定积分在几何学上的应用09414
高等数学定积分在几何上的应用
记作dA
o a x x dxb x
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
A lim f ( x)dx
a
f ( x)dx
dA
a
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区 间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
曲边梯形的面积:
d
A c [( y) ( y)]dy
例1 求由 y2=x, y=x2 所围成的图形的面积
两曲线的交点 (0,0), (1,1)
选 x 为积分变量 x[0, 1]
面积微元: dA ( x x2 )dx
x y2
A
1
(
x x2 )dx
0
2
3
x2
1 x3
1
1.
3 0 30 3
例10 由yx3 x2 y0所围成的图形 分别绕x轴及y 轴旋转 计算所得两个旋转体的体积
绕 x 轴旋转所得旋转体的体积为
Vx
2
y2dx
0
2 x6dx
0
1 x7 2 128
7
07
绕 y 轴旋转所得旋转体的体积为
Vy 22 8
8
x2dy
32
0
82
y 3dy
0
32 3 3 y5 8 64
高等数学定积分在几何上的应用
第二节 定积分在几何上的应用
本节主要内容: 一.定积分的微元法 二.定积分求平面图形的面积 三.定积分求体积 四.平面曲线的弧长
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要内容之一，经常被应用于实际问题的解决中。
本文将从三个方面来论述定积分的应用。
一、定积分在几何中的应用首先，定积分可以用于求曲线下面的面积。
以 y=f(x) 为例，若f(x)>0，则曲线 y=f(x) 与 x 轴的两点 a、b 组成的图形的面积为S=∫baf(x)dx这时，可以将曲线 y=f(x) 分成许多小块，每块宽度为Δx，高度为 f(xi)，从而可以得到其面积为ΔS=f(xi)Δx因此，当Δx 趋于 0 时，所有小块的面积之和就等于图形的面积，即∑ΔS→S因此，用定积分就可以求出图形的面积。
其次，定积分还可以用于求旋转体的体积。
以曲线 y=f(x) 在 x 轴上旋转360°为例，其体积为V=π∫baf(x)^2dx这里，π为圆周率。
最后，定积分还可以用于求某些奇特图形的长、面积等等。
二、定积分在物理中的应用物理中也有许多问题可以通过定积分来解决。
比如，运动问题中的速度、加速度，可以通过位移的变化来求得。
若某运动物体的速度为 v(t)，则其位移 s(t) 为s(t)=∫v(t)dt同样，若某运动物体的加速度为 a(t)，速度为 v(t)，则其位移为s(t)=∫v(t)dt=∫a(t)dt最后，定积分还可以用于求密度、质量等物理量。
三、定积分在工程中的应用定积分在工程中的应用也非常广泛。
比如，在流体力学中，对于一条管道中的液体，可以通过惯性和重力等因素，求出其中液体的流量和压力。
而这些流量和压力可以通过定积分计算得出。
在电学中，电量、电荷、电流和电势等都可以通过定积分来求解。
在结构设计中，定积分也常常被用来计算约束力、杠杆比例等。
总之，定积分在几何、物理和工程等领域中都有着广泛应用。
熟练地掌握定积分的方法和应用，对于科学研究和实际问题的解决都有着非常积极的帮助。
定积分在几何中的应用
2x
及x轴所围成图形的面积
思考：直线y＝x－4与曲线 y = 及 x轴所围成的图形是什么？ 1、各顶点的坐标是什么？
2x
y 4
C 2x y=
y ＝x －4
B (8,4)
2、如何将该图形的面积转化为 (0,0) O 曲边梯形的面积？ S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD. 3、该图形的面积用定积分怎样表示？
P58练习
练习、计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4所围
2
成的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y2 2x (2, 2), (8, 4). y x 4
y 2x
S1 S1 2
y x4
8
y2 2 x
S2
S 2 S1 S 2 2
2 0 2 0
y2 x 2
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12. 求过点A的切线方程. y y=x2
则，切线的斜率 k＝2x0 设切点（x 0，x 0 ）
2
A x
y x0 2x0 ( x x0 )
2
即，y 2x0 ( x x0 ) x0
1 2 1 3 k 4 S kx x 4x dx ( kx x 2x 2 ) |0 0 2 3 ∴k=2，故直线 l的方程为 1 1； 1 2 y=2x 3 2 3 k k 4 k 4 2 k 4 k 4 36， 2 3 6
0 2
∴k=-10，故直线l的方程为y=-10x. 综上，直线l的方程为y=2x或y=-10x.
小结作业
P60习题1.7B组：1，2，3.
定积分在几何学上的应用
y o
y f ( x)
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄 片的体积为体积元素， dV [ f ( x )]2 dx
旋转体的体积为
V [ f ( x )]2 dx
a
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b
【例 7】连接原点O 及点 P ( h, r ) 的直线、直线 x h 及 x 轴围成一个直角三角形．将它绕 x 轴旋转构成一个底半 径为 r 、高为 h 的圆锥体，计算圆锥体的体积． y r 【解】直线OP方程为 y x o h 取积分变量为 x ，x [0, h]
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2、【极坐标情形】 设由曲线 r ( ) 及射线 、
d
r ( )
围成一曲边扇形，求其面积．这
里， ( )在[ , ]上连续， ( ) 0 ． 且
d
1 dA [ ( )]2 d 面积元素 2 1 曲边扇形的面积 A [ ( )]2 d .
2
2
1
（其中 t1 和 t 2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[ t1 , t 2 ]（或[ t 2 , t1 ]）上 x (t ) 具有连续导数，
y (t )连续.
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x2 y2 【例 4 】 求椭圆 2 2 1的面积. a b x a cos t 【解】椭圆的参数方程
1、由直线x a , x b, x轴及y f ( x )(其中f ( x )在[a , b]上连续) 所围成的平面图形的面积, S | f ( x ) | dx。
a b
2、由直线x a , x b,曲线y f ( x )及曲线y g( x )所围 的平面图形面积(其中f ( x ), g( x )是[a , b]上的连续函数 ) 为 : S | f ( x ) g( x ) | dx
定积分在几何上的应用
定积分在几何上的应用
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，
V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。
它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
几何学发展历史悠长，内容丰富。
它和代数、分析、数论等等关系极其密切。
6.2 定积分在几何学上的应用
圆柱
圆锥
圆台
问题：一般地，考虑如图所示的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周而形成的空间立体，其体积为多少？
y
y = f (x)
0a
bx
取积分变量为 x， x ∈[a,b] y
y = f (x)
在[a, b]上任取小区间 [ x, x + dx]
o
x x + dx
x
考虑以 d x 为底的窄曲边梯形 绕 x 轴旋转而成的薄片 ∆V 体积的近似值
设曲线弧为 y = f ( x) (a ≤ x ≤ b)，
其中 f ( x)在[a, b]上有一阶连续导数 y = f ( x)
y
取积分变量为 x，x∈ [a, b]
在 [a, b] 上任取小区间[ x, x + dx]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长
} dy
dx
∆s ≈ (dx)2 + (dy)2 = 1 + y′2dx o ax x + dx b x
∫1
A= ( 0
y
−
y2 ) d
y
=
2
3
3
y2
−
y3 1
3
=
0
1. 3
例2 计算抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x − 4 所围图形 的面积 .
例2 计算抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x − 4 所围图形 的面积 .
解：( 一）取 y 为积分变量。
y
∫ s = 4 [ ( y + 4) − y2 ] d y
其体积可以近似看作以 f (x) 为底半径，高为 d x 的 薄圆柱体的体积，即 两个量的乘
∆V ≈ π [ f ( x)]2 dx = dV
定积分在几何中的应用
782020年第 5 期中定积分在几何中的应用杨姜维一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲线（）与直线及轴所围成的平面图形面积为，则面积元素，面积。
例1：求曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积=2.设曲线与直线及轴所围成的图形面积为，则面积元素，面积。
3.设由，所围成的平面图形的面积：函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公式，也可以看作是，轴即直线。
例2：求直线与抛物线所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点面积元素，图形面积4.任意由所围成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物线，与轴及直线在第一象限所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由交点面积+（二）以为积分变量的情形1.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
2.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
3.由曲线直线及轴围成的平面图形面积：若，。
可看作是函数由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积的几种情形，即分别以为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕轴和轴旋转一周所得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／教海探航解：如图5，由交点为方便计算，选取为积分变量，则有4.任意由曲线直线及轴围成的平面图形面积：。
二、旋转体的体积一个平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见的旋转体有圆柱体、圆锥、圆台、球体等,这些都有对应的体积公式，面对日常生活中所用到的水杯、花瓶等立体物件，求解体积时可考虑以下情况：（一）曲线绕轴旋转的情形由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
（二）曲线绕轴旋转的情形由曲线、直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
定积分在几何计算中的应用
定积分在几何计算中的应用定积分是高等数学中的一个重要概念，它在几何计算中有着广泛的应用。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
下面我们就来看看定积分在几何计算中的应用。
定积分可以用来计算曲线的长度。
对于一条曲线，我们可以将其分成无数个小段，然后对每个小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
这个过程可以用定积分来表示，即：L = ∫a^b √(1+(dy/dx)^2) dx其中，a和b分别表示曲线的起点和终点，dy/dx表示曲线在每个点的斜率。
这个式子的意义是，将曲线分成无数个小段，每个小段的长度为√(1+(dy/dx)^2) dx，然后对所有小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
定积分可以用来计算曲面的面积。
对于一个曲面，我们可以将其分成无数个小面元，然后对每个小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
这个过程可以用定积分来表示，即：S = ∫∫D √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy其中，D表示曲面的投影区域，z表示曲面在每个点的高度，∂z/∂x和∂z/∂y分别表示曲面在每个点在x和y方向上的斜率。
这个式子的意义是，将曲面分成无数个小面元，每个小面元的面积为√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy，然后对所有小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
定积分可以用来计算体积。
对于一个立体图形，我们可以将其分成无数个小体元，然后对每个小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
这个过程可以用定积分来表示，即：V = ∫∫∫E dxdydz其中，E表示立体图形的空间区域。
这个式子的意义是，将立体图形分成无数个小体元，每个小体元的体积为dxdydz，然后对所有小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
定积分在几何计算中有着广泛的应用，可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
这些应用不仅在数学中有着重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程计算等领域中都有着重要的作用。
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具，用来解决许多几何和物理问题。
它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。
首先，定积分在几何学中的简单应用。
比如，如果我们要计算一个几何图形的面积，则可以通过定积分来计算。
它可以计算任意形状的几何图形的面积，比如三角形、椭圆、圆形等。
它的应用范围非常广泛，比如可以用它来计算面积、周长、体积等。
其次，定积分也可以用在物理学中。
比如，如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程，可以用定积分来计算。
它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离，也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。
最后，定积分也可以应用于物理学的温度问题中。
比如，我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递，也可以求出一个物体的总热量。
还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。
以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。
定积分是一种通用而有效的数学工具，在几何、物理学中都有着广泛的应用，不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题，而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。
只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途，就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。
- 1 -。
定积分在几何上的应用-资料
Mn1 BMn
AM0,M1,Mi,
,Mn1,Mn B
oAM0
图6-2-18
x
并 依 次 连 接 相 邻 分 点 得 一 内 接 折 线 ， 当 分 点 的 数 目
无 限 增 加 且 每 个 小 弧 段 都 缩 向 一 点 时 ， n
y
段弧的长度.
解
y
1
x2
,
y
2
3
x2
3
ds 1(x1 2)2dx 1xdx, o a
bx
图6-2-20
所求弧长为
b
2
3
3
sa
1xdx [1(b)2(1a)2].
3
2019/11/8
第六章 定积分的应用
27
x
例 13 计算曲线 y n n sin d 的弧长(0 x n). 0
利用这个公式，可知上例中
2a
Vy20 x|f(x)|dx
2
2 0a ( t sti ) a n ( 1 ct) o d [ a ( t s sti )n ]
2 a 32 (t sit)n 1 ( cto )2 d st63a3. 0
2019/11/8
o
x
A21a2 (1cos)2d
20
图6-2-8
a2 0
(1 2 c o c s2 o )d s
a22 32sin4 1si2n 0
3 2
a2.
2019/11/8
第六章 定积分的应用
12
二、体积
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
定积分在几何中的应用
1．7.1定积分在几何中的应用学习目标会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积．知识点定积分在几何中的应用思考怎样利用定积分求不分割型图形的面积？答案求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可．梳理(1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝ʃb a f(x)d x.(2)当x∈[a，b]时，若f(x)<0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝－ʃb a f(x)d x.(3)当x∈[a，b]时，若f(x)>g(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)和曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积S＝ʃb a[f(x)－g(x)]d x.(如图)类型一利用定积分求面积命题角度1求不分割型图形的面积例1 试求曲线y ＝x 2－2x ＋3与y ＝x ＋3所围成的图形的面积．解 如图所示，所求面积为图中阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，y ＝x 2－2x ＋3，解得x 1＝0，x 2＝3. 从而所求图形的面积为S ＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝ʃ30(－x 2＋3x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－13x 3＋32x 230＝92. 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤 (1)根据题意画出图形．(2)找出范围，确定积分上、下限． (3)确定被积函数． (4)将面积用定积分表示．(5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果．跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2－4与直线y ＝－x ＋2所围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4，y ＝－x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点坐标为(－3,5)和(2,0)， 设所求图形面积为S ，根据图形可得，S ＝ʃ2－3(－x ＋2)d x －ʃ2－3(x 2－4)d x＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3 ＝252－(－253)＝1256. 命题角度2 分割型图形面积的求解例2 (1)求由曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成的图形的面积．解 画出图形，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－13x 及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝－13x ，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)， 所以S ＝ʃ10[x －(－13x )]d x ＋ʃ31[(2－x )－(－13x )]d x ＝ʃ10(x ＋13x )d x ＋ʃ31(2－x ＋13x )d x ＝(3223x ＋16x 2)|10＋(2x －12x 2＋16x 2)|31＝23＋16＋(2x －13x 2)|31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.(2)由抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积为________． 答案403解析 由题意，如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x (y >0)，x ＋y －6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以抛物线y 2＝8x (y >0)与直线x ＋y －6＝0的交点坐标为(2,4)． 方法一 (选y 为积分变量) S ＝ʃ40(6－y －18y 2)d y ＝(6y －12y 2－124y 3)|40＝24－8－124×64＝403.方法二 (选x 为积分变量)S ＝ʃ20(8x )d x ＋ʃ62(6－x )d x ＝8×3223x |20＋(6x －12x 2)|62 ＝163＋[(6×6－12×62)－(6×2－12×22)] ＝403.反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x 运算较烦琐，则积分变量可选y ，同时要更换积分上、下限．跟踪训练2 (1)如图，阴影部分由曲线y ＝1x ，y 2＝x 与直线x ＝2，y ＝0所围成，则其面积为________．答案 23＋ln 2解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x ，y 2＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以S ＝ʃ10x d x ＋ʃ211x d x ＝3223x |10＋ln x |21 ＝23＋ln 2. (2)求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 和y ＝x 围成的图形的面积．解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝x 和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x ，解出O ，A ，B 三点的横坐标分别是0,1,2.故所求的面积S ＝ʃ10(2x －x )d x ＋ʃ21(2x －x 2)d x＝ ⎪⎪x 2210＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 2－x 3321＝12－0＋(4－83)－(1－13)＝76.类型二 定积分的综合应用例3 如图，已知点A (0，14)，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等，则x 0＝________.答案64解析 由题意知12×x 0×14＝20d x x x ⎰，即18x 0＝13x 30， 解得x 0＝64或x 0＝－64或x 0＝0. ∵x 0>0，∴x 0＝64. 引申探究1．例3中，若阴影部分面积是△OAP 面积的4倍，其他条件不变，求x 0. 解 由题意4×12×14x 0＝20d x x x ⎰.∴12x 0＝0313x x ＝13x 30， 即x 30＝32x 0，得x 20＝32或x 0＝0(舍去)， 解得x 0＝±62，∵x 0>0，∴x 0＝62. 2．曲线y ＝x 2在点P (2,4)处的切线与曲线及直线y ＝0所围成的图形的面积为多少？ 解 ∵y ′|x ＝2＝4，故曲线在P 点处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即y ＝4x －4，所求图形的面积为ʃ10x 2d x ＋ʃ21(x 2－4x ＋4)d x＝13x 3|10＋(13x 3－2x 2＋4x )|21 ＝23.反思与感悟 解决此类问题的关键是利用定积分表示，或求出相关的图形的面积． 跟踪训练3 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的图形的面积为112，试求：切点A 的坐标以及在切点A 处的切线方程． 解 如图，设切点A (x 0，y 0)，其中x 0≠0，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为 y －y 0＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20，令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)．设由曲线和过点A 的切线与x 轴所围成的图形的面积为S ， 则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC ， ∵S 曲边△AOB ＝20d x x x＝0313x x ＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30.∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点为A (1,1)， 切线方程为2x －y －1＝0.1．在下面所给图形的面积S 及相应表达式中，正确的有( )S ＝ʃa b [f (x )－g (x )]d x S ＝ʃ80(22x －2x ＋8)d x① ②S ＝ʃ41f (x )d x －ʃ74f (x )d x S ＝ʃa 0[g (x )－f (x )]d x ＋ʃba [f (x )－g (x )]d x③ ④A ．①③B ．②③C ．①④D ．③④ 答案 D解析 ①应是S ＝ʃb a [f (x )－g (x )]d x ，②应是S ＝ʃ8022x d x －ʃ84(2x －8)d x ，③和④正确，故选D.2．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的图形的面积为( )A.2π5B.43 C.32 D.π2答案 B解析 由图可得f (x )＝1－x 2与x 轴所围图形的面积为ʃ1－1(1－x 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －13x 31－1＝(1－13)－[－1－13(－1)3]＝43.3．曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及x ＝1所围成的图形的面积为____________．答案 e ＋1e－2解析 如图，所围成的图形的面积为ʃ10(e x －e －x )d x＝(e x ＋e －x )|10＝e ＋e －1－2＝e ＋1e－2.4．设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________. 答案 49解析 由题意可知ʃa0x d x ＝a 2， 又∵(3223x )′＝x ，∴3223x |a 0＝a 2，即3223a ＝a 2，∴a ＝49.5．求由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝2，y ＝0所围成的图形的面积． 解 作出草图如图所示，所求图形的面积为图中阴影部分的面积． 由x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点坐标是(－1,0)和(1,0)，因此所求图形的面积为S ＝ʃ1－1|x 2－1|d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＋ʃ21(x 2－1)d x＝(x －x 33)|1－1＋(x 33－x )|21 ＝(1－13)－(－1＋13)＋(13×23－2)－(13－1)＝83.对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时： (1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标． (2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．课时作业一、选择题1．用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．ʃc a f (x )d xB ．|ʃc a f (x )d x |C ．ʃb a f (x )d x ＋ʃc b f (x )d xD ．ʃc b f (x )d x －ʃb a f (x )d x答案 D解析 ∵x ∈[a ，b ]时，f (x )<0，x ∈[b ，c ]时，f (x )>0，∴阴影部分的面积S ＝ʃc b f (x )d x －ʃb a f (x )d x .2．由直线x ＝0，x ＝2π3，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形的面积等于( )A ．3 B.32 C ．1 D.12答案 A解析 直线x ＝0，x ＝2π3，y ＝0与曲线y ＝2sin x 所围成的图形如图所示，其面积为 S ＝232sin d x x π⎰＝－2cos x 230|π＝－2cos2π3－(－2cos 0)＝1＋2＝3，故选A.3.由曲线y ＝1x(x >0)，直线y ＝1，y ＝2及y 轴所围成的平面图形的面积为( )A ．ln 2B ．ln 2－1C ．1＋ln 2D ．2ln 2 答案 A解析 由A (12，2)，B (1,1)，曲线y ＝1x (x >0)，直线y ＝1，y ＝2及y 轴所围成的平面图形的面积为S ＝ʃ211y d y ＝ln y |21＝ln 2，故选A.4．由曲线y ＝x ，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( ) A.14 B.34 C.12 D.43答案 C解析 由曲线y ＝x ，y ＝x 3围成的封闭图形如图，所以由曲线y ＝x ，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为2ʃ10(x －x 3)d x ＝12.故选C.5.如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2，四边形ABCD 是矩形，则阴影区域的面积等于()A.43B.53 C ．2 D.73答案 B解析 点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2， 故阴影部分的面积为S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝(4x －13x 3)|21＝53，故选B. 6．曲线C ：y ＝e x 在点A 处的切线l 恰好经过坐标原点，则曲线C ，直线l ，y 轴所围成的图形面积为( ) A.3e2－1 B.e 2＋1 C.e 2 D.e 2－1 答案 D解析 设切点A (x 0，e x 0)， 直线l 的斜率k ＝y ′|0x x ＝0e x，又k ＝0e x x ，∴0e x ＝0e x x ，即x 0＝1.则l 的方程为y ＝e x ，∴S ＝ʃ10(e x－e x )d x ＝(e x －e 2x 2)|10＝e 2－1.7．曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B.1112 C.16 D.512答案 D解析 联立曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1，构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.联立直线y ＝2x －1，y ＝0构成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝0.∴曲线y ＝x 与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为 S ＝ʃ10x d x －112(21)d x x ⎰－＝2332x |10－(x 2－x )112| ＝23＋14－12＝512.二、填空题8．直线x ＝π2，x ＝3π2，y ＝0及曲线y ＝cos x 所围成图形的面积为________．答案 2 解析 S ＝322cos d x x ππ-⎰＝－sin x 322|ππ＝2.9．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．答案 13解析 根据题意得S 阴＝ʃ103x 2d x＝x 3|10＝1，则点M 取自阴影部分的概率为S 阴S 矩＝13×1＝13.10．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3(c >0)围成图形的面积是23，则c ＝________.答案 12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c .∵当0<x <1c 时，x 2>cx 3，∴S ＝123()d cx cx x ⎰－＝(13x 3－14cx 4)1|c＝13c 3－14c 3＝112c 3＝23. ∴c 3＝18，∴c ＝12.11．由曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3以及两坐标轴所围成的图形的面积S ＝________. 答案103解析 如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，x ＋y ＝3， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝5(舍)． 且x ＋y ＝3与x 轴交于点(3,0)，∴S ＝ʃ30f (x )d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(0≤x ≤1)，3－x (1<x ≤3).∴S ＝ʃ10(x 2＋1)d x ＋ʃ31(3－x )d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 33＋x 10＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫3x －x 2231 ＝13＋1＋(9－92)－(3－12)＝103. 三、解答题12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值．解 由图知方程f (x )＝0有三个实根，其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0，于是b ＝0， 所以f (x )＝x 2(x ＋a )．有274＝ʃ－a 0[0－(x 3＋ax 2)]d x ＝－⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 44＋ax 33－a 0＝a 412，所以a ＝±3.又－a >0⇒a <0，所以a ＝－3.13．已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．(1)若t ＝2，求S 2；(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值． 解 (1)当t ＝2时，S 2＝22(4)]d x x －－＝ ⎝⎛⎭⎫13x 3－2x＝43(2－1)． (2)当t ∈(0,2)时，S 1＝ʃt0[(4－x 2)－(4－t 2)]d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3t0＝23t 3. S 2＝ʃ2t [(4－t 2)－(4－x 2)]d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x 2t ＝83－2t 2＋23t 3. 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2＋83.S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，令S ′＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1，当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减，当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，所以当t ＝1时，S min ＝2.。
定积分的意义及其在几何中的应用
定积分的意义及其在几何中的应用定积分是微积分中的一种重要概念，它是反映了函数在一些区间上面积的大小。
定积分的含义非常丰富，不仅可以用于求函数的面积、周长、体积等几何问题，还广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域的计算与分析中。
首先，定积分的最基本的含义是求函数在一些区间上的面积。
对于非负连续函数f(x)，可以将其图像以下方的函数图形为界，通过分割区间，构造出一系列较窄的矩形，然后求出这些矩形的面积之和，即可近似地得到曲线下面积的值。
随着分割区间的无穷细小，这个近似的面积将趋近一个确切的值，即定积分。
如果函数是负值或者非连续的情况，面积的计算则需要对函数图像进行分段处理，并分别计算每个部分的面积。
所以，定积分在几何中的应用可以明确地用于求曲线与坐标轴之间的面积。
其次，定积分也可以用于求曲线的弧长。
由于曲线的形状较为复杂，无法直接计算其弧长，但通过将曲线分成许多较小的线段，并每个线段用直线段来代替，再对这些直线段进行求和的方式，可以用定积分来近似计算曲线的长度。
当分割的线段无限细小时，这个近似的弧长将趋近于曲线的实际弧长。
这种方法虽然只能得到近似值，但对于一些无法获得解析解的复杂曲线来说，这种近似是非常有用的。
此外，在三维几何中，定积分可以应用于计算旋转体的体积。
对于一个曲线沿着坐标轴旋转形成的立体，可以将其分成许多非常薄的盘状元素，并计算每个盘状元素的体积，然后通过定积分将这些体积相加，即可得到整个旋转体的体积。
这个方法适用于各种形状的旋转体，能够有效地求解这些体积。
除了在几何中的应用，定积分在物理学、经济学、生物学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，定积分可以用于计算各种形状物体的质心、重心等。
在经济学中，定积分常用于求解定量经济模型中的微积分方程，如求解需求曲线、利润函数等。
在生物学中，定积分可以用于计算生物体的体积、质量、功率等。
总之，定积分是微积分中一个重要的概念，不仅在几何中用于求解曲线的面积、弧长、旋转体的体积等问题，还在许多学科中都有广泛的应用。
定积分在几何上的应用 主要是平面几何、立体几何和弧长
定积分在几何上的应用非常广泛，主要包括平面几何、立体几何和弧长三个方面。
在平面几何中，定积分可以用来求解面积。
例如，如果有一个曲线y=f(x)，那么这条曲线与x轴所夹的面积可以通过对f(x)在x的某个区间[a,b]上进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解平面图形的面积，比如矩形、圆形、椭圆形等。
在立体几何中，定积分可以用来求解体积。
例如，如果有一个旋转体，它的基圆半径为r，高为h，那么这个旋转体的体积可以通过对基圆的周长进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解其他形状的体积，比如球体、圆锥体、圆柱体等。
在弧长方面，定积分也有应用。
例如，如果有一条曲线的长度为s，那么这条曲线的长度可以通过对曲线的斜率进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解其他形状的长度，比如圆弧、摆线等。
总的来说，定积分在几何上的应用非常广泛，它可以用来解决各种与几何量有关的计算问题。
定积分在几何学中的应用
定积分在几何学中的应用一、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间],[b a 内点x 且垂直x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ),当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx ,于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为dx x f V ba 2)]([π⎰=. 例1 已知球体的半径为r ,求球体的体积.解 在一象限中,圆的方程为：222r y x =+,即：22x r y -=在[0,r ]上任取一点x ,则体积的微元为 dx x f dv ⋅⋅=2)]([πdx x r )(22-⋅=π故32234)(r dx x r V r r ππ=-⋅=⎰-. 结论： （1）由b x a x x f y y ====,),(,0所围平面图形绕x 轴旋转一周所生成的立体体积⎰=b a x dx x f V )(2π （2）由d y c y x y x ====,,0),(ϕ所围平面图形绕y 旋转一周所得旋转体体积 ⎰=dc y dy y V )(2ϕπ 例 2 过点)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,求该切线与抛物线2-=x y 及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.解 设切点为)2,(00-x x ,则切线方程为)1(2210--=x x y因为切点在切线上,所以)1(2212000--=-x x x 由于30=x ,因此切线方程为)1(21-=x y 故 ⎰⎰=---=313226)2()1(41πππdx x dx x V x . 例3 设平面图形由,2x y =与直线x =1,y =0围成,求：（1）绕x 轴旋转所成的旋转体的体积；（2）绕y 轴旋转所成的旋转体的体积.设立体在x 轴的投影区间为],[b a ,过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截,截面面积为A (x ),则体积元素为A (x )dx ,立体的体积为dx x A V b a )(⎰=例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α,计算这平面截圆柱所得立体的体积解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴,底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴,那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2,立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形,两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -,因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -=,于是所求的体积为dx x R V R R αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R R R =-=-. 二、平面曲线的弧长设A ,B 是曲线弧上的两个端点,在弧AB 上任取分点A =M 0,M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅ ,M i -1,M i ,⋅ ⋅ ⋅,M n -1,M n =B ,并依次连接相邻的分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时,如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在,则称此极限为曲线弧AB 的弧长,并称此曲线弧AB 是可求长的.定理光滑曲线弧是可求长的1、直角坐标情况设曲线弧由方程))((b x a x f y ≤≤=给出,其中)(x f y =在区间],[b a 上具有一阶连续导数,这曲线弧的长度为()dx x f s ba ⎰+=21例5 求曲线()21ln x y -=相应于210≤≤x 的一段曲线的弧长. 解 由已知,有 dx x x s ⎰-+=2102211dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=21011111 21011ln 21x x -++-=3ln 21+-=. 2、参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出,其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数,其弧长为⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22. 例6 计算摆线x =a (θ-sin θ),y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度.解 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=. 所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a .。
定积分的几何学原理及应用
定积分的几何学原理及应用一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积、空间体积以及曲线长度等几何问题。
定积分的计算依赖于黎曼和的理论，通过将曲线或曲面分割成若干个小块，然后对这些小块的面积或体积进行求和来进行计算。
二、定积分的几何学原理定积分的几何学原理有以下三个方面的内容：1.曲线下面积的计算：对于一个实数区间[a, b]上的函数f(x)，我们可以将其图像与x轴围成的曲线下的面积用定积分来表示。
通过将[a, b]区间分割成n个小区间，选取每个小区间上的一点，然后以这些小区间上的任意一点作为高，将每个小区间上的矩形面积进行求和，得到的极限就是曲线下面积的近似值。
当再令n趋于无穷大时，就得到了定积分表示的曲线下面积的准确值。
2.曲线长度的计算：类似于曲线下面积的计算，曲线的长度也可以用定积分来表示。
通过将曲线分割成若干个小线段，并将每个小线段的长度进行求和，就可以得到曲线的长度的近似值。
当分割的线段越来越小，小线段的数量趋近于无穷大时，得到的极限就是曲线的长度的准确值。
3.空间体积的计算：除了用于计算平面曲线的面积和长度外，定积分还可以用于计算空间中曲面下面体积的大小。
通过将曲面分割为许多小面元，并将每个小面元的体积进行求和，可以得到曲面下面体积的近似值。
当分割的小面元越来越小，小面元的数量趋近于无穷大时，得到的极限就是曲面下面体积的准确值。
三、定积分的几何学应用定积分作为微积分中的重要工具，广泛应用于几何学中的各种问题求解。
以下是几个典型的应用案例：1.求解平面区域面积：通过将平面分割成若干个小矩形或小三角形，然后计算每个小矩形或小三角形的面积，并将其进行求和，可以得到给定平面区域的面积。
这在工程测量、物体表面积的计算等方面有重要应用。
2.求解线段长度：对于给定的曲线或曲面，通过将其分割成若干个小线段，然后计算每个小线段的长度，并将其进行求和，可以得到曲线或曲面的长度。
这种方法在导航、路径规划等领域中被广泛应用。
定积分在几何中的应用
设切点（x0，x0 ）则，切线的斜率k＝2x 0 2 y − x0 = 2 x0 ( x − x0 )
A x
即，y = 2 x0 ( x − x0 ) + x0
2
o
S=∫
x0
0
1 1 1 2 x dx − × x0 × x0 = 12 2 2
2
解之得：x0 = 1 所以，切线方程为：y＝2x－1;
设抛物线y＝ 例4 设抛物线 ＝ax2＋bx(a＜0，b＞0) ( ＜ ＞ 轴所围成图形的面积为S 与x轴所围成图形的面积为S，若该抛物 线与直线x 相切， 变化时， 线与直线x＋y＝4相切，当a，b变化时， ， 变化时 的最大值. 求S的最大值. l
2
练习3.已知y = x 2 − 2 x及直线x = 0, x = a, y = 0围 4 成的平面图形面积为 ，求a的值。 3
小结作业
1.定积分在几何中的应用， 1.定积分在几何中的应用，主要用 定积分在几何中的应用 于求平面曲边图形的面积.解题时， 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图， 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 对于非规则曲边梯形， 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形， 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积. 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积， 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解. 公式求解.
y ＝x －4 B A O D 4 8 x 4 C
y=
2x
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD. 曲边梯形OABC 三角形ABD.
定积分在几何学上的应用
y e
1
y ex
xy e
ln x , ln y , ln y ln y ,
e 1 x 1 e y 1
1
o
1 e
1 e
xy 1 e
1
y
x e
ex
故在区域
同理其它.
返回
面积为
1 e
1
dx
e 1
dx
2. 试用定积分求圆 旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .
Ro R x
说明: 上式可变形为
V R
2
此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).
求侧面积 :
S 2
R 0
2 1 y dx 2 (b R x )
2
2
y
b
Ro R x
利用对称性
2 2 (b R x ) 1 y dx 0
2 2
2
R
二者 y 2 相同
第二节 定积分在几何学上的应用
第二节 定积分在几何学上的应用 一、平面区域的面积
二、空间体的体积
Hale Waihona Puke 、平面曲线的弧长四、内容小结
返回
一、平面区域的面积
1、直角坐标系下面积计算
例1 求抛物线 y x2 与 x2 2 y 所围成区域的面积。 解： 如图所示
① 求交点坐标
y x2 A(-1,1)， B(1,1) 2 x 2 y 确定积分变量 x － 1， 1
三、平面曲线的弧长
1. 直角坐标形式： 设y f ( x )在[a , b]上有一阶连续导数， 则对应弧长为
s
b
a
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b a 2 2 [ a 2 x 1 3 x 3 ] a a 3 4 a 2 b
8
此题也可利用椭圆的参数方程求解
x a cost
y
b sin
t
则
V2 a y2dx 2
2
ab2sin3tdt
0
0
2ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
时,
就得半径为a
的球体的体积
4 3
a3 .
并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所得
立体的体积.
R
解 取坐标系如图 底圆方程 x2y2R2
O
x
垂直于x轴的截面为直角三角形.
R
h hy
x
底y R2 x2, 高 h R2x2tan,
截面面积 A(x)1(R2x2)tan,
2
立体体积V 2 R1(R2x2)tandx 2R3tan.
02
3
14
可否选择y作积分变量? R
则旋转椭球体的体积为
V a a y 2 d V a a a a y b a 2 2 2 d ( a 2 x a x a 2 ) d b a 2 2 ( a 2 x x 2 ) d xx
b a 2 2 [ a 2 x 1 3 x 3 ] a a 3 4 a 2 b
a2(t sint)2asintdt
a2(tsint)2asintdt
2
0
a3 2 (t sin t )2 sin tdt 令u t
0
2 (t2sit n 2 ts2 itn s3 it) n d t63a3. 0
12
2. 平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体, 但却知道该立体
直线 yc,yd及 y 轴所围成的曲边梯形绕
y 轴旋转一周而成的立体, 体积为多少?
体积元素
y
dV[( y)]2dy
旋转体的体积
d
x(y)
V d[(y)]2dy c
c
O
x
4
旋转体的体积： V a b [ f ( x ) 2 d ] x
例 求yx2在[0,1]上绕 x轴旋转形成的 . 体积
9
解（2）若椭圆 绕y轴旋转 (只需用右半) 椭圆
y b 积分区间: x [a,a].
a
O
ax 微分元素:
b
dVx2dyab22 (b2y2)dy.
V bd Va 2 b(b 2 y 2 )dy4a 2 b .
b
b 2 b
3
10
例 求摆线 x a (t sti)n y , a (1 cto ) 的一s拱
此时截面面积函数是什么?
O
如何用定积分表示体积?
作一下垂直于y轴的截面是 矩形
y
R
(x, y)
x
截面长为 2 x , 宽为 ytan.
截面面积 A(y)2xytan2y R2y2tan
V
R
A(y)dy
R
2y
R2y2tan dy
0
0
2R3tan.
3 15
二、平面曲线的弧长
y
1. 平面曲线弧长的概念x 轴旋转一周而源自的立体,体积为多少?采用元素法
y
yf(x)
取积分变量为x, x[a,b],
在[a, b]上任取小区间
O
[x,xdx],取以dx为底的
a x xdx b
x
小曲边梯形绕 x 轴旋转而
成的薄片的 体积元素 dV[ f (x)]2dx
旋转体的体积 V b[f(x)]2dx a 3
(2) 如果旋转体是由连续曲线 x(y),
h r 2 2 [ 1 3 x 3 ] 0 h 1 3 h 2 r
h r 2 2 [ 1 3 x 3 ] 0 h 1 3 h 2 r 7
椭球体的体积公式推导：
例 计算由椭圆 x2 而成的旋转体的体积。a2
y2 b2
1
所成的图形分别绕x,
y
轴旋转
解（1） 若 椭 圆 绕 x 轴 旋 转 ( 只 需 用 上 半 椭 圆 )
与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的
旋转体的体积.
y
解 绕 x轴旋转的旋转体体积
V x
2a y2(x)dx 变量代换
O
2a x
2x 0aa(tsitn)
0
02a2(1cot)s2a(1co t)d ts
a 32 (1 3 cto 3 s c2 o t c s3 o t)d ts52a3. 0
y
y x2
解 取积分变量为x, x[0,1]
体积元素
o
1
x
dVy2dx x4dx
V 1 x4dx
0
5
5
例 求抛物 yx线 2和y x所围成图 y轴形绕
旋转所得旋转体的体积 .
y y x
解 两曲线的交点为 (0,0)和(1,1). 1
• (1,1)
绕y轴旋转
1
V (
y)2dy 1(y2)2dyO
0
0
1
(
y
y4
)dy
0
y x2
x
3 10
6
圆锥体的体积公式推导：
例 连接坐标原点O及点P(h, r)的直线、直线xh及x轴 围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、 高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积
解 解 直 角 三 角 形 斜 边 的 直 线 方 程 为 y r x
V 0 h ( h r x ) 2 d h x
上垂直于一定轴的各个截面面积, 那么,这个立体
的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点x
Oa
A( x)
x•
且垂直于x轴的
xxdx
截面面积, A( x) 为x的已知连续函数.
bx
体积元素 dVA (x)dx
采用元素法
立体体积
b
V A(x)dx.
a
13
例 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,
第二节 定积分在几何学上的应用
体积 平面曲线的弧长 典型例题
第六章 定积分的应用
1
一、体 积
1. 旋转体的体积 旋转体 由一个平面图形绕 这平面内一条直线 旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
2
(1) 如果旋转体是由连续曲线 y f(x),
直线 xa,xb及 x 轴所围成的曲边梯形绕
11
绕 y轴旋转的旋转体体积 可看作平面图OABC与OBC
摆线
x y
a(t sint) a(1cost)
分别绕 y轴旋转构成的旋转 体的体积之差.
y
2aC
B xx2(y)
V y
2a( B
x) 2 2
(
y)dy
x ( 2a(B ) 2 1
y)dy
oOxx1(ya)
A
2a x
0( A)
0(O )
M 2•
Mi
•
设A、B是曲线弧上
M 1•
的两个端点, 在弧上
•Mn1
B M n
插入分点
A M0
A M 0,M 1 , M i, ,M n 1,M nOB
x
并依次连接相邻分点得一内接折线, 当分点的数目
无限增加且每个小弧段都缩向一点时, 此折线的长
n
| Mi1Mi | 的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB