第6讲矢量场的通量及散度..
矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
通量与散度(中文)
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
矢量场的通量及散度
f ) z
f
( Fx x
Fy y
Fz z
) (Fx
f x
Fy
f y
Fz
f )
z
f F f F
证明： 设：
R R3 0
R0
F R
f 1 R3
( fF ) f F F f
1 R R 1
Ψ
Fds
s
sFxdydz Fydxdz Fzdxdy
3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通
量与体积之比的极限 lim
Fd s
s
存在,我们就将它定义为P 点处F(r)
的散度（divergence），V 0 V
Fz(x,y,z+z)
+ a3zsincos（ez‧en）] ddz
所以
= 2a2zsin cos ddz
s1 F ds1
/2[a2sincos ( b 2zdz)]d
0
0
a2b2 /2 sincosd a2b2 sin 2 /2 a2b2
则
(
பைடு நூலகம்
f
F)
( x
ex
y
ey
z
ez
)(
fFx
ex
fFy
ey
fFz
ez )
x ( fFx ) y ( fFy ) z ( fFz )
(
f
Fx x
Fx
f ) ( x
f
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
矢量场的通量 散度
divA(r ) Ax Ay Az x y z
(ex
x
ey
y
ez
) z
(ex
Ax
ey
Ay
ez
Az )
A(r )
式中：
(ex
x
ey
y
ez
) z
圆柱坐标系下：
1
(er
r
e
r
ez
) zBiblioteka 哈密顿算符A(r ) 1 (rAr ) 1 A Az
r r r z
球面坐标系下：
(er
散度定理的证明
散度定理的证明
从散度定义有：
A(r ) lim s A(r ) dS lim d
V 0 V
V 0 V dV
则在一定体积V内的总的通量为：
V A(r )dV s A(r ) dS
得证！
散度的定义
在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA(r ) lim s A(r ) dS
V 0
V
散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数
矢量场的通量 散度
一、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向
二、矢量场的散度 若矢量场A(r ) 分布于空间中，在
空间中取任意曲面S，定义：
A(r ) dS S
为矢量A(r )沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
s A(r ) dS
矢量场的通量
r
e
1 r
工程数学 矢量场的通量及散度
CQU
作业：1.6、1.7 补充题：试证明
R ∇ ⋅ 3 =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
x0 , y0 , z0
e z
称“
1.3 矢量场的通量及散度
∫
dS [ Fx ( x0 + F= ∆x ∆x , y0 , z0 ) − Fx ( x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z + 2 2 ∆y ∆y [ Fy ( x0 , y0 + , z0 ) − Fy ( x0 , y0 − , z0 )]∆x∆z + 2 2 ∆z ∆z [ Fz ( x0 , y0 , z0 + ) − Fz ( x0 , y0 , z0 − )]∆x∆y 2 2 ∂F ∂F ∂F = x ∆x∆y∆z + y ∆x∆y∆z + z ∆x∆y∆z ∂z ∂x ∂y
通量源与漩涡源cqu在直角坐标系中设13矢量场的通量及散度为了定量研究场与源之间的关系需建立场空间任意点小体积元的通量源与矢量场小体积元曲面的通量的关系
1.3 矢量场的通量及散度
定义：对于空间区域 V 内的任意一点 r，若有一个矢量 F(r) 与之对 应，我们就称这个矢量函数 F(r) 是定义于V 的矢量场。 特点：1) F(r)为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； 2)占有空间性。 分类：恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。
得直角坐标式的矢量线方程
dx dy dz = = Fx Fy Fz
1.3 矢量场的通量及散度
2、矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场？
= S∫ d = 通量的概念： ψψ
CQU
引入通量的概念。
∫
S
F ⋅ dS =
∫
矢量场散度的定义与计算
1.6 矢量场的散度1. 矢量场的矢线（场线）2. 矢量场的通量3. 散度的定义4.散度的计算5.散度定理1. 矢量场的矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每+-一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称为矢线。
定义：如果在该矢量场中取一曲面S ，通过该曲面的矢线量称为通量。
表达式：d Sv Sψ=⋅⎰若曲面为闭合曲面：d Sv Sψ=⋅⎰2. 通量：讨论：a.如果闭合曲面上的总通量0>ψ说明穿出闭合面的通量大于穿入的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。
b.如果闭合曲面上的总通量0<ψ说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。
c.如果闭合曲面上的总通量=ψ说明穿入闭合曲面的通量等于穿出的通量。
定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
表达式：d div limSV F S F V∆→⋅=∆⎰3. 散度的定义：4.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
123456123456d d d d d d d SS S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
矢量场表示为：ˆˆˆx x y y z z F F aF a F a =++1S zyx6S 5S 4S 3S 2S 123456123456d d d d d d d SS S S S S S F S F S F S F S F S F S F S ⋅=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1ˆd d d ()x S y z a=-zy x F x ∆∆-=)(1在x 方向上：计算穿过和面的通量2S 1S 1S zyx6S 5S 4S 3S 2S 111ˆˆd ()()x x x S F S F x ay z a ⋅=⋅∆∆-⎰2ˆd d d x S y za=1()x F x x y z∆∆∆=+222ˆˆd ()x x x S F S F x ay za ⋅=⋅∆∆⎰21x x x=+∆其中：ˆˆˆx x y y z z F F a F a F a =++11()()xx x F F x x F x xx∂+∆=+∆∂因为：221d ()xx S F F S F x y z x y z x∂⋅=∆∆+∆∆∆∂⎰则：在x 方向上的总通量：1212d d x S S F F S F S x y z x∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰1S zyx6S 5S 4S 3S 2S 111d ()x SF S F x y z ⋅=-∆∆⎰已知：在z 方向上,穿过和面的总通量：5S 6S 5656d d ZS S F F S F S x y zz ∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰整个封闭曲面的总通量：d y x z S F F F F S x y z xy z ∂⎡⎤∂∂⋅=++∆∆∆⎢⎥∂∂∂⎣⎦⎰3434d d y S S F F S F S x y zy∂⋅+⋅=∆∆∆∂⎰⎰同理：在y 方向上,穿过和面的总通量3S 4S 1S zyx6S 5S 4S 3S 2S该闭合曲面所包围的体积：z y x V ∆∆∆=∆0d div limSV F S F V∆→⋅=∆⎰zF y F x F z y x ∂∂+∂∂+∂∂=通常散度表示为：div F F=∇⋅散度： 5.散度定理：d d SVF S F V⋅=∇⋅⎰⎰物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。
矢量场散度的定义与计算
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3.散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F Fx Fy Fz x y z
F 1 (Fr r) 1 F Fz
rR 2FR R
)
1
Rsin
(F
sin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中： F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
F S
dS
Fxx
Fy y
Fz z
xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
电磁场与电磁波第6讲基本假设库仑定律高斯定理
主讲教师：黄文
重庆邮电大学 光电工程学院 电磁场与无线技术教学部 Email: huangwen@ 办公室：老1教1403
复习
1. 矢量的乘积
A aˆA A aˆA A
aˆA
A A
A A
2. 正交坐标系
直角坐标系
任意矢量A: 位置矢量:
AABBaAn BAcBossinABAB
v EP
v q(R -
v
40 R
v R)
v - R
3
(V/m)
12
Example 3-1 p53
z 源点 Q (xu’u,uvy’,zv’) v
v
QP (R R' )
R'
v 场点 P (x, y, z)
R
O
y
x
13
2.2 库仑定律
当点电荷q2放置在另一个处于原点的点电荷q1的场中时，q2 受到q1 在q2处产生的电场强度E12的作用力是F12 。可得到
ÑS AgdS
V 0 v
v divA
v A=
Ax
Ay
Az
x y z
5. 散度定理
uv
uv uv
V divAdV ÑS Agd S
4
6. 矢量场的旋度
Ñ v
CurlA
v A @lim
Vs0
1 S
aˆn
C
v v Agdl
max
7. 斯托克斯定理
uv v
v v vv
S (Curl A) dS S ( A) dS ÑC A dl
式子表明静电场是无旋场（保守场），而不是无散度的，除非 =0。
1 0c2 107 c2 9109 (m / F) 40 4
通量和散度的概念
通量和散度的概念通量和散度是物理学中用来描述流过某一表面的物理量的概念。
它们在物理学的各个领域都有着广泛的应用，包括电磁学、流体力学和热力学等。
下面我将详细介绍这两个概念及其相关的理论和应用。
通量是一个贯穿某一表面的物理量的总量。
在物理学中，通量的概念经常用来描述一些物理量在一定时间内通过某一固定面积的流量。
通量可以是质量、能量、电荷等物理量的流量。
它的计算公式为：通量= 流量/ 时间。
通量的单位取决于所描述的物理量，例如，若是质量的通量，则单位为千克/秒；若是能量的通量，则单位为焦耳/秒。
散度是矢量场的一种性质，用来描述线、面、体积上物理量的变化情况。
矢量场是一个在空间中定义了每一个点上值与方向的矢量的场。
散度描述了一个矢量场的源头或汇聚情况，即在某一点上是否有物理量流入或流出这一点。
它的计算公式为：散度=（偏导数x方向上的分量+ 偏导数y方向上的分量+ 偏导数z方向上的分量）。
散度是一种标量场，它的大小和分布描述了物理量的变化情况，正负号则表示物理量流的方向。
如果散度为正，则表示物理量从该点流出；如果散度为负，则表示物理量流入该点；如果散度为零，则表示物理量在该点不变。
通量和散度之间有一个重要的关系，即散度定理。
散度定理是高斯定理的一种特殊形式，它表明通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内散度的体积分。
通俗地讲，散度定理说明了通过一个封闭的表面的物理量总量等于该表面内物理量的来源或消耗总量。
散度定理为物理学家提供了一个非常有用的工具，可以利用这个定理来简化复杂的物理问题的计算。
通量和散度在电磁学中具有重要的应用。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量场的形式来描述。
通量定律和散度定理是电磁场中的两个基本定律。
例如，根据电场的散度定理，通过一个封闭曲面的电场通量等于该曲面内电荷的总量除以真空介电常数。
这个定理为计算电场的分布和与电荷相互作用提供了一种简洁而有效的方法。
类似地，磁场的散度定理也可以用于计算磁场的分布以及与电流的相互作用。
6矢量分析：旋度、散度、梯度
ˆx y ˆy z ˆr, ˆz r rx
x y z r 3 x y z
4 3 3 S r ds V rdv 3V dv 3 3 r 4 r
§1 .3 环量与旋度, 斯托克斯定理
Curl, circulation, The Stokes’s theorem
这个极限的意义就是环量的面密度, 或称环量强度。
由于面元是有方向的, 它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系,
因此在给定点处, 上述极限值对于不同的面元是不同的。 为此, 引入旋度(curl或rotation):
ˆ lim Curl A n
2、旋度的物理意义
[ A dl ]max
散度可用算符 哈密顿 表示为
divA A
哈密顿
ˆ ˆ z ˆ x y x y z
拉普拉斯2
2 2 2 2 2 2 x y z
divA 0
divA 0
divA 0
正源
负源
无源
散度的基本运算公式
C 0
C为常矢量
和或差: Vector addition or subtraction
则
ˆBx y ˆBy z ˆBz Bx
ˆ( Ax Bx ) y ˆ ( Ay By ) z ˆ( Az Bz ) A B x
图 1 -2 矢量的相加和相减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。 定义：标量积A· B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
ˆ分量第一项是y→z, x
矢量场的散度
A lim Si
lim i di
i 0
i
i 0
i
d i
即
i
A dS
Si
lim (
i 0
A)
i
同理：对 i相邻的体积元 j
j
A dS
S j
lim (
j 0
A
Ax
Ay
Az
2y
x y z
A
2xyax
x2ay
于是体积分
3 21
32
AdV 0 0 0 2ydxdydz 0 0 2ydydz 12
V
z
以上计算表明：散度定理成立。
o
y
例：球面 S 上任意点的位置矢量为
恰好相反，故求和时相互抵消。结果，上式右边 的积分只剩下 i 、 j 外表面上的通量，因 此，当体积 τ 由N 个小体积元组成时，穿出体积 τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
S j
S
3
dS
A
dS endS （1-4-3）
e n 方向的确定：
• dS 是开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C，
•选绕定行dCS方是的向闭绕，合行大面方拇的向指面，指元则向，由则d右S 手e的螺n方为旋向该定，闭则也合，即面四的指e外n指法方向线向C方。的向。
1.3 工程电磁场 矢量场的通量和散度
的积分只剩下 此，当体积 τ 由N
i个小、体积j 外元表组面成上时的，通穿量出，体因积
τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
Si
证毕
即 ( A)d A dS
divA ＝0： 该点无源。
散度是标量。
2019/5/30
7
2 、散度在直角坐标系中的表示式：
divA
Ax
Ay
Az
x y z
矢量微分算子 ： “ ” 读作 nabla 或 del
ex
x
ey
y
ez
z
当作矢量看待
即
divA
(ex
A dS
divA
lim S
0
散度是标量
散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对 体积的变化率。也称为 “通量源密度”。
2019/5/30
6
讨论：
divA
lim
A dS
S
0
divA ＞0：该点有发出通量线的正源；
divA ＜0： 该点有吸收通量线的负源；
S
2019/5/30
11
例A ： e设xx球面eySy上 e任z z意, 点求的位SA置 d矢S量. 为
R
解：根据散度定理
Ad A dS
S
而 A的散度为
高数之高斯公式通量与散度
高数之高斯公式通量与散度高斯公式，也称为高斯定理或高斯‐斯托克斯定理，是矢量分析中的一个重要定理，用于计算矢量场的通量与散度之间的关系。
它是高等数学课程中的一个重要知识点，也是理解物理学、电磁学等领域中的许多现象的基础。
首先，让我们先来了解一下通量和散度的概念。
通量可以理解为矢量场通过一些封闭曲面的流量，即场的一些属性通过单位面积的流量。
通量的计算可以用于解释许多自然现象，比如液体或气体的流动、电场的分布等等。
散度则是矢量场在其中一点上的变化率，表示场在该点的流入流出程度。
散度可以用于描述场的源和汇。
高斯公式则是描述通量和散度之间关系的数学公式，它的数学表达如下：∬S F·dS = ∭V(nabla·F)dV其中，∬S表示对曲面S的积分，F表示矢量场，dS表示曲面S上的面积元素，∭V表示对体积V的积分，nabla·F表示矢量场F的散度。
从公式中可以看出，高斯公式表示了一个重要的等式：其中一矢量场通过其中一封闭曲面的通量等于该场在该曲面所包围的体积中的散度的积分。
也就是说，一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量与该场在该曲面所包围的体积中的散度的总和是相等的。
这个公式的物理意义非常重要。
比如，在电磁学中，我们可以将电场看作矢量场，通过高斯公式可以得到一个非常重要的结论：电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面所包围的电荷的总电荷量的1/ε0倍，其中ε0为真空中的电介质常数。
这就是著名的高斯定律，它是电磁学的基础之一高斯公式也可以应用于流体力学中，用于计算液体或气体通过其中一曲面的流量。
在这种情况下，矢量场就是流速场，而散度就是流速场的变化率，可以描述液体或气体在其中一点上的流入流出程度。
总结起来，高斯公式是描述通量和散度之间关系的重要工具，适用于解释许多自然现象，包括电磁学、流体力学等多个领域。
通过应用高斯公式，我们可以定量地描述和计算矢量场的通量和散度之间的关系，从而更好地理解和解释现象。
矢量场的散度名词解释
矢量场的散度名词解释矢量场是数学中一个重要的概念，常见于物理学和工程学中的描述和分析问题。
散度作为矢量场的一个重要性质，具有深远的意义。
本文将对矢量场的散度进行一个名词解释，并探讨其在数学和物理领域中的应用。
一、矢量场的定义矢量场可以理解为在空间中的每个点上存在一个矢量，这个矢量可以表示某种物理量的大小和方向。
比如，速度场中的矢量可以表示每个点处的速度大小和方向。
形式上，矢量场可以用一个函数来描述，该函数将每个点和一个矢量相对应。
我们可以将矢量场看作是一个从空间到矢量的映射。
二、散度的定义矢量场的散度描述了在每个点上的矢量变化的“量级”。
在物理学中，我们常常将散度理解为物质或能量的流量。
正式地说，给定一个矢量场F=(F1,F2,F3)，其中F1、F2和F3分别表示空间中的x、y和z方向上的分量，那么矢量场的散度定义为散度向量D=(∂F1/∂x, ∂F2/∂y, ∂F3/∂z)的数量。
散度的物理解释是，如果在一个点上的矢量场的散度为正，表示该点上的物质或能量在单位时间内正方向上流入。
而如果散度为负，则表示物质或能量在单位时间内反方向上流出。
对于散度为零的情况，表示物质或能量在这个点周围没有流动。
三、散度的计算在计算散度时，我们使用偏导数来描述矢量场在各个方向上的变化率。
比如，如果F=(x^2, 3y^2, z^2)，那么我们可以计算出∂F1/∂x=2x、∂F2/∂y=6y和∂F3/∂z=2z，从而得到该矢量场的散度向量D=(2x, 6y, 2z)。
四、散度的应用散度作为矢量场的一个重要性质，在数学和物理领域中有着广泛的应用。
1. 流体力学中的应用：在流体力学中，散度描述了流体的流动情况。
例如，对于一个速度场，散度表示了流体的源和汇，以及流体流动的强度。
这对于分析流体流动和设计管道系统非常重要。
2. 电磁学中的应用：在电磁学中，电场和磁场都可以看作是矢量场。
通过计算电场和磁场的散度，可以得到电荷和电流的分布情况，从而研究电磁学现象。
2.3矢量场的通量及散度
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )
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过曲面元素dS的流量为： dQ v dS
其结果是个代数值：若v从曲面的负侧传到曲面 的正侧时，v与n夹角为锐角因此dQ为正流量，如下 图左所示；反之，v与n夹角为钝角dQ为负流量，如 下图右所示：
因此，对于总流量
Q v dS
s
一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面S 的正流量与负流量的代数和。
（2）简单曲面：
设连续曲面参数方程为：
x (u,v), y (u,v), z (u,v)
曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值（u, v）.(闭合
曲面闭合点除外)。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续 曲面。
1.通量
引例：
设有流速场v(M),流体是不可压缩的，设其密度为1.求单 位时间内流体向正侧穿过有向曲面S的流量Q（如图）。
指向点M的单位矢量。设S为以点电荷为球心，R为半
径的球面，求从内穿出S的电通量 。
解：
如图，在球面S上恒有r=R ,且法矢量n与 r 0
的方向一致，所以
e
D dS
s
q
4R2
s
r0 dS
q
4R2
s
dS
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
q
4R2
4R2
q
2.散度
散度定义：设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个领域内 作一包含M点在内的任一闭曲面△S，设其所包围的空间 区域为△Ω，以△V表示其体积，以△Φ表示从其内穿 出S的通量，若当△Ω以任意方式缩向点M时，比式：
则通量为：
r dS
s
r dS r dS
s1
S2
其中 r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1
s1
Hdxdy H dxdy H H 2 H 3
D1
D1
其中D1为 S1在xOy面上的投影。
的通量 。
解：
S为函数u z x2 3y2 当u取值为0时的一张
等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的 方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位 法矢量为：
no gradu 2xi 6yj k gradu 4x2 36y2 1
所求通量为：
A n0dS 4x2 6 y2 z dS
如果S为一封闭曲面，此时积分 一般指沿S的
s
外侧，此时流量表示从内穿出S的正流量与从外穿入S
的负流量的代数和。
若Q>0,那S内必有正源；同理Q<0,S内必有负源。 但是当Q=0时，不能断言S内无源。
例3：在点电荷q所产生的电场中。任何一点M处的电位
移矢量为
D
q
4r 2
r0
其中r是点电荷q到点M的距离，r 0 是从点电荷q
第二章 场论
第6讲 矢量场的通量及散度
主要内容
1. 通量 2. 散度 3.平面矢量场的通量与散度*
教材：第2章 第3节
简单曲线与简单曲面术语介绍
（1）简单曲线：
设连续曲线参数方程为：
x (t), y (t), z (t)
曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t.(闭合曲线闭 合点除外)。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。
可用曲面积分表示为：
Q vnds v dS
s
s
又如：在电位移矢量D分布的电场中，穿过曲面S的
电通量：
e Dnds D dS
s
s
在磁感应强度矢量B分布的电场中，穿过曲面S的
磁通量： m Bnds D dS
s
s
通量定义：
设有矢量场A(M),沿其中有向曲面S某一侧的曲
在 S2 上有 r n 则：
r dS rnds 0ds 0
s2
s2
s2
所以： r dS H 3
s
例2：设S为曲面 z x2 3y2被围在圆柱面 x2 y2 4
内的部分，求矢量场 A 2xi yj zk 向下穿出S
取微元ds(微元内速度矢量和法矢 量近似看做不变)，则穿过ds的流量 dQ近似等于：
dQ vnds
以 n0 表示点M处的单位法矢量则
流量表示为：
dQ vnds (v n0 )ds v (n0ds)
令 dS n0ds, dS 为在点M处的这样一个矢量，其
方向与法向量n一致，其模等于面积ds。 据此，在单位时间内向正侧穿过S的流量，就
S
A dS
V V
的极限存在，此极限为矢量场A(M)在点M处的散度。
记作div A,
div A
面积分： Ands A dS
s
s
叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。
若： 则有：
m
A A1 A2 Am Ai i 1
m
m
m
A dS ( Ai ) dS Ai dS i
s
s i1
则通量可写成：
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s
s
例1：设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，
有一由圆锥面 x2 y2 z2 及平面 z H(H 0) 所围 成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的
通量Φ。
解：以 S1 表示曲面S的平面部分，以 S2 表示锥面部分，
s
s 4x2 36y2 1
4x2 6 y2 (x2 3y2 ) 1 4x2 36y2 dxdy
Dxy
4x2 36y2 1
3(x2 y2 )dxdy
2
d
2 3r3dr
0
0
Dxy
24
通量为正负时的物理意义： 对于流速场v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过S
i1 s
i 1
通量是可叠加的。
在直角坐标系中，设
A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j r(x, y, z)k,
又：
dS nods ds cos(n, x)i ds cos(n, y) j ds cos(n, z)k dydzi dxdzj dydzk,