江西省宜春市丰城中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学文科试题
江西省宜春市2020-2021学年高二第一学期期末统考数学(文科)试题
为等差数列 的前n项和， ， ，
，
解得公差 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.
5．A
【解析】
【分析】
焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为 ，结合题意可得答案．
【详解】
双曲线 的焦点在x轴上，其渐近线方程为 ，
又由双曲线 的一条渐近线为 ，即 ，则 ；
故选：A．
求满足 的x的取值范围．
20．已知数列 为等差数列，数列 为等比数列，满足 ， ， ．
求数列 和 的通项公式；
令 ，求数列 的前n项和 ．
21．设椭圆 ，B为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点，已知 的最小值与最大值之和为4，且离心率 ，抛物线 的通径为4．
求椭圆和抛物线的方程；
设坐标原点为O，A为直线 与已知抛物线在第一象限内的交点，且有 ．
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
8．A
【解析】
【分析】
根据题意，求抛物线 的焦点坐标，则有椭圆 的焦点坐标，据此可得 ， ， ，结合椭圆的离心率公式可得m的值，计算可得n的值，分析可得答案．
【详解】
根据题意，抛物线 的焦点为 ，
则椭圆 的焦点也为 ，焦点在y轴上，
15．已知抛物线 的焦点F和 ，点P为抛物线上的动点，则 的周长取到最小值时点P的坐标为______，
16．随着人工智能的兴起，越来越多的事物可以用机器人替代，某学校科技小组自制了一个机器人小青，共可以解决函数、解析几何、立体几何三种题型 已知一套试卷共有该三种题型题目20道，小青解决一个函数题需要6分钟，解决一个解析几何题需要3分钟，解决一个立体几何题需要9分钟 已知小青一次开机工作时间不能超过90分钟，若答对一道函数题给8分，答对一道解析几何题给6分，答对一道立体几何题给9分 该兴趣小组通过合理分配题目可使小青在一次开机工作时间内做这套试卷得分最高，则最高得分为______分
高二数学期中考试试卷(文科)
高二数学期中考试试卷(文科)考试范围：数学1（解析几何初步）、数学1—1（圆锥曲线）、数学1—2（全部）时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共10题，每小题5分，满分50分） 1．y -+5=0的倾斜角为（ ）A ．0150 B ． 0120 C ． 060 D ．0302．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 垂直，那么a 等于（ ）A ．3-B ．6-C ．23-D ．323．在研究两个分类变量x 、y 的关系时进行独立性检验常常使用统计变量2χ，如果我们有99.9%的把握认为x 、y 有关系，那么2χ值应在的临界值为（ ） A ．2.706 B ．3.841 C ．6.635 D ．10.8284．已知圆的方程为222610x y ax ay +-+-=，则圆心的轨迹方程为（ ） A ．3y x =- B ．3y x = C ．3x y =- D ．3x y =5．复数13z i =+，21z i =-，则复数12z z z =在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．把1，3，6，10，15，21，…这些数称为三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形（如下图）：则第10个三角形数为（ ） A ．45 B ．55 C ．50 D ．56 7．以下是计算201614121++++ 的值的一个 程序框图，其中判断框内填入的条件是（ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i1 3 158．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是 （ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 9．椭圆192522=+y x 上一点M 到左焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．2310．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2470x y -+=上，则抛物线的方程为（ ）A ．214y x =-B ．22147y x x y =-=或C ．27x y =D ．22147y x x y ==-或 二．填空题（共4题，每小题5分，满分20分）11.在一组随机变量x 、y 的两个回归摸型中，残差的平方和越 大的模型拟合的效果越 （填好或差）.12．阅读所给的算法流程图，则输出的结果是S= ； 13．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23，则双曲线12222=-by a x 的离心率为 .14. 设P 为抛物线x y 42=上的点，则P 到直线3+=x y 的最短距离为 .三.解答题（共6题，满分80分） 15．（满分12分）直线l 过点A （-2，3）且与两坐标轴截得的线段恰好被点A 平分，求直线l 的方程。
江西省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线的图像如图所示，则角是（ ）sin cos :y x l θθ=+θA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果. sin 0θ<cos 0θ>【详解】结合图像易知，，， sin 0θ<cos 0θ>则角是第四象限角， θ故选：D.2．的展开式中的系数为（ ） ()()8x y x y -+36x y A ． B ．C ．D ．2828-5656-【答案】B【分析】由二项式定理将展开，然后得出，即可求出的系数. 8()x y +8()()x y x y -+36x y 【详解】由二项式定理：8()()x y x y -+080171808888()(C C C )x y x y x y x y =-+++080171808080171808888888(C C C )(C C C )x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++090181818081172809888888(C C C )(C C C )x y x y x y x y x y x y =+++-+++ 观察可知的系数为. 36x y 6523888887876C C C C 2821321⨯⨯⨯-=-=-=-⨯⨯⨯故选：B.3．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ） p 0mn >q 221x y m n+=p q A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系.【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；0mn >0m n =>221x y m n +=而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 221x y m n+=0mn >所以是的必要不充分条件. p q 故选：B4．两平行平面分别经过坐标原点O 和点，且两平面的一个法向量，则两,αβ()1,2,3A ()1,0,1n =-平面间的距离是（ ）A B C D ．【答案】A【分析】由空间向量求解【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O 和点，,αβ(1,2,3),(1,2,3)A OA =且两平面的一个法向量，(1,0,1)n =-∴两平面间的距离 ||||n OA d n ⋅=== 故选：A5．2022年遂宁主城区突发“920疫情”，23日凌晨2时，射洪组织五支“最美逆行医疗队”去支援遂宁主城区，将分派到遂宁船山区、遂宁经开区、遂宁高新区进行核酸采样服务，每支医疗队只能去一个区，每区至少有一支医疗队，若恰有两支医疗队者被分派到高新区，则不同的安排方法共有（ ） A ．30种 B ．40种 C ．50种 D ．60种【答案】D【分析】先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，再将剩下的3支医疗队分配到船山区与经开区，最后根据分步乘法原理求解即可.【详解】解：先从5支医疗队中选取2支医疗队去高新区，有种不同的选派方案，25C 10=再将剩下的3对医疗队分配到船山区与经开区，有种不同的选派方案，2232C A 6=所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有种.222532C C A 60=故选：D6．已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的两条切线C 2220x y x +-=l 10x y ++=P l P C 、，切点分别、，当最小时，直线PC 的方程为（ ）PA PB A B ·PC ABA ．B ．C ．D ．+=0x y 10x y --=2210x y -+=2210x y ++=【答案】B【分析】根据圆的切线的有关知识，判断出最小时，直线与直线垂直，进而可得直·PC AB l PC 线的方程.PC 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.C ()2211x y -+=()1,0C =1r 依圆的知识可知，四点P ，A ，B ，C 四点共圆，且AB ⊥PC ， 所以，而14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⋅=△当直线时，最小，此时最小， PC l ⊥PA PC AB ⋅所以此时，即. :=1PC y x -10x y --=故选：B.7．某奥运村有，，三个运动员生活区，其中区住有人，区住有人，区住有人A B C A 30B 15C 10已知三个区在一条直线上，位置如图所示奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员..步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（ ）A ．区B ．区C ．区D ．，两区之间A B C A B 【答案】A【分析】分类讨论，分别研究停靠点为区、区、区和，两区之间时的总路程，即可得出A B C A B 答案．【详解】若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； A 15100103004500⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； B 30100102005000⨯+⨯=若停靠点为区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：米； C 303001520012000⨯+⨯=若停靠点为区和区之间时，设距离区为米，所有运动员步行到停靠点的路程和为：A B A x ， 30151001010020054500x x x x +⨯-+⨯+-=+（）（）当取最小值，故停靠点为区． 0x =A 故选：A8．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若,,A B C 22221(0,0)x y a b a b -=>>AB O AC F 且，则该双曲线的离心率是（ ）BF AC ⊥2AF CF =A ．B C D ．5394【答案】B【分析】根据题意，连接，构造矩形；根据双曲线定义表示出各个边长，由直角','AF CF 'FAF B 三角形勾股定理求得 的关系，进而求出离心率．a c 、【详解】设左焦点为， ，连接F'AF m =','AF CF 则 ， ， ， 2FC m ='2AF a m =+'22CF a m =+'2FF c =因为，且经过原点 BF AC ⊥AB O 所以四边形 为矩形'FAF B 在Rt △中， ，代入'AF C 222'+'AF AC F C =()()()2222+3=22a m m a m ++化简得 23a m =所以在Rt △中，，代入 'AF F 222'+'AF AF F F =()222222233a a a c ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得 ，即 22179c a =e =所以选B【点睛】本题考查了双曲线的综合应用，根据条件理清各边的相互关系，属于中档题．二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件1a =-210a x y -+=20x ay --=B ．已知，O 为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，0ab ≠(,)P a b 222x y r +=m 2ax by r +=则与圆相交m C ．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N k 1322k -≤≤D ．直线的倾斜角的取值范围是sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ 【答案】BD【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率、直线的方程，直线与圆的位置关系，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于A ，由直线与直线互相垂直，210a x y -+=20x ay --=，化为，解得或，21(1)()0a a ∴⨯+-⨯-=20a a +==0a 1- “”是“直线与直线互相垂直”的充分但不必要条件，故A 错误；∴1a =-210a x y -+=20x ay --=对于B ，因为点是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离(,)P a b 222x y r +=222a b r +>m，可得与圆相交，故B 正确；||d r =m 对于C ，已知直线和以，为端点的线段相交，则、两个点在直10kx y k ---=(3,1)M -(3,2)N M N 线的两侧或直线上，10kx y k ---=则有，解可得或，故C 错误； (311)(321)0k k k k -------≤12k ≤-32k ≥对于D ，设直线的倾斜角，则,， sin 20x y α++=θtan sin [1θα=-∈-1]故的取值范围是，故D 正确. θ3[0,[,)44πππ 故选：BD .10．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） 2(n x 314A ．B ．展开式中的常数项为45 10n =C ．含的项的系数为210D ．展开式中的有理项有5项5x【答案】ABC【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为()52211C r n rr r n T x-+=-，可得.再根据公式逐个选项判断即可. 31410n =【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的()()5222221C 11C rr n r rrn r r r n nT xx x---+=-=-系数之比为，则，故，得. 31424C 3C 14n n=()()()()1312123141234n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯25500n n --=∴(n ＋5)(n －10)＝0，解得n ＝10，故A 正确；则，令，解得， ()52021101C rr r r T x-+=-52002r-=8r =则展开式中的常数项为，故B 正确； 810C 45=令，解得，则含的项的系数为，故C 正确； 52052r -=6r =5x ()66101C 210-=令，则r 为偶数，此时，故6项有理项． 520Z 2r-∈0,2,4,6,8,10r =故选：ABC11．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ） A ．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法 B ．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法 C ．任子威在范可欣的右边，共有120种排法D ．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法 【答案】ABD【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.【详解】解：A 项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有种排法， 22A 再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有种排法，44A 由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项A 正确；2424A A 48=B 项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有种排法， 33A 再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有种排法，24A由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项B 正确；3234A A =72C 项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有种排法， 35A 剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，所以任子威在范可欣的右边，共有（种）排法，故选项C 错误；35A =60D 项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有种排法， 55A 任子威在最左边，有种排法，武大靖在最右边，有种排法， 44A 44A 任子威在最左边，且武大靖在最右边，有种排法，33A 所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有（种）排法，故选项D 正确. 543543A -2A +A =78故选：ABD.12．为庆祝党的二十大胜利召开，由南京市委党史办主办，各区委党史办等协办组织的以“喜迎二十大 永远跟党走 奋进新征程”为主题的庆祝中共南京地方组织成立周年知识问答活动正在进100行，某党支部为本次活动设置了一个冠军奖杯，奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则32π38下列结论正确的是（ ）A ．经过三个顶点的球的截面圆的面积为 ,,ABC 43πB ．异面直线与所成的角的余弦值为AD BE 916C ．连接，构成一个八面体，则该八面体的体积为 ,,AB BC CA ABCDEF ABCDEF 18D ．点 D 2【答案】ACD【分析】对A ：经过三个顶点的球的截面圆即为的外接圆，运算求解；对B ：建系，,,A B C MNG △利用空间向量处理异面直线夹角问题；对C ：八面体由三个全等的四棱锥ABCDEF和直棱柱组合而成，结合相关体积公式运算求解；,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -对D ：点到球面上的点的最小距离为，结合球的性质运算求解.D OD R -【详解】如图1，取的中点分别为，连接 ,,DE EF DF ,,M NG ,,,,,AM BN CG MN NG GM 根据题意可得：均垂直于平面，可知 ,,AM BN CG DEF ABC MNG ≅△△∵的边长为2，设的外接圆半径为r ，则MNG △MNG △sin MN 2r MGN ==∠∴的外接圆面积为r =MNG △4ππ32r =∴经过三个顶点的球的截面圆的面积为，A 正确； ,,A B C 43π八面体由三个全等的四棱锥和直棱柱组合ABCDEF ,,D ACGM E ABNM F BCGN ---ABC MNG -而成直棱柱的底面边长为2，高ABC MNG -AM =12262ABC MNG V -=⨯⨯=设，则为的中点 EN MN H = H MN ∵平面，平面 AM ⊥DEF EH ⊂DEF ∴AM EH ⊥又∵为等边三角形且为的中点，则EMN A H MN MN EH ⊥，平面 AM MN M = ,AM MN ⊂ABNM ∴平面EH ⊥ABNM即四棱锥的高为E ABNM -EH =1243E ABNM V -=⨯=∴八面体的体积为，C 正确；ABCDEF 318E ABNM ABC MNG V V V --=+=设的中心分别为，球的球心为，由题意可得其半径 ,ABC MNG △△12,O O O =2R 则可知三点共线，连接 12,,O O O 1,O B OD则可得：212112O D O O O O O O O O OD ===+==点，D 正确；D 2-如图2，以G 为坐标原点建立空间直角坐标系则有：((()(),,2,0,0,0,A B D E -∴((,DA BE =-=- 又∵ 5cos ,8DA BE DA BE DA BE⋅==-∴异面直线与所成的角的余弦值为，B 错误；AD BE 58故选：ACD.【点睛】1.对于多面体体积问题，要理解几何体的结构特征，并灵活运用割补方法； 2.对于球相关问题，主要根据两个基本性质：①球的任何截面都是圆面；②球心和截面圆心的连线与截面垂直.三、填空题13．若，则______．2213C P x xx -+=x =【答案】5【分析】将排列数、组合数按照公式展开，即可解出x 的值.【详解】因为，， ()22313C 3C 2x x x x x --==21P (1)x x x +=+所以，由可得，3(x -1)=2(x +1)2213C P x x x -+=解得，x =5.故答案为：5.14．各数位数字之和等于8(数字可以重复) 的四位数个数为_____． 【答案】120【分析】四个数位数字分别为，则，应用插空法求四位数个数. 1234,,,a a a a 12348a a a a +++=【详解】设对应个位到千位上的数字，则，且， 1234,,,a a a a *4N a ∈N(1,2,3)i a i ∈=1234a a a a +++8=相当于将3个表示0的球与8个表示1的球排成一排，即10个空用3个隔板将其分开，故共种.310C 120=故答案为：12015．已知分别为双曲线的左、右顶点，点为双曲线上任意一点，12,A A 2222:1(0)x y C a b a b -=>>P C 记直线，直线的斜率分别为，若，则双曲线的离心率为__________. 1PA 2PA 12,k k 122k k ⋅=C【分析】设，应用斜率两点式得到，根据为双曲线上一点即可得双曲线参()00,P x y 22202y x a=-P C 数关系，进而求其离心率【详解】依题意，设，则，，又()()12,0,,0A a A a -()00,P x y 0012002y y k k x a x a ⋅=⋅=+-22202y x a∴=-，，故，即()2222220220000222211b x a x y x y b a b a a -⎛⎫-=⇒=-= ⎪⎝⎭222b a ∴=22213b e a =+=e =16．在棱长为1的正方体中，M 是棱的中点，点P 在侧面内，若1111ABCD A B C D -1AA 11ABB A ，则的面积的最小值是________．1D P CM ⊥PBC △【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，所在直线为x ，y ，z 轴， 1DD 建立空间直角坐标系，则点，所以， ()1,,,[01]P y z y z ∈、，()10,0,1D ()11,,1D P y z =-因为，所以，()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为，所以，所以，1D P CM ⊥ ()11102y z -+-=21z y =-因为，所以， ()1,1,0B ()0,1,21BP y y =--，=因为，所以当时， 01y ≤≤35y =min BP =因为正方体中，平面平面，故， BC ⊥11,ABB A BP ⊂11ABB A BC BP ⊥所以()min 1=12PBC S ⨯A四、解答题17．已知的顶点. ABC A ()()()2,64,2,2,0A B C -，(1)求边的中垂线所在直线的方程； BC (2)求的面积. ABC A 【答案】(1)； 340x y +-=(2)14.【分析】（1）求出直线的斜率，再由垂直关系得出直线边的中垂线的斜率，最后由点斜式BC BC 写出所求方程；（2）求出直线的方程，再求出点到直线的距离以及，最后由三角形面积公式计算即AB C AB AB 可.【详解】（1）直线的斜率为，直线边的中垂线的斜率为，BC 2014(2)3-=--BC 3-又的中点为，BC ()1,1边的中垂线所在直线的方程为：，即； BC ()131y x -=--340x y +-=（2）直线的方程为：，即， AB 626(2)24y x --=--2100x y +-=点到直线的距离 C AB d=故的面积为. ABC A 1142S AB d =⋅=18．已知展开式的二项式系数和为512，且()(2)n f x x =-.2012(2)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-(1)求的值； 123n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2)求被除的余数. ()20f 17【答案】(1) 1(2) 1【分析】（1）根据题意，得到，求得，结合展开式，分别令和，求得2512n =9n =1x =2x =和，即可求解；01a =-012390a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）由，结合二项式的展开式，即可求解.999(20)(2021817)(1)f ==+=-【详解】（1）解：由展开式的二项式系数和为，可得，解得，(2)n x -5122512n =9n =则，9290129(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-令，可得，1x =90(12)1a =-=-令，可得，2x =012399(22)0a a a a a ++++⋅⋅⋅⋅=-⋅+=⋅所以， 12390(1)1a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅=--+=⋅即.1231n a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅（2）解：由题意，可得，999(20)(2021817)(1)f ==+=-又由，90918890081789999999(171)1717171717(1717)1C C C C C C C +=⋅+⋅++⋅+⋅=⋅⋅+⋅+++ 所以被除的余数为.()20f 17119．如图，在四棱锥中，已知四边形是梯形，P ABCD -ABCD ，是正三角形．,,22⊥===∥AB CD AD AB AB BC CD PBC △(1)求证：；BC PA ⊥(2)当四棱锥体积最大时，二面角的大小为，求的值. P ABCD -B PA C --θcos θ【答案】(1)证明见解析； (2). 15【分析】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，可证明，由线面垂直的判定定理可证AO BC ⊥PO BC ⊥明平面PAO ，即得证；BC ⊥（2）分析可知当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大，建立空间直角坐标系，PBC ⊥P ABCD -由二面角的向量公式，计算即可.【详解】（1）证明：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，A C ．∵，， 2AB CD =AB CD ∥∴CD 与AE 平行且相等， ∴四边形AECD 是平行四边形，又，∴四边形AECD 是矩形，∴． AD AB ⊥CE AB ⊥∴，∴是等边三角形． =AC BC AB =ABC A 取BC 的中点O ，连接AO ，则． AO BC ⊥连接PO ，∵，∴， PB PC =PO BC ⊥∵，平面PAO ，=PO AO O ⋂PO AO ⊂，∴平面PAO ，∵PA 平面PAO ，∴； BC ⊥⊂BC PA ⊥（2）由（1）知，是等边三角形，∴， ABC A CE =∴梯形ABCD 的面积为定值， S =故当平面平面ABCD 时，四棱锥体积最大． PBC ⊥P ABCD -∵，平面平面ABCD ，平面 PO BC ⊥PBC ⋂BC =PO ⊂PBC ∴平面ABCD ，平面ABCD ，∴.PO ⊥,OA OB ⊂,PO OA PO OB ⊥⊥∵OP ，OA ，OB 两两互相垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 分别为x 轴、y 轴和z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则． (0,1,0),(0,1,0),A B C P -∴，，=(0,1,PA PB -- =(0,1,CP --设平面PAB 的法向量为，则，取，则． ()111,,n x y z =1111=0==0PA n PB n y ⋅-⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 111x z ==n = 同理设平面PAC 的法向量为，则，取，则． (,,)m x y z ===0=0CP m y PA m ⋅--⋅-⎧⎪⎨⎪⎩ 1x z ===(1,m - 设平面PAB 与平面PAD 的夹角为，则，θ1cos =|cos<,>|=||=||||5m n m n m n ⋅θ即为所求二面角的余弦值.B PAC --20．如图，某海面上有､､三个小岛（面积大小忽略不计），岛在岛的北偏东方向O A B A O 45︒处，岛在岛的正东方向处.B O 20km(1)以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，为单位长度，建立平面直角坐标系，写出O O x 1km A 、的坐标，并求、两岛之间的距离；B A B (2)已知在经过、、三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距O A B O 30°O 岛处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 20km 60︒【答案】(1)，， ()40,40A ()20,0B (2)该船有触礁的危险【分析】（1）结合图像，易得的坐标，再利用两点距离公式即可得解；,A B （2）先由待定系数法求得过、、三点的圆的方程，再求得该船航线所在直线的方程，利用O A B 点线距离公式可知该船航线与圆的位置关系，据此可解.【详解】（1）∵在的东北方向处，在的正东方向处， AO B O 20km ∴，， ()40,40A ()20,0B 由两点间的距离公式得；=（2）设过、、三点的圆的方程为，O A B 220x y Dx Ey F ++++=将､､代入上式得，解得，()0,0O ()40,40A ()20,0B 222=040+40+40+40+=020+20+=0F D E F D F ⎧⎪⎨⎪⎩=20=60=0D E F --⎧⎪⎨⎪⎩所以圆的方程为，即，故圆心为，半径2220600x y x y +--=()()2210301000x y -+-=()10,30r =设船起初所在的位置为点，则，且该船航线所在直线的斜率为C (10,C --， ()tan 6030tan 30︒-︒=︒=由点斜式得该船航线所在直线的方程：，l 200x -=所以圆心到：的距离为l 200x -=d+由于， 2(5700+=+21000700=>+即， 5d =+<所以该船有触礁的危险.21．已知椭圆的右焦点，离心率为，且点在椭圆上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 1231,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭C (1)求椭圆的标准方程；C (2)过的直线不与轴重合与椭圆相交于、两点，不在直线上且F (x )C A B P AB ，是坐标原点，求面积的最大值．()2OP OA OB λλ=+-O PAB △【答案】(1)22143x y +=(2) 32【分析】（1）依题意得到方程组，解得，，即可求出椭圆方程；2a 2b （2）设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 元、列出韦达定理，即可表示出，再表示出点到直线的距离，根据面积公式及基本不等AB P AB 式计算可得.【详解】（1）解：由题意，又，解得，， 221=2914+=1c a a b⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩222c a b =-24a =23b =的方程为；C ∴22143x y +=（2）解：设直线的方程为，，，，AB 1x my =+()11,A x y ()22,B x y ()00,P x y 则，消元整理得， 22=+1+=143x my x y ⎧⎪⎨⎪⎩()2234690m y my ++-=所以，，122634my y m +=-+122934y y m =-+，()2212+13+4m m -由， ()2OP OA OB λλ=+-得，()()()()001212,2,2x y x x y y λλλλ=+-+-()()()()()0121212212122x x x my my my my λλλλλλ∴=+-=++-+=+-+， ()0122yy y λλ=+-到直线的距离P ∴ABh22112(+1)=×23+4PAB m S m ∴A 设，而在时递增，t =13y t t=+1t ≥当，即时，的最大值为．∴=1t 1=0m =PAB S A 3222．如图，已知抛物线的焦点F ，且经过点，．()2:20C y px p =>()()2,0A p m m >5AF =(1)求p 和m 的值；(2)点M ，N 在C 上，且．过点A 作，D 为垂足，证明：存在定点Q ，使得AM AN ⊥AD MN ⊥DQ 为定值．【答案】(1)，； 2p =4m =(2)证明见解析.【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m 即可. ||252pAF p =+=p A （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据:MN x ky n =+11(,)M x y 22(,)N x y 及向量垂直的坐标表示列方程，求k 、n 数量关系，确定所过定点，再由AM AN ⊥MN B 易知在以为直径的圆上，即可证结论. AD MN ⊥D AB 【详解】（1）由抛物线定义知：，则， ||252pAF p =+=2p =又在抛物线上，则，可得. ()()4,0A m m >244m =⨯4m =（2）设，，由（1）知：，11(,)M x y 22(,)N x y (4,4)A 所以，，又，11(4,4)AM x y =-- 22(4,4)AN x y =--AM AN ⊥所以，121212121212(4)(4)(4)(4)4()4()320x x y y x x x x y y y y --+--=-++-++=令直线，联立，整理得，且，:MN x ky n =+2:4C y x =2440y ky n --=216160k n ∆=+>所以，，则，124y y k +=124y y n =-21212()242x x k y y n k n +=++=+，222121212()x x k y y kn y y n n =+++=综上，， 2216121632(48)(44)0n k n k n k n k ---+=--+-=当时，过定点；84n k =+:(4)8MN x k y =++()8,4B -当时，过定点，即共线，不合题意； 44n k =-:(4)4MN x k y =-+(4,4),,A M N 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， MN ()8,4B -AD MN ⊥D AB而中点为，即为定值，得证.AB ()6,0Q 2AB DQ ==。
2020-2021学年江西省宜春市高二第一学期期末统考文数试卷
2020-2021学年江西省宜春市高二第一学期期末统考文数试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,a b 是非零实数，若a b >，则一定有（ ） A ．11a b b a+>+ B ．2211ab a b> C ．11a b< D ．2ab b >2．已知命题:p “2,20x R x x ∀∈-+≥”，则p ⌝是 （ ） A ．x ∀∉R 2,20x x -+>B ．x ∀∉R 200,20x x -+≤ C ．0x ∃∈R 200,20x x -+<D ．0x ∀∉R 200,20x x -+≤3．数列{}n a 满足122,1a a ==，并且()111212n n n n a a a -+=-≥，则1011a a +=（ ） A ．192B ．212 C ．2155D ．23664．设1,02a b >>，若2a b +=，则1221a b+-的最小值为（ ） A．3+B ．6C ．9D ．35．若关于x 的不等式2122x x a a +-->+有实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．()(),13,-∞-+∞6．已知函数()22(21,){(2,)n n k k N f n n n k k N **=-∈=-=∈且()()1n a f n f n =++，则1299...a a a +++=（ ）A ．0B ．100C ．101-D ．99-7．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为150的直线l 与抛物线在第一、二象限分别交于,A B 两点，则BF AF=（ ）A ．3 B．7+C ．13D．3+8．已知实数,x y 满足210{2,2410x y x z x y x y -+≥≤=+-+-≥，则z 的最大值与最小值之差为（ ） A ．5B ．1C ．4D ．739．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足10986a a a +=，若存在两项,m n a a使得14a =，则21m n+的最大值为（ ） A．123+B ．115C ．910D．3+10．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知2,3b A π==，且1cos cos c bC A=-，则ABC ∆的面积为 （ ）AB．C．3D或11．函数()f x 的定义域为R ,()13f =，对任意x ∈R ，都有()()'2f x f x +<则不等式()·2xxe f x e e >+的解集为（ ） A ．{}|1x x <B ．{}|1x x >C ．{|1x x <-或}1x >D ．{|1x x <-或01}x <<二、填空题12．已知ABC ∆中，2,30a b B ===，则角A =__________．13．已知不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解集是_________.14．设12,F F 为双曲线22212x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且123F PF π∠=，若此双曲线的离心率等于2P 到y 轴的距离等于__________． 15．①242y x x=+的最小值为6；②当0,0a b >>时，114a b ++≥；③()2112,02y x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的最大值为227； ④当且仅当,a b 均为正数吋，2a b b a +≥恒成立. 以上命题是真命题的是__________．三、解答题16．已知函数()223f x x x =--+. （1）解不等式()0f x ≥；（2）若对任意实数x ,都有()3f x a x ≥-，求实数a 的取值范围. 17．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知2B π≠，且3sin 3cos cos sin AC c B B+=. （1）求b 的值； （2）若3B π=,求ABC ∆周长的范围.18．在等差数列{}n a 中，7826a a -=且2231a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若124,,a a a 成等比数列，求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nS.19．近年来，某市在旅游业方面抓品牌创建，推进养生休闲度假旅游产品升级，其景区成功创建国家5A 级旅游景区填补了该片区的空白，某投资人看到该市旅游发展的大好前景后，打算在该市投资甲、乙两个旅游项目，根据市场前期调查， 甲、乙两个旅游项目五年后可能的最大盈利率分别为01000和0080，可能的最大亏损率分别为0040和0020，投资人计划投资金额不超过5000万，要求确保亏损不四超过1200万，问投资人对两个项目各投资多少万元，才能使五年后可能的盈利最大？20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 与双曲线2212x y -=共焦点，且点()1,2P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点()2,0A 作一条动直线与椭圆C 相交于,,P Q O 为坐标原点，求OPQ ∆面积的最大值及取得最大值时直线PQ 的方程. 21．已知函数()2111ln 12f x x x x a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭, 其中0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2n ≥时，111...3ln123ln 223ln 21nn n +++>++++恒成立.参考答案1．B 【解析】依题意，令1,1a b ==-代入验证可得A,C,D 选项错误.点睛：本题主要考查实数比较大小，最快捷的方法就是代入特殊值进行验证.如果想要直接证明，则一般采用差比较法或者商比较法来比较大小，或者采用函数的单调性结合图像来比较大小.如本题中的D 选项，()2ab b b a b -=-，其中0a b ->，但是b 的范围题目没有给，故2ab b -是否为正数无法判断. 2．C 【解析】依题意，根据全称命题的否定是特称命题，需要否定结论这个概念，选C . 3．C 【解析】依题意有11111121,2n n n n n n n n a a a a a a a a -++--=-=-，由此计算得323a =，424a =，…… 101110112221,,101155a a a a ==+=. 4．D【解析】 依题意，1322a b -+=，根据基本不等式，有1212252125232123322132b a a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⋅=⋅++≥⋅+= ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 5．A 【解析】依题意，3,1{21,123,2x y x x x -≤-=--<<≥，画出12y x x =+--的图像如下图所示，由图可知223a a +<，解得()3,1a ∈-.6．C 【解析】根据()()()()()()2123412123,235,347,9a f f a f f a f f a =+=-=-=+==+=-=，以此类推991357919519719998199101nn a==-+-+--+-=-=-∑.7．A【解析】依题意，画出图象如下图所示，设,AF n BF m ==，由于直线倾斜角为150，所以在Rt ABE ∆中，30EAB ∠=，根据抛物线的定义有12BE m n ABm n -==+，化简得3m n =，即比值为3.8．C 【解析】依题意，画出可行域如下图所示，令24m x y =+-，即1222my x =-++，画出基准的直线12y x =-，通过平移基准的直线可知，目标函数24m x y =+-在,A B 处取得最值，将,A B 坐标代入24m x y =+-，求得最值分别为1,4-，[]4,1m ∈-，故[]0,4z m =∈，最大值减最小值为4.9．B 【解析】依题意，28886a q a q a +=，解得2q .14a =得216m n q +-=，6m n +=，6m n =-，21216m n n n +=+-，由于,m n 为正整数，令1,2,3,4,5n =，求得216n n +-的值分别为2212121211,,,,542332415+++++，最大值为111255+=.10．D 【解析】依题意，()1cos cos ,cos cos b C c A b c A b C -==+，由正弦定理得sin sin cos sin cos sin()sin cos cos sin B C A B C A C A C A C =+=+=+，化简得sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin B A =.当πcos 0,2C C ==时，2πtan 6a ==12S ab ==当sin sin B A =时，为等边三角形，面积为22=D . 点睛：本题主要考查三角函数很等变换的应用，考查了解三角形正弦定理，考查了三角形你给的面积公式在解三角形中的综合应用，还需要结合分类讨论的数学思想方法来求解.首先利用正弦定理和三角形内角和公式化简已知条件，由于解有两个，所以需要对三角形的情况进行分类讨论. 11．A 【解析】依题意，构造函数()()2xxg x e f x e =-，其中()1g e =，()()()20x x g x e f x f x e ⎡⎤=+-''<⎣⎦，函数为减函数，故()()1g x g >的解集为{}|1x x <.点睛：本题主要考查本题考查函数导数与不等式，构造函数法.是一个常见的题型，题目给定一个含有导数的条件()()2f x f x +'<，这样我们就可以构造函数()()2xxg x e f x e =-，它的导数恰好包含这个已知条件，由此可以求出()g x 的单调性，即函数()g x 为减函数，根据单调性可求得解集. 12．60或1202sin 30=，解得sin A =，故60,120A =. 13．11(,)23-- 【分析】根据不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，求得,a b 的值，从而求解不等式250bx x a -+>的解集，得到答案.【详解】由题意，因为不等式250ax x b -+>的解集是{}|32x x -<<-，可得53(2)(3)(2)a b a ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-⨯-=⎪⎩，解得1,6a b =-=-，所以不等式250bx x a -+>为26510x x --->， 即2651(31)(21)0x x x x ++=++<，解得1123x -<<-， 即不等式250bx x a -+>的解集为11(,)23--. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中根据三个二次式之间的关键，求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．【解析】依题意，由222{b c a c a b ===+，解得2,a c ==，根据双曲线焦点三角形面积公式有212F F 21b cotπ22tan 6P S y∠===⋅，解得y =，代入双曲线方程解得x =15．②③依题意，当12x =-时，2420y x x =+<，①错误；只要0ab >，都有2b a a b+≥恒成立，④错误.对于②，114a b ++≥≥，当且仅当1a b ==时等号成立，正确.对于③，()()()3211412122124121244327x x x x x x x x +-+-⎡⎤-=⋅--≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当1124,6x x x -==时，等号成立，正确.点睛：本题主要考查利用基本不等式求最值，基本不等式包括正方向的a b +≥，也包括反方向的22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，再根据合情推理与演绎推理，有33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.在利用基本不等式求最值的过程中，要注意一正二等三相等，求得最值时一定要注意验证等号成立的条件.16．（1）5{|5}3x x -≤≤;(2) 5a ≤. 【解析】试题分析：（1） 零点分段法去绝对值，将()f x 表示成分段函数，由此解得解集为55,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）原不等式等价于23x x a -++≥恒成立.左边()23235x x x x -++≥--+=，故5a ≤. 试题解析：（1）1.当0x ≤时，()22322350f x x x x x x =--+=-++=+≥ 解得50x -≤≤2.当2x ≥时，()22322310f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得无解3.当02x <<时，()223223350f x x x x x x =--+=--+=-+≥ 解得503x <≤综上可知不等式解集5{|5}3x x -≤≤（2）()3f x a x ≥-恒成立，即()23f x x x a =-++≥恒成立()23235x x x x -++≥--+=,故有5a ≤.17．(1) 3b =;(2) (6,9]a b c .【解析】试题分析：（1）利用三角形内角和定理化简已知条件得到sin 3sin c B C =，利用正弦定理求得b ；（2）利用正弦定理，将三角形的三条边转化为角的形式，然后利用辅助角公式化简，最后根据三角函数值域的求法求得周长的取值范围. 试题解析：（1）：由sin 3cos cos 3sin AC c B B+=得到3sin cos sin cos 3sin B C c B B A += ()3sin cos sin cos 3sin 3sin cos 3cos sin B C c B B B C B C B C +=+=+得到：sin cos 3cos sin c B B B C =，由于cos 0B ≠，故sin 3sin c B C =由正弦定理3sin sin sin c b C B B==得到3b =; (2)由正弦定理3sin sin sin sin3a cb A C Bπ====得到)23sin sin 3sin sin 3a b c A C A A π⎤⎛⎫++=++=++-⎪⎥⎝⎭⎦13sin sin 36sin 26A A A A π⎤⎛⎫=+++=++⎥ ⎪⎝⎭⎦203A π<<,故5666A πππ<+< 得到1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，于是(]6,9a b c ++∈ 18．(1) 2939168n a n =-或n a n =;(2) 1(1)22+=-⋅+n n S n . 【解析】试题分析：（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a d ，列方程组求出1,a d ，由此求得数列的通项公式；（2）根据第一问的结论和124,,a a a 成等比数列，判断n a n =，化简22n a n n a n ⋅=⋅，这是等差数列乘以等比数列，用错位相减法求其前n 项和.试题解析：（1）781256a a a d -=+=()()()()2222311264631a a a d a d d d -=+-+=---=得到21645290d d -+=，解得1d =或2916d = 当1d =时：11a =，此时n a n =； 当2916d =时，14916a =-，此时2939168n a n =-； 2939168n a n =-或n a n =（2）由124,,a a a 成等比数列，可知n a n =则1231222322n n S n =⋅+⋅+⋅+⋅ 234121222322n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅两式相减得到()11231112222222212212n n n n n n S n n n ++++--=+++-⋅=-⋅=-⋅--故()1122n n S n +=-⋅+19．甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000万元 【解析】试题分析：设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y 万元.根据已知条件可列出可行域为5000{0.40.212000,0x y x y x y +≤+≤≥≥，目标函数为0.8z x y =+，画出可行域，根据图像可知目标函数在点()1000,4000处取得最大值.试题解析：设投资人对甲，乙两个项目分别投资,x y 万元5000{0.40.212000,0x y x y x y +≤+≤≥≥求0.8z x y =+最大值 如图作出可行域当目标函数结果点()1000,4000A 时，0.8z x y =+取得最大值为4200 万元，此时对甲乙两项目投资额分别为1000 万元和4000 万元盈利最大.20．(1) 22136x y +=;(2) 2x y =+.【解析】试题分析：（1）双曲线的焦点为(0,F ，即223a b =+，将1,2代入椭圆的标准方程，由此解得226,3a b ==；（2）设出直线AB 的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式和三角形面积公式写出面积的表达式，利用换元法求得面积最大值和直线PQ 的方程. 试题解析：（1）可解得双曲线焦点坐标为(0,F ,设方程为22221(0)x y a b b a+=>>可得到：2222141{3b a a b +=∴-= , 解得 226{3a b =∴=所以椭圆C 的方程为22136x y +=（2）设直线AB 方程为2x my =+ 则()22222{22626x my y my x y =+∴++=+= 得到()2221820m y my +++=()22648210m m ∆=-+> 解得: 216m >则()()1221122121112222OPQ S x y x y my y my y y y ∆∴=-=+-+=-令t =,则2216t m +=2241442216OPQ S t t t t ∆===≤=++++当且仅当2t =时取得等号,即m =时，此时面积最大值为2此时直线PQ 方程为2x y =+. 点睛：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查双曲线和椭圆的定义与标准方程.第一问给定双曲线的方程，实际上是出椭圆焦点的坐标，利用椭圆上一点列方程组可求出椭圆,a b 的值.第二问研究有关直线和圆锥曲线相交所得三角形面积的最值，则利用弦长公式和点到直线距离公式先将面积的表达式求出来，再考虑用换元法和基本不等式来求最大值. 21．（1）见解析.（2）见解析 【解析】试题分析：（1）函数的定义域为正实数，求导通分后，通过比较导函数两个零点的大小来分类讨论函数的单调区间；（2）由（1）知，当23a =-时，函数()f x 在0,1上递减，在1,上递增，最小值为()11f =由此构造不等式()11113ln 211x x x x x >=-+++，令x n =，利用裂项求和法即可证明不等式. 试题解析：（1）：定义域为{}0x x()()()()2111111'10ax a x x ax f x x ax a ax ax -++--⎛⎫=+-+=== ⎪⎝⎭， 解得1211,x x a==， 当0a <时：()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增； 当01a <<时：()f x 在()0,1递增，在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增； 当1a =时：()f x 在()0,+∞递增；当1a >时：()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在1,1a⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增；（2）当23a =-时，()2311ln 222f x x x x =-++在()0,1递减，在()1,+∞递增 则()()2311ln 11222f x x x x f =-++≥=得到()23ln 21x x x x x +≤+=+，当2x ≥时()11113ln 211x x x x x >=-+++累加得到：当2n ≥111111111113ln123ln223ln 212231111n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭原不等式得证.（思路点评：看结论可知需要累加，右边需要列项相消，赋值时考虑二次函数处需要凑出2x x +或2x x -就能方便取倒数后裂项相消，尝试后选择23a =-）.点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用构造法证明数列不等式，还考查了分类讨论的数学思想方法和化归与转化的数学思想方法.第一问研究函数的单调性，要先求定义域，求导通分后进行因式分解，此时导函数有两个零点，对零点的分布进行讨论得到函数的单调区间.第二问在第一问的基础上，取a 的一个特殊值构造不等式来证明.。
2020-2021学年江西省宜春市丰城中学高二数学文联考试卷含解析
2020-2021学年江西省宜春市丰城中学高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是A. B.C. D.参考答案：D【分析】由三视图，判断出该几何体的形状，即可得出结果.【详解】由几何体的三视图可得：该几何体为一个圆锥与圆柱组合而成；故选D【点睛】本题主要考查由几何体三视图还原几何体的问题，熟记几何体的特征即可，属于常考题型.2. 把A，B，C，D 4张纸牌随机地分发给甲，乙，丙，丁四个人，每人一张，则事件“乙分得A牌”与事件“丁分得A牌”是（）A．不可能事件B．互斥但不对立事件C．对立事件D．以上答案都不对参考答案：B【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由于事件“乙分得A牌”与事件“丁分得A牌”不可能同时发生，故他们是互斥事件．但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．【解答】解：根据题意可得，事件“乙分得A牌”与事件“丁分得A牌”不可能同时发生，故他们是互斥事件．但由于这两个事件的和事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件，故选B．3. 已知复数，是的共轭复数，且则a、b的值分别为( )A． B． C．D．参考答案：C4. 函数有极值的充要条件是（）A .B .C .D .参考答案：C略5. 已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，当α，β相交时直线m，n可以异面和相交，当直线m，n异面直线时，α，β必相交，故“α，β相交”是“直线m，n异面”的必要不充分条件，故选：B6. 给出下列四个命题：①若，则；②已知，则是且的必要不充分条件③若，则；④若，则的最小值为8；真命题的个数为（）A. 1个B.2个C.3个D.4个参考答案：B7. 从1，2，3，4，5中不放回地依次取2个数，事件A表示“第1次取到的是奇数”，事件B表示“第2次取到的是奇数”，则（）A．B．C．D．参考答案：D8. 使不等式2x﹣4＞0成立的一个充分不必要条件是（）A．x＞2 B．x＞3 C．x＞1 D．x∈{1，2}参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出不等式，结合集合的包含关系求出充分必要条件即可．【解答】解：解不等式2x﹣4＞0，得：x＞2，不等式成立的一个充分不必要条是：x＞3，故选：B．9. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b2+c2﹣bc=a2，且=，则角C 的值为（）A．45°B．60°C．90°D．120°参考答案：C【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】把b2+c2﹣bc=a2代入余弦定理求得cosA的值，进而求得A，又根据=利用正弦定理把边换成角的正弦，根据cosA求得sinA，进而求得sinB，则B可求，最后根据三角形内角和求得C．【解答】解：∵b2+c2﹣bc=a2∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∴A=60°．又=，∴=，∴sinB=sinA=×=，∴B=30°，∴C=180°﹣A﹣B=90°．故选C10. 已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b= ．参考答案：3【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．12. 已知, 且, 则的最小值是▲．参考答案：【分析】由基本不等式可得，设，，利用函数的单调性可得结果.【详解】因为,且，所以，设，则，，，即，，设，，在上递减，，即的最小值是，故答案为.13. 在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和交点的直角坐标为_____________参考答案：(1,2)14. 如下图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A B C D内灌进一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，有下面五个命题：（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）棱A D始终与水面所在平面平行；（4）水面EFGH所在四边形的面积为定值；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值；其中所有正确命题的序号是 .图1 图2 图3参考答案：① ② ④ ⑤15. 某校从6名教师中选派3名教师去完成3项不同的工作，每人完成一项，每项工作由1人完成，其中甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_____种.参考答案：48【分析】先选人后分配，选人分有甲丙和没有甲丙2种情况，然后选出的3人全排列，两步的结果相乘可得解.【详解】根据题意，可以分两步完成选派：①先从6名教师中选出3名老师，需分2种情况进行讨论.1.甲和丙同去，有种不同选法；2.甲和丙同不去，有种不同选法，所以不同的选法有种.②将选出的3名老师全排列，对应3项不同的工作，有种情况.根据分步计数原理得不同的选派方案共有种.【点睛】本题主要考查排列组合的综合题，先选人后分配是解决本题的关键.16. 一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，直观图的底角为，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为。
江西省宜春市宜丰第二中学2020-2021学年高二数学文联考试卷含解析
江西省宜春市宜丰第二中学2020-2021学年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()A. B． C. 1－D．1－参考答案：D2. 已知△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，b sin B－c sin C＝0，则△ABC为()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形参考答案：C3. 点P在曲线y=x3﹣x+上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．[0，]B．[0，）∪[，π）C．[，π）D．（，]参考答案：B【考点】导数的几何意义．【分析】根据导数的几何意义可知切线的斜率即为该点处的导数，再根据导数的取值范围求出斜率的范围，最后再根据斜率与倾斜角之间的关系k=tanα，求出α的范围即可．【解答】解：∵tanα=3x2﹣1，∴tanα∈[﹣1，+∞）．当tanα∈[0，+∞）时，α∈[0，）；当tanα∈[﹣1，0）时，α∈[，π）．∴α∈[0，）∪[，π）故选B．4. 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的点．若PF1⊥F1F2，∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得x P=﹣c，代入椭圆方程求得P的坐标，再由解直角三角形的知识，结合离心率公式，解方程可得所求值．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），由题意可得x P=﹣c，代入椭圆方程，解得y P=±b=±，在直角三角形F1PF2中，tan60°==，即有b2=2ac，即为a2﹣2ac﹣c2=0，由e=，可得e2+2e﹣=0，解得e=（负的舍去）．故选：B．5. 如果一个钝角三角形的边长是三个连续自然数，那么最长边的长度为( )(A)3 (B)4 (C)6 (D)7参考答案：B略6. 某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.正四棱锥P－EFGH的高为，长为2，长为1，则该组合体的表面积为（）A．20B．4+12C．16D．4+8参考答案：A7. 如右图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（）（A）70°（B）35°（C）20°（D）10°参考答案：C8. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则点O到平面ADC的距离为_____.参考答案：略9. 已知a b，且a sin＋acos－＝0 ，b sin＋bcos－＝0，则连接(a，a2)，(b，b2)两点的直线与单位圆的位置关系是A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定参考答案：A10. 在中，角A、B 、C所对的边分别为、、且，则( )A、 B、 C、 D、参考答案：A试题分析：,选A.考点：正弦定理二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 由动点向圆引两条切线、切点分别为、，若，则动点的轨迹方程为__________．参考答案：解：∵，，，∵，∴是等边三角形，为定值，∴点轨迹方程为．12. 已知x ≥ 1，则动点A ( x +，x –)与点B ( 1，0 )的距离的最小值是 。
江西省宜春中学高安二中上高二中樟树中学丰城中学2020-2021学年高三上学期五校联考数学(文)试题
D．“ x 2 ”是“ x 2 3x 2 0 ”成立的必要不充分条件 .
3.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容
如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，
求其等也．以等数约之．”右图是该算法的程序框图，如果输入 a = 153，
b = 119，则输出的 a 值是( )
附：对于一组数据 x1, y1 , x2 , y2 ,..., xn, yn ，其回归直线 y bx a 的斜率和截距的最小二乘估
n
n
xi yi nx y
(xi x)( yi y)
计分别为, b
i 1 n
i1 n
xi2 n(x)2
(xi x)2
i 1
i 1
, a y bx
3.
在 ABC 中，由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B (a c)2 2ac 3ac
∴ a c2 1 2 3 3 1
2
3 ，∴ a c 1
3，
∴ ABC 的周长为 2 3
………………………………12 分
18. 解：(1) x 1 1 2 3 5 6 7 4, y 1 60 55 53 46 45 41 50 ,
6
6
6
xi
x
yi
y
3 10
2
5
1
3
1
4
2
5
3
9
84
,
i 1
6 xi x 2 32 22 12 12 22 32 28
,
i 1
n
n
b
xi yi nx y
i 1
n
xi2 n(x)2
2020-2021学年江西省宜春市丰城中学高二上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年江西省宜春市丰城中学高二上学期期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A=，B=，则A∩B=()A. B.C. D.2.从1000人中按系统抽样的方法抽取20人，那么每个人被选中的概率是()A. 都相等且等于150B. 都相等且等于120C. 不全相等D. 均不相等3.如图是2017年深圳市各月平均气温(℃)数据的折线图，则平均最低气温的中位数是()A. 20B. 21C. 25.5D. 264.批零共160个，其中一48个二品64个，等品3个，等外品1个．从中抽取个容量为0的样本，对总体中每个体到的概率用简单随机抽样为p1，用分层抽样p，用系抽样3.则)A. p1>p2>p3B. p1>p3>p2C. p2>p3>p1D. p1=p2=p35.已知圆x2+y2−4x+2y+1=0关于双曲线C：y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线对称，则双曲线C的离心率为()A. √5B. 5C. √52D. 546. 若根据10名儿童的年龄x(岁)与体重y(千克)数据用最小二乘法得到用年龄预测体重的回归方程y ^=2x +7，已知这10名儿童的年龄分别是2，3，3，5，2，6，7，3，4，5，则这10名儿童的平均体重是( )A. 15千克B. 16千克C. 17千克D. 18千克7.如图是一个正方体的平面展开图，则在这个正方体中，MN 与PQ 所成的角为( )A. 0°B. 60°C. 90°D. 120°8.函数f(x)=lnx +2x −6的零点一定位于下列哪个区间( )A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)9.已知函数在区间[−1,1]上为增函数，则在区间[0,1]上任意取两个实数a ，b ，使f(x)在区间[−1,1]上有且仅有一个零点的概率为( )A.B.C.D.10. 已知P ，Q ，R 是圆x 2+y 2−2x −8=0上不同三点，它们到直线l ：x +√3y +7=0的距离分别为x 1，x 2，x 3，若x 1，x 2，x 3成等差数列，则公差的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 设三棱柱ABC −A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，AB =AC =2，∠BAC =90°，AA 1=2√2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是( )A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π12. 设为两条不同的直线，为一个平面，下列命题中为真命题的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则D. 若，，则二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.执行下边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=____________．14.从某高校在校大学生中随机选取5名女大学生，由她们身高和体重的数据得到的回归直线方程为ŷ=0.79x−73.56，数据列表如下：则其中的数据a=____________．15.已知向量|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为______ ．16.若x，y满足约束条件{x−y≤2 , 2x+y≥1 , y≤1 , 则z=x+y的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知圆C1：x2+y2−2x=0与直线l：x+y−2=0．(1)求圆心C1到直线l的距离；(2)判断直线与圆的位置关系，如果两者相交，请求出交点坐标．18.已知函数f(x)=3sin(x2+π6)+3(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)若f(2α)−3=√2，求cos(π3−α)．19.设关于x的一元二次方程a n x2−a n+1x+1=0(n∈N∗)有两根α和β，满足α+β−αβ=2，且a1=1(1)试a n用表示a n+1；(2)求数列{a n}的通项公式．20.某早餐店对一款新口味的酸奶进行了一段时间试销，定价为5元/瓶．酸奶在试销售期间足量供应，每天的销售数据按照[15,25]，(25,35]，(35,45]，(45,55]分组，得到如下频率分布直方图，以不同销量的频率估计概率．试销结束后，这款酸奶正式上市，厂家只提供整箱批发：大箱每箱50瓶，批发成本85元；小箱每箱30瓶，批发成本65元．由于酸奶保质期短，当天未卖出的只能作废．该早餐店以试销售期间的销量作为参考，决定每天仅批发一箱(计算时每个分组取中间值作为代表，比如销量为(45,55]时看作销量为50瓶)．①设早餐店批发一大箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量X，批发一小箱时，当天这款酸奶的利润为随机变量Y，求X和Y的分布列；②从早餐店的收益角度和利用所学的知识作为决策依据，该早餐店应每天批发一大箱还是一小箱？(必须作出一种合理的选择)21.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上不同于A，B的点，过点C的直线VC垂直于⊙O所在平面．D，E，F分别是VA，VB，VC的中点，且BC=1，AC=2，VC=2.求证：(Ⅰ)平面DEF⊥平面VBC；(Ⅱ)求VO与平面ABC所成角的余弦值．22.对于函数f(x)，若存在区间[m,n](m<n)，使得f(x)在区间[m,n]上的值域为[λm,λn]，则称f(x)为“λ倍函数”．(Ⅰ)若函数f(x)=x3为“1倍函数”，求符合条件的区间[m,n]．(Ⅱ)若函数f(x)=k+√x+2为“1倍函数”，求实数k的取值范围．。
2020-2021学年江西省宜春市高安中学高二上学期期中数学试卷(文科)(含解析)
2020-2021学年江西省宜春市高安中学高二上学期期中数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.下列选项一定正确的是()A. 若 a>ｂ，则 ac>bcB. 若√a>√b，则a>bC. 若a2>b2，则a>bD. 若1a <1b，则a>b2.要完成下列两项调查：(1)某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；(2)从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况．应采取的抽样方法是()A. (1)用系统抽样法，(2)用简单随机抽样法B. (1)用分层抽样法，(2)用系统抽样法C. (1)用分层抽样法，(2)用简单随机抽样法D. (1)(2)都用分层抽样法3.有4万个不小于70的两位数，从中随机抽取了3000个数据，统计如表：数据%70<T<7980<a<8990<a<99个数8001300900平均数78.18591.9请根据表格中的信息，估计这4万个数据的平均数为()A. 92.16B. 85.23C. 84.73D. 77.974. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点为x1,x2(x1<x2)，函数f(x)的最小值为y0，且y0∈[x1,x2)，则函数y=f(f(x))的零点个数是()A. 3B. 4C. 3或4D. 2或35. 扇形的半径为1，圆心角90°.点C，D，E将弧AB等分成四份．连接OC，OD，0E，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是()A. 310 B. 15 C. 25 D. 126. 对具有线性相关关系的变量x ，y ，测得一组数据如下x 2 4 5 6 8 y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y ∧=10.5x +a ∧，据此模型预测当x =10时，y 的估计值为( )A. 105.5B. 106C. 106.5D. 1077. 如果实数x 、y 满足{x −4y +3≤03x +5y −25≤0x ≥1，目标函数z =kx +y 的最大值为12，最小值3，那么实数k 的值为( )A. 2B. −2C. 15D. 不存在8. 如图所示的程序框图．运行相应的程序．则输出的结果是( )A. 0B. 12C. 1+√32D. 3+√329. 已知函数f(x)∈R ，g(x)∈R ，有以下命题： ①若f[f(x)]=f(x)，则f(x)=x ； ②若f[f(x)]=x ，则f(x)=x ；③若f[g(x)]=x ，且g(x)=g(y)，则x =y ；④若存在实数x ，使得f[g(x)]=x 有解，则存在实数x ，使得g[f(x)]=x 2+x +1． 其中是真命题的序号是(写出所有满足条件的命题序号)( )A. ①②B. ②③C. ③④D. ③10. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)=f(−x)，且在[0,+∞)上是增函数，不等式f(ax +2)≤f(−1)对于x ∈[1,2]恒成立，则a 的取值范围是( )A. [−1.5,−1]B. [−1,−0.5]C. [−0.5,0]D. [0,1]11. 已知实数x ，y 满足{x −y ≥0y ≤1−x y ≥−1，则2x +y 的最大值为( )A. −3B. 32C. 2D. 312. 设函数在定义域内可导，的图象如图，则导函数的图象可能为 ( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qiandu)；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，C1C=BC=2.给出下列四个结论：①四棱锥B−ACC1A1为阳马；②直线BC1与平面ACC1A1所成角为45°；③当AB=1时，异面直线BC与AC1所成的角的余弦值为3√714；④当三棱锥C1−ABC体积最大时，四棱锥B−A1ACC1的外接球的表面积为8π．其中，所有正确结论的序号是______．14. 曲线f(x)=e xx−1在x=0处的切线方程为______ ．15. 从集合A={−2,−1,1}中随机选取一个数记为k，从集合B={−1,1，3}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第四象限的概率为______ ．16. 若9x+a2x≥a+1(a>0)对一切正实数x均成立，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)若关于x的不等式ax2−3x+2>0(a∈R)的解集为{x|x<1或x>b}，求a，b的值；(2)解关于x的不等式ax2−3x+2>5−ax(a∈R)．18. 在2020年北京举办的国际自主智能AI大赛中，主办方设计了一个矩形场地ABCD(如图)，在AB边上距离A点6米的F处有一只电子狗，在距离A点3米E处放置一个机器人．电子狗的运动速度是机器人速度的两倍．如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到达某点，那么机器狗将被机器人捕获，电子狗失败，这点叫失败点．(1)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域；(2)若P为矩形场地AD边上的一点，若电子狗在线段FP上都能逃脱，问：P点应在何处？19. 已知命题p：“实数m满足：方程x2m−5+y2m+2=1表示双曲线”，命题q：“实数m满足：m2−2m+1−t2<0(t>0)，且q是p的必要不充分条件，求实数t的取值范围．20. 为迎接春节，某工厂大批生产小孩具--拼图，工厂为了规定工时定额，需要确定加工拼图所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下： 拼图数x/个 10 2030405060708090100加工时间y/分钟626875818995102108115122(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系；(2)求回归方程；(3)根据求出的回归方程，预测加工2010个拼图需要用多少小时？(精确到0.1) 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=n i=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2a ̂=y −b ̂x ．参考数据 合计 x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550 y626875 81 89 95 102 108 115 122 917 x i 2 100 400 900 1600 2500 3600 4900 6400 8100 10000 38500 x i y i 620 1360 22503240445057007140884010350122005595021. 一名大学生尝试开家小“网店”销售一种学习用品，经测算每售出1盒盖产品获利30元，未售出的商品每盒亏损10元．根据统计资料，得到该商品的月需求量的频率分布直方图(如图所示)，该同学为此购进180盒该产品，以x(单位：盒，100≤x ≤200)表示一个月内的市场需求量，y(单位：元)表示一个月内经销该产品的利润． (1)根据直方图估计这个月内市场需求量x 的平均数； (2)将y 表示为x 的函数；(3)根据直方图估计这个月利润不少于3800元的概率(用频率近似概率)．。
【高二】江西省宜春市丰城三中2021-2021学年高二上学期期中考试 数学试题
【高二】江西省宜春市丰城三中2021-2021学年高二上学期期中考试数学试题试卷说明：一、选择题（50分）1、数列2、-4、6、-8、……的一个通项公式为（）A、an=2n B、an=(-1)n?2n C、an=(-1)n+1?2n D、an=(-1)n-1?2n+12、如果等差数列{ an}中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()A、14 B、21 C、28 D、353、设{ an }为等差数列，公差d=-2，Sn为其前n项和，若S10=S11，则a1=()A、18 B、20 C、 22 D、244、已知等比数列{ an}中，a2=2，a5=16，则下列曲线中一定经过点（n，an）的是（）A、y=2x B、y=?2x C、y=2x+1 D、y=2x+25、已知等比数列{ an}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=()A、243 B、128 C、81 D、646、设Sn为等比数列{ an}的前n项和，8a2+a5=0，则=（）A、11 B、5 C、-8 D、-117、在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠ BAC的大小为（）A、B、 C、 D、8、ΔABC中，a=，b=，B=60°，则∠A=（）A、135° B、90° C、45° D、30°9、在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对边的长，若c?cosB=b?cosC，且cosA=,则cos2B等于（）A、 B、- C、 D、- 10、数列{ an}的首项为3，{ bn}为等差数列且bn=an+1-an(nN+),若b3=-2,b10=12,则a8=()A、14 B、11 C、8 D、3二、填空题（25分）11、已知数列{ an}的前n项和Sn=n2-9n,则其通项an= 12、数列{ an}满足an=-n2+5n-6,则{ an}的前n项和Sn的最大值为 13、ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2=ac,则∠B= 14、在ΔABC中，B=30°,AB=2,AC=2,则ΔABC的面积为 15、若数列{ an}是正项数列，且…+=n2+3n，则…+= 三、解答题（4x12+13+14=75分）17、在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且B=，b=3,sinC=2sinA,求a、c的值。
江西省2021学年高二数学上学期期中试题 文
江西省宜春市第九中学2021学年高二数学上学期期中试题 文说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。
考试用时120分钟，第I 卷（选择题)一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．直线()2120mx m y ++-=和直线310x my ++=垂直，则实数m 的值为（ ） A ．-2B ．0C ．2D ．-2或02．方程01222=++-+y ax y x 不能表示圆，则实数的值为（ ）A.0B.1C.D.23．直线34x ty t=-⎧⎨=+⎩，(t 为参数)上与点()3,4P 2的点的坐标是( )A.()4,3B.()4,5-或()0,1C.()2,5D.()4,3或()2,54．若x ，y 满足221x y +=，则3x +的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知双曲线22213x y a -=的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则该双曲线的渐近线是( ) A ．12y x =±B ．3y x =C ．3y x =D ．.3y x = 6．抛物线2y ax =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ）A ．18 B ．18-C ．8D ．8- 7．设点1F ，2F 分别是椭圆2222x y C 1(b 0)b 3b：+=>+的左、右焦点，弦AB 过点1F ，若2ABF 的周长为8，则椭圆C 的离心率为()A ．12B ．14C ．15 D ．3 8．若圆()2214x y ++=与圆()221x a y -+=相交，则实数a 的取值范围是（ ） A.a R ∈且1a ≠B.42a -<<C.02a <<或42a -<<-D.24a <<或10a -<<9．椭圆()2221039x y m m +=<<的左右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 最新y 轴的对称点为点C ，则四边形12AFCF 的周长为（ ） A.6B.4mC.12D.249m -10．己知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，直线l 过焦点且倾斜角为4π，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为（ ） A ．2B ．3 C ．5 D ．6 11.如图所示，点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 分别在抛物线24y x =及圆22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则FAB ∆的周长的取值范围（ ）（10题图） （12题图） A.(4,6) B.[4,6] C.(2,4)D.[2,4]12．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．D ．第II 卷（非选择题)二、填空题（本大题共4小题，共16分） 13．已知圆的方程为：2)1(22=+-y x ，则斜率为1且与圆相切直线的方程为______．14．若曲线2sin sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),与直线y a =有两个公共点则实数a 的取值范围是. 15．如图所示，已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B(3，0)，圆P 过B 且与圆A 内切，则圆心P 的轨迹方程为_________．16．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，若等边PMF ∆的面积为43，则p =__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（10分)在平面直角坐标系xoy 中，求过圆()35cos {,45sin x y ϕϕϕ=-+=+为参数的圆心，()42{,.3x tt y t=-=-且与直线为参数平行的直线的方程18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧∈==))2,0[(sin 3cos πθθθy x ，曲线2C 的参数方程为122(32x t t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)． ()1求曲线1C ，2C 的普通方程； ()2求曲线1C 上一点P 到曲线2C 距离的取值范围．19．（12分）设双曲线与椭圆2211216x y +=有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为2，求此双曲线的标准方程．20．（12分）已知点(1,0),(1,0)A B -，圆C 的方程为2268160x y x y +--+=，点P 为圆上的动点，过点A 的直线l 被圆C 截得的弦长为25．(1)求直线l 的方程； (2)求PAB ∆面积的最大值．21．（12分）如图所示，已知点M(a,4)是抛物线24y x =上一定点，直线AM BM 、的斜率互为相反数，且与抛物线另交于A B 、两个不同的点． （1）求点M 到其准线的距离； （2）求证：直线AB 的斜率为定值．22．（12分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.参考答案1．D 2．A 3．D 4．B 5．B 6．B 7．D 8．C 9．C 【解析】∵过2F 的直线与椭圆交于A B 、两点，点B 最新y 轴的对称点为点C ， ∴四边形12AFCF 的周长为12124AF AF CF CF a +++= ，∵椭圆 222 1039x y m m+＝，（＜＜）3a ∴= ，∴四边形12AFCF 的周长为12．10.D 【详解】直线l 的方程为y x c =±，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦为AB ,2AB c =，设OC AB ⊥，垂足为C ，则22c OC c ±==，在Rt OAC ∆中， 2222222211366()222OA AC OC a AB c a c c a e =+⇒=+⇒=⇒=⇒=. 11．A 【解析】由题意知抛物线24y x =的准线为1x =-，设A B 、两点的坐标分别为1,0()A x y ，2,0()B x y ，则1||1AF x =+。
江西省宜春市数学高二上学期文数期中考试试卷
江西省宜春市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·遂宁期末) 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（）A . 若，则；B . 若面，面，，则面C . 若，则 .D . 若，，则2. （2分） A=,B=,若，则的值的集合为（）A .B .C .D .3. （2分）已知直线m、n和平面α，在下列给定的四个结论中，m∥n的一个必要但不充分条件是（）A . m∥α，n∥αB . m⊥α，n⊥αC . m∥α，n⊂αD . m、n与α所成的角相等4. （2分）一个正四棱台的两底面边长分别为m，2m，侧面积等于两个底面面积之和，则这个棱台的高为（）A .B . 2mC .D .5. （2分）(2017·泸州模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C . 18πD . 22π+46. （2分） (2018高一下·深圳期中) 已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（）A .B .D .7. （2分） (2018高二上·铜梁月考) 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . A，B，C均有可能8. （2分） (2018高一下·北京期中) 已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·汕头期中) 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE：EB=CF：FB=1：2，则AC和平面DEF的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 在平面内D . 不能确定10. （2分） (2016高三上·湖北期中) 若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则 + 的最小值为（）B .C . 4D .11. （2分）设m,n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A . 若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥βB . 若m∥α，n∥β，α∥β则m∥nC . 若m∥n，m∥α，n∥β则α∥βD . 若m⊥α,n∥β,α∥β，则m⊥n12. （2分） (2016高二上·温州期中) 已知直线m和平面α，β，若α⊥β，m⊥α，则（）A . m⊥βB . m∥βC . m⊂βD . m∥β或m⊂β二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·鸡西期末) 在正方体中（如图），已知点在直线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变；②直线与平面所成的角的大小不变；③二面角的大小不变；④ 是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线其中真命题的编号是________．（写出所有真命题的编号）14. （1分） (2018高一上·海珠期末) 经过，两点的直线的倾斜角是________ .15. （1分）如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条.16. （1分）已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，AB=2 ，AC=2，则三棱锥P ﹣ABC的体积为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2018高一上·海珠期末) 已知的三个顶点（1）求边上高所在直线的方程；（2）求的面积．18. （10分） (2016高一下·武邑期中) 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）求证：AD1⊥平面CDA1B1；（2）求直线AD1与直线BD所成的角．19. （10分） (2018·北京) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ，PA⊥PD ，PA=PD ， E ， F分别为AD ， PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.20. （10分）如图，P 是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC．若O和Q分别是△ABC和△PBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC．21. （10分）(2017·辽宁模拟) 如图，在棱台ABC﹣FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为CE中点，．（1）λ为何值时，MN∥平面ABC？（2）在（1）的条件下，求直线AN与平面BMN所成角的正弦值．22. （10分） (2019高一上·吉林月考) 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD．求证：（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
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利润 /万元
56Βιβλιοθήκη 6.58利用线性回归分析思想，预测出2021年8月份的利润为11.6万元，则 关于 的线性回归方程为________.
15．已知 ， 是圆 ： 上的两个动点， ， .若 是线段 的中点，则 的值为__.
16．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗 ，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 或 ，设点 ，则 的取值范围是_______.
（1）求证：平面MPC⊥平面PCD；
（2）求三棱锥 的高.
22．已知函数 对一切实数 都有 成立，且 ， .
（1）求 的值和 的解析式；
（2）若关于 的方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围.
参考答案
1．D
【分析】
先分别求解集合 与集合 ，然后计算 .
【详解】
因为 ， ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
【点睛】
本题主要考查了简单的随机抽样中的随机数表法的应用，其中解答中熟记随机数表法的抽取方法，依次抽取是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3．B
【解析】
评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；
A． B． C． D．
12．如图所示的四个正方体中， 为正方体的两个顶点， 分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号为（）
A．①②B．③④C．①②③D．②④
二、填空题
13．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出 _______.
14．某公司对2021年1~4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：
三、解答题
17．已知圆C的圆心为(1，1)，直线 与圆C相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
18．已知 分别为 内角 的对边，且 ．
（1）求角A；
（2）若 ，求 的面积．
19．已知数列 的前 项和为 ，且满足 .
（1）求数列 的通项公式；
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01
A．05B．09C．07D．20
3．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
20．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85）， 第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；
A．3B．4C．5D．6
5．圆 关于 轴对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．根据最小二乘法由一组样本点 （其中 ），求得的回归方程是 ，则下列说法正确的是( )
A．至少有一个样本点落在回归直线 上
B．若所有样本点都在回归直线 上，则变量同的相关系数为1
C．对所有的解释变量 （ ）， 的值一定与 有误差
本题考查集合的交集运算，根据交集的概念计算即可.
2．C
【分析】
从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且小于或等于50的编号，注意重复数值要舍去，由此求出答案.
【详解】
根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是 ，可知选出的第4个值为 ，故选C.
D．若回归直线 的斜率 ，则变量x与y正相关
7．如图，在四面体 中， ， 、 分别是 、 的中点，若 与 所成的角的大小为30°，则 和 所成的角的大小为（）
A．15°B．75°C．30°或60°D．15°或75°
8．已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数 则y＝f(x)－g(x)的零点个数为( )
A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数
4．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：
若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为（）
江西省宜春市丰城中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学文科试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．总体由编号为01，02，03， ，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）
（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.
21．如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，M、N分别为AB、PC的中点， .
A．1B．3C．2D．4
9．如图所示正方形 ， 、 分别是 、 的中点，则向正方形内随机掷一点 ，该点落在阴影部分内的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．直线 与圆 的两个交点恰好关于 轴对称，则 等于（）
A． B． C． D．
11．已知三棱锥 的各顶点都在同一球面上，且 平面 ，若该棱锥的体积为1， ， ， ，则此球的表面积等于（）