中考数学压轴题专项汇编专题平移

专题10 平移

破解策略

经过平移，对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等；对应点所连结的线段平行（或共线）且相等；平移前后的图形全等．平移是几何中的一种重要变换，运用平移可以将分散的线段、角或图形汇集到一起，也可以把不太明朗的关系明朗化．

通过平移构造辅助线是研究和解决几何问题的常用方法，其中，通过平移构造辅助线比较线段大小的常见类型有：

（1）比较两条线段的大小关系，可以利用直角三角形中斜边大于直角边来比较，也可以把其中一条线段转化成三角形的两条边，再利用三角形三边关系比较大小；

（2）比较三条线段的大小关系，可以把三条线段平移到同一个三角形中，再利用三角形三边的关系来比较大小；

（3）比较四条线段的大小关系，可以转化成“飞镖形”或“8”字形（如图）来比较线段的大小关系．

例题讲解

例1 已知：在ABC 中，P 为BC 边的中点．

（1）如图1，求证：()1

2

AP AB AC <+；

（2）延长AB 至点D ，使得BD ＝AC ，延长AC 至点E ，使得CE ＝AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若BAC ＝60，请你探究线段BE 与AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；

②请在图3中证明：1

2

BC DE ≥．

O

A

B

C

D

AD ＋BC >AB ＋CD

A

B

D

C

AB ＋AC >BD ＋DC

证明（1）如图4，延长AP 至点F ，使得PF ＝AP ，连结BF ． 易证APC ≌

FPB ，所以AC ＝BF ．

从而AB ＋AC ＝AB ＋BF ＞AF ，

即()1

2

AP AB AC <+．

（2）①BE ＝2AP ．证明如下： 因为BD ＋AB ＝AC ＋CE ，BAC ＝60， 所以ADE 为等边三角形．

如图5，在DE 上取一点G ，使得DG ＝DB ，连结BG ，则BDG 为等三角形． 连结CG ，PG ，则四边形ABGC 为平行四边形，所以点A ，P ，G 共线，故AG ＝2AP ． 易证DGA ≌

DBE ．则BE ＝AG ＝2AP ．

P

E

D

A

B C

G

图5 P

C

B

A

F

图4

P

E

D

A

B

C

图3

P

C

B

A

D

E

图2

P

A

B

C

图1

②如图6，过点C 作CH ∥AB ，且CH ＝BD ，连结DH ，HE ． 则四边形BDHC 为平行四边形， 易证ABC ≌

CEH ，所以DH ＝BC ＝EH ．

由三角形三边关系定理可得DH ＋EH ＞DE ．

而当D ，H ，E 三点共线时，有DH ＋EH ＝DE ，所以1

2

BC DE ．

例2 在ABC 中，

ACB ＝90，AC ＞BC ，D 是AC 边上的点，E 是BC 边上的点，AD ＝

BC ，CD ＝BE ．点E 与点B ，C 不重合，连结AE ，BD 交于点F ，求BFE 的度数．

F

C

A

B

D

E

解 如图，过点A 作AG AC ，使得AG ＝CD ＝BE ，连结BG ，G D ． 可得四边形AEBG 是平行四边形，则BG ∥E A ． 易证GAD ≌

DCB （SAS ），

所以GD ＝DB ，GDA ＝DB C ． 所以GDA ＋

BDC ＝90，

可得BGD 是等腰直角三角形， 又因为BG ∥EF ，所以

BFE ＝GBD ＝45．

F

A

G

B

D

E

例3 如图，ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF ，若ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，

P

H

C

B A

D

E

图6

CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 ．

D

E

F

A

B

C

答案

34

． 解 如图，过点C 作CP ∥AD ，且CP ＝AD ，连结AP ，PF ，EP ，FE ．

D

F

E

C

B

A

P

由辅助线作法，可得四边形ADCP 为平行四边形， 所以AP ＝CD ，AP ∥C D ．

由D ，E ，F 为ABC 三边中点，可得AP ＝EF ，AP ∥EF ． 所以四边形AFEP 为平行四边形，则PE ＝AF ＝FB ，PE ∥F B ． 所以四边形PEBF 为平行四边形， 则BE ＝FP ．

因而FPC 为以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形， 所以1113344444

FPC FEC FEP CEP ABC ABC ABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆=++=++==． 进阶训练

1． 如图，两条长度都为1的线段AB 和CD 相交于点O ，且AOC ＝60，求证：AC ＋

BD 1．