2019-2020学年陕西省宝鸡市高新一中九年级(上)第一次月考数学试卷 (含解析)

2019-2020学年陕西省宝鸡市高新一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 一元二次方程y 2−y −=0配方后可化为( )A. (y +)2=1B. (y −)2=1C. (y +)2=D. (y −)2=2. 矩形的对角线一定( )A. 互相垂直平分且相等B. 互相平分且相等C. 互相垂直且相等D. 互相垂直平分 3. 已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x 2−6x +8=0的根，则这个三角形的周长等于( ) A. 13B. 11C. 11 或13D. 12或15 4. 小明和小华玩“石头、剪刀、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是( ) A. 23 B. 12C. 13D. 29 5. 已知菱形ABCD 的面积为24cm 2，若对角线AC =6cm ，则这个菱形的边长为( ) A. 4cm B. 5cmC. 10cmD. 10cm 6. 关于x 的一元二次方程(a −1)x 2+3x −2=0有实数根，则a 的取值范围是( ) A. a >−18 B. a ≥−18C. a >−18且a ≠1D. a ≥−18且a ≠1 7. 顺次连结下列四边形的四边中点所得图形一定是菱形的是( ) A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形8. 某厂今年1月份的总产量为500吨，第一季度(三个月)总产量为1800吨．求该厂平均每月产量增长率，设平均每月产量增长率是x ，得方程( )A. 500(1+x)2=1800B. 500+500(1+x)+500(1+x)2=1800C. 500(1−x)2=1800D. 500+500(1+x)+500(1+2x)=18009. 如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 与BD 的交点，M 是AD 的中点，若AC =12，∠DAC =30°，则OM 的长为( )A. 3B. 4C. 2D. 110.如图，正方形硬纸片ABCD的边长是8，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小房子”，则图中阴影部分的面积是()A. 4B. 8C. 16D. 32二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4=0的一个根为0，则m值是______．12.为估计某旅游景区国家保护动物穿山甲的只数，先捕捉10只穿山甲，给它们分别作上标志然后放回，待有标志的穿山甲完全回归山林后，第二次再捕捉30只穿山甲，发现其中有2只是有标志的．据此可以估计，该景区大约有穿山甲______只．13.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2.点E在边AB上，点F在边CD上，点G，H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是______ ．14.已知a、b是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1a +1b=1，则m的值是______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）15.解方程(1)(x−1)2=4(2)x2−3x−2=0(3)x2+6x=7(4)2(x2−x)−(x−1)(x+3)+1=016.如图，在菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点．求证：AM=AN．17.把一副扑克牌中的3张黑桃牌(它们的正面牌面数字分别是3、4、5)洗匀后正面朝下放在桌面上．(1)如果从中随机抽取一张牌，那么牌面数字是4的概率是多少？(2)小王和小李玩摸牌游戏，游戏规则如下：先由小王随机抽出一张牌，记下牌面数字后放回，洗匀后正面朝下，再由小李随机抽出一张牌，记下牌面数字．当2张牌面数字相同时，小王胜；当2张牌面数字不相同时，小李胜．现请你利用树状图或列表法分析游戏规则对双方是否公平？并说明理由．18.家乐商场销售某种衬衣，每件进价100元，售价160元，平均每天能售出30件为了尽快减少库存，商场采取了降价措施．调查发现，这种衬衣每降价1元，其销量就增加3件．商场想要使这种衬衣的销售利润平均每天达到3600元，每件衬衣应降价多少元？19.已知x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根．(1)求k的取值范围．(2)是否存在实数k，使得等式1x1+1x2=k−2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．20.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以2cm/s的速度移动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm？(3)在(1)中，当P，Q出发几秒时，△PBQ有最大面积？21.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//CA，AE//BD.求证：四边形AODE是菱形．22.如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．(1)求∠FAD的度数；(2)如图2，连接FC交BD于M，求证：√2AD=AF+2DM；(3)如图2，连接FC交BD于M，交AD于N.若AF=8√2，AN=10，则BM的长为______．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．把方程的常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方变形即可得到结果．【解答】解：y2−y−34=0y2−y=3 4y2−y+1=3+1(y−12)2=1故选B．2.答案：B解析：解：矩形的对角线一定互相平分且相等，故选：B．根据矩形的性质对矩形的对角线进行判断即可．此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的对角线一定互相平分且相等解答．3.答案：A解析：【分析】考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．首先从方程x2−6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．【解答】解：由方程x2−6x+8=0，得：解得x1=2或x2=4，当第三边是2时，2+3<6，不能构成三角形，应舍去；当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．故选A．4.答案：C解析：【分析】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，关键是熟练掌握画树状图的方法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种，∴小华获胜的概率是：39=13．故选C．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了勾股定理及菱形的性质的知识点，理解菱形的性质是解题关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一条对角线BD的长，然后根据勾股定理即可求得边长．【解答】解：菱形ABCD的面积=12AC·BD，∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，∴另一条对角线BD的长=8cm；边长是：√32+42=5(cm)．故选B．6.答案：D【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠1且Δ=32−4(a−1)⋅(−2)≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可．【解答】解：根据题意得a≠1且Δ=32−4(a−1)⋅(−2)≥0，解得a≥−1且a≠1．8故选D．7.答案：C解析：解：∵顺次连结任意四边形的四边中点所得图形一定是平行四边形，当对角线相等时，所得图形一定是菱形，故选：C．因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．8.答案：B解析：解：平均每月增率是x，二月份的总产量为：500×(1+x)，三月份的总产量为：500(1+x)2，则500+500(1+x)+500(1+x)2=1800故选：B．根据增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设平均每月增率是x，那么根据三月份的产量可以列出方程．本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．9.答案：A解析：本题考查了矩形性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理的运用．解题时先利用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”的性质求出CD的长度，再根据三角形中位线定理即可求出OM的长度．【解答】解：在矩形ABCD中，∠D=90°，∵∠DAC=30°，∴CD=12AC=12×12=6，∵O点是AC的中点，M点是AD的中点，∴OM=12CD=12×6=3．故选A．10.答案：C解析：【分析】本题考查正方形的性质.根据图形可知：阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积的四分之一．【解答】解：8×8×14=16．故选C．11.答案：−2解析：解：根据题意，得x=0满足关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4=0，∴m2−4=0，解得，m=±2；又∵二次项系数m−2≠0，即m≠2，∴m=−2；故答案为：−2．根据一元二次方程解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4=0，然后解关于m的一元二次方程即可．本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件．12.答案：150解析：【分析】本题主要考查用样本估计总体，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体．30只穿山甲，发现其中2只有标志，说明在样本中，有标记的占到230，而有标记的共有10只，根据比例可求出总数．【解答】解：10÷230=150(只)．故答案为150．13.答案：52解析：解：如图，连接EF，交AC于O，∵四边形EHFG是菱形，∴EF⊥AC，OE=OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=90°，AB//CD，∴∠ACD=∠CAB，在△CFO与△AEO中，{∠FCO=∠OAB ∠FOC=∠AOE OF=OE，∴△CFO≌△AEO(AAS)，∴AO=CO，∵AC=√AB2+BC2=2√5，∴AO=12AC=√5，∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，∴△AOE∽△ABC，∴AOAB =AEAC，∴√54=25，∴AE=52．故答案为：52；先连接EF交AC于O，由矩形ABCD中，四边形EGFH是菱形，易证得△CFO≌△AEO(AAS)，即可得OA=OC，然后由勾股定理求得AC的长，继而求得OA的长，又由△AOE∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解此题的关键．14.答案：3解析：解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2−(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，∴a+b=2m+3，ab=m2，∵1a +1b=1，即a+bab=2m+3m=1，解得：m1=−1，m2=3．∵原方程有两个不相等的实数根，∴△=[−(2m+3)]2−4m2=12m+9>0，∴m>−34，∴m=3．故答案为：3．根据根与系数的关系结合1a +1b=1，即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，再由根的判别式△>0，即可确定m的值．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合1a +1b=1，找出关于m的方程是解题的关键．15.答案：解：(1)开方得：x−1=2或x−1=−2，解得：x1=3，x2=−1；(2)这里a=1，b=−3，c=−2，∵△=9+8=17，∴x 1=3+√172，x 2=3−√172；(3)方程整理得：x 2+6x −7=0，分解因式得：(x −1)(x +7)=0，解得：x 1=1，x 2=−7；(4)方程整理得：x 2−4x +4=0，分解因式得：(x −2)2=0，解得：x 1=x 2=2．解析：(1)方程利用直接开平方法求出解即可；(2)方程利用公式法求出解即可；(3)方程利用因式分解法求出解即可；(4)方程整理后，利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，直接开平方法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．16.答案：证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D∵M ，N 分别是BC ，CD 的中点，∴BM =12BC ，DN =12CD ，∴BM =DN ．在△ABM 和△ADN 中，{AB =AD ∠B =∠D BM =DN∴△ABM≌△ADN(SAS)∴AM =AN ．解析：由菱形的性质可得AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D ，可得BM =DN ，由“SAS ”可证△ABM≌△ADN ，可得AM =AN ．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 17.答案：解：(1)P(抽到牌面数字是4)=13；(2)游戏规则对双方不公平．理由如下：或小李小王3453(3,3)(3,4)(3,5)4(4,3)(4,4)(4,5)5(5,3)(5,4)(5,5)9种．P(抽到牌面数字相同)=39=13，P(抽到牌面数字不相同)=69=23．∵13<23，∴此游戏不公平，小李赢的可能性大．(说明：答题时只需用树状图或列表法进行分析即可)解析：(1)根据概率=所求情况数与总情况数之比计算．(2)游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18.答案：解：设每件衬衣降价x元，则平均每天能售出(30+3x)件，依题意，得：(160−100−x)(30+3x)=3600，整理，得：x2−50x+600=0，解得：x1=20，x2=30，∵为了尽快减少库存，∴x=30．答：每件衬衣应降价30元．解析：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每件衬衣降价x元，则平均每天能售出(30+3x)件，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．19.答案：解：(1)∵一元二次方程x2−2x+k+2=0有两个实数根，∴△=(−2)2−4×1×(k+2)≥0，解得：k≤−1．(2)∵x1，x2是一元二次方程x2−2x+k+2=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1x2=k+2．∵1x1+1x2=k−2，∴x1+x2x1x2=2k+2=k−2，∴k2−6=0，解得：k1=−√6，k2=√6．又∵k≤−1，∴k=−√6．∴存在这样的k值，使得等式1x1+1x2=k−2成立，k值为−√6．解析：(1)根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=2，x1x2=k+2，结合1x1+1x2=k−2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合(1)即可得出结论．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系结合1x1+1x2=k−2，找出关于k的方程．20.答案：解：(1)设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，则列方程为：(5−t)×2t×12=4，解得t1=1，t2=4(舍)，答：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；(2)设x秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm，列方程为：(5−x)2+(2x)2=52，解得x1=0(舍)，x2=2，答：2秒后，△PBQ中PQ的长度等于5cm；(3)设面积为Scm2，时间为t，则S=(5−t)×2t×12=−(t−52)2+254，所以当t=2.5时，面积最大．解析：(1)经过t秒钟，△PBQ的面积等于4cm2，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解；(2)利用勾股定理列出方程求解即可；(3)结合(1)列出函数关系式，化成顶点式即可．本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，三角形的面积公式的运用，解答时根据三角形的面积=4建立方程是关键．21.答案：证明：∵DE//CA，AE//BD即DE//OA，AE//OD，∴四边形OAED是平行四边形，在矩形ABCD中，∴AC=BD，∴OA=OD，∴四边形OAED是菱形．解析：在矩形ABCD中，可得OD=OC，由DE//CA，AE//BD，所以四边形AODE是平行四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的三种判定方法，比较简单．22.答案：解：(1)在BC上截取BG=BE，连接EG，如图1所示：∵BG=BE，∠EBG=90°，∴∠BGE=45°，∠CGE=135°，∵AB=BC，BG=BE，∴AE=GC，∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠BEC=90°，∵∠GCE+∠BEC=90°，∴∠AEF=∠GCE，在△AEF和△GCE中，{AE=GC ∠AEF=∠GCE EF=EC ，∴△AEF≌△GCE(SAS)，∴∠EAF=∠CGE=135°，∴∠FAD=135°−90°=45°；(2)证明：延长AF、CD交于点H，如图2所示：由(1)知，∠EAF=135°，∴∠FAD=135°−90°=45°，∵∠ADB=45°，∴AH//BD，又∵AB//HD，∴四边形ABDH是平行四边形，∴DH=AB=CD，即D是CH的中点，∴DM是△CFH的中位线，∴FH=2DM，在等腰直角三角形HAD中，AH=√2AD，∵AH=AF+FH=AF+2DM，∴√2AD=AF+2DM；(3)32√2 3解析：(1)(2)见答案(3)AF=8√2，AN=10，√2AD=AF+2DM，∴√2(10+DN)=8√2+2DM，∵AF//DM，∴△AFN∽△DMN，∴ANDN =AFDM，即10DN=8√2DM，∴DN=5√28DM，把DN=5√28DM代入√2(10+DN)=8√2+2DM，整理，解得：DM=8√23，∴DN=5√28×8√23=103，∴AD=AN+DN=10+103=403，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=403，∠BAD=90°，∴BD=√AB2+AD2=√2AD=40√23，∴BM=BD−DM=40√23−8√23=32√23；故答案为：32√23．【分析】(1)首先在BC上截取BG=BE，连接EG，求出∠BGE=45°，即可求出∠CGE=135°；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△AEF≌△GCE，求出∠EAF=135°，即可求出∠FAD的度数；(2)首先延长AF、CD交于点H，判断出∠FAD=45°，进而判断出四边形ABDH是平行四边形，推得DH=AB=CD，即可推得DM是△CFH的中位线，所以FH=2DM；然后在等腰直角三角形HAD 中，根据AH=√2AD，可推得√2AD=AF+2DM．(3)首先根据AF=8√2，AN=10，√2AD=AF+2MD，可得√2(10+DN)=8√2+2MD；然后根据AF//DM，判断出△AFN∽△DMN，即可判断出ANDN =AFDM，据此推得DN、MD的关系，求出MD的长为多少即可．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．。