关系代数表达式总结-数据库
关系代数等价变换规则
投影关于 笛 卡尔乘积 的 分配公式 ： 设 E1 和 E2 是两个关 系代数表 达 式， A1,A2,…,An 是 E1 的属性变元，B1,B2,…,Bm 是 E2 的属性变元，则如下等价公 式成立： ∏A1,A2, ,An,B1,B2, ,Bm (E1 × E2) ≡ ∏ A1,A2, ,An (E1) × ∏ B1,B2, ,Bm (E2)
34
数据库理论及应用基础
3. 笛卡尔乘积与连接间的转换公式 设 E1 和 E2 是两个关系代数表达式， A1,A2,…,An 是 E1 的属性变元，B1,B2,…,Bm 是 E2 的属性变元，F 为形如 E1AiE2Bj 所组成的合取式，则如下等价公式成立： σ F (E1 × E2) ≡ E1 E2
σ F1∧ F2 (E)) ≡ σ F1 (σ F2 (E))
数据库理论及应用基础
33
(2) 投影运算串接公式 设 E 是一个关系代数表达式，B1,B2,…,Bm 是 E 中的某些属性名，而{A1,A2,…,An} 是{B1,B2,…,Bm}的子集，则以下等价公式成立： ∏A1,A2, An ( ∏ B1,B2, Bm (E)) ≡ ∏B1,B2 Bm (E)
F
例 4-2 我们可以将例 4-1 中表达式 Q1 转化成 Q2，同时也可以将 Q2 转化为 Q3。 用选择的串接等价公式将 Q1 转化为 Q*2： ∏ Sn (σ S.S#=SC.S# ∧SC.C# =C5(S × SC))= ∏Sn (σ SC.C#=C5 (σ S.S#=SC.S# (S × SC)) 用笛卡尔乘积与连接运算的转换公式将 Q*2 转换为 Q2： ∏ Sn (σ SC.C#=C5 (σ S.S#=SC.S# (S × SC)) ≡ ∏Sn (σ SC.C#=C5 (S SC)) 用选择运算与笛卡尔乘积交换公式，将 Q2 转化成 Q3： ∏ Sn (σ SC.C#=C5 (S SC) ≡ ∏Sn (S σ SC.C#=C5 (SC))
关系数据库关系代数运算
• 是一种抽象的查询语言
SQL
• 介于关系代数和关系演算之间 • 集DDL、DML和DCL一身的关系数据语言
2.2 关系数据结构的形式化定义
关系模型建立在集合代数基础上，从集合论角度讨论 关系的形式化定义
定义1：域(Domain)－形式化表示为D
• 一组具有相同数据类型的值的集合，如整数、实数等。定义
张三 女
802
李四 男
803
王五 男
804
赵六 女
805
钱七 男
01
19
01
20
01
20
02
20
02
19
专业号 01 02 03
专业名 信息 数学 计算机
关系间的引用
例2 学生、课程、学生与课程之间的多对多联系
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 课程（课程号，课程名，学分） 选修（学号，课程号，成绩）
外码说明
关系R和S不一定是不同的关系 目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必
须定义在同一个（或一组）域上 关于取名
外码并不一定要与相应的主码同名 当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取
相同的名字，以便于识别
参照完整性举例
例１：学生实体与专业实体间的关系： 外码 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 专业（专业号，专业名）
04
90
04
88
关系间的引用
例3 学生实体及其内部的领导联系(一对多)
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
学号
801 802 803 804 805
姓名
张三 李四 王五 赵六 钱七
性别
女 男 男 女 男
《数据库原理及应用》-关系代数操作复习
关系代数操作复习实例：职工（职工编号，职工姓名，年龄，性别）；E(ENO ,ENAME,AGE,SEX)；社团（社团编号，社团名称）；C(CNO ,CNAME)；参加（职工编号，社团编号，参加时间）；EC(ENO ,CNO,TIME)；说明：（1）加粗的为主键；（2）参加表中的职工编号参照职工表中的职工编号，参加表中的社团编号参照社团表中的社团编号写出如下检索关系代数表达式：(1)检索年龄在30到50岁之间的职工编号和职工姓名AGE '30'AGE '50',((E))ENO ENAME σ>=∧<=∏(2)检索年龄在30到50岁之间的职工参加的社团名称AGE '30'AGE '50'((E C EC))CNAME σ>=∧<=∞∞∏(3)检索参加‘妇女之家’的职工编号''(())CNAME ENO C EC σ=∞∏妇女之家(4)检索参加‘书法社’或‘篮球队’的职工姓名''''AME ((E C EC))CNAME CNAME EN σσ=∨=∞∞∏书法社篮球队(5)检索既参加‘书法社’又参加‘篮球队’的职工姓名''''AME AME ((E C EC))((E C EC))CNAME CNAME EN EN σσ==∞∞∞∞∏∏ 书法社篮球队注意：不能将结果写成：''''AME ((E C EC))CNAME CNAME EN σσ=∧=∞∞∏书法社篮球队不能使指定的社团名称既是‘书法社’又是‘篮球队’。
假设社团表的信息如下：‘篮球队’，从表格中可以看出一个名称对应一个编号！(6)检索‘2014’年参加社团的职工信息'2014'NO,ENAME,AGE,SEX ((C EC))TIME E σ=∞∏(7)检索‘王小毛’参加的社团名称ENAME ''CNAME ((E C EC))σ=∞∞∏王小毛(8)检索没有参加任何社团的职工编号ENO ENO (E)-(EC)∏∏(9)检索没有参加‘篮球队’的职工姓名CNAME=''ENAME ENAME (E)-(E C EC )σ∞∞∏∏篮球队（）。
数据库关系代数表达式学习
数据库关系代数表达式学习关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
关系运算----关系代数
R − S = {t | t ∈ R ∧ t ∉ S} 式中“－”为差运算符，t 为元组变量，结果 R-S 为一个新的与 R、S 同类的关系，该 关系是由属于 R 而且不属于 S 的元组构成的集合，即在 R 中减去与 S 中相同的那些元组。
c1
d1
a1
b1
c2
d2
a3
b3
c1
d1
a3
b3
c2
d2
图 2.12 关系 P1×R、P2×R 和 P3×R
3. 关系的联结——广义笛卡尔乘积运算
查询常常需要由多个关系生成一个新的关系。为了有效处理这种情况，引入广义笛卡尔 乘积运算。
设有关系 R、S，其中关系 R 有 r 个属性分量、m 个元组，关系 S 有 s 个属性分量、n 个元组，则二者的广义笛卡尔乘积(Cartesian Product)运算定义为：
2. 关系元组选定——选择运算
为了完成关系元组的选择，引入选择运算。 选择(Selection)也是一元关系运算，用于选取某个关系上我们感兴趣的某些行(满足一定 的条件的行)，并且将它们组成一个新的关系。
Sn
Sa
刘刚
21
Class 2003A
王建
22
张华
21
李倩
20
2003A 2003A 2003A
A
B
C
a1
b1
c1
a1
b2
c2
a1
b2
c2
a2
b2
c1
a2
b2
c1
a2
b2
数据库期末复习资料-关系代数补充例题
2021/3/18
4
3. 关系代数表达式
关系代数表达式是由关系和关系运算符通过有限次 连接组成的表达式，用以表示对数据库数据的一组查询。
实例 对关系：s(sno,sname,sex)、c(cno,cname)、sc(sno,cno,score)， 用关系代数表达式表示以下查询，并写出相应的T-SQL语句。
用这种方法解决选修所有课程的学生202131811相信梦想是价值的源泉相信眼光决定未来的一切相信成功的信念比成功本身更重要相信人生有挫折没有失败相信生命的质量来自决不妥协的信念
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
例题
关系代数
2021/3/18
2
关系代数
关系代数是关系型数据库的重要理论基础。关系数据库系统 采用数学方法处理数据库中的数据，是建立在严密的数学理论基 础上的一种数据组织与存储方式。
单字段用not in 否则用not exists
或 SELECT sno FROM s WHERE NOT EXISTS
(SELECT * FROM sc WHERE sc.sno=s.sno AND cno='c001')
2021/3/18
7
实例3
查询选修“数据库应用”课程的学生的学号 关系代数表达式：
1001 c001 1001 c001
SELECT DISTINCT sc1.sno
1001 1001
c001 c001
1001 1003
c002 c001
√
FROM sc AS sc1,sc AS sc2 WHERE sc1.sno=sc2.sno AND o<>o
数据库关系代数
R S {trts | tr R ts S}
RS
AB
C
a1 b1 c1
a1 b2 c2
a2 b2 c1
a1 b3 c2
码．
( Sno
Cno = ‘1’
(SC))
2)在学以生上号S码-C．数据Sno库( 中C，no查= ‘询1’选v 修Cno了=‘13’号课程或3号课程的
(SC))
Sno( Cno = ‘1’ (SC)) U
( Sno
Cno = ‘1’
(SC))
关系代数：综合应用
2)查询选修了２号课程的学生的学号
19
IS
95004 张立 男
19
IS
Sno Sname Ssex Sage Sdept
95002 刘晨 女
19
IS
95003 王敏 女
18
MA
95004 张立 男
19
IS
关系代数：投影
定义：从关系R中选择出满足条件F的若 干属性列并组成新的关系，列选
F(R) {t[A] | t R}
A2，…，An中的一部分，则A称为属性列或域列 t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组t在属性列A上
诸分量的集合
A 则表示{A1，A2，…，An}中去掉{Ai1，Ai2，…，Aik}
后剩余的属性组
传统的集合运算 若R和S是同类关系(即它们都具有n个属性且相应属性
第四步：判断包含关系
关系代数表达式的优化
1.2关系代数表达式的优化算法 1.优化算法
利用优化策略再结合等价变换规则我们 可以得到一个优化算法。 算法：关系代数表达式的优化。 输入：一个关系代数表达式的查询树。 输出：一个优化后的查询树。
2.优化步骤：
①利用规则（4），将查询树中的每个选择运算变成 选择串。
②利用规则（4）～（8）把查询树中的每一个选择 运算尽可能地移近树的叶节点。
③利用规则（3）、（5）、（9）、（10），把查询 树中的投影运算均尽可能地移近树的叶节点。若 某一投影是针对某一表达式中的全部属性，则可 消去这一投影运算。
④利用规则（3）～（5），把选择和投影运算合并 成单个选择、单个投影、选择后跟随投影等三种 情况。
⑤对经上述步骤后得到的查询树中的内部节点分组。 ⑥找出查询树中的公共子树Ti，并用该公共子树的
结果关系Ri代替查询树中的每一个公共子树Ti。 ⑦输出经优化后的查询树。
1.3关系代数表达式的优化策略 结合上面的变换规则和优化算法，下面给出三个简
实用的优化策略： 1）将选Байду номын сангаас尽可能转向叶结点。即尽可能先做选择运
算。在优化策略中这是最重要、最基本的一条。 2）合并可能的投影 3）将投影尽可能转向叶结点
数据库原理与应用
关系代数表达式的优化
1.1关系代数表达式的等价变换规则 （1）连接、笛卡儿积交换律 （2）连接、笛卡儿积的结合律 （3）投影的串接定律 （4）选择的串接定律 （5）选择与投影的交换律
（6）选择和笛卡儿积的交换律 （7）选择与并的交换 （8）选择与差的交换 （9）投影与笛卡儿积的交换 （10）投影与并的交换
数据库原理与应用
用关系代数表达式表达查询
(1)检索“程军”老师所授课程的课程号（C#）和课程名（CNAME）答：∏课程号，课程名（σTEACHER=“程军”（C））
(2)检索年龄大于21的男学生学号（S#）和姓名（SNAME）。
答：∏学号，姓名（σ性别=“男”∧年龄>21(S)）
(3)检索至少选修“程军”老师所授全部课程的学生姓名（SNAME）。
答：∏姓名(σTEACHER=“程军”（C）∞SC∞∏学号，姓名（S）)
（4）检索“李强”同学不学课程的课程号（C#）。
答：∏课程号（C）-∏课程号(σ姓名=“李强”（ SC ∞S）)
（5）检索至少选修两门课程的学生学号（S#）。
答：∏学号(σ课程号=“K1”∨课程号=“K5”(SCхC))
（6）检索全部学生都选修的课程的课程号（C#）和课程名（CNAME）。
答：∏学号，课程号，课程名（SC∞C）÷∏学号（S）
(7)检索选修课程包括“程军”老师所授课程之一的学生学号（S#）。
答：∏学号，课程号（SC）÷∏课程号（σTEACHER=“程军”（C））
(8)检索选修课程号为K1和K5的学生学号（S#）。
答：σ课程名=k1∨课程号=k5(S)
(9)检索选修全部课程的学生姓名（SNAME）。
答：∏姓名(S∞（∏课程号，学号（SC）÷∏课程号（C）)）
(10)检索选修课程包含学号为2的学生所修课程的学生学号（S#）。
答：∏学号(C∞（σ学号=“2”(SC）)
(11)检索选修课程名为“C语言”的学生学号（S#）和姓名（SNAME）。
答：∏学号，姓名（S∞SC∞（σ课程名=“C语言”（C）））。
关系代数表达式总结-数据库
关系代数表达式总结一、并例1 求选修了课程号为1或2的课程的学生学号。
分析：可以先求出选修了课程号为1的课程的学生学号，再求出选修了课程号为2的课程的学生学号，最后使用并运算的方法求出选修课程号为1或2的课程的学生学号.本例也可以使用或条件来表示。
πSno（σCno=’1’（SC))∪πSno(σCno='2’（SC））或πSno(σCno=’1'∨ Cno='2’(SC))二、交例2 检索至少选修课程号为2和3的课程的学生学号。
分析：方法一:只涉及到一个表,但不能直接用∧（为什么？)特别注意，本例不能写为：πSno（σCno=’2’∧ Cno=’3’（SC)）因为选择运算为行运算，在同一行中Cno不可能既为2,又为3。
第一步：转换（SC×SC）笛卡尔积将垂直的条件展开为水平的条件。
SC1 SC2选修课程号为2和3的学生：σ1=4∧2=’2’∧ 5=’3’（SC×SC)最后取出学生的学号:π1（σ1=4∧2=’2'∧ 5=’3'（SC×SC）)方法二：πSno(σCno=’2’(SC））∩πSno(σCno=’3’（SC））三、差例3 将学生信息(‘95001’，’李勇’,‘男’，20，‘CS’)从Student表删除。
分析：可以将这行数据看成由一个元组构成的表，将Student表与该表进行差运算。
因此,该删除操作可表示为：Student-{‘95001’,’李勇'，‘男’,20，‘CS’}注意:但是当查询涉及到否定或全部值时，上述形式就不能表达了,就要用到差操作或除操作。
例4 求没有选修课程号为2的课程的学生学号。
分析：可以认为是在全部学号中去掉选修课程号为2的课程的学生学号，就得出没有选修课程号为2的学生学号。
由于在并、交、差运算中，参加运算的关系要求是兼容的,故应当先投影，再进行差运算。
πSno(Student）—πSno(σCno=’2’(SC）)特别注意，本题不能写为：πSno(σCno≠’2’(SC)）。
数据库系统及应用-关系代数
关系代数
系代数
概述 传统的集合运算 专门的关系运算
数据库原理
1-2
关系模型与其他模型相比，最有特色的是它的数据库 语言。
这种语言灵活方便、表达能力和功能都很强。 目前关系数据库所使用的语言一般都具有定义、查询、
更新和控制一体化的特点，而查询是最主要的部分。 所以说，关系数据库的核心部分是查询，故又称为查
A
B
C
S a1
b2
c2
a1 b3 c2
a2 b2 c1
1-8
并
A
B
C
a1 b1 c1
R∪S a1 b2 c2
a1 b3 c2
a2 b2 c1
数据库原理
A
B
C
a1 b1 c1
R
a1 b2 c2
a2 b2 c1
A
B
C
S a1
b2
c2
a1 b3 c2
a2 b2 c1
1-9
差
A
B
C
R-S a1
b1
c1
数据库原理
交（Intersection）
– 关系R与关系S的交由既属于R又属于S的元 组组成，即R与S中相同的元组，组成一个新 关系，其结果仍为n目关系。记作：
–
R∩S={t|t∈Rt∈S}
– 如果两个关系没有相同的元组，那么它们的 交为空。
– 两个关系的并和差运算为基本运算（即不能 用其他运算表达的运算），而交运算为非基 本运算，交运算可以用差运算来表示：
Zx={t[Z]|t R，t[X]=x}
它表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集
合。
x1在R中的象集 Zx1={Z1,Z2,Z3} x2在R中的象集 Zx2={Z2,Z3}
关系数据库与应用(第02章关系模型与关系代数)
接条件。 连接操作可以基于一个或多个条件，用于将两个
03
关系的元组组合在一起。 连接操作可以产生新的关系，包含两个关系的所
04
有元组。
除法操作
除法操作是用来处理具有除 法语义的关系运算。
除法操作可以用于处理具有除法 语义的问题，例如找出在某些条 件下的共同元素。
ABCD
除法操作的表示方法是在两 个关系的名称之间放置一个 斜线（/）。
优化前
优化后
PA R T. 0 5
单击此处添加标题
关系代数与SQL的关系
SQL与关系代数的联系
数据操作语言
关系代数和SQL都用于对关系数据库中的数据进 行操作。
查询语言
关系代数和SQL都提供了查询数据的方法。
集合操作
关系代数和SQL都使用集合操作，如并、交、差 等。
SQL与关系代数的差异
语法
01
低系统的负载和成本。
提高用户体验
快速、高效的查询响应可 以提升用户的使用体验，
提高系统的满意度。
关系代数优化的方法
选择运算的优化
通过减少选择条件的数量、使用索引等方法， 减少选择运算的开销。
投影运算的优化
合理安排投影列的顺序，减少数据传输量，提 高投影运算的效率。
Байду номын сангаас
连接运算的优化
采用合适的连接策略，如嵌套循环连接、哈希 连接等，以降低连接运算的复杂度。
SQL的语法更直观，更接近自然语言，而关系代数的语法
更抽象。
功能
02
SQL除了数据操作外，还支持数据定义和数据控制等功能，
而关系代数主要关注数据操作。
应用领域
03
SQL广泛应用于实际的关系数据库管理系统，而关系代数
关系代数表达式模糊匹配运算符
关系代数表达式模糊匹配运算符
关系代数是数据库管理系统中的重要概念，用于描述数据之间的关系和操作。
模糊匹配运算符是一种用于模糊查询的操作符，它允许在数据库中进行模糊搜索，而不仅仅是精确匹配。
在关系代数中，模糊匹配运算符通常用于对字符串数据进行模糊匹配。
常见的模糊匹配运算符包括通配符（如 %）和模糊匹配函数（如 LIKE）。
通配符可以代表零个或多个字符，而模糊匹配函数则可以根据指定的模式进行匹配。
举个例子，如果我们有一个包含产品名称的表，我们可以使用模糊匹配运算符来查找所有包含特定字母或单词的产品。
比如，我们可以使用"SELECT FROM 产品表 WHERE 产品名称 LIKE '%手机%'"来查找所有包含“手机”这个词的产品。
除了 LIKE 运算符外，有些数据库管理系统还提供了其他模糊匹配函数，如 REGEXP（正则表达式匹配）等，这些函数可以更灵活地进行模糊匹配操作。
总的来说，模糊匹配运算符在关系代数中是非常有用的，它可
以帮助我们进行更灵活和广泛的数据搜索和匹配操作。
通过合理地运用模糊匹配运算符，我们可以更准确地找到我们需要的数据，提高数据库查询的效率和准确性。
数据库关系代数
数据库关系代数
1、并，设有两个关系R和S，它们具有相同的结构，R和S的并是由属于R 或属于S的元组组成的集合；
2、差，R和S的差是由属于R但不属于S的元组组成的集合；
3、笛卡尔积，两个集合X和Y的笛卡尓积，又称直积，表示为X与Y相乘，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员；
4、选择，从关系中找出满足给定条件的那些元组称为选择；其中的条件是以逻辑表达式给出的，值为真的元组将被选取；
5、投影，从关系模式中挑选若干属性组成新的关系称为投影。
关系代数表达式_范文模板及概述说明
关系代数表达式范文模板及概述说明1. 引言1.1 概述关系代数是计算机科学中用于描述、查询和操作关系型数据的一种形式化语言。
它以代数运算为基础，通过使用一组定义良好的运算符，能够对关系进行各种操作并生成新的关系。
在数据库领域，关系代数广泛应用于数据库查询优化、数据集成和数据处理等方面。
本篇文章旨在探讨关系代数表达式的概念、结构和应用。
我们将介绍关系代数基础知识和常用运算符，以及关系代数表达式在实际应用中的作用和意义。
1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、关系代数表达式概述、关系代数表达式范文模板介绍、编写关系代数表达式的要点和技巧，以及结论与展望。
除引言外，第二部分将详细介绍关系代数的基础知识和运算符，并探讨其在实际场景中的应用。
第三部分将向读者展示一个范文模板，并对其结构进行说明。
第四部分则重点讲解如何编写有效的关系代数表达式，涵盖确定查询需求、选择合适运算符和方法，以及优化简化表达式的要点和技巧。
最后，第五部分将总结全文，并对关系代数表达式的未来发展进行展望和思考。
1.3 目的本文的目的是帮助读者深入了解关系代数表达式，并提供范文模板和编写技巧，以便读者能够熟练应用关系代数进行数据查询和操作。
此外，通过对关系代数表达式的探讨，我们也希望能够加深对关系型数据模型和数据库理论的理解，并推动相关领域在未来的研究和应用发展。
2. 关系代数表达式概述：2.1 关系代数基础知识关系代数是一种用于查询和操作关系型数据库的形式化语言。
它基于关系模型，通过使用运算符对关系进行操作，从而实现数据的查询和变换。
关系代数包括一组运算符，如选择（σ）、投影（π）、并（∪）、差（-）等。
在关系代数中，数据存储在二维表格中的记录形式。
每个表格都有一个列头定义列名称，并且每条记录由相同数量的字段组成。
通过使用运算符对这些表格进行操作，我们可以得到新的结果表格。
2.2 关系代数运算符关系代数提供了各种运算符来处理和操作关系。
关系代数全解
因为关系被解释为某个谓词的外延，关系代数的每个运算在谓词演算中都有对应者。
例如，自然连接是逻辑AND()的对应者。
如果关系R和S分别表示谓词p1和p2的外延，那么R和S的自然连接(R S)是表示谓词p1p2的外延的关系。
R S = {r s| r R, s S}它们一定不能有公共属性名字。
投影(π)投影是写为的一元运算，这里的是属性名字的集合。
这种投影的结果定义为当所有在中的元组被限制为集合的时候所获得的集合。
选择(σ)广义选择是写为 的一元运算，这里的 是由正常选择中所允许的原子和逻辑算子(与)、(或) 和 (非)构成的命题公式。
这种选择选出中使成立的所有元组。
重命名 (ρ)重命名是写为 的一元运算，这里的结果同一于 ，除了在所有元组中的 字段被重命名为 字段之外。
它被简单的用来重命名关系的属性或关系自身。
连接和类似连接的运算自然连接 (⋈)自然连接是写为 (R ⋈S ) 的二元运算，这里的 R 和 S 是关系。
[1]自然连接的结果是在 R 和 S 中的在它们的公共属性名字上相等的所有元组的组合。
例如下面是表格“雇员〞和“部门〞和它们的自然连接:雇员Nam eEmp IdDeptNa me部门 DeptNa meMana ger雇员 ⋈ 部门Nam eEmp IdDeptNa meMana gerHarry 3415 财务Sally 2241 销售George3401 财务Harriet 2202 销售财务George销售Harriet生产CharlesHarry 3415 财务GeorgeSally 2241 销售HarrietGeorge3401 财务GeorgeHarriet2202 销售Harriet连接是关系复合的另一种术语；在范畴论中连接准确的是纤维积。
自然连接被确证为最重要的算法之一，因为它的逻辑AND 的关系对应者。
仔细注意如果同一个变量在用AND 连结的两个谓词中出现，那么这个变量表示一样的事物而两个出现必须总是由同一个值来代换。
数据库 第二章 关系代数
名称 奶粉 火腿 白糖
厂家 地北 西山 北山
不合格商品表Ｓ
表 本店商品表Ｒ
2013-5-22 18
① 本店中的合格商品表
品牌 106001 205008 302034
名称 奶粉 白糖 食盐
表 新关系Ｒ－Ｓ
厂家 天南 南山 西山
2013-5-22
19
② 本店内不合格的商品表
品牌 103026
名称 奶粉
2013-5-22
37
一般的连接操作是从行的角度进行运算。
R
S
AθB
自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和 列的角度进行运算。
2013-5-22 38
例：
A a1 a1 a2 a2
B b1 b2 b3 b4
C 5 6 8 12
B b1 b2 b3
b3 b5 S
E 3 7 10
2 2
R
2013-5-22
2013-5-22
7
例：
通过并运算，可以实现关系数据库中记录的插入
2013-5-22 8
参加并操作的两个关系必须满足如下条件： 两个关系具有相同数目的属性，即属性集相同 两个关系的各个属性的类型（即域）必须匹配 两个关系的属性次序完全相同。如果它们的次 序不同，那么在进行并操作之前，必须对两个 关系的列进行排序。
2.7.4
投影（Projection）
关系R上的投影运算：从R中选择若干属性列形成 新的关系，即对关系R进行垂直分割，获取一个 可能包含有重复行的表，然后删去重复的元组， 形成新的关系，其结果关系是列的子集。 A(R) = {t[A]|t∈R} 其中A为R关系属性集的子集
用关系代数表示数据查询的典型例子
用关系代数表示数据查询的典型例子[例]设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)下面用关系代数表达式和SQL语句分别表达每个查询语句。
(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。
πSNO，GRADE(σCNO=’C2′(SC))SELECT SNO, GRADEFROM SCWHERE CNO=‘C2’(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名πSNO，SNAME(σCNO=’C2′(S SC))由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。
此查询亦可等价地写成：πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO=’C2′(SC))）这个表达式中自然连接的右分量为”学了C2课的学生学号的集合”。
这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。
SELECTSNO,SNAME FROM S WHERE EXISTS(SELECT * FROM SCWHERESNO=S.SNO ANDCNO=‘C2’)（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。
πSNO，SANME(σCNAME=’MATHS’(S SC C)) SELECT S.SNO, SNAMEFROM S, SC,CWHERE S.SNO=SC.SNO AND O=OAND CNAME=‘MATHS’（4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。
πSNO(σCNO=’C2’∨CNO=’C4′(SC)) SELECT S.SNO, SNAMEFROM S, SC,CWHERE S.SNO=SC.SNO AND O=OAND CNAME=‘MATHS’（5）检索至少选修课程号为C2或C4的学生学号。
π1(σ1=4∧2=’C2’∧5=’C4′（SC×SC）) SELECTSNOFROM SC AS X, SC AS YWHERE X.SNO=Y.SNO AND O=‘C2’AND O=‘C4’这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果关系中的属性序号。
第2章 关系代数与关系数据库理论
01 传统的集合运算（举例）
R和S ➢ 具有相同的目n（即两个关系都有n个属性） ➢ 相应的属性取自同一个域
23
01 传统的集合运算（举例）
24
关系代数及其运算
关系的数学定义 关系代数概述 传统的集合运算 专门的关系运算
01
PART ONE
01 专门的关系运算
专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。 为了叙述上的方便，先引入几个记号： (1)设关系模式为R(A1，A2，…，An)，它的一个关系设为R， t∈R 表示t是R的一个元组，t[Ai]表示元组t中相应于属性Ai 上的一个分量。 (2)若A={Ai1，Ai2，…，Aik}，其中Ai1，Ai2，…，Aik是A1， A2，…，An中的一部分，则A称为字段名或域列。 t[A]=(t[Ai1]，t[Ai2]，…，t[Aik])表示元组 t 在字段名 A 上诸 分量的集合。 Aഥ 表示{A1，A2，…，An)中去掉{Ai1，Ai2，…， Aik}后剩余的属性组。
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01 关系的数学定义
➢ 基数（Cardinal number） • 若Di（i＝1，2，…，n）为有限集，其基数为 mi（i＝1，2，…，n} • 则D1×D2×…×Dn的基数M为：
➢ 笛卡尔积的表示方法 • 笛卡尔积可表示为一个二维表。 • 表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一 个域。
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例1：查询学生的学号和姓名。 ➢πSno，Sname(Student)或π1，2(Student) ➢ 查询结果：
37
01 专门的关系运算
连接（Join） ➢ 连接也称为θ连接 ➢ 连接运算的含义： • 从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 件的元组 • A和B：分别为R和S上度数相等且可比的属性组 • θ：比较运算符 ➢ 从R和S的笛卡尔积R×S中选取R关系在A属性组上的值 与S关系在B属性组上的值满足比较关系θ的元组。
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关系代数表达式总结一、并例1 求选修了课程号为1或2的课程的学生学号。
分析：可以先求出选修了课程号为1的课程的学生学号，再求出选修了课程号为2的课程的学生学号，最后使用并运算的方法求出选修课程号为1或2的课程的学生学号。
本例也可以使用或条件来表示。
n Sno ( o Cno二’1' (SC)) U n Sno ( o Cno二'2 ' (SC))或n Sno ( oCno= ' 1 'V Cno= ' 2' (SC))例2检索至少选修课程号为 2和3的课程的学生学号。
分析：方法一：只涉及到一个表，但不能直接用人(为什么？)特别注意，本例不能写为：n Sno( oCno= ' 2' A Cno=' 3' (SC))因为选择运算为行运算，在同一行中Cno不可能既为2，又为3。
第一步：转换(SC X SC)笛卡尔积将垂直的条件展开为水平的条件。
选修课程号为2和3的学生：(71=4 人2= ' 2'人5= ' 3' (SC X SC)最后取出学生的学号：n i( 01=4 人2= ' 2 '人5= ' 3' (SC X SC))方法二：n Sno( oCno= ' 2' (SC)) Qn no ( o Cno= ' 3' (SC))三、差例3将学生信息(‘ 95001 '，'李勇’，‘男’，20，‘ CS')从Student表删除。
分析：可以将这行数据看成由一个元组构成的表，将Student表与该表进行差运算。
因此，该删除操作可表示为：Student-{ '95001 '李勇'，’男'，20 , ‘ CS' }注意：但是当查询涉及到否定或全部值时，上述形式就不能表达了，就要用到差操作或除操作。
例4求没有选修课程号为 2的课程的学生学号。
分析：可以认为是在全部学号中去掉选修课程号为2的课程的学生学号，就得出没有选修课程号为 2的学生学号。
由于在并、交、差运算中，参加运算的关系要求是兼容的，故应当先投影，再进行差运算。
n Sno (Stude nt)- n Sno ( o Cno=' 2' (SC))特别注意，本题不能写为：n Sno ( o Cno ±2 ' (SC))。
因为，选择运算为行运算，并且SC 表中包含的只是选修了课程的学生学号，对那些没选任何课程的学生学号，在SC中找不到。
根据题意，要查询没有选修课程号为’2'课程的学生学号，显然包括没选任何课程的学生学号。
当查询涉及到针对“否定”特征含义的查询要求，如“不”、“没有”等字眼，一般要用差运算表示。
四、自然连接例5检索不学“ 2 ”号课程的学生姓名与年龄。
分析：首先考虑“差”的问题。
先求出全体学生的姓名和年龄，再求出学了” 2 ”号课程的学生的姓名和年龄，最后执行两个集合的差操作。
n sn ame,Sage (Stude nt)- n sname,Sage ( ^Cno 二' 2' (StudentSC))例6查询至少选修了一门其直接先行课为“ 5”号课程的学生姓名。
分析：(1 )根据题目确定要输出的列为： Sname,都在Student 表中；(2)根据题意，先行课程名为“ 5”，则选择的条件为 Cpno=' 5 '，因为Cpno 在 Course 表中，所以也要用到Course 表；(3) 根据1 , 2两步确定用到的表名集为 {Student,Course};(4) 因为表名集中两个表，则要用自然连接将它们连接起来，但因为这个两表不存在 共同的列，不能进行自然连接。
因此要加入中间表，中间表中应含有能与其它两个表进行自然连接的公共列，这个表就是 SC 。
将选择条件Cpno= ‘ 5 '作用于自然连接后产生的新表 上，并用投影操作选取要输出的Sno,Cno 。
综上，该查询的关系代数表达式为:(Course)SC) A ： 1 Stuent))五、除1 .除法定义中的含义分析：(1 )前提：两个关系 R(X,Y)和S(Y,Z)应该有公共属性列。
n Sname ( cjCpno 二’5 (Course) SCn Sno,Sn ame (Stue nt))n Sname ( n Sno ( j Cpno= ' 5(2) 运算结果为P(X)，元组来自于R 关系，只包含X 属性列 (3) R 关系中的哪些元组呢？对于T[X]的象集包含口 Y (S) 2•除法运算的步骤(1 )将被关系R 的属性分成两个部分，即与除关系相同的属性部分 Y ，和与除关系不同的属性部分X 。
(2) 在除关系中，求 Y 的投影，得到目标数据集。
(3 )将被除关系进行分组。
(分组原则是“值”一样的为一组)(4) 考虑被除关系中已分好的每一元组，如果它的象集包含目标数据集(投影结果)SS1R (a)分析：在关系R 中，A 可以取四个值｛a 1,a 1的象集为(C )a 2, a 3, a 4}。
其中:{(b 1, C 2), (b 2, C 3), (b 2, c i )}a 2的象集为 {(b 3. C 7), (b 2, C 3)}a 3的象集为 {(b 4,c 6)}a 4的象集为 S 在(B , C)上的投影为 显然只有a 1的象集(B , C ) {(b 6, C 6)}{(b1 , C2), (b2 , C1) , (b2 , C 3)}a1包含了 5在(B , C )属性组上的投影，所以R -S={a 1}o例，R 表示选修课程,S1、 S2、S3表示课程情况3. 除法的物理意义（1）除法的含义：R+S1表示至少选修S1关系中列出课程的学生的学号和姓名；R+S2表示至少选修S2关系中列出课程的学生的学号和姓名；（2）求选修所有课的同学姓名：（S、SC、C）说明：针对“全部”特征含义的查询要求，如“全部”、“至少”、“包含”等字眼, 般要用除法运算。
4. 有时需要构造被除数与除数除操作是同时从行和列角度进行运算（S是R的子集），构造被除数与除数。
用除法的第一种情况例7 检索至少选修课程号为 1和2的学生学号。
分析：（1）至少选修课程号为 1和2的关系（表）。
（2 ）考虑用除法来做（3 ）构造一个临时表K= n Cno （o Cno二'1 'V Cno二'2 ' （COU「Se））(4)构造被除数与除数n Sno,Cno (SC) -K用除法的第二种情况例8查询选修了全部课程的学生的学号。
1) 确定目标属性：学号 Sno ;2) 确定目标条件：如果学号 X被查询到，说明在临时关系n Sno,Cno (SC)表中学号X的像集就是所有课程号Cno组成的集合；3) 确定目标关系：根据1)、2)的分析，可以确定该查询是在n sno,cno (SC)和Course两个关系上进行除法运算。
其中，关系SC提供选修信息，而Course提供全部的课程号信息。
4) 画查询树：■八兀sno. cno 兀cno/ \sc course图3例题2的查询树5) 写出关系代数表达式：n sno,cno (SC) —n no (Course) o例9查询选修全部课程的学生号码和姓名。
(结果需同时满足多个关系的时候用除法) on Sn o,C no (SC) -n Cno (Course) n Sno,Sn ame (Stude nt)六、综合实例1、设有如下所示的关系：学生表S(S#,SNAME,AGE,SEX)、课程表C(C#,CNAME,TEACHER) 和学生选课表 SC(S#,C#,GRADE)，其中：S# 为学号，SNAME 为姓名，AGE为年龄，SEX为性别，C#为课程号，CNAME 为课程名，GRADE为成绩, TEACHER为教师。
试用关系代数表达式表示下列查询语句：（1 ）检索“程军”老师所授课程的课程号（C#）和课程名（CNAME）。
（2）检索年龄大于 21的男学生学号（S#）和姓名（SNAME）。
（3）检索至少选修“程军”老师所授全部课程的学生姓名（SNAME）。
（4）检索“李强”同学不学课程的课程号（C#）。
（5）检索至少选修两门课程的学生学号（S#）。
（6）检索全部学生都选修的课程的课程号（C#）和课程名（CNAME）。
（7）检索选修课程包含“程军”老师所授课程之一的学生学号（S#）。
（8）检索选修课程号为 K1和K5的学生学号（S#）。
（9）检索选修全部课程的学生姓名（SNAME）。
（10 ）检索选修课程包含学号为2的学生所修课程的学生学号（S#）。
（11 ）检索选修课程名为“ C语言”的学生学号（S#）和姓名（SNAME）。
解：本题各个查询语句对应的关系代数表达式表示如下：(1 ) n C#,CNAME ( OTEACHER= ‘程军' (C))(2)n S#,SNAME ( 0AGE>21 人SEX= ‘男' (S))(3)n SNAME (Swv ( n s#,c# (SC) *n C#( OTEACHER=‘程军’(C))))(4) n c#(C)- n c#( OSNAME='李强'(S)wv SC)(5)n S#( 6=4 人2 =5(SC X SC))(6)n C#,CNAME (Cwv ( n s#,C# (SC) *n s#(S)))(7) n s#(SCwv n c#( OTEACHER='程军'(C)))(8)n S#,C# ( SC ) *n c#((rc#= ' k1 'v c#= ' k5' (C))(9)n SNAME ( Swv ( n s#,c# (SC ) *n c#(C)))(10) n S#,C# ( SC) *n c#( OS#= ' 2' (SC))(11 ) n S#,SNAME (Swv ( n S#(SCwvo CNAME= ‘c 语言' (C))))2、设有如下所示的关系：学生表S(S#,SNAME,AGE,SEX)、课程表C(C#,CNAME,TEACHER) 和学生选课表 SC(S#,C#,GRADE)，其中：S# 为学号，SNAME 为姓名，AGE为年龄，SEX为性别，C#为课程号，CNAME 为课程名，GRADE为成绩, TEACHER为教师。
试用关系代数表达式表示下列查询语句：（1）检索LIU老师所授课程的课程号和课程名；（2）检索年龄大于23岁的男学生的学号和姓名；（3）检索学号为 S3学生所学课程的课程名与任课教师名；（4）检索至少选修 LIU老师所授课程中一门课的女学生姓名；（5）检索 WANG同学不学的课程的课程号；（6）检索既选修了 LIU老师的课程、又选修了 LI老师课程的学生学号; （7 ）全部学生都选修的课程的课程号与课程名；（8）检索选修课程包含 LIU老师所授全部课程的学生学号。