC ，的长，再根据Rt BCD △是等腰直角三角形，求得CD 即可．【详解】解：在Rt ABC △中，590,sin 13BC C A AB Ð=°==，设5,13BC k AB k ==，∴12AC k ===，在Rt BCD △中，90,45C BDC ∠=︒∠=︒，∴45CBD BDC ∠=∠=︒，∴5BC CD k ==．∴7AD AC CD k =-=，∵7AD =，∴77k =，∴1k =，∴55CD k ==【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练进行解直角三角形是解题的关键．20．(1)2a b+ (2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC =，根据三角形法则得出2DE DC CE a b =+=+ ；（2）作FM AD ∥，EN FM =，根据平行四边形法则，得出向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量，即可求解．【详解】（1）解：∵ABCD Y ，∴AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC=∵2CE BC =，∴2CE AD =，∴22CE AD b == ，∴=DC AB a = ，∴2DE DC CE a b =+=+ ；（2）解：如图所示，作FM AD ∥,EN FM =，根据平行四边形法则，向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键．21．(1)()23112y x =--+，开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12(2)54【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可；（2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A B C D 、、、坐标即可求解．【详解】（1）解：()()()2222369329321123112y x x x x x x x =-++=--+=--++=--+∴该二次函数的顶点式为()223693112y x x x =-++=--+，函数图像的开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12；（2）解：平移后的新抛物线的解析式为()23312y x =--+，得到顶点()3,12D ，当0y =时，由()23312=0x --+得：11x =，25x =，即点()()1,05,0A B 、，即4AB =，当0x =时，由=15y -即点()0,15C -，∴四边形DACB 的面积1141241524305422ABD ABC S S =+=+创=+=【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．22．(1)点C 与水平桌面的距离为20cm 4+(2)支架不会倾倒【分析】（1）过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ，由题意得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，解Rt BFC △求出cm 4CF =，则20cm 4CE CF EF +=+=；（2）过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．先解Rt CDH △求出14.1cm CH FK ==，再解在Rt BFC △求出9.25cm BF =，即可得到 4.85cm BK =，由此即可得到答案．【详解】（1）解：过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ．由题意可得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，在Rt BFC △中，906018.5cm BFC CBF BC ∠=︒∠=︒=，，，∴sin sin 602CF CBF BC ∠==︒=，即3722CF =，∴CF =∴CE CF EF =+=，∴此时点C与水平桌面的距离为20cm 4．（2）解：过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．由题意可知，在Rt CDH △中，90CDH ∠=︒，20DCH ∠=︒，15cm CH FK CD ==，，∴cos CH DCH CD ∠=，即0.9415CH =∴14.1cm CH FK ==，在Rt BFC △中90BFC ∠=︒，60CBF ∠=︒，18.5cm BC =，∴cos BF CBF BC ∠=，即1218.5BF =，∴9.25cm BF =，∴ 4.85cmBK KF BF CH BF =-=-=∵ 4.855BK =<，∴支架不会倾倒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明ABD DCE ∽△△，得到BAD CDE ∠=∠，根据ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，即可证明60ADE B ︒∠=∠=；（2）联结AF ，先证明ADF △是等边三角形，得到60AFD ︒∠=，进而证明AEF DEC ∽△△，AED FEC △∽△，从而得到60FCA ADF ︒∠=∠=，180B FCB ︒∠+∠=，即可证明CF AB ∥．【详解】（1）证明：∵ABC 是等边三角形，∴60B ACB ︒∠=∠=，AB BC=∵BC CE BD DC = ，∴BC BD DC CE=∴AB BD DC CE =，∴ABD DCE ∽△△，∴BAD CDE ∠=∠，∵ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，∴60ADE B ︒∠=∠=；（2）证明：如图，联结AF ，∵DF AD =，且60ADF ︒∠=，∴ADF △是等边三角形，∴60AFD ︒∠=，∵60AFD ACB ∠=∠=︒，AEF DEC ∠=∠，∴AEF DEC ∽△△，∴AE EF DE EC =，∴AE DE EF EC=，又∵AED FEC ∠=∠，∴AED FEC △∽△，∴60FCA ADF ︒∠=∠=，∵60B ︒∠=，120FCB FCA ACB ︒∠=∠+∠=，∴180B FCB ︒∠+∠=，∴CF AB ∥．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，熟知相似三角形的判定定理和性质定理，根据题意添加适当辅助线是解题关键，24．(1)239344y x x =-++(2)①922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；②()33P ，【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H ，根据三线合一的性质，得出PH HE =，再根据平行线的判定，得出CH OB ∥，再根据平行线的性质，得出HCE CBO ∠=∠，再根据正切的定义，得出34EH OC CH OB ==，然后设4CH k =，则3PH EH k ==，再根据线段之间的数量关系，得出33PD k =+，进而得出点P 坐标为()433k k +，，再把点P 的坐标代入239344y x x =-++，计算即可得出点P 的坐标；②根据相似三角形的判定，得出PFB BAC ∽，再根据两点之间的距离和勾股定理，得出5AB BC ==，再根据相似三角形的性质，得出PF PB =，再根据三线合一的性质，得出12FD BD FB ==，然后设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >，再根据正切的定义，得出tan tan CAB BFP ∠=∠，进而得出23934434x x x-++=-，解出即可得出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线23y ax bx =++经过点()()1,04,0A B -、∴可得：0301643a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得39,44a b =-=，∴239344y x x =-++；（2）解：①如图，过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H，∵CP CE =，CH PE ⊥，∴PH HE =，∵()0,3C ，()4,0B ，∴3OC =，4OB =，∵CH PD ⊥，PD OB ⊥，∴CH OB ∥，∴HCE CBO ∠=∠，∴tan tan HCE CBO ∠=∠，∴34EH OC CH OB ==，设4CH k =，则3PH EH k ==，∴33PD HD HP OC HP k =+=+=+，∴点P 坐标为()433k k +，，又∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，∴()()2393344344k k k +=-⨯+⨯+，解得：12k =，0k =（舍去），∴14422k =⨯=，19333322k +=+⨯=，∴92,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．②如图，∵PF AC ∥，∴CAB PFB ∠=∠，又∵BPF CBA ∠=∠，∴PFB BAC ∽，∵()415AB =--=，5BC ==，∴5AB BC ==，∴PF PB =，又∵PD OB ⊥，∴12FD BD FB ==，∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >．∵CAB BFP ∠=∠，∴tan tan CAB BFP ∠=∠，∴3PD CO FD AO==．即23934434x x x-++=-，解得：3x =，4x =（舍去），∴223939333334444x x -++=-⨯+⨯+=，∴()3,3P ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三线合一的性质、平行线的判定与性质、正切的定义、坐标与图形、解一元二次方程、两点之间的距离、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．25．(1)见解析(2)①60︒或45︒【分析】（1）由菱形的性质和平角的性质得180ABC BAD ∠+∠=︒，180BFE AFB ∠+∠=︒，已知ABC BFE ∠=∠，等量代换得AFB BAD ∠=∠，公共角ABF DBA ∠=∠，即可得证；（2）①设ABD α∠=，由菱形的性质2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，由（1）ABF ABD ∽，根据相似三角形的性质得ADB BAF α∠=∠=，故3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，根据菱形的性质易得ABF CBF ≌，再由全等三角形的性质得BCF BAF α∠=∠=，再分情况讨论当CEF △为直角三角形时，ABC ∠的大小；②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、，由菱形的性质得AC BD ⊥，根据直角三角形的性质得90BCO OBC ∠+∠=︒，由DE CF ⊥，得90DEC FCE ∠+∠=︒，根据相似三角形的性质和菱形的性质得FCE FAB OBC ∠=∠=∠，由等角的余角相等得DEC BCO ∠=∠，由等角对等边及平行线分线段成比例可得四边形AECD 为等腰梯形，易得FEC BAD ∠=∠，EF EC =，由DE FC ⊥，可得DC DF BC ==，设设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，由相似三角形的性质解得BF ，由菱形的性质求得BO ，即可求解．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是菱形，∴180ABC BAD ∠+∠=︒，又 180BFE AFB ∠+∠=︒且ABC BFE ∠=∠，∴AFB BAD ∠=∠．又ABF DBA ∠=∠，∴ABF DBA ∽△△．（2）解：①设ABD α∠=，四边形ABCD 是菱形，∴AB AD =，BD 平分ABC ∠．∴ADB ABD α∠=∠=，CBD ABD α∠=∠=，∴2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，ABF ABD ∽，∴ADB BAF α∠=∠=，∴3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，BA BC =，CBD ABD ∠=∠，BF BF =，∴ABF CBF ≌，∴BCF BAF α∠=∠=，在CEF △中，BCF αÐ=，3AEC α∠=，故1804EFC α∠=︒-，CEF △是直角三角形，∴有以下三种可能的情形：一、90BCF α∠==︒，此时2180ABC α∠==︒，不符合题意，应舍去；二、390AEC α∠==︒，此时260ABC α∠==︒；三、180490EFC α∠=︒-=︒，此时490α=︒，245ABC α∠==︒；综上所述，当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小为60︒或45︒．②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、．四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴90BOC ∠=︒，∴90BCO OBC ∠+∠=︒，DE CF ⊥，∴90EGC ∠=︒，∴90DEC FCE ∠+∠=︒，ABF ABD ∽，∴ADB FAB OBC ∠=∠=∠，∴FCE FAB OBC ∠=∠=∠，∴DEC BCO ∠=∠，∴HE HC =．AD BC ∥，∴HEHCDE AC =，∴DE AC =，∴四边形AECD 为等腰梯形．∴FEC ECD ∠=∠．又 BAD ECD ∠=∠，∴FEC BAD ∠=∠．又 CFE ECF ∠=∠，∴EF EC =．又 DE FC ⊥，∴DC DF BC ==，设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，ABF ABD ∽，∴BF AB AB BD=，即111x x =+，解得BF =，∴11122BO OD BD ⎫===⨯=⎪⎪⎝⎭∴1cos 4BO ABD AB +∠==．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．。

2023年上海市宝山区中考数学一模试卷含详解

16．已知内切两圆的圆心距为17．已知相交两圆的半径长分别为18．如图，已知按下列步骤作图：三、解答题：（本大题共19．计算：2cos6020．在平面直角坐标系(1)求抛物线的表达式；(2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点(1)已知6AB =，EC (2)如果3DE EC =，求弦22．如图，某小区车库顶部坡长为6米．在坡底与地面DE 的距离．（结果保留根号）23．已知：如图，四边形ABCD 、ACED 于点F 、G ．(1)求证：2BF FM BG =⋅；(2)联结CG ，如果2AB CG =，求证：24．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线分沿x 轴翻折，得到的新图象记为(1)写出“图像U ”对应的函数解析式及定义域；(1)求证：2CD DF DB =⋅；(2)如图2，当CE AB ⊥时，求CD 的长；(3)当CDF 是等腰三角形时，求:DF FB 的值．由题意得：AOB β=∠，∵()2,1A ，∴2,1OB AB ==，∴1tan 2AB OB β==；故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数及坐标与图形，熟练掌握求一个角的正切值是解题的关键．5．D【分析】根据二次函数图象的平移方法即可进行求解．【详解】解：将抛物线23y x =+向右平移故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握6．C【分析】作CD AB ⊥于D ，由勾股定理求出为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点；若【详解】解：作CD AB ⊥于D ，如图所示：90ACB ∠=︒ ，3AC =，4BC =，【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．7．4故答案为：18．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等，由此得到所求三角形的三边的比也是2:3:4，是解题关键．9．5a b-- 【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：原式2233a b a b=---5a b=-- 故答案为：5a b --．【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键．10．a<0【分析】根据二次函数的图象可进行求解．【详解】解：由抛物线2y ax =的开口方向向下，则有a<0；故答案为a<0．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．11．直线1x =【分析】由二次函数顶点式可得抛物线顶点坐标，进而求解．【详解】解：2(1)2y x =--+ ，∴抛物线顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线1x =，故答案为：直线1x =．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式．12．60︒##60度【分析】根据正多边形的每一个外角都相等和多边形的外角和等于360︒解答即可．【详解】∵正六边形的外角和是360︒，∴正六边形的一个外角的度数为：360660案=，故答案为：60︒．【点睛】本题主要考查多边形的外角和及正多边形外角度数的计算，掌握多边形外角和等于360︒是解答本题的关键．13．01d ≤<【分析】根据点在圆内，01d ≤<，可得结论．【详解】解：点A 在圆内，∴01d ≤<，G为ABC的重心，2CG GH∴=，∴23 CGCH=，【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18．51-【分析】由题意得，BF 为ABC ∠的平分线，可得ABF CBF ∠=∠4（2）解：连接OB ，如图，3DE EC = ，3OC OE EC ∴+=，即3OE CE OE CE ++=OE CE ∴=，1122OE OC OA ∴==在Rt OAE △中，sin 30A ∴∠=︒，OA OB = ，30B A ∴∠=∠=︒，180AOB A ∴∠=︒-∠-即弦AB 所对的圆心角的度数为由题意得，6CD =米，45ADF ∠=︒，ACB ∠ 斜坡CD 的坡度1:3i =，∴13CG DG =，即3DG CG =，在Rt CDG △中，由勾股定理得2(3CG CG +则1122ABCS AB CO AC BH=⨯⨯=⨯⨯△，即325BH⨯=⨯，解得：65 BH=，则635sin2210BHACBBC∠===，设：CH t=，则HF 则42t CE m==且解得：12m=或3作CG AB ⊥于G ，1cot 2BG ABC CG ∴∠==，5cos 5ABC ∴∠=，52525BG ∴=⨯=，CG 3AG AB BG ∴=-=，^于G，作DG CE，CE AB⊥DG AB，∴∥∴∠=∠=∠FDG ABD BCE tan tanFDG ABD ∴∠=∠=当CF DF =时，CDF ∠ACF CBD ∠=∠ ，CDF CBD ∴∠=∠，25CD BC ∴==，作CG AB ⊥于G ，作DK 当CD CF =时，CDF ∠答案第17页，共17页。

2022届上海徐汇区中考数学一模试卷及答案

2022届徐汇区中考数学一模一、选择题1. 在ABC 中，∠C =90°，AB =5，BC =4，则sinA 的值是（）A . 45B . 35C . 34D .432. 如图1，已知AB //CD //EF ，BD :DF =2:3，那么下列结论中，正确的是（）A . CD :EF =2:5B . AB :CD =2:5C . AC :AE =2:5D . CE :EA =2:53. 无人机在空中点A 处观察地面上的小丽所在位置点B 处的俯角是50°，那么小丽在地面点B 处观察空中点A 处的俯角是（）A . 40°B . 50°C . 60°D . 70°4. 已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中正确的是（）A . AC BC =B . 0AC BC +=C . 12BC AB =D . 12CA BA = 5. 下列对二次函数()2213y x =−++的图像的描述中，不正确的是（）A . 抛物线开口向下B . 抛物线的对称轴是直线1x =−C . 抛物线与y 轴的交点坐标是（0,3）D . 抛物线的顶点坐标是()1,3−6. 如图2，在ABC 中，∠ACB =90°，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，下列结论不一定成立的是（）A . ∠A =∠DCB B . tan CD ECB AD ∠=C . 2CD AD DB =⋅ D . 22BC DB EC =⋅二、填空题7. 计算：()1242a a b −−=____________8. 冬日暖阳，下午4点时分，小明在学校操场晒太阳，身高1.5米的他，在地面上的影长为2米，则此时高度为9米的旗杆在地面的影长为____________米9. 将抛物线223y x =+先向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得抛物线的表达式是____________10. 如果点()()122,,5,A y B y 在二次函数22y x x n =−+图像上，那么1y ___________2y （填>、=或<）11. 如图3，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖显得下半身比上半身更修长，若以裙子腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm ，那么裙子的腰节到脚尖的距离为____________cm （结果保留根号）12. 如图4，ABC 中，AB =8，BC =7，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，已知AE =4，∠AED =∠B ，则线段DE 的长为_____________13. 如图5，BE 是ABC 的角平分线，过点E 作ED //BC 交边AB 于点D ，如果AD =3，DE =2，则BC 的长度为____________14. 二次函数的图像如图6所示，对称轴为直线1x =−，根据图中信息可求得该二次函数的解析式为____________15. 小明同学逛书城，从地面一楼乘自动扶梯，随扶梯移动了13米，到达距离地面5米高的二楼，则该自动扶梯的坡度i =____________16. 如图7，已知点G 是ABC 的重心，记向量,AB a AC b ==，则向量AG =____________（用向量xa yb +的形式表示，其中,x y 为实数）17. 如图8，已知点A 是抛物线2y x =图像上一点，将点A 向下平移2个单位到点B ，再把点A 绕点B 顺时针旋转120°得到点C ，如果点C 也在该抛物线上，那么点A 的坐标是____________18. 如图9，在Rt ABC 中，∠CAB =90°，AB =AC ，点D 为斜边BC 上一点，且BD =3CD ，将ABD 沿直线AD 翻折，点B 的对应点为'B ，则sin 'CB D ∠=____________三、解答题19. 计算：sin 603tan 30cos 6012cot 45cot 30︒+︒⋅︒−︒+︒20. 二次函数()2f x ax bx c =++的自变量x 的取值与函数y 的值列表如下：（1）根据表中的信息求二次函数的解析式，并用配方法求出顶点的坐标；（2）请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数的顶点落在直线y x =上，并写出平移后的二次函数的解析式.21. 已知：如图10，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =4，BC =6，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点A 作AF //DC ，交对角线BD 于点F .（1）求BF EF的值；（2）设,AB a AD b ==，请用向量,a b 表示向量AE .22. 图11-1是一种自卸货车，图11-2是该火车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB =4米，宽BC =2米，初始时点A 、B 、F 在同一水平线上，车厢底部AB 离地面的高度为1.3米，卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A 旋转，箱体底部AB 形成不同角度的斜坡.（1）当斜坡AB 的坡角为37°时，求车厢最高点C 离地面的距离；（2）当A 处的转轴与后车轮转轴（点E 处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为0.7m ，货箱对角线AC 、BD 的交点G 是货箱侧面的重心，卸货时如果A 、G 两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故.当斜坡AB 的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗? 试说明你的理由.（精确到0.1米，参考值：sin370.60,cos370.80,tan37 1.4142︒≈︒≈︒≈≈）23. 如图12，已知Rt ABC 中，∠ACB =90°，射线CD 交AB 于点D ，点E 是CD 上一点，且∠AEC =∠ABC ，联结BE .（1）求证：ACD EBD ；（2）如果CD 平分∠ACB ，求证：22AB ED EC =⋅.24. 如图13，抛物线2410233y x x =−++与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交该抛物线于点E .（1）求直线AB 的表达式，直接写出顶点M 的坐标；（2）当以B 、E 、D 为顶点的三角形与CDA 相似时，求点C 的坐标；（3）当∠BED =2∠OAB 时，求BDE 与CDA 的面积之比.25. 如图14，在ABC 中，∠C =90°，cot A =点D 为边AC 上的一个动点，以点D 为顶点作∠BDE =∠A ，射线DE 交边AB 于点E ，过点B 作射线DE 的垂线，垂足为点F .（1）当点D 是边AC 中点时，求tan ∠ABD 的值；（2）求证：AD BF BC DE ⋅=⋅；（3）当DE :EF =1:3时，求AE :EB .参考答案一、选择题1. A2. C3. B4. D5. C6. D二、填空题7. 322a b + 8. 12 9. ()2214y x =+− 10. < 11. ()88− 12. 7213. 103 14. 223y x x =−−+ 15. 1:2:4 16. 1133a b + 17. ()18. 10三、解答题19. 32+20.（1）()214y x =−−+，顶点（1,4）（2）下移3个单位，解析式：()211y x =−−+右移3个单位，解析式：()244y x =−−+21.（1）54（2）2355AE a b =+22.（1）5.3米（2）不会，说明略23.（1）证明略（2）证明略24.（1）549,412M ⎛⎫⎪⎝⎭（2）5,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭和11,08C ⎛⎫⎪⎝⎭（3）122510425.（1）4 （2）证明略（3）53。

2023年上海市闵行区中考一模数学试卷(原卷版)

九年级数学练习一、选择题：1.下列图形中一定是相似形的是（）A.两个等边三角形B.两个菱形C.两个矩形D.两个直角三角形2.如图，已知AB CD EF ∥∥，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于（）A.103B.203C.52D.1523.如图，己知在Rt ABC △中，90,,ACB B CD AB β∠=︒∠=⊥，垂足为点D ，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是（）A.AD BDB.AC ABC.AD ACD.CD BC4.下列说法正确的是（）A.如果e为单位向量，那么||a a e=B.如果a b =-，那么abC.如果a b 、都是单位向量，那么a b =D.如果||||a b = ，那么a b= 5.抛物线22y x =向下平移3个单位长度后所得新抛物线的顶点坐标为（）A .(3,0)- B.(3,0) C.(0,3)- D.(0,3)6.如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果3AC BDOC OD==，且量得4cm CD =，则零件的厚度x 为（）A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm二、填空题：7.如果3(0)a b b =≠，那么a bb+=___________．8.化简：22(3)33a b b -+-=___________．9.已知2()2f x x x =+，那么(1)f 的值为___________．10.抛物线22y x =在对称轴的左侧部分是_________的（填“上升”或“下降”）．11.已知两个相似三角形的相似比为2:3，那么这两个三角形的面积之比为___________．12.设点P 是线段AB 的黄金分割点(),2AP BP AB >=，那么线段AP 的长是___________．13.在直角坐标平面内有一点(512)A ，，点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么sin θ的值为___________．14.已知D 、E 分别是ABC 的边AB 、AC 上的点（不与端点重合），要使得ADE V 与ABC 相似，那么添加一个条件可以为___________（只填一个）．15.已知一斜坡的坡角为30︒，则它坡度i=___________．16.如图，一艘船从A 处向北偏西30︒的方向行驶5海里到B 处，再从B 处向正东方向行驶8千米到C 处，此时这艘船与出发点A 处相距___________海里．17.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，9AB =，cot 2A =，点D 在边AB 上，点E 在边AC 上，将ABC 沿着折痕DE 翻折后，点A 恰好落在线段BC 的延长线上的点P 处，如果BPD A ∠=∠，那么折痕DE 的长为___________．18.阅读：对于线段MN 与点O （点O 与MN 不在同一直线上），如果同一平面内点P 满足：射线OP 与线段MN 交于点Q ，且12OQ OP =，那么称点P 为点O 关于线段MN 的“准射点”．问题：如图，矩形ABCD 中，4,5AB AD ==，点E 在边AD 上，且2AE =，联结BE ．设点F 是点A 关于线段BE 的“准射点”，且点F 在矩形ABCD 的内部或边上，如果点C 与点F 之间距离为d ，那么d 的取值范围为___________．三、解答题：19.)11311+cos308-⎛⎫-︒ ⎪⎝⎭．20.如图，已知ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，DE BC ∥，且DE 经过ABC 的重心，设,AB a AC b ==uuu r r uuu r r ．（1）DE =___________（用向量,a b 表示）；（2）求作：13a b +r r．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21.已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点A ，其顶点坐标为B ．（1）求直线AB 的表达式；（2）将抛物线223y x x =-++沿x 轴正方向平移(0)m m >个单位后得到的新抛物线的顶点C 恰好落在反比例函数16y x=的图像上，求ACB ∠的余切值．22.2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度10.6BD =米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．己知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A 处测得飞船底部D 处的仰角45︒，顶部B 处的仰角为53︒，求此时观测点A 到发射塔CD 的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin530.80,cos530.60,tan53 1.33︒≈︒≈︒≈）23.已知：如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别是边AC AB 、的中点，DF AC ⊥，DF 与CE相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G ．（1）求证：ABD ACE ∠=∠；（2）求证：2CD DG BD =⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线线2y ax bx =+经过(1,3)(2,0)A B -、，点C 是该抛物线上的一个动点，连接AC ，与y 轴的正半轴交于点D ．设点C 的横坐标为m ．（1）求该抛物线的表达式；（2）当32DC AD =时，求点C 到x 轴的距离；（3）如果过点C 作x 轴的垂线，垂足为点E ，连接DE ，当23m <<时，在CDE 中是否存在大小保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．25.如图1，点D 为ABC 内一点，联结,BD CBD BAC ∠=∠，以BD BC 、为邻边作平行四边形,DBCE DE 与边AC 交于点F ，90ADE ∠=︒．（1）求证：ABC ECF ∽；（2）延长BD ，交边AC 于点G ，如果CE FE =，且ABC 的面积与平行四边形DBCE 面积相等，求AGGF的值；（3）如图2，联结AE ，若DE 平分,5,2AEC AB CE ∠==，求线段AE 的长．第6页/共6页。

上海市2024届杨浦区中考数学一模

一、选择题1. 上海市2024届杨浦区中考数学一模将抛物线=y x 22向右平移3个单位，所得抛物线的表达式是（）A . =+y x 232)(B . =−y x 232)(C . =−y x 232D . =+y x 2322. 如果将一个锐角ABC 的三边的长都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正切值（）A . 扩大为原来的2倍B . 缩小为原来的21C . 没有变化D . 不能确定3. 已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP >BP ，那么下列等式能成立的是（）A . =AP BP AB AP B . =BP AP AB BP C. =BP AB D. =AP AB 4. 如果两个非零向量a 与b 的方向相反，且a b ≠，那么下列说法错误的是（）A . a b −与a 是平行向量B . a b −的方向与b 的方向相同C . 若2a b =−，则2a b =D . 若2a b =，则2a b =−5. 如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的C 处架起测角仪，测角仪的高CD =1.4米，从点D 测得教学大楼顶端A 的仰角为α，测角仪底部C 到大楼底部B 的距离是25米，那么教学大楼AB 的高是（）A . +α1.425sinB . +α1.425cosC . +α1.425tanD . +α1.425cot6. 如图，锐角ABC 中，AB >AC >BC ，现想在边AB 上找一点D ，在边AC 上找一点E ，使得∠ADE 与∠C 相等，以下是甲、乙两位同学的作法：（甲）分别过点B 、C 作AC 、AB 的垂线，垂足分别是E 、D ，则D 、E 即所求；（乙）取AC 中点F ，作⊥DF AC ，交AB 于点D ，取AB 中点H ，作⊥EH AB ，交AC 于点E ，则D 、E 即所求，对于甲、乙两位同学的作法，下列判断正确的是（）A . 甲正确乙错误B . 甲错误乙正确C . 甲、乙皆正确D . 甲、乙皆错误二、填空题7. 已知线段=a 3厘米，c =12厘米，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么b =____________厘米8. 计算：123a b b ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭2_____________ 9. 二次函数=−−y x x 342的图像与y 轴的交点坐标是____________10. 已知抛物线=−−−y m x x 2312)(的开口向上，那么m 的取值范围是____________ 11. 如果点−A y 5,1)(和点B y 5,2)(是抛物线=−+y x m 2（m 是常数）上的两点，那么y 1__________y 2 12. 在Rt ABC 中，∠ABC =90°，⊥BD AC ，垂足为点D ，如果AB =5，BD =2，那么cosC =____________13. 小华沿着坡度i =1:3的斜坡向上行走了____________米14. 写出一个经过坐标原点，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线的表达式，这个抛物线的表达式可以是____________15. 如图，在ABC 中，点G 是重心，过点G 作GD //BC ，交边AC 于点D ，联结BG ，如果ABC S=36，那么形边四=S BGDC ____________16. 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB 宽20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离是4米，如图建立直角坐标平面xOy ，如果水面上升了1米，那么此时水面的宽度是____________米（结果保留根号）17. 如图，已知ABC 与ABD 相似，∠ACB =∠ABD =90°，==AC BC ，BD <AB ，联结CD ，交边AB 于点E ，那么线段AE 的长是____________18. 如图，已知在菱形ABCD 中，=B 3cos 1，将菱形ABCD 绕点A 旋转，点B 、C 、D 分别旋转至点E 、F 、G ，如果点E 恰好落在边BC 上，设EF 交边CD 于点H ，那么DHCH 的值是_____________三、解答题19. 如图，已知在ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE //BC ，AB =15，=EC AE 32. （1）求AD 的长；（2）如果BF =4，CF =6，求四边形BDEF 的周长.20. 已知二次函数=−+−y x x 432.（1）用配方法将函数=−+−y x x 432的解析式化为=++y a x m k 2)(的形式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标；（2）设该函数的图像与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 左侧，与y 轴交于点C ，顶点记作D ，求四边形ADBC 的面积.21. 如图，在ABC 中，AB =AC =4，=B 4cos 1，AB 的垂直平分线交边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交BC 的延长线于点E .（1）求CE 的长；（2）求∠EFC 的正弦值.22. 周末，小李计划从家步行到图书馆看书，如图，小李家在点A 处，现有两条路线：第一条是从家向正东方向前进200米到路口B ，再沿B 的南偏东45°方向到图书馆D ；第二条是从家向正南方向前进600米到路口C ，再沿C 的南偏东60°方向到图书馆D ，假设小李步行的速度大小保持不变，那么选择哪条路线更快到达图书馆? ≈≈≈1.41 2.45）23. 已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，点E 在边AB 上，AC 与DE 交于点F ，∠ADE =∠DCA .（1）求证：⋅=⋅AF AC AE CD ；（2）如果点E 是边AB 的中点，求证：=⋅AB DF DE 22.24. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a =−−≠与x 轴交于点A 、点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，且AB =4.（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是线段BC 上一点，如果∠P AC =45°，求点P 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点D 平移至点E 处，过点E 作EF ⊥直线AP ，垂足为点F ，如果1tan 2PEF ∠=，求平移后抛物线的表达式.25. 如图，已知正方形ABCD ，点P 是边BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），点E 在DP 上，满足AE =AB ，延长BE 交CD 于点F .（1）求证：∠BED =135°；（2）联结CE .①当CE BF ⊥时，求BP PC的值； ②如果CEF 是以CE 为腰的等腰三角形，求∠FBC 的正切值.。

2022年上海市长宁区中考数学一模试题试卷(解析版)

2021-2022学年上海市长宁区九年级第一学期期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂）1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝c，那么BC的长为（）A．c•sinαB．c•tanαC．D．c•cotα2．如果向量与向量方向相反，且3||＝||，那么向量用向量表示为（）A．B．C．D．3．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（）A．2B．4C．D．4．抛物线y＝ax2+bx+c（其中a＞0、b＜0、c＞0）一定不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．下列命题中，说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似6．如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（）A．△ABE与△ECD相似B．△ABE与△AED相似C．D．∠BAE＝∠ADE二、填空题（本大题共12题，每颃4分，满分36分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．已知，那么的值为．8．抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标是．9．在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为千米．10．已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC＞BC，BC＝2，则AC＝．11．如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这两个三角形的面积之比为．12．点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则＝．13．如图，小明沿着坡度i＝1：2.4的坡面由B到A直行走了13米时，他上升的高度AC＝米．14．已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（ab＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抽物线于点B，若AB＝2，则点B坐标为．15．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如图，正方形ABCD中，F、G 分别是AD和AB的中点，若EF⊥AD，EF＝30，GH⊥AB，GH＝750，且EH过点A，那么正方形ABCD的边长为．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tan∠BAC＝，CD是斜边AB上的中线，点E是直线AC左侧一点，联结AE、CE、ED，若EC⊥CD，∠EAC＝∠B，则的值为．17．定义：在△ABC中，点D和点E分别在AB边、AC边上，且DE∥BC，点D、点E之间距离与直线DE与直线BC间的距离之比称为DE关于BC的横纵比．已知，在△ABC 中，BC＝4，BC上的高长为3，DE关于BC的横纵比为2：3，则DE＝．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝1，则BE＝．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．计算：cot30°﹣．20．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标．（2）填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是，平移后的抛物线表达式是．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE 交对角线AC于点F，若＝，＝．（1）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）22．如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米．求：（1）点A到地面的距离；（2）AB的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）23．如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，联结AE、BF，且AB•BD＝BC•BE．（1）求证：AD＝AE；（2）如果BF＝DF，求证：AF•CD＝AE•DF．24．抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），其顶点D的纵坐标为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ACB的正切值；（3）点F在线段CB的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求CF的长．25．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．（1）如图，如果OC＝2，求的值；（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）（每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂）1．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝c，那么BC的长为（）A．c•sinαB．c•tanαC．D．c•cotα【分析】根据锐角三角函数的正弦值计算即可．解：在Rt△ABC中，sin A＝，∴BC＝c•sinα故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握并区分锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．2．如果向量与向量方向相反，且3||＝||，那么向量用向量表示为（）A．B．C．D．【分析】由向量与向量方向相反，且3||＝||，可得，继而求得答案．解：∵向量与向量方向相反，且3||＝||，∴3＝﹣，∴．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到3＝﹣是解此题的关键．3．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（）A．2B．4C．D．【分析】根据平行线分线段成比例得到＝，即＝，可计算出BC，然后利用CE＝BE﹣BC进行计算．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CE＝BE﹣BC＝12﹣＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．抛物线y＝ax2+bx+c（其中a＞0、b＜0、c＞0）一定不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据已知条件“a＞0，b＜0，c＞0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象一定不经过第三象限．解：①∵a＞0、c＞0，∴该抛物线开口方向向上，且与y轴交于正半轴；②∵a＞0，b＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数图象的对称轴是直线x＝﹣＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的函数图象的对称轴在第一象限；综合①②，二次函数y＝ax2+bx+c的图象一定不经过第三象限．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．5．下列命题中，说法正确的是（）A．所有菱形都相似B．两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似C．三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍D．斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似【分析】利用菱形的性质、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．解：A、所有的菱形不相似，故错误，不符合题意；B、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意；C、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，故错误，不符合题意；D、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的性质、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性质等知识，难度不大．6．如图，点E是线段BC的中点，∠B＝∠C＝∠AED，下列结论中，说法错误的是（）A．△ABE与△ECD相似B．△ABE与△AED相似C．D．∠BAE＝∠ADE【分析】证明△BAE∽△CED，△ABE∽△AED，可得结论．解：∵∠AEC＝∠AED+DEC＝∠B+∠BAE，∠B＝∠AED，∴∠DEC＝∠BAE，∵∠B＝∠C，∴△BAE∽△CED，∴＝，∵BE＝CE，∴＝，∴＝，∵∠B＝∠AED，∴△ABE∽△AED，∴＝，故选项A，B，C正确，故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．二、填空题（本大题共12题，每颃4分，满分36分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．已知，那么的值为．【分析】由已知可得y＝2x，代入所求的代数式可得答案．解：∵，∴y＝2x，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查比例的基本性质，根据已知得到y＝2x是解题关键．8．抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【分析】利用顶点坐标公式直接求解．解：根据顶点坐标公式，得顶点横坐标为x＝＝0，纵坐标为y＝＝﹣1，即（0，﹣1）．【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．9．在比例尺为1：10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为0.5千米．【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，根据题意列出等式即可得出实际的距离．解：根据：比例尺＝图上距离：实际距离，设两地实际距离为x厘米，得：1：10000＝5：x，∴相距5厘米的两地的实际距离是5×10000＝50000（厘米）＝0.5（千米），故答案为：0.5．【点评】本题考查了比例线段．能够根据比例尺正确进行计算，注意单位的转换．10．已知点C是线段AB的黄金分割点，如果AC＞BC，BC＝2，则AC＝+1．【分析】先根据黄金比值为求出AB与AC的关系，再列式计算即可．解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，BC＝2，∴AC＝AB，∵AB﹣AC＝BC，∴AB﹣AB＝2，解得：AB＝3+，则AC＝AB﹣BC＝+1，故答案为：+1．【点评】本题考查的是黄金分割，熟记黄金比值为是解题的关键．11．如果两个相似三角形周长之比为3：2，那么这两个三角形的面积之比为9：4．【分析】已知了两个相似三角形的周长比，即可得到它们的相似比，由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解．解：∵两个相似三角形的周长之比为3：2，∴它们的相似比为3：2，∴它们的面积比为9：4，故答案为：9：4．【点评】此题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．12．点G是△ABC的重心，过点G作BC边的平行线与AB边交于点E，与AC边交于点F，则＝．【分析】连接AG交BC于点D，由EF∥BC，可得＝，又由G是△ABC的重心，可得＝，再由D是BC的中点，可得＝．解：连接AG交BC于点D，∵EF∥BC，∴＝，∵G是△ABC的重心，。

上海市2024届徐汇区中考数学一模

一、选择题1. 上海市2024届徐汇区中考数学一模下列抛物线中，对称轴为直线=x 1的抛物线的表达式是（）A . =+y x 12B . =−y x 12C . =+y x x 22D . =−y x x 222. 如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A (4,3)，直线OA 与x 轴正半轴的夹角为α，那么αsin 的值是（） A .53B .43 C .54 D .34 3. 下列两个三角形一定相似的是（） A . 两个直角三角形 B . 两个等腰三角形 C . 两个等边三角形D . 两个面积相等的三角形4. 如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，设,OA a OB b ==，那么向量,,,OC OD AB BC 关于,a b 的分解式中，下列结论正确的是（）A . OC a =B . OD b =−C . AB a b =−D . BC a b =+5. 进博会期间，从一架离地200米的无人机A 上，测得地面监测点B 的俯角是60°，那么此时无人机A 与地面监测点B 的距离是（） A.3米 B.3米 C . 200米D.6. 如图，点D 是ABC 内一点，点E 在线段BD 的延长线上，BE 与AC 交于点O ，分别联结AD 、AE 、CE ，如果==AB AC BCAD AE DE，那么下列结论正确的是（） A . CE //ADB . BD =ADC . ∠ABE =∠CBED . ⋅=⋅BO AE AO BC二、填空题7. 计算：︒−︒=2sin 60cot 30_____________8. 已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），如果AB =2，那么BP 的长是_____________9. 已知ABC DEF ，如果它们对应高的比=AM DN :，那么ABC 和DEF 的面积比是____________10. 在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD :AB =2:3，AE =4，CE =2，DE =3，那么BC 的长是____________11. 如图，AB //CD //EF ，如果AD =2，DF =1.5，CE =1.8，那么BE 的长是____________12. 如图，在Rt ABC 中，∠ABC =90°，⊥BD AC 于D ，如果BCD 和ABD 的面积比为9:16，CD =12，那么AB 的长是_____________13. 如图，一段东西向的限速公路MN 长500米，在此公路的南面有一监测点P ，从监测点P 观察，限速公路MN 的端点M 在监测点P 的北偏西60°方向，端点N 在监测点P 的东北方向，那么监测点P 到限速公路MN 的距离是______________米（结果保留根号）14. 将抛物线=−y x 2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B ，新抛物线与原抛物线交于点A （如图所示），联结OA 、AB ，如果AOB 是等边三角形，那么点B 的坐标是____________15. 如图，在ABC 中，AD 和BE 是ABC 的高，且交于点F ，已知AB =13，BC =15，AC =14，那么∠AFE 的正切值是_____________16. 中国古代数学书《御制数理精蕴》中有一道题大意如下：如图，从前有一座方城，四面墙的中间都有城门，出南门后往前直走8里到宝塔A 处（即EA =8里），出西门往前直走2里到B 处（即DB =2里），此时，视线刚好能紧靠城墙角C 看见宝塔A ，如果设正方形的中心为O ，点O 、D 、B 在一直线上，点O 、E 、A 在一直线上，那么这座方城每一面的城墙长是____________里17. 在ABC 中，AB =AC =6，BC =4，如果将ABC 绕着点B 旋转，使得点C 落在边AC 上，此时，点A 落在点A '处，联结AA '，那么AA '的长是____________18. 如图，在ABC 中，∠BAC =90°，==AB AC ，如果点P 在ABC 的内部，且满足∠APC =∠BPC =135°，那么CP 的长是____________三、解答题19. 已知：=b a 52. （1）求代数式−+a ba b234的值；（2）当+−=a b 23335时，求a b ,的值.20. 已知抛物线=−++y x bx 32与y 轴交于点C ，与x 轴交于点−A 1,0)(和点B ，顶点为D .（1）求此抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结CD 、BD ，求∠CDB 的余弦值.21. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BD 平分∠ABC ，CD =BD =8，AB =5. （1）求BC 的长；（2）设,AB a BC b ==，求向量BD （用向量,a b 表示）个斜坡CD ，首先在斜坡CD 的底端C 测得高楼顶端A 的仰角是60°，然后沿斜坡CD 向上走到D 处，再测得高楼顶端A 的仰角是37°，已知斜坡CD 的坡比是i =1:6，斜坡CD 的底端C 到高楼AB 底端B 22. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一的距离是B 、C 、E 三点在一直线上（如图所示），假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题：（1）求高楼AB 的高度；（2）求点D 离地面的距离（结果精确到0.1米）（参考数据：︒≈︒≈︒≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73）23. 如图，在ABCD 中，点E 在边AB 上，=⋅DE AE CD 2. （1）求证：⋅=⋅AD CD CE DE ；（2）当点E 是边AB 的中点时，分别延长DE 、CB 交于点F ，求证：=AB EF 222.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第二象限的点M 在抛物线=>y ax a 02)(上，点M 到两坐标轴的距离都是2.（1）求该抛物线的表达式；（2）将抛物线=>y axa 02)(先向右平移23个单位，再向下平移k (k >0)个单位后，所得新抛物线与x 轴交于点A (m ,0)和点B (n ,0)，已知m <n ，且=−mn 4，与y 轴负半轴交于点C . ①求k 的值； ②设直线=−y x 34与上述新抛物线的对称轴的交点为D ，点P 是直线=−y x 34上位于点D 下方的一点，分别联结CD 、CP ，如果∠=PCD 4tan 3，求点P 的坐标.25. 如图，在Rt ABC 中，∠BAC =90°，==AB AC D 是边AB 上的动点（点D 不与点B 重合），以CD 为斜边在直线BC 上方作等腰直角三角形DEC . （1）当点D 是边AB 的中点时，求∠DCB sin 的值；（2）联结AE ，点D 在边AB 上运动的过程中，∠EAC 的大小是否变化? 如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠EAC 的大小；（3）设DE 与AC 的交点为G ，点P 是边BC 上的一点，且∠CPD =∠CGD ，如果点P 到直线CD 的距离等于线段GE 的长度，求CDE 的面积.一、选择题1. D2. A3. C4. B5. B6. 参考答案D二、填空题7. 08. 3 9. 2:9 10.29 11. 4.2 12. 38013. 25014. )( 15. 3416. 8 17. 418.三、解答题19.（1）−2；（2）==a b 4,1020.（1）=−++y x x 232；D （1,4）；（2）1021.（1）564；（2）25BD a b =−+64 22.（1）60米；（2）6.2米 23. 证明略 24.（1）=y x 212；（2）①825，②⎝⎭⎪−⎛⎫P 77,243225.（1）10；（2）45°；（3）−8。