高三数学 平面解析几何

平面解析几何（附高考预测）

一、本章知识结构：

二、重点知识回顾

1．直线

(1).直线的倾斜角和斜率

直线的的斜率为k ，倾斜角为α，它们的关系为：k ＝tan α； 若Ａ（x 1,y 1），Ｂ（x ２,y ２），则1

212x x y y K AB --=

。 (2) .直线的方程

a.点斜式：)(11x x k y y -=-；

b.斜截式：b kx y +=；

c.两点式：121121x x x x y y y y --=--；

d.截距式：1=+b

y a x ； e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.

(3).两直线的位置关系

两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有

且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交。

若直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则

1l ∥2l ⇔1k ＝2k ，1l ⊥2l ⇔1k ·2k ＝－１。

（4）点、直线之间的距离

点A （x 0，y 0）到直线0=++C By Ax 的距离为：d=

2200||B A C By Ax +++。

两点之间的距离：|AB|=212212)()y y x x -+-（

2. 圆

（1）圆方程的三种形式 标准式：222)()(r b y a x =-+-，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．

一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中⎪⎭

⎫ ⎝⎛--22E D ，为圆心F E D 42

122-+为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一

个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．

参数式：以原点为圆心、

r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin ,cos r y r x （其中θ为参数）．

以（a ，b ）为圆心、r 为半径的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin ,

cos r b y r a x （θ

为参数），θ的几何意义是：以垂直于y 轴的直线与圆的右交点A 与圆心C 的连线为始边、以C 与动点P 的连线为终边的旋转角，如图所示．

三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：

2．二元二次方程是圆方程的充要条件

“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．

二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且0422>-+AF E D ”，它可根据圆的一般方程推导而得．

3．参数方程与普通方程

我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义．

要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，

3.圆锥曲线

(1).椭圆的标准方程及其性质

椭圆2222x b y a +＝１的参数方程为：⎩⎨⎧==ϕ

ϕsin cos b y a x （ϕ为参数）。

(2)双曲线的标准方程及其性质

双曲线2222x b y a -＝１的参数方程为：⎩⎨⎧==ϕ

ϕtan sec b y a x （ϕ为参数）。 (3).抛物线的标准方程及其性质

平面内，到一个定点F 和一条直线l 的距离相等的点的轨迹，

叫做抛物线。定点F 叫做抛物线的焦点，直线px y 22=叫做抛物线的准线。

四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为：()022>±=p px y ，()022>±=p py x ，其中：

① 参数p 的几何意义：焦参数p 是焦点到准线的距离，所以p 恒为正值；p 值越大，张口越大；2

p 等于焦点到抛物线顶点的距离。

②标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为x 轴时，方程中的一次项变量就是x ， 若x 的一次项前符号为正，则开口向右，若x 的一次项前符号为负，则开口向左；若对称轴为y 轴时，方程中的一次项变量就是y ， 当y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。 方程

设抛物线()022>=p px y

抛物线px y 22=的参数方程为：⎩⎨⎧==pt

y pt x 222（t 为参数）。

(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一

定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点

的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常

数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1

时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线．

4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）

(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的

a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).

b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离

c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性

(2).a.求弦所在的直线方程;;b.根据其它条件求圆锥曲线方程

(3).已知一点A 坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P 、Q ，且中点为A ，求P 、Q 所在的直线方程

(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对