整理版七年级数学下册期末复习专题试题(20200513204404)
期末复习(压轴题49题)—2023-2024学年七年级数学下学期期末考点(北师大版)(解析版)
z 期末复习（压轴题49题20个考点）一．规律型：数字的变化类（共1小题）1．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S ＝1+2+22+23+…+22011+22012，则2S ＝2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S ﹣S ＝22013﹣1，所以1+22+23+…+22012＝22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（ ）A ．52013﹣1B ．52013+1C ．D ． 【答案】D【解答】解：令S ＝1+5+52+53+ (52012)则5S ＝5+52+53+…+52012+52013，5S ﹣S ＝﹣1+52013，4S ＝52013﹣1，则S ＝．故选：D ．二．同底数幂的乘法（共1小题） 2．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22013的值．解：设S ＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘2得：2S ＝2+22+23+24+25+…+22013+22014 将下式减去上式得2S ﹣S ＝22014﹣1即S ＝22014﹣1即1+2+22+23+24+…+22013＝22014﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+210（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中n 为正整数）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设S ＝1+2+22+23+24+ (210)将等式两边同时乘2得：2S ＝2+22+23+24+…+210+211，将下式减去上式得：2S ﹣S ＝211﹣1，即S ＝211﹣1，则1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1；z （2）设S ＝1+3+32+33+34+…+3n ①，两边同时乘3得：3S ＝3+32+33+34+…+3n +3n +1②，②﹣①得：3S ﹣S ＝3n +1﹣1，即S ＝（3n +1﹣1），则1+3+32+33+34+…+3n ＝（3n +1﹣1）．三．多项式乘多项式（共1小题）3．如图，正方形卡片A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为（a +2b ），宽为（a +b ）的大长方形，则需要C 类卡片 张．【答案】见试题解答内容【解答】解：（a +2b ）（a +b ）＝a 2+3ab +2b 2．则需要C 类卡片3张．故答案为：3．四．完全平方公式（共3小题）4．已知a ﹣b ＝b ﹣c ＝，a 2+b 2+c 2＝1，则ab +bc +ca 的值等于 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a ﹣b ＝b ﹣c ＝，∴（a ﹣b ）2＝，（b ﹣c ）2＝，a ﹣c ＝， ∴a 2+b 2﹣2ab ＝，b 2+c 2﹣2bc ＝，a 2+c 2﹣2ac ＝， ∴2（a 2+b 2+c 2）﹣2（ab +bc +ca ）＝++＝， ∴2﹣2（ab +bc +ca ）＝， ∴1﹣（ab +bc +ca ）＝， ∴ab +bc +ca ＝﹣＝﹣． 故答案为：﹣．z 5．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则（a +b ）6＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：（a +b ）6＝a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6故本题答案为：a 6+6a 5b +15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 66．回答下列问题（1）填空：x 2+＝（x +）2﹣ ＝（x ﹣）2+（2）若a +＝5，则a 2+＝ ；（3）若a 2﹣3a +1＝0，求a 2+的值． 【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）2、2．（2）23． （3）∵a ＝0时方程不成立，∴a ≠0，∵a 2﹣3a +1＝0两边同除a 得：a ﹣3+＝0，移项得：a +＝3，∴a 2+＝（a +）2﹣2＝7． 五．平方差公式的几何背景（共1小题）7．如图，边长为m +4的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为．z【答案】见试题解答内容【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x ，则4x ＝（m +4）2﹣m 2＝（m +4+m ）（m +4﹣m ），解得x ＝2m +4．故答案为：2m +4．六．整式的混合运算（共1小题）8．7张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（ ）A ．a ＝bB ．a ＝3bC ．a ＝bD ．a ＝4b 【答案】B 【解答】解：左上角阴影部分的长为AE ，宽为AF ＝3b ，右下角阴影部分的长为PC ，宽为a ，∵AD ＝BC ，即AE +ED ＝AE +a ，BC ＝BP +PC ＝4b +PC ，∴AE +a ＝4b +PC ，即AE ﹣PC ＝4b ﹣a ，∴阴影部分面积之差S ＝AE •AF ﹣PC •CG ＝3bAE ﹣aPC ＝3b （PC +4b ﹣a ）﹣aPC ＝（3b ﹣a ）PC +12b 2﹣3ab ，则3b ﹣a ＝0，即a ＝3b ．解法二：既然BC 是变化的，当点P 与点C 重合开始，然后BC 向右伸展，设向右伸展长度为X ，左上阴影增加的是3bX ，右下阴影增加的是aX ，因为S 不变，∴增加的面积相等，z ∴3bX ＝aX ，∴a ＝3b ．故选：B ．七．函数的图象（共4小题）9．如图，某电信公司提供了A ，B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （分）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）（1）若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元；（2）若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜12元；（3）若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多；（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解答】解：依题意得A ：（1）当0≤x ≤120，y A ＝30， （2）当x ＞120，y A ＝30+（x ﹣120）×[（50﹣30）÷（170﹣120）]＝0.4x ﹣18；B ：（1）当0≤x ＜200，y B ＝50，当x ＞200，y B ＝50+[（70﹣50）÷（250﹣200）]（x ﹣200）＝0.4x ﹣30，所以当x ≤120时，A 方案比B 方案便宜20元，故（1）正确；当x ≥200时，B 方案比A 方案便宜12元，故（2）正确；z 当y ＝60时，A ：60＝0.4x ﹣18，∴x ＝195，B ：60＝0.4x ﹣30，∴x ＝225，故（3）正确；当B 方案为50元，A 方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，将y A ＝40或60代入，得x ＝145分或195分，故（4）错误；故选：C ．10．在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧秤的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解答】解：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．则露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选：C ．11．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x 表示乌龟从起点出发所行的时间，y 1表示乌龟所行的路程，y 2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；z ④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）【答案】见试题解答内容【解答】解：根据图象可知：龟兔再次赛跑的路程为1000米，故①正确；兔子在乌龟跑了40分钟之后开始跑，故②错误；乌龟在30﹣﹣40分钟时的路程为0，故这10分钟乌龟没有跑在休息，故③正确；y 1＝20x ﹣200（40≤x ≤60），y 2＝100x ﹣4000（40≤x ≤50），当y 1＝y 2时，兔子追上乌龟，此时20x ﹣200＝100x ﹣4000，解得：x ＝47.5，y 1＝y 2＝750米，即兔子在途中750米处追上乌龟，故④正确．综上可得①③④正确．故答案为：①③④．12．小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是 分钟．【答案】见试题解答内容【解答】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为、和（千米/分），z 所以他从单位到家门口需要的时间是（分钟）．故答案为：15．八．二次函数的图象（共1小题） 13．如图，正方形ABCD 的边长为4，点P 、Q 分别是CD 、AD 的中点，动点E 从点A 向点B 运动，到点B 时停止运动；同时，动点F 从点P 出发，沿P →D →Q 运动，点E 、F 的运动速度相同．设点E 的运动路程为x ，△AEF 的面积为y ，能大致刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解答】解：当F 在PD 上运动时，△AEF 的面积为y ＝AE •AD ＝2x （0≤x ≤2），当F 在AD 上运动时，△AEF 的面积为y ＝AE •AF ＝x （6﹣x ）＝﹣x 2+3x （2＜x ≤4），图象为：故选：A ．z 九．平行线的性质（共2小题）14．如图，将长方形ABCD 沿线段EF 折叠到EB 'C 'F 的位置，若∠EFC '＝100°，则∠DFC '的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】A【解答】解：由翻折知，∠EFC ＝∠EFC '＝100°，∴∠EFC +∠EFC '＝200°，∴∠DFC '＝∠EFC +∠EFC '﹣180°＝200°﹣180°＝20°，故选：A ．15．珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来相同，如图，若∠ABC ＝120°，∠BCD ＝80°，则∠CDE ＝ 度． 【答案】见试题解答内容【解答】解：过点C 作CF ∥AB ，已知珠江流域某江段江水流向经过B 、C 、D 三点拐弯后与原来相同，∴AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠BCF +∠ABC ＝180°，∴∠BCF ＝60°，∴∠DCF ＝20°，∴∠CDE ＝∠DCF ＝20°．故答案为：20．z十．三角形的面积（共4小题）16．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【解答】解：满足条件的C 点有5个，如图平行于AB 的直线上，与网格的所有交点就是．故选：A ． 17．如图，△ABC 三边的中线AD 、BE 、CF 的公共点为G ，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是 ．【答案】见试题解答内容【解答】方法1解：∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，∴S △CGE ＝S △AGE ＝S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD ＝S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF ＝S△ABC＝×12＝6，z ∴S △CGE ＝S △ACF ＝×6＝2，S △BGF ＝S △BCF ＝×6＝2，∴S 阴影＝S △CGE +S △BGF ＝4．故答案为4．方法2设△AFG ，△BFG ，△BDG ，△CDG ，△CEG ，△AEG 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，S 6，根据中线平分三角形面积可得：S 1＝S 2，S 3＝S 4，S 5＝S 6，S 1+S 2+S 3＝S 4+S 5+S 6①，S 2+S 3+S 4＝S 1+S 5+S 6② 由①﹣②可得S 1＝S 4，所以S 1＝S 2＝S 3＝S 4＝S 5＝S 6＝2，故阴影部分的面积为4．故答案为：4．18．如图，A 、B 、C 分别是线段A 1B ，B 1C ，C 1A 的中点，若△ABC 的面积是1，那么△A 1B 1C 1的面积 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接AB 1，BC 1，CA 1，∵A 、B 分别是线段A 1B ，B 1C 的中点，∴S △ABB 1＝S △ABC ＝1，S △A 1AB 1＝S △ABB 1＝1，∴S △A 1BB 1＝S △A 1AB 1+S △ABB 1＝1+1＝2，同理：S △B 1CC 1＝2，S △A 1AC 1＝2，∴△A 1B 1C 1的面积＝S △A 1BB 1+S △B 1CC 1+S △A 1AC 1+S △ABC ＝2+2+2+1＝7．故答案为：7．z 19．如图，对面积为s 的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB 、BC 、CA 至点A 1、B 1、C 1，使得A 1B ＝2AB ，B 1C ＝2BC ，C 1A ＝2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1；第二次操作，分别延长A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1至点A 2、B 2、C 2，使得A 2B 1＝2A 1B 1，B 2C 1＝2B 1C 1，C 2A 1＝2C 1A 1顺次连接A 2、B 2、C 2，得到△A 2B 2C 2，记其面积为S 2；…；按此规律继续下去，可得到△A n B n ∁n ，则其面积S n ＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接A 1C ；S △AA 1C ＝3S △ABC ＝3S ，S △AA 1C 1＝2S △AA 1C ＝6S ，所以S △A 1B 1C 1＝6S ×3+1S ＝19S ；同理得S △A 2B 2C 2＝19S ×19＝361S ； S △A 3B 3C 3＝361S ×19＝6859S ，S △A 4B 4C 4＝6859S ×19＝130321S ， S △A 5B 5C 5＝130321S ×19＝2476099S ，从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n 次后，得到△A n B n ∁n ， 则其面积Sn ＝19n •S ．十一．三角形内角和定理（共3小题）20．已知△ABC，（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．上述说法正确的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解答】解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB则∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）z在△BCP中利用内角和定理得到：∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，故成立；（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立；（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠Az 在△BCP 中利用内角和定理得到：∠P ＝180﹣（∠PBC +∠PCB ）＝180﹣（180°+∠A ）＝90°﹣∠A ，故成立．∴说法正确的个数是2个．故选：C ．21．已知△ABC 中，∠A ＝α．在图（1）中∠B 、∠C 的角平分线交于点O 1，则可计算得∠BO 1C ＝90°+；在图（2）中，设∠B 、∠C 的两条三等分角线分别对应交于O 1、O 2，则∠BO 2C ＝ ；请你猜想，当∠B 、∠C 同时n 等分时，（n ﹣1）条等分角线分别对应交于O 1、O 2，…，O n ﹣1，如图（3），则∠BO n ﹣1C ＝ （用含n 和α的代数式表示）．【答案】见试题解答内容【解答】解：在△ABC 中，∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵O 2B 和O 2C 分别是∠B 、∠C 的三等分线，∴∠O 2BC +∠O 2CB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝（180°﹣α）＝120°﹣α；∴∠BO 2C ＝180°﹣（∠O 2BC +∠O 2CB ）＝180°﹣（120°﹣α）＝60°+α；在△ABC 中，∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α，∵O n ﹣1B 和O n ﹣1C 分别是∠B 、∠C 的n 等分线，∴∠O n ﹣1BC +∠O n ﹣1CB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝（180°﹣α）＝﹣． ∴∠BO n ﹣1C ＝180°﹣（∠O n ﹣1BC +∠O n ﹣1CB ）＝180°﹣（﹣）＝+．z 故答案为：60°+α；+．22．如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013＝ 度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A 1B 平分∠ABC ，A 1C 平分∠ACD ，∴∠A 1BC ＝∠ABC ，∠A 1CA ＝∠ACD ，∵∠A 1CD ＝∠A 1+∠A 1BC ，即∠ACD ＝∠A 1+∠ABC ，∴∠A 1＝（∠ACD ﹣∠ABC ），∵∠A +∠ABC ＝∠ACD ，∴∠A ＝∠ACD ﹣∠ABC ，∴∠A 1＝∠A ，∴∠A 1＝m °，∵∠A 1＝∠A ，∠A 2＝∠A 1＝∠A ， …以此类推∠A 2013＝∠A ＝°． 故答案为：．十二．全等图形（共1小题）23．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（ ）A．150°B．180°C．210°D．225°【答案】B【解答】解：在△ABC与△EDC中，，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC＝∠1，∠1+∠2＝180°．故选：B．z十三．全等三角形的判定（共3小题）24．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（ ）A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；（SSS）∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC，AE＝CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE（SSS；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD（SAS）；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB（SSS）；故选：D．25．如图EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN．其中正确的结论有 ①②③（填序z号）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠B+∠BAE＝90°，∠C+∠CAF＝90°，∠B＝∠C∴∠1＝∠2（①正确）∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF∴△ABE≌△ACF（ASA）∴AB＝AC，BE＝CF（②正确）z ∴△ACN ≌△ABM （ASA ）（③正确）∴CN ＝BM （④不正确）．所以正确结论有①②③．故填①②③．26．如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，如图①，然后将△ADE 绕A 点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD 、CE 分别延长至M 、N ，使DM ＝BD ，EN ＝CE ，得到图③，请解答下列问题：（1）若AB ＝AC ，请探究下列数量关系：①在图②中，BD 与CE 的数量关系是 ；②在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系、∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想； 【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①BD ＝CE ；②AM ＝AN ，∠MAN ＝∠BAC ，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠CAE ＝∠BAD ，在△BAD 和△CAE 中∵∴△CAE ≌△BAD （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，z ∵DM ＝BD ，EN ＝CE ，∴BM ＝CN ，在△ABM 和△ACN 中，∵∴△ABM ≌△ACN （SAS ），∴AM ＝AN ，∴∠BAM ＝∠CAN ，即∠MAN ＝∠BAC ；十四．全等三角形的判定与性质（共12小题） 27．如图，AE ⊥AB 且AE ＝AB ，BC ⊥CD 且BC ＝CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是（ ）A ．50B ．62C ．65D ．68 【答案】A【解答】解：∵AE ⊥AB 且AE ＝AB ，EF ⊥FH ，BG ⊥FH ，∴∠EAB ＝∠EF A ＝∠BGA ＝90°，∵∠EAF +∠BAG ＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，z ∴∠EAF ＝∠ABG ，在△EF A 和△AGB 中，，∴△EF A ≌△AGB （AAS ），∴AF ＝BG ，AG ＝EF ．同理证得△BGC ≌△CHD 得GC ＝DH ，CH ＝BG ．故FH ＝F A +AG +GC +CH ＝3+6+4+3＝16故S ＝（6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50．故选：A ．28．如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且EC ＝2AE ，直角三角形FEG 的两直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于点M 、N ．若正方形ABCD 的边长为a ，则重叠部分四边形EMCN 的面积为（ ）A ．a 2B ．a 2C ．a 2D ．a 2【答案】D【解答】解：过E 作EP ⊥BC 于点P ，EQ⊥CD 于点Q ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°，∴∠PEM+∠MEQ＝90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°，∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN＝S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝a，z∵EC＝2AE，∴EC＝a，∴EP＝PC＝a，∴正方形PCQE的面积＝a×a＝a2，∴四边形EMCN的面积＝a2，故选：D．29．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④MB 平分∠AMC ，其中结论正确的有（ ）zA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解答】解：∵△ABD 、△BCE 为等边三角形，∴AB ＝DB ，∠ABD ＝∠CBE ＝60°，BE ＝BC ，∴∠ABE ＝∠DBC ，∠PBQ ＝60°，在△ABE 和△DBC 中，， ∴△ABE ≌△DBC （SAS ），∴①正确；∵△ABE ≌△DBC ，∴∠BAE ＝∠BDC ，∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠DMA ＝∠BAE +∠BCD ＝∠BDC +∠BCD ＝60°，∴②正确；在△ABP 和△DBQ 中，， ∴△ABP ≌△DBQ （ASA ），∴BP ＝BQ ，∴△BPQ 为等边三角形，∴③正确；∵∠DMA ＝60°，∴∠AMC ＝120°，∴∠AMC +∠PBQ ＝180°，∴P 、B 、Q 、M 四点共圆，z ∵BP ＝BQ ，∴，∴∠BMP ＝∠BMQ ，即MB 平分∠AMC ；∴④正确；综上所述：正确的结论有4个；故选：D ．30．如图，在正方形ABCD 中，如果AF ＝BE ，那么∠AOD 的度数是 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由ABCD 是正方形，得AD ＝AB ，∠DAB ＝∠B ＝90°．在△ABE 和△DAF 中，， ∴△ABE ≌△DAF （SAS ），∴∠BAE ＝∠ADF ．∵∠BAE +∠EAD ＝90°，∴∠OAD +∠ADO ＝90°，∴∠AOD ＝90°，故答案为：90°．31．如图，△ABC 和△EBD 中，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，BE ＝BD ，连接AE ，CD ，AE 与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．（1）求证：AE ＝CD ；（2）求证：AE ⊥CD ；（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分∠CBE ；②MB 平分∠AMD ．其中正确的有 ② （请写序号，少选、错选均不得分）．z【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CBE ，即∠ABE ＝∠CBD ，在△ABE 和△CBD 中，，∴△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ．（2）∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BAE ＝∠BCD ， ∵∠NMC ＝180°﹣∠BCD ﹣∠CNM ，∠ABC ＝180°﹣∠BAE ﹣∠ANB ，又∠CNM ＝∠ANB ，∵∠ABC ＝90°，∴∠NMC ＝90°，∴AE ⊥CD ．（3）结论：②理由：作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ．z∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，S △ABE ＝S △CDB ，∴•AE •BK ＝•CD •BJ ，∴BK ＝BJ ，∵作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ，∴BM 平分∠AMD ．不妨设①成立，则△CBM ≌△EBM ，则AB ＝BD ，显然不可能，故①错误．故答案为②．32．（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ．求证：EF ＝BE +FD ；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF ＝∠BAD ，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）延长EB 到G ，使BG ＝DF ，连接AG ．z∵∠ABG ＝∠ABC ＝∠D ＝90°，AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF ．∴AG ＝AF ，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF ＝∠BAD ．∴∠GAE ＝∠EAF ．又∵AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF ．∴EG ＝EF ．∵EG ＝BE +BG ．∴EF ＝BE +FD（2）（1）中的结论EF ＝BE +FD 仍然成立．（3）结论EF ＝BE +FD 不成立，应当是EF ＝BE ﹣FD ． 证明：在BE 上截取BG ，使BG ＝DF ，连接AG ．∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADF +∠ADC ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ．∵AB ＝AD ，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．33．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为 ，线段CF、BD的数量关系为 ；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，又∵AB＝AC ，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90度．∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠F AC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△F AC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90度．即CF⊥BD．（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，∵∠DAG＝∠F AC（同角的余角相等），AD＝AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．z34．（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．） 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）①∵∠ADC ＝∠ACB ＝∠BEC ＝90°，∴∠CAD +∠ACD ＝90°，∠BCE +∠CBE ＝90°，∠ACD +∠BCE ＝90°． ∴∠CAD ＝∠BCE ．∵AC ＝BC ，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．②∵△ADC ≌△CEB ，∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE +CD ＝AD +BE ．解：（2）∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE．又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）．∴CE ＝AD ，CD ＝BE ．∴DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ．（3）当MN 旋转到图3的位置时，AD 、DE 、BE 所满足的等量关系是DE ＝BE ﹣AD （或AD ＝BE ﹣DE ，BE ＝AD +DE 等）．∵∠ADC ＝∠CEB ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠CBE ，又∵AC ＝BC ，∴△ACD ≌△CBE （AAS ），∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CD ﹣CE ＝BE ﹣AD ．35．（1）如图1，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD +CE ．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图3，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）成立．∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，∵在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，z∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形．由（2）知，△ADB≌△CEA，BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，∴∠DBF＝∠F AE，∵BF＝AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°，∴△DEF为等边三角形．36．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC，∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°．小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；（2）如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DF＝EF．（2）猜想：DF＝FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB＝90°．∵DA＝DB，∠ADB＝60°．∴AG＝BG，△DBA是等边三角形．z ∴DB ＝BA ．∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AC ＝AB ＝BG ．在Rt △DBG 和Rt △BAC 中，∴Rt △DBG ≌Rt △BAC （HL ）．∴DG ＝BC ．∵BE ＝EC ，∠BEC ＝60°，∴△EBC 是等边三角形．∴BC ＝BE ，∠CBE ＝60°．∴DG ＝BE ，∠ABE ＝∠ABC +∠CBE ＝90°．∵∠DFG ＝∠EFB ，∠DGF ＝∠EBF ，在△DFG 和△EFB 中，∴△DFG ≌△EFB （AAS ）．∴DF ＝EF ．（3）猜想：DF ＝FE ．过点D 作DH ⊥AB 于H ，连接HC ，HE ，HE 交CB 于K ，则∠DHB ＝90°．∵DA ＝DB ， ∴AH ＝BH ，∠1＝∠HDB ．∵∠ACB ＝90°，∴HC ＝HB ．在△HBE 和△HCE 中，∴△HBE ≌△HCE （SSS ）．∴∠2＝∠3，∠4＝∠BEH ．∴HK ⊥BC ．∴∠BKE ＝90°．∵∠ADB ＝∠BEC ＝2∠ABC ，z ∴∠HDB ＝∠BEH ＝∠ABC ．∴∠DBC ＝∠DBH +∠ABC ＝∠DBH +∠HDB ＝90°，∠EBH ＝∠EBK +∠ABC ＝∠EBK +∠BEK ＝90°．∴DB ∥HE ，DH ∥BE ．∴四边形DHEB 是平行四边形．∴DF ＝EF ．37．（1）操作发现：如图①，D 是等边△ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合）连接DC ，以DC 为边在BC上方、下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF 、BF ′，探究AF 、BF ′与AB 有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【答案】见试题解答内容z 【解答】解：（1）AF ＝BD ；证明如下：∵△ABC 是等边三角形（已知），∴BC ＝AC ，∠BCA ＝60°（等边三角形的性质）；同理知，DC ＝CF ，∠DCF ＝60°；∴∠BCA ﹣∠DCA ＝∠DCF ﹣∠DCA ，即∠BCD ＝∠ACF ；在△BCD 和△ACF 中，， ∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD ＝AF （全等三角形的对应边相等）；（2）证明过程同（1），证得△BCD ≌△ACF （SAS ），则AF ＝BD （全等三角形的对应边相等），所以，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF ＝BD 仍然成立；（3）Ⅰ．AF +BF ′＝AB ；证明如下：由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD ＝AF ；同理△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′＝AD ，∴AF +BF ′＝BD +AD ＝AB ；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF ＝AB +BF ′；证明如下：在△BCF ′和△ACD 中，，∴△BCF ′≌△ACD （SAS ）， ∴BF ′＝AD （全等三角形的对应边相等）；又由（2）知，AF ＝BD ；∴AF ＝BD ＝AB +AD ＝AB +BF ′，即AF ＝AB+BF ′．z 38．操作：如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC ＝120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN ．探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．AN ＝NC （如图②）；②DM ∥AC （如图③）．附加题：若点M 、N 分别是射线AB 、CA 上的点，其它条件不变，再探线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）BM +CN ＝MN证明：如图，延长AC 至M 1，使CM 1＝BM ，连接DM 1由已知条件知：∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°．∵BD ＝CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1，∴∠MDB ＝∠M 1DC ，DM ＝DM 1∴∠MDM 1＝（120°﹣∠MDB ）+∠M 1DC ＝120°．又∵∠MDN ＝60°，∴∠M 1DN ＝∠MDN ＝60°．∴△MDN ≌△M 1DN ．∴MN ＝NM 1＝NC+CM 1＝NC +MB ．z （2）附加题：CN ﹣BM ＝MN证明：如图，在CN 上截取CM 1，使CM 1＝BM ，连接MN ，DM 1∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝∠DCB ＝30°，∴∠DBM ＝∠DCM 1＝90°．∵BD ＝CD ，∴Rt △BDM ≌Rt △CDM 1，∴∠MDB ＝∠M 1DC ，DM ＝DM 1∵∠BDM +∠BDN ＝60°，∴∠CDM 1+∠BDN ＝60°．∴∠NDM 1＝∠BDC ﹣（∠M 1DC +∠BDN ）＝120°﹣60°＝60°．∴∠M 1DN ＝∠MDN ． ∵ND ＝ND ，∴△MDN ≌△M 1DN ． ∴MN ＝NM 1＝NC ﹣CM 1＝NC ﹣BM，即MN ＝NC ﹣BM ．z 十五．角平分线的性质（共1小题）39．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝ ．【答案】见试题解答内容【解答】解：过点O 作OD ⊥AB 于点D ，作OE ⊥AC 于点E ，作OF ⊥BC 于点F ，∵OA ，OB ，OC 是△ABC 的三条角平分线，∴OD ＝OE ＝OF ，∵△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为40、50、60，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝（AB •OD ）：（BC •OF ）：（AC •OE ）＝AB ：BC ：AC ＝40：50：60＝4：5：6．故答案为：4：5：6．十六．线段垂直平分线的性质（共1小题） 40．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝54°，点D 为AB 中点，且OD ⊥AB ，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为度．【答案】见试题解答内容z 【解答】解：法一：如图，连接OB 、OC ，∵∠BAC ＝54°，AO 为∠BAC 的平分线，∴∠BAO ＝∠BAC ＝×54°＝27°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝（180°﹣∠BAC ）＝（180°﹣54°）＝63°，∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝27°，∴∠OBC ＝∠ABC ﹣∠ABO ＝63°﹣27°＝36°，∵AO 为∠BAC 的平分线，AB ＝AC ，∴△AOB ≌△AOC （SAS ），∴OB ＝OC ，∴点O 在BC 的垂直平分线上，又∵DO 是AB 的垂直平分线，∴点O 是△ABC 的外心，∴∠OCB ＝∠OBC ＝36°，∵将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，∴OE ＝CE ， ∴∠COE ＝∠OCB ＝36°， 在△OCE 中，∠OEC ＝180°﹣∠COE ﹣∠OCB ＝180°﹣36°﹣36°＝108°．法二：证明点O 是△ABC 的外心，推出∠BOC ＝108°，根据OB ＝OC ，推出∠OCE ＝36°可得结论．故答案为：108．z 十七．等腰三角形的性质（共4小题）41．如图，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AC ＝12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ 是以PQ 为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）A ．2.5秒B ．3秒C ．3.5秒D ．4秒 【答案】D【解答】解：设运动的时间为x cm ，在△ABC 中，AB ＝20cm ，AC ＝12cm ，点P 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 同时出发以每秒2cm 的速度向点C 运动， 当△APQ 是等腰三角形时，AP ＝AQ ，AP ＝20﹣3x ，AQ ＝2x即20﹣3x ＝2x ，解得x ＝4（cm ）．故选：D ．42．如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图： 以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1； 再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝ 9 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知：AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1，…，则∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A，…，∵∠BOC ＝9°，z ∴∠A 1AB ＝18°，∠A 2A 1C ＝27°，∠A 3A 2B ＝36°，∠A 4A 3C ＝45°，…，∴9°n ＜90°，解得n ＜10．由于n 为整数，故n ＝9．故答案为：9．43．如图所示，AOB 是一钢架，且∠AOB ＝10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF ，FG ，GH …，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵添加的钢管长度都与OE 相等，∠AOB ＝10°，∴∠GEF ＝∠FGE ＝20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．44．如图，△ABC 中AB ＝AC ，BC ＝6，点P 从点B 出发沿射线BA 移动，同时，点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，已知点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D ．（1）如图①，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长；（2）如图②，过点P 作直线BC 的垂线垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，∴BP ＝CQ ，∵PF∥AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠PFB，∴BP＝PF，∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，∴证得△PFD≌△QCD，∴DF＝CD＝CF，又因P是AB的中点，PF∥AQ，∴F是BC的中点，即FC＝BC＝3，∴CD＝CF＝；（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段，如图，如果点P在线段AB上，过点P作PF∥AC交BC于F，z∵△PBF为等腰三角形，∴PB＝PF，BE＝EF，∴PF＝CQ，∴FD＝DC，∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝BC＝3，∴ED为定值，同理，如图，若P 在BA的延长线上，z作PM ∥AC 的延长线于M ，∴∠PMC ＝∠ACB ，又∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∴∠B ＝∠PMC ，∴PM ＝PB ，根据三线合一得BE ＝EM ，同理可得△PMD ≌△QCD ，所以CD ＝DM ，∵BE ＝EM ，CD ＝DM ，∴ED ＝EM ﹣DM ＝﹣DM ＝+﹣DM ＝3+DM ﹣DM ＝3， 综上所述，线段ED 的长度保持不变．十八．等边三角形的性质（共1小题）45．图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n （n ≥3）块纸板的周长为P n ，则P n﹣P n ﹣1的值为（ ）zA ．B ．C ．D ． 【答案】C【解答】解：P 1＝1+1+1＝3，P 2＝1+1+＝，P 3＝1+++×3＝，P 4＝1+++×2+×3＝， …∴P 3﹣P 2＝﹣＝＝， P 4﹣P 3＝﹣＝＝，则Pn ﹣Pn ﹣1＝＝．故选：C ．十九．轴对称-最短路线问题（共3小题）46．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是（ ）。
(整理版)七年级数学下册期末复习专题试题
(整理版)七年级数学下册期末复习专题试题2七年级数学下册期末复习专题试题类比归纳专题：二元一次方程组的解法选择——学会选择最优的解法◆类型一 解未知数系数含1或－1的方程组 1．(湘潭期末)方程组⎩⎨⎧x －1＝0，x ＋1＝y 的解是( )A.⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2B.⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2C.⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1D.⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－12．(冷水江期末)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝4，2x －y ＝2的解是________．3．解方程组：(1)(甘孜中考)⎩⎨⎧x －y ＝2①，x ＋2y ＝5②； (2)⎩⎨⎧2x ＋y ＝3①，3x －5y ＝11②.4．下面是老师在嘉嘉的数学作业本上截取的部分内容： 解方程组⎩⎨⎧2x －y ＝3①，x ＋y ＝－12②.解：将方程①变形，得y ＝2x －3③，……第一步把方程③代入方程①，得2x －(2x －3)＝3，……第二步整理，得3＝3，……第三步因为x 可以取任意实数，所以原方程组有无数个解……第四步 问题：(1)这种解方程组的方法叫____________．嘉嘉的解法正确吗？若不正确，错在哪一步？请你指出错误的原因，求出正确的解；(2)请用不同于(1)中的方法解这个方程组．◆类型二 解同一未知数的系数含倍数关系的方程组 5．解方程组：(1)⎩⎨⎧5x －6y ＝－1①，3x ＋2y ＝5②； (2)⎩⎨⎧3x －4y ＝－18①，9x ＋5y ＝－3②.◆类型三 利用整体思想解方程组(或求与未知数相关的代数式的值) 6．(邵阳县一模)已知⎩⎨⎧2x ＋3y ＝5，x ＋2y ＝3，则2016＋x ＋y ＝________．7．解方程组：⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2①，4x ＋3y ＝5②.38．若方程组⎩⎨⎧3x ＋y ＝1＋3a ①，x ＋3y ＝1－a ②的解满足x ＋y ＝0，求a 的值．◆类型四 含字母系数的方程组的运用9．已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧mx ＋ny ＝8，nx －my ＝1的解，则2m －n 的值为( )A ．－2B ．2C ．4D ．－410．(邵阳洞口县期中)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，kx ＋2y ＝4－k 的解x 与y 之和为1，则k ＝________．11．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝3，bx ＋ay ＝7的解是⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，求a ＋b 的值．12．已知关于x ，y 的二元一次方程(a －1)x ＋(a －2)y ＋5－2a ＝0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．13．已知方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝－2，ax ＋by ＝－4和方程组⎩⎨⎧3x －y ＝12，bx ＋ay ＝－8的解相同，求(5a ＋b )2的值．◆*类型五 解方程组的特殊方法14．解方程组⎩⎨⎧5（x ＋y ）－3（x －y ）＝2，2（x ＋y ）＋4（x －y ）＝6，若设x ＋y ＝A ，x －y ＝B ，则原方程组可变形为⎩⎨⎧5A －3B ＝2，2A ＋4B ＝6，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝1，再解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0.我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫作换元法，请用这种方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＋x －y 3＝6，2（x ＋y ）－3（x －y ）＝24.解题技巧专题：方程组中较复杂的实际问题◆类型一图表问题1．如图，一个多边形的顶点全在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中三角形ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S＝________，N＝________，L＝________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，则S的值为________．2．某中学2016年通过“废品回收”活动筹集钱款资助贫困中、小学生共23名，资助一名中学生的学习费用需a元，一名小学生的学习费用需b 元，各年级学生筹款数额及用其恰好资助中、小学生人数的部分情况如下表：年级筹款数额(元)资助贫困中学生人数(名)资助贫困小学生人数(名)七年级4000 2 4八年级4200 3 3九年级7400(2)九年级学生筹集的钱款解决了其余贫困中、小学生的学习费用，求出九年级学生资助的贫困中、小学生人数分别为多少．◆类型二方案问题3．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用篱笆围成，现有长为35米的篱笆，爸爸的设计方案是长比宽多5米；妈妈的设计方案是长比宽多2米，你认为谁的设计合理，为什么？如果按这种设计，养鸡场的面积是多少？4．某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？4解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用◆类型一利用公式求值一、逆用幂的相关公式求值1．已知5x＝3，5y＝4，则5x＋y的结果为()A．7 B．12 C．13 D．142．如果(9n)2＝312，则n的值是()A．4 B．3 C．2 D．13．若x2n＝3，则x6n＝________．4．(湘潭期末)已知a x＝3，a y＝2，求a x＋2y的值．5．计算：－82015×(－0.125)2016＋0.253×26. 二、多项式乘法中求字母系数的值6．如果(x＋m)(x－3)中不含x的项，则m 的值是()A．2 B．－2 C．3 D．－37．(邵阳县期中)若(x－5)(2x－n)＝2x2＋mx－15，则m，n的值分别是()A．m＝－7，n＝3 B．m＝7，n＝－3C．m＝7，n＝3 D．m＝－7，n＝－38．已知6x2－7xy－3y2＋14x＋y＋a＝(2x－3y＋b)(3x＋y＋c)，试确定a，b，c的值．三、逆用乘法公式求值9．若x＝1，y＝12，则x2＋4xy＋4y2的值是()A．2 B．4 C.32D.1210．已知a＋b＝3，则a2－b2＋6b的值为()A．6 B．9 C．12 D．1511．(衡阳中考)已知a＋b＝3，a－b＝－1，则a2－b2的值为9.12．已知x＋y＝3，x2－y2＝21，求x3＋12y3的值．四、利用整体思想求值13．若x＋y＝m，xy＝－3，则化简(x－3)(y－3)的结果是()A．12 B．3m＋6C．－3m－12 D．－3m＋614．先化简，再求值：5(1)(菏泽中考)已知4x＝3y，求代数式(x－2y)2－(x－y)(x＋y)－2y2的值；(2)已知2a2＋3a－6＝0，求代数式3a(2a＋1)－(2a＋1)(2a－1)的值．◆类型二利用乘法公式进行简便运算15．计算2672－266×268得()A．2008 B．1 C．2006 D．－116．已知a＝7202，b＝719×721，则()A．a＝b B．a>bC．a<b D．a≤b17．计算：(1)99.8×100.2; (2)1022；(3)5012＋4992; (4)19992－1992×2008.◆类型三利用乘法公式的变形公式进行化简求值18．如果x＋y＝－5，x2＋y2＝13，则xy的值是()A．1 B．17 C．6 D．2519．若a＋b＝－4，ab＝12，则a2＋b2＝________．20．(永州模拟)已知a＝2005x＋2004，b＝2005x＋2005，c＝2005x＋2006，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为________．21．已知(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，求3xy－1的值．◆类型四整式乘法中的拼图问题22．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是() A．(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2B．(3a＋b)(a＋b)＝3a2＋4ab＋b2C．(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2D．(3a＋2b)(a＋b)＝3a2＋5ab＋2b223．如图，边长为(m＋2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为2，其面积是() A．2m＋4 B．4m＋4 C．m＋4 D．2m＋224．★如图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．6(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长是多少？(2)请你用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积；(3)观察图②，你能写出下列三个代数式(m＋n)2，(m－n)2，mn之间的等量关系吗？(4)根据(3)中的结论，解决下列问题：若a＋b＝9，a－b＝7，求ab的值．类比归纳专题：因式分解的方法◆类型一一步(提公因式或套公式)1．(自贡中考)多项式a2－4a分解因式，结果正确的是()A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2)C．a (a＋2)(a－2) D．(a－2)2－42．把下列多项式因式分解：(1)(台州中考)x2－6x＋9；(2)(a－b)2－4b2.◆类型二两步(先提后套或需多次分解)3．(常德澧县期末)把x2y－2y2x＋y3分解因式正确的是()A．y(x2－2xy＋y2) B．x2y－y2(2x－y)C．y(x－y)2D．y(x＋y)24．因式分解：【易错6】(1)2a3－8a2＋8a；(2)(邵阳县校级期中)16x4－81y4；(3)(y2－1)2＋6(1－y2)＋9.◆*类型三特殊的因式分解法5．阅读下列材料并解答问题：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)．(1)试完成下面填空：x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝____________＝____________________；(2)试用上述方法分解因式：a2－2ab－ac＋bc＋b2.6．阅读与思考：将式子x2－x－6分解因式．这个式子的常数项－6＝2×(－3)，一次项系数－1＝2＋(－3)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；7然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：(1)分解因式：x2＋7x－18＝________________；(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是__________________．7．阅读：分解因式x2＋2x－3.解：原式＝x2＋2x＋1－1－3＝(x2＋2x＋1)－4＝(x＋1)2－4＝(x＋1＋2)(x ＋1－2)＝(x＋3)(x－1)．上述因式分解的方法可以称之为配方法．请体会配方法的特点，然后用配方法分解因式：(1)x2－4x＋3; (2)4x2＋12x－7.解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法◆类型一含一个拐点的平行线问题1．(天门中考)如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2＝50°，那么∠1的度数为() A．10°B．20°C．30°D．40°第1题图第2题图2．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为()A．20°B．30°C．40°D．70°3．(金华中考)如图，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A＝20°，∠C＝120°，则∠AED的度数是________．第3题图第4题图4．如图，AB∥CD，∠A＝120°，∠1＝70°，则∠D的度数为________．5．小柯同学平时学习善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠1＝115°，AB⊥CB于B，那么∠2的度数是多少呢？请你帮他计算出来．◆类型二含多个拐点的平行线问题6．如图，直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，则∠1＋∠2＝()A．30°B．35°C．36°D．40°第6题图第7题图7．如图，直线l1∥l2，∠α＝∠β，∠1＝40°，则∠2＝________.8．如图，如果AB∥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系为______________．8第8题图9．★如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线．(1)试说明：∠EOF＝∠BEO＋∠DFO；(2)如果将平行线间的1个拐点改为2个拐点，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系，请说明理由．思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法◆类型一相交线与平行线中利用方程思想求角度1．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝60°，OE把∠BOD分成两部分，若∠BOE∶∠EOD＝1∶2，则∠AOE的度数为()A．180°B．160°C．140°D．120°2．如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作两条射线OM，ON，且∠AOM＝∠CON ＝90°.(1)若OC平分∠AOM，求∠AOD的度数；(2)若∠1＝14∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．◆类型二相交线与平行线中的分类讨论思想3．在同一平面内，三条直线的交点个数是__________．4．已知∠α和∠β两边分别平行，且∠α＝x，∠β＝4x－30°，则∠α＝________．5．★如图，点D为射线CB上一点，且不与点B，C重合，DE∥AB交直线AC于点E，DF∥AC 交直线AB于点F.画出符合题意的图形，猜想∠EDF与∠BAC的数量关系，并说明理由．910◆类型三 平移中利用转化思想求周长或面积6．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（ ） 第6题 第7题A ．甲种方案所用铁丝最长B ．乙种方案所用铁丝最长C ．丙种方案所用铁丝最长D ．三种方案所用铁丝一样长7．如图，在长为50m ，宽为30m 的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为1m ，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是________．8．如图，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，将三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，若AE ＝8cm ，DB ＝2cm.(1)求三角形ABC 向右平移的距离AD 的长； (2)求四边形AEFC 的周长．9．(湘潭县期末)如图，已知三角形ABC 的面积为16，BC 的长为8，现将三角形ABC 沿BC 向右平移m 个单位到三角形A ′B ′C ′的位置．若四边形ABB ′A ′的面积为32，求m 的值．◆类型四 建立平行线的模型解决实际问题10．如图是一架婴儿车的示意图，其中AB ∥CD ，∠1＝110°，∠3＝40°，那么∠2的度数为( ) A ．80° B ．90° C ．100° D ．70°第10题图 第11题图11．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过．如果第一次拐的角∠A 是120°，第二次拐的角∠B 是150°，第三次拐的角是∠C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C 的度数是________度．12．小芳给自己家的小狗乐乐做了一个小木屋，其侧面如图所示．若她已测出∠A ＝135°，∠C ＝125°，由于受条件影响，屋顶的∠B 的度数无法测出．哥哥看到后说，不用测量，他也能算出∠B 的度数，你知道小芳的哥哥是怎样做的吗？试着说出他的方法，并计算出∠B 的度数．∠PFC，∠EPF的关系(不要求写出过程)．◆类型五平行线中利用从特殊到一般的思想进行探究13．★如图①：MA1∥NA2，如图②：MA1∥NA3，如图③：MA1∥NA4，如图④：MA1∥NA5，…，则第n个图中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠A n＋1＝________°(用含n的代数式表示)．.14．★如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED(1)探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED等于多少度？②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED等于多少度？③猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并说明你的理由；(2)拓展应用：如图②，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界)其中区域③，④位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，11。
(完整版)苏教七年级下册期末复习数学专题资料试题经典套题答案
（完整版）苏教七年级下册期末复习数学专题资料试题经典套题答案一、选择题1．下列计算结果正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a6÷a3＝a2C．a2×a3＝a5D．（a3）2＝a5 2．下列图形中，1∠和2∠不是内错角的是（）A ．B ．C ．D ．3．下列四对数，是二元一次方程组31x yx y+=⎧⎨-=-⎩的解的是（）A．21xy=⎧⎨=⎩B．12xy=⎧⎨=⎩C．12xy=⎧⎨=-⎩D．1232xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-9 B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1C．a2b+ab2=ab（a+b）D．x2+1=x（x+1x）5．不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞1 B ．k ＜－1 C ．k≥1 D ．k≤－16．下列命题：（1）如果AC BC =，那么点C 是线段AB 的中点：（2）不相等的两个角一定不是对角：（3）直角三角形的两个锐角互余．（4）同位角相等：（5）两点之间直线最短，其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．设一列数1232021,,,,,a a a a 中任意三个相邻的数之和都是20，已知218644,92,6a x a x a x ==+=-，那么2021a 的值是（ ）A ．4B ．5C ．8D ．11 8．已知,,a b c 满足2224-7,-23,2-2a b b c c a +==+=，则a b c +-的值为（ ）A ．－4B ．－5C ．－6D ．－7 二、填空题9．计算：﹣3x •2xy ＝ ．10．命题“同位角相等”是_______(填“真”或“假”，）命题11．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形．12．已知120182019a =+，120192019b =+，120202019c =+，则代数式()2222a b c ab ac bc ++---的值是_______.13．关于x 、y 的二元一次方程组33123x y m x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足不等式21x y -<，则m 的取值范围是_______．14．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），道路的宽为2米，余下部分种植草坪，则草坪的面积为_____________平方米．15．已知一个三角形的三条边长为2、7、x ，则x 的取值范围是_______．16．如图，在ABC 中，E 、D 分别为AB 、CE 的中点，且24ABC S=，则BDE S =__________________.17．计算或化简：（1）103(2021)(2)12-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭ （2）()341422102a a a a a +÷-⋅ 18．把下列各式因式分解：（1）4m 2﹣n 2（2）2a 3b ﹣18ab 3（3）﹣2x 2y ＋x 3＋xy 2（4）x 2﹣2x ﹣819．解方程组：（1）331x y x y -=⎧⎨-=-⎩； （2）23163211x y x y +=⎧⎨-=⎩． 20．已知，以二元一次方程组321232x y k x y k -=-⎧⎨+=-⎩的解(),x y 为坐标的点在第一象限，求k 的取值范围．三、解答题21．如图，已知12180∠+∠=︒，且3C ∠=∠．（1）EF 与BC 平行吗？请说明理由；（2）若BE 平分ABC ∠，2100∠=︒，350∠=︒，求ABC ∠的度数．22．市煤气公司准备给某新建小区的用户安装管道煤气，现有400用户提出了安装申请，此外每天还有新的用户提出申请，假设煤气公司每个安装小组安装的数量相同，且每天申请安装的用户数也相同，若煤气公司安排2个安装小组同时做，则40天就可以装完所有新、旧用户的申请；若煤气公司安排4个安装小组同时做，则10天可以装完所有新旧用户的申请.()1求每天新申请安装的用户数及每个安装小组每天安装的数量；()2如果要求在10天内安装完所有新、旧用户的申请，但前6天煤气公司只能派出2个安装小组安装，那么最后几天至少需要增加多少个安装小组同时安装，才能完成任务？ 23．某体育拓展中心的门票每张10元，一次性使用考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的顾客，该拓展中心除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法．年票分A 、B 两类：A 类年票每张120元，持票者可不限次进入中心，且无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入中心时，需再购买门票，每次2元．（1）小丽计划在一年中花费80元在该中心的门票上，如果只能选择一种购买门票的方式，她怎样购票比较合算？（2）小亮每年进入该中心的次数约20次，他采取哪种购票方式比较合算？（3）小明根据自己进入拓展中心的次数，购买了A类年票，请问他一年中进入该中心不低于多少次？24．已知AB CD，点E是平面内一点，∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线交于点F．（1）若点E的位置如图1所示．①若∠ABE=60°，∠CDE=80°，则∠F= °；②探究∠F与∠BED的数量关系并证明你的结论；（2）若点E的位置如图2所示，∠F与∠BED满足的数量关系式是．（3）若点E的位置如图3所示，∠CDE为锐角，且，设∠F=α，则α的取值范围为．25．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，交BC边于点E．（1）如图1，过点A作AD⊥BC于D，若已知∠C＝50°，则∠EAD的度数为；（2）如图2，过点A作AD⊥BC于D，若AD恰好又平分∠EAC，求∠C的度数；（3）如图3，CF平分△ABC的外角∠BCG，交AE的延长线于点F，作FD⊥BC于D，设∠ACB＝n°，试求∠DFE﹣∠AFC的值；（用含有n的代数式表示）（4）如图4，在图3的基础上分别作∠BAE和∠BCF的角平分线，交于点F1，作F1D1⊥BC 于D1，设∠ACB＝n°，试直接写出∠D1F1A﹣∠AF1C的值．（用含有n的代数式表示）【参考答案】一、选择题1．C解析：C【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算性质可逐项计算判定求解．【详解】解：A．a2和a3不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意；B．a6÷a3＝a3，故B项不符合题意；C．a2×a3＝a5，故C选项符合题意；D．（a3）2＝a6，故D项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握以上知识是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据内错角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角解答．解：A 、∠1和∠2是内错角，故选项不合题意；B 、∠1和∠2不是内错角，故选项符合题意；C 、∠1和∠2是内错角，故选项不合题意；D 、∠1和∠2是内错角，故选项不合题意；故选B ．【点睛】本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．3．B解析：B【分析】利用加减消元法求解即可．【详解】解：31x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②， ①+②得2x =2，解得x =1，把x =1代入①得1+y =3，解得y =2，∴方程组的解为12x y =⎧⎨=⎩， 故选：B ．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 4．C解析：C【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误；C 、因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C 正确；D 、因式中含有分式，故D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．5．C【分析】分别先解两个不等式得到两个不等式的解集分别为x ＜2, x ＜1k +，根据“同小取小”，可得12,k +≥ 从而可得答案．【详解】解：29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩①②由①得：4x -＞8,- x ＜2,由②得：x ＜1k +，不等式组的解集是：2x <，12k ∴+≥，1.k ∴≥故选C ．【点睛】本题考查的是已知不等式组的解集求不等式组中参数的取值范围，掌握不等式组的解集的确定是解题的关键．6．B解析：B【详解】(1)如果AC=BC,那么点C 不一定是线段AB 的中点;故(1)是假命题；(2)不相等的两个角一定不是对顶角;故(2)是真命题；(3)直角三角形的两个锐角互余;故(3)是真命题；(4)两直线平行,同位角相等;故(4)是假命题；(5)两点之间线段最短;故(5)是假命题；真命题的个数有2个；故选B.7．A解析：A【分析】由题可知，a 1，a 2，a 3每三个循环一次，可得a 18=a 3，a 64=a 1，所以6-x =-6x +11，即可求a 2=4，a 3=11，a 1=5，再由2021除以3的余数可得结果．【详解】解：由题可知，a 1+a 2+a 3=a 2+a 3+a 4，∴a 1=a 4，∵a 2+a 3+a 4=a 3+a 4+a 5，∴a 2=a 5，∵a 4+a 5+a 6=a 3+a 4+a 5，∴a 3=a 6，…∴a 1，a 2，a 3每三个循环一次，∵18÷3=6，∴a 18=a 3，∵64÷3=21…1，∴a 64=a 1，∴a 1=20-4x -（9+2x ）=-6x +11，∴6-x =-6x +11，解得：x =1，∴a 2=4，a 3=11，a 1=5，∵2021÷3=673…2，∴a 2021=a 2=4，故选A ．【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的运算解题是关键．8．A解析：A【分析】三个式子相加，化成完全平方式，得出,,a b c 的值，代入计算即可．【详解】解：∵2224-7,-23,2-2a b b c c a +==+=，∴2224+-2+2-6a b b c c a ++=，∴22221+44+-210a a b b c c +++++=∴222(1)+(2)+(1)0a b c ++-=，∴10a +=，20b +=，10c -=，∴1a =-，2b =-，1c =，1214a b c +-=---=-，故选：A ．【点睛】本题考查了代数式求值和完全平方公式，解题关键是通过等式变形化成完全平方式，根据非负数的性质求出,,a b c 的值，准确进行计算．二、填空题9．﹣6x 2y【分析】根据单项式乘以单项式的法则即可求出答案．【详解】解：﹣3x•2xy＝﹣3×2•（x•x ）y＝﹣6x 2y ．故答案为：﹣6x 2y ．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 10．假【分析】两直线平行，同位角相等，如果没有前提条件，并不能确定同位角相等，由此可作出判断．【详解】解：两直线平行，同位角相等，命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．故答案为：假．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，属于基础题，同学们一定要注意一些定理成立的前提条件．11．八【分析】多边形的内角和为()2180,n -︒外角和为360,︒ 再列方程()21803360,n -︒=⨯︒解方程可得答案.【详解】解：设这个多边形为n 边形，则()21803360,n -︒=⨯︒26,n ∴-=8,n ∴=故答案为：八【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键.12．6【分析】根据完全平方公式分解因式后整体代入即可求解．【详解】a ﹣b =﹣1，a ﹣c =﹣2，b ﹣c =﹣1，2（a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc ）=2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2ac ﹣2bc=（a ﹣b ）2+（a ﹣c ）2+（b ﹣c ）2=（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2=1+4+1=6．故答案为：6．【点睛】本题考查了分解因式的应用，解题的关键是整体思想的运用．13．m ＜1【分析】将方程组中的两个方程作差，即可得到2x-y=3m-2，再根据2x-y ＜1，可知3m-2＜1，从而可以求得m 的取值范围．【详解】解：33123x y m x y ++⎧⎨+⎩＝①＝②， ①-②，得2x-y=3m-2，∵2x-y ＜1，∴3m-2＜1，解得，m ＜1，故答案为：m ＜1．【点睛】本题考查解一元一次不等式、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，明确它们各自的解答方法．14．540【分析】通过平移可得，草坪可以看作长为(322)-米，宽为(202)-米的矩形，再根据矩形的面积计算即可．【详解】解：草坪的面积为：(322)(202)540-⨯-=（平方米）．故答案为：540．【点睛】本题主要考查了平移现象，理清题意，把草坪可看作长为(322)-米，宽为(202)-米的矩形是解答本题的关键．15．5x9【详解】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和得：7−2<x<7+2，即5<x<9.解析：5<x <9【详解】根据三角形的三边关系，第三边的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和得：7−2<x<7+2，即5<x<9.16．6【分析】先根据点E 是AB 的中点可知，再根据点D 是CE 的中点即可得出结论．【详解】∵点E 是AB 的中点,∴∵点D 是CE 的中点，∴故答案为:6.【点睛】考查三角形中线的性质，解析：6【分析】先根据点E 是AB 的中点可知12BCE ABC SS =，再根据点D 是CE 的中点即可得出结论． 【详解】∵点E 是AB 的中点,24ABC S =， ∴112412.22BCE ABC S S ==⨯= ∵点D 是CE 的中点，∴1112 6.22BDE BCE S S ==⨯= 故答案为:6.【点睛】考查三角形中线的性质，三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部分..17．（1）-5；（2）【分析】（1）根据零次幂的性质、负整数指数幂的性质、乘方的意义计算，再计算加减即可；（2）根据幂的乘方运算法则计算，再计算同底数幂的乘、除法，最后合并．【详解】解：（1）解析：（1）-5；（2）122a【分析】（1）根据零次幂的性质、负整数指数幂的性质、乘方的意义计算，再计算加减即可； （2）根据幂的乘方运算法则计算，再计算同底数幂的乘、除法，最后合并．【详解】解：（1）103(2021)(2)12-⎛⎫-++- ⎪⎝⎭ =128+-=-5；（2）()341422102a a a a a +÷-⋅ =2121122a a a +-=122a【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，关键是掌握各运算法则． 18．（1）（2m ﹣n ）（2m ＋n ）；（2）2ab （a ﹣3b ）（a ＋3b ）；（3）x （x ﹣y ）2；（4）（x ﹣4）（x ＋2）．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式先提取公因式，再利用解析：（1）（2m ﹣n ）（2m ＋n ）；（2）2ab （a ﹣3b ）（a ＋3b ）；（3）x （x ﹣y ）2；（4）（x ﹣4）（x ＋2）．【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（3）原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（4）原式利用十字相乘法分解即可．【详解】解：（1）原式＝（2m ﹣n ）（2m ＋n ）；（2）原式＝2ab （a 2﹣9b 2）＝2ab （a ﹣3b ）（a ＋3b ）；（3）原式＝x （x 2﹣2xy ＋y 2）＝x （x ﹣y ）2；（4）原式＝（x ﹣4）（x ＋2）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法以及十字相乘法进行因式分解的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．（1）；（2）【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：（1），①-②得：2y=4，解得：y=2，把y=2代入①得：x-2=3，解析：（1）52xy=⎧⎨=⎩；（2）52xy=⎧⎨=⎩【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：（1）331x yx y-=⎧⎨-=-⎩①②，①-②得：2y=4，解得：y=2，把y=2代入①得：x-2=3，解得：x=5，则方程组的解为52xy=⎧⎨=⎩；（2）2316 3211x yx y+=⎧⎨-=⎩①②，①×2+②×3得：13x=65，解得：x=5，把x=5代入①得：10+3y=16，解得：y=2，则方程组的解为52xy=⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．【分析】解关于x、y的二元一次方程组，得x与y，再根据点在第一象限的坐标特征即可得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可．【详解】解方程组得，由题意知，，∴，解不等式组得，．【点解析：815k -<<【分析】解关于x 、y 的二元一次方程组，得x 与y ，再根据点在第一象限的坐标特征即可得到关于k 的一元一次不等式组，解不等式组即可．【详解】 解方程组得1138513k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由题意知0x >，0y >， ∴101385013k k +⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩， 解不等式组得，815k -<<． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，点在各个象限的坐标特征等知识，难点在于解含有参数k 的二元一次方程组．三、解答题21．（1），见解析；（2）60°【分析】（1）证明得，从而得出，再由可证明结论；（2）求出，可得 ，再根据平分线的定义可求出结论．【详解】解：（1）∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴（解析：（1）//EF BC ，见解析；（2）60°【分析】（1）证明2FDE ∠=∠得//DF AC ，从而得出3AEF ∠=∠，再由3C ∠=∠可证明结论； （2）求出50C ∠=︒，可得30EBC ∠=︒ ，再根据平分线的定义可求出结论．【详解】解：（1）∵12180∠+∠=︒，1180FDE ∠+∠=︒，∴2FDE ∠=∠，∴//DF AC ，∴3AEF ∠=∠，∵3C ∠=∠，∴AEF C ∠=∠，∴//EF BC（2）∵3C ∠=∠，350∠=︒，∴50C ∠=︒，∵2180C EBC ∠+∠+∠=︒，2100∠=︒，∴30EBC ∠=︒，∵BE 平分ABC ∠，∴260ABC EBC ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理的综合运用，正确理解定理的内容是关键． 22．（1）每天新申请安装的用户数为户，安装小组每天安装的数量为户；（2）至少需要增加个安装小组同时安装.【解析】【分析】（1）设每天新申请安装的用户数为，安装小组每天安装的数量为，根据2个小组同时解析：（1）每天新申请安装的用户数为20户，安装小组每天安装的数量为15户；（2）至少需要增加5个安装小组同时安装.【解析】【分析】（1）设每天新申请安装的用户数为x ，安装小组每天安装的数量为y ，根据2个小组同时做40天完成，列出方程组，求出x 、y 的值即可；（2）设最后几天需要z 个安装小组同时安装，根据10天的安装量大于等于新旧用户，列出不等式，求出z 的最小正整数解即可.【详解】（1）设每天新申请安装的用户数为x ，安装小组每天安装的数量为y ，由题意得，4004040240010104x y x y +=⨯⎧⎨+=⨯⎩， 解得：2015x y =⎧⎨=⎩， 答：每天新申请安装的用户数为20户，安装小组每天安装的数量为15户；（2）设最后几天需要z 个安装小组同时安装，由题意得，()6215151064001020z ⨯⨯+⨯-≥+⨯，解得：7z ≥，725-=（个），答：至少需要增加5个安装小组同时安装.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，根据等量关系建立方程组，难度一般.23．（1）应该购买B 类年票，理由见解析；（2）应该购买B 类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次【分析】（1）因为80元小于120元，故无法购买A 类年票，继而分别讨论直接购票与购解析：（1）应该购买B 类年票，理由见解析；（2）应该购买B 类年票，理由见解析；（3）小明一年中进入拓展中心不低于30次【分析】（1）因为80元小于120元，故无法购买A 类年票，继而分别讨论直接购票与购买B 类年票，这两种方式何者次数更多即可．（2）本题根据进入中心的次数，分别计算小亮直接购票、购买A 类年票、购买B 类年票所消费的总金额，最后比较总花费大小即可．（3）小明选择购买A 类年票，说明A 类年票更为划算，故需满足直接购票与购买B 类年票所花费的金额不低于120元，最后列不等式求解即可．【详解】（1）由于预算限制，小丽不可能买A 类年票；若直接购票，可以进中心8010=8÷次；若购买B 类年票，可进中心(8060)210-÷=次，所以应该购买 B 类年票．（2）若直接购买门票，需花费2010=200⨯元；若购买A 类年票，需花费120元；若购买B 类年票，需花费60+202=100⨯元；所以应该购买B 类年票．（3）设小明每年进拓展中心约x 次，根据题意列出不等式组：10120602120x x ≥⎧⎨+≥⎩ ，解得1230x x ≥⎧⎨≥⎩，故30x ≥． 所以小明一年中进入拓展中心不低于30次．【点睛】本题考查实际问题以及不等式，解题关键在于对题目的理解，此类型题目需要分类讨论做对比，其次需要从实际问题背景抽离数学关系，最后注意计算仔细即可．24．（1）①70；②∠F=∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3）【分析】（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠A∠BED，证明见解析；（2）2∠F+∠BED=360°；（3）解析：（1）①70；②∠F=12【分析】（1）①过F作FG//AB，利用平行线的判定和性质定理得到∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，利用角平分线的定义得到∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），求得∠ABF+∠CDF=70︒，即可求解；②分别过E、F作EN//AB，FM//AB，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF，即可求解；（2）根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系；（3）通过对的计算求得，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得，即可求得．【详解】（1）①过F作FG//AB，如图：∵AB∥CD，FG∥AB，∴CD∥FG，∴∠ABF=∠BFG，∠CDF=∠DFG，∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF，∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF）=60︒+80︒=140︒，∴∠ABF+∠CDF=70︒，∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70︒，故答案为：70；∠BED，②∠F=12理由是：分别过E、F作EN//AB，FM//AB，∵EN//AB，∴∠BEN=∠ABE，∠DEN=∠CDE，∴∠BED=∠ABE+∠CDE，∵DF、BF分别是∠CDE的角平分线与∠ABE的角平分线，∴∠ABE=2∠ABF，∠CDE=2∠CDF，即∠BED=2（∠ABF+∠CDF）；同理，由FM//AB，可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠BED；∴∠F=12（3）2∠F+∠BED=360°．如图，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，∵AB∥CD，EG∥AB，∴CD∥EG，∴∠DEG+∠CDE=180°，∴∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），∵BF平分∠ABE，∴∠ABE=2∠ABF，∵DF平分∠CDE，∴∠CDE=2∠CDF，∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），由①得：∠BFD=∠ABF+∠CDF，∴∠BED=360°-2∠BFD，即2∠F+∠BED=360°；（3）∵，∠F=α，∴，解得：，如图，∵∠CDE为锐角，DF是∠CDE的角平分线，∴∠CDH=∠DHB，∴∠F∠DHB，即，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形外角性质的应用，在解答此题时要注意作出辅助线，构造出平行线求解．25．（1）10°；（2）∠C的度数为70°；（3）∠DFE﹣∠AFC的值为；（4）∠D1F1A﹣∠AF1C的值为．【分析】（1）根据∠EAD=∠EAC-∠DAC，求出∠EAC，∠DAC即可解决问题．解析：（1）10°；（2）∠C的度数为70°；（3）∠DFE﹣∠AFC的值为1302n-︒；（4）∠D1F1A﹣∠AF1C的值为14n．【分析】（1）根据∠EAD=∠EAC-∠DAC，求出∠EAC，∠DAC即可解决问题．（2）设∠CAD=x，则∠EAD=∠CAD=x，∠EAB=∠EAC=2x，利用三角形内角和定理构建方程求出x即可解决问题．（3）设∠CAD=x，则∠EAD=∠CAD=x，∠EAB=∠EAC=2x，用n，x表示出∠DFE，∠AFC，再结合三角形内角和定理解决问题即可．（4）设∠FAC=∠FAB=y．用n，x表示出∠D1F1A，∠AF1C，再结合三角形内角和定理解决问题即可．【详解】解：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=50°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°-50°=40°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=50°-40°=10°．（2）设∠CAD=x，则∠EAD=∠CAD=x，∠EAB=∠EAC=2x，∵AD⊥EC，∴∠ADE=∠ADC=90°，∴∠AED+∠EAD=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠AED=∠C=∠B+∠EAB=30°+2x，在△ABC中，由三角形内角和定理可得：30°+30°+2x+4x=180°，解得x=20°，∴∠C=30°+40°=70°．（3）设∠FAC=∠FAB=x．则有∠AEC=∠DEF=180°-n-x，∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°，∴∠DFA=90°-(180°-n-x)=n+x-90°，∵CF平分∠BCG，∴∠FCG=12(180°-n)，∵∠AFC=∠FCG-∠FAC=12(180°-n)-x=90°-12n-x=15°，∴∠DFE-∠AFC=n+x-105°，∵2x+30°+n=180°，∴x=75°-12n，∴∠DFE-∠AFC=12n-30°．（4）设∠FAC=∠FAB=y．由题意同法可得：∠D1F1A=90°-(180°-n-32y)=n+32y-90°，∠AF1C=180°-32y-n-14(180°-n)=135°-32y-34n，∴∠D1F1A-∠AF1C=n+32y-90°-(135°-32y-34n)=74n+3y-225°，∵2y+30°+n=180°，∴y=75°-12n，∴∠D1F1A-∠AF1C=n+32y-90°-(135°-32x-34n)=74n+225°-32n-225°=14n．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，本题有一定的难度．。
(完整版)数学初中苏教七年级下册期末必考知识点真题及解析
（完整版）数学初中苏教七年级下册期末必考知识点真题及解析一、选择题1．下列运算正确的是（ ）A ．（a 2）6＝a 8B ．a 2•a 5＝a 7C ．a 5﹣a 3＝a 2D ．a 4÷a 3＝a 7 2．如图，图中的内错角的对数是（ ）A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对3．若关于x 、y 的方程的解满足x+y= 0，则a 的值为 （） A ．-I B ．-2 C ．0 D ．不能确定 4．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”( )A ．56B ．66C ．76D ．865．若关于x 的不等式组()2140x x a ⎧->⎨->⎩的解集为3x >，那么a 的取值范围是（ ） A ．3a >B ．3a <C ．3a ≥D ．3a ≤6．下列命题中：①内错角相等；②两点之间线段最短；③直角三角形两锐角互余；④两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行．属于真命题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n ；（其中k 是使2k n 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取26n =．则：若49n =，则第2021次“F 运算”的结果是（ ）A ．68B ．78C ．88D ．988．如图，将△ABC 沿DE ，EF 翻折，顶点A ，B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠CDO +∠CFO =98︒，则∠C 的度数为（ ）A ．40°B ．41°C ．42°D ．43°二、填空题9．计算：（3x 3）2•（﹣x 2）3＝___．10．“同位角相等”这个命题的逆命题是__，这个逆命题是__命题．11．如果一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的内角和是__________.12．当98=-m 时，244m m -+的值为_____________13．已知11x y =⎧⎨=⎩是方程组3,.x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解，则3m n -=____________ 14．如图，在长20米，宽10米的长方形草地内修建了宽2米的道路，则道路的面积为_____．15．已知一个正多边形的内角是144︒，则这个正多边形是________边形．16．如图1，将三角板ABC 与三角板ADE 摆放在一起；如图2，固定三角板ABC ，将三角板ADE 绕点A 按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE=α（0°＜α＜180°）．当△ADE 的一边与△ABC 的某一边平行（不共线）时，写出旋转角α的所有可能的度数为 ． 17．计算：（1）30211(2)()()33---+； （2）2563()2x x x x -÷+⋅；（3）23322(927)(3)x y x y xy -÷；（4）2(2)(1)x x x +-+18．因式分解：（1）2a2b﹣8ab2+8b3．（2）a2（m﹣n）+9（n﹣m）．（3）81x4﹣16．（4）（m2+5）2﹣12（m2+5）+36．19．解方程组（1）23323x yy x-=-⎧⎨=-⎩（2）111324x yx y-+⎧+=⎪⎨⎪+=⎩20．利用数轴解不等式组3(2)41213x xxx--≤-⎧⎪+⎨-≤⎪⎩，并判断32是否是该不等式组的解．三、解答题21．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD的大小．解：∵EF∥AD，∴∠2= （两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代换），∴AB∥（）∴∠BAC＋ =180°（）∵∠BAC=70°，∴∠AGD=110°．22．某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车，据了解，3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计120万元．（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请试写出该公司的采购方案．23．阅读以下内容：已知有理数m，n满足m+n＝3，且3274232m n km n+=-⎧⎨+=-⎩求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m ，n 的方程组3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩，再求k 的值； 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k 的值；丙同学：先解方程组3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩，再求k 的值． （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；（2）在解关于x ，y 的方程组()()11821a x by b x ay ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩①②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x ，也可以用①×2+②×5消去未知数y ．求a 和b 的值．24．（1）如图1，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，AB ∥CD ，∠ADC =50°，∠ABC =40°，求∠AEC 的度数；（2）如图2，∠BAD 的平分线AE 与∠BCD 的平分线CE 交于点E ，∠ADC =α°，∠ABC =β°，求∠AEC 的度数；（3）如图3，PQ ⊥MN 于点O ，点A 是平面内一点，AB 、AC 交MN 于B 、C 两点，AD 平分∠BAC 交PQ 于点D ，请问ADP ACB ABC∠∠-∠的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．25．阅读材料：如图1，点A 是直线MN 上一点，MN 上方的四边形ABCD 中，140ABC ∠=︒，延长BC ，2DCE MAD ADC ∠=∠+∠，探究DCE ∠与MAB ∠的数量关系，并证明.小白的想法是：“作ECF ECD ∠=∠（如图2），通过推理可以得到CF MN ，从而得出结论”.请按照小白的想法．．．．．完成解答：拓展延伸：保留原题条件不变，CG 平分ECD ∠，反向延长CG ，交MAB ∠的平分线于点H （如图3），设MAB α∠=，请直接写出H ∠的度数（用含α的式子表示）.【参考答案】一、选择题1．B解析：B【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【详解】解：A ．（a 2）6=a 12，故本选项不合题意；B ．a 2•a 5=a 7，故本选项符合题意；C ．a 5与-a 3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；D ．a 4÷a 3=a ，故本选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．2．C解析：C【分析】利用内错角的定义分析得出答案．【详解】解：如图所示：内错角有：∠FOP 与∠OPE ，∠GOP 与∠OPD ，∠CPA 与∠HOP ，∠FOP 与∠OPD ，∠EPO 与∠GOP 都是内错角，故内错角一共有5对．故选：C ．【点睛】此题主要考查了内错角的定义，正确把握内错角的定义是解题关键．3．A解析：A【解析】【分析】①+②，得4x+4y=2+2a，根据 x+y= 0可求出a.【详解】①+②，得4x+4y=2+2a因为x+y= 0所以0=2+2a所以a=-1故选：A【点睛】考核知识点：加减法在二元一次方程组中的运用.灵活运用加减法是关键.4．C解析：C【分析】利用“神秘数”定义判断即可．【详解】解：∵76=38×2=（20+18）（20-18）=202﹣182，∴76是“神秘数”，而其余各数均不能表示为两个连续偶数的平方差，故选：C．【点睛】此题考查了平方差公式，正确理解“神秘数”的定义是解本题的关键．5．D解析：D【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式的解集是x＞3求出a的取值范围即可．【详解】()2140x x a ⎧->⎨->⎩①② ∵解不等式①得：3x >，解不等式②得：x a >，∵关于x 的不等式组()2140x x a ⎧->⎨=>⎩的解集为3x >， ∴3a ≤，故选：D ．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．C解析：C【分析】根据平行线的性质、直角三角形的性质判断即可．【详解】解：①两直线平行，内错角相等，本说法是假命题；②两点之间线段最短，本说法是真命题；③直角三角形两锐角互余，本说法是真命题；④两条平行线被第三条直线所截，所得的一组内错角的角平分线互相平行，本说法是真命题；故选：C ．【点睛】本题主要考查证明与命题、平行线的性质及直角三角形的性质，关键是熟记概念进行判断．7．D解析：D【分析】根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2021次“F 运算”的结果．【详解】解：本题提供的“F 运算”，需要对正整数n 分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n =49为奇数应先进行F ①运算，即3×49+5=152（偶数），需再进行F ②运算，即152÷23=19（奇数），再进行F ①运算，得到3×19+5=62（偶数），再进行F ②运算，即62÷21=31（奇数），再进行F ①运算，得到3×31+5=98（偶数），再进行F ②运算，即98÷21=49，再进行F①运算，得到3×49+5=152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2021÷6=336…5，则第2021次“F运算”的结果是98．故选：D．【点睛】本题考查了整式的运算能力，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了次数、结果规律探索问题，检测学生阅读理解、抄写、应用能力．8．B解析：B【详解】解：如图，连接AO、BO．由折叠的性质可得EA=EB=EO，∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∵DO=DA，FO=FB，∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，又∵∠CDO+∠CFO=98°，∴2∠DAO+2∠FBO=98°，∴∠DAO+∠FBO=49°，所以∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°，由三角形的内角和定理可得∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣139°=41°，故选B．点睛：本题以三角形为载体，以翻折变换为方法，以考查三角形的内角和定理，借助翻折变换的性质，灵活运用三角形的内角和定理来解题是关键．二、填空题9．129x【分析】根据积的乘方运算，同底数幂相乘，单项式乘单项式，把系数和相同字母分别相乘．【详解】解：（3x 3）2•（﹣x 2）3＝661299x x x -=- ，故答案为：129x -．【点睛】本题考查了积的乘方运算，同底数幂相乘，单项式乘单项式，把系数和相同字母分别相乘是解题的关键．10．相等的角是同位角 假【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，由此求解即可.【详解】解：同位角相等这个命题的逆命题是相等的角是同位角，逆命题是假命题；故答案为：①相等的角是同位角②假．【点睛】本题主要考查了同位角的定义，命题的真假，写出逆命题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11．720°【分析】根据多边形的外角和等于360°，可求出这个多边形的边数，进而，求出这个多边形的内角和.【详解】∵一个多边形的每一个外角都等于60°，又∵多边形的外角和等于360°，∴这个多边形的边数=360°÷60°=6，∴这个多边形的内角和=180(62)720⨯-=，故答案是：720°.【点睛】本题主要考查多边形的外角和等于360°以及多边形的内角和公式，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键.12．10000【分析】由题意，先把多项式因式分解，再把m 的值代入计算，即可得到答案．【详解】解：2244(2)m m m -+=-，∵98=-m ，∴22(2)(982)10000m -=--=；故答案为：10000．【点睛】本题考查了公式法因式分解，以及求代数式的值，解题的关键是正确的把多项式进行因式分解．13．7-【分析】把11x y =⎧⎨=⎩代入到方程组3x y m x my n -=⎧⎨+=⎩中得到关于m n ，的方程组，求出m n ，的值，再求出3m n -的值即可．【详解】解：∵11x y =⎧⎨=⎩是方程组3x y m x my n -=⎧⎨+=⎩的解， ∴31111m m n ⨯-=⎧⎨+⨯=⎩，解得：=2=3m n ⎧⎨⎩， ∴3=233=7m n --⨯-，故答案为：7-．【点睛】本难主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值，明白解的定义和正确求出m n ，的值是解决此题的关键．14．56米2．【分析】将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形，分别求出长方形的长和宽，再用长和宽相乘即可得到草地的面积，进而得出道路的面积．【详解】将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形，长方形的长为20﹣2＝18（米），宽为10﹣2＝8（米），则草地面积为18×8＝144米2．∴道路的面积为20×10﹣144＝56米2故答案为56米2．【点睛】本题考查了平移在生活中的运用，将道路分别向左、向上平移，得到草地为一个长方形是解题的关键．15．十【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n 边形，根据题意得：（n-2）×180°÷n=144°，解得：n=1解析：十【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：（n-2）×180°÷n=144°，解得：n=10．故答案为：十．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键．16．15°，45°，105°，135°，150°．【详解】试题分析：要分5种情况进行讨论：AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、DE∥AC、AE∥BC分别画出图形，再分别计算出度数即可．解：当△AD解析：15°，45°，105°，135°，150°．【详解】试题分析：要分5种情况进行讨论：AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、DE∥AC、AE∥BC分别画出图形，再分别计算出度数即可．解：当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的情况如下图所示：①当AD ∥BC 时，α=15°；②当DE ∥AB 时，α=45°；③当DE ∥BC 时，α=105°；④当DE ∥AC 时，α=135°；⑤当AE ∥BC 时，α=150°．故答案为15°，45°，105°，135°，150°．考点：旋转的性质．17．（1）0；（2）x9；（3）y-3x ；（4）3x+4【解析】【分析】（1）先分别根据有理数的乘方、0指数幂及负整数指数幂的性质计算出各数，再按照从左到右的顺序进行计算；（2）原式先利用幂的乘解析：（1）0；（2）x 9；（3）y-3x ；（4）3x+4【解析】【分析】（1）先分别根据有理数的乘方、0指数幂及负整数指数幂的性质计算出各数，再按照从左到右的顺序进行计算；（2）原式先利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘法法则计算，再利用多项式除以单项式运算法则计算，合并后即可得到结果；（3）原式先计算乘方运算，再计算除法运算即可得到结果；（4）原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算即可得到结果【详解】解：（1）()02311233-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ = -8-1+9=0；（2）()52632x x x x -÷+⋅=1092x x x -÷+=992x x -+=9x ；（3）()()223329273x y x y xy -÷ =()2332229279x y x y x y -÷=y-3x ；（4）()()2+21x x x -+=2244x x x x ++--=3x+4．故答案为：（1）0；（2）x 9；（3）y-3x ；（4）3x+4．【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，有理数的乘方，0指数幂及负整数指数幂，单项式乘以多项式以及多项式除以单项式的法则，熟练掌握公式及法则是解题的关键． 18．（1）2b(a-2b) 2；（2）（m ﹣n ）（ a+3）（a-3）；（3）（3x+2）（3x-2）（9x2+4）；（4）（m+1）2（m-1）2【分析】（1）先提取2b ，再利用完全平方公式分解因解析：（1）2b (a -2b ) 2；（2）（m ﹣n ）（ a +3）（a -3）；（3）（3x +2）（3x -2）（9x 2+4）；（4）（m +1）2（m -1）2【分析】（1）先提取2b ，再利用完全平方公式分解因式即可；（2）先提取（m ﹣n ），再利用平方差公式分解因式即可；（3）利用平方差公式分解因式，即可；（4）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可．【详解】解：（1）原式=2b (a 2-4ab +4b 2)=2b (a 2-4ab +4b 2)=2b (a -2b ) 2；（2）原式=a 2（m ﹣n ）-9（m ﹣n ）=（m ﹣n ）（ a 2-9）=（m ﹣n ）（ a +3）（a -3）；（3）原式=（9x 2﹣4）（9x 2+4）=（3x +2）（3x -2）（9x 2+4）；（4）原式=[（m 2+5）-6]2=（m 2-1）2=（m +1）2（m -1）2．【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键． 19．（1）；（2）【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；（2）方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1），将②代入①得：，解得：，代入②中，解得：，∴方程组的解为：；（2解析：（1）33x y =⎧⎨=⎩；（2）73x y =⎧⎨=-⎩ 【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；（2）方程组利用加减消元法求解即可．【详解】解：（1）23323x y y x -=-⎧⎨=-⎩①②， 将②代入①得：()23233x x --=-，解得：3x =，代入②中，解得：3y =，∴方程组的解为：33x y =⎧⎨=⎩； （2）方程组化简得2354x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②×3-①得：7x =，代入②中，解得：3y =-，∴方程组的解为：73x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．1≤x≤4，不是【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再进一步判断是否在此范围即可．【详解】解：，解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得解析：1≤x≤4，不是【分析】分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再进一步判断32是否在此范围即可．【详解】解：3(2)41213x xxx--≤-⎧⎪⎨+-≤⎪⎩①②，解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x≤4，将不等式的解集表示在数轴上如下：∴不等式组的解集为1≤x≤4，∵324，∴32【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是解答此题的关键．三、解答题21．∠3；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补【分析】根据平行线性质推出∠1=∠3，根据平行线判定推出AB∥DG，根据平行线判定推出∠BAC+∠AGD=180°，把∠BA解析：∠3；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补【分析】根据平行线性质推出∠1=∠3，根据平行线判定推出AB∥DG，根据平行线判定推出∠BAC+∠AGD=180°，把∠BAC=70°代入计算求出即可．【详解】∵EF∥AD，∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），又∵∠1=∠2（已知），∴∠1=∠3（等量代换），∴AB ∥DG （内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC=70°，∴∠AGD=110°．故答案为：∠3；DG ；内错角相等，两直线平行；∠AGD ；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 22．（1）A 型汽车进价为25万元/辆，B 型汽车进价为10万元/辆；（2）该公司有两种购买方案，方案1：购进A 型汽车2辆，B 型汽车15辆；方案2：购进A 型汽车4辆，B 型汽车10辆【分析】（1）设型汽车解析：（1）A 型汽车进价为25万元/辆，B 型汽车进价为10万元/辆；（2）该公司有两种购买方案，方案1：购进A 型汽车2辆，B 型汽车15辆；方案2：购进A 型汽车4辆，B 型汽车10辆【分析】（1）设A 型汽车进价为x 万元/辆，B 型汽车进价为y 万元/辆，根据“3辆A 型汽车和4辆B 型汽车的进价共计115万元；4辆A 型汽车和2辆B 型汽车的进价共计120万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进A 型汽车m 辆，则购进B 型汽车5(20)2m -辆，根据购进的B 种型号的新能源汽车数量多于A 种型号的新能源汽车数量，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 、5(20)2m -均为正整数，即可得出各购买方案．【详解】解：（1）设A 型汽车进价为x 万元/辆，B 型汽车进价为y 万元/辆，依题意得：3411542120x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2510x y =⎧⎨=⎩． 答：A 型汽车进价为25万元/辆，B 型汽车进价为10万元/辆．（2）设购进A 型汽车m 辆，则购进B 型汽车200255(20)102m m -=-辆， 依题意得：5202m m ->， 解得：407m <． 又m 、5(20)2m -均为正整数，2m ∴=或4m =．当2m =时，520152m -=；当4m =时，520102m -=．∴该公司有两种购买方案， 方案1：购进A 型汽车2辆，B 型汽车15辆；方案2：购进A 型汽车4辆，B 型汽车10辆．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（1）见解析；（2）a 和b 的值分别为2，5．【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k 的值即可；（2）根据加减消元法的过程确定出a 与b 的值即可．【详解】解：（1）选择甲，，①解析：（1）见解析；（2）a 和b 的值分别为2，5．【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k 的值即可；（2）根据加减消元法的过程确定出a 与b 的值即可．【详解】解：（1）选择甲，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②， ①×3﹣②×2得：5m ＝21k ﹣8，解得：m ＝2185k -， ②×3﹣①×2得：5n ＝2﹣14k ，解得：n ＝2145k -， 代入m+n ＝3得：21821455k k --+＝3， 去分母得：21k ﹣8+2﹣14k ＝15，移项合并得：7k ＝21，解得：k ＝3；选择乙，3274232m n k m n +=-⎧⎨+=-⎩①②， ①+②得：5m+5n ＝7k ﹣6，解得：m+n ＝7-65k ， 代入m+n ＝3得：7-65k ＝3， 去分母得：7k ﹣6＝15，解得：k ＝3；选择丙，联立得：3232m n m n +=⎧⎨+=-⎩①②， ①×3﹣②得：m ＝11，把m ＝11代入①得：n ＝﹣8，代入3m+2n ＝7k ﹣4得：33﹣16＝7k ﹣4，解得：k ＝3；（2）根据题意得：1327a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：52b a =⎧⎨=⎩， 检验符合题意，则a 和b 的值分别为2，5．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．24．（1）∠E=45°；（2）∠E=；（3）不变化，【分析】（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=∠解析：（1）∠E =45°；（2）∠E =2βα-；（3）不变化，12【分析】（1）由三角形内角和定理，可得∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ，由角平分线的性质，可得∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ，则可得∠E= 12（∠D+∠B ），继而求得答案；（2）首先延长BC 交AD 于点F ，由三角形外角的性质，可得∠BCD=∠B+∠BAD+∠D ，又由角平分线的性质，即可求得答案．（3）由三角形内角和定理，可得90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠，利用角平分线的性质与三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：（1）∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ， ∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD ，∠B+∠EAB=∠E+∠ECB ， ∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB ∴∠D+∠B=2∠E ，∴∠E=12（∠D+∠B ）， ∵∠ADC=50°，∠ABC=40°，∴∠AEC=12×（50°+40°）=45°；（2）延长BC 交AD 于点F ，∵∠BFD=∠B+∠BAD ，∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D ， ∵CE 平分∠BCD ，AE 平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=12∠BCD ，∠EAD=∠EAB=12∠BAD ， ∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB ，∴∠E=∠B+∠EAB －∠ECB=∠B+∠BAE －12∠BCD =∠B+∠BAE －12（∠B+∠BAD+∠D ） = 12（∠B －∠D ）， ∠ADC =α°，∠ABC =β°，即∠AEC=.2βα-（3）ADP ACB ABC ∠∠-∠的值不发生变化，1.2ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠ 理由如下：如图，记AB 与PQ 交于E ，AD 与CB 交于F ， ,PQ MN ⊥90,DOC BOE ∴∠=∠=︒90ADP ACB DAC ∠+︒=∠+∠①，ADP DFO ABC OEB ∠+∠=∠+∠②， ∴ ①－②得：90,DFO ACB ABC DAC OEB ︒-∠=∠-∠+∠-∠ 90,DFO OEB DAC ACB ABC ∴︒-∠+∠-∠=∠-∠ 90,,ADP DFO OEB EAD ADP ∠=︒-∠∠-∠=∠ AD 平分∠BAC ，,BAD CAD ∴∠=∠,OEB CAD ADP ∴∠-∠=∠2,ADP ACB ABC ∠=∠-∠1.2ADP ACB ABC ∠∴=∠-∠【点睛】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义．此题难度较大，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．25．阅读材料：，见解析；拓展延伸：.【分析】（1）作，，，由平行线性质可得，结合已知，可证，进而得到，从而，，将代入可得.（2）过H 点作HP ∥MN ，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC ，结合（1）的结 解析：阅读材料：40∠=︒+∠ECD MAB ，见解析；拓展延伸：120CHA α=∠︒-.【分析】（1）作ECF ECD ∠=∠，DG MN ，BH MN ，由平行线性质可得180MAD ADG ∠+∠=︒，结合已知2DCE MAD ADC ∠=∠+∠，可证180CDG DCF ∠+∠=︒，进而得到DG CF ，从而CF BH ，140BCF MAB ABC ∠+∠=∠=︒，将180180BCF ECF ECD ∠=︒-∠=︒-∠代入可得40∠=︒+∠ECD MAB .（2）过H 点作HP ∥MN ，可得∠CHA=∠PHA+∠PHC ，结合（1）的结论和CG 平分∠ECD 可得∠PHC =∠FCH =120°-3MAB 2∠，即可得120CHA α=∠︒-.【详解】解：【阅读材料】作ECF ECD ∠=∠，DG MN ，BH MN （如图1）.∵DG MN ，∴180MAD ADG ∠+∠=︒.∴()180CDG MAD ADC ∠+∠+∠=︒.∵2DCE MAD ADC ∠=∠+∠，∴2180CDG DCE ∠+∠=︒.∴180CDG DCF ∠+∠=︒.∴DGCF . ∵DGMN ， ∴MN CF .∵BH MN ， ∴CF BH .∴BCF CBH ∠=∠，MAB ABH ∠=∠.∴140BCF MAB ABC ∠+∠=∠=︒.∵180180BCF ECF ECD ∠=︒-∠=︒-∠，∴40∠=︒+∠ECD MAB .【拓展延伸】结论：120CHA α=∠︒-.理由：如图，作ECF ECD ∠=∠，过H 点作HP ∥MN ，∴∠PHA=∠MAH=1BAM 2∠，由（1）得FC ∥MN ，∴FC ∥HP ，∴∠PHC=∠FCH ，∵40∠=︒+∠ECD MAB ,CG 平分∠ECD ，∴∠ECG=20°+1MAB 2∠，∴∠FCH=180ECG ECF ︒-∠-∠=180°-(40MAB ︒+∠)-(20°+1MAB 2∠)=120°-3MAB 2∠∴∠CHA=∠PHA+∠PHC=1MAB 2∠∠+（120°-3MAB 2∠）=120°-MAB ∠即：120CHA α=∠︒-.【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．。
期末真题必刷(常考60题)—2023-2024学年七年级数学下学期期末考点(人教版)解析版
期末真题必刷（常考60题36个考点专练）一．算术平方根（共2小题）1．（2023春•通榆县期末）一个正数x 的两个不同的平方根分别是21a −和2a −+．（1）求a 和x 的值；（2）化简：2|||3|a x a x +−−+．【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得关于a 的方程，解出即可得到a 的值，代入求得x 的值．（2）根据（1）中求得的a 的值去绝对值即可．【解答】解：（1）由题意，得(21)(2)0a a −+−+=，解得1a =−．22(21)(3)9x a ∴=−=−=；（2）原式2|1|93(1)9|=−+−−⨯−+296=+−1=．【点评】本题考查平方根的知识，难度不大，关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数．2．（2023春•焦作期末）小梅用两张同样大小的长方形硬纸片拼接成一个面积为2900cm 的正方形，如图所示，按要求完成下列各小题．（1）求长方形硬纸片的宽；（2）小梅想用该正方形硬纸片制作一个体积3512cm 的正方体的无盖笔筒，请你判断该硬纸片是否够用？若够用，求剩余的硬纸片的面积；若不够用，求缺少的硬纸片的面积．【分析】（1）设长方形的长为xcm ，宽为ycm ，列出方程即可求出x 与y 的值．（2）求出该立方体的边长为8cm ，然后求出5个边长为8cm 的正方形的面积．【解答】解：（1）设长方形的长为xcm ，宽为ycm ，2x y ∴=，且2900x =30x ∴=，15y ∴=，（2）该正方体的棱长为：8cm =，共需要5个边长为8cm 的面，总面积为：258320⨯=，∴剩余的纸片面积为：2900320580cm −=，【点评】本题考查算术平方根与立方根的应用，解题的关键是根据面积为2900cm 的长方形该纸片的边长为30cm ，本题属于基础题型．二．立方根（共3小题）3．（2023春•浏阳市期末）一个正方体的体积扩大为原来的8倍，则它的棱长为原来的( )A ．2倍B ．4倍C ．3倍D ．8倍【分析】根据正方体的体积公式计算并判断即可．【解答】解：设原正方体的棱长为a ，则体积为3a ，∴将体积扩大为原来的8倍，为38a ，∴2a =，∴它的棱长为原来的2倍，故选：A ．【点评】本题考查了正方体的体积和立方根的应用，熟练应用立方根和正方体的体积计算方法是解答本题的关键．4．（2023春•怀安县期末）已知正数x 的两个平方根分别是31a −和5a +，负数y 的立方根与它本身相同．（1）求a ，x ，y 的值；（2）求9x y −的算术平方根．【分析】（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可；（2）先求出代数式的值，然后怎根据算术平方根的定义进行求解即可．【解答】解：（1）依题意，得3150a a −++=，解得1a =−，314a ∴−=−，54a +=，2416x ∴==．负数y 的立方根与它本身相同，1y ∴=−；（2）当16x =，1y =−时，9169(1)25x y −=−⨯−=，9x y ∴−的算术平方根为5．【点评】本题考查平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．5．（2023春•射阳县期末）已知31x +的平方根为2±，21y −的立方根为3的值．【分析】首先依据平方根和立方根的定义求得x 、y 的值．【解答】解：31x +的平方根为2±，21y −的立方根为3，314x ∴+=，2127y −=，1x ∴=，14y =，∴4=．【点评】本题主要考查的是平方根和立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．三．无理数（共1小题）6．（2023春•长沙期末）下列各数为无理数的是( )A ．0.618B ．227C D【分析】明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．【解答】解：3−，0.618∴；227 故选：C ．【点评】本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题．四．实数（共1小题）7．（2023春•安顺期末）实数2023.2023−0π−，411，0.15中，有理数的个数为a ，无理数的个数为b ，则a b −的值是( )A ．1B ．3C ．5D ．7 【分析】根据实数的分类可得5a =，2b =，即可求解．4=，有理数有2023.2023−，0411，0.15，有5个，无理数有π−，有2个，即5a =，2b =，3a b ∴−=．故选：B ．【点评】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键．五．实数与数轴（共1小题）8．（2023春•讷河市期末）为了证明数轴上的点可以表示无理数，老师给学生设计了如下材料：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点由原点（记为点0)到达点A ，点A 对应的数是( )A ．πB ．3.14C ．π−D ． 3.14−【分析】由圆的周长等于线段OA 的长度，从而可得答案． 【解答】解：直径为1个单位长度的圆的周长为1222r πππ=⨯=， ∴点A 对应的数是π， 故选：A ．【点评】本题考查的是实数与数轴，无理数在数轴上的表示，理解实数与数轴上的点一一对应是解本题的关键．六．估算无理数的大小（共1小题）9．（2023春•芜湖期末）实数a 在数轴上的对应点A 的位置如图所示，||3|b a a =+−．（1）求b 的值；（2）已知2b +的小数部分是m ，8b −的小数部分是n ，求221m n ++的平方根．【分析】（1）根据A 点在数轴上的位置，可以知道23a <<，根据a 的范围去绝对值化简即可；（2）先求出2b +，得到它的整数部分，用2b +减去整数部分就是小数部分，从而求出m ；同理可求出n ．然后求出221m n ++，再求平方根．【解答】解：（1）由图可知：23a <<，0a ∴>，30a −>，3b a a ∴=−3=；（2）2325b +==−2b ∴+的整数部分是3，532m ∴==．88(3835b −=−=−=+8b ∴−的整数部分是6，561n ∴==．2212()12(21)13m n m n ∴++=++=⨯+=，221m n ∴++的平方根为．【点评】本题主要考查了无理数的估算，考核学生的运算能力，解题时注意一个正数的平方根有两个．七．实数的运算（共2小题）10．（2023春•清丰县校级期末）对于实数a 、b ，定义{min a ，}b 的含义为：当a b <时，{min a ，}b a =；当a b >时，{min a ，}b b =，例如：{1min ，2}2−=−．已知min ，}a a =，min ，}b =a 和b 为两个连续正整数，则2a b −的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据a ，b 的范围，然后再代入求出2a b −的值即可．【解答】解：{30min }a a =，min }b =a ∴<b >a ，b 是两个连续的正整数．5a ∴=，6b =．22564a b ∴−=⨯−=．故选：D ．【点评】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．11．（20232|【分析】本题涉及立方根、绝对值、二次根式3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．2|9322=−+10=【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握立方根、绝对值、二次根式等考点的运算．八．解二元一次方程（共1小题）12．（2023春•门头沟区期末）将321x y +=写成用含x 的代数式表示y 的形式，y = ．【分析】把x 看作已知数求出y 即可．【解答】解：方程321x y +=， 解得：132x y −=， 故答案为：132x − 【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看作已知数求出y ．九．二元一次方程的应用（共1小题）13．（2023春•武汉期末）蔬菜大王小明牛年春节前欲将一批蔬菜运往外地销售，若用2辆A 型车和1辆B 型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A 型车和2辆B 型车载满蔬菜一次可运走11吨．现有蔬菜31吨，计划同时租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满蔬菜．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A 型车和1辆B 型车都载满蔬菜一次可分别运送多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B 型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．【分析】（1）设1辆A 型车载满蔬菜一次可运送a 吨，1辆B 型车载满蔬菜一次可运送b 吨，根据“用2辆A 型车和1辆B 型车载满蔬菜一次可运走10吨，用1辆A 型车和2辆B 型车载满蔬菜一次可运走11吨”，即可得出关于a ，b 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据一次运送31吨蔬菜，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，根据x ，y 均为正整数，即可得出各租车方案；（3）利用总租金=每辆车的租金⨯租车数量，可分别求出三种租车方案的租车费，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设1辆A 型车载满蔬菜一次可运送a 吨，1辆B 型车载满蔬菜一次可运送b 吨，依题意得：210211a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：34a b =⎧⎨=⎩． 答：1辆A 型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆B 型车载满蔬菜一次可运送4吨．（2）依题意得：3431x y +=，3143y x −∴=． 又x ，y 均为正整数，∴91x y =⎧⎨=⎩或54x y =⎧⎨=⎩或17x y =⎧⎨=⎩， ∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A 型车，1辆B 型车；方案2：租用5辆A 型车，4辆B 型车；方案3：租用1辆A 型车，7辆B 型车．（3）方案1所需租车费为100912011020⨯+⨯=（元)；方案2所需租车费为10051204980⨯+⨯=（元)；方案3所需租车费为10011207940⨯+⨯=（元)．1020980940>>，∴费用最少的租车方案为：租用1辆A 型车，7辆B 型车，最少租车费为940元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总租金=每辆车的租金⨯租车数量，分别求出三种租车方案的租车费．十．二元一次方程组的解（共2小题）14．（2023春•西华县期末）若关于x ，y 的二元一次方程组21,21x y k x y k +=−⎧⎪⎨⎪+=+⎩的解互为相反数，则k 的值为 ．【分析】根据互为相反数的两个数和为0可得0x y +=，再将已知方程组相减可得2x y −=，进而解方程组求出x 和y 的值，再将x 和y 的值代入方程组中的其中一个方程即可求出k 的值．【解答】解：因为关于x ，y 的二元一次方程组21,21x y k x y k +=−⎧⎪⎨⎪+=+⎩的解互为相反数，所以0x y +=，方程组2121x y k x y k +=−⎧⎨+=+⎩①②， ②−①，得2x y −=，解方程组02x y x y +=⎧⎨−=⎩，得：11x y =⎧⎨=−⎩， 将1x =，1y =−代入①得，121k −=−，解得0k =．故答案为：0．【点评】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握二元一次方程组的解法．15．（2023春•铁岭期末）已知关于x ，y 的方程组2735418x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩的解也是方程2311x y +=的解，求k 的值．【分析】把方程组中的两个方程相减，得到23311x y k +=+，然后根据同解方程的定义，列出关于k 的方程，解答即可．【解答】解：2735418x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩①②， ②−①得：23311x y k +=+，关于x ，y 的方程组2735418x y k x y k +=+⎧⎨+=+⎩的解也是方程2311x y +=的解， 31111k ∴+=，0k ∴=．【点评】本题主要考查了求二元一次方程组中的参数，解题关键是理解同解方程的定义．十一．解二元一次方程组（共1小题）16．（2023春•新化县期末）定义一种新运算“※”，规定x ※2y ax by =+，其中a 、b 为常数，且1※25=，2※13=，则2※3= ．【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于a 、b 的方程组，则可求得a 、b 的值，再代入计算即可．【解答】解：根据题意，得：4523a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩， 则x ※2y x y =+，2∴※232311=+=，故答案为：11．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 十二．由实际问题抽象出二元一次方程组（共3小题）17．（2023春•丹江口市期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？设绳子长x 尺，长木长y 尺，则所列方程组正确的是( )A ． 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩ B ． 4.521y x y x −=⎧⎨−=⎩ C ． 4.5112x y y x −=⎧⎪⎨−=⎪⎩ D ． 4.521x y y x −=⎧⎨−=⎩【分析】根据“用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，”，即可得出关于x ，y 【解答】解：用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，4.5x y ∴−=；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， ∴112x y +=． ∴所列方程组为 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 即 4.512x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩， 故选：C ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．18．（2023春•前郭县期末）我国古典数学文献《增删算法统宗⋅六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意，可列方程组为．【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．“如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍”，92(9)x y∴+=−；“如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”，99x y∴−=+．联立两方程组成方程组92(9)99x yx y+=−⎧⎨−=+⎩．故答案为：92(9)99x yx y+=−⎧⎨−=+⎩．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．19．（2023春•杜尔伯特县期末）某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元．（1）求篮球和排球的单价各是多少；（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？【分析】（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，根据买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元，列方程组求解即可得到答案；（2）分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案．【解答】解：（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y元，由题意可得2526570y xx y=−⎧⎨+=⎩，解方程组得9065xy=⎧⎨=⎩，答：篮球每个90元，排球每个65元；（2）若按照①套餐打折购买费用为：2(590565)0.84902651730⨯+⨯⨯+⨯+⨯=（元)，若参加②满减活动购买费用为：149012652040⨯+⨯=（元)，又20401999>，所以20402001840−=（元)．而18401730>，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．答：选用套餐①购买更划算．【点评】本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．十三．二元一次方程组的应用（共1小题）20．（2023春•仓山区校级期末）“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物．自2019年正式亮相后，相关特许商品投放市场，持续热销．某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具，连续两个月的销售情况如表：（1）求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格；（2）某单位欲购买这两款玩具作为冬奥知识竞赛活动的奖品，要求“雪容融”的数量恰好等于“冰墩墩”的数量的2倍，且购买总资金不得超过9000元，请根据要求确定该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量．【分析】（1）分别设出冰墩墩和雪容融的单价，根据题中的等量关系列出方程组，解方程组，最后作答．（2）设出冰墩墩玩具为m个，列出不等式，取最大整数解即可．【解答】解：（1）设“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为x、y元，则1004014800 1606023380x yx y+=⎧⎨+=⎩，解方程组得：11875xy=⎧⎨=⎩，答：“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为118、75元．（2）设“冰墩墩”玩具的数量为m个，则“雪容融”玩具为2m个．则1187529000m m+⋅…，解得：225033.5867m≈…，正整数m最大为33，答：该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量为33．【点评】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，读懂题意，列出对应的方程组或不等式是解题的关键．十四．解一元一次不等式（共1小题）21．（2023春•惠安县期末）如果关于x的方程328x a x+=+的解是正数，那么a的取值范围是．【分析】把a看作常数，表示出方程的解，由方程的解为正数求出a的范围即可．【解答】解：方程移项合并得：228x a=−+，解得：4x a=−+，由方程的解为正数，得到40a−+>，解得：4a<．故答案为：4a<．【点评】此题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次不等式，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．十五．一元一次不等式的整数解（共1小题）22．（2023春•琼海期末）不等式353x x−<+的非负整数解有个．【分析】先移项、合并同类项、系数化为1得出不等式的解集，从而得出答案．【解答】解：移项，得：335x x−<+，合并同类项，得：28x <， 系数化为1，得：4x <，则此不等式的非负整数解有0、1、2、3，共4个， 故答案为：4．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤和依据． 十六．由实际问题抽象出一元一次不等式（共1小题）23．（2023春•铁西区期末）如图1，一个容量为3500cm 的杯子中装有3200cm 的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为x 3cm ，根据题意可列不等式为( )A ．2004500x +<B ．2004500x +…C ．2004500x +>D ．2004500x +…【分析】水的体积4+个玻璃球的体积3500cm <．【解答】解：水的体积为3200cm ，四颗相同的玻璃球的体积为4x 3cm ， 根据题意得到：2004500x +<． 故选：A ．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解此类题目的关键是读懂图意． 十七．一元一次不等式的应用（共1小题）24．（2023春•高安市期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元．（1）购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？（2）若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ （3）在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔200个，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可；（2）设乙型头盔m 个，根据所需费用=数量⨯单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔m 的最大值；（3）根据利润=单件利润⨯数量，列不等式，求出乙型头盔m 的取值范围，结合（2）中答案确定m 的取值范围，即可得出可选方案．【解答】解：（1）设购进1个甲型头盔需要x 元，购进1个乙型头盔需要y 元．根据题意，得8663068700x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得，3065x y =⎧⎨=⎩；答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； （2）设购进乙型头盔m 个，则购进甲型头盔(200)m −个， 根据题意，得：6530(200)10200m m +−…， 解得：120m …，m ∴的最大值为120；答：最多可购进乙型头盔120个； （3）能，根据题意，得：(5830)(200)(9865)6190m m −−+−…； 解得：118m …；118120m ∴……；m 为整数，m ∴可取118，119或120m −的值分别为82，81或80；因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个； ②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个； ③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个．【点评】本题考查二元一次方程组和不等式的综合应用题，解题的关键是根据题意列方程组并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数． 十八．解一元一次不等式组（共3小题）25．（2023春•东洲区期末）已知关于x 的不等式组314(1)x x x m −<−⎧⎨<⎩无解，则m 的取值范围是( )A ．3m …B ．3m >C ．3m <D ．3m …【分析】先按照一般步骤进行求解，因为大大小小无解，那么根据所解出的x 的解集，将得到一个新的关于m 不等式，解答即可．【解答】解：解不等式314(1)x x −<−，得：3x >， 不等式组无解，3m ∴…，故选：A ．【点评】主要考查了已知一元一次不等式解集求不等式中的字母的值，同样也是利用口诀求解，注意：当符号方向不同，数字相同时（如:x a >，)x a <，没有交集也是无解但是要注意当两数相等时，在解题过程中不要漏掉相等这个关系．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．26．（2023春•安顺期末）已知不等式组1215x x <⎧⎨−−⎩…，其解集在数轴上表示正确的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式组的解集，即可得出答案． 【解答】解：解不等式215x −−…得，2x −…， ∴原不等式组的解集为21x −<…．故选：C ．【点评】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．27．（2022秋•芦淞区期末）解不等式组1212324x x x x −−⎧⎪⎨⎪+<−+⎩…，并把它的解集表示在数轴上．【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．【解答】解：1212324x x x x −−⎧⎪⎨⎪+<−+⎩①②…， 解不等式①，得：1x −…， 解不等式②，得：1x <， ∴该不等式组的解集为11x −<…，其解集在数轴上表示如下所示：．【点评】本题解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．十九．一元一次不等式组的整数解（共2小题） 28．（2023春•吕梁期末）若关于x 的方程321123ax x +−−=的解为正数，且a 使得关于y 的不等式组3131y y a +>⎧⎨−<⎩恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a 的值的和是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】根据方程321123ax x +−−=的解为正数，且a 使得关于y 的不等式组3131y y a +>⎧⎨−<⎩恰有两个整数解，可以求得a 的取值范围，然后即可写出满足条件的整数a 的值，再将它们相加即可． 【解答】解：由方程321123ax x +−−=可得，543x a =−， 方程321123ax x +−−=的解为正数， ∴5043a >−， 43a ∴<， 由31y +>得2y >−， 由31y a −<得13a y +<， a 使得关于y 的不等式组3131y y a +>⎧⎨−<⎩恰有两个整数解，∴这两个整数解为1−，0，1013a +∴<…， 解得12a −<…， 由上可得413a −<<， ∴所有满足条件的整数a 的值为0，1， 011+=，∴所有满足条件的整数a 的值和为1，故选：B ．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出a 的取值范围． 29．（2023春•海州区期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程13x −=的解为4x =，而不等式组1123x x −>⎧⎨−<⎩的解集为25x <<，不难发现4x =在25x <<的范围内，所以方程13x −=是不等式组1123x x −>⎧⎨−<⎩的“关联方程”．（1）在方程①3(1)9x x +−=；②470x −=；③112x x −+=中，不等式组2213(2)4x x x x −>−⎧⎨−−⎩…的“关联方程”是 ；（填序号）（2）若关于x 的方程26x k −=是不等式组312121223x x x x +⎧⎪⎪⎨−+⎪−⎪⎩……的“关联方程”，求k 的取值范围；（3）若关于x 的方程7302x m +−=是关于x 的不等式组2221x mm x m m +⎧>⎪⎨⎪−+⎩…的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m 的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出62k x +=，最后根据“关联方程”的定义列出关于k 的不等式组，进行计算即可；（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出413m <…，然后求出方程的解为67x m =−，根据“关联方程”的定义得出7863m <…，即可得出7463m <<．【解答】解：（1）①3(1)9x x +−=， 解得：3x =， ②470x −=， 解得：74x =， ③112x x −+=， 解得：1x =，()221324x x x x −>−⎧⎪⎨−−⎪⎩①②…， 解不等式①得：1x >， 解不等式②得：5x …，∴原不等式组的解集为：15x <…，∴不等式组2213(2)4x x x x −>−⎧⎨−−⎩…的“关联方程”是：①②，故答案为：①②；（2）312121223x x x x +⎧⎪⎪⎨−+⎪−⎪⎩①②……，解不等式①得：1x −…， 解不等式②得：7x …，∴原不等式组的解集为：17x −……， 26x k −=，解得：62k x +=， 关于x 的方程26x k −=是不等式组312121223x x x x +⎧⎪⎪⎨−+⎪−⎪⎩……的“关联方程”，6172k +∴−……， 解得：88k −……；（3）关于x 的方程7302x m +−=， 解得：67x m =−，2221x mm x m m +⎧>⎪⎨⎪−+⎩①②…， 解不等式①得：0x >， 解不等式②得：31x m +…，∴原不等式组的解集为：031x m <+…，不等式组有4个整数解， ∴整数的值为1，2，3，4，4315m ∴+<…，413m ∴<…， 关于x 的方程7302x m +−=是关于x 的不等式组2221x mm x m m +⎧>⎪⎨⎪−+⎩…的“关联方程”， ∴6706731m m m −>⎧⎨−+⎩…，解得：7863m <…． m ∴的取值范围是7463m <<． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“关联方程”是解题的关键．二十．规律型：点的坐标（共2小题）30．（2023春•殷都区期末）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点运动到点1(1,1)P ，第二次运动到点2(2,0)P ，第三次运动到点3(3,2)P −，⋯，按这样的运动规律，第2023次运动后，动点2023P 的坐标是( )A ．(2023,0)B ．(2023,1)C ．(2023,2)D ．(2023,2)−【分析】观察图象，得出点P 运动的规律，再根据循环规律可得答案．【解答】解：动点P 第一次从原点O 运动到点1(1,1)P ，第二次运动到点2(2,0)P ，第三次运动到3(3,2)P −，第四次运动到4(4,0)P ，第五次运动到5(5,2)P ，第六次运动到6(6,0)P ，⋯， ∴横坐标与下标相同，纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，2−，0，2，0； 20236337......1÷=，∴经过第2023次运动后，动点P 的横坐标为2023，纵坐标是1，即：2023(2023,1)P ．故选：B ．【点评】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律：纵坐标每6次运动组成一个循环是解题的关键．31．（2023春•从化区期末）如图，在平面直角坐标系中有一个点(1,0)A ，点A 第一次向左跳动至1(1,1)A −，第二次向右跳动至2(2,1)A ，第三次向左跳动至3(2,2)A −，第四次向右跳动至4(3,2)A ，⋯，依照此规律跳动下去，点A 第2023次跳动到点2023A 的坐标为 ．【分析】写出2A 、4A 、6A 、8A 的坐标，探究规律即可解决问题． 【解答】解：由题意： 2(2,1)A ， 3(2,2)A −， 4(3,2)A ，5(3,3)A −，6(4,3)A ，7(4,4)A −，8(5,4)A ，⋯⋯2(1,)n A n n +，21(1,1)n A n n +−−+，2023210111÷=⋯⋯，2023A ∴的坐标为(1012,1012)−，故答案为：(1012,1012)−．【点评】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，学会这种解题的思想方法，属于中考常考题型．二十一．坐标确定位置（共2小题）32．（2023春•曹县期末）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用有序数对(2,1)表示“炮”的位置，(2,2)−表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（ )A ．(3,3)−B ．(3,1)−C ．(3,3)−−D ．(4,4)−−【分析】以有序数对(2,1)表示“炮”的位置，(2,2)−表示“土”的位置，建立平面直角坐标系，然后写出将的坐标即可．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，将(3,3)−．故选：A ．。
七年级的数学下册的期末复习专题试题.doc
七年级数学下册期末复习专题试题类比归纳专题：二元一次方程组的解法选择——学会选择最优的解法◆类型一解未知数系数含 1 或－ 1 的方程组x－ 1＝ 0，1． ( 湘潭期末 ) 方程组的解是()x＋ 1＝ yx＋y＝4，2． ( 冷水江期末 ) 方程组的解是________．2x－ y＝ 23．解方程组：x－ y＝ 2①，2x＋y＝ 3①，(1)( 甘孜中考 )(2)x＋ 2y＝5②；3x－5y＝11②.4．下面是老师在嘉嘉的数学作业本上截取的部分内容：2x－ y＝ 3①，解方程组x＋y＝－ 12②.解：将方程①变形，得y＝2x－3③，⋯⋯第一步把方程③代入方程①，得2x－(2 x－3) ＝ 3，⋯⋯第二步整理，得 3＝3，⋯⋯第三步因为 x 可以取任意实数，所以原方程组有无数个解⋯⋯第四步问题：(1)这种解方程组的方法叫 ____________．嘉嘉的解法正确吗？若不正确，错在哪一步？请你指出错误的原因，求出正确的解；(2)请用不同于 (1) 中的方法解这个方程组．◆ 类型二解同一未知数的系数含倍数关系的方程组5．解方程组：5 －6 ＝－ 1①， 3x－4y＝－ 18①，(1) x y (2)x ＋ y ＝②；x＋y＝－②.3 2 5 9 5 3◆ 类型三利用整体思想解方程组 ( 或求与未知数相关的代数式的值 )．邵阳县一模2x＋3y＝ 5，x＋y＝．) 已知y＝，则 2016＋6 ( x＋________2 33x ＋4y ＝ 2①， 7．解方程组：4x ＋3y ＝5②.3x ＋y ＝1＋3a ①， 8．若方程组的解满足 x ＋ y ＝ 0，求 a 的值．x ＋ 3y ＝1－a ②13．已知方程组2x ＋ y ＝－ 2，和方程组3x － y ＝12，的解相同，求(5 a ＋b)2的值．ax ＋ by ＝－ 4 bx ＋ ay ＝－ 8◆类型四 含字母系数的方程组的运用．已知 x ＝ 2， mx ＋ny ＝8，m －n 的值为是二元一次方程组的解，则9y ＝ 1nx －my ＝12()A ．－ 2B ． 2C ． 4D ．－ 4◆ * 类型五 解方程组的特殊方法2x ＋y ＝3，5（x ＋ y ）－ 3（x －y ）＝ 2，14．解方程组 若设 x ＋y ＝A ，x －y ＝B ，则原方程组可变形10．( 邵阳洞口县期中 ) 已知方程组 kx ＋ y ＝ －k 的解 x 与 y 之和为 1， 2（x ＋ y ）＋ 4（x －y ）＝ 6，24则 k ＝．5A －3B ＝2，A ＝1，x ＋y ＝1，x ＝1，________为 A ＋ B ＝ ，解得 B ＝ ，再解方程组 x －y ＝ ，得y ＝0. 我们把某个式子看成一个整ax ＋by ＝3， x ＝2，2 4 6 1 1求 a ＋b 的值．．已知关于 x ， y 的方程组的解是11bx ＋ay ＝7y ＝ ，体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫作换元法，请用这种方112．已知关于 x ，y 的二元一次方程 ( a －1) x ＋ ( a －2) y ＋ 5－2a ＝0，当 a x ＋y x －y法解方程组2 ＋3 ＝6， 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共2（ x ＋y ）－ （x －y ）＝24.3解．九年级7400(1)求 a，b 的值；(2)九年级学生筹集的钱款解决了其余贫困中、小学生的学习费用，求出九年级学生资助的贫困中、小学生人数分别为多少．解题技巧专题：方程组中较复杂的实际问题◆类型一图表问题1．如图，一个多边形的顶点全在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为 S，其内部的格点数记为 N，边界上的格点数记为 L，例◆类型二方案问题如图中三角形 ABC是格点三角形，对应的 S＝ 1， N＝ 0， L＝ 4. 3．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长 14 米，其他三边用篱笆围成，现有长为 35 米的(1) 图中格点四边形DEFG对应的 S＝ ________， N＝ ________， L＝篱笆，爸爸的设计方案是长比宽多 5 米；妈妈的设计方案是长比宽多 2 米，你认为谁的设计________；合理，为什么？如果按这种设计，养鸡场的面积是多少？(2)已知格点多边形的面积可表示为 S＝N＋aL＋b，其中 a，b 为常数，若某格点多边形对应的 N＝82，L＝38，则 S 的值为 ________．2．某中学 2016 年通过“废品回收”活动筹集钱款资助贫困中、小学生共 23 名，资助一名中学生的学习费用需 a 元，一名小学生的学习费用需 b元，各年级学生筹款数额及用其恰好资助中、小学生人数的部分情况如下表：年级筹款数额 ( 元)资助贫困中资助贫困小学生人数 ( 名) 学生人数 ( 名 )4．某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用 45 座客车若干辆，但有 15 人没有座位；七年级4000 2 460 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45 座客车租金为若租用同样数量的八年级4200 3 3每辆 220 元， 60 座客车租金为每辆 300 元，问：(1)这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆 45 座客车？(2)若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算？解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用◆类型一利用公式求值一、逆用幂的相关公式求值1．已知 5x＝ 3， 5y＝4，则 5x＋y的结果为 ()A． 7 B．12 C．13D． 142．如果 (9 n) 2＝312，则 n 的值是 ()A． 4 B．3 C．2D．13．若 x2n＝ 3，则 x6n＝________．4． ( 湘潭期末 ) 已知 a x＝3，a y＝ 2，求 a x＋2y的值．20152016 65．计算：－ 8×(－＋×2.二、多项式乘法中求字母系数的值6．如果 (x ＋ m)(x －3) 中不含 x 的项，则 m 的值是 ()A．2 B．－ 2 C．3D．－ 37．( 邵阳县期中 ) 若(x －5)(2x － n) ＝2x2＋mx－15，则 m，n 的值分别是() A．m＝－ 7， n＝ 3B．m＝7，n＝－ 3C．m＝7，n＝3D．m＝－ 7，n＝－ 38．已知 6x2－7xy－3y2＋14x＋ y＋ a＝ (2x －3y＋ b)(3x ＋y＋c) ，试确定 a，b，c 的值．三、逆用乘法公式求值12 29．若 x＝1，y＝2，则 x ＋ 4xy＋4y 的值是 ()A．2B．410．已知 a＋b＝3，则 a2－ b2＋6b 的值为 ()A．6 B．9 C．12D． 1511．( 衡阳中考 ) 已知 a＋b＝3，a－b＝－ 1，则 a2－ b2的值为 9.12．已知 x＋y＝3，x2－y2＝21，求 x3＋12y3的值．16．已知 a ＝7202，b ＝719×721，则 ( )A ． ＝B ．a>b a bC ．a<bD ． ≤ba17．计算：四、利用整体思想求值(1) ×;(2)1022；13．若 x ＋ y ＝ m ， xy ＝－ 3，则化简 (x －3)(y －3) 的结果是 () A ． 12 B ． ＋63mC ．－ 3m －12D ．－ 3m ＋614．先化简，再求值：(1)( 菏泽中考 ) 已知 4x ＝3y ，求代数式 (x －2y) 2－(x － y)(x ＋ y) －2y 2 的(3)501 2 ＋4992;(4)1999 2 －1992×2008.值；(2) 已知 2a 2＋3a －6＝0，求代数式 3a(2a ＋1) － (2a ＋1)(2a － 1) 的值．◆类型二利用乘法公式进行简便运算15．计算 2672－266×268 得 ()A ．2008B ． 1C ． 2006D ．－ 1◆ 类型三 利用乘法公式的变形公式进行化简求值18．如果 x ＋y ＝－ 5，x 2＋y 2＝ 13，则 xy 的值是 ()A ． 1B ． 17C ．6D ．2512219．若 a ＋ b ＝－ 4，ab ＝2，则 a ＋b ＝ ________．20．( 永州模拟 ) 已知 a ＝2005x ＋2004，b ＝2005x ＋ 2005，c ＝2005x ＋2006，则多项式 a 2＋b 2＋c 2－ ab －bc －ac 的值为 ________．21．已知 (x ＋y) 2＝5，(x － y) 2＝ 3，求 3xy － 1 的值．◆类型四整式乘法中的拼图问题22．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是 ()A． (a ＋b)(a ＋2b) ＝a2＋ 3ab＋2b2B． (3a ＋ b)(a ＋ b) ＝3a2＋4ab＋ b2C． (2a ＋ b)(a ＋ b) ＝2a2＋3ab＋ b2D． (3a ＋ 2b)(a ＋b) ＝3a2＋5ab＋2b223．如图，边长为 (m＋ 2) 的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成一个长方形( 不重叠无缝隙 ) ，若拼成的长方形一边长为2，其面积是 ()A． 2m＋4B． 4m＋4 C．m＋4D．2m＋ 224．★如图①是一个长为2m，宽为 2n 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长是多少？(2)请你用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积；(3)观察图②，你能写出下列三个代数式 (m＋n) 2，(m－ n) 2，mn之间的等量关系吗？(4) 根据 (3) 中的结论，解决下列问题：若a＋ b＝ 9， a－ b＝7，求 ab 的值．类比归纳专题：因式分解的方法◆ 类型一一步 ( 提公因式或套公式 )．自贡中考)多项式 a2－a 分解因式，结果正确的是()1 ( 4A．a( a－ 4) B ．( a＋ 2)( a－ 2)C．a ( a＋2)( a－2) D ． ( a－2) 2－42．把下列多项式因式分解：(1)(台州中考)x 2－x＋；(2)(a－ b 2－ b2.6 9 ) 4◆ 类型二两步 ( 先提后套或需多次分解 )3．(常德澧县期末)把 x 2y－y2 x＋ y3分解因式正确的是()2A．y( x2－2xy＋y2) B ．x2y－y2(2 x－y)C．y( x－ y) 2 D ． y( x＋ y) 24．因式分解：【易错 6】(1)2 a3－8a2＋8a；(2)( 邵阳县校级期中 )16 x 4－ 81y 4；(3)( y 2－1) 2＋6(1 － y 2) ＋ 9.◆*类型三特殊的因式分解法5．阅读下列材料并解答问题：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如： am ＋an ＋ bm ＋bn ＝( am ＋bm) ＋ ( an ＋bn) ＝m( a ＋b) ＋n( a ＋b) ＝ ( a ＋b)( m ＋n) ．(1) 试完成下面填空： x 2－ y 2 － 2y － 1＝ x 2 － ( y 2 ＋2y ＋ 1) ＝ ____________ 表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，如图所示．这种分解二次三项式的方法叫“十字相乘法”．请同学们认真观察，分析理解后，解答下列问题：(1) 分解因式： x 2＋ x － ＝ ； 718 ________________(2) 填空：若 x 2 ＋ px － 8 可分解为两个一次因式的积，则整数 p 的所有可能值是__________________．7．阅读：分解因式 x 2＋2x － 3.解：原式＝ x 2＋2x ＋ 1－1－ 3＝( x 2 ＋2x ＋ 1) －4＝( x ＋1) 2 －4＝( x ＋ 1＋ 2)( x ＋ 1－2) ＝ ( x＋ 3)( x －1) ．上述因式分解的方法可以称之为配方法． 请体会配方法的特点， 然后用配方法分解因式：(1) x 2－ x ＋3; (2)4 x 2＋ x － 7. 412＝____________________；(2) 试用上述方法分解因式： a 2－2ab －ac ＋bc ＋ b 2.解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法◆ 类型一 含一个拐点的平行线问题1．( 天门中考 ) 如图，将一块含有 60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a ，b 上，如果∠ ＝ °，那么∠1 的度数为() ．阅读与思考：将式子 x 2－x － 6 分解因式．这个式子的常数项－ 2 50＝66A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°2×( － 3) ，一次项系数－ 1＝2＋( －3) ，这个过程可用十字相乘的形式形象地第 1 题图第 2 题图第 8 题图．如图，已知AB∥DE，∠ ABC＝°，∠ CDE＝°，则∠ BCD的度数．★如图①， AB∥CD，EOF是直线 AB，CD间的一条折线．2 70 140 9为() (1) 试说明：∠ EOF＝∠ BEO＋∠ DFO；A．20° B ．°C．°D．°(2)如果将平行线间的1个拐点改为2个拐点，如图②，则∠ BEO，∠EOP，∠ OPF，∠ PFC30 40 703．( 金华中考 ) 如图，已知 AB∥CD，BC∥ DE. 若∠ A＝20°，∠ C＝120°，之间会满足怎样的数量关系，请说明理由．则∠ AED的度数是 ________．第 3 题图第4题图4．如图， AB∥CD，∠ A＝120°，∠ 1＝70°，则∠ D的度数为 ________．5．小柯同学平时学习善于自己动手操作，以加深对知识的理解和掌握．学习了相交线与平行线的知识后，他又探索起来：如图，按虚线剪去长方形纸片的相邻两角，并使∠ 1＝115°， AB⊥CB 于 B，那么∠2 的度数是多少呢？请你帮他计算出来．思想方法专题：相交线与平行线中的思想方法◆ 类型一相交线与平行线中利用方程思想求角度1．如图，直线 AB，CD相交于点 O，∠ AOC＝60°，OE把∠ BOD分成两部分，若∠ BOE∶∠ EOD＝1∶2，则∠ AOE的度数为 ()◆类型二含多个拐点的平行线问题A．180° B ．160° C．140° D ．120°6．如图，直线 l 1∥ l 2，∠ A＝125°，∠ B＝85°，则∠ 1＋∠ 2＝ ( )AB，CD相交于点 O，过点 O作两条射线 OM，ON，且∠ AOM＝∠ CON＝°. 2．如图，直线A．30° B ．35°90 C．36° D ．40°(1) 若 OC平分∠ AOM，求∠ AOD的度数；第 6 题图第 7 题图 1(2) 若∠ ＝∠BOC，求∠ AOC和∠ M OD的度数． 1 4．如图，直线 l 1∥ l 2，∠α＝∠β，∠ ＝°，则∠ ＝7 1 40 2 ________.8．如图，如果 AB∥ CD，则∠α ，∠β，∠γ 之间的关系为 ______________．D ．三种方案所用铁丝一样长7．如图，在长为 50m ，宽为 30m 的长方形土地上，有纵横交错的几条小路，宽均为 1m ，其他部分均种植花草．则种植花草的面积是 ________．◆类型二 相交线与平行线中的分类讨论思想8．如图，在直角三角形 ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝4cm ，BC ＝3cm ，将三角形 ABC 沿 AB 方3．在同一平面内，三条直线的交点个数是__________．向向右平移得到三角形 DEF ，若 AE ＝ 8cm ，DB ＝ 2cm.4．已知∠ α 和∠ β 两边分别平行，且∠ α ＝x ，∠ β＝4x －30°，则∠ α(1) 求三角形 ABC 向右平移的距离 AD 的长；＝________．(2) 求四边形 AEFC 的周长．9．( 湘潭县期末 ) 如图，已知三角形 ABC 的面积为 16， BC 的长为 8，现将三角形 ABC 沿BC 向右平移 m 个单位到三角形 A ′B ′C ′的位置．若四边形 ABB ′A ′的面积为 32，求 m 的值．．★如图，点 D 为射线 CB 上一点，且不与点 B ， C 重合， DE ∥AB 交直线 AC5于点 E ，DF ∥ A C 交直线 AB 于点 F 画出符合题意的图形，猜想∠ EDF 与∠ BAC .的数量关系，并说明理由．◆ 类型四 建立平行线的模型解决实际问题10．如图是一架婴儿车的示意图，其中 AB ∥CD ，∠ 1＝110°，∠ 3＝40°，那么∠2 的度数为 ()◆类型三平移中利用转化思想求周长或面积A ．80°B ．90°C ．100°D ．70°第 10 题图 第 11 题图6．某数学兴趣小组开展动手操作活动， 设计了如图所示的三种图形， 现11．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过．如果第一次拐的角∠ A 是°，第120 计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）°，第三次拐的角是∠ C ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平二次拐的角∠ B 是150第 6 题第 7 题行，则∠ C 的度数是 ________度．A ．甲种方案所用铁丝最长12．小芳给自己家的小狗乐乐做了一个小木屋， 其侧面如图所示．若她已测出∠ A ＝135°，∠ C ＝°，由于受条件影响，屋顶的∠ B 的度数无法测出．哥哥看到后说，不用测量，他也B ．乙种方案所用铁丝最长125C ．丙种方案所用铁丝最长能算出∠ B 的度数，你知道小芳的哥哥是怎样做的吗？试着说出他的方法，并计算出∠ B 的度数．∠EPF的关系 ( 不要求写出过程 ) ．◆类型五平行线中利用从特殊到一般的思想进行探究13．★如图①： MA1∥NA2，如图②： MA1∥NA3，如图③： MA1∥NA4，如图④：MA1∥NA5，⋯，则第 n 个图中的∠ A1＋∠ A2＋∠ A3＋⋯＋∠ A n＋1＝________°( 用含 n 的代数式表示 ) ．14．★如图①， E 是直线 AB， CD内部一点， AB∥ CD，连接 EA， ED.(1)探究猜想：①若∠ A＝30°，∠ D＝40°，则∠ AED等于多少度？②若∠ A＝20°，∠ D＝60°，则∠ AED等于多少度？③猜想图①中∠ AED，∠ EAB，∠ EDC的关系，并说明你的理由；(2)拓展应用：如图②，射线 FE 与长方形 ABCD的边 AB交于点 E，与边CD交于点 F，①②③④分别是被射线FE隔开的 4 个区域 ( 不含边界 ) 其中区域③，④位于直线 AB上方，P 是位于以上四个区域上的点，猜想：∠ PEB，∠ PFC，。
2022-2023学年人教版七年级数学下册期末复习(专题复习四)二元一次方程组
期末复习 (二元一次方程组)专题复习四一、选择题（每小题只有一个正确答案，请在答题卡选择题拦内用2B 铅笔将对应的题目标号涂黑，每小题4分）1、小明在某商店购买商品A 、B 共两次，这两次购买商品A 、B 的数量和费用如下表：若小丽需要购买3个商品A 和2个商品B ，则她要花费（ ）2、若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧-==+b x y a y x 的解为⎩⎨⎧==32y x ，则b a + 的值（ ）A 、4B 、1-C 、3D 、5 3、已知⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=3201y x y x 和都是b ax y +=的解，则2018++b a 的值（ ）A 、2020B 、2021C 、2022D 、2023 4、已知二元一次方程42=-y x ，用含x 的代数式表示y ，正确的是（ ）A 、342+=x y B 、342-=x y C 、234y x += D 、234y x -= 5、已知⎩⎨⎧==b y a x 是方程组⎩⎨⎧-=+=+3262y x y x 的解，则a ＋b 的值为 ( )A 、2B 、1C 、3D 、-16、校春季运动会中，七年级（1）班、（2）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）班与（2）班得分比是6：5；乙同学说：（1）班得分比（2）班得分的2倍少40分。
若设（1）班得x 分，（2）班得y 分，根据题意所列方程组为 （ ）A 、B 、C 、D 、7、为了疫情防控，学校需用含30%和75%的消毒药水，配制含60%的消毒药水30kg ， 则含30%和75%的消毒药水各需（ ）A 、12kg 、18kgB 、19kg 、11kgC 、17kg 、13kgD 、10kg 、20kg二、填空（每个小题4分）⎩⎨⎧-==40265y x y x ⎩⎨⎧+==40265y x y x ⎩⎨⎧+==40256y x y x ⎩⎨⎧-==40256y x y x()⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-61252121y x y x 8、若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+523ay x y x 的解是⎩⎨⎧==1y b x ，则b a 的值为____________.9、某超市对某种商品促销，将定价为5元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过3件，按原价付款；若一次性购买3件以上，超过部分打八折.现有55元钱，最多可购买该商品的件数是 ___________.10、某服装店进行打折销售，明明买了两件衣服，第一件打八折，第二件打六折，共计220元，付 款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给明明20元，则这两件衣服原标价各是______________.11、点()y x A ,是以方程组⎩⎨⎧-=+-=62x y x y 的解为坐标的点，过点A 作直线平行于y 轴，交x 轴与点B,则点B 的坐标为____________。
2020年人教版七年级数学下册期末复习练习题(有答案)
（2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？
28、某厂家生产三种不同型号的电视机,甲,乙,丙出厂价分别为1500元,2100元,2500元．
（1）某商场同时从该厂购进其中两种不同型号的电视机共50台,正好用去90000元,可有几种进货方案？
17、某纸品厂要制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒，该厂利用边角料裁出了长方形和正方形两种纸片，其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等，现将150张正方形纸片和300张长方形纸片用来制作这两种小盒(不计连接部分)，可制作甲种小盒x个，乙种小盒y个．可得方程组.
18、如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是（3，﹣1）和（﹣3，1），那么“卒”的坐标为．
（2）若该商场销售甲、乙、丙种电视机每台可分别获利150元,200元，250元,请你结合（1）的进货方案,如何进货3、D4、A5、B6、B
7、C8、B9、A10、C11、A12、D
二、填空题：
13、（﹣4，3）
14、a≤﹣3
15、-1
16、52°
17、
七年级下学期期末复习数学练习卷
一、选择题：
1、立方根等于它本身的数有（ ）个
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2、下列调查中，适合采用全面调查方式的是 （ ）
A.对海陵溪河水质情况的待查B.对端午节期间市场上粽子质量情况的调查
C.对某班50名同学体重情况的调查D.对某类烟花爆竹燃放安全情况的调查
26、为了调查市场上某品牌方便面的色素含量是否符合国家标准，工作人员在超市里随机抽取了某品牌的方便面进行检验．图1和图2是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，其中A、B、C、D分别代表色素含量为0.05%以下、0.05%~0.1%、0.1%~0.15%、0.15%以上，图1的条形图表示的是抽查的方便面中色素含量分布的袋数，图2的扇形图表示的是抽查的方便面中色素的各种含量占抽查总数的百分比．请解答以下问题：
【七年级】七年级数学下学期期末复习试题4套
【七年级】七年级数学下学期期末复习试题4套一、选择题(本大题共6题，每题2分，满分12分)1.下列说法正确的是(A)无限循环小数是无理数;(B)任何一个有理数都可以表示为分数的形式;(C)任何一个数的平方根有两个，它们互为相反数;(D)数轴上每一个点都可以表示唯一的一个有理数.2.在、0、3.14159、、、、0.1010010001、中，是无理数的个数为(A)1个; (B)2个; (C)3个; (D)4个.3.下列计算正确的是(A) ; (B) ;(C) ; (D) .4.已知：，那么实数a的取值范围是(A)a (B)a (C)a (D)a0.5.如图，(1)A与AEF是同旁内角;(2)BED与CFG是同位角;(3)AFE与BEF是内错角;(4)A与CFE是同位角.以上说法中，正确的个数为(A)1个; (B)2个;(C)3个; (D)4个.6.在平面直角坐标系中，a取任何实数，那么点M(a，a -1)一定不在(A)第一象限; (B)第二象限; (C)第三象限; (D)第四象限.二、填空题(本大题共12题，每题2分，满分24分)7. 的平方根为 .8.计算： .9.计算： .10.计算： (结果保留四个有效数字).11.已知：点O为数轴的原点，数轴上点A、B、C所对应的实数分别是、2、，那么线段BC与线段OA的长度之差等于 .12.如图，直线AC与直线BD交于点O，AOB = 2BOC，那么AOD = 度.13.已知：三角形的两条边长分别为3和5，那么第三边a的取值范围是 .14.已知：等腰三角形的周长为38 cm，底边长为8 cm，那么这个等腰三角形的腰长为 cm.15.如图，已知AB // CD，那么E+C= 度.16.在平面直角坐标系中，如果将点A(2，3)沿着x轴向右平移2个单位，那么平移后所得的点的坐标为 .17.如图，在△ABC中，B = 60，C = 40，AE平分BAC，ADBC，垂足为点D，那么DAE = 度.18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40，那么这个等腰三角形的顶角为度.三、(本大题共4小题，每题6分，满分24分)19.计算： .20.利用分数指数幂的运算性质进行计算： .21.已知：在△ABC中，A、B、C的外角的度数之比是3?4?5，求A的度数.22.如图，已知△ABC，根据下列要求作图并回答问题：(1)作边AB上的高CD;(2)过点D作直线BC的垂线，垂足为E;(3)点B到直线CD的距离是线段的长度.(不要求写画法，只需写出结论即可)四、(本大题共5题，每题8分，满分40分)23.如图，(1)写出点A、B、C的坐标：A ，B ，C ;(2)画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1;(3)联结BB1、AB1，求△ABB1的面积.24.如图，已知1 = 65，2 =3 = 115，那么AB与CD平行吗?EF与GH平行吗?为什么?解：将1的邻补角记作4，则1 +4 = 180( ).因为 1 = 65，( )，所以 4 = 1801 = 180 - 65 = 115.因为 2 = 115( )，所以 2 =4 ( ).所以 ________ // _________( ).因为 4 = 115，3 = 115 ( )，所以 3 =4 ( ).所以 ________ // _________( ).25.如图，已知：B =C =AED = 90.(1)请你添加一个条件，使△ABE与△ECD全等，这个条件可以是 .(只需填写一个)(2)根据你所添加的条件，说明△ABE与△ECD全等的理由.26.如图，点D是等边△ABC中边AC上的任意一点，且△BDE也是等边三角形，那么AE与BC一定平行吗?请说明理由.27.如图，在△ABC中，C = 90，CA = CB，AD平分BAC，BEAD于点E。
七年级数学下册期末复习测试题答案[共三套卷]
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初一数学下册期末复习测试（一）一、选择题：1、下列说法错误的是（）.（A）－3是负有理数（B）零不是整数（C）-0.21是负分数（D）是正分数2、在一个数的前面加上一个"－"号，就可以得到一个（）.（A）负数（B）非正数（C）正数或负数（D）原数的相反数3、下列说法正确的是（）.（A）一个数的相反数一定是负数（B）一个数的相反数的相反数一定是正数（C）一个数的相反数一定有倒数（D）一个数的倒数一定有相反数4、已知有理数a、b满足条件a>0，b<0，<，则下面正确的关系是（）.（A）<B<A< （B）B<<A<（C）＜<B<<<a5、数a的倒数是（）.6、下面四个等式中正确的是（）.（A）－(-2)2=22（B）（C）－33＝(－3)3（D）(-0.03)2=0.097、设a为有理数，则下式的值一定为正数的是（）.（A）a2（B）（C）1 （D）a2+18、有理数0.0050400的有效数数字有（）个.（A）3 （B）4 （C）5 （D）8二、填空（1）一个数与它的倒数相等，这个数是，一个数与它的绝对值相等，则这个数是.（2）若≤3，则x的整数解是，它们的和是.（3）平方得9的有理数是，的立方等于-8.（4）－8 的相反数等于，－的绝对值等于，－2.5的倒数是.（5）用科学记数法表示，67300应记作.（6）若0，则a与b互为，若a·1，则a与b互为.（7）已知，2，1，则()3的值为.8、如图所示：，，.三、解答题：（1）的倒数的相反数与的绝对值的倒数的和是多少？（2）如果1100，求x的值.（3）已知0，3，计算.计算：（7）40÷(-5)+(-2)×0-(-2)×(-3)×(-1).（8）-125×41+125×(-33)-125×26.参考答案：一、1、B 2、D 3、D 4、B 5、D 6、C7、D 8、C二、（1）±1；正数和0；（2）0，±1,±2，±3；0；（3）±3；－2.（4）（5）6.73×104（6）相反数；倒数（7）－1或－27 （8）；；－三、（1）6 （2）101或－99 （3）6 （4）41 （5）－8 （6）15（7）－2 （8）－12500 （9）（10）（11）－1049 （12）－12491（13）（14）初一数学下册期末复习测试（二）一、选择题：1、在整式2x2-10.58x2,2,0,3x2+2y, -7，67中，单项式有（）个.（A）3 （B）4 （C）5 （D）62、下面说法正确的是2y2z（）.（A）系数是0，次数是3 （B）系数是1，次数是4 （C）系数是1，次数是5 （D）系数是－1，次数是53、下列各组中的两个式子，属于同类项的是（）.（A）43与（B）2x2与4x22（C）（D）4、.（A）22, (B)32, (C)21, (D)315、下列式子，属于二次三项式的是（）.（A）2+31 (B)2x2-7 (C)33+2x (D)x42+26、如果那么－3（）的值是（）.（A）（B）（C）（D）7、下面各题去括号所得结果正确的是（）.（A）a2-(2)2-2（B）3[5(21)]=3521（C）(-321)321（D）-(2)+(1)218、计算(5x2-153)-(-2x2-31)的结果是（）.（A）7x2+122 （B）7x2-122 （C）5x2-122 （D）7x2-182二、填空题（1）在代数式：－x2，中，单项式共有个，则多项式共有个，整式有个.（2）的系数是，次数是.（3）多项式5x23x3y32是次项式，其中常数项是.（4）多项式3x272+2x33中，按x的降幂排列为，按y的升幂排列为.（5）若1(3)2=0，则.（6）若2x3与-21y是同类项，则，.（7）单项式－4m2n，0.22，5m2n，－0.92的和为.（8）当时，单项式－0.252的值为.三、解答题：（1）在括号内填上适当的项：①x2-24y22-2（）;②(2z)(2z)=[( )][( )];③1-32=[1-( )]-(2).（2）一个多项式加上x2+85得x3-7求这个多项式.（3）x2225x减去一个多项式得－x3+2x232，求这个多项式.（4）一个多项式减去－b2+10得a2-105b2，求这个多项式.（5）已知A＝3a38b2B＝－2a22,求①2A－B; ②A＋2B; ③2B－A .（6）计算：①2+3a222; ②;③(x2)-(3)-(23x2y);④5a2-{9a2-[7a2-(3a2+5b)]};⑤(72)-(-232C).（7）化简求值①(3x2+4x3-6)-(22x2+3x3)+(5-3x23)，其中;②5{2a2[3(422b)]}其中2，1，3;③3{2[6()(86c)]}，其中（8）当5(2)2=0时，求代数式(42y2)-[5(2)]的值.（9）有一根铁丝，长为x米，第一次用去了它的一半少一米，第二次用去了它的多2米，问两次一共用去多少米？（10）用拖拉机耕地，第一天耕的是这块地的还多2公顷，若这块地为x公顷，第二天耕的是剩下的，求两天后还剩多少未耕？参考答案：一、1、D 2. D 3. C 4. D 5. A 6. C 7. C 8. B二、（1）4个；4个，8个（2）（3）六次四项式；－2.（4）2x3+3x2723；2x3+3x2723 （5）1 3（6）2，1 （7）m20.72（8）三、（1）①2y2②2z; 2z ③22a2（2）x32-82（3）2x3252（4）a2+4b2（5）①6a315b2+2a2b ②3a310b2-4a2b ③-4a26b2-3a3b （6）①3a22②③4x243z ④-4b ⑤9（7）① .②60 ③（8）-7（9）（10）初一数学下册期末复习测试（三）一、选择题：6、已知0，2，则y为（）（A）2或－2 （B）2 （C）－2 （D）2和－2 7、某数为x，x与1的差的3倍比这个数的相反数的一半大16，列方程是（）.二、填空题：（1）已知用含x的代数式表示y，，用含y的代数式表示x，则.（2）当时，方程8=17的解是－5.（3）由23y.可得25=35，其根据是；式子其根据是.（4）32与23是互为相反数，则.三、解答题：四、应用题1、甲乙两地距162千米，一列慢车从甲地出发，每小时行驶36千米，一列快车从乙地出发，每小时行驶48千米，如果慢车先开1小时，快车才出发.问快车出发后几小时相遇？2、一架飞机上午7时30分从甲地以每小时750千米的速度飞往乙地，逗留30分钟以后，又以每小时600千米的速度飞回甲地，到达甲地的时间是下午2时45分钟，求甲乙两地之间的距离？3、一条轮船在两个码头间航行，顺水需要4小时，逆水需要5小时，水速为2千米/小时，求船在静水中的速度.4、甲乙两车从A、B两地相向而行，甲车比乙车早出发15分钟，甲乙两车速度比为2:3，相遇时甲比乙少走6千米，已知乙车走1小时30分，求甲乙两车的速度和距离.5、要加工200个零件，甲先单独加工5小时，又与乙一起加工4小时完成任务.已知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件？6、一个工人加工一批零件，限期完成，他若每小时做10个，就可以超过任务3个.若每小时做11个，就可以提前1小时完成，他加工的零件个数是多少，限多少小时完成？7、一个三位数，三个数位上的数之和是15，百位上的数比十位上的数大5个位上的数是十位上的数的3倍，求这三位数.8、某人乘车行121千米路程，分三段不同的速度共用3小时走完.这三段路程速度比为21:19:20，已知第一段路程的速每小时42千米，而第三段路程是20千米，求第一、二段路程各为多少千米？9、上午八点，张，王两同学分别从A、B两地同时出发，相对而行，已知张的速度每小时比王快2千米，上午十点两人相距36千米，中午十二点两人又相距36千米，试求A、B两地的距离？10、一列等速前进的火车，从它进入600米长的隧道到离开，共需30秒，又知隧道顶部的一盏固定的灯光垂直照射火车5秒，那么这列火车长度是多少？参考答案：一、1、D 2、B 3、B 4、B 5、D 6、C 7、A 8、B四、1、1.5小时消息2、2250千米3、18千米/时4、18千米/时，21千米/时，48千米5、14个，16个6、77个，8小时7、7268、63千米，38千米9、108千米10、120千米。
（完整版）苏教七年级下册期末复习数学专题资料试卷优质及解析
（完整版）苏教七年级下册期末复习数学专题资料试卷优质及解析一、选择题1．在下列各式中，运算结果为2x 的是（ ）A ．42x x -B ．63x x ÷C ．42()x x ÷-D ．2()x x ⋅- 2．如图，1∠和2∠不是同位角的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知点(),P a b 的坐标满足二元一次方程组52?934?8a b a b +=-⎧⎨-=-⎩，则点P 所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．已知a b >，c 为任意数，则下列不等式总是成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．a c b c ->- C ．ac bc < D ．a c b c < 5．对于任意实数m ，n ，我们把这两个中较小的数记作min {m ，n }，如min {1，2}＝1．若关于x 的不等式min {1－2x ，－3}＞m 无解，则m 的取值范围是（ ）．A ．m ≤－3．B ．m ≤2．C ． m ≥－3．D ．m ≥2． 6．下列四个命题中，真命题有（ ）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2；③平方等于4的数是2；④如果a ＝b ，那么a ＝b 或a ＋b ＝0．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．已知整数1a ，2a ，3a ，4a …满足下列条件：10a =，211a a =-+，322a a =-+，433a a =-+，…，依此类推，则2021a 的值为（ ）A ．1008-B ．1009-C ．1010-D ．2020- 8．矩形ABCD 内放入两张边长分别为a 和()b a b >的正方纸片，按照图①放置，矩形纸片没有两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为1S ；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为2S ；按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为3S ．已知133S S -=，2312S S -=，设AD AB m -=，则下列值是常数的是（ ）A ．maB ．mbC ．mD ．a b +二、填空题9．计算：()()32223x y x y ⋅=______．10．下列4个命题中：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④对顶角相等．其中真命题有_____个．11．已知一个多边形的每个内角都是o160，则这个多边形的边数是_______. 12．已知2x y -=，3xy =，则22x y xy -的值为__________．13．已知方程组222x y k x y +=⎧⎨+=⎩的解满足2x y +=，则k 的平方根为____________． 14．某宾馆在重新装修后考虑在大厅内的主楼梯上铺设地毯，已知主楼梯宽为3m ，其剖面如图所示，那么需要购买地毯_______m 2．15．三角形的三边长分别为5，1+2x ，8，则x 的取值范围是__________．16．如图，在ABC 中，70BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 逆时针旋转，得到AB C ''△，连接C C '．若C C AB '∥，则BAB '∠=________︒．17．计算：（1）223501482π3-⎛⎫÷⨯-+- ⎪⎝⎭ （2）()221222a ab b ab ⎛⎫+-⋅- ⎪⎝⎭18．因式分解：（1）2484x y xy y -+ （2）22214a a19．解方程组：（1）35821x y x y +=⎧⎨-=⎩①②； （2）23(2)622x y y x +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②． 20．解不等式组3(2)41213x x x x --≥-⎧⎪+⎨-<⎪⎩，并把它的解集在下面的数轴上表示出来．三、解答题21．已知，ABC ∆中，C B ∠>∠，AE 平分BAC ∠，M 是AE 上一点，MN BC ⊥于N ， （1）当M 与A 重合时，如图1，①若40B ∠=︒，80C ∠=︒，求EMN ∠的度数；②问EMN ∠与B ，C ∠之间有何关系？请证明你的结论；（2）如图2，D 是BC 延长线上一点，若CAD D ∠=∠，MC AD ⊥于点F ，试探究CMN ∠与ACB ∠的关系．22．如图，某工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连．这家工厂近期从A 地购买一批原料运回工厂，制成的产品再全部运到B 地．已知公路的运价为2元/（吨⋅千米），铁路的运价为1.5元/（吨⋅千米），且这两次运输共支出公路运费48000元，铁路运费207000元．（1）求从A 地购买的原料和运到B 地的产品各多少吨？（2）如果购买这批原料的价格为每吨1千元，且这家工厂希望这批产品全部售出后获得不低于20万元的利润（利润=销售额-原料费-运输费），那么每吨产品的最低售价应定为多少元（结果取整数）？23．已知关于x 、y 的二元一次方程组23221x y k x y k-=-⎧⎨+=-⎩（k 为常数）． （1）求这个二元一次方程组的解（用含k 的代数式表示）；（2）若方程组的解x 、y 满足+x y ＞5，求k 的取值范围；（3）若1k ≤，设23m x y =-，且m 为正整数，求m 的值．24．模型与应用.（模型）（1）如图①，已知AB ∥CD ，求证∠1＋∠MEN ＋∠2＝360°.（应用）（2）如图②，已知AB ∥CD ，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 ．如图③，已知AB ∥CD ，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n 的度数为 ．（3）如图④，已知AB ∥CD ，∠AM 1M 2的角平分线M 1 O 与∠CM n M n －1的角平分线M n O 交于点O ，若∠M 1OM n ＝m °．在（2）的基础上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n －1的度数．（用含m 、n 的代数式表示）25．已知：射线//OP AE（1）如图1，AOP ∠的角平分线交射线AE 与点B ，若58BOP ∠=︒，求A ∠的度数． （2）如图2，若点C 在射线AE 上，OB 平分AOC ∠交AE 于点B ，OD 平分COP ∠交AE 于点D ，39ADO ∠=︒，求ABO AOB ∠-∠的度数．（3）如图3，若A m ∠=︒，依次作出AOP ∠的角平分线OB ，BOP ∠的角平分线1OB ，1B OP ∠的角平分线2OB ，1n B OP -∠的角平分线n OB ，其中点B ，1B ，2B ，，1n B -，n B 都在射线AE 上，直接写出n AB O ∠的度数．【参考答案】一、选择题1．C解析：C【分析】根据合并同类项和同底数幂的乘法，同底数幂的除法，及积的乘方法则进行计算，然后逐个判断．【详解】A. 4x 与2x 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B. 633x x x ÷=，故此选项不符合题意；C. 422()x x x -=÷，故此选项符合题意；D. 23()x x x -=⋅，故此选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．2．C解析：C【分析】根据同位角定义可得答案．【详解】解：A 、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；B 、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；C 、∠1和∠2不是同位角，故此选项符合题意；D 、∠1和∠2是同位角，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查同位角的概念．解题的关键是掌握同位角的概念，是需要熟记的内容．即两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角．3．B解析：B【分析】解方程组求出a 、b 的值，再根据各象限内点的坐标特征即可得到答案．【详解】解：529348a b a b +=-⎧⎨-=-⎩①②， ①2⨯得：10418a b +=-③，②+③得：1326a =-，2a ∴=-，把2a =-代入①得：1029b -+=-，12b ∴=， ∴方程组的解为212a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点P 的坐标为1(2,)2-，∴点P 在第二象限， 故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，各象限内点的坐标特征，正确求出方程组的解是解决本题的关键．4．B解析：B【分析】根据不等式的性质，不等式两边同加同减一个实数，不等号方向不变，同乘或同除大于0的数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变，可得答案．【详解】解：A 、两边都加c ，不等号的方向不变，故A 不符合题意；B 、两边都减c ，不等号的方向不变，故B 符合题意；C 、c=0时，ac=bc ，故C 不符合题意；D 、c=0时，a|c|=b|c|，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．5．C解析：C【分析】根据新定义运算法则分情况讨论1－2x 与－3的大小及min {1－2x ，－3}的值，通过min {1－2x ，－3}＞m 求解m 的范围．【详解】解：令{}=123y min x －，－ 由题意可得：当123x --＞即x 2＜时，{}1233min x =-－，－， 当123x --＜即x 2＞时，{}12312min x x =－，－－， ∵{}123min x m －，－＞， 即y m ＞无解， ∴3m ≥－，故选：C ．【点睛】本题考查了新定义下解一元一次不等式，明白新定义的运算法则是解题的关键． 6．B解析：B【分析】根据平行线的性质、对顶角、平方和绝对值判断即可．【详解】解：①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题；②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，是真命题；③平方等于4的数是2或-2，原命题是假命题．④如果|a |=|b |，那么a =b 或a +b =0，是真命题；故选：B ．【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握真假命题的定义及几何图形的性质是解答本题的关键，当命题的条件成立时，结论也一定成立的命题叫做真命题；当命题的条件成立时，不能保证命题的结论总是成立的命题叫做假命题．也考查了平行线的性质，对顶角的性质，乘方的意义，以及绝对值的意义．7．C解析：C【分析】分别计算：1234567,,,,,,,a a a a a a a 再由具体到一般总结出规律，再利用规律解题即可得到答案．【详解】解：探究规律：10a =， 2111a a =-+=-，3221a a =-+=-，4332a a =-+=-，5442a a =-+=-，6553a a =-+=-，7663a a =-+=-，…，总结规律：当n 是奇数时，结果等于12n --；n 是偶数时，结果等于2n -； 运用规律： 2021202111010.2a -=-=- 故选：C ．【点睛】本题考查的是数字类的规律探究，考查列代数式，掌握规律探究的基本方法是解题的关键．8．B解析：B【分析】利用面积的和差表示出S 2-S 1，根据图①与图②分别表示出矩形的面积，进而得到b （AD-AB ）=12，从而求解．【详解】解：由1323312S S S S -⎧⎨-⎩＝＝， 可得：S 2-S 1=9，由图①得：S 矩形ABCD =S 1+a 2+b （AD-a ），由图②得：S 矩形ABCD =S 2+a 2+b （AB-a ），∴S1+a2+b（AD-a）=S2+a2+b（AB-a），∴S2-S1=b（AD-AB），∵AD-AB=m，∴mb=12．故选：B．【点睛】本题考查了整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．二、填空题9．6x5y3【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则（系数、同底数幂分别相乘）解决此题．【详解】解：（2x3y2）•（3x2y）=（2×3）•（x3•x2）•（y2•y）=6x5y3．故答案为：6x5y3．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．10．【分析】直接利用平行线的性质分别判断得出答案．【详解】①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题；②平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，只有平行线具备此性质，故此选项错误；④对顶角相等，是真命题．故答案为：3．【点睛】此题考查命题与定理，正确正确平行线的性质是解题关键．11．18【分析】首先计算出多边形的外角的度数，再根据外角和÷外角度数＝边数可得答案．【详解】解：多边形每一个内角都等于o160∴多边形每一个外角都等于o o o180 - 160 = 20∴边数o on=÷=3602018故答案为18【点睛】此题主要考查了多边形的外角与内角，关键是掌握多边形的外角与它相邻的内角互补，外角和为360°．12．6【分析】直接提取公因式xy ，进而分解因式，再整体代入数据即可得出答案．【详解】∵2x y -=，3xy =，∴()22x y xy xy x y -=-=3×2=6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了分解因式的应用以及代数式的求值，正确找出公因式是解题关键． 13．±2【分析】把2x y +=与22x y +=组成新的二元一次方程组，求出x ，y 的值，再求出k 的值，进而求解即可．【详解】∵222x y k x y +=⎧⎨+=⎩的解满足2x y +=， ∴222x y x y +=⎧⎨+=⎩的解也是2x y k +=的解， ∴02x y =⎧⎨=⎩满足2x y k +=， ∴20224k x y =+=+⨯=，∴k 的平方根为±2．故答案为：±2．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组，是解题的关键． 14．10.8【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，再由主楼梯宽3米可得出地毯的面积．【详解】解：由题意得：地毯的长为：1.2 2.4 3.6m +=，∴地毯的面积23.6310.8m =⨯=．故答案为：10.8 ．【点睛】本题主要考查了平移的性质的实际应用，解题的关键是先求出地毯的长度．15．1＜x ＜6【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边可得8-5＜1+2x ＜5+8，解不等式组即可．【详解】根据三角形的三边关系可得：8-5＜1+2解析：1＜x ＜6【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边可得8-5＜1+2x ＜5+8，解不等式组即可．【详解】根据三角形的三边关系可得：8-5＜1+2x ＜5+8，解得：1＜x ＜6．故答案为：1＜x ＜6．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于已知两边的和．16．40【分析】根据旋转的性质得AC′＝AC ，∠B′AB ＝∠C′AC ，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C ＝∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB 得，则，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝4解析：40【分析】根据旋转的性质得AC′＝AC ，∠B′AB ＝∠C′AC ，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C ＝∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB 得70ACC BAC '∠=∠=︒，则70AC C ACC ''∠=∠=︒，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝40︒，所以40B AB '∠=︒．【详解】解：∵ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△的位置，∴AC AC '=，B AB C AC ''∠=∠，∴AC C ACC ''∠=∠，∵//CC AB '，∴70ACC BAC '∠=∠=︒，∴70AC C ACC ''∠=∠=︒，∴18027040CAC '∠=︒-⨯︒=︒，∴40B AB '∠=︒，故答案为40．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质．17．（1）9；（2）【分析】（1）根据同底数幂的乘除法法则、零指数幂、负整数指数幂的法则计算； （2）根据单项式乘多项式的运算法则解答．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题考查解析：（1）9；（2）322312a b a b ab --+ 【分析】（1）根据同底数幂的乘除法法则、零指数幂、负整数指数幂的法则计算；（2）根据单项式乘多项式的运算法则解答．【详解】解：（1）235021482()3π-÷⨯-+-495021222()3π-=÷⨯-+- 119=-+9=；（2）221(22)()2a ab b ab +-- 322312a b a b ab =--+． 【点睛】本题考查的是实数的运算、整式的乘法，掌握同底数幂的乘除法法则、负整数指数幂、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．18．（1）；（2）【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式，即可求解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式，即可求解．【详解】解：（1）；（2）．【点睛】本题主要解析：（1）()241y x -；（2）()()2211a a -+【分析】（1）先提出公因式，再利用完全平方公式，即可求解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式，即可求解．【详解】解：（1）2484x y xy y -+ ()2421y x x =-+()241y x =- ；（2）22214a a 221212a a a a 2211a a ．【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的各种因式分解的方法，并根据多项式的特征选用合适的方法是解题的关键．19．（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可．（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【详解】解：(1)①＋②×5，得13x ＝13，解得x ＝1.把x ＝1代入②，得解析：（1）11x y =⎧⎨=⎩；（2）32x y =⎧⎨=⎩． 【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可．（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．【详解】解：(1)①＋②×5，得13x ＝13，解得x ＝1.把x ＝1代入②，得y ＝1，则方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩； （2）将方程组整理，得23121242x y x y +=⎧⎨-=⎩， ①－②，得4y ＝8，解得y ＝2，把y ＝2代入②，得x ＝3，则方程组的解为 32x y =⎧⎨=⎩； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是能熟练运用加减消元法解二元一次方程组．20．，解集在数轴上表示见解析．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：，由①得：，由②得：，不等式组的解集为，如解析：21x -<≤，解集在数轴上表示见解析．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【详解】解：()3241213x x x x ⎧---⎪⎨+-<⎪⎩①②， 由①得：1x ，由②得：2x >-，∴不等式组的解集为21x -<，如图所示：．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>，向右画；<，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“<”，“ >”要用空心圆点表示．三、解答题21．（1）①；②，证明见解析；（2）【分析】（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE 的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN 的度数，即可求出∠EA解析：（1）①20EMN ∠=︒；②()12EMN C B ∠=∠-∠，证明见解析；（2）12CMN ACB ∠=∠ 【分析】（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE 的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN 的度数，即可求出∠EAN 的度数；②首先根据角平分线的性质得到∠BAE =12BAC ∠，然后根据三角形内角和得到∠BAC =180°-∠B -∠C ，然后根据∠AEC =∠B +∠BAE ，最后根据∠CMN +∠AEN =90°通过角度之间的等量代换即可表示出EMN ∠与B ，C ∠之间的关键．（2）根据直角三角形CMN 和CDF 得到∠CMN =∠D ，然后根据外角的性质和CAD D ∠=∠即可得出CMN ∠与ACB ∠的关系．【详解】解：（1）①∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，∴180408060BAC ∠=︒-︒-︒=︒，又∵AE 平分BAC ∠， ∴1302CAE BAE ∠=∠=︒，∵80C ∠=︒，90MNC ∠=︒，∴10CMN ∠=︒，∴301020EMN CAE CMN ∠=∠-∠=︒-︒=︒； ②()12EMN C B ∠=∠-∠． 证明：∵AD 平分BAC ∠，∴12BME BAC ∠=∠， ∵MN BC ⊥∴90MNE ∠=︒∴()9090EMN MEN EMB B ∠=︒-∠=︒-∠+∠()1119090222BAC B BAC B B ⎛⎫⎡⎤=︒-∠+∠=︒-∠+∠+∠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()119018022C B ⎡⎤=︒-︒-∠+∠⎢⎥⎣⎦()12C B =∠-∠； （2）∵MC AD ⊥于点F ，∴∠CFD =90°，又∵∠MNC =90°，∠MCN =∠DCF ，∴∠CMN =∠D ，又∵∠ACB =∠D +∠CAD ，∠D =∠CAD ，∴∠ACB =2∠D ，∴∠ACB =2∠CMN ，即∠CMN =12∠ACB ．【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质． 22．（1）从地购买的原料为600吨和运到地的产品为400吨；（2）每吨产品的最低售价应定2638元．【分析】（1）根据公路的运价为2元（吨千米），铁路的运价为1.5元（吨千米），且这两次运输共支出公解析：（1）从A 地购买的原料为600吨和运到B 地的产品为400吨；（2）每吨产品的最低售价应定2638元．【分析】（1）根据公路的运价为2元/（吨⋅千米），铁路的运价为1.5元/（吨⋅千米），且这两次运输共支出公路运费48000元，铁路运费207000元和图中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；（2）根据购买这批原料的价格为每吨1千元，且这家工厂希望这批产品全部售出后获得不低于20万元的利润，可以列出相应的不等式，从而可以求得每吨产品的售价的取值范围，从而可以求得每吨产品的最低售价应定为多少元．【详解】解：（1）设从A 地购买的原料为a 吨和运到B 地的产品为b 吨，由题意可得，220230480001.5150 1.5120207000a b a b ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩， 解得600400a b =⎧⎨=⎩， 答：从A 地购买的原料为600吨和运到B 地的产品为400吨；（2）设每吨产品的售价为x 元，由题意可得，400600100048000207000200000x -⨯--，解得2637.5x ， x 为整数， x 的最小值是2638，答：每吨产品的最低售价应定2638元．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程组和不等式．23．（1）；（2）k ＜﹣；（3）m 的值为1或2．【分析】（1）把k 当成一个已知得常数，解出二元一次方程组即可；（2）将（1）中得的值代入 ，即可求出的取值范围；（3）将（1）中得的值代入得m=解析：（1）214342k x ky -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩；（2）k ＜﹣52；（3）m 的值为1或2． 【分析】（1）把k 当成一个已知得常数，解出二元一次方程组即可；（2）将（1）中得,x y 的值代入+x y ＞5 ，即可求出k 的取值范围；（3）将（1）中得,x y 的值代入23m x y =-得m=7k ﹣5．由于m ＞0，得出7k ﹣5＞0，及1k ≤得出解集517＜k ≤ 进而得出m 的值为1或2 【详解】（1）2x 322x+y=1-k? y k -=-⎧⎨⎩①② ②+①，得4x ＝2k ﹣1， 即214k x -= ； ②﹣①，得2y ＝﹣4k +3 即342k y -= 所以原方程组的解为214342k x k y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩（2）方程组的解x 、y 满足x +y ＞5， 所以2134542k k --+> ， 整理得﹣6k ＞15， 所以52k ＜﹣ ； （3）m ＝2x ﹣3y ＝21342342k k --⨯-⨯＝7k﹣5由于m为正整数，所以m＞0即7k﹣5＞0，k＞5 7所以57＜k≤1当k＝67时，m＝7k﹣5＝1；当k＝1时，m＝7k﹣5＝2．答：m的值为1或2．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键. 24．（1）证明见解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【详解】【模型】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF解析：（1）证明见解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【详解】【模型】（1）证明：过点E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF＝180°，同理∠2＋∠NEF＝180°∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°【应用】（2）分别过E点，F点，G点，H点作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；由上面的解题方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n =180°(n －1)，故答案是：900° ， 180°(n －1)；（3）过点O 作SR ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴SR ∥CD ，∴∠AM 1O ＝∠M 1OR同理∠C M n O ＝∠M n OR∴∠A M 1O ＋∠CM n O ＝∠M 1OR ＋∠M n OR ，∴∠A M 1O ＋∠CM n O ＝∠M 1OM n ＝m°，∵M 1O 平分∠AM 1M 2，∴∠AM 1M 2＝2∠A M 1O ，同理∠CM n M n-1＝2∠CM n O ，∴∠AM 1M 2＋∠CM n M n-1＝2∠AM 1O ＋2∠CM n O ＝2∠M 1OM n ＝2m°，又∵∠A M 1M 2＋∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n －1＋∠CM n M n-1＝180°(n －1)， ∴∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n －1＝(180n －180－2m)°点睛：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解决此类题目，过拐点作平行线是解题的关键，准确识图理清图中各角度之间的关系也很重要．25．（1）64°；（2）78°；（3）【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠1，根据平角的定义求得∠AOP=116°，根据角平分线的性质和平行线的性质求得∠A 的度数；（2）利用已知条件和平行线解析：（1）64°；（2）78°；（3）11802n m +︒-︒ 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠1，根据平角的定义求得∠AOP=116°，根据角平分线的性质和平行线的性质求得∠A 的度数；（2）利用已知条件和平行线的性质、角平分线的性质解答即可．（3）分别求出∠ABO ，∠AB 1O ，∠AB 2O ，得到规律，即可求得∠AB n O ．【详解】解：（1）如图1，∵OP ∥AE ，∴∠A=∠1，∵∠BOP=58°，OB 是∠AOP 的角平分线，∴∠AOP=2∠BOP=116°，∴∠1=180°-116°=64°，∴∠A=∠1=64°；（2）如图2，∵OP ∥AE ，∴∠POD=∠ADO=39°，∵OB 平分∠AOC ，∴∠AOB=∠BOC ，∵OD 平分∠COP ，∴∠COP=2∠DOP=78°，∴∠ABO-∠AOB=∠COP=78°；（3）如图3，由（1）可知，∠ABO=12（180°-m ），∠AB 1O=12（180°-∠OBB 1）=12∠ABO=14（180°-m ）， ∠AB 2O=18（180°-m ）， …则∠AB n O=11802n m +︒-︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．。
(完整版)数学苏教七年级下册期末复习必备知识点题目精选答案
（完整版）数学苏教七年级下册期末复习必备知识点题目精选答案一、选择题1．下列计算结果正确的是（ ）A ．257x x x +=B ．236x x x ⋅=C ．236x x x ⋅=D ．325()x x =2．如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．2∠与1∠是内错角B ．2∠与3∠是同位角C ．3∠与B 是同旁内角D ．A ∠与3∠是内错角 3．方程组的解是( ) A ． B ． C ． D ． 4．已知a ＜b ，则下列四个不等式中，不正确的是（ ）A ．﹣2a ＜﹣2bB ．5a ＜5bC ．a ﹣2＜b ﹣2D ．1.2+a ＜1.2+b5．若关于x 的不等式组1420x a x -⎧⎨-≤⎩＞的解集为x ≥2，则a 的取值范围为（ ） A ．a ＜2 B ．a ＞1 C ．a ≤1 D ．a ＜16．给出下列4个命题：①若22a b =，则a b =；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角；③若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等；④同位角相等，两直线平行．其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点B C 、对应的数分别为1-和0．若正方形ABCD 绕着点C 顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D 所对应的数为1；绕点D 翻转第2次；继续翻转，则翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D8．如图，在三角形ABC 中，45C ∠=︒，90B ∠=︒，点D 是BC 上的一点（与点B ，C 不重合），点E 是AC 上的一点（与点A ，C 不重合），将三角形CDE 沿DE 翻折，若'⊥C E BC ，则∠EDC 的度数为（ ）A ．22.5︒B ．25︒C ．27.5︒D ．30二、填空题9．计算：()23223a b a b ⋅-=______．10．用一组数a ，b ，c 说明命题“若a b <，则ac bc <”是假命题，则a ，b ，c 可以______．11．一个正多边形的每个外角都是45°，则这个正多边形是正___边形．12．已知a+2b ＝2，a ﹣2b ＝12，则a 2﹣4b 2＝_____． 13．若关于x 、y 的二元一次方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解为3,2x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的二元一次方程组111222(1)2,(1)2a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩的解为________． 14．如图，为了把河中的水引到C 处，可过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后沿CD 开渠，这样做可使所开的渠道最短，这种设计的依据是________．15．若三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是______．16．如图，1∠与23∠+∠的大小关系为：1∠______23∠+∠．17．计算或化简．（1）101()2))(2(32------+（2）2332()a a a a +⋅⋅（3）22(3222))(3mn m m mn ---18．因式分解：（1）x 3﹣16x ；（2）﹣2x 3y +4x 2y 2﹣2xy 3．19．（1）解方程组：1(1)37(2)x y x y =+⎧⎨+=⎩ （2）解方程组：5210(1)258(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩ 20．解下列不等式或不等式组：（1）7132184x x ->-- （2）21541x x x x -≥⎧⎨+<-⎩ 三、解答题21．已知，ABC ∆中，C B ∠>∠，AE 平分BAC ∠，M 是AE 上一点，MN BC ⊥于N ， （1）当M 与A 重合时，如图1，①若40B ∠=︒，80C ∠=︒，求EMN ∠的度数；②问EMN ∠与B ，C ∠之间有何关系？请证明你的结论；（2）如图2，D 是BC 延长线上一点，若CAD D ∠=∠，MC AD ⊥于点F ，试探究CMN ∠与ACB ∠的关系．22．某水果店到水果批发市场采购苹果，师傅看中了甲、乙两家某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同，甲家规定：批发数量不超过100千克，全部按零价的九折优惠；批发数量超过100千克全部按零售价的八五折优惠，乙家的规定如下表： 数量范围（千克）不超过50的部分 50以上但不超过150的部分 150以上的部分 价格（元） 零售价的95% 零售价的85% 零售价的75% （1）如果师傅要批发240千克苹果选择哪家批发更优惠？（2）设批发x 千克苹果（100x >），问师傅应怎样选择两家批发商所花费用更少？23．对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b﹣1．（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3．①求a，b的值；②若关于m的不等式组(2m,54)4(32)?T mT m m p⎩-≤->⎧⎨，恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？24．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；【问题迁移】如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC 与α、β之间的数量关系，并说明理由．（图1）（图2）25．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF//GH．（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值若变化，说明理由．【参考答案】一、选择题1．A解析：A【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【详解】解：A、原式＝7x，故A正确．B、原式＝6x2，故B错误．C、原式＝x5，故C错误．D、原式＝x6，故D错误．故选：A．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．2．C解析：C【分析】根据同位角，同旁内角，内错角的定义可以得到结果．【详解】解：A、2∠不是内错角，故错误；∠与1∠是邻补角，故错误；B、2∠与3∠与B是同旁内角，故正确；C、3∠是同位角，故错误；D、A∠与3故选C．【点睛】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的概念，比较简单．3．B解析：B【解析】【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】 解：，①+②×2得：9x=18，即x=2，把x=2代入①得：y=3， 则方程组的解为，故选B.【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 4．A解析：A【分析】利用不等式的性质对各选项进行判断．【详解】根据不等式的性质可得：A 、在a b <的两边同时乘以-2，可得22a b ->-，故A 不正确，符合题意；B 、在a b <的两边同时乘以5，可得55a b <，故B 正确，不符合题意；C 、在a b <的两边同时减去2，可得22a b -<-，故C 正确，不符合题意；D 、在a b <的两边同时加上1.2，可得1.2+a ＜1.2+b ，故D 正确，不符合题意； 综上，只有选项A 不正确．故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变．5．D解析：D【分析】先分别解得两个不等式的解集，再根据不等式组的解集是x ≥2得出关于a 的不等式，解之可得答案．【详解】解：解不等式x ﹣a ＞1，得：x ＞1+a ，解不等式4﹣2x ≤0，得：x ≥2，∵关于x 的不等式组1420x a x -⎧⎨-≤⎩＞的解集为x ≥2， ∴1+a ＜2，解得：a ＜1，故选：D ．【点睛】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a 的值． 6．A解析：A【分析】利用等式的性质、互补的定义、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①若a 2=b 2，则a=b 或a=-b ，原命题是假命题；②互补的两个角中一定是一个为锐角，另一个为钝角，也可能都是直角，原命题是假命题；③若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补，原命题是假命题；④同位角相等，两直线平行是真命题；故选：A ．【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等式的性质、互补的定义、平行线的性质等知识，难度不大．7．C解析：C【分析】根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，用2020除以4，根据正好能整除可得解．【详解】解：由题意可得：点C 对应0，点D 对应1，点A 对应2，点B 对应3，点C 对应4，...，∵每4次翻转为一个循环组依次循环，∴2020÷4=505，∴翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是点C ．故选：C ．【点睛】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键．8．A【分析】延长C E '交BC 于点F ，则∠B C F '＝90°，根据折叠的性质可得∠C DE '＝∠CDE ，∠C '＝∠C ＝45°，再利用三角形的内角和定理即可求的答案．【详解】解：如图，延长C E '交BC 于点F ，则∠B C F '＝90°，∵折叠，∴∠C DE '＝∠CDE ，∠C '＝∠C ＝45°，∴∠C C D '＝180°－∠C '－∠B C F '＝180°－45°－90°＝45°，又∵∠C DE '＝∠CDE ，∴∠C DE '＝∠CDE ＝22.5°，故选：A ．【点睛】本题考查了垂直的定义，折叠的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及三角形的内角和定理是解决本题的关键．二、填空题9．536a b -【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算．【详解】解：原式()231253236ab a b ++=⨯-⋅⋅=-． 故答案是：536a b -．【点睛】本题考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．10．例如1，2，1-（符合条件即可）【分析】由不等式的基本性质进行判断，即可得到答案．解：当a b <，0c >时，∴ac bc <是真命题；当a b <，0c ≤时，∴ac bc <是假命题；∴a ，b ，c 可以为：1、2、1-．故答案为：例如1，2，1-（符合条件即可）．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，以及判断命题的真假，解题的关键是掌握不懂呢过是的基本性质进行判断．11．八【分析】根据多边形的外角和等于360︒即可得．【详解】解：因为多边形的外角和等于360︒，所以这个正多边形的边数是360458︒÷︒=，即这个正多边形是正八边形，故答案为：八．【点睛】本题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和等于360︒是解题关键．12．1【解析】【分析】原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】∵a+2b ＝2，a ﹣2b ＝12， ∴原式＝（a+2b ）（a ﹣2b ）＝2×12＝1， 故答案为：1【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．13．21x y =⎧⎨=⎩【分析】把32x y =⎧⎨=⎩代入111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩，结合所求的方程组即可得到关于x ，y 的方程，求解即可． 【详解】解：把32x y =⎧⎨=⎩代入111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩得：1112223232a b c a b c +=⎧⎨+=⎩ 又∵111222(1)2,(1)2a x b y c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩ ∴1322x y +=⎧⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩故答案为：21x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，结合两个方程组得到关于x ，y 的方程是解题的关键．14．D解析：垂线段最短【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．【详解】解：过D 点引CD ⊥AB 于D ，然后沿CD 开渠，可使所开渠道最短，这种设计的依据是垂线段最短．故答案为：垂线段最短．【点睛】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．15．7【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【详解】解：∵5-3＜第三边＜3+5，即：2＜第三边＜8；所以最大整数是7，故答案为：7．解析：7【分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可．【详解】解：∵5-3＜第三边＜3+5，即：2＜第三边＜8；所以最大整数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答此题的关键是根据三角形的特性进行分析、解答．16．＞【分析】如图（见解析）延长的一条边，根据三角形外角的性质，即可求解【详解】解：如图延长的一条边，根据三角形外角的性质可得：故答案为＞．【点睛】此题考查了三角形外角的性质，掌握三角解析：＞【分析】如图（见解析）延长1∠的一条边，根据三角形外角的性质，即可求解【详解】解：如图延长1∠的一条边，∠>∠>∠=∠+∠根据三角形外角的性质可得：15412故答案为＞．【点睛】此题考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质并根据图形构造出角之间的关系是解题的关键．17．（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据实数的性质化简即可求解；（2）根据幂的运算法则即可求解；（3）根据整式的加减运算法则即可求解．【详解】解：（1）；（2）（3）原解析：（1）4；（2）62a ；（3）278mn m -【分析】（1）根据实数的性质化简即可求解；（2）根据幂的运算法则即可求解；（3）根据整式的加减运算法则即可求解．【详解】解：（1）101()2))(2(32------+ 2123=+-+4=；（2）2332()a a a a +⋅⋅66a a =+62a =（3）原式223264mn m m mn =+--278mn m =-．【点睛】此题主要考查实数与整式的运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．18．（1）x （x+4）（x ﹣4）；（2）﹣2xy （x ﹣y ）2．【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式；（2）先提公因式，再利用完全平方公式．【详解】解：（1）原式＝x （x2﹣16）＝x （解析：（1）x （x +4）（x ﹣4）；（2）﹣2xy （x ﹣y ）2．【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式；（2）先提公因式，再利用完全平方公式．【详解】解：（1）原式＝x （x 2﹣16）＝x （x +4）（x ﹣4）；（2）原式＝﹣2xy （x 2﹣2xy +y 2）＝﹣2xy（x﹣y）2．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的方法. 19．（1）；（2）【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：（1）把（1）代入（2）得：3（y+1）+y=7，解得：y=1，把y=1代解析：（1）21xy=⎧⎨=⎩；（2）34212021xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】解：（1）把（1）代入（2）得：3（y+1）+y=7，解得：y=1，把y=1代入（1）得：x=1+1=2，则方程组的解为21xy=⎧⎨=⎩；（2）（2）×5-（1）×2得：21y=20，解得：y=2021代入（2）得：2x+5×2021=8，解得：x=34 21，则方程组的解为34212021xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．20．（1）；（2）【分析】（1）按照先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解不等式即可；（2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1），去分母解析：（1）1x <；（2）2x ≥【分析】（1）按照先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤解不等式即可； （2）先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1）7132184x x ->--， 去分母得：8(71)232x x ，去括号得：87164x x -+>-，移项得：76418x x ，合并得：1313x ->-，化系数为1得：1x <；（2）21541x x x x -≥⎧⎨+<-⎩①②， 解不等式①得：1≥x ，解不等式②得： 63x ≤，2x ≥，∴不等式组的解集是2x ≥．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式的方法．三、解答题21．（1）①；②，证明见解析；（2）【分析】（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE 的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN 的度数，即可求出∠EA解析：（1）①20EMN ∠=︒；②()12EMN C B ∠=∠-∠，证明见解析；（2）12CMN ACB ∠=∠ 【分析】（1）①首先根据三角形内角和求出∠BAC 的度数，然后根据角平分线的性质求出∠CAE的度数，然后根据直角三角形中两锐角互余求出∠CAN 的度数，即可求出∠EAN 的度数；②首先根据角平分线的性质得到∠BAE =12BAC ∠，然后根据三角形内角和得到∠BAC =180°-∠B -∠C ，然后根据∠AEC =∠B +∠BAE ，最后根据∠CMN +∠AEN =90°通过角度之间的等量代换即可表示出EMN ∠与B ，C ∠之间的关键．（2）根据直角三角形CMN 和CDF 得到∠CMN =∠D ，然后根据外角的性质和CAD D ∠=∠即可得出CMN ∠与ACB ∠的关系．【详解】解：（1）①∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，∴180408060BAC ∠=︒-︒-︒=︒，又∵AE 平分BAC ∠， ∴1302CAE BAE ∠=∠=︒，∵80C ∠=︒，90MNC ∠=︒，∴10CMN ∠=︒，∴301020EMN CAE CMN ∠=∠-∠=︒-︒=︒； ②()12EMN C B ∠=∠-∠． 证明：∵AD 平分BAC ∠，∴12BME BAC ∠=∠， ∵MN BC ⊥∴90MNE ∠=︒∴()9090EMN MEN EMB B ∠=︒-∠=︒-∠+∠()1119090222BAC B BAC B B ⎛⎫⎡⎤=︒-∠+∠=︒-∠+∠+∠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()119018022C B ⎡⎤=︒-︒-∠+∠⎢⎥⎣⎦()12C B =∠-∠； （2）∵MC AD ⊥于点F ，∴∠CFD =90°，又∵∠MNC =90°，∠MCN =∠DCF ，∴∠CMN =∠D ，又∵∠ACB =∠D +∠CAD ，∠D =∠CAD ，∴∠ACB =2∠D ，∴∠ACB =2∠CMN ，即∠CMN =12∠ACB ．【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的性质． 22．（1）在乙家批发更优惠；（2）当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x ＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x ＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．【分析】解析：（1）在乙家批发更优惠；（2）当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．【分析】（1）分别求出在甲、乙两家批发240千克苹果所需费用，比较后即可得出结论；（2）分两种情况：①若100<x≤150时，②若x>150时，分别用含x的代数式表示出在甲、乙两家批发x千克苹果所需费用，再比较大小，列出不等式，求出x的范围，即可得到结论．【详解】（1）在甲家批发所需费用为：240×8×85%=1632（元），在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(240−150)×8×75%=1600（元），∵1632>1600，∴在乙家批发更优惠；（2）①若100<x≤150时，在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(x−50)×8×85%=6.8x+40，∵6.8x＜6.8x+40，∴师傅应选择甲家批发商所花费用更少；②若x>150时，在甲家批发所需费用为：8×85%x=6.8x，在乙家批发所需费用为：50×8×95%+(150−50)×8×85%+(x−150)×8×75%=6x+160，当6.8x=6x+160时，即x=200时，师傅选择两家批发商所花费用一样多，当6.8x＞6x+160时，即x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少，当6.8x＜6x+160时，即150＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少．综上所得：当x=200时他选择任何一家批发所花费用一样多；当100＜x＜200时，师傅应选择甲家批发商所花费用更少；当x＞200时，师傅应选择乙家批发商所花费用更少．【点睛】本题主要考查代数式，一元一次方程，一元一次不等式的综合实际应用，理清数量关系，列出代数式，不等式或方程，是解题的关键．23．（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-；（2）a=2b．【分析】（1）①按题意的运算可得方程组，即可求得a、b的值；②按题意的运算可得不等式组，即可求得p的取值范围；（2）由题意可得ax+2解析：（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-13；（2）a=2b．【分析】（1）①按题意的运算可得方程组212{4413a ba b--=-+-=，即可求得a、b的值；②按题意的运算可得不等式组，即可求得p的取值范围；（2）由题意可得ax+2by-1= ay+2bx-1，从而可得a="2b" ；【详解】（1）①由题意可得2124413a ba b--=-+-=⎧⎨⎩，解得；②由题意得，解得，因为原不等式组有2个整数解，所以，所以；（2）T（x，y）="ax+2by-1," T（y，x）="ay+2bx-1" ，所以ax+2by-1= ay+2bx-1,所以（a-2ba）x-（a-2b）y=0,（a-2b）（x-y）=0,所以a=2b24．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α –β，理由见解析.【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α –β，理由见解析.【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【问题探究】解：∠DPC=α+β如图，过P作PH∥DF∵DF∥CE,∴∠PCE=∠1=α，∠PDF=∠2∵∠DPC=∠2+∠1=α+β【问题迁移】（1）70（图1）（图2）(2) 如图1，∠DPC=β -α∵DF∥CE,∴∠PCE=∠1=β，∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．∴∠DPC=β -α如图2，∠DPC= α -β∵DF∥CE,∴∠PDF=∠1=α∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．∴∠DPC=α - β25．（1）见详解；（2）见详解；（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由见详解．【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根解析：（1）见详解；（2）见详解；（3）∠HPQ的大小不发生变化，理由见详解．【分析】（1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线AB与直线CD平行；（2）先根据两条直线平行，同旁内角互补，再根据∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，可得∠EPF＝90°，进而证明PF∥GH；（3）根据角平分线定义，及角的和差计算即可求得∠HPQ的度数，进而即可得到结论．【详解】解：（1）AB∥CD，理由如下：∵∠1与∠2互补，∴∠1＋∠2＝180°，又∵∠1＝∠AEF，∠2＝∠CFE，∴∠AEF＋∠CFE＝180°，∴AB∥CD；（2）由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF＋∠EFD＝180°．又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，∴∠FEP＋∠EFP＝1(∠BEF＋∠EFD)＝90°，2∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；（3）∵∠PHK＝∠HPK，∴∠PKG＝2∠HPK．又∵GH⊥EG，∴∠KPG＝90°−∠PKG＝90°−2∠HPK．∴∠EPK＝180°−∠KPG＝90°＋2∠HPK．∵PQ平分∠EPK，∠EPK＝45°＋∠HPK．∴∠QPK＝12∴∠HPQ＝∠QPK−∠HPK＝45°．∴∠HPQ的大小不发生变化．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、余角和补角，解决本题的关键是综合运用角平分线的定义、平行线的性质、余角和补角．。
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A．(a ＋b)(a ＋2b) ＝a2＋3ab＋ 2b2
B．(3a
＋ b)(a
＋ b)
2
2
＝3a ＋4ab＋b
C．(2a ＋ b)(a ＋ b) ＝2a2＋3ab＋b2
D．(3a ＋ 2b)(a ＋b) ＝ 3a2＋ 5ab＋2b2
23．如图，边长为 (m＋2) 的正方形纸片剪出一个边长为
拼成一个长方形 ( 不重叠无缝隙 ) ，若拼成的长方形一边长为
(1) 图中格点四边形 DEFG对应的 S＝ ________， N＝ ________， L＝ ________；
(2) 已知格点多边形的面积可表示为 S＝N＋aL＋b，其中 a，b 为常数， 若某格点多边形对应的 N＝82，L＝38，则 S 的值为 ________．
2．某中学 2016 年通过“废品回收”活动筹集钱款资助贫困中、小学生 共 23 名，资助一名中学生的学习费用需 a 元，一名小学生的学习费用需 b 元，各年级学生筹款数额及用其恰好资助中、 小学生人数的部分情况如下表：
21．已知 (x ＋y) 2＝5，(x －y) 2＝3，求 3xy－ 1 的值．
(1) 你认为图②中阴影部分的正方形的边长是多少
(2) 请你用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积； (3) 观察图②，你能写出下列三个代数式 (m＋n) 2，(m－n) 2，mn之间的等量关系吗
(4) 根据 (3) 中的结论，解决下列问题：若 a＋b＝9，a－b＝7，求 ab 的值．
◆类型四 整式乘法中的拼图问题
22．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发 现的结论是 ( )
类比归纳专题：因式分解的方法
◆ 类型一 一步 ( 提公因式或套公式 )
1．( 自贡中考 ) 多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是 (
)
A．a( a－ 4) B ．( a＋ 2)( a－ 2) C．a ( a＋2)( a－2) D ． ( a－2) 2－4
)
A．1 B． 17 C．6 D．25
19．若
1 a＋ b＝－ 4，ab＝ 2，则
a2＋ b2＝________．
20． ( 永州模拟 ) 已知 a＝2005x＋2004，b＝2005x＋ 2005， c＝ 2005x＋ 2006，则多项式 a2＋ b2＋c2－ab－bc－ ac 的值为 ________．
年级 筹款数额 ( 元)
资助贫困中 学生人数 ( 名)
七年级
4000
2
八年级
4200
3
九年级
7400
(1) 求 a，b 的值；
(2) 九年级学生筹集的钱款解决了其余贫困中、
九年级学生资助的贫困中、小学生人数分别为多少．
资助贫困小 学生人数 ( 名 )
4 3
小学生的学习费用， 求出
4．某旅行社组织一批游客外出旅游， 原计划租用 45 座客车若干辆， 但有 15 人没有座位； 若租用同样数量的 60 座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知 45 座客车租金为 每辆 220 元， 60 座客车租金为每辆 300 元，问：
b) ＝ ( a＋b)( m＋n) ．
1．( 天门中考 ) 如图，将一块含有 60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线 a，
b，c 的值．
(2) 已知 2a2＋3a－6＝ 0，求代数式 3a(2a ＋1) － (2a ＋1)(2a －1) 的值．
三、逆用乘法公式求值
9．若
1 x＝1，y＝2，则
x2＋4xy＋4y2 的值是 (
)
A． 2 B．4
10．已知 a＋b＝3，则 a2－b2＋6b 的值为 (
)
A． 6 B．9 C．12 D．15
2x＋3y＝ 5，
6．( 邵阳县一模 ) 已知
则 2016＋x＋y＝________．
x＋2y＝3，
3x＋4y＝ 2①， 7．解方程组：
4x＋3y＝5②．
3x＋y＝1＋3a①，
8．若方程组
的解满足 x＋ y＝ 0，求 a 的值．
x＋ 3y＝1－a②
◆类型四 含字母系数的方程组的运用
x＝ 2，
mx＋ny＝8，
七年级数学下册期末复习专题试题
类比归纳专题：二元一次方程组的解法选择
——学会选择最优的解法 ◆类型一 解未知数系数含 1 或－ 1 的方程组
x－ 1＝ 0，
1． ( 湘潭期末 ) 方程组
的解是 ( )
x＋ 1＝ y
x＋y＝4，
2． ( 冷水江期末 ) 方程组
的解是 ________．
2x－ y＝ 2
13．若 x＋ y＝ m， xy＝－ 3，则化简 (x －3)(y －3) 的结果是 ( ) A．12 B．3m＋ 6 C．－ 3m－12 D．－ 3m＋ 6
14．先化简，再求值： (1)( 菏泽中考 ) 已知 4x＝3y，求代数式 (x －2y) 2－ (x －y)(x ＋y) － 2y2 的值；
2．把下列多项式因式分解：
(1)(
台州中考
)
x
2
－
6x
＋
9；
(2)(
a－
b)
2
－
4b2.
(2) 试用上述方法分解因式： a2－2ab－ac＋bc＋ b2.
◆类型二 两步 ( 先提后套或需多次分解 )
3． ( 常德澧县期末 ) 把 x2y－2y2x＋y3 分解因式正确的是 (
)
A． y( x2－2xy＋y2) B ．x2y－y2(2 x－ y) C． y( x－ y) 2 D ． y( x＋y) 2
4．因式分解：【易错 6】
(1)2 a3－8a2＋8a；
(2)( 邵阳县校级期中 )16 x4－ 81y4；
(3)( y2－1) 2＋6(1 － y2) ＋ 9.
6．阅读与思考：将式子 x2－ x－ 6 分解因式．这个式子的常数项－ 6＝2×( － 3) ，一次项
系数－ 1＝ 2＋ ( － 3) ，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写
3．解方程组：
x－ y＝ 2①， (1)( 甘孜中考 )
x＋ 2y＝5②；
2x＋y＝ 3①， (2)
3x－5y＝11②．
(2) 请用不同于 (1) 中的方法解这个方程组．
◆ 类型二 解同一未知数的系数含倍数关系的方程组 5．解方程组：
5x－ 6y＝－ 1①， (1)
3x＋ 2y＝5②；
3x－4y＝－ 18①， (2)
(1) x2－ 4x＋3;
(2)4
x2＋ 12x－7.
◆*类型三 特殊的因式分解法
解题技巧专题：平行线中作辅助线的方法
5．阅读下列材料并解答问题：
将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分
◆ 类型一 含一个拐点的平行线问题
组分解法．例如： am＋an＋ bm＋bn＝( am＋bm) ＋ ( an＋bn) ＝m( a＋b) ＋n( a＋
14．解方程组
若设 x＋y＝A，x－y＝B，则原方程组可变形
2（x＋ y）＋ 4（x－y）＝ 6，
5A－3B＝2，
A＝1，
x＋y＝1， x＝1，
为 2A＋4B＝6， 解得 B＝1，再解方程组 x－y＝1， 得 y＝0. 我们把某个式子看成一个整
体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫作换元法，请用这种方
(1) 这批游客的人数是多少原计划租用多少辆 45 座客车 (2) 若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算
◆类型二 方案问题
3．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长 14 米，其他三边用篱笆围成， 现有长为 35 米的篱笆， 爸爸的设计方案是长比宽多 5 米；妈妈的设计方案是 长比宽多 2 米，你认为谁的设计合理，为什么如果按这种设计，养鸡场的面 积是多少
解题技巧专题：整式乘法及乘法公式中公式的巧用
◆ 类型一 利用公式求值
一、逆用幂的相关公式求值
1．已知 5x＝ 3， 5y＝4，则 5x＋y 的结果为 (
)
A． 7 B．12 C．13 D． 14
n2
12
2．如果 (9 ) ＝3 ，则 n 的值是 ( )
A． 4 B．3 C．2 D．1
3．若 x2n＝ 3，则 x6n＝________．
9x＋5y＝－ 3②．
◆ 类型三 利用整体思想解方程组 ( 或求与未知数相关的代数式的值 )
4．下面是老师在嘉嘉的数学作业本上截取的部分内容：
2x－ y＝ 3①， 解方程组
x＋y＝－ 12②．
解：将方程①变形，得 y＝2x－3③，……第一步 把方程③代入方程①，得 2x－(2 x－3) ＝ 3，……第二步 整理，得 3＝3，……第三步 因为 x 可以取任意实数，所以原方程组有无数个解……第四步 问题： (1) 这种解方程组的方法叫 ____________．嘉嘉的解法正确吗若不正确， 错在哪一步请你指出错误的原因，求出正确的解；
4． ( 湘潭期末 ) 已知 ax＝3，ay＝ 2，求 ax＋2y 的值．
11．( 衡阳中考 ) 已知 a＋b＝3，a－b＝－ 1，则 a2－ b2 的值为 9.
2
2
3
3
12．已知 x＋y＝3，x －y ＝21，求 x ＋12y 的值．
5．计算：－ 82015×( － 2016＋×２6.
四、利用整体思想求值
x＝2，
11．已知关于 x， y 的方程组 bx＋ay＝7 的解是 y＝1，求 a＋b 的值．
12．已知关于 x，y 的二元一次方程 ( a－1) x＋ ( a－2) y＋ 5－2a＝0，当 a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共 解．
5（x＋ y）－ 3（x－y）＝ 2，