开放性问题(题型概述)

开放性问题

【题型特征】一个数学问题系统中,通常包括已知条件、解题依据、方法和结论.如果这些部分齐备,称之为封闭性问题.若不完全齐备,称之为开放性问题,数学开放题就是指那些条件不完整,结论不确定,解法不限制的数学问题,它的显著特点是正确答案不唯一.

常见的开放性问题有:(1)条件开放型;(2)结论开放型;(3)策略开放型;(4)综合开放型.

【解题策略】(1)条件开放型,指结论给定,条件未知或不全,需要探求结论成立的条件,且与结论成立相对应的条件不唯一的数学问题.这类开放题在中考试卷中多以填空题形式出现.

解条件开放型问题的一般思路是:由已知的结论反思题目应具备怎样的条件,即从题目的结论出发,挖掘条件,逆向追索,逐步探求,最终得出符合结论的条件.这是一种分析型思维方式.

(2)结论开放型,指条件充分给定,结论未知或不全,需要探求,整合出符合给定条件下相应结论的一类试题.这类开放题在中考试卷中,以解答题居多.

解结论开放型问题的一般思路是:充分利用已知条件或图形特征,进行猜想、归纳、类比,透彻分析出给定条件下可能存在的结论,然后经过论证作出取舍.这是一种归纳类比型思维方式.

(3)策略开放型,是指题目的条件和结论都已知或部分已知,需要探求解题方法或设计解题方案的一类试题.这类开放题在中考试卷中,一般出现在阅读题、作图题和应用题中.

解策略开放型问题的处理方法一般需要模仿、类比、实验、创新和综合运用所学知识,建立合理的数学模型,从而使问题得到解决.这是一种综合性思维.

(4)综合开放型,是指条件、结论、解题方法中至少有两项同时呈现开放形式的数学问题.这类问题往往仅提供一种问题情境,需要我们补充条件,设计结论,并寻求解法的一类问题.

解综合开放型问题要求我们对所学知识特别熟悉并能灵活运用.

类型一条件开放型

典例1(2014·云南)写出一个图象经过一、三象限的正比例函数y=kx(k≠0)的表达式(表达式).

【解析】∵正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)的图象经过一、三象限,

∴k>0.

比如k=1.故答案可以为y=x.

【全解】y=x.

【技法梳理】解答条件开放题主要根据“执果索因”的原则,多层次、多角度地加以思考和探究.

解题的关键是掌握正比例函数图象的性质:它是经过原点的一条直线.当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.举一反三

1. (2014·江苏连云港)若函数的图象在每一象限内,y随x的增大而增大,则m的值可以是.(写出一个即可)

2. (2014·江苏淮安)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使得四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是(只填写一个条件,不使用图形以外的字母和线段).

(第2题)

【小结】解答条件开放题掌握概念、性质和判定是解题的关键.

类型二结论开放型

典例2(2014·浙江金华)写出一个解为x≥1的一元一次不等式.

【全解】答案不唯一,只要根据不等式的解法,求其解集为x≥1即可.例如x-1≥0.

举一反三

3. (2014·吉林)如图,OB是☉O的半径,弦AB=OB,直径CD⊥AB.若点P是线段OD上的动点,连接P A,则∠P AB的度数可以是.(写出一个即可)

(第3题)

4. (2014·甘肃天水)写出一个图象经过点(-1,2)的一次函数的表达式.

【小结】结论开放题与常规题的相同点是:它们都给出了已知条件(题设),要求寻求结论;区别是前者的条件一般较弱,结论通常在两个以上,解答时需要发散思维和分类讨论等思想方法的参与,而后者答案一般只有一个,解题目标大多比较明确.

类型三策略开放型

典例3(2014·山东淄博)如图,在正方形网格中有一边长为4的平行四边形ABCD,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩形.(要求:在答题卡的图中画出裁剪线即可)

【解析】

【技法梳理】策略开放题通常是指设计类或几何类开放题,这类题大多因为解决问题的方法、策略有多种,造成多个答案各具特色,解答时应根据优劣选择出最佳解答.

举一反三

5. (2014·湖北荆门)如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形,并涂上阴影,使这两个格点正方形无重叠面积,且组成的图形是轴对称图形,又是中心对称图形,则这个格点正方形的作法共有().

(第5题)

A. 2种

B. 3种

C. 4种

D. 5种

【小结】解策略型开放题时,要对已有条件进行发散联想,努力提出满足条件和要求的各种方案和设想,并认真加以研究和验证,直至完全符合要求为止.解决这类问题时往往需要利用分类讨论思想,作多方面设计与思考.

类型四综合开放型

典例4(2014·山东威海)猜想与证明:

如图(1)摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD 上,连接AF,若M为AF的中点,连接DM,ME,试猜想DM与ME的关系,并证明你的结论.

拓展与延伸:

(1)

(2)

(1)若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为.

(2)如图(2)摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF 的中点,试证明(1)中的结论仍然成立.

【解析】猜想:延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.

(1)延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明,

(2)连接AE,AE和EC在同一条直线上,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半证明.

【全解】猜想:DM=ME.

证明如下:如图(1),延长EM交AD于点H,