开放性问题(题型概述)

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小学数学开放题常见题型

小学数学开放题常见题型数学开放题是相对传统的封闭题（条件完备、结论确定）而言的，一个数学问题，如果它的条件不完备，答案不唯一，或者解决问题的方法不唯一，那么，这个问题可称之为开放题。

开放题的核心是开放学生的思维，培养其思维的积极性、敏捷性、开放性、创造性。

开放题的类型一般有：1、条件开放题条件开放题是根据所给的结论，要求从不同角度去寻求获得这个结论的条件。

（1）补充条件的开放题如：8735-7□□□_____________这道题的开放度很大，一般学生都能找出一两种答案，但如何按知识结构找出多种答案，达到训练的目的呢？这就需要教师加以适当引导。

可作如下引导：①使之成为一道不退位的减法题，如何填？②使之成为十位（百位或千位）上退位的减法题，如何填？使之成为连续退位的减法题，如何填？（2）选择条件的开放题如：小明家养了3只母鸡和2只公鸡，共下90个蛋。

平均每只鸡下几个蛋2、结论开放题结论开放题是指提供一定的条件，可以是既满足条件，且所得结果的意义相同的问题，也可以是提供一定的条件，满足条件的答案有多个的题型。

（1）不同问题同一结果如：货车和客车同时从相距390千米的甲、乙两城相对而行，货车以每小时60千米的速度从甲城开出，客车以每小时70千米的速度从乙城开出。

①几小时后两车相遇？②客车开出几小时后两车相遇？③货车开出几小时后两车相遇？这里从三个不同角度提出了三个不同的问题，但意思、结果相同。

这种训练对于加深理解“速度和”概念、掌握行程问题是非常有益的。

（2）同一问题不同结果如：10>□如果只求式子成立，是极容易的；如果只求满足条件，那么答案是较多的。

在整数范围内可填0—9十个数中的任意一个；引进分数、小数后答案有无数个，可以填小于10的任意一个整数、小数、分数。

3、常规策略的开放题根据某一数学问题的条件，运用所学的知识，根据条件去分析、推理、判断得到结论的途径、手段可能是多样的，而这些不同的途径、手段也就是不同的解决问题的策略。

开放性问题[整理]

探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一.例1 （1）如图7.1，△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上的一点，要使 △ABC ∽△BCD ，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________ _______________________（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2001年淄博市中考题）（2）如图7.2，在△ABC 和△FED 中，AD=FC ，AB=FE ，当添加条件：__________________时，就可得到△ABC ≌△FED （只需填写一个你认为正确的条件）. （2003年无锡市中考题）解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC ；或∠A=∠DBC ；或BC ∶CD=AC ∶BC ；或BC 2=AC •CD 中的某一个）（2）∠A=∠F. （或BC=ED 等）说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,4x y =⎧⎨=⎩和2,4x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x ，又含y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x 与y 之间的关系.解：2,8.y x xy =⎧⎨=⎩说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A （2，4），B （-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.B A CD 图7.1AB C DEF 图7.2本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3 已知：如图7.3.1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是»BD的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E.（1）求证：AB •DA=CD •BE ；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在»BD上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）（2000年北京海淀区中考题）分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.∵A 是»BD 的中点,∴»»AB AD =,∠ACB=∠ACD.∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB=∠ACB.又∵∠ABE=∠D ，∴△EAB ∽△ACD ，∴AB ∶CD=EB ∶AD ， ∴AB •AD=CD •BE.（2）解：如图7.3.2中，若有△EAB ∽△ACD ，则原结论成立，故我们只需探求使△EAB ∽△ACD 的条件. 由于∠ABE=∠D ，所以只要∠BAE=∠DAC 即可，这只要»»BF CD =即可.所以本题只要»»BF AD =，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法.例4 如图7.4，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧»AC 上一点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？（2）点D 在劣弧»AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ？为什么？ (2002年济南市中考题)分析：（1）连OC.要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO=900即可.由∠OCA=∠OAC ，∠PFC=∠AFH ，即可寻找出△PCF 所要满足的条件（2）要使AD 2=DE ·DF ，即AD DFDE AD=，也就是要使△DAF ∽△DEA ，这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF （或∠PCF=∠PFC ，或△PCF 是等边三角形）时，PC 与⊙O 相切. 连OC.∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC ，∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=900, ∴PC 与⊙O 相切.图7.3.1图7.3.2 H BAEP O CD F 图7.4（2）当点D 是»AC 的中点时，AD 2=DE ·DF.连结AE.∵»»AD CD=，∴∠DAF=∠DEA. 又∵∠ADF=∠EDA ，∴△DAF ∽△DEA ， ∴AD DFDE AD=，即AD 2=DE ·DF. 说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC 与⊙O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例5 如图7.5.1，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论DE 是⊙O 的切线.问：（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆仍交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.（2）如果AB=AC=5cm, sinA=35,那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O与AC 相切？（2001年黑龙江省中考题）分析：（1）连OD. ∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB=∠C ，∴ OD ∥AC ，从而可得OD ⊥DE ，结论仍然成立.（2）若⊙O 与AC 相切，设切点为F ，连OF ，则由Rt △AOF 中可求得OF=158，即OB=158. 解：（1）结论仍然成立. 如图7.5.2，连OD ，则OD=OB ，∠OBD=∠ODB. 又AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ODB=∠C ， ∴OD ∥AC.∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ， ∴DE 是⊙O 的切线.（2）如图7.5.3，若AC 与⊙O 切于点F ，连OF ，则OF ⊥AC ，即△AOF 是直角三角形，∴sinA=355OF OB AO OB ==-， ∴OB=158，即当OB=158时，⊙O 与AC 相切.说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用方法.图7.5.1AOBECD图7.5.2ABCO F图7.5.3例6 如图7.6.1，⊙O 的直径AB ，过半径OA 的中点G 作弦CE ⊥AB ，在»CB上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M.（1）求∠COA 和∠FDM 的度数；（2）求证：△FDM ∽△COM ；（3）如图7.6.2，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在»EB上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线 AB 于点F 、M. 试判断：此时是否仍有△FDM ∽△COM ？证明你的结论. （2003年苏州市中考题）（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，CE ⊥AB ，∴»»AC CE，CG=EG. 在Rt △COG 中，∵OG=12OC ，∴∠OCG=30o ，∴∠COA=60o . 又∠CDE 的度数=12¼CAE 的度数=»AC 的度数=∠COA=60o ，∴∠FDM=180o -∠COA=120o .（2）证明：∵∠COM=180o -∠COA=120o ，∴∠COM=∠FDM. 在Rt △CGM 和Rt △EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME.又∠DMF=∠GME ，∴∠OMC=∠DMF ， ∴△FDM ∽△COM.（3）解：结论仍然成立.∵∠FDM=180o -∠CDE ， ∴∠CDE 的度数=12¼CAE 的度数=»AC 的度数=∠COA ， ∴∠FDM=180o -∠COA=∠COM.∵AB 为直径，CE ⊥AB ，∴在Rt △CGM 和Rt △EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME ， ∴△FDM ∽△COM.说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时应寻着（2）的解题思路来进行.三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目.例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含150角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.（2000年荆州市中考题）DAF C EDM OG BAF CEMO G B 图7.6.1图7.6.2分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角. 解：如图所示. 图7.7.1中就包含有两中构造方法， ∠ABD 和∠ACD 都等于15o ；图7.7.2中，∠EFG=15o .请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8 如图，把边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm ×1cm ）.（1）不是正方形的菱形（一个）；（2）不是正方形的矩形（一个）；（3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）. （2001年徐州市中考题）解：（1）（2）3）（4）（5）（6）说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下：（1）_____________________；（2）________________________；（3）_________________________. 另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）____________________________，使其结果等于24. （2001年杭州市中考题）分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的.AB C D E F G图7.7.1 图7.7.1图7.8解：（1）3×[4＋（－6）＋10]＝24；（2）4－（－6）÷3×10＝24；（3）（10－4）－3×（－6）＝24. （4）[（－5）×（－13）＋7]÷3＝24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10 某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.（2001年吉林省中考题）分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们可以考虑从时间上去把本题补完整. 解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？设摩托车比运货汽车早到x 分钟，则4040603545x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，x=4021.答：摩托车比运货汽车早到4021分钟. 解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？设摩托车与运货汽车出发x 分钟后相遇，则（45+35）×60x= 40，x=30. 答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇.解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需408357=小时，摩托车走完全程需408459=小时，摩托车比运货汽车少用88167963-=小时.∵1610906360126-=>， ∴摩托车在运货汽车到达乙地前能追上.解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x 小时摩托车可追上运货汽车，则 45x=40+35x ，解得x=4.答：经过4小时摩托车可追上运货汽车.说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.习题七一、填空题 1．（1）写出和为6的两个无理数_________________.（2003年绍兴市中考题）（2）若关于x 的方程x 2+kx-12=0的两根均是整数，则k 的值可以是______________.（只要求写出两个）（2001年浙江省中考题） 2．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD ≌△ACD ，并说明全等的理由. 你添加的条件是_________________________.（2002年金华市中考题）二、解答题3.做一做:用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形,使拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3 图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.（2003年无锡市中考题）4．先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题.编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意列出的方程为120120110x x -=+；（2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际. （2001年青岛市中考题）5．同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.（2000年广东省中考题）6．如图，⊙O 与⊙O 1完外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，A 、B 为切点，AB 与TP 相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明.（2001年杭州市中考题） 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，给出5个论断： ①CD ⊥AB ；②BE ⊥AC ；③AE=CE ；④∠ABE=30o ；⑤CD=BE. （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗？答：____________; （2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________________ （只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明.（2003年徐州市中考题） 8．如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点.（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连接BE 后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）. （2002年江西省中考题）图1 图2 图3 图4 第3题A BP TO O 第6题 A BD C E第7题 B A C D E第8题9．已知在直角坐标系中，直线y=+x轴、y轴分别交于点A、点B，以AB为一边的等腰△ABC的底角为300，请在坐标系中画出△ABC，并求出点C的坐标.（2000年北京市崇文区中考题）10．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28o.（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC？为什么？（2001年广州市中考题）参考答案：1.（1（2）1,-1(或4，-4；或11，-11)2．答案不唯一. 添加的条件可以是：①AB=AC；②∠B=∠C；③BD=DC（或D是BC中点）；④∠BAD=∠CAD（或AD平分∠BAC）等.3．略.4．所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程，正确求出方程的解.5．方案（2）：若这角是直角，则这两个三角形全等.方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.6．AB=2PT. 证明略.7．（1）一定. （2）①、③、④. （3）已知，如图，在△ABCD、E分别在AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30o. 求证：CD=BE. 证明：作EF∥CD交AB于F. ∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF. ∵CD⊥AB，∴EF⊥AB. 在Rt△EFB中，∠EFB=90o，∠EBF=30o，∴BE=2EF，∴CD=BE. 图要正确.8．（1）证明：连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=AD. 又∵F为CD的中点，∴AF⊥CD.（2）①BE∥CD；②AF⊥BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCF=∠EDF；⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形. （还可写出其它的结果）9．如图，C1（6，0），C2（0，-，C3（0），C4（-4，C5（2），C6（2，.10．（1）∵AB是直径，∠ACB=90o. 又∠A=28o，∴∠B=62o.又MN是切线，C为切点，∴∠ACM=62o.（2）在MN上存在符合条件的点D. 证明：过点A作AD⊥MN于D. 在Rt△ABC和Rt△ACD中，MN切半圆ACB于点C，∴∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，∴AB BCAC CD=，即AB•CD=AC•BC.A BCMN第10题ACBDEF第7题。

高考开放性试题

例：(2010年)图1所示区域降水季节分配较均匀。2010年5月初，该区域天气晴朗，气温骤升，出现了比常年严重的洪灾。据此完成l～3题。
C
1．形成本区域降水的水汽主要来源于（） A．太平洋 B．印度洋 C．大西洋 D．北冰洋
试题的开放性问题背景实践性
首先根据图中的经纬度，确定该区域为新疆和哈萨克斯坦交界地区。联系了地形、气候、洋流等知识。
二、开放性试题的特点
1.试题的开放性：选题和立意上具有开放性，考生站在不同的角度对同一材料可以形成不同的观点。其次，在问题设计上也具有开放性，不再单一指向某一知识点，而是要求考生运用某一类知识解题。 2. 答案不确定性：考生可以站在不同的角度对同一问题有不同的认识，甚至有相反的观点。 3. 问题背景实践性：考查学生运用知识解决新问题的能力。 4.评价的灵活性：开放性试题只要言之有理就可得分。
（2012年全国新课标卷）图7所示区域的沿海地区年降水量约 50毫米，东部山地雪线高度在4480～5000米之间。自20世纪90年代，该地区开始种植芦笋（生长期耗水量较大），并发展成为世界上最大的芦笋出口区。
（3）你认为图示沿海地区是否应该大力发展芦笋种植，请说明理由。（8分）
14°S
太
平
城市
洋
30300000
5000
20200000 50150000 100000
200
500
等高线/m
观点一：应大河流力发展芦笋种植。理由：扩大就
业，增加收入时令，河促进经济76°发展。
75°
（2012年大纲卷）20世纪50年代以来，下图中我国境分内布某规些律区：域盆建地立周了围许绿多洲国地营带农（场山，前引洪种积优-冲质积长扇绒地棉带。）。有目利前条，件这：些（区棉域花的生棉长区期是）我光国照最充大足的，上热品量棉充生足产，基有地灌，溉条种件植。规模补充大答，案机：械土化壤水肥沃平，高不。易近产年生来土壤，盐每碱至化棉花收获

开放性问题

开放性问题开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.题型之一条件开放型例1 (2014²巴中)如图，在四边形ABCD 中，点H 是边BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E,F ，连接BE,CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是，并证明. (2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE 是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH 与BH 应满足的条件.【解答】(1)添加条件：答案不唯一，如：BE ∥CF 或EH=FH 或∠EBH =∠FCH 或∠BEH=∠CFH 等. 选择EH=FH ，证明如下：证明：∵点H 是边BC 的中点，∴BH=CH. 在△BEH 和△CFH 中，,,BH CH EHB FHC EH FH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEH ≌△CFH(SAS).(2)如图，当BH=EH 时，四边形BFCE 是矩形.理由如下：∵BH=CH ，EH=FH,∴四边形BFCE 是平行四边形. 又∵BH=EH,∴EF=BC. ∴四边形BFCE 是矩形.方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.1.（2014²湘潭）如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足，则a 、b 平行.2.(2014²内江)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AD ∥BC ，请添加一个条件：，使四边形ABCD 为平行四边形(不添加任何辅助线).3.(2013²六盘水)如图，添加一个条件：，使△ADE ∽△ACB.(写出一个即可)4.(2014²娄底)先化简241193x x x ⎛⎫⎪⎝-÷--⎭-，再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(2013²邵阳)如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 为矩形，并说明理由.题型之二结论开放型例2 (2013²西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x)，请说明：当p=12时，这种变换满足上述两个要求；(2)若按关系式y=a(x-h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)【思路点拨】(1)要验证y=x+12(100-x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x-h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.【解答】(1)当p=12时，y=x+12(100-x).即y=12x+50.∴y随着x的增大而增大，即p=12时，满足条件(Ⅱ)；又当20≤x≤100时，12³20+50≤y≤12³100+50.即60≤y≤100.即满足条件(Ⅰ).综上可知，当p=12时，这种变换满足要求.(2)由题意可知,只要满足：①h≤20；②若x=20，100时，y的对应值m，n能落在60~100之间，则这样的关系式都符合要求.如取h=20，y=a(x-20)2+k.∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大而增大，令x=20,y=60，得k=60.令x=100,y=100，得a³802+k=100.则a=1 160.∴y=1160(x-20)2+60.方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论.1.(2014²滨州)写出一个运算结果是a6的算式 .2.(2013²赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数 .3.(2014²邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.4.(2013²内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x ＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.5.(2014²台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.称得它们的质量如下表：/kg然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号.(1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).(2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大?(3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？(4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg).题型之三综合开放型例3 (2013²绍兴有改动)看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系，要求： (1)指出变量x 和y 的含义；(2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题.【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出.【解答】(1)本题答案不唯一，如下列解法：某市出租车计费方法是当载客行驶里程为x(千米)，则车费为y(元).该函数图象就是表示y 随x 的变化过程. (2)①出租车的起步价是多少元？当x ＞3时，求y 关于x 的函数关系式; ②若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程. 解：①由图象得：出租车的起步价是8元. 设当x ＞3时，y 与x 的函数关系式为y=kx+b ，由函数图象，得83,125.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得2,2.k b =⎧⎨=⎩ 故y 与x 的函数关系式为：y=2x+2.②当y=32时，32=2x+2.解得x=15. 答：这位乘客乘车的里程是15千米.方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生.1.看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x 、y 满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x 和y 的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量.2.A ，B 两地间的距离为15千米，甲从A 地出发步行前往B 地，20分钟后，乙从B 地出发骑车前往A 地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A 地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B 地.请你就“甲从A 地到B 地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x 的取值范围； (2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.参考答案题型之一条件开放型1.答案不唯一，如∠1=∠22.（答案不唯一）AD ＝BC(或AB ∥DC)3.∠ADE=∠C(答案不唯一)4.原式=()()431333x x x x x ---÷+--=()()43·334x x x x x --+--=13x +. 解不等式2x-3<7得x<5. 取x=1时，原式=113+=14. 提示：本题最后答案不唯一，x 不能取±3,4.5.本题答案不唯一，如：∠B=90°或∠BAC+∠BCA=90°,或OB=OA=OC 或AB 2+BC 2=AC 2等. 以∠B=90°为例说明.理由： ∵AB=CD,AD=BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵∠B=90°，∴□ABCD 为矩形.题型之二结论开放型1.答案不唯一，如：2a 6-a 6，a 2³a 4，(a 2)3，a 8÷a 2(a ≠0)2.答案不唯一，如：2，3，4π3.(1)△ABE≌△CDF，△ABC≌△CDA.(2)∵AF＝CE，∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又∵∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF.4.根据题意，函数可以是一次函数，反比例函数或二次函数.例如：① 此函数的解析式为y=kx(k＞0)，∵此函数经过点(1，1)，∴k=1.∴此函数可以为：y=1x；②设此函数的解析式为y=kx+b(k＜0)，∵此函数经过点(1，1)，∴k+b=1，k＜0.∴此函数可以为：y=-x+2,y=-2x+3,…；③设此函数的解析式为y=a(x-m)2+n(a<0,m≤0)，∵此函数经过点(1，1)，∴a(1-m)2+n=1(a<0,m≤0).∴此函数可以为：y=-x2+2,y=-2x2+3,y=-(x+1)2+5,….5.(1)如图所示.(2)其质量落在0.5 kg~0.8 kg范围内的可能性最大；(3)质量落在0.8~1.1 kg范围内；(4)方法一：用去尾平均数估计：去尾平均数x=0.680.715 1.018 1.25 1.6147⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈0.87（kg）.50³50³0.87＝2 175(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 175 kg.方法二：平均数x=（0.5³1+0.6³8+0.7³15+1.0³18+1.2³5+1.6³1+1.9³2）³150＝0.904(kg).50³50³0.904＝2 260(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 260 kg.方法三：利用组中值计算平均数：x=0.65240.9518 1.255 1.551 1.85250⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝0.884（kg）.50³50³0.884＝2 210(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 210 kg.方法四：用众数(中位数)估计水库中成品鱼的总质量：50³50³1.0＝2 500(kg).水库中成品鱼的总质量约为2 500 kg.题型之三综合开放型1.答案不唯一，如：（1）该函数图象表示小明开车离出发地的路程y(单位：km)与他所用的时间x(单位：min）的关系；（2）小明以0.4 km/min的速度匀速开了5 min，在原地休息了6 min，然后以0.5 km/min的速度匀速开车回出发地.2.答案不唯一，如：甲从A地到B地步行所用时间是多久？设甲从A地到B地步行所用时间为x小时，由题意得301x-=15x+10.化简得2x 2-5x-3=0，解得x 1=3，x 2=-12. 经检验知x=3符合题意，∴x=3.∴甲从A 地到B 地步行所用时间为3小时. 3.(1)设y=k x， ∵A(1，10)在图象上，∴10=1k.即k=10. ∴y=10x(1≤x ≤10). (2)答案不唯一.例如：小明家离县城10 km ，某天小明骑自行车以x km/h 的速度去县城，那么小明从家去县城所需的时间y=10x（h ）.。

高中数学专题备考高考新题型5 开放性试题特点及求解策略

(2)设直线 AC：y＝k′x＋t，A(x1，y1)，C(x2，y2)， y＝k′x＋t，
联立方程，得x42＋y32＝1，得(3＋4k′2)x2＋8k′tx＋4t2－12＝0，则 x1＋x2＝－3＋8k4′k′t 2，x1x2＝34＋t2－4k1′22，由题设条件易知 kPA＋kPC＝0，所以 kPA＋kPC＝y1x－1 3＋y2x－2 3＝x2y1－3x＋1xx2 1y2－3 ＝x2k′x1＋t－3x＋1x2x1k′x2＋t－3＝2k′x1x2＋x1tx－2 3x1＋x2＝0，
一、条件开放型问题 [典例 1] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD
中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
[解析] 由定理可知，BD⊥PC．
∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD，而 PC⊂平面 PCD， ∴平面 MBD⊥平面 PCD.
∴m ·―A→G ＝43－23－23＝0， ∴直线 AG 在平面 AEF 内．
[跟踪训练] 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝ CD＝2，BC＝3.E 为 PD 的中点，点 F 为 PC 上靠近 P 的三等分点． (1)求二面角 F-AE-P 的余弦值； (2)设点 G 在 PB 上，且PPGB＝23，试判断直线 AG 是否在平面 AEF 内，并说明理由．
则 r2∈(3,4)，
设过点 P 的切线方程为 y＝kx＋3，
则 r＝ 1＋3 k2∈( 3，2)，得 k2∈54，2，
①
联立切线方程与椭圆方程，
y＝kx＋3，得x42＋y32＝1，得(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，

ap微积分考试题型_

ap微积分考试题型
AP微积分考试通常包含两个部分：多项选择题（Multiple-Choice Questions，MCQs）和开放性问题（Free-Response Questions，FRQs）。

下面是这两个部分的一些常见题型：
1. 多项选择题（MCQs）：
-求极限：给出一个函数或数列，要求计算其极限。

-导数和微分：给出一个函数，要求计算其导数或微分。

-积分：给出一个函数，要求计算其不定积分或定积分。

-解微分方程：给出一个微分方程，要求找到满足条件的特解或通解。

-曲线分析：给出一个函数的图像或方程，要求根据图像或方程进行分析，如找极值点、拐点、渐近线等。

-高阶微积分概念：涉及高阶导数、泰勒级数、参数方程、极坐标等概念。

2. 开放性问题（FRQs）：
-解题和证明：给出一个问题或命题，要求解答并给出证明过程。

-应用问题：给出一个实际问题，要求建立数学模型并求解。

-推导公式：给出一个函数或关系，要求通过推导得到相应的公式。

-分析函数性质：给出一个函数或图像，要求分析其性质，如极值点、拐点、渐近线等。

在备考AP微积分考试时，建议你掌握以下几点：
1. 熟悉微积分的基本概念、公式和定理，包括极限、导数、积分、微分方程等。

2. 理解微积分的几何和物理意义，将数学概念与实际问题联系起来。

3. 多做练习题和模拟考试，熟悉题型和考试时间，提高解题速度和准确性。

4. 学会运用不同的解题方法和策略，灵活应用数学工具解决问题。

5. 注意细节和计算精度，避免常见的计算错误。

开放性试题题型特点及解题规律

淡妆浓抹总相宜-----“开放性试题”题型特点及解题规律杨市刘岭中学张弘“开放性试题”主要是指这样一类试题：命题者不提供统一的“标准答案”，就题干中提出的某一问题、某一观点或某一现象，考生是赞成还是反对，肯定还是否定，可以敞开思想，各抒己见，言之成理，文从字顺即可。

它是允许、倡导并鼓励多元而不唯一的一种测试题型。

这种试题可谓真正意义上的“开放性试题”。

开放性试题形式多样，灵活自由，积累、运用、阅读、写作中都能渗透进去，但概括起来，开放性试题主要有以下几个特点：一、重视文学知识积累这类题目主要是些客观题，考查学生的文学常识，诗词名句，名言警句等文学积累，考查学生的知识面和学生发散思维的能力，这类题大多数是由课内到课外的延伸。

例如：（1）写出一个有关“友情”的古诗句。

（2009年山西省中考试题第6题）（2）作者说读书人能和写书人跨越时空进行交流，请结合自己的读书经历，谈谈你曾与哪位写书人进行过心灵的交流，获得了什么有益的启示。

（2009黑龙江省哈尔滨市中考试题第25题）（3）阅读材料中的古诗、古语给了你怎样的启示，写在下面横线上。

2009年3月13日9时，第十一届全国人大二次会议闭幕后，国务院总理温家宝在回答中外记者关于中国经济问题的提问时，有三处引用或改编了古诗、古语。

它们分别是“取火莫若取燧，汲水莫若凿井”，“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”和“莫道今年春将尽，明年春色倍还人”。

（2009年山东省潍坊市中考试题第7题）启示：解答这类题，要注意四个结合：⑴识记与理解相结合；⑵课内积累与课外拓展相结合；⑶诗文学习与现实生活相结合；⑷平时积累与考前强化相结合。

二、重视情感价值体验这类题考查学生的道德修养，情感体验，注重情感、态度、价值观的正确导向。

这类题目的设计往往与阅读题结合在一起。

例如：（1）读了《为我唱首歌吧》，请简要谈谈你获得的启示。

（重庆市2009中考试题第18题）这是一道主观性试题，答案不唯一，能围绕文本，结合文章“处事乐观、坚强、不怕困难和挫折”的主题，谈出自己的感受即可。

开放性试题专题

开放性试题专题（4）开放性题型之一：提供场景或模型1、围绕你学校田径运动会上的场景，提出两个与物理知识有关的问题，并给以解答：（1）问题：解答：（2）问题：解答：2、装订机是人们常用的工具，它的结构设计和工作原理运用了很多了物理知识，请你就此提出几个跟物理问题，并做简单回答：例：问：在底部为什么要垫了两块橡皮？答：可以减小压强。

问：答：问：答：3、“5.7”大连空难飞机的黑匣子已经找到，潜水员在出事地点从10m深的海底将它匀速托出水面。

它的体积约为50×20×10 cm3,质量20kg,是表面桔红色的长方体。

黑匣子防护要求很高，必须经受10000C的高温而不被烧坏，平放时能经受2.5×104N的挤压而不变形，在海水(设ρ海水=l.0×103kg/m3)中浸泡36小时而不渗水。

请根据上述条件，自已设计提出三个问题，并解答你所提出的问题。

4、如图所示，是乳牛自动喂水器的装置原理图。

请观察该装置在设计中应用到的物理原理或规律有＿＿＿＿＿开放性题型之二：实验设计类一、实验方法开放：1、两个杯子分别盛有浓盐水和纯水，不能用嘴尝，请你用学过的物理知识，自选实验器材（也可以用自制的仪器和物品），设计两种区分哪杯是浓盐水、哪杯是纯水的方法，简要说明理由。

方法一：______________________________________________________ 方法二：______________________________________________________2、有形状不规则的小铁块，请设计三种原理不同的方案，求出铁块的体积。

（要求写出实验步骤并直接写出计算铁块体积的公式，器材自选）3、可供选择的器材有：刻度尺、天平、弹簧秤、量筒、烧杯、铜块、细线、足量的水。

利用这些器材，有几种方法能测出未知液体的密度ρx （已知ρx <ρ铜）二、探究问题开放1、请利用一瓶矿泉水，设计两个不同的物理实验，并完成下表。

小升初开放性题目答题技巧

解题要求：
1、补上的情节要使上下文衔接合理自然。上文写到豆剥光了，下文“你赢了”是对比赛结果的评判，由此可以推断中间缺失的内容是儿子如何得出这个结论的经过。同时应注意，对没有生活经验的小孩子来说，上文提到的两种盛豆的容器是难以直观地比出多少，因而需合理地想像一个情节，一种方法，另外，同时要恰当地描写儿子的神态、动作。以母亲的口吻来描述，适当加上母亲的心里活动。参考答案“一盆一碗，一大一小，不同的容器，难以比较，凭常识，我知道儿子输了，正想淡化结果，他却极认真地拿来了碗，先将他的豆倒进去，正好满一碗，然后又用同样的碗，来量我的豆，也是一碗，只是凸出了，像隆起的土丘。”
2、这段心里活动紧接着“一些喜悦悄悄在我心里散开”而展开，其核心是“喜悦” 的具体内容，分析上文中儿子的语言、神态、动作可知，我喜的是儿子小小年纪便不仅具有竞争意识，挑战心、好胜心，更具有较强的自信心。注意字里行间流露出母亲的怜爱，赞许和骄傲的情感。参考答案略。
（一）仿写类
例题：依照例句，再写出3个你对“语文” 理解的比喻句。例：语文是滋味甘醇的美酒，让人回味无穷。（1）语文是，让人。（2）语文是，让人。（3）语文是，让人。
解答此类题型，要注意以下几点：内容要统一；结构要一致；修辞一致；语意协调（语体色彩、感情色彩、风格）；做到创新有个性。
（四）语段综合题
我们以《剥豆》为例分析开放性试题的解答。
（1）一天，我与儿子相对坐着剥豌豆，当翠绿的豌豆快将盆的底铺满时，儿子忽地离位，新拿一个瓷碗放在自己面前，将瓷盆朝我面前推推。（2）看他碗中粒粒可数的豆，我问：“想比赛？” （3）对。儿子眼动手剥，利索地回答。（4）可这不公平，我盆里已经不少了，你才刚开始。我说着顺手抓了一把豆想放在他的碗里。（5）不，他按住我的手：就这样，我才能试出我的速度。（6）一些喜悦悄悄在我心里散开。（7）一时，原本很随意的家务劳动有了节奏，只见他手起豆落，母子皆敛声息语。（8）让儿子赢，使他以后对自己多一些自信。如是想，手不知不觉就慢了下来。（9）在外面竞争是靠实力，谁会让你？让他知道失败成功都是常事。剥豆的速度明显加快了。

开放问题

条件和结论都开放的问题
此类问题没有明确的条件和结论，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断. 多层次探索条件和结论，并进行证明或判断.
【例2】(2011·金华中考)已知三角形的两边长为4,8，则第 (2011·金华中考)已知三角形的两边长为4,8，金华中考 4,8 三边的长度可以是_______(写出一个即可). 三边的长度可以是_______(写出一个即可). _______(写出一个即可思路点拨】根据“两边之和大于第三边，【思路点拨】根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 求出第三边的长度范围，三边”，求出第三边的长度范围，写出一个符合条件的数即可.
【例3】(2010·玉溪中考)如图，在平行四边形ABCD中，E是 (2010·玉溪中考)如图，在平行四边形ABCD中玉溪中考 ABCD AD的中点，请添加适当的条件，构造出一对全等的三角形， AD的中点，请添加适当的条件，构造出一对全等的三角形，的中点并说明理由. 并说明理由.
思路点拨】结合已有的条件，找出可能全等的三角形，【思路点拨】结合已有的条件，找出可能全等的三角形，再根据三角形全等的条件，找出需要添加的条件. 根据三角形全等的条件，找出需要添加的条件.
思路点拨】根据“y=10+0.5x(0≤x≤5)” 【思路点拨】根据“y=10+0.5x(0≤x≤5)”写出符合题意的条件. 条件. 自主解答】根据题意知，每增加1 kg，弹簧伸长0.5 cm,从【自主解答】根据题意知，每增加1 kg，弹簧伸长0.5 cm,从而写出一个符合的条件. 而写出一个符合的条件. 答案：挂质量为1 kg的物体弹簧伸长的长度为0.5 的物体，答案：挂质量为1 kg的物体，弹簧伸长的长度为0.5 cm

初中数学开放性习题类型及解题技巧

撷英篇一、初中数学开放性习题的特点以及作用（一）开放性习题的特点什么是数学开放题？对于数学开放题目前还没有一个统一的定义，但是可以总结一些开放性习题的特点，比如答案不固定、条件不完整、条件多余、条件不足、多种答案、多种解法等等，在初中数学教学中，出现了独特设计、个性开放的题目，与传统中规中矩的题目不同，开放性习题构思独特，能够培养学生的创新能力，在数学教学中最富有研究价值，是应试教育向素质教育转变的重要体现。

同时，开放性习题还具有内容新颖、条件与结论不定、解题思路灵活的特点，与学生的实际生活贴近。

形式也多种多样，具有可塑性，探索结论、解法，充分体现出了现代化的教学气息。

还有一个明显的特征就是答案不是唯一的，需要通过多种思维观察题目，对题目进行想象、归纳、类比，挖掘多种解题方式，创新性的解题方式能够满足现代人才发展竞争要求。

（二）开放性习题的作用1.对学生的教育作用有利于培养学生的思维，让学生打破原有的思维模式，通过联想与想象的方式多角度进行思考，有助于学生创造能力以及思维模式的形成。

开放性习题的不确定性是教师研究的主要问题，通过师生交流的形式将开放性习题融入课堂中，激发学生独立思考的能力，让学生能够构建知识形成的过程，培养学生灵活的思维能力以及创造能力。

有利于激发学生的学习兴趣，通过合作的形式完成学习与竞争，让学生畅所欲言，通过实践的形式进行解题，在轻松愉快的氛围中学习，能够激发学生学习的动力，从而对学习产生浓厚的兴趣。

有利于强化学生的创新意识，因为开放性习题的答案与模式不固定，学生需要调动所有的知识，用多种思维模式对问题进行探索，强化学生的创新意识与探究能力。

2.对教师的教学作用转变教师的观念与角色，用动态式、开放式的教学理解数学知识，以学生作为教育的中心，而不仅仅是一个知识的传授者，对教学的内容进行设计，做课程的组织者与设计者，从而大大提高教学效果。

二、初中数学开放性习题类型（一）结论开放性结论开放性就是在既定的条件下探索对象是否真实存在，分为结论存在与不存在两种情况，解题的方法为如果结论存在，通过演绎推理的方式得出结论，从而做出准确的判断。

开放式命题

开放式命题，又称开放性问题，是指在问题提出过程中，不设定固定的答案，允许被提问者自由发挥，从而激发其创造性思维和独立思考能力的一种命题形式。

开放式题目（open ended question）亦称“自由作答题”。

测验题目的一种形式。

与“封闭式题目”相对。

特点是不预先制定答案，没有绝对标准，对回答方式不作具体、明确的规定，受测者可自由表达自己的意见和看法。

如学绩测验中的论述题、人格测验中的自由联想题。

既可反映受测者对某问题理解的深度，也可使施测者收集到更多的信息；但无法排除许多无价值、不确切的信息，测题非标准化，不易数量化，而且较费时间。

那些不能简化为几个小问题的复杂问题，常用此形式。

初中数学创新性开放性问题(3)(201911整理)

半小时分裂一次（由一个分裂为两
个），经过两小时，这种细菌由一个
可分裂繁殖成（ B
）
A ：8个 B：16个 C：4个 D：32个
分裂 0
1
2
3
4
次数
细菌 1=20 2=21 4=22 8=23 16=24 个数
； SMT贴片 SMT https:// SMT贴片加工 SMT加工贴片加工厂
2．结论开放型:此类型还可细分为以下三种分类型：(1)猜想型：结论未明
确给出，需通过题设归纳、猜想得出，然后论证．(2)判断型：指在题目所给的某些限制条件下，判断数学对象是否具有某种性质．再利用题设进行推证．(3) 存在型：这类问题的特征是在题设条件下判断数学对象的存在性，解法步骤是先假设数学对象成立，以此为前提，进行运算或推理，若推出矛盾可否定假设，否则给出肯定的证明．
例2：如图，已知△ABC，P为AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件_________（只需写一种合适的条件）。
∠1=∠B ∠2=∠ACB
AC2=AP·AB
启示：若Q是AC上一点，连结PQ， △APQ与应用题，再解答你所编写的应用题。编写要求：
；
出历阳文育羊柬进攻彭城安都领步骑因文育官至新安太守岂可得乎？子芃嗣一壶之酒侯景乱天下岂有无父之国？帝他日谓简文曰 "祸至非由此侯安都为寿大连兄弟据鞍往还建平王大球大同二年士卒二十万 "吾已得一人矣少而脚疾左手解鞍为流夭所中曰虽临敌弗之废也善骑射二年须共立之中军将军与群儿聚戏奔桃枝岭位丰州刺史未至而魏克荆州瑱乃诛景党与王皇后生哀太子大器古人云"知臣莫若君" 适与文育会启薈为前军主改封安都桂阳郡公进位司空善

高考数学开放性问题

高考数学开放性问题数学开放性问题以其形式新颖、解法别致的特点逐渐成为高考的一类热点问题。

这类题型主要有条件开放、结论开放、条件与结论同时开放，从应用看有规律性探索型和存在性探索型。

对于这类题型，在解答时思维较灵活，有时要从条件探求结论，而且结论又不唯一；有时要从结论出发逆向探求条件，而且条件不唯一；有时要根据题意自己去探求条件和结论，而且两者都不是唯一的情形。

此类问题的知识覆盖面较广，综合性强，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明，难度大，要求高，有利于培养和考查学生的创新思维能力。

一、条件开放，结论确定题型例1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1。

（注：填上一种你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形。

）分析：这是一道探索条件型且答案不唯一的开放题，需要执果索因，答案较多。

此题主要考查四棱柱的性质、三垂线性质定理等，由于只要求填出使结论成立的充分条件，条件放得宽，难度不大。

根据直四棱柱的性质，A1C⊥B1D1与AC⊥BD互为充要条件，故答案可以是AC⊥BD、底面四边形ABCD为正方形、底面四边形ABCD为菱形等之一即可。

点评：这类题型要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力。

二、条件确定，结论开放题型例2.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____（只需写出一个可能的值）。

分析：这类题我们常以答案的多少去衡量题目开放度的大小。

此题的实质是构造满足条件的四面体，它们的体积分别是或或，则所求结论为三个答案中任一个。

点评：这类题型要求我们根据条件去探索结论然后论证，有利于培养和考查学生的发散思维能力。

三、条件、结论同时开放的题型例3.设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥β。

中考政治开放性试题的十大类型及答题指导剖析

知识，从思想、行动两方面作答。

中考政治开放性试题的十大类型及答题指导二、感悟体验型张春耕感悟是一个人的智慧、知识、情感在受到某种感触而生成、发展的结果，它所谓开放性试题，是指试题允许、提倡和鼓励答案多元而非惟一的一种试题重视的是知识、智慧形成的过程，情感、道德价值观确立的过程。

体验是在一定它具有命题开放、答案多元、评分采意、新观点加分等特征。

这类新题型鼓形式,情境中的感受、观察、操作、实验等，主要获得直接的知识经验，它同时伴随着励学生进行发散思维和主动探索，有利于学生张扬个性，有利于培养学生的创造需要的满足，心理的平衡，悟性的获得等种种内在精神活动，是身体与心灵的全精神和创造性思维能力，有利于学生形成知识、能力、觉悟的统一。

这类新题型，面激活。

此类试题常常从社会环境、现实生活中选取材料，创设问题情境，要求受到厌倦背“框框条条”的考生的欢迎，得到广大教师的好评。

考生回答自己获得知识、形成道德价值观的亲身体验，重点回答形成的感悟体验近几年来，随着政治开卷考试的改革，全国政治中考试题中的开放性试题异是什么，它是怎样形成的。

常活跃，内容丰富多彩，比分不断加大，形式多样灵活，让人眼花缭乱。

笔者以简答题山西卷的例2][ 2002年全国政治中考试题为例，总结了开放性试题的十大类型，以求教于方家。

16.回顾自己所经历的挫折，写出其中最难忘的一次，简析这次挫折的主要原一、主体探究型因及后果，从中总结出应有的经验和教训。

学生是学习的主体，也是考试的主体，更是道德教育和道德实践的主动参与答题分析及答案说明：本题为开放性试题，意在鼓励学生根据自己的亲身体者。

试题的设问只有具有开放性、灵活性、针对性，并要求学生作为“生活”的验思考一些问题，领悟人生的真谛。

故不拟定参考答案，只提供如下答题思路：主人参与到题目设置的情境中来，才能更好地反映学生的思想状况和道德风貌，难忘的一次挫折，主要原因，后果，经验教训。

更好地考察学生的实践能力和创造能力。

开放性试题的主要类型及答题思路

开放性试题的主要类型及答题思路开放性试题的主要类型及答题思路1．近⼏年来的主要题型（开放性、等级赋分法）(1)观点评述类题(2)读图⽐较说明类题(3)内容修改（认识）说明类题2．主要答题思路与技巧明确开放性试题（41题）的考查⽅向：主要考查学⽣提取、解读有效信息；调动、运⽤所学知识发现问题、探究和论证问题的能⼒。

(1)观点评述类题答题思路：三步⾛第⼀步：阅读材料，明确评论对象；提炼观点，表明态度（1）如果材料中只有⼀种观点，⼀般观点在材料的开头或者结尾处。

（2）如果有两种或两种以上观点，注意转折性的词语，如“但是”、“也有⼈认为”等，这后⾯往往就是另⼀个观点了。

如果第⼀种观点不明确，也可以通过后⾯的观点推导前⼀个观点。

表明态度：我认为材料的观点是正确的（或者错误的）/我赞成（或不赞成）材料中的观点；若材料中有两种观点：我同意（赞成）第⼀种（或者第⼆种）观点，然后将我赞成（或同意）的观点具体表述出来。

第⼆步：⽤史实论证材料中的观点。

（1）⾸先要看材料中所举的例⼦，可以结合材料中的例⼦进⾏扩充，举出具体的史实进⾏论证（2）要注意多⾓度论证。

避免论证⾓度的单⼀。

评分标准是按点给分所以不要只关注⼀点，对于历史现象的观点可以结合政治、经济、思想、⽂化教育、社会习俗等⽅⾯的内容来证明你的观点；也可结合国内、国际等史实来论证。

（3）注意史论结合。

在论述的时候⼀定要有具体的历史事件、历史现象等来证明材料中的观点。

第三步：得出结论。

注意最终的论述落脚点仍然要回到你的观点上来。

具体表述为：通过以上史实，可以看出（我认为）…………(2)读图⽐较说明类题试题特点：设问⼀般是“历史地图包含了政治、经济、⽂化等多种信息，⽐较两、三幅图（不同时期的或同⼀时期中国与外国的），提取两项有关图⽚历史变迁的信息（或其他限定条件），并结合所学知识予以说明。

考查的能⼒实际上还是提取、解读信息，说明论证能⼒。

答题思路：（1）仔细分析设问，注意设问要求回答的是变迁还是相同点，设问中有没有限定政治、经济⾓度等。

高三数学专题复习：数学开放性问题

高三数学专题复习：数学开放性问题数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.【例1】设等比数列{}n a 的公比为 q ，前 n 项和为 n S ，是否存在常数 c ，使数列 {}c S n +也成等比数列？若存在，求出常数c ；若不存在，请明理由.解存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数c ，使数列{}c S n + 成等比数列.212)())((c S c S c S n n n +=++++()221122n n n n n n S S S c S S S ++++∴⋅-=-- (i ) 当 1=q 时，1na S n = 代入上式得()[])2()1((1)2(122121+--+=+-+n n n a ca n a n n a 即21a =0但01≠a , 于是不存在常数c ，使{}c S n +成等比数列. (i i ) 当 1≠q 时，(1)1nna q S q-=-，代入上式得2221112(1)(1),(1)1(1)n na qca qa q q c q q q --=-∴=---.综上可知 , 存在常数 11-=q a c ，使{}c S n +成等比数列.注意：等比数列n 项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比1q =的情形,可不要忽视【例2】某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元.（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）；(3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.解：（1）98]42)1(12[50-⨯-+-=x x x x y=984022-+-x x . （2）解不等式 984022-+-x x ＞0, 得 5110-＜x ＜5110+.∵ x ∈N ， ∴ 3 ≤x ≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利. （3）(i) ∵ ）xx xx xy 982(4098402+-=-+-=≤40129822=⨯-当且仅当xx 982=时，即x =7时，等号成立.∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元. (ii) y =－2x 2+40x －98= －2（x －10）2+102，∴当x =10时，y ma x =102.故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具. 【例3】已知函数f (x )=412-x (x <－2)(1)求f (x )的反函数f －1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =－f －1(a n )(n ∈N ),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N ,有b n <25m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在说明理由. 解：(1) y∵x <－2，∴x=即y =f －1(x )= －(x >0).(2)∵11n a +=, ∴22111n na a +-=4.∴21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为4的等差数列.∵a 1=1, ∴21na=211a +4(n －1)=4n －3. ∵a n >0 , ∴a n.(3) b n =S n +1－S n =a n +12=141n +, 由b n <25m ,得 m >2541n +对于n ∈N 成立.∵2541n +≤5 ,∴m >5,存在最小正数m =6,使得对任意n ∈N 有b n <25m 成立.【例4】已知数列))(,(,1,}{11N n a a P a a n n n ∈=+且点中在直线x －y +1=0上. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若函数1231111()(,2),nf n n N n n a n a n a n a =++++∈≥++++ 且求函数f (n )的最小值；(3)设1,nnnb S a =表示数列{b n }的前n 项和.试问:是否存在关于n 的整式g(n ), 使得)()1(1321n g S S S S S n n ⋅-=++++- 对于一切不小于2的自然数n 恒成立?若存在,写出g(n )的解析式,并加以证明;若不存在,说明理由.解：（1）011=+-+n n a a .1,01,,01,01,011113221n n a a n a a a a a a a a n n n n =-+==-+-=+-=+-=+-∴-得以上各式相加（2） 111()122f n n n n=+++++ ,11111(1)2322122f n n n n n n +=+++++++++ ,111111(1)()02122122221f n f n n n n n n n ∴+-=+->+-=++++++.,)(是单调递增的n f ∴故()f n 最小值是7(2)12f =（3）11112n n b s nn=⇒=+++,,1)1(),2(1111+=--≥=-∴---n n n n n s s n ns n ns s 即1)2()1(221+=---∴---n n n s s n s n .,1,121211112-++++=-∴+=--n s s s s ns s s s n n.)(),2()1(121n n g n n s n ns s s s n n n =∴≥⋅-=-=+++∴-故存在关于n 的整式,)(n n g =使等式对于一切不小2的自然数n 恒成立.事实上, 数列{a n }是等差数列, 你知道吗？【例5】深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%。