矢量分析与场论
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Bx By Bz
Ay Bz Az By ex Az Bx AxBz ey AxBy Ay Bx ez
这种表达式也是教材中经常要用到的。
其他运算公式
(A B) A B
(A) A A
(A B) A B
(A) A A
(A B) B A A B
哈密顿算符： 直角坐标系中： 圆柱坐标系中
ex x ey y ez z
er
r
e
1 r
ez
z
球坐标系中
er
r
eq
1 r
q
e
1
r sinq
矢量积的坐标表达式：
A B Axex Aye y Azez Bxex Bye y Bzez
ex ey ez Ax Ay Az
其中ex、ey、ez分别是x、y、z 轴上的单位矢量，其长度为一，方向分别与x、y、 z 轴的方向相同。
在圆柱坐标系中 A Arer r,, z Ae r,, z Azez
在球坐标系中 A Arer r,q , Aq eq r,q , Ae r,q ,
3、矢量运算
点乘（数量积）：
A B A B cosq
SA dS VdivAdV
三、散度的物理意义
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
• 散度代表矢量场的通量源的分布特性
· A= 0 (无源）
() 0
A ( A) 2 A
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
2 A 2 Axex 2 Ayey 2 Azez
0.2 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下,
标量场
如温度场,电位场,高度场等;
如流速场,电场,涡流场等.
则有:
l g el | g | cos(g, el )
当 q ( g,el ) 0
,即
el与g
方向一致时,
l
为最大.
g
x
ex
y
ey
z
ez
grad
梯度(gradient)
式中
ex
x
ey
y
ez
z
称为哈密顿算子
二. 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向.
设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 l 的方向 导数为:
cos cos cos ( , , ) (cos , cos , cos )
l x
y
z
x y z
el ex cos ey cos ez cos )
式中 ， ， ，分别是P点方向l与x,y,z轴的夹角
矢量场
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面). 其方程为
h (x, y, z) const
矢量场--矢量线
其方程为
Adl 0
图0.1.2 矢量线
图0.1.1 等值线
在直角坐标下:
二维场
Ax Ay dx dy
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？三维场
一. 梯度
0.3 标量场的梯度
A• B A B cosq 0 当A B时
矢量点积的坐标表达式：
A B ( Axex Ayey Azez ) (Bxex Byey Bzez ) Ax Bx Ay By Az Bz
这种表达式是教材中经常要用到的。
叉乘（矢量积）：
C A B A B sinq
A B A B sinq 0 A// B
之比的极限存在，即
divA
lim
v0
1 v
A dS
S
称为通量源密度
由奥斯特罗格拉特斯基公式：
A dS S
S
Axdydz Ay dzdx Az dxdy
V
Ax x
Ay y
百度文库Az z
dV
定义：
divA A
Ax x
Ay y
Az z
散度(divergence)
所以通量可以看作是体积V内散度的体积分： （高斯散度定理）
例1 三维高度场的梯度
例2 电位场的梯度
图0.2.1 三维高度场的梯度
高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直； • 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。
图0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
0.4 矢量场的通量与散度
2、圆柱坐标 r f z • 单位向量： er，ef，ez • 元长度：dl = erdr + efrdf + ezdz • 元面积：dS = errdfdz + efdrdz + ezrdrdf • 元体积：dV = rdrdfdz
3、球坐标 r f q
• 单位向量： er，eq，ef • 元长度：dl = erdr + eq rdq + ef r sinqdf • 元面积：dS = err2sinqdfdq + eq rsinqdrdf + ef rdrdq
• 元体积：dV = r2sinqdqdfdr
0.2、矢量运算 1、标量 仅用一个数值(变量)就可以描述的物理量，如电压、电荷、电流、 高度、距离等 V(x,y,z,t)、Q(x,y,z)、I(t)、H、L
2、矢量 需要用二个数值(变量)描述的物理量，如电场强度、速度、电流密度、位置等
直角坐标系中的矢量表达式 A Axex Ayey Azez
电磁场
郑州大学电气工程学院
张泽全
电磁场
矢量与场论基础
正交坐标系与矢量运算
0.1 正交坐标系
1、直角坐标系：x y z • 单位向量： ex，ey，ez • 元长度：dl = exdx + eydy + ezdz • 元面积：dS = exdydz + eydzdx + ezdxdy
• 元体积：dV = dxdydz
一、矢量场的通量 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分
E dS S
若S 为闭合曲面 f E ds ，可以根据 s
净通量的大小判断闭合面中源的性质:
图0.3.1 矢量场的通量
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
图0.3.2 矢量场的通量
> 0 (有正源)
二、矢量场的散度
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积
Ay Bz Az By ex Az Bx AxBz ey AxBy Ay Bx ez
这种表达式也是教材中经常要用到的。
其他运算公式
(A B) A B
(A) A A
(A B) A B
(A) A A
(A B) B A A B
哈密顿算符： 直角坐标系中： 圆柱坐标系中
ex x ey y ez z
er
r
e
1 r
ez
z
球坐标系中
er
r
eq
1 r
q
e
1
r sinq
矢量积的坐标表达式：
A B Axex Aye y Azez Bxex Bye y Bzez
ex ey ez Ax Ay Az
其中ex、ey、ez分别是x、y、z 轴上的单位矢量，其长度为一，方向分别与x、y、 z 轴的方向相同。
在圆柱坐标系中 A Arer r,, z Ae r,, z Azez
在球坐标系中 A Arer r,q , Aq eq r,q , Ae r,q ,
3、矢量运算
点乘（数量积）：
A B A B cosq
SA dS VdivAdV
三、散度的物理意义
• 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
• 散度代表矢量场的通量源的分布特性
· A= 0 (无源）
() 0
A ( A) 2 A
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
2 A 2 Axex 2 Ayey 2 Azez
0.2 标量场和矢量场
场是一个标量或一个矢量的位置函数,即场中任一个点都有一个确 定的标量值或矢量. 例如,在直角坐标下,
标量场
如温度场,电位场,高度场等;
如流速场,电场,涡流场等.
则有:
l g el | g | cos(g, el )
当 q ( g,el ) 0
,即
el与g
方向一致时,
l
为最大.
g
x
ex
y
ey
z
ez
grad
梯度(gradient)
式中
ex
x
ey
y
ez
z
称为哈密顿算子
二. 梯度的物理意义
• 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向.
设一个标量函数(x,y,z),若函数 在点P可微,则 在点P沿任意方向 l 的方向 导数为:
cos cos cos ( , , ) (cos , cos , cos )
l x
y
z
x y z
el ex cos ey cos ez cos )
式中 ， ， ，分别是P点方向l与x,y,z轴的夹角
矢量场
形象描绘场分布的工具--场线 标量场--等值线(面). 其方程为
h (x, y, z) const
矢量场--矢量线
其方程为
Adl 0
图0.1.2 矢量线
图0.1.1 等值线
在直角坐标下:
二维场
Ax Ay dx dy
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？三维场
一. 梯度
0.3 标量场的梯度
A• B A B cosq 0 当A B时
矢量点积的坐标表达式：
A B ( Axex Ayey Azez ) (Bxex Byey Bzez ) Ax Bx Ay By Az Bz
这种表达式是教材中经常要用到的。
叉乘（矢量积）：
C A B A B sinq
A B A B sinq 0 A// B
之比的极限存在，即
divA
lim
v0
1 v
A dS
S
称为通量源密度
由奥斯特罗格拉特斯基公式：
A dS S
S
Axdydz Ay dzdx Az dxdy
V
Ax x
Ay y
百度文库Az z
dV
定义：
divA A
Ax x
Ay y
Az z
散度(divergence)
所以通量可以看作是体积V内散度的体积分： （高斯散度定理）
例1 三维高度场的梯度
例2 电位场的梯度
图0.2.1 三维高度场的梯度
高度场的梯度 • 与过该点的等高线垂直； • 数值等于该点位移的最大变化率； • 指向地势升高的方向。
图0.2.2 电位场的梯度
电位场的梯度 • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点的最大方向导数； • 指向电位增加的方向。
0.4 矢量场的通量与散度
2、圆柱坐标 r f z • 单位向量： er，ef，ez • 元长度：dl = erdr + efrdf + ezdz • 元面积：dS = errdfdz + efdrdz + ezrdrdf • 元体积：dV = rdrdfdz
3、球坐标 r f q
• 单位向量： er，eq，ef • 元长度：dl = erdr + eq rdq + ef r sinqdf • 元面积：dS = err2sinqdfdq + eq rsinqdrdf + ef rdrdq
• 元体积：dV = r2sinqdqdfdr
0.2、矢量运算 1、标量 仅用一个数值(变量)就可以描述的物理量，如电压、电荷、电流、 高度、距离等 V(x,y,z,t)、Q(x,y,z)、I(t)、H、L
2、矢量 需要用二个数值(变量)描述的物理量，如电场强度、速度、电流密度、位置等
直角坐标系中的矢量表达式 A Axex Ayey Azez
电磁场
郑州大学电气工程学院
张泽全
电磁场
矢量与场论基础
正交坐标系与矢量运算
0.1 正交坐标系
1、直角坐标系：x y z • 单位向量： ex，ey，ez • 元长度：dl = exdx + eydy + ezdz • 元面积：dS = exdydz + eydzdx + ezdxdy
• 元体积：dV = dxdydz
一、矢量场的通量 矢量 E 沿有向曲面S 的面积分
E dS S
若S 为闭合曲面 f E ds ，可以根据 s
净通量的大小判断闭合面中源的性质:
图0.3.1 矢量场的通量
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
图0.3.2 矢量场的通量
> 0 (有正源)
二、矢量场的散度
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P时, 通量与体积