推理与证明复习(导学案)

宁陕中学导学案（数学）

高二级 班 姓名 年 月 日

《推理与证明》复习

学习目标：

1、能对推理与证明的各种方法进行梳理，建立知识网络，把握整体结构。

2、能比较数学证明的几种基本方法的思维过程和特点，灵活运用各种方法进行一些 数学证明。

3、了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用。

本章知识结构图：

一、基础训练

1

．已知，，且，则（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( )

A ．①

B ．②

C ．③

D ．①和②

3．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 012个圆中共有●的个数是（ ）

A ．61

B ．62

C ．63

D ．64

4．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个

图案中有白色地面砖的块数是 ( )

A.42

n + B.42n - C.24n + D.33n +

5.观察下列格式：20117655,781255,156255,31255则 ===的末四位数字为（ ）

A.3125

B.5625

C.0625

D.8125

6.半径为r 的圆的面积2)(r r S π=，周长r r C π2)(=,若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ππ2)(2='，类比上述命题可得到若球的半径为r ，则 。

7.在平面上，若两个正三角形的边长之比为1:2，则它们的面积之比为1:4，类似的在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1:2，则它们的体积之比为 。

6-63-333a =21n n n a a a ++=-26a =13a =

二、典型例题

例1.已知a,b 为正数，且a+b=1,求证：411≥+b

a .

例2.用分析法证明：5

317)12(2<+.

例3.若a,b ，c 均为实数，且222π+-=y x a ，322π+-=z y b ，6

22π+-=x z c ，求证:a,b,c 中至少有一个大于零.

三、巩固训练

1.将下面平面几何中的概念类比到立体几何中，会得到什么结果？将下表填充完整。

2.用反证法证明命题“x 2－(a ＋b)x ＋ab ≠0，则x ≠a 且x ≠b ”时应假设为 ．

3.将函数为增函数的判断写成三段论的形式．

4.在△ABC 中，

C

B c b cos cos =,证明：B=C(用两种方法）.

平面几何

立体几何 （1）等腰三角形

（2）等腰三角形的底

（3）等腰三角形的腰

（4)点到直线的距离

2x y =

5.分别用分析法和综合法证明：在△ABC 中，如果AB=AC,BE,CF 分别是三角形的高线，BE 与CF 相较于点M ，那么，MB=MC.

6.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°.

7.已知a,b,c 为正实数，且a+b+c=1，求证：811

1111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a .

四、能力提升

1.若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，证明：422≥+b a .

2.设x,y 为正实数，且x+y=1，求证：.9)1

1)(11(≥++y x

3.已知x,y>0,且x+y>2.求证：x y

y x

++1,1中至少有一个小于2.

4.已知点P 是直角三角形ABC 所在平面外的一点，O 是斜边AB 的中点，并且PA ＝PB ＝PC. 求证：PO ⊥平面ABC.

5.用反证法证明：a,b,c,d 都是实数，且满足a+b=1,c+d=1,ac+bd>1,则a,b,c,d 四个数中至少有一个是负数。

6.如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，

过E 作SC 的垂线，垂足为F ，求证：AF ⊥SC.

7.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.

（1）； （2）； （3）；

（4）

；

（5）. （I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

0020255cos )25sin(55cos )25(sin --+-00020248cos )18sin(48cos )13(sin --+-00020212cos 18sin 12cos 18sin -+0

0020215cos 15sin 15cos 15sin -+0

0020217cos 13sin 17cos 13sin -+O A B P C