高一必修一 函数图像及其应用
高中数学必修一第五讲 函数的表示方法
第五讲 函数的表示方法1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；2、 了解简单的分段函数，并能简单应用；一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x =≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
二、函数图像：1、判断一个图像是不是函数图像的方法：要检验一个图形是否是函数的图像，其方法为：任作一条与x 轴垂直的直线，当该直线保持与x 轴垂直并左右任意移动时，若与要检验的图像相交，并且交点始终唯一的，那么这个图像就是函数图像。
高中数学必修一2.1.2.2指数函数的图像及性质的应用
解得x<
1 5
1.如果指数函数 f (x) (a 1)x 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是
( C)
A． a 2
B． a 2 C．1 a 2
D． 0 a 1
2.
设1 3
1 3
b
1 a 3
1 ．则有
A． 0 b a 1 B． a b 1
4.5 4
在R上是增函数， ； 而2.5<3，所以，
3.5
3
fx
=
1.7x 2.5
2
1.5
1.72.5< 1.73
1 0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
6
② 0.80.1 ， 0.80.2 解：利用函数单调性 0.80.1 与 0.80.2
的底数是0.8，它们可以看成函数 y= 0.8x
解：（1） y1 y2 当且仅当 3x 1 2x ，
解得 x 1 5
（2）当 a 1 时，函数 y a x 为增函数，
故 y1 y2 当且仅当 3x 1 2x ，
解得 x 1 5
当0<a<1时，函数y=ax为减函数，
故y1>y2当且仅当3x+1<-2x
(2)
(
1
)
2 3
,
3
25
.
3
(1) 由指数函数性质知 1.80.6 >1.80=1,0.81.6<0.80=1, 所以 1.8 0.6>0.81.6
(2) 由指数函数性质知
(
高中数学必修一：函数的图象 PPT课件 图文
<0 可化为fxx<0，即 xf(x)<0，f(x)的大致图象如图 所示．所以 xf(x)<0 的解集为(－1,0)∪(0,1)． 答案：D
返回 3．若不等式(x－1)2<logax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，
则实数a的取值范围为
()
A．(1,2]
B. 22，1
π 4
＝f
34π ＝1＋
5 ，f
π 2
＝2
2 .∵2
2
<1＋
5，∴f
π 2<f
π4＝f
34π，从而排除D，故选B.
答案：B
5.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线
返回
段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，
当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把
返回
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
返回
考点一 函数图象的识辨 [考什么·怎么考]
作为函数关系的一种重要表示方法，函数图象 的识辨是每年高考的热点内容，题型多为选择题， 难度适中，得分较易.
考法(一) 根据函数解析式或图象识辨函数图象
返回
1．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝
C．(1， 2) D．( 2，2)
解析：要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax
恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象
在y＝logax的图象的下方即可． 当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y
＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2 ≤loga2，即loga2≥1，解得1<a≤2，故实数a的取值范围是 (1,2]．故选A. 答案：A
人教版高一数学必修一27函数的图象
y=x2 y=(x－2)2
函数y=f(x+m)与函数y=f(x) 图象间的关系:
当m＞0 (m＜0)时,把函数y=f(x)的 图象向左(向右)平移m(－m)个单位 即得函数 y=f(x+m) 的图象.
简称: 左+右－
课堂练习
画出函数
y=(x+3)2－2的图象.
y=x2
y=(x+3)2
y=x2
基础练习
画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
(1) y=x2－x
(2) y= x2 x
y=x2－x
y=－x ( x≤0或x≥1)
y= x2 x
函数y= f (x) 与函数y=f(x) 图象间的关系:
保留函数y=f(x)在x轴的上方的 图象,把它在x轴的下方的图象沿x 轴翻折,即得到y= f (x)的图象.
y=(x+3)2
y=x2
y=(x+3)2－ 2
基础练习
画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
(1) y=3x+4 (2) y=－3x+4
y=3x+4
y=－3x+4
y=3x+4
函数y=f(－x)与函数y=f(x) 图象间的关系:
函数y=f(－x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于y轴对称.
人教A版高中数学必修一
2.7函数的图象
作函数的图象的常用方法
1. 描点作图法; 2. 变换作图法.
基础练习
画出下列函数的图象, 并 说明它们的关系:
(1) y=x2 (2) y=x2+1 (3) y=x2－1
y=x2
y=x2+1
y=x2
高一数学必修一函数图像知识点总结
03
通过大量的练习和实践，提高对复杂函数图像的识别能力和分
析水平。
观看
REPORTING
复合函数性质
复合函数具有“同增异减”的性质，即内外函数的单调性相同时，复合函数为增函数；内外函数的单 调性不同时，复合函数为减函数。
分段函数表达式及性质
分段函数定义
在自变量的不同取值范围内，用不同的解析式来表示一个函 数，这样的函数叫做分段函数。
分段函数性质
分段函数的定义域是各段定义域的并集；分段函数的值域是 各段值域的并集；分段函数在定义域的不同子集上，具有不 同的对应关系。
坐标平面
由x轴和y轴组成的平面称为坐标 平面，其中x轴和y轴的交点称为 原点，坐标为(0,0)。
函数图像绘制方法
01
02
03
列表法
列出函数自变量与函数值 的对应表，然后在坐标系 中描出各点，最后用平滑 的曲线连接各点。
解析法
根据函数解析式，直接利 用函数的性质绘制出函数 的图像。
图象变换法
通过对基本初等函数的图 像进行平移、伸缩、对称 等变换，得到所求函数的 图像。
PART 02
一次函数图像知识点
一次函数表达式及性质
一次函数表达式
y = kx + b (k ≠ 0)
性质
当 k > 0 时，函数图像为增函数；当 k < 0 时，函数图像为减函数。
一次函数图像特征
直线性
一次函数的图像是一条直 线。
斜率
直线的斜率等于一次函数 表达式中的 k 值。
截距
直线在 y 轴上的截距等于 一次函数表达式中的 b 值 。
PART 05
三角函数图像知识点
三角函数基本概念及性质
高中数学必修一函数的图像、性质及其应用
第1页共7页函数)0(a x ax y 的图像、性质及其应用在高中数学中，我们常常会碰到形如“)0(a x ax y ”的函数，我们称这样的函数为“双勾函数”。
“双勾函数”是重要的函数之一，它的性质及图象有十分鲜明的特征和规律性，在实际问题中有着广泛的应用。
考虑到上海版高一数学新教材对这类函数的图像与性质的处理比较零星分散，为了帮助学生较系统地掌握这个知识点，同时进一步巩固学生研究函数的方法，提高学生自主探究数学问题的能力，故设计并实施了本节课教学的进程，提出了本课例的教学反思. 一、案例背景：本节课安排在《函数》一章中，前有《二次函数在给定区间上的最值问题》作知识准备，后为学习《幂、指、对函数的图象和性质》作铺垫，有承上启下的作用。
本节课的教学目标是掌握函数)0(a x ax y 的图像和性质；初步应用函数)0(a x ax y 的图像和性质解决函数的最值；并在师生共同运用已学知识研究新知识的过程中，有机渗透数形结合、分类讨论、转化的数学思想，培养学生探究数学问题的意识与能力. 二、教学设计思路：三、教学过程：（一）知识引入阶段师：前段时间，我们学习了函数的概念、性质，并研究了“二次函数在给定区间上的最值问题”。
今天，我们将研究一类新的函数。
现在，先请大家解决下面这个问题. 问题：求函数)0(1x x x y 的最值；若求它在3,2x 上的最值呢？生1：由基本不等式求得函数的最小值是2，无最大值.研究x x y 1的图像性质应用)0(a x a x y 的图像性质求最值归纳)0(a x ax y 的图像性质拓展)0,0(b a x bax y 的图像性质。
人教版高中数学必修一课件：3.4 函数的应用(共32张PPT)
典型例题 二次函数和基本不等式
例 5.北京、张家港 2022 年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了 发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品 进行一次评估。该商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件． （1）据市 场调查，若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2000 件， 要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元？ （2）为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力，提高年销售量．公 司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定
②令 400+10x2-120x<80,即 x2-12x+32<0,
解得 4<x<8,即 4< 6t <8, 8 t 32 .
3
3
因为 32 8 8. 所以每天大约有 8 小时出现供水紧张现象 33
巩固练习
3．某商店进货单价为 45 元，若按 50 元一个 销售，能卖出 50 个；若销售单价每涨 1 元， 其销售量就减少 2 个，为了获得最大利润，此
①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式;
②求该批发商平均每天的销售利润w(元) 与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获 得最大利润?最大利润是多少?
典型例题
解:①根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). ②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每 天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600 (50≤x≤55,x∈N). ③因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2+1 200,所 以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最 大值为1125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最 大利润,且最大利润为1125元.
人教版高中数学必修一PPT课件：指数函数、对数函数的图象和性质
质
(5) 在(0,+∞)上是增函数
人教版高中数学必修一PPT课件：指数 函数、 对数函 数的图 象和性 质
(5)在(0,+∞)上是减函数
人教版高中数学必修一PPT课件：指数 函数、 对数函 数的图 象和性 质
图象特征：
图象都在y轴的右边
a>1时:
x>1, y为正 0<x<1, y为负
0<a<1时: 0<x<1, y为正 x>1, y为负
6
人教版高中数学必修一PPT课件：指数 函数、 对数函 数的图 象和性 质
2) y=logax2 解: x2>0
x≠0
人教版高中数学必修一PPT课件：指数 函数、 对数函 数的图 象和性 质
7
人教版高中数学必修一PPT课件：指数 函数、 对数函 数的图 象和性 质
3）y=log
解:由log5x≠0 x>0
㈢若底数、真数都不相同,则常借助1、 0、－1等中间量进行比较. ( 例2 )
31
20
例1、比较下列各组数中两个值的大小： (1) log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 )
解 ⑴考察对数函数 y = log 2x,因为它的底数2＞1, 所以它在(0,+∞)上是增函数,于是
即：底数和真数同大于1或同在（0，1）内，函数值为正 底数和真数一个大于1，一个在（0，1）内，函数值为负
人教版高中数学必修一PPT课件：指数 函数、 对数函 数的图 象和性 质
13
人教版高中数学必修一PPT课件：指数 函数、 对数函 数的图 象和性 质
人教版数学必修一.2对数函数图像及其性质PPT课件
人教版数学必修一.2对数函数图像及 其性质P PT课件
2.（71页）探究：
画出对数函数 y log 3 x和y log 1 x的图象。
y
1.函数图象分布在哪些 象限？ 一、四
2
2.函数图象有哪些
1 11
特殊点? （1,0）
42
0 1 23 4
3
y log 2 x y log 3 x
x
3.函数图象的单调性 -1 与底数a的关系？ -2
注:例2是利用对数函数的增减性比较两个对数 的大小的,对底数与1的大小关系未明确指出时,要分 情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
人教版数学必修一.2对数函数图像及 其性质P PT课件
例3 比较下列各组中两个值的大小:
⑴.log 67 , log 7 6 ; ⑵.log 32 , log 2 0.8 .
x
定义域
奇偶性 值域
定点
单调性 函数值 符号
(0,+∞)
非奇非偶函数
非奇非偶函数
R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x＞1 时，y＞0
当 x＞1 时，y＜0
当 0＜x ＜1 时， y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
x…
列 表
y log 2
y log 1
x
x
… …
2
y
描
2
点
1 11
42
0 12
连
-1
线
-2
1/4 1/2 1
-2 -1 0 2 10
y=log2x
34
高中数学 14种函数图像和性质知识解析 新人教A版必修1
高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1高中不得不掌握的函数图像与常用性质高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。
而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性；6.对称性；7.有界性；8.反函数；9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。
1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。
其图像的画法是按定义域的划分分别作图。
北师大版高中数学必修第一册 第四章 3-2《对数函数图象与性质的应用》课件PPT
(2)设 = 8 − 2 − 2 = −( + 1)2 + 9 ≤ 9,
又 > 0,∴ 0 < ≤ 9.又 = log 1 在(0,+∞)上为减函数,
3
∴ log 1 ≥log 1 9= −2,
3
3
∴ = log 1(8 − 2 − 2)的值域为[-2,+∞).
= log(
×
1−
)=
1+
log1 =
对数函数是非奇非偶函数,但与某些函数复合后,就具有奇偶性了,如 = log2||就是偶函数.证明这类函数具
有奇偶性的方法是利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质.
为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数解析式进行化简或应用定义的等价形式:(−) = ±() ⇔
− 2 ≤ 2,
象为开口向上的抛物线,因而൝
解得 > −3.
4 + 2−−1 > 0,
故实数的取值范围为(-3,+∞).
反思感悟
对数型复合函数的单调性的求解方法及注意问题
(1)对数型复合函数一般可分为两类:一类是外层函数为对数函数,即 = log();另一类是内层函数为对数
函数,即 = (log).
2
2
2
2
当 ∈ (−∞, 1)时,函数 = ( − 1)2 + 1单调递减,当 ∈ (1, +∞)时,函数 = ( − 1)2 + 1单调递增,而
1
= log 1 在定义域内单调递减,则当∈ 0, 2 时,()单调递减,当∈
2
1
,
高中数学必修一课件：第三章 函数的应用(共18张PPT)
元，. 元， 元， 元，
设成本为y元，则y可看作是x的函数， x y=a(1-p ％ ) 解析式为 ；
函数的定义域为 {x|x∈N*且x≤m}
平均增长率的问题
• 在实际问题中，常常遇到有关平均增 长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增 长率为p，则对于时间x的总产值y，可以 用下面的公式表示 .
变式1 若小强心目中的大学按正常收费的话，学费包 括生活费每年需要15000元，问小强的爸爸每次 要存入多少钱才可以在小强高考结束时攒够小 强大学四年的费用？ x(1+5%)6+x(1+5%)5+···+x(1+5%)=60000
变式2 2008年高考结束后,小强发挥出色,同时凭着自 己过硬的综合素质,过关斩将,赢得了全省唯一 一个去英国舰乔大学就读大学的名额,不过,四 年的学费和生活费初步预算要50万元,小强决 定向银行贷款40万元,大学毕业回国工作一年 后开始还款(假设其毕业后马上就找到了称心 的工作),计划在工作6年后还清贷款,假设银行 的年利率为3%,问小强每次应向银行还多少钱? 才可以达到工作6年后还清贷款的目标?
40(1+3%)10=x(1+3%)5+x(1+3%)4+···+x(1+5%)+x
课堂练习
1.某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价多少？ 2.某服装个体户在进一批服装时，进价时按标价打了 七五折，他打算标一新价出售，并按新标价降价 20% 销售．这样，他可获利 25% ．求这个体户给这批服装 定的新标价与原标价之间的函数关系．
y=N(1+p)x
其中P的值可以为正，也可以为负
例3 小强的爸爸从2002年，小强六年级开始，每年6月
《高中数学必修一-直线函数课件》
什么是直线函数？
直线函数是指函数图像为一条直线的函数。直线函数具有特定的斜率和截距， 可以用来描述线性关系并解决实际问题。
直线函数的定义
定义
直线函数是形如 y = mx + c 的函数形式， 其中 m 表示斜率，c 表示截距。
示例
例如，y = 2x + 1 就是一个直线函数，斜率 为 2，截距为 1。
高中数学必修一-直线函数课件
通过本课件，你将了解以下内容： 1. 什么是直线函数 2. 直线函数的定义 3. 直线函数的基本性质 4. 直线函数的斜率表示及含义 5. 直线函数的斜率性质 6. 直线函数的截距表示及含义 7. 直线函数的截距性质 8. 直线函数的一般式表示及转化为斜截式表示 9. 直线函数的图像及特点 10. 直线函数的ห้องสมุดไป่ตู้用场景及实际意义
特点
直线函数的图像是一条直线，通过两个点就可以确定一条直线。
直线函数的性质
1
斜率为正
当斜率 m 大于 0 时，直线呈现向上的趋势。
2
斜率为负
当斜率 m 小于 0 时，直线呈现向下的趋势。
3
斜率为零
当斜率 m 等于 0 时，直线水平平行于 x 轴。
直线函数的斜率表示
1 斜率公式
直线函数的斜率 m 可以通过两个点的 坐标计算：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
截距可以表示起始值或者初始状态。
直线函数的一般式表示
直线函数的一般式表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 是常数。 一般式可以通过转化为斜截式 y = mx + c 或点斜式 (y - y1) = m(x - x1) 表示。
2019-2020学年人教版高一数学必修1第18课时指数函数图象及应用(含解析)
．指数函数y ＝a x，当2，a ＝12，a ＝10，时间：45分钟，满分：分) 一、选择题(本大题共小题，每小题5分，共30分)．函数f (x )＝πx与⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 的图象关于( )，x≥0，所以选B.0<1－1a<1，所以图象与y 轴的交点的纵坐标应在a <1，于是1－1a<0，故D 选项正确．个小题，每小题5分，共15分)⎛⎪⎫33f f，x <0，x，x ≥0，)|＝⎪⎪⎪⎪≥1，即＋1x ＜－1＋1x ≥－1⎭⎪⎫12x ＋1(x ＜－1)的图象作出，而它的图象是由y 2＝2x ＋1(x ≥－1)的图象作出，即将∞，－1]，单调递增区间是的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程x的图象向下平移一个单位后，再把位于的图象无交点，即方程无解；|3x－1|的图象有唯一的交点，即方程有一解；1|的图象有两个不同交点，即方程有两解．能力提升图象的大致形状是( )R ，x ≠0}，且y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x，x <0.当x >0时，函数是一个指数函数，因<0时，函数图象与指数函数y ＝a x(x <0)的图象关于＋a －x)(a >0，且a ≠1)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，419.上是增函数．⎭⎪⎫2，419，⎭⎪⎫1a 2＝419.，解得a 2＝9或a 2＝1.＝. ∵0≤x1≤x2，∴31x－32x<0，且。
北师大版数学高一必修1素材 3.5对数函数图象的应用
对数函数图象的应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质.为研究它的数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径.能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想.一、求函数的单调区间例1画出函数y ＝log 2x 2的图像，并根据图像指出它的单调区间.解析：当x≠0时，函数y ＝log 2x 2满足f(－x)＝log 2(－x)2＝log 2x 2＝f(x)，所以y ＝log 2x 2是偶函数，它的图象关于y 轴对称.当x ＞0时，y ＝log 2x 2＝2log 2x ，因此先画出y ＝2log 2x ，(x ＞0)的图象为c 1，再作出c 1关于y 轴对称c 2，c 1与c 2构成函数y ＝log 2x 2的图像，如图：由图象可以知道函数y ＝log 2x 2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞).点评：作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题是.作图主要有两种方法：描点法、图象变换法，本题采用的是图象变法中的对称变换.二、利用图像求参数的值例2若函数f(x)＝log a (x ＋1)(a ＞0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于()A.13B. 2C.22D.2 解析：当a ＞1时，f(x)＝log a (x ＋1)的图象如图所示，f(x)在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]，所以f(1)＝1，即log a (1＋1)＝1，所以a ＝2，当0＜a ＜1时，其图象与题意不符，故a 的值为2，故选D.点评：①本题在作图可以利用平移法；②当对数的底数不确定时要注意讨论；③注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域).三、利用图像比较实数的大小例3已知log m 2＜log n 2，m ，n ＞1，试确定实数m 和n 的大小关系.解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝log m x 与y ＝log n x 的图象，再作x ＝2的直线，可得m ＞n.点评：不同底的对数函数图象的规律是：①底都大于1时，底大图低（即在x ＞1的部分底越大图象就越接近x 轴）②底都小于1时，底大图高（即在0＜x ＜1的部分底越大图象就越远离x 轴）四、利用图像解有关的不等式例4解关于x 的不等式log 2(x ＋6)＜x ＋1解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝log 2(x ＋6)与y ＝x ＋1的图象，如图，两图象交点的横坐标为2，所以原不等式的解集为{x|x ＞2}点评：利用函数图象解不等式的基本方法是将不等式等价转化为不等式两端为相应的两个比较熟悉的基本函数形式，再将不等式两端对应的函数分别在同一坐标系中画出，然后把握一个原则：上方的图象上的点对应的函数值大于下方图象对应点的函数值，从而可解得不等式.五、利用图像判断方程根的个数例5已知关于x 的的方程|log 3x|＝a ，讨论a 的值来确定方程根的个数.解：因为y ＝|log 3x|⎩⎨⎧ log 3x (x ＞1)－log 3x (0＜x ＜1)，在同一直角坐标系中作出函数与y ＝a 的图象，如图可知：①当a ＜0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0个；②当a ＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根的个数为1个；③当a ＞0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根的个数为2个。
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第九讲函数图像及其应用 题型一：平移问题
例1.将函数)3lg ()(x x f -=的图像向左平移3个单位得到的函数)(x g 为_______________
练习为了得到函数
x y )31(3⨯=的图象，可以把函数x y )31(=的图象()
A.向左平移3个单位长度
B.向右平移3个单位长度
C.向左平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度 练习为了得到函数3lg 10
x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点() A.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 练习若函数)0)(1(>+-=a b a y x 的图像经过第一、三、四象限，则一定有()
A.11>>b a 且
B.010<<<b a 且
C.010><
<b a 且 D.01>>b a 且
题型二：翻折问题 例2.作出下列函数图像. ⑴1-=x
y ⑵342+-=x x y ⑶342+-=x x y
⑷||2x y = ⑸|2|21+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x y ⑹()1lg -==x x f y
题型三：对称问题
)(x f y =)(x f y -=)(x f y -=_______；)(x f y =的
象是______；)(x f y =的图象是_______.
题型四：数形结合问题
例4.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是)(
A.(1,)+∞
B.[1,)+∞
C.(2,)+∞
D.[2,)+∞
练习下列区间中，函数)2ln()(x x f -=在其上为增函数的是)(
A.]1,(-∞
B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-34,1
C.⎪⎭⎫
⎢⎣⎡23,0 D.[)2,1
练习函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤<=10,62
1100|,lg |)(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是_______ 例5.函数2)(--=x e x f x 有______个零点练习方程x x 3|)4(log |2=+的实根个数为__________个.
例6.若m x f x -=--12)(有零点,则实数m 的取值范围是_______
练习直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 例7.用{}b a ,min 表示a,b 两数中的最小值,若函数{}|||,|min )(t x x x f +=的图像关于直线x=12-对称,则t=)(
选做：例1.对于定义域为D 的函数()y f x =，同时满足下列条件：①()f x 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[,]a b D ⊆,使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么把()()y f x x D =∈叫闭函数.若2++=x k y 是闭函数，则常数k 是的取值范围_________。