三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题

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三角函数知识点及题型归纳

三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。

一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。

按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。

2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。

用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。

3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。

4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。

二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。

四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。

性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。

2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。

性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。

高中数学《三角函数》详解+公式+精题(附讲解)

高中数学《三角函数》详解+公式+精题（附讲解）引言三角函数是中学数学的基本重要容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个容。

其考查容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。

两倍角的正弦、余弦、正切。

、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。

要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。

了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。

由于新教材删去了半角公式，和差化积，积化和差公式等容，近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质，以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。

2．近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。

每年有 2 — 3 道选择题或填空题，或 1 — 2 道选择、填空题和 1 道解答题。

总的分值为 15 分左右，占全卷总分的约 10 左右。

（ 1 ）关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与 y=sinx 的图象关系。

根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。

如 2000 年第（ 5 ）题、（ 17 ）题的第二问。

（ 2 ）求值题这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换。

如 2002 年（ 15 ）题。

（ 3 ）关于三角函数的定义域、值域和最值问题（ 4 ）关于三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）。

一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。

如 2001 年（ 7 ）题。

（ 5 ）关于反三角函数， 2000 — 2002 年已连续三年不出现。

（ 6 ）三角与其他知识的结合（如 1999 年第 18 题复数与三角结合）今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置，放在第一题的可能性最大，难度不会太大。

高考数学超解题技巧之三角函数

高考数学解题技巧之三角函数
在高考考场上，一分可以决定命运，分数对于考生来说十分的重要，但是碰到有些题目真的不会怎么办？不会做就这放弃吗？不！不会做也要多拿一些分，组合教育张老师今天来教大学如何解答三角函数。

三角函数题
第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式y=Asin(ωx+φ)，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。

求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=ωx+φ的范围，然后可以直接画y=sinu的图像，避免画平移的图像。

这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。

技巧：
三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)cosA之类的先边化角，然后把第一题算出的角边的值结合特殊值法带入求解，比如已解出角A等于60°直接假设B和C都等于60°带入求解，省时省力！
如高三学生需要复习图书，可选择组合教育《题型全归纳》《30分钟拿下选择题》《临门一脚》《黄金预测卷》等复习用书。

高中数学解题技巧之三角函数求解

高中数学解题技巧之三角函数求解在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，涉及到许多与角度相关的问题。

在解题过程中，我们经常会遇到需要求解三角函数的值或方程的问题。

本文将介绍一些解决这类问题的技巧和方法，并通过具体的题目来说明考点和解题思路。

一、求解三角函数的值1. 利用特殊角的值：我们可以利用特殊角的值来求解一些常见的三角函数。

例如，对于正弦函数，我们知道sin(0°)=0，sin(30°)=1/2，sin(45°)=√2/2，sin(60°)=√3/2，sin(90°)=1。

通过记忆这些特殊角的值，我们可以在解题过程中快速求解三角函数的值。

例题1：求解sin(150°)的值。

解析：由于150°可以表示为30°+120°，根据三角函数的和差公式，我们有sin(150°)=sin(30°+120°)=sin30°cos120°+cos30°sin120°=1/2*(-1/2)+√3/2*√3/2=-1/4+3/4=1/2。

2. 利用三角函数的周期性：三角函数具有周期性，即sin(x+360°)=sin(x)，cos(x+360°)=cos(x)。

因此，如果我们需要求解一个角度超过360°的三角函数的值，可以通过减去整数倍的360°来化简问题。

例题2：求解sin(420°)的值。

解析：由于420°可以表示为360°+60°，根据三角函数的周期性，我们有sin(420°)=sin(60°)=√3/2。

3. 利用三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

因此，如果我们需要求解一个负角的三角函数的值，可以通过利用奇偶性来化简问题。

数学三角函数解题技巧

数学三角函数解题技巧
数学中的三角函数是指正弦、余弦、正切等函数，这些函数在解决三角形相关问题时非常常见。

然而，对于一些学生来说，解决三角函数问题可能会感到困难。

以下是一些解决三角函数问题的技巧：
1. 理解三角函数的定义：在开始解决三角函数问题之前，应该先理解三角函数的定义。

例如，sinθ代表角度θ的正弦值，cosθ代表角度θ的余弦值，tanθ代表角度θ的正切值。

2. 记住基本三角函数值：在解决三角函数问题时，有时需要知道一些基本的三角函数值，例如sin30°、cos60°、tan45°等。

因此，记住这些基本的三角函数值是很重要的。

3. 使用三角函数的周期性：三角函数具有周期性，因此角度值可以加上或减去360°，不会改变其三角函数值。

因此，如果问题涉及到不同的角度值，可以考虑使用该角度值的周期性。

4. 使用三角函数的反函数：三角函数的反函数可以用于求解一些问题，例如求一个角度的值，使得其正弦值等于0.5。

在这种情况下，可以使用反正弦函数（arcsin）。

5. 应用三角函数的性质：三角函数具有许多性质，例如sinθ+cos
θ=1，tanθ=sinθ/cosθ等。

在解决三角函数问题时，可以使用这些性质简化问题。

总之，掌握这些技巧可以帮助学生更加轻松地解决三角函数问题。

当然，要熟练掌握这些技巧还需要多做练习，加深对三角函数的理解。

三角函数的应用题解题技巧

三角函数的应用题解题技巧三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于各种实际问题的解决中。

掌握三角函数的应用题解题技巧，对于学习数学和解决实际问题都非常关键。

本文将介绍一些常见的三角函数应用题解题技巧，帮助读者更好地理解和应用三角函数。

一、角度与弧度的转换在解决三角函数应用题时，常常需要在角度和弧度之间进行转换。

角度和弧度是衡量角的两个不同的单位，转换它们能够使问题更简单。

一般而言，角度与弧度的转换关系为：1 π 弧度 = 180°根据这个关系，可以使用简单的比例关系来进行转换。

例如，将角度转换为弧度的公式为：弧度 = 角度× π/180二、正弦函数的应用正弦函数在解决三角应用题时是常用的工具之一。

在解决直角三角形的问题时，可以利用正弦函数求解未知边长或角度。

常见的解题步骤如下：1. 确定给定条件，包括已知边长和角度。

2. 根据问题描述，确定所需求解的未知量，将其表示为 x。

3. 利用正弦函数的定义：sin(θ) = 对边/斜边，建立方程sin(θ) = x/已知边长。

4. 解方程，求得未知量 x 的值。

三、余弦函数的应用余弦函数也是解决三角函数应用题时常用的工具之一。

在解决问题时，可以利用余弦函数求解未知边长或角度。

常见的解题步骤如下：1. 确定给定条件，包括已知边长和角度。

2. 根据问题描述，确定所需求解的未知量，将其表示为 x。

3. 利用余弦函数的定义：cos(θ) = 邻边/斜边，建立方程cos(θ) = x/已知边长。

4. 解方程，求得未知量 x 的值。

四、切函数的应用切函数也是解决三角函数应用题时常用的工具之一。

在解决问题时，可以利用切函数求解未知边长或角度。

常见的解题步骤如下：1. 确定给定条件，包括已知边长和角度。

2. 根据问题描述，确定所需求解的未知量，将其表示为 x。

3. 利用切函数的定义：tan(θ) = 对边/邻边，建立方程tan(θ) = x/已知边长。

高三理科数学培优专题——三角函数(含答案)

三角函数专题一、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）注意隐含条件的应用：1＝cos 2x ＋sin 2x 。

（2）角的配凑。

α＝（α＋β）－β，β＝2βα+－2βα-等。

（3）升幂与降幂：主要用2倍角的余弦公式。

（4）化弦（切）法，用正弦定理或余弦定理。

（5）引入辅助角。

asinθ＋bcosθ＝22b a +sin (θ＋ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ＝ab确定。

2.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

二、例题集锦：考点一：三角函数的概念1.（2011年东城区示范校考试15）设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．考点二：三角函数的图象和性质2.（2014年课标I ，7）在函数①cos 2y x =，②cos y x =，③cos(2)6y x π=+，④tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A.①②③B. ②③④C. ②④D. ①③3.（2012年课标全国，9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（）A.15[,]24B.13[,]24C.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.()0,24.（2011年课标全国，11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）A. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减B. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D. ()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增5．将函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得函数()g x 的图象关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为 A ．12- B ．12C．6.（2011年东城区期末15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换7.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-（0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值.8.已知向量(cos ,sin ),a x x =r 向量(cos ,sin ),()b x x f x a b =-=⋅r r r（1）求函数()()sin 2g x f x x =+的最小正周期和对称轴方程；（2）若x 是第一象限角且'3()2()f x f x =-，求tan()4x π+的值.考点六：解三角形9．ABC ∆中，角,,A B C成等差数列是sin sin )cos C A A B =+成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10．已知函数()cos f x x =,,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且22233a b c +-4ab =，则下列不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤ B ．()()sin cos f A f B ≥C ．()()sin sin f A f B ≥D ．()()cos cos f A f B ≤ 11.（2014年课标I ，16）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .12.（2014年河南焦作联考）在ABC ∆中，已知sin sin cos sin sin cos sin sin cos A B C A C B B C A =+，若,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，则2abc 的最大值为 . 13.（2015河北秦皇岛一模，17，12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c ，满足()222.AB AC a b c ⋅=-+u u u r u u u r（1）求角A 的大小；（2）求24sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角,B C 的大小.14．（2009全国II ， 17，10分）设ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，3cos()cos 2A CB +=-，2b ac =.求B ∠的大小.14.（2015课标II ，17，12分）△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆的面积是ADC ∆面积的2倍. （1）求sin sin BC∠∠；（2）若1,2AD DC ==，求BD 和AC 的长.15、（2011东城一模15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．例题集锦答案：1.（2011年东城区示范校考试理15）如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点，O 是坐标原点，6π=∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛-6cos πα的值；（2）设函数()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ，求()αf 的值域．★★单位圆中的三角函数定义解：（Ⅰ）由已知可得54sin ,53cos ==αα……………2分6sin sin 6cos cos 6cos παπαπα+=⎪⎭⎫⎝⎛-∴………3分1043321542353+=⨯+⨯=…………4分（Ⅱ）()f OP OQ α=⋅u u u r u u u r ()cos ,sin cos ,sin 66ππαα⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭………6分ααsin 21cos 23+=………………7分 sin 3πα⎛⎫=+⎪⎝⎭………………8分[0,)απ∈Q 4[,)333πππα∴+∈………9分 sin 123πα⎛⎫-<+≤ ⎪⎝⎭ (12)分()αf ∴的值域是⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ (13)分2．（2011年西城期末理15）已知函数2()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P在角α的终边上，求()f α的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的值域.★★三角函数一般定义解：（Ⅰ）因为点(1,P 在角α的终边上，所以sin α=，1cos 2α=， ………………2分所以22()22sin cos 2sin f αααααα=-=-………………4分21(2(32=⨯-⨯=-. ………………5分（Ⅱ）2()22sin f x x x =-cos 21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-， ………………8分因为[,]63x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分所以()f x 的值域是[2,1]-. ………………13分 3.（2011年东城区期末理15）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2x π∈上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362T πππ=-=，所以T =π． ……2分所以2ω=．当6x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅+=，因为||2ϕπ<，所以6ϕπ=． ……5分所以()f x 的解析式为()sin(2)6f x x π=+． ………6分（Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π=-=+-sin 2cos cos 2sin cos 266xx x ππ=+- 12cos 22x x =- sin(2)6x π=-． ……10分因为02x π≤≤，所以52666x πππ-≤-≤．当262x ππ-=，即3x π=时，()g x 有最大值，最大值为1；当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为12-．……13分2T =相邻平衡点（最值点）横坐标的差等；2||T =πω ；()max min 12y y A =- ;φ----代点法 4．（2010年海淀期中文16）已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：（1）22cos 16sin2cos 6cos2sin )(xx x x f ++-=ππ...3分（只写对一个公式给2分） 212sin 23+=x ....5分由1)(=θf ，可得332sin =θ ......7分所以θθθ2sin 21cos sin =⋅ ......8分 63= .......9分（2）当Z k k x k ∈+≤≤+-,22222ππππ，换元法 ..11即Z k k k x ∈++-∈],4,4[ππππ时，)(x f 单调递增.所以，函数)(x f 的单调增区间是Z k k k ∈++-],4,4[ππππ... 13分5.（2011年丰台区期末理15）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求()4f π的值；（Ⅱ）当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．解：（Ⅰ）()sin 2cos 212sin(2)14f x x x x π=--=--ωωω． ω意义 ……4分因为 22T π=，所以 T =π，1ω=． ……6分所以 ()2sin(2)14f x x π=--．所以 ()04f π= ………7分（Ⅱ）()2sin(2)14f x x π=--当 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 32444x πππ-≤-≤，无范围讨论扣分所以当242x ππ-=，即8x 3π=时，max ()21f x =-， …10分当244x ππ-=-，即0x =时，min ()2f x =-． ………13分6、（2011朝阳二模理15）已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R .（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分 sin 2cos2=+x x ……………………………………2分π2sin(2)4x =+. 和差角公式逆用 ………………3分（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==. ……………………………………5分令πππ2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88k x k -+≤≤.所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ[π, π]88k k -+ ()k ∈Z . ……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sin cos 23x f x x =+=， …………………9分两边平方，得021sin 29x += 同角关系式所以 07sin 29x =-…………11分因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π2(, )22x π∈-. 所以20742cos 21()99x =--=. ……………………………………13分解法二：因为0ππ(, )44x ∈-，所以0ππ(0, )42x +∈. …………………………9分又因为000ππ2()2)2)2244x x f x =⋅+=+=，得 0π1sin()43x +=. ……………………………………10分所以20π122cos()1()43x +=-=……………………………………11分所以，00000πππcos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444x x x x x π=+=+=++ 122422339=⋅⋅=. 诱导公式的运用7、（2011东城二模理15）（本小题共13分）已知πsin()410A+=，ππ(,)42A∈．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sin sin2f x x A x=+的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A<<，且πsin()410A+=，πcos()410A+=-．ππππcos()cossin()sin4444A A+++31021025=-⋅+=．所以3cos5A=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A=．212sin2sinx x=-+2132(sin)22x=--+，x∈R．因为sin[1,1]x∈-，所以，当1sin2x=时，()f x取最大值32；当sin1x=-时，()f x取最小值3-．所以函数()f x的值域为3[3,]2-．8．（2011年朝阳期末理15）已知△ABC中，2sin cos sin cos cos sinA B C B C B=+.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)A A=m，12(, 1)5=-n，求当⋅m n取最小值时，)4tan(π-A值.解：和差角公式逆用所以2sin cos sin()sin()sinA B B C A A=+=π-=. ……… 3分因为0A p<<，所以sin0A¹.所以1cos2B=. ……… 5分3Bπ=. …………7分（Ⅱ）因为12cos cos25A A⋅=-+m n，………………… 8分所以2212343cos2cos12(cos)5525A A A⋅=-+-=--m n. …10分所以当3cos5A=时，⋅m n取得最小值.同角关系或三角函数定义……12分所以tan11tan()4tan17AAAπ--==+. …………… 13分9．（2011年石景山期末理15）已知函数23cossinsin3)(2-+=xxxxf()Rx∈．（Ⅰ）求)4(πf的值；（Ⅱ）若)2,0(π∈x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC∆中，若BA<，21)()(==BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2-+=ππππf21=． 4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf-=+232sin21-xxx2cos232sin21-=)32sin(π-=x．…6分2π<<xΘ，32323πππ<-<-∴x．∴当232xππ-=时，即125π=x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ）Θ)32sin()(π-=xxf，若x是三角形的内角，则π<<x令21)(=xf，得解得4π=x或127π=x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA<且21)()(==BfAf，∴4π=A，127π=B，∴6π=--π=BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin 4sinsin sin ==ππ==C A AB BC ． ……13分 10、（2011东城一模理15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =ABC 面积的最大值．解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=，所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅．边化角整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅．所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=．在△ABC所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b cbc bc +-=≥- 均值定理在三角中的应用所以20bc ≤，当且仅当b c=时取“=” ．取等条件别忘所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为 ……………………13分11、(2011丰台一模理15). 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b 2+c 2-a 2=bc ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x x x f +=，当)(B f 取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为b2+c 2-a 2=bc 可得cos A =12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分) ……3分 ∵，（或写成A 是三角形内角） ……………………4分 ∴3A π=．……………………5分（Ⅱ）2cos2cos 2sin 3)(2x x x x f +=11cos 222x x =++ …7分 1sin()62x π=++， ……9分∵3A π=∴2(0,)3B π∈（没讨论，扣1分）…10分 ∴当62B ππ+=，即3B π=时，()f B 有最大值是23． …11分又∵3A π=， ∴3C π= ∴△ABC 为等边三角形． ……13分12、(2011海淀一模理15). （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ； (Ⅱ)求ABC ∆的面积. 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B C B C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分因为180A B C =--o , …………………4分角关系 ………5分（II ）因为0180A <<o o ，由（I ）结论可得：135A =o . …………………7分因为11tan tan 023BC =>=>，所以090C B <<<o o . …………8分所以sin B =sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a = …………………11分所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分 13、（2011石景山一模理15）．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且274sin cos222A B C +-=．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin sin A B +的最大值．解：（Ⅰ）∵ A 、B 、C 为三角形的内角， ∴ π=++C B A ．∵ 三角形中角的大小关系∴ …………2分 ∴ 27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C ．即 021cos 2cos 22=+-C C ． ……4分∴ 21cos =C ．又∵ π<<C 0 ， ∴ 3π=C ． …7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得 32π=+B A ．∴ A A A sin 32cos cos 32sinsin ⋅-⋅+=ππ)6sin(3cos 23sin 23π+=+=A A A ．…10分 ∵ 320π<<A ，∴ 6566πππ<+<A ．∴ 当26ππ=+A ，即 3π=A 时，B A sin sin +取得最大值为3．…………13分。

高中三角函数解题技巧

高中三角函数解题技巧
一、了解基本概念
在解题过程中，首先需要了解三角函数的基本概念，包括正弦、余弦、正切等。

熟悉三角函数的定义和性质，能够帮助我们理解和
解决相关的问题。

二、掌握基本公式
掌握三角函数的基本公式对于解题非常重要。

例如，正弦函数
的基本公式是sinθ = 对边/斜边，余弦函数的基本公式是cosθ = 邻
边/斜边。

熟练运用这些公式，可以更快速地求解三角函数的值。

三、利用特殊关系
在解题过程中，有时可以利用三角函数的特殊关系简化问题。

例如，利用正弦函数和余弦函数的关系sin(π/2-θ)= cosθ，可以将一
个三角函数转换为另一个三角函数，从而简化计算过程。

四、利用三角函数的周期性
三角函数具有周期性，即在一定范围内的值是重复的。

例如，
正弦函数和余弦函数的周期都是2π。

利用这一特性，我们可以根
据给定角度的范围，将角度转化为对应周期内的角度，便于计算和
比较。

五、解三角方程
解三角方程是高中三角函数解题的重要内容。

通过对方程两边
进行一系列变换和化简，可得到与角度相关的等式。

掌握解三角方
程的一般方法和技巧，能够解答各种类型的问题。

六、练和总结
要掌握三角函数解题技巧，需要进行大量的练。

通过多做题目，积累经验，总结规律，逐步提高解题能力。

总结：
通过了解基本概念、掌握基本公式、利用特殊关系和周期性、
解三角方程以及进行练习和总结，我们能够提高在高中数学中解决
三角函数相关问题的能力。

希望这些技巧能对你有所帮助！。

数学初中必考三角函数知识点解析与解题技巧分享

数学初中必考三角函数知识点解析与解题技巧分享【数学初中必考三角函数知识点解析与解题技巧分享】数学是一门基础学科，也是让许多初中生望而生畏的学科之一。

在数学的各个领域中，三角函数是一个至关重要的知识点。

本文将对初中数学中的三角函数进行解析，并分享一些解题技巧，帮助同学们更好地掌握这一知识。

一、初识三角函数在学习三角函数之前，我们先来了解一下三角函数的概念。

三角函数是描述角与边之间关系的函数。

在初中数学中，我们主要学习正弦函数、余弦函数和正切函数。

1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数是指一个角的对边与斜边之比，即sinA=对边/斜边。

2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数是指一个角的邻边与斜边之比，即cosA=邻边/斜边。

3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数是指一个角的对边与邻边之比，即tanA=对边/邻边。

二、基本公式与性质掌握三角函数的基本公式与性质是解题的基础。

以下是几个常用的公式与性质：1. 三角函数的定义域：sin、cos、tan的定义域都是全体实数。

2. 周期性：sin、cos、tan都具有周期性，且周期为360度（或2π弧度）。

3. 奇偶性：sin为奇函数，cos为偶函数，tan为奇函数。

4. 正交关系：在单位圆上，对于任意的角A，sin A与cos A是正交的。

5. 三角函数的和差化简公式：例如sin(A±B)、cos(A±B)等，可以通过这些公式将角度和简化成单一的角度。

三、解题技巧分享在解题过程中，我们可以运用一些技巧来帮助我们更快地解题。

以下是一些常用的解题技巧：1. 利用基本三角函数的性质，将复杂的三角函数化简成简单的三角函数。

例如利用和差化简公式将一个角化简为两个角，再利用基本三角函数的值进行计算。

2. 将角度转化为弧度制。

在一些题目中，我们需要将角度转化为弧度制进行计算，此时需要注意弧度和角度的换算关系。

常用的换算关系是：1°=π/180。

三角函数例题和知识点总结

三角函数例题和知识点总结一、三角函数的基本概念在数学中，三角函数是一类重要的函数，它们描述了三角形中边与角之间的关系。

首先，我们来了解一下角度的度量。

角度可以用度（°）或弧度来表示。

一个完整的圆周对应的角度是 360°，而用弧度表示则是2π 弧度。

接下来，我们认识一下常见的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）。

正弦函数sinθ 表示在直角三角形中，对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。

二、三角函数的基本公式1、同角三角函数的基本关系sin²θ ＋cos²θ ＝ 1tanθ ＝sinθ ／cosθ2、诱导公式例如：sin(π θ) ＝sinθ ，cos(π θ) ＝cosθ 等三、三角函数的图像和性质1、正弦函数 y ＝ sin x 的图像是一个周期为2π 的波形，其值域为-1, 1，在 x ＝π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝3π/2 ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。

2、余弦函数 y ＝ cos x 的图像也是一个周期为2π 的波形，值域同样为-1, 1，在 x ＝2kπ （k 为整数）时取得最大值 1，在 x ＝π ＋2kπ （k 为整数）时取得最小值－1。

3、正切函数 y ＝ tan x 的图像其周期为π，定义域为x ≠ π/2 ＋kπ （k 为整数），值域为 R 。

四、三角函数的例题例 1：已知sinθ ＝ 08，且θ 在第一象限，求cosθ 和tanθ 的值。

因为sin²θ ＋cos²θ ＝ 1，所以cosθ ＝√（1 sin²θ) ＝√（1 08²) ＝06 。

tanθ ＝sinθ ／cosθ ＝ 08 ／ 06 ＝ 4 ／ 3 。

例 2：求函数 y ＝ 2sin(2x ＋π/3) 的周期和振幅。

三角函数中三角变换常用的方法和技巧例题及答案

三角函数公式的应用1、已知tan()34πα+=-，求22sin cos sin sin cos 1ααααα-+的值。

解：∵tan()14tan tan()2441tan()4παππααπα+-=+-==++， ∴222222sin cos 2sin cos 2tan 47sin sin cos 1sin sin cos sin cos 2tan tan 1ααααααααααααααα===-+-++-+ 点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。

2、已知α为第二象限角，且15sin 4α=，求πsin 4sin2cos 21ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭++的值．解：原式22(sin cos )2(sin cos )22sin cos 2cos 4cos (sin cos )αααααααααα++==++当α为第二象限角，且15sin 4α=时，sin cos 0αα+≠，1cos 4α=-，所以πsin 242sin2cos 214cos αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-++．评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．3、求值：︒︒︒+︒-480sin 20sin 220sin 820sin 433 解：原式：＝︒︒-︒-20sin 3)20sin 21(20sin 432＝︒︒︒-20sin 340cos 20sin 43 =︒︒︒-︒+︒20sin 340cos 20sin 4)2040sin(2=︒︒︒-︒︒20sin 320sin 40cos 20cos 40(sin 2＝︒︒-︒20sin 3)2040sin(2＝332 4、化简βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222-+。

解：原式βαβαβα2cos 2cos 21)2cos 1)(2cos 1(41)2cos 1)(2cos 1(41-+++--= )2cos 2cos 2cos 2cos 1(41)2cos 2cos 2cos 2cos 1(41βαβαβαβα+++++--=βα2cos 2cos 21- 212cos 2cos 21)2cos 2cos 1(21=-+=βαβα 5.求值（21cos 80o —23cos 10o ）·1c o s 20o 解：∵21cos 80o —23cos 10o ＝2222cos 103cos 80cos 80cos 10o o o o －＝223cos 10sin 10o oo o o o （cos10+3sin10）（cos10－sin10）＝22cos10cos 10sin 10o o o o o o o o o o 4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10）＝24sin 40sin 201sin 204o o o ＝16sin 40sin 20oo ＝32cos20o ∴原式＝32 6.已知k =++αααtan 12sin sin 22 )24(παπ<<，试用k 表示ααcos sin -的值。

三角函数解题技巧和公式

浅论关于三角函数的几种解题技巧本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。

下面尝试进行探讨一下：一、关于)2sin (cos sin cos sin ααααα或与±的关系的推广应用：1、由于ααααααααcos sin 21cos sin 2cos sin )cos (sin 222±=±+=±故知道)cos (sin αα±，必可推出)2sin (cos sin ααα或，例如：例1 已知θθθθ33cos sin ,33cos sin -=-求。

分析：由于)cos cos sin )(sin cos (sin cos sin 2233θθθθθθθθ++-=-]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin 2θθθθθθ+--=其中，θθcos sin -已知，只要求出θθcos sin 即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。

解：∵θθθθcos sin 21)cos (sin 2-=- 故：31cos sin 31)33(cos sin 212=⇒==-θθθθ ]cos sin 3)cos )[(sin cos (sin cos sin 233θθθθθθθθ+--=- 3943133]313)33[(332=⨯=⨯+=2、关于tg θ+ctg θ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用：由于tg θ+ctg θ=θθθθθθθθθθcos sin 1cos sin cos sin sin cos cos sin 22=+=+ 故：tg θ+ctg θ，θθcos sin ±，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。

例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（）。

三角函数中的常考题型及其解法

三角函数中的常考题型及其解法三角函数中常考题型及解法：一、求解三角函数值1、求正弦函数值解法：使用正弦定理进行求解，总结如下：（1）正弦定理（用于直角三角形）：a/sinA=b/sinB=c/sinC；（2）正弦表：常记正弦值，如15°的正弦值是0.2588；（3）半角公式：sin(x/2)=±√[(1-cosx)/2]；（4）倍角公式：sin2x=2sinxcosex。

2、求余弦函数值解法：使用余弦定理进行求解，总结如下：（1）余弦定理（用于直角三角形）：a²=b²+c²-2bc·cosA；（2）余弦表：常记余弦值，如45°的余弦值是0.7071；（3）化简余弦值：常用公式或知识点化简余弦值，如极限化简，勾股定理等；（4）半角公式：cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]；（5）倍角公式：cos2x=cos²x-sin²x。

三、求解三角函数表达式1、求正弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2sin(x+π/6)的图形，可将之前已知的普通正弦图形向右移动π/6，并放大2倍；（2）也可用公式求解，如求函数y=2sin(x+π/6)，用单位正弦函数表示法，则有y=2sin(x)·cos(π/6)+2cos(x)·sin(π/6)。

2、求余弦函数表达式解法：（1）可用图像法求解，如求函数y=2cos(x+π/6)的图形，可先求出正弦函数的图像，再进行垂直翻转；（2）也可用公式求解，如求函数y=2cos(x+π/6)，用单位余弦函数表示法，则有y=2cos(x)·cos(π/6)-2sin(x)·sin(π/6)。

三角函数解题技巧和公式(已整理)技巧归纳以及练习题

例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（）。

高考数学三角部分考点及答题技巧

高考数学三角部分考点及答题技巧高考数学是高中数学学习的重点之一，而三角函数是高考数学中的一个重要考点。

本文将详细介绍三角函数部分的高考考点和答题技巧。

一、考点梳理1.角度制与弧度制的互化角度制和弧度制是两种不同的角度计量单位，在解决三角函数问题时，需要根据题目要求进行适当的单位转换。

2.三角函数的定义三角函数是解决三角函数问题的基本工具，需要熟练掌握正弦、余弦、正切等函数的定义，特别是它们的角度和长度的关系。

3.同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系是：sin2A=2sinAcosA，cos2A=cos²A-sin²A，tan2A=(2tanA)/(1-tan²A)。

这些关系式是解决同角三角函数问题的基本工具。

4.三角形中的边角关系在解三角形的问题中，需要熟练掌握边角之间的关系，如正弦定理、余弦定理等。

5.三角函数的图像和性质三角函数的图像和性质是解决三角函数问题的关键，需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质。

二、答题技巧1.掌握基本概念和公式熟练掌握三角函数的基本概念和公式是解决三角函数问题的关键。

在考试中，如果能够迅速地运用基本概念和公式解决问题，可以大大节省时间。

2.图像法求解问题对于一些比较复杂的问题，可以通过图像法来求解。

例如，在求解函数的值域、最值等问题时，可以通过画出函数的图像来找到答案。

这种方法比较直观，容易理解。

3.善用排除法检查答案在检查答案时，可以采用排除法来验证答案的正确性。

例如，如果选项中有一个明显错误的答案，就可以先将其排除，再根据其他选项进行选择。

这样可以提高答案的准确性。

4.注意细节问题在解决三角函数问题时，需要注意细节问题。

例如，在角度制和弧度制的互化时需要注意单位的转换、在求解同角三角函数的基本关系时需要关注角度的范围等。

只有注意到这些细节问题才能避免出错。

5.善于总结规律在解决三角函数问题时，要善于总结规律。

中考数学解题技巧如何解决三角函数的题目

中考数学解题技巧如何解决三角函数的题目解决三角函数的题目是中考数学中的一项重要内容，对于学生来说，熟练掌握解题技巧可以提高解题效率和准确性。

本文将为大家介绍几种解决三角函数题目的技巧，希望能对中考数学备考有所帮助。

一、化简角度在解决三角函数的题目时，角度的化简是一个常用的技巧。

通过将角度化简为特定的值，可以利用特定的三角函数值进行计算，从而简化解题过程。

例如，对于sin(π/4 + α)的题目，可以利用sin(A + B)的公式，化简为sin(π/4)cos(α) + cos(π/4)sin(α)，再利用π/4的值为√2/2，可以得到sin(π/4 + α) = (√2/2)cos(α) + (√2/2)sin(α)。

二、利用三角函数的周期性质三角函数具有周期性的特点，利用这一特性可以简化解题过程。

对于周期性函数，可以将其角度转化为对应周期内的角度，从而得到相同的函数值。

例如，对于sin(2π/3)的题目，可以利用sin(θ + 2π) = sin(θ)的性质，将2π/3转化为0～2π范围内的角度，即2π/3 = 2π/3 - 2π = -4π/3，因此sin(2π/3) = sin(-4π/3)。

三、运用三角函数的性质解决三角函数题目时，还可以利用三角函数的基本性质和平凡解法来求解。

例如，对于tan(α) = 1的题目，可以利用tan(α) = sin(α)/cos(α)的定义，将其转化为sin(α) = cos(α)的形式，然后利用sin²(α) + cos²(α) = 1的性质，得到1 = 1 - cos²(α)，进一步化简得到cos²(α) = 0，从而得到cos(α) = 0。

根据cos(α) = 0的解，可以得到α为90°的整数倍。

因此，tan(α) = 1的解为α = 45°、225°等。

四、应用正弦定理和余弦定理对于一些复杂的三角函数题目，可以运用正弦定理和余弦定理来求解。

高考数学三角函数知识点总结及练习

高考数学三角函数知识点总结及练习三角函数总结及统练本文旨在总结和统练三角函数的基础知识，包括以下内容：一、基础知识1.集合S表示与角α终边相同的角的集合，其中β=2kπ+α，k∈Z。

2.三角函数是x、y、r三个量的比值，共有六种定义。

3.三角函数的符号口诀为“一正二弦，三切四余弦”。

4.三角函数线包括正弦线MP=sinα、余弦线OM=cosα和正切线AT=tanα。

5.同角三角函数的关系包括平方关系、商数关系和倒数关系，可以用“凑一拆一，切割化弦，化异为同”的口诀记忆。

6.诱导公式口诀为“奇变偶不变，符号看象限”，其中包括正弦、余弦、正切和余切的公式。

7.两角和与差的三角函数包括正弦、余弦、正切和余切的公式，以及三角函数的和差化积公式。

8.二倍角公式包括sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cosα-sinα、tan2α=2tanα/1-tan2α，以及对应的cos、tan公式。

9.三角函数的图象和性质，包括函数y=sinx、y=cosx和y=tanx的定义和定义域。

总之，三角函数是数学中的重要概念，掌握其基础知识对于研究高等数学和其他相关学科都有很大的帮助。

对于函数 $y=\sin x$，其定义域为 $[-\pi/2,\pi/2]$，值域为$[-1,1]$。

当 $x=2k\pi+\pi/2$ 时，函数取最大值 $1$；当$x=2k\pi-\pi/2$ 时，函数取最小值$-1$。

函数的周期为$2\pi$，是奇函数。

在区间 $[2k\pi-\pi/2,2k\pi+\pi/2]$ 上是增函数，在区间$[2k\pi-\pi,2k\pi]$ 上也是增函数，其中$k\in\mathbb{Z}$。

在区间 $[2k\pi,2k\pi+\pi]$ 上是减函数。

对于函数 $y=Asin(\omega x+\phi)$，当 $A>0$ 且$\omega>0$ 时，函数图像可以通过将横坐标缩短到原来的$\dfrac{1}{\omega}$ 倍，纵坐标伸长为原来的 $A$ 倍，再将图像左移$\dfrac{\phi}{\omega}$ 个单位得到。

高考中常见的三角函数题型和解题方法-数学秘诀

第12讲三角函数一、方法技巧1.三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

（4）化弦（切）法。

（4）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

2.证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4.解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

四、例题分析例1．已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin324122221cos sin 2cos sin cos sin 2222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。

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例2 若sin θ+cos θ=m 2，且tg θ+ctg θ=n ，则m 2 n 的关系为（）。

A ．m 2=nB ．m 2=12+nC ．n m 22= D ．22mn =分析：观察sin θ+cos θ与sin θcos θ的关系：sin θcos θ=2121)cos (sin 22-=-+m θθ而：n ctg tg ==+θθθθcos sin 1故：1212122+=⇒=-nm n m ，选B 。

例3 已知：tg α+ctg α=4，则sin2α的值为（）。

A ．21B ．21-C ．41D ．41-分析：tg α+ctg α=41cos sin 4cos sin 1=⇒=αααα故：212sin cos sin 22sin =⇒=αααα。

答案选A 。

例4 已知：tg α+ctg α=2，求αα44cos sin +分析：由上面例子已知，只要αα44cos sin +能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctg α进行计算。

由于tg α+ctg α=⇒=2cos sin 1αα21cos sin =αα，此题只要将αα44cos sin +化成含sin αcos α的式子即可：解：αα44cos sin +=αα44cos sin ++2 sin 2αcos 2α-2 sin 2αcos 2α=（sin 2α+cos 2α）- 2 sin 2αcos 2α =1-2 (sin αcos α)2=1-2)21(2⨯=211-=21通过以上例子，可以得出以下结论：由于ααcos sin ±，sin αcos α及tg α+ctg α三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。

这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。

但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含ααcos sin ±的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。

这是由于（ααcos sin ±）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出ααcos sin ± 二、关于“托底”方法的应用：在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。

方法如下：例5 已知：tg α=3，求ααααcos sin 2cos 3sin +-的值。

分析：由于αααcos sin =tg ，带有分母cos α，因此，可把原式分子、分母各项除以cos α，“造出”tg α，即托出底：cos α；解：由于tg α=30cos 2≠⇒+≠⇒αππαk故，原式=013233123cos cos cos sin 2cos cos 3cos sin =+⨯-=+-=+⋅⋅-ααααααααααtg tg例6 已知：ctg α= -3，求sin αcos α-cos 2α=?分析：由于αααsin cos =ctg ，故必将式子化成含有ααsin cos 的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：1cos sin 22=+αα及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin α，造出ctg α：解：αααααααααα222222cos sin cos cos sin cos cos sin 1cos sin +-=-⇒=+α2sin ,分母同除以分子 ααααααααα22221)sin cos (1)sin cos (sin cos ctg ctg ctg +-=+- 56)3(1)3(322-=-+-+-=例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷）设20,20ππ<<<<y x ，)6sin()3sin(sin sin y x y x --=ππ且求：)3)(33(--ctgy ctgx 的值分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于20,20ππ<<<<y x ，故0sin ,0sin ≠≠y x ，在等式两边同除以y x sin sin ，托出分母y x sin sin 为底，得：解：由已知等式两边同除以y x sin sin 得：1sin sin 6cos cos 6sin sin sin 3cos cos 3sin 1sin sin )6sin()3sin(=-⋅-⇒=--yyy x x y x y x ππππππ 334)3)(33(1)3)(33(431)3)(13(411sin sin 3cos sin sin cos 341=--⇒=--⇒=--⇒=-⋅-⋅⇒ctgy ctgx ctgy ctgx ctgy ctgx y yy x x x“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。

由于αααcos sin =tg ，αααsin cos =ctg ，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。

而添加分母的方法主要有两种：一种利用1cos sin 22=+αα，把αα22cos sin +作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。

三、关于形如：x b x a sin cos ±的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用：可以从公式)sin(sin cos cos sin x A x A x A ±=±中得到启示：式子x b x a sin cos ±与上述公式有点相似，如果把a ，b 部分变成含sinA ，cosA 的式子，则形如x b x a sin cos ±的式子都可以变成含)sin(x A ±的式子，由于-1≤)sin(x A ±≤1，所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a 当成sinA ，b 当成cosA ，如式子：x x sin 4cos 3+中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA ≤1，-1≤cosA ≤1，可以如下处理式子：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±++=±x b a bx b a a b a x b x a sin cos sin cos 222222 由于1)()(222222=+++b a b b a a 。

故可设：22sin ba a A +=，则A A sin 1cos -±=，即：22cos ba b A +±=∴)sin()sin cos cos (sin sin cos 2222x A b a x A x A b a x b x a ±+=±+=± 无论x A ±取何值，-1≤sin(A ±x)≤1，22b a +-≤)sin(22x A b a ±+≤22b a + 即：22b a +-≤x b x a sin cos ±≤22b a + 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用：例1（98年全国成人高考数学考试卷）求：函数x x x y cos sin cos 32-=的最大值为（AAAA ） A ．231+B ．13-C ．231- D ．13+ 分析：x x x x 2sin 21cos sin 221cos sin =⋅=，再想办法把x 2cos 变成含x cso 2的式子：212cos cos 1cos 22cos 22+=⇒-=x x x x 于是：x x y 2sin 21212cos 3-+⋅=x x 2sin 21232cos 23-+=23)2sin 212cos 23(+-=x x 由于这里：1)21()23(,21,232222=+=+==b a b a 则 ∴23)2sin 212cos 23(1+-⨯=x x y 设：21cos ,23123sin 22===+=A b a a A 则 ∴232sin cos 2cos sin +-=x A x A y 23)2sin(+-=x A 无论A-2x 取何值，都有-1≤sin(A-2x)≤1，故231+-≤y ≤231+ ∴y 的最大值为231+，即答案选A 。

例2 （96年全国成人高考理工科数学试卷）在△ABC 中，已知：AB=2，BC=1，CA=3，分别在边AB 、BC 、CA 上任取点D 、E 、F ，使△DEF 为正三角形，记∠FEC=∠α，问：sin α取何值时，△EFD 的边长最短？并求此最短边长。