2005全国高考数学3试卷与答案
2005全国高考数学3试卷与答案
2005年高考理科数学全国卷（三）（必修+选修Ⅱ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟。
第I 卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径一. 选择题：每小题5分，共60分。
1. 已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是（ ） A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限2. 已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x +y －1=0平行，则m 的值为（ ）A. 0B. －8C. 2D. 103. 在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）A. －14B. 14C. －28D. 284. 设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ）A. 16VB. 14VC. 13VD. 12V 5. =+--+-→)342231(lim 221x x x x n （ ） A. 21- B. 21 C. 61- D. 61 6. 若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ） A. a <b<c B. c<b<a C. c<a <bD. b<a <c 7. 设02x π≤≤,sin cos x x -，则（ ）A. 0x π≤≤B. 744x ππ≤≤C. 544x ππ≤≤ D. 322x ππ≤≤ 8. αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+＝（ ） A. tan α B. tan 2α C. 1 D. 129. 已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅= 则点M 到x 轴的距离为（ ）A. 43B. 53C.D. 10. 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.B. C. 2 D. 111. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）A. 3个B. 4个C. 6个D. 7个12. 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～A. 6EB. 72C. 5FD. B0第Ⅱ卷二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2005年高考数学试题全集32套
2005年全国高考数学试题全集（3）(10套)目录2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） (2)2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (15)2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷） (25)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷） (34)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（重庆卷） (46)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（浙江卷） (57)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（浙江卷） (68)2005年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷） (77)2005年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷） (86)2005年上海市普通高等学校春季招生考试 (94)2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．10100610480C C C ⋅ B ．10100410680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅ D ．10100420680C C C ⋅ 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④ 5．函数1ln(2++=x x y 的反函数是（ ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2x x e e y --= D ．2xx e e y ---=6．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(7．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范 围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）9．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－810．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ11．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2112．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．nxx )2(2121--的展开式中常数项是 .14．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 16．ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB.（Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长. 18．（本小题满分12分）如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.0>>x y（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？19．（本小题满分12分）已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ；（Ⅱ）证明.332<n S20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示） 21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
2005年高考数学试卷(详细解答)(广东卷)
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
第一部分选择题(共50分)
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
( 6 )函数 是减函数的区间为（）
A． B． C． D．（0，2）
【答案】D
解:∵
，故选D．
( 7 )给出下列关于互不相同的直线 、 、 和平面 、 ，的四个命题：
①若 ，点 ，则 与 不共面；
②若m、l是异面直线, ,且 ，则 ；
③若 , ，则 ；
④若 点 ， ，则 ．
其中为假命题的是
A．①B．②C．③D．④
( 1 )若集合 ，则M∩N （）
A．{3}B．{0}C．{0，2}D．{0，3}
【答案】B
解:∵由 ，得 ，
由 ，得 ，
∴M∩N ，故选B．
( 2 )若 ，其中a、b∈R，i是虚数单位，则 =（）
A．0B．2C． D．5
【答案】D
解:∵ ，∴ ，
， ，故选D．
( 3 ) =（）
A． B．0C． D．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
最小值；若不存在，请说明理由．
2005年普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数学理(三)(附答案)
普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类(三)本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.第Ⅰ卷 (选择题共 60分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A ＋B)=P(A)＋P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn kkn n )p 1(p C )k (P --=球的表面积公式S =4πR 2，其中R 表示球的半径 球的体积公式V =34πR 3，其中R 表示球的半径 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.准线方程为x =3的抛物线的标准方程为A ．y 2=－6x B.y 2=－12xC.y 2=6xD.y 2=12x 2.函数y =sin2x 是A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数D.最小正周期为2π的偶函数3.函数y =x 2＋1(x ≤0)的反函数是 A.y =－1x +(x ≥1) B.y =－1x +(x ≥－1) C.y =1x -(x ≥1)D.y =－1x -(x ≥1)4.已知向量a =(2,1)，b =(x,－2)，且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于 A.－6 B.6 C.－4 D.45.a =－1是直线ax ＋(2a －1)y ＋1=0和直线3x ＋ay ＋3=0垂直的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 6.已知直线a 、b 与平面a ，给出下列四个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α ②若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b ③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 7.函数y =sinx ＋cosx,x ∈R 的单调递增区间是 A.[43k 2,4k 2π+ππ-π](k ∈Z )B.[4k 2,43k 2π+ππ-π](k ∈Z ) C.[2k 2,2k 2π+ππ-π](k ∈Z ) D.[8k ,83k π+ππ-π](k ∈Z )8.设集合{}{}R x ,1x y |y N ,R x ,2y |y M 2x∈+==∈==，则M ∩N 是 A.øB.有限集C.MD.N9.已知函数f(x)满足2f(x)－f(x1)|x |1=,则f(x)的最小值是A.32B.2C.322 D.2210.若双曲线x 2－y 2=1的左支上一点P(a,b)的直线y =x 的距离为2，则a ＋b 的值为 A.－21 B.21 C.－2 D.211.若一个四面体由长度为1、2、3的三种棱构成，则这样的四面体的个数是 A.2 B.4 C.6 D.812.某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种贴水债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元.设这三种债券的年收益率分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 的大小关系是A.a =c 且a ＜bB.a ＜b ＜cC.a ＜c ＜bD.c ＜a ＜b普通高等学校招生全国统一考试仿真试卷数 学 理工农医类(三)第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)13.已知f(x ＋1)=3x ＋4，则f －1(x ＋1)=___________.14.在一个棱长为65cm 的正四面体内有一点P ，它到三个面的距离分别是1cm ，2cm ，3cm ，则它到第四个面的距离为___________cm. 15.设等比数列｛qn －1｝(q ＞1)的前n 项和为S n ，前n ＋1项的和为S n ＋1，则∞→n lim1S S n n+=__________________. 16.抛物线y =x 2和圆x 2＋(y －3)2=1上最近两点的距离是_____________.三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)如图，用A 、B 、C 、D 四类不同的元件连接成系统N ，当元件A 正常工作且元件B 、C 都正常工作，或当元件A 正常工作且元件D 正常工作时，系统N 正常工作.已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为54，43，43，32. (1)求元件A 不正常工作的概率；(2)求元件A 、B 、C 都正常工作的概率；(3)求系统N 正常工作的概率.18.(本小题满分12分)设a 、b 是两个不共线的非零向量(t ∈R ). (1)若a 与b 起点相同，t 为何值时，a 、tb 、31(a ＋b)三向量的终点在一直线上？(2)若|a|=|b|且a 与b 夹角为60°，那么t 为何值时，|a －tb|的值最小？19.(本小题满分12分)已知数列｛a n ｝中，a 1=1,a 2=2,数列｛a n ·a n ＋1｝是公比为q(q ＞0)的等比数列.(1)求使a n ·a n ＋1＋a n ＋1·a n ＋2＞a n ＋2·a n ＋3(n ∈N *)成立的q 的取值范围；(2)若b n =a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)，求b n 的表达方式；(3)若S n =b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n ，并求∞→n lim nS 1.20.(本小题满分12分) 如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BCD =90°，PA =PB ，BC =PD.(1)证明：CD 与平面PAD 不重直；(2)证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；(3)如果CD =AD ＋BC ，二面角P －BC －A 等于60°，求二面角P －CD －A 的大小.21.(本小题满分为12分) 已知函数f(x)=1x cbx ++的图象过原点，且关于点(－1,1)成中心对称. (1)求函数f(x)的解析式；(2)若数列｛a n ｝(n ∈N *)满足：a n ＞0,a 1=1,a n ＋1=[f(n a )]2，求a 2、a 3、a 4的值，猜想数列｛a n ｝的通项公式a n ，并证明你的结论；(3)若数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，判断S n 与2的大小关系，并证明你的结论.22.(本小题满分14分)已知双曲线=-2222by a x 1(a ＞0,b ＞0)的两准线间的距离为3，右焦点到直线x ＋y －1=0的距离为22. (1)求双曲线方程；(2)设直线y =kx ＋m(k ≠0,m ≠0)，与双曲线交于不同的两点C 、D ，若A 的坐标为(0,－b)，且|AC|=|AD|，求k 的取值范围.仿真试题(三)一、选择题 1.B 2.A3.D 注意反函数与原函数的定义域、值域之间的关系即知选D.4.C5.A a =0时两直线也垂直，故所给条件非必要.6.B 只要①④是正确的.7.B8.D M =(0，+∞)，N =[1，+∞]，选D. 9.C 以x 1代x ，得2f(x 1)-f(x)=|x|，与已知的等式联立解得f(x)=)|x |2|x (|31+，用基本不等式得C.10.A 由图可知符合题意的点在第二象限，由⎪⎩⎪⎨⎧-=-,22a b ,1b a 22两式相除得A.11.B12.C a =0.04，b ≈0.0416，c =0.0404. 二、填空题13.x 31 先求得f(x)=3x+1，再求得f -1(x)=31x -，再代入x+1得. 14.4 用体积法，整体体积等于各部分体积之和.15.q 116.11121- 用参数法，设抛物线上的点为(t ，t 2)，研究抛物线上的点与圆心(0，3)的最短距离. 三、填空题17.解：(1)元件A 正常工作的概率P(A)=32， 它不正常工作的概率P(A )=1-P(A) 2分 =31.3分(2)元件A 、B 、C 都正常工作的概率 P(A ·B ·C)=P(A)P(B)P(C) 5分 83434332==∙∙. 6分(3)系统N 正常工作可分为A 、B 、C 都正常工作和A 、D 正常但B 、C 不正常工作两种情况，前者概率为83， 7分后者的概率为P(A ·B ·C ·D)+P(A ·B ·C ·D)+P(A ·B ·C ·D) 544141325441433254434132∙∙∙∙∙∙∙∙∙++= 10分 =307. 11分所以系统N 正常工作的概率是1207330783=+. 12分18.解：(1)由题意可设a-tb =m[a-31(a+b)](m ∈R)， 化简得(3m 2-1)a =(3m-t)b. 2分∵a 与b 不共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0t 3m13m2 ⎪⎩⎪⎨⎧==.21t ,23m ∴t =21时，a 、tb 、31(a+b)终点在一直线上. 6分(2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t 2|b|-2t|a| |b|cos60°=(1+t 2-t)|a|2， 9分 ∴t =21时，|a-tb|有最小值23|a|. 12分19.解：(1)由题意a n ·a n+1=2q n-1，故a n ·a n+1+a n+1·a n+2＞a n+2·a n+3可化为2q n-1+2q n ＞2q n+1，又q ＞0， ∴q 2-q-1＜0.∴0＜q ＜251+. 4分(2)由a n ·a n+1=2q n-1，a n-1·a n =2q n-2,∴.q a a 1n 1n =-+∴{a n }的奇数项依次成等比数列，∴a 2n-1=q n-1；{a n }的偶数项依次成等比数列，∴a 2n =2q n-1.∴b n =3q n-1.8分(3)①当q =1时，S n =3n ，n 31S 1n =， 此时0Sn1limn =∞→. 10分②q ≠1时，q 1)q 1(3S 2n --=，)q 1(3q1S 1n n --=， 若0＜q ＜1，则 3q1Sn 1lim n -=∞→， 若q ＞1，则 0Sn1limn =∞→. 12分 20.(1)证明：若CD ⊥平面PAD ， 1分 则CD ⊥PD ，2分 由已知PC =PD ，得∠PCD =∠PDC ＜90°，这与CD ⊥PD 矛盾，所以CD 与平面PAD 不垂直.3分 (2)证明：取AB 、CD 的中点E 、F ，连接PE 、PF 、EF ， 由PA =PB ，PC =PD ，得PE ⊥AB ，PF ⊥CD. 5分∴EF 为直角梯形的中位线. ∴EF ⊥CD ，又PF ∩EF =F. ∴CD ⊥平面PEF.6分 由PE ⊂平面PEF ，得CD ⊥PE ，又AB ⊥PE 且梯形两腰AB 、CD 必相交，∴PE ⊥平面ABCD. 7分 又PE ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面ABCD.8分 (3)解：由(2)及二面角的定义知∠PFE 为二面角P —CD —A 的平面角，9分作EG ⊥BC 于G ，连PG ，由三垂线定理得BC ⊥PG ， 故∠PGE 为二面角P —BC —A 的平面角. 10分即∠PGE =60°，由已知，得EF =21(AD+BC)=21CD. 又EG =CF =21CD ， ∴EF =EG ，易证得Rt △PEF ≌Rt △PEG.11分∴∠PEF =∠PGE =60°即为所求. 12分21.(1)解：∵函数f(x)=1x c bx ++的图象过原点，即f(0)=0，∴c =0，∴1x bx)x (f +=.2分又函数1x b b 1x bx )x (f +-=+=的图象关于点(-1，1)成中心对称，∴b =1.∴1x x)x (f +=. 4分(2)解：由题意有2n n 1n ]1a a [a +=+，即1a a a n n1n +=+， 即1a 1a 1n1n +=+，∴1a 1a 1n1n =-+.∴数列{na 1}是以1为首项，1为公差的等差数列.6分∴n )1n (1a 1n=-+=，即n 1a n =.∴2n n1a =. ∴a 2=41，a 3=91，a 4=161，a n =2n1. 8分 (3)证明：当n ≥2时，a n =n 11n 1)1n (n 1n12--=-<. 10分∴S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ＜1+(1-21)+(3121-)+(4131-)+…+(n11n 1--)=2-n 1＜2. 故S n ＜2.12分22.解：(1)设双曲线的右焦点为(c ，0)(c ＞0)，则222|1c |=-. 2分求得c =2，又c a 22=3.∴a 2=3，b 2=1.∴所求双曲线方程为1y 3x 22=-.6分 (2)联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1y 3x m kx y 22消去y ，得(3k 2-1)x 2+6kmx+(3m 2+3)=0， 8分当3k 2-1≠0即k ≠±33时， ①△=(6km)2-12(3k 2-1)(m 2+1)=12(m 2-3k 2+1)，②令△＞0得m 2-3k 2+1＞0，设C(x 1，y 1)、D(x 2，y 2)，CD 的中点P(x 3，y 3)， ∵|AC|=|AD|，∴AP ⊥CD. x 1+x 2=1k 3km 62--，x 3=1k 3km32x x 221--=+. y 3=kx 3+m =1k 3mk 322--+m =1k 3m 2--.则km 31m k 3km 31k 31k 31k 3m x x y y k 2222Ap A p AP ---=----+-=--=∙. 由AP ⊥CD ，得k 1km 31m k 32-=---(k ≠0，m ≠0)，化简得3k 2=4m+1，m =41k 32-，③把③代入②得(41k 32-)2-3k 2+1＞0，即(3k 2-1)(3k 2-17)＞0，10分∴⎩⎨⎧>->-017k 3,01k 322或⎩⎨⎧<-<-.017k 3,01k 322∴3k 2＞17或3k 2＜1. 解得k ＞351，或k ＜-315，或33-＜k ＜33. ④又已知k ≠0，∴由①、④得k 的取值范围为k ＜-351，或33-＜k ＜0，或0＜k ＜33，或k ＞351. 14分。
C02--2005年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(全国卷Ⅲ.理)(四川)
2005年全国高考数学试卷三（四川理）(必修+选修II)第一卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是( ) A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限 解：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈,∴3224k k k Z παπππ+<<+∈,可知2α在第二象限或第四象限,选(D)2、已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则的值为 ( )A 0B 8-C 2D 10 解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a =(1,-2),(2,4)AB m m =+-,由AB a 即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)3、若()()811x x -+的展开式中5x 的系数是( )A 14-B 14C 28-D 28解：(x+1)8展开式中x 4,x 5的系数分别为48C ,58C ,∴(x-1)(x+1)8展开式中x 5的系数为458814C C -=,选(B)4、设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，P Q 、分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为( )A 16V B 14V C 13V D 12V 解：如图，1111111113A ABCB A BC B AC Q ABC A B C V V V V ----===111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+,∵AF=QC 1,∴APQC 1,APQC 都是平行四边形, ∴111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+=12(11B CQA B PCA V V --+) =1111223ABC A B C V -⋅=11113ABC A B C V -,选(C) 5、22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-= ⎪-+-+⎝⎭ ( ) A 12-B 12C 16-D 16解：22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-= ⎪-+-+⎝⎭112lim (1)(2)(1)(3)x x x x x →⎛⎫-= ⎪----⎝⎭11(1)11limlim (1)(2)(3)(2)(3)2x x x x x x x x →→---==------,选(A)6、若ln 2ln 3ln 5235a b c ===，，，则( ) A a b c << B c b a << C c a b << D b a c <<解：由题意得a=lnln ln ∵62353153525105(5)(2)2(2)(3)3=<==<=,∴c<a<b,选(C)7、设02x π≤<sin cos x x =-，则（ ）A 0x π≤≤ B744x ππ≤≤C 544x ππ≤≤D 322x ππ≤≤sin cos x x =-得|sinx-cosx|=sinx-cosx,又02x π≤<, ∴544x ππ≤≤,选(C) 8、22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+ ( ) A tan α B tan 2α C 1 D 12解：22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+222sin 2cos tan 22cos cos 2ααααα⋅=,选(B) 9、已知双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为（ ）A 43B 53解：由120MF MF ⋅=,得MF 1⊥MF 2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上，且在x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵,得x 2=53,y 2=23,由此可知M 点到x 轴的距离是3,选(C)10、设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A2 B 12C 21解：由题意可得22b c a =,∵b 2=a 2-c 2e=ca,得e 2+2e-1=0,∵e>1,解得1,选(D) 11、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）A 3个B 4个C 6个D 7个 解：共有7个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选(D)12、计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 共16个记数符十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 6E B 72 C 5F D B0解：∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选(A) 二、填空题：本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。
高一数学下第5章《向量的应用》解析及答案
高一数学下第5章《向量的应用》解析及答案巩固基础 一、自主梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用,能将当前的问题转化为可用向量解决的问题,培养学生的创新精神和应用能力.二、点击双基1.(理)(2005全国高考卷Ⅲ,理)已知双曲线x 2-22y =1的焦点F 1、F 2，点M 在双曲线上且1MF ·2MF =0，则点M 到x 轴的距离为( )A.34B.35C.332 D.3解析：如图，不妨设M 在右支上，则MF 1⊥MF 2.设|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2,由定义r 1-r 2=2a=2. ① Rt △MF 1F 2中，r 12+r 22=(2c)2=12. ② ①式平方代入②后得r 1r 2=4,∴S △MF1F2=21r 1r 2=2=21|F 1F 2|·h=21×23h.∴h=332.答案：C(文)若O 是△ABC 内一点,++=0,则O 是△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC,则=+. 又OA +OB +OC =0, ∴+=-. ∴-=.∴O 为AD 的中点,且A 、O 、D 共线.又E 为OD 的中点,∴O 是中线AE 的三等分点,且OA=32AE.∴O 是△ABC 的重心. 答案：D2.(2006山东潍坊检测)已知点A(3,1)、B(0,0)、C(3,0),设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E,若=λ,则λ等于 …( )A.-23B.23C.-3D.-31解析：由=λ,得λ=BE BE =-1-=-1-21=-23.故选择A.答案：A3.(2006湖北八校联考)(理)已知向量a=(2cosα,2cosβ),b=(3cosβ,3sinβ),若a 与b 的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+21=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=21的位置关系是( )A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离解析：由题意得32)sin sin cos (cos 6⨯+βαβα=21,∴cosαcosβ+sinαsinβ=21.圆心为(cosβ,-sinβ). 设圆心到直线的距离为d,则d=1|21sin sin cos cos |++βαβα=1>22,∴直线和圆相离.故选D. 答案：D(文)已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|+|=|-|,其中O 为原点,则实数a 的值为( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6解析：由|OA +OB |=|OA -OB |,得OA ·OB =0,∴OA ⊥OB. 联立方程组⎩⎨⎧=+=+,4,22y x a y x 整理得2x 2-2ax+(a 2-4)=0, 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),∴x 1+x 2=a,x 1·x 2=242-a .∴y 1·y 2=(a-x 1)·(a-x 2)=a 2-a(x 1+x 2)+x 1x 2=21a 2-2.∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴242-a +22a -2=0.∴a 2=4.∴a=±2.又∵Δ=(-2a)2-8(a 2-4)>0,∴a 2<8.∴a ∈(-22,22),而±2∈(-22,22).故选C. 答案：C4.在四边形ABCD 中，·=0,=，则四边形ABCD 是______________________.解析：由·=0知⊥.由=知BC AD.∴四边形ABCD 是矩形. 答案：矩形5.若a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb 成立的实数x 、y 取值是_____________.解析：依题意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),⎩⎨⎧=+-=-,53,3y x y x 解得⎩⎨⎧==.4,7y x答案：7、4训练思维【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t ，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不埽 胨得骼碛? 解：(1)OP =+t =(1+3t,2+3t).若P 在x 轴上，则2+3t=0,∴t=-32; 若P 在y 轴上，只需1+3t=0,∴t=-31;若P 在第二象限，则⎩⎨⎧>+<+.032,031t t ∴-32<t<-31.(2)∵=(1,2)，=(3-3t,3-3t).若OABP 为平行四边形，则=.⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解,∴四边形OABP 不能成为平行四边形.链接·聚焦本题第(2)问还可以利用共线的充要条件： ∵=+t AB ,∴-=t AB . ∴=t AB .∴A 、B 、P 共线. ∴四边形OABP 不能成为平行四边形.【例2】 已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示. (1)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立； (2)设a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标； (3)求使f(c)=(p 、q)(p 、q 为常数)的向量c 的坐标. 解：(1)设a=(a 1,a 2),b=(b 1,b 2),则ma+nb=(ma 1+nb 1,ma 2+nb 2). ∴f(ma+nb)=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1),mf(a)+nf(b)=m(a 2,2a 2-a 1)+n(b 2,2b 2-b 1)=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1). ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. (2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1), f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q. ∴x=2p-q ，即向量c=(2p-q,p).讲评：要利用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题，这也是向量运算中比较常用的方法.【例3】 已知m 、n 、p 、q ∈R,求证：mp+nq≤22n m +·22q p +.剖析：本题若采用平方法，则需对mp+nq 的符号进行讨论，然后再平方，若能把握其结构特点，联想到平面向量的数量积性质，则问题容易解决. 证明：设a=(m,n),b=(p,q), 度 ∵|a·b|≤|a||b|,∴|mp+nq|≤22n m +·22q p +. ∴mp+nq ≤22n m +·22q p +.状元训练复习篇1.(2004辽宁高考)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PA ·PB =x 2,则点P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析：=(-2-x,-y),=(3-x,-y),·=(-2-x)(3-x)+(-y)2=x 2,整理得y 2=x+6.∴P 点的轨迹为抛物线. 答案：D2.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心30 km 内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为( )A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h 解析：台风中心移动t h,城市B 处在危险区,则(20t)2+402-2×20t×40×cos45°≤900.∴2-21≤t≤2+21.∴B 城市处在危险区的时间为1 h.答案：B3.已知向量集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N 等于( ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.∅解析：⎩⎨⎧+-=++-=+21215242,4231λλλλ∴⎩⎨⎧=-=0,121λλ(注意λ不一定相等).∴M∩N={(-2,2)}. 答案：C4.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°,塔底俯角为45°,那么这座塔的高为_______________________. 解析：如图,AD=DC=20. ∴BD=ADtan60°=203. ∴塔高为20(1+3) m.答案：20(1+3) m5.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_____方向行驶. 解析：如右图,为使小船所走路程最短,v 水+v 船应与岸垂直.又v 水==1,v 船==2,∠ADC=90°,∴∠CAD=45°. 答案：与水速成135°角的6.平面内有向量OA =(1,7)，OB =(5,1)，OP =(2,1)，点X 为直线OP 上的一个动点. (1)当·取最小值时，求的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AXB 的值. 解：(1)设OX =(x,y),∵点X 在直线OP 上， ∴向量与共线.又OP =(2,1),∵x·1-y·2=0,即x=2y,∴OX =(2y,y). 又=-=(1,7)-(2y,y), ∴=(1-2y,7-y).同理,=-=(5-2y,1-y).于是,·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y 2-12y+5+y 2-8y+7=5y 2-20y+12 =5(y-2)2-8.由二次函数的知识，可知当y=2时，XA ·XB =5(y-2)2-8有最小值-8，此时OX =(4,2). (2)当=(4,2)，即y=2时，有=(-3,5)，=(1，-1)，||=34,||=2,·=(-3)×1+5×(-1)=-8,∴cos ∠AXB=||||XB XA =2348∙-=-17174.讲评：向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的直角坐标去研究有关长度、角度和垂直问题.7.已知向量a=(cos 23x,sin 23x),b=(cos 2x ,-sin 2x ),且x ∈［0，2π］.求：(1)a·b 及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-23，求λ的值. 解：(1)a·b=cos 23x·cos 2x -sin 23x·sin 2x =cos2x,|a+b|=22)2sin 23(sin )2cos 23(cos xx x x -++ =x 2cos 22+=2x 2cos .∵x ∈［0，2π］，∴cosx>0.∴|a+b|=2cosx.(2)f(x)=cos2x-4λcosx,即f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.∵x ∈［0,2π］，∴0≤cosx≤1.①当λ<0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾.②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2，由已知得-1-2λ2=-23,解得λ=21.③当λ>1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1-4λ.由已知得1-4λ=-23，解得λ=85.这与λ>1相矛盾.综上所述，λ=21为所求.加强篇8.(2006北京海淀模拟)设a =(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π),a 与c 的夹角为θ1,b 与c 的夹角为θ2,且θ1-θ2=6π,求sin 4βα-的值.解：a=(2cos 22α,2sin 2αcos 2α) =2cos 2α(cos 2α,sin 2α),b=(2sin 22β,2sin 2βcos 2β) =2sin 2β(sin 2β,cos 2β), ∵α∈(0,π),β∈(π,2π),∴2α∈(0,2π),2β∈(2π,π).故|a|=2cos 2α,|b|=2sin 2β,cos θ1=||||c a c a ∙=2cos22cos 22αα=cos 2α, cos θ2=||||c b c b ∙=2sin22sin 22ββ=sin 2β=cos(2β-2π).∴θ1=2α. ∵0<2β-2π<2π,∴θ2=2β-2π.又θ1-θ2=6π,∴2α-2β+2π=6π.故2βα-=-3π,∴sin 4βα-=sin(-6π)=-21.讲评：本题考查向量的坐标表示及其运算，向量数量积的夹角公式的运用，注意角度范围的变化应用，结合三角函数的关系进行求值.9.(全新创编题)如图所示，点F(a,0)(a>0),点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上，N 为动点，且·=0,+=0.(1)求点N 的轨迹C 的方程；(2)过点F(a,0)的直线l(不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点，设点K(-a,0),与的夹角为θ，求证：0<θ<2π.解：(1)设N(x,y)、M(x 0,0)、P(0,y 0),则PM =(x 0,-y 0),PF =(a,-y 0),PN =(x,y-y 0).由·=0,得ax 0+y 02=0. ① 由+=0，得(x+x 0,y-2y 0)=0,即⎩⎨⎧=-=+.02,000y y x x 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,00yy x x代入①,得y 2=4ax 即为所求.(2)设l 的方程为y=k(x-a),由⎩⎨⎧-==),(,42a x k y ax y 消去x,得y 2-k a 4y-4a 2=0.设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 1y 2=-4a 2,KA =(x 1+a,y 1),KB =(x 2+a,y 2),·=(x 1+a)(x 2+a)+y 1y 2=x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=22221)4(a y y +a·(a y 421+a y 422)+a 2-4a 2=41(y 12+y 22)-2a 2>41(2|y 1y 2|)-2a 2=21×4a 2-2a 2=0,所以cos θ=>0.所以0<θ<2π.讲评：向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.本题是将向量与解析几何、方程、不等式以及三角函数等知识有机结合，体现了《考试大纲》要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神，我们预测今年的向量高考题的难度可能上升到压轴题水平. 一、教学思路向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛，教学要结合实例，引导学生把向量的相关知识和实际问题相结合，渗透向量解决问题的高效性.二、注意问题与向量相关的综合应用问题类型较多，往往都和几何图形或某种类型曲线相关联，这就要求在转化成向量方法或抽象为确定的数学模型时，一定要注意和题意等价，善于综合全局，把握转化合理性. 三、参考资料【例1】 已知a=(31x 2,x),b=(x,x-3),x ∈［-4,4］.(1)求f(x)=a·b 的表达式;(2)求f(x)的最小值,并求此时a 与b 的夹角.解：(1)f(x)=a·b=31x 2·x+x·(x-3)=31x 3+x 2-3x,x ∈［-4,4］.(2)f ′(x)=x 2+2x-3=(x+3)(x-1). 列表:故当x=1时,f(x)有最小值为-35. 此时a=(31,1),b=(1,-2).设θ为a 与b 的夹角,则cosθ=||||b a b a ∙=-22. 又由θ∈［0,π］,得θ=43π.【例2】 如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂有4 kg 和2 kg 的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)剖析：先进行受力分析,列出平衡方程,然后用数学方法求解.解：设所求物体质量为m kg 时,系统保持平衡,再设F 1与竖直方向的夹角为θ1,F 2与竖直方向的夹角为θ2,则有⎩⎨⎧=+=)2(.c o s 2c o s 4)1(,s i n 2s i n42121mg g g g g θθθθ(其中g 为重力加速度) 由①式和②式消去θ2,得 m 2-8mcosθ1+12=0,即m=4cosθ1±23cos 412-θ.③ ∵cosθ2＞0,由②式知,③式中m=4cosθ1-23cos 412-θ不合题意,舍去. 又∵4cos 2θ1-3≥0,解得23≤cosθ1≤1.经检验,当cosθ1=23时,cosθ2=0,不合题意,舍去.∴23＜m ＜6.综上,所求物体的质量在23kg 到6 kg 之间变动时,系统可保持平衡.讲评：(1)m 的范围是通过函数y=4x+2342-x 的单调性求得的.(2)实际问题的处理要注意变量的实际意义,本题容易忽略cosθ2＞0的实际限制.优化测控一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)1.(2006江苏南京期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ,μ的值分别为( ) A.1,0 B.1,1 C.0,1 D.-1,0解析：∵c=λa+μb=λ(1,0)+μ(1,1)=(λ+μ,μ),而c=(-1,0),∴⎩⎨⎧=-=+.0,1μμλ ∴⎩⎨⎧=-=.0,1μλ故选择D.答案：D2.有三个命题：①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=.其中正确的是( ) A.② B.③ C.①③ D.②③ 解析：①与共线，AB 与CD 也可以平行.②中a 与b 也可能有0. 答案：B3.(2006四川成都检测)设向量a=(cos25°,sin25°),b=(sin20°,cos20°),若t 是实数,且u=a+t b,则|u|的最小值为( )A.2B.1C.22D.21解析：|a|=|b|=1,a·b=sin20°cos25°+cos20°sin25°=sin45°=22, ∴|u|2=|a+t b|2=a 2+2t a·b+t 2b 2=t 2+2t+1=(t+22)2+21≥21.∴|u|≥22.选C.答案：C4.已知|a|=4，|b|=8，且a 与2b-a 互相垂直，则向量a 与b 的夹角是( )A.arccos 41B.π-arccos 41C.3πD.6π解析：由a ⊥(2b-a),得a·(2b-a)=0. ∴2|a||b|cosθ-|a|2=0.∴cosθ=41,θ=arccos 41.答案：A5.(2006北京西城模拟)向量=(1,21),=(0,1),若动点P(x,y)满足条件⎪⎩⎪⎨⎧<∙<<∙<,10,10OA OP 则P(x,y)的变动范围(不含边界的阴影部分)是( )解析：OA =(1,21),OB =(0,1).设P(x,y),则OP =(x,y),∵⎪⎩⎪⎨⎧<∙<<∙<,10,10即⎪⎩⎪⎨⎧<<<+<.10,120y y x经分析，选A. 答案：A6.已知向量=(1,1)，=(1,a)，其中a 为实数，O 为原点，当这两向量的夹角在(0,12π)变动时，a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(33,3)C.(33,1)∪(1,3) D.(1,3)解析：只需保证直线AO 和OB 的夹角为此范围就行，显然k OA =1,k OB =a.应用夹角公式tanθ=|a a +-11|<1313+-,可得选项C.答案：C7.已知向量m 与向量n 互相垂直且|m|=|n|,若m=(2,1),则n 等于( ) A.(1,-2) B.(-2,1) C.(-2,1)或(2,-1) D.(1,-2)或(-1,2)解析：设n=(x,y),由题意设⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.5,0222y x y x 解得⎩⎨⎧-==2,1y x 或⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴n=(1,-2)或(-1,2). 答案：D8.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP 等于( )A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,22) C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-),λ∈(0,22)解析：由平行四边形法则及共线的充要条件容易得到选项A. 答案：A9.(2006西安五校联考)已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量a+λb 与向量-b 互相垂直，则实数λ的值为( )A.223B.233C.2D.-52解析：a+λb=(3,4)+λ(2,-1)=(3+2λ,4-λ),-b=(-2,1),若(a+λb)⊥(-b)，则-2(3+2λ)+4-λ=0.∴λ=-52.故选D.答案：D10.若a 与b 的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，则向量a 的模是( )A.2B.4C.6D.12解析：由题意知a 2-a·b-6b 2=-7a,把|b|=4,cos60°=21代入得|a|2-2|a|-24=0.∴|a|=6或|a|=-4(舍).答案：C11.命题p:△ABC 及点G 满足++=0；命题q ：G 是△ABC 的重心，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：若G 是△ABC 的重心，由课本例题可知，++=0成立.若++=0，则+=-，可证CG 必经过AB 的中点.答案：C12.在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =a,OB =b ，对任意一点M ，它关于A 的对称点为S ，S 关于点B 的对称点为N ，则用a 、b 表示为( )A.2(b-a)B.21(a-b)C.a+bD.21(a+b) 解析：MN =MS +SN =2AS +2SB =2OB -2OA (四边形OASB 是平行四边形).答案：A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分) 13.OA =3e 1,OB =3e 2,且AP =21,则OP =__________________________. 解析：=3e 2-3e 1,=31=e 2-e 1,=+=2e 1+e 2.答案：2e 1+e 214.(2006北京海淀模拟)若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2a-b 的坐标是_______________；a·b=_______________________. 解析：a=(3,2),b=(0,-1),∴2a-b=(6,4)-(0,-1)=(6,5),a·b=3×0+2×(-1)=-2.答案：(6,5) -215.若对n 个向量a 1,a 2,…,a n 存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立，则称向量a 1,a 2,…,a n 为“线性相关”.依此规定，能说明a 1=(1,0),a 2=(1,-1),a 3=(2,2)“线性相关”的实数k 1、k 2、k 3依次可以取_____________________________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况).解析：设k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3=0,即k 1(1,0)+k 2(1,-1)+k 3(2,2)=(0,0).∴⎩⎨⎧=+-=++.02,0232321k k k k k ∴k 1=-4k 3,k 2=2k 3.取k 3=1得一组k 1、k 2、k 3依次为-4、2、1.答案：-4、2、116.(2006江苏南京期末)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且c ⊥a,则向量a 与b 的夹角为__________.解析：∵c=a-b 且c ⊥a,∴c·a=0,即(a-b)·a=0,a 2=a·b=1,cos 〈a,b 〉=||||b a b a ∙=21.∴〈a,b 〉=3π. 答案：3π三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(本小题满分12分)已知向量a=(3，-4)，求：(1)与a 平行的单位向量b ；(2)与a 垂直的单位向量c ；(3)将a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e 的坐标.解：(1)设b=λa,则|b|=1，b=(53,-54)或b=(-53,54).(2)由a ⊥c ，a=(3,-4),可设c=λ(4,3),求得c=(54,53)或c=(-54,-53).(3)设e=(x,y),则x 2+y 2=25.又a·e=3x-4y=|a|·|e|cos45°,即3x-4y=2252,由上面关系求得e=(227,-22)或e=(-22,-227).而向量e 由a 绕原点逆时针方向旋转45°得到，故e=(227,-22).18.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边,(1)若△ABC 面积为23,c=2,A=60°,求a 、b 的值；(2)若acosA=bcosB ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论.解：(1)由已知得23=21bcsinA=bsin60°,∴b=1.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA=3,∴a=3.(2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b,∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B.由已知A 、B 为三角形内角，∴A+B=90°或A=B.故△ABC 为直角三角形或等腰三角形.19.(本小题满分12分)向量a=(1,cos2θ),b=(2,1),c=(4sinθ,1),d=(21sinθ,1),其中θ∈(0,4π).(1)求a·b-c·d 的取值范围；(2)若函数f(x)=|x-1|,判断f(a·b)与f(c·d)的大小，并说明理由.解：(1)a·b=2+cos2θ,c·d=2sin 2θ+1=2-cos2θ,∵a·b-c·d=2cos2θ,∴0<θ<4π.∴0<2θ<2π.∴0<cos2θ<1.∴0<2cos2θ<2.∴a·b-c·d 的取值范围是(0,2).(2)f(a·b)=|2+cos2θ-1|=|1+cos2θ|=2cos 2θ,f(a·b)=|2-cos2θ-1|=|1-cos2θ|=2sin 2θ,于是有f(a·b)-f(c·d)=2(cos 2θ-sin 2θ)=2cos2θ.∵0<θ<4π,∴0<2θ<2π.∴2cos2θ>0.∴f(a·b)>f(c·d).20.(本小题满分12分)△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足下列条件：(1)A<B<C;(2)A 、B 、C 成等差数列；(3)tanA·tanC=2+3.(1)求A 、B 、C 的大小；(2)若AB 上的高为43，求a 、b 、c 的大小.解：(1)由题意知B=60°，A+C=120°,tan(A+C)=aC A CA tan tan 1tan tan -+=-tanB=-3,∴tanA+tanC=3+3.故⎩⎨⎧+==32tan ,1tan C A或⎩⎨⎧=+=1tan ,32tan C A (舍).故A=45°,B=60°,C=75°.(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，则CD=43.在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，由正弦定理得a=B CD sin =8,b=A CDsin =46,c=AD+DB=43+4.21.(本小题满分12分)已知a=(cosθ,sinθ),b=(cosβ,sinβ),a 与b 之间有关系式|ka+b|=3|a-kb|(k>0).(1)用k 表示a·b;(2)求a·b 的最小值，并求此时a 与b 夹角的大小.解：(1)将|ka+b|=3|a-kb|两边平方得a·b=k b k a k 8)13()3(2222-+-=k k 412+.(2)∵(k-1)2≥0,又k>0,∴k k 412+≥k k 42=21,即a·b≥21,cosα=21.又0°≤α≤180°，故a 与b 的夹角为60°.22.(本小题满分14分)已知平面向量a=(3，-1)，b=(21,23),(1)证明a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x=a+(t 2-3)b,y=-ka+tb,且x ⊥y ，试求函数关系式k=f(t);(3)据(2)的结论，确定函数k=f(t)的单调区间.(1)证明：a·b=(3,-1)·(21,23)=23-23=0,∴a ⊥b.(2)解：∵x ⊥y,∴x·y=0且a·b=0,a 2=4,b 2=1.整理得-4k+t(t 2-3)=0.∴k=41t(t 2-3).(3)解：记f(t)=41(t 3-3t),∴f′(t)=43t 2-43.令f′(t)>0,得t<-1或t>1.因此，当t ∈(-∞,-1)时，f(t)是增函数； 当t ∈(1,+∞)时，f(t)也是增函数.再令f′(t)<0得-1<t<1,故t ∈(-1,1)时，f(t)是减函数.。
习题2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题精析详解全国3理
2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国3理）试题精析详解一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限 【思路点拨】本题考查任意角的表示方法及讨论整数的奇偶性. 【正确解答】解法(1)因为α为第三象限角，所以(2,2)()2k k k Z παπππ∈--∈，所以(,)()224k k k Z αππππ∈--∈，即2α所在的象限是第二或第四象限.选D 解法(2)用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选D 解法(3)用特值法令0135α=-和0225α=,也可以得到答案D【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如nα (1)先写出α范围(2)再求出除以n 的范围(3)再分成n 类情况讨论可完成. 2．已知过点A(－2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x +y －1=0平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．－8C ．2D ．10【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系. 【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有422mm -=-+，得8m =-. 选B.解法(2)可用特值法逐个代入,与条件相匹配.也能得到答案B.【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手. 3．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）A ．－14B ．14C ．－28D ．28【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用.【正确解答】888(1)(1)(1)(1)x x x x x -+=+-+，5x 的系数为458814C C -=.选B.【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.4．设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为（ ）A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V【思路点拨】本题考查几何体的分解后求体积的方法（化整为零）及考查棱锥,棱柱体积公式的运用.【正确解答】解法1：可以假设三棱柱为直三棱柱，则四棱锥B-APQC 的高h 等于底面三角形AC 边上的高.所以11111111111[()][]332321111 []32333APQC B APQC ABC ABC A B C V S h AC PA QC h AC AA hVAC h AA S AA V --=⋅=⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅==四棱锥三棱柱解法2：设三棱柱ABC-A 1B 1C 1为正三棱柱，P 、Q 、R 分别为侧棱AA 1、CC 1、BB 1上的中点，则B-PQR ABC PRQ 11V V V 36-==三棱锥三棱柱， 进而有263B APQCV V VV -=-=四棱锥.选C. 【解后反思】掌握特殊化方法和分解几何体的基本原则.在求这一类的问题中,如果题目中没有对几何体作任何规定时,可将几何体进行特殊化,变成有规律的几何体,不但不影响我们求解,相反会给我们解题带来柳暗花明又一村的感觉. 5．22112lim()3243x x x x x →-=-+-+ （ ）A ．21-B ．21C ．61-D ．61【思路点拨】本题考查函数在某一点极限的基本求法. 先通分整理，再约分化简，最后代入求值. 【正确解答】2211112(3)2(2)11lim()lim lim 3243(1)(2)(3)(2)(3)2x x x x x x x x x x x x x x →→→-----===--+-+----- 选A.【解后反思】在求函数某一点极限的过程中,总是先化简,再代入的思路,不要先随便代入或不加思索的用极限计算的运算法则进行分离. 6．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则（ ）A ．a <b<cB ．c<b<aC ．c<a <bD ．b<a <c【思路点拨】本题考查对数函数单调性和分数比较法则.【正确解答】15106ln 2ln 3ln 5,,303030a b c ===，61510523<<，∴c a b <<. 选C【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.7．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则（ ）A ．0x π≤≤B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤【思路点拨】本题考查在确定范围内,利用三角函数公式.来求解三角函数方程. 【正确解答】解法1：sin cos |sin cos |sin cos x x x x x x =-⇒-=- ，因此sin cos x x ≥，由正弦、余弦函数的图象可知544x ππ≤≤.选C. 解法2：用特值法,先取4x π=验证成立,则答案为A 、B 、C,再分别取0x =和74x π=,排除答案A 、B,最后我们可以轻易得到正确答案C.【解后反思】在求有关函数问题过程中,优先考虑函数的取值范围或函数存在条件是解决问题的重要手段之一,同时我们也注意到函数有很强的规律性,再加上选择题的答案必在四个选项中,所以做此类题目可从局部入手,利用特值方法,也可得到正确答案,且简单易行,所以对于函数选择题,利用特值法求解是做此类题目的一个亮点.8．αααα2cos cos 2cos 12sin 22⋅+ =（ ）A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．12【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及三角公式的熟练运用【正确解答】解法(1)2222sin 2cos 2sin 2cos tan 21cos 2cos 22cos cos 2ααααααααα⋅=⋅=+.选B 解法(2) 可以用特殊值验证（令6πα=）得之.选B.【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用.9．已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到 x 轴的距离为 （ ）A ．43 B ．53CD【思路点拨】本题主要考查向量垂直的等价条件，要求会根据双曲线方程求出其几何性质. 【正确解答】设(,)M x y ，0,0x y >>，12(F F ，则12(3,),()MF x y MF x y =+=由120,MF MF ⋅=，则2(0x x y +=，又因为点M 在双曲线上，2212yx-=，所以y =选C 【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.圆锥曲线的性质也是高考重要知识点之一,不仅要注意它们的第一定义,同时对于第二定义(圆锥曲线上的点到一定点的距离比此点到一定直线的距离为一常数,此常数是圆锥曲线的离心率)也要作深入了解,第二定义对解决关于圆锥曲线的最值等问题有很强的运用.10．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．2BC．2D1【思路点拨】重点知识，重点考查,本题考查椭圆各相关参数的几何意义及其求法.【正确解答】设1(,0)F c-，2(,0)F c，由题意易知，21212,PF F F c PF===，1212212F Fcea PF PF∴====+，选D.【解后反思】本题有很强有隐蔽性,本题提到的重点是椭圆,那椭圆的性质也在可用范围之列.这一点往往是同学所忽略.巧用圆锥曲线的几何性质来解决有关解析几何有关问题是一个好的方法, 本题目是一道综合题,综合运用所学的知识,能简化数学问题.11．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A．3个B．4个C．6个D．7个【思路点拨】本题考查分类思想的运用和立体几何的基本性质.【正确解答】由题意可知，四个点不可能都在平面α的同侧.只要考虑将四个平面分成两组，1234/2C C+.共有7种可能.选D【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B= （）A．6E B．72 C．5F D．B0【思路点拨】本题考查计数法则和进位规则.【正确解答】141327116111E D B+=+==⨯+=，1011110616146A B E⨯=⨯==⨯+=.选A【解后反思】这是一道新型题目,让学生体会各种进制之间的异形同质.不管哪一种进制都是十进制的一种拓展,类比一下十进制,我们可以轻易解决这一系列问题,当然我们如果对计算机的进制有一个了解,解决这个问题会变得非常简单,高考每年都有一到二道新型题目,解决胜这些问题,不仅仅需要数学,其他知识也是一个重要的补充,所以在平时请同学们要多多进行知识积累.二、填空题（4分⨯4=16分）13．已知复数=+=++=z z z z z z i z 则复数满足复数,3,23000 .【思路点拨】本题考查复数相等的定义. 设(,)z a bi a b R =+∈，再用复数相等的定义列方程组求解即可.【正确解答】z a bi =+,则0(32)(32)z z a b b a i ⋅=-++，03(33)(23)z z a b i +=+++，故32333223a b a b a b -=+⎧⎨+=+⎩，得31,2a b ==-，所求复数312z i =- 【解后反思】方程的思想在复数求值中的重要运用,自从我们学习了方程,方程就成为我们求值的重要手段,面对本题相似的问题时,应优先考虑到方程的思想,应大胆假设,细心求解,所有问题可以迎刃而解.14．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= . 【思路点拨】本题主要考查三点共线的等价条件. 【正确解答】解法(1)由三点共线的性质知：4421255103k k -+=⇒--k=-. 解法(2)利用向量本身的性质求解:由三点共线,得 //AB AC ，AB OB OA =-,AC OC OA =-,解之得23k =-.【解后反思】由于以原点为起点的向量坐标等于其终点坐标，所以本题也可用定比分点中三点共线的充要条件求解.向量的解法也可以轻易求解的,多种方法在同一题目的使用,既加深我们对题目的了解,又使得我们对数学方法能更好地掌握,所以解决数学问题时,要尽量一题多解,丰富自己的数学知识,加强数学解题能力,加深对学习数学的兴趣,达到解一题,取得是解多题的效果.15．设l 为平面上过点（0，1）的直线，l 的斜率等可能地取,22,3,25,0,25,3,22---用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .【思路点拨】理解随机变量、数学期望等概念，会写离散型随机变量的分布列，并能在此基础之上求其数学特征.【正确解答】由题意及点（0,0）到直线1y kx =+距离d =有，随机变量ξ的分布列为故有E =(1++++++)=73322337ξ⨯.【解后反思】准确确定随机变量的所有可能取值及其概率是正确解题的关键.细心也是解决此类问题的决窍之一,平时应多进行数的复杂运算,少用计算器，以便在高考中争取时间，取得先机.16．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC的距离乘积的最大值是【思路点拨】学会将平面几何问题转化为线性规划问题求解.【正确解答】以C 为原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立直角坐标系，(0,4),(3,0)A B ，设(,)P x y 且03,04x y <<<<，则AB 直线方程为43120x y +-=.点P 到AC 、BC 的距离乘积2443(4)()33332xy x x x =-+=--+≤ 所以最大值为3.【解后反思】近年来高考题不再只是直接考查线性规划问题，而是需要考生通过对问题的分析整理，将原有问题转化为线性规划问题，并用数形结合的方法加以解决.数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法. 随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题已成为高考数学考试的热点.要加强在这一方面的练习,此类问题还有一些,例如使用材料的最优化,部分概率应用题、数理统计题等等. 三.解答题（共74分）17．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、 乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概 率为0.125，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 【思路点拨】本题考查独立事件概率的求法.【正确解答】（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ， 则A 、B 、C 相互独立， 由题意得：P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05 P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1 P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴AB C 、、相互独立， ∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-⋅⋅=-= 【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已. 18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形,平面V AD ⊥底面ABCD ． （Ⅰ）证明AB ⊥平面V AD ；（Ⅱ）求面V AD 与面VDB 所成的二面角的大小． 【思路点拨】熟练掌握线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定及其相互推导.并了解每个定理所需要的条件和适用的范围. 【正确解答】（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．CA建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1， 则A （12，0，0），B （12，1，0），C （-12，1，0），D （-12，0，0），V （0，0，2），∴1(0,1,0),(1,0,0),(,0,22AB AD AV ===-由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ⋅=⋅=⇒⊥13(0,1,0)(,0,)022AB AV AB AV ⋅=⋅-=⇒⊥，又AB ∩AV=A ， ∴AB ⊥平面VAD.（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量.设(1,,)n yz =是面VDB的法向量，则110(1,,)(,1,0(1,1,230(1,,)(1,1,0)0xn VB y z n zn BD y z =-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪⎩⋅--=⎩⎩∴(0,1,0)(1,cos ,7AB n ⋅-<>==-又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为. 【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力,并要注意直线和平面之间各种位置关系的相互推导，二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,解:利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.19．（本小题满分12分）△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，.43cos =B （Ⅰ）求cotA+cotC 的值； （Ⅱ）设c a BC BA +=⋅求,23的值. 【思路点拨】本题考查：1.三角式的化简、求值；2.向量法的应用.解决问题1.应该注意先整理所求三角式，再利用公式、性质等进行化简，最后将已知条件（可能要在整理之后）代入化简后的三角式求值.解决问题2.则应该注意使用数形结合的思想方法并注意随时与问题的具体情境相结合. 【正确解答】（Ⅰ）由,47)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得 由b 2=a c 及正弦定理得 .s i n s i n s i n 2C A B =于是BC A C A A C A C C C A A CAC A 2sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1cot cot +=+=+=+=+.774sin 1sin sin 2===B B B （Ⅱ）由.2,2,43cos ,23cos 232====⋅=⋅b ca B B ca 即可得由得 由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a c+cosB 得a 2+c 2=b 2+2a c ·cosB=5.3,9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a【解后反思】当问题中出现三角形边、角之间的比例关系时，应首先考虑采用正弦定理，因为所有三角基本公式中只有它涉及边与角之间的比例关系.利用正弦定理求角时,注意有可能出现多解情况,要好好讨论,防止出现漏解或多解情况. 20．(本小题满分12分)在等差数列}{n a 中，公差412,0a a a d 与是≠的等比中项.已知数列 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列，求数列}{n k 的通项.n k【思路点拨】本题考查等差、等比数列的性质.要求考生熟练掌握等差等比数列的定义、通项公式及其由来. 【正确解答】由题意得：2214a a a=即211(3)1()d d a a a =++又0,d ≠∴1d a=又1213,,,,nk k k a a a aa成等比数列,∴该数列的公比为3133dq da a===， 所以113n n k a a +=⋅又11(1)nk nn d a a kk a =+-=∴13n n k +=所以数列{}n k 的通项为13n n k +=【解后反思】理解公比q 和公差d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用基本量法是解决数列的重要方法,在等差数列中,把所有值转化成首项和公差,在等比数列中,把所有值转化成首项和公比,一定可以求解,不过在某些题目中,用;这种方法会比较难,所以在某些步骤中采用数列的性质,能简化计算过程,达到快速求解的目的. 21．（本小题满分14分）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围.【思路点拨】根据题目所给条件绘制草图，寻找函数代数、几何性质的结合点是解决综合题的主要途径之一.适当选取等价条件将原问题转化为熟知的问题是解决综合应用问题的关键.【正确解答】（Ⅰ）B A FB FA l F ,||||⇔=⇔∈两点到抛物线的准线的距离相等.∵抛物线的准线是x 轴的平行线，2121,,0,0y y y y 依题意≥≥不同时为0，∴上述条件等价于;0))((2121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y∵21x x ≠， ∴上述条件等价于 .021=+x x 即当且仅当021=+x x 时，l 经过抛物线的焦点F.（II ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以21,x x 满足方程,02122=-+m x x 得4121-=+x x ； A ，B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式,0841>+=∆m即.321->m 设AB 的中点N 的坐标为),(00y x ，则 .16121,81(2100210m m x y x x x +=+-=-=+=由.329321165165,41161,=->+=+-=+∈m b b m l N 于是得即得l 在y 轴上截距的取值范围为（+∞,329）.【解后反思】这是一道常规的解析几何的问题,也是近年高考数学常考的重要内容之一,解析几何属于比较讲究步骤的这一类问题,我们可以遵循这样的步骤:先将直线或曲线设出,然后将直线方程代入曲线方程中,整理一下,变成一道方程,再使用韦达定理,写出两根之和与之积,最后再根据题目的要求求解,在求解的过程中,要注意韦达定理存在的条件,同时也要加强对计算能力的训练. 22．（本小题满分12分）已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数],1,0[],1,0[].1,0[,23)(0123∈∈∈--=x x x a x a x x g 总存在若对于任意 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.【思路点拨】本题由分式函数的有关性质，考查运算能力和思维能力.涉及导数在解决分式函数、高次函数问题中的重要应用，熟练掌握导数的运算法则是解决这类问题的关键.而第（Ⅱ）问中对a 的讨论是解决这一问题的难点，也是作为压轴题的亮点.【正确解答】（I ）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.2721==x x 或当x 变化时，)(),(x f x f '的变化情况如下表：所以，当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,21(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[－4，－3]. （II ）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数，从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有].2,321[)(2a a a x g ---∈ 任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =，则].3,4[]2,321[2--⊃---a a 即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a解①式得 351-≤≥a a 或；解②式得.23≤a 又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a【解后反思】注意导数是新课改重要内容，是高考的又一热点，也是学生学习数学的难点，导数在高中数学中有如下几种应用：(1)求单调区间；(2)求函数的极值；(3)求切线；(4)求最值.必须认真学好.①②。
2005年高考数学试题全集32套
2005年全国高考数学试题全集（3）(10套)目录2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷） (2)2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（山东卷） (15)2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（山东卷） (25)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（重庆卷） (34)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）（重庆卷） (46)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（浙江卷） (57)2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（浙江卷） (68)2005年普通高等学校春季招生考试数学（理工农医类）（北京卷） (77)2005年普通高等学校春季招生考试数学（文史类）（北京卷） (86)2005年上海市普通高等学校春季招生考试 (94)2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=球次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数.111-++-=iiz 在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．极限)(lim 0x f x x →存在是函数)(x f 在点0x x =处连续的（ ）A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）A ．10100610480C C C ⋅ B ．10100410680C C C ⋅ C ．10100620480C C C ⋅ D ．10100420680C C C ⋅ 4．已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命 题：①若βαβα//,,则⊥⊥m m ； ②若βααβγα//,,则⊥⊥；③若βαβα//,//,,则n m n m ⊂⊂； ④若m 、n 是异面直线，βααββα//,//,,//,则n n m m ⊂⊂其中真命题是（ ）A ．①和②B ．①和③C ．③和④D ．①和④ 5．函数1ln(2++=x x y 的反函数是（ ）A ．2x x e e y -+=B ．2x x e e y -+-=C ．2x x e e y --= D ．2xx e e y ---=6．若011log 22<++aa a，则a 的取值范围是（ ）A ．),21(+∞B ．),1(+∞C ．)1,21(D ．)21,0(7．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 8．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范 围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）9．若直线02=+-c y x 按向量)1,1(-=平移后与圆522=+y x 相切，则c 的值为（ ）A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－810．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x aλλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ11．已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2112．一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）A B C D第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．nxx )2(2121--的展开式中常数项是 .14．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是 .15．用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻， 5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有 个.（用数字作答） 16．ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知三棱锥P —ABC 中，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△ABC ，△PEF 都是正三角形，PF ⊥AB.（Ⅰ）证明PC ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求二面角P —AB —C 的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P 、A 、B 、C 在一个表面积为12π的球面上，求△ABC 的边长. 18．（本小题满分12分）如图，在直径为1的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.0>>x y（Ⅰ）将十字形的面积表示为θ的函数；（Ⅱ）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？19．（本小题满分12分）已知函数).1(13)(-≠++=x x x x f 设数列n a {}满足)(,111n n a f a a ==+，数列n b {}满足).(|,3|*21N n b b b S a b n n n n ∈+++=-=（Ⅰ）用数学归纳法证明12)13(--≤n nn b ；（Ⅱ）证明.332<n S20．（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A 、B 两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A 级时，产品为一等品，其余均为二等品.（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结 果为A 级的概率如表一所示，分别求生产 出的甲、乙产品为一等品的概率P 甲、P 乙； （Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、 η分别表示一件甲、乙产品的利润，在 （I ）的条件下，求ξ、η的分布列及E ξ、E η；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额 如表三所示.该工厂有工人40名，可用资. 金60万元.设x 、y 分别表示生产甲、乙产 品的数量，在（II ）的条件下，x 、y 为何 值时，ηξyE xE z +=最大？最大值是多少？ （解答时须给出图示） 21．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.22．（本小题满分12分）函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g +=（Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.2005年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学参考答案与评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(计数原理、二项式定理)
解法 2：共有 7 个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；
四面体的四条高的四个中垂面，选(D)
【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,
在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的
5
放入④两种放法。综上所述:共有 A44 2 48 种放法.故选 B.
P
1
4
A 5
23 8
D 7
B6 C
9．(2005 江西文)将 9 个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数
为
（）
A．70
B．140
C．280
D．840
【思路点拨】本题涉及组合的平均分组问题.
【正确解答】要使甲、乙分在同一组，即将剩下的 7 人分成三组，其中两组有三个人，一组只有一
B．96
C．72
D．144
解：本题主要关键是抓连续编号的 2 张电影票的情况,可分四种情况：
情况一：连续的编号的电影票为 1,2;3,4;5,6,这时分法种数为 C42P32P22
情况二：连续的编号的电影票为 1,2；4,5,这时分法种数为 C42P22P22
情况三：连续的编号的电影票为 2,3;4,5;这时分法种数为 C42P22P22
D．1 项
【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识.
【正确解答】 (
x 3 x )12 的展开式为 C1t2 (
x )t ( 3
x )12t
Байду номын сангаас
C1t2
x
t 2
12t 3
C1t2
2005年高考数学试题
1、设集合A = {x | x是小于8的正整数}，B = {x | x是3的倍数}，则A ∩B =A. {3, 6}B. {1, 2, 3}C. {3, 6, 9}D. {2, 4, 6}（答案）A2、已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a3 + a5 = 10，则a1 + a7 =A. 10B. 12C. 14D. 16（答案）A3、若复数z满足(1 + i)z = 1 - i（i为虚数单位），则z =A. iB. -iC. 1 + iD. 1 - i（答案）B4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x ≥0时，f(x) = x2 - 2x，则f(-1) =A. -1B. 0C. 1D. 3（答案）C5、已知向量a = (1, 2)，b = (2, m)，若a ⊥b，则m =A. -1B. 0C. 1D. 2（答案）A6、设三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cos(A - C) + cos(B) = 1，则三角形ABC的形状是A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（答案）D7、已知圆C的方程为x2 + y2 = 4，直线l的方程为x - y - 2 = 0，则圆心C到直线l的距离为A. √2B. 2C. 2√2D. 4（答案）C8、设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3 =A. -1或1/2B. 1或-1/2C. -1D. 1/2（答案）B9、已知函数f(x) = x2 + ax + b在x = 1处有极小值，则A. a2 - 4b > 0且a = -2B. a2 - 4b > 0且a = 2C. a2 - 4b ≤0且a = -2D. a2 - 4b ≤0且a = 2（答案）A10、设椭圆C的方程为x2/a2 + y2/b2 = 1（a > b > 0），点A(2, 0)是椭圆C的一个顶点，点B(0, 1)在椭圆C上，则A. a = 2，b = 1B. a = 2，b = √2C. a = 4，b = 2D. a = 4，b = √2（答案）A。
2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案(四川、陕西、云南、甘肃等地区用)
2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案（四川陕西甘肃等地区用）源头学子小屋本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k nP k (1－P)n －k一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）1.已知α是第三象限的角，则2α是（ ）. A.第一或二象限的角 B.第二或三象限的角 C.第一或三象限的角 D.第二或四象限的角2. 已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ ）.A.0B.-8C.2D.10 3.在(x-1)(x+1)8的展开式中x 5的系数是( )A.-14B.14C.-28D.284.设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积是V ，P.Q 分别是侧棱AA 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（ ）A.V 61B.V 41C.V 31D.V 21 5.)3x 4x 22x 3x 1(lim 221x +--+-→=（ ）A.-21B.21C.-61D.61 6.若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ,则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 7.设0≤x<2π,且x 2sin 1-=sinx-cosx, 则( )A.0≤x ≤πB.4π≤x ≤47πC.4π≤x ≤45πD.2π≤x ≤23π 8.=∙+xx x x 2cos cos 2cos 12sin 22( )球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径A.tanxB.tan2xC.1D.21 9.已知双曲线1222=-y x 的焦点为F 1.F 2，点M 在双曲线上且021=∙MF MF ，则点M 到x 轴的距离为( )A.34 B.35 C.332 D.3 10.设椭圆的两个焦点分别为F 1.F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若三角形F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）A.22 B.212- C.22- D.12- 11.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）个 A.3 B.4 C.6 D.712.计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母A~F 共16个计数符号这些符号与十进制的数的对应关系如下表：A.6EB.72C.5FD.B0二、填空题: 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 13.已知复数z 0=3+2i, 复数z 满足z ∙z 0=3z+z 0，则z= 14.已知向量),10,k (OC ),5,4(OB ),12,k (OA -==，且A.B.C 三点共线，则k= . 15.设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取-22,-3,-25,0,25,3, 22, 用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E ξ=16.已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则P 到AC.BC 距离的的乘积的最大值是 三、解答题（共76分） 17.（本小题满分12分）甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一个小时内，甲.乙都需要照顾的概率是0.05，甲.丙都需要照顾的概率是0.05，乙.丙都需要照顾的概率是0.125 1）求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？ 2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？18.（本小题满分12分）四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面V AD 是正三角形，平面V AD ⊥底面ABCD 1）求证AB ⊥面V AD ；2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．19.（本小题满分12分）ABC ∆中，内角A .B .C 的对边分别为a .b .c ，已知a .b .c 成等比数列，且B cos 4=（1）求C A cot cot +的值； （2）若23=⋅，求c a +的值20.（本小题满分12分）在等差数列{a n }中，公差d ≠0,且a 2是a 1和a 4的等比中项,已知a 1,a 3,,a ,a ,a ,a n321k k k k 成等比数列，求数列k 1,k 2,k 3,…,k n 的通项k n21.（本小题满分14分）设()11,y x A .()22,y x B 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线1）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； 2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=],1,0[x ,x27x 42∈--(1)求函数f(x)的单调区间和值域；（2）设a ≥1, 函数g(x)=x 3-3a 2x-2a, x ∈[0,1], 若对于任意x 1∈[0,1], 总存在x 0∈[0,1], 使得g((x 0) =f(x 1)成立，求a 的取值范围2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案（必修+选修Ⅱ） （四川陕西甘肃等地区用）参考答案13.12i -14.3-15.716.317.（本小题满分12分）甲.乙.丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一个小时内，甲.乙都需要照顾的概率是0.05，甲.丙都需要照顾的概率是0.05，乙.丙都需要照顾的概率是0.125 1）求甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率？ 2）计算在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率？解：记“甲机器需要照顾”为事件A ，“乙机器需要照顾”为事件B ，“丙机器需要照顾”为事件C ，由题意三个事件互不影响，因而A ，B ，C 互相独立(1)由已知有：P （A ∙B ）= P(A)∙P(B)=0.05,P （A ∙C ）= P(A)∙P(C)=0.1P （C ∙B ）= P(B)∙P(C)=0.125 解得P （A ）=0.2, P(B)=0.25, P(C)=0.5,所以甲.乙.丙三台机器在这一个小时内各自需要照顾的概率分别为0.2;0.25;0.5.(2)记事件A 的对立事件为A ，事件B 的对立事件为B ，事件C 的对立事件为C ， 则P(A )=0.8, P(B )=0.75, P(C )=0.5,于是P(A+B+C)=1-P(A ∙B ∙C )=1-P(A )∙P(B )∙P(C )=0.7. 故在这一个小时内至少有一台需要照顾的概率为0.7.18.（本小题满分12分）四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形， 平面VAD ⊥底面ABCD 1）求证AB ⊥面VAD ；2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．证法一：（1）由于面VAD 是正三角形，设AD 的中点为E ，则VE⊥AD ，而面VAD⊥底面ABCD ，则VE ⊥AB 又面ABCD 是正方形，则AB ⊥CD ，故AB ⊥面VAD （2）由AB ⊥面VAD ，则点B 在平面VAD 内的射影是A ，设VD 的中点为F ，连AF ，BF 由△VAD 是正△，则AF ⊥VD ，由三垂线定理知BF ⊥VD ，故∠AFB 是面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角设正方形ABCD 的边长为a ，则在Rt △ABF 中，,AB=a, AF=23a ，tan ∠AFB =33223==a a AF AB故面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小为证明二：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．…………1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………2分 则A （12，0，0），B （12，1，0），C （-12，1，0），D （-12，0，0），V （0，0），∴1(0,1,0),(1,0,0),(2AB AD AV ===-……3分 由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ⋅=⋅=⇒⊥…………4分13(0,1,0)(,0,)02AB AV AB AV ⋅=⋅-=⇒⊥……5分又AB ∩AV=A ∴AB ⊥平面VAD …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量……………………7分设(1,,)ny z =是面VDB 的法向量，则110(1,,)(,1,0(1,1,230(1,,)(1,1,0)0x n VB yz n z n BD y z=-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪⎩⋅--=⎩⎩……9分 ∴(0,1,0)(1,cos ,3AB n ⋅-<>==11分又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos7……12分 （II ）证法三：由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量…………………7分设平面VDB 的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D 三点的坐标代入可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=++023021021q p q m q n m 解之可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==q p q n q m 3222令q=,21则平面VDB 的方程为x-y+33Z+21=0 故平面VDB 的法向量是)33,1,1(-=n ………………………………9分∴(0,1,0)(1,cos,7AB n⋅-<>==-11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos7……12分19.（本小题满分12分）ABC∆中，内角A.B.C的对边分别为a.b.c，已知a.b.c成等比数列，且Bcos4=（1）求CA cotcot+的值；（2）若23=⋅，求ca+的值解：（1）由Bcos43=得：47sin=B由acb=2及正弦定理得：CAB sinsinsin2=于是：()BCACAACACCCAACA2sinsinsinsinsincoscossinsincossincoscotcot+=+=+=+774sin1sinsin2===BBB（2）由23=⋅BCBA得：23cos=⋅Bac，因Bc os43=，所以：2=ac，即：2=b 由余弦定理Baccab cos2222⋅-+=得：5cos2222=⋅+=+Bacbca于是：()9452222=+=++=+accaca故：ca+=20.（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，公差d≠0,且a2是a1和a4的等比中项,已知a1,a3,,a,a,a,an321kkkk成等比数列，求数列k1,k2,k3,…,k n的通项k n解：由题意得：4122aaa=……………1分即)3()(1121daada+=+…………3分又0,d≠da=∴1…………4分又 ,,,,,,2131n k k k a a a a a 成等比数列, ∴该数列的公比为3313===dd a a q ，………6分 所以113+⋅=n k a a n ………8分又11)1(a k d k a a n n k n =-+=……………………………………10分13+=∴n n k 所以数列}{n k 的通项为13+=n n k ……………………………12分21.（本小题满分14分）设()11,y x A 、()22,y x B 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线（1）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围注：本小题主要考察直线与抛物线等基础知识，考察逻辑推理能力和综合分析、解决问题的能力解法一：（1）⇔=⇔∈FB FA l F A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等 因为：抛物线的准线是x 轴的平行线，0≥i y ()2,1=i ，依题意1y 、2y 不同时为0 所以，上述条件等价于()()02121222121=-+⇔=⇔=x x x x x x y y ；注意到：21x x ≠，所以上述条件等价于021=+x x即：当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F（2）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为b x y +=2；过点A 、B 的直线方程可写为m x y +-=21，所以1x 、2x 满足方程02122=-+m x x ，即4121-=+x x A 、B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式0841>+=∆m ，也就是：32>m AB 的中点H 的坐标为为()00,y x ，则有：812210-=+=x x x ，m m x y +=+-=161200由l H ∈得：b m +-=+41161，于是：32321165165=->+=m b 即：l 在y 轴上截距的取值范围是⎝⎛+∞,329 .解法二：（Ⅰ）∵抛物线22x y =，即41,22=∴=p y x ， ∴焦点为1(0,)8F …………………………………………1分 （1）直线l 的斜率不存在时，显然有021=+x x ………………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k bk y y x x y y ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩……5分 2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩ 22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥ 即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ……………………8分 所以当且仅当12x x +=0时，直线l 经过抛物线的焦点F ……………9分 (II)解：设直线l 的方程为：y=2x+b,故有过AB 的直线的方程为m x 21y +-=，代入抛物线方程有2x 2+m x 21-=0, 得x 1+x 2=-41.由A.B 是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式0m 841>+=∆，即321m -> 由直线AB 的中点为)2,2(2121y y x x ++=)m 161,81()m x 21,81(0+-=+--， 则,b 41m 161+-=+ 于是.329321165m 165b =->+= 即得l 在y 轴上的截距的取值范围是,329(+∞22.（本小题满分12分）已知函数f(x)=],1,0[x ,x27x 42∈--(1)求函数f(x)的单调区间和值域；（2）设a ≥1, 函数g(x)=x 3-3a 2x-2a, x ∈[0,1], 若对于任意x 1∈[0,1], 总存在x 0∈[0,1], 使得g((x 0) =f(x 1)成立，求a 的取值范围解： （1）对函数f(x)=],1,0[x ,x27x 42∈--求导，得f ’(x)=,)x 2()7x 2)(1x 2()x 2(716x 4222----=--+-，令f ’(x)=0解得x=1或x=7. 当x 变化时，f ’(x), f(x)的变化情况如下表所示：所以，当)21,0(x ∈时，f(x)是减函数；当)1,21(x ∈时，f(x)是增函数当]1,0[x ∈时，f(x)的值域是[-4，-3]（II ）对函数g(x)求导，则g ’(x)=3(x 2-a 2).因为1a ≥，当)1,0(x ∈时，g ’(x)<5(1-a 2)≤0, 因此当)1,0(x ∈时，g(x)为减函数，从而当x ∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)],又g(1)=1-2a-3a 2,g(0)=-2a,即当x ∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a 2,-2a],任给x 1∈[0,1],f(x 1)∈[-4,-3],存在x 0∈[0,1]使得g(x 0)=f(x 1),则[1-2a-3a 2,-2a]]3,4[--⊃，即⎩⎨⎧-≥--≤--3a 24a 3a 212 ②①,解①式得a ≥1或a 35-≤,解②式得23a ≤， 又1a ≥,故a 的取值范围内是23a 1≤≤.。
2005年高考全国卷3(文科数学)
2005年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅲ）（陕西、甘肃、四川、云南、贵州等地区用）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知α为第三象限角，则2α所在的象限是A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限2.已知过点A (2,)m -和B (,4)m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 A.0 B.-8 C.2 D.103.在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是A.-14B.14C.-28D.284.设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，,P Q 分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为A.16VB.14VC.13VD.12V5.设37x =，则A.21x -<<-B.32x -<<-C.10x -<<D.01x <<6.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 A.a b c << B.c b a << C.c a b << D.b a c <<7.设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 A.0x π≤≤ B.744x ππ≤≤C.544x ππ≤≤D.322x ππ≤≤ 8.22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+ A.tan α B.tan 2α C.1 D.129.已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为A.43B.53C.310.设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是C.21 11.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 A.3个 B.4个 C.6个D.7个 12.计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共例如，用十六进制表示：1E D B +=，则A B ⨯=A.6EB.72C.5FD.0B 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”，“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比执“不喜欢”的多12人.按分层抽样的方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1为“不喜欢”摄影的同学和3为执“一般”的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的同学比全班学生人数的一半多 人.14.已知向量(,12)OA k =，(4,5)OB =，(,10)OC k =-，且,,A B C 三点共线，则k = .15.曲线32y x x =-在点(1,1)的切线方程为 .16.已知在ABC ∆中，090ACB ∠=，3BC =，4AC =，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知函数2()2sin sin 2f x x x =+，[0,2]x π∈.求使()f x 为正值的x 的集合. 18.(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
2005年高考试题及答案(全国卷3)(陕西、四川、云南)数学文
2005年高考文科数学全国卷Ⅲ试题及答案（四川陕西甘肃等地区用）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟第I 卷参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的） （1）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限（C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限（2）已知过点A(-2，m)和B(m ，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（A ）0 （B ）-8 （C ）2 （D ）10 （3）在8(1)(1)x x -+的展开式中5x 的系数是（A ）-14 （B ）14 （C ）-28 （D ）28(4)设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B-APQC 的体积为（A ）16V （B ）14V （C ）13V （D ）12V （5）设137x=，则 （A ）-2<x<-1 （B ）-3<x<-2 （C ）-1<x<0 （D ）0<x<1 (6)若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则 (A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c (7)设02x π≤<,sin cos x x =-,则(A) 0x π≤≤ (B) 744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤(8)22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+ 球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π， 其中R 表示球的半径(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)12（9）已知双曲线2212y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（A ）43 （B ）53（C ）3 （D （10）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（A ）2 （B ）12（C ）2 （D 1 （11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）7个（12）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计例如，用十六进制表示：E+D=1B ，则A ×B=（A ）6E （B ）72 （C ）5F （D ）B0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上 （13）经问卷调查，某班学生对摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多 人（14）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k= （15）曲线32y x x =-在点（1，1）处的切线方程为（16）已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是AB 上的点，则点P 到AC 、BC 的距离乘积的最大值是三、解答题：(17)(本小题满分12分)已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x π=+∈求使()f x 为正值的x 的集合（18）(本小题满分12分)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125， （Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率 （19）(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形， 平面VAD ⊥底面ABCD 1）求证AB ⊥面VAD ；2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小（20）(本小题满分12分)在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等差中项，已知数列1a ,3a ,1k a ,2k a , ……,n k a ,……成等比数列，求数列{}n k 的通项k(21) (本小题满分12分)用长为90cm,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?(22) (本小题满分14分)设1122(,),(,)A x y B x y 两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线， （Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当121,3x x ==-时，求直线l 的方程2005年高考全国卷Ⅲ数学试题及答案 （四川陕西云南甘肃等地区用）参考答案一、DBBCA ，CCBCD ，DA 二、13.3，14.23-，15.x+y-2=0，16.3 三、解答题：（17）解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+……………………………………………2分1)4x π=+-………………………………………………4分()01)04f x x π∴>⇔+->sin(2)42x π⇔->-…………………………………………6分5222444k x k πππππ⇔-+<-<+……………………………8分 34k x k πππ⇔<<+………………………………………………10分 又[0,2].x π∈ ∴37(0,)(,)44x πππ∈⋃………………………………………………12分 另法：22()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (sin cos )f x x x x x x x x x =+=+=+()f x 为正值当且仅当sin x 与sin cos x x +同号，在[0,2]x π∈上，若sin x 与sin cos x x +均为正值，则3(0,)4x π∈； 若sin x 与sin cos x x +均为负值，则7(,)4x ππ∈所以所求x 的集合为37(0,)(,)44πππ（18）解：（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A 、B 、C ，……1分则A 、B 、C 相互独立， 由题意得：P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.05 P （AC ）=P （A ）P （C ）=0.1P （BC ）=P （B ）P （C ）=0.125…………………………………………………………4分 解得：P （A ）=0.2；P （B ）=0.25；P （C ）=0.5所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分（Ⅱ）∵A 、B 、C 相互独立，∴AB C 、、相互独立，……………………………………7分∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()()()0.80.750.50.3P A B C P A P B P C ⋅⋅==⨯⨯=……………………………10分∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7p P A B C =-⋅⋅=-=……12分 （19）（本小题满分12分）四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形， 平面VAD ⊥底面ABCD 1）求证AB ⊥面VAD ；2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．证法一：（1）由于面VAD 是正三角形，设AD 的中点为E ，则VE⊥AD ，而面VAD ⊥底面ABCD ，则VE ⊥AB又面ABCD 是正方形，则AB ⊥CD ，故AB ⊥面VAD（2）由AB ⊥面VAD ，则点B 在平面VAD 内的射影是A ，设VD 的中点为F ，连AF ，BF 由△VAD 是正△，则AF ⊥VD ，由三垂线定理知BF⊥VD ，故∠AFB 是面VAD 与面VDB 所成的二面角的平面角设正方形ABCD 的边长为a ，则在Rt △ABF 中，,AB=a, AF=23a ，tan ∠AFB =33223==a a AF AB 故面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小为arctan证明二：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．…………1分建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，………2分则A （12，0，0），B （12，1，0），C （-12，1，0），D （-12，0，0），V （0，0，∴1(0,1,0),(1,0,0),(2AB AD AV ===-……3分 由(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ⋅=⋅=⇒⊥…………4分13(0,1,0)(,0,)02AB AV AB AV ⋅=⋅-=⇒⊥……5分又AB ∩AV=A ∴AB ⊥平面VAD …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量……………………7分设(1,,)n y z =是面VDB的法向量，则110(1,,)(,1,0(1,1,230(1,,)(1,1,0)03x n VB y z n z n BD y z =-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=-⋅=⎪⎪⎪⎩⋅--=⎩⎩……9分∴(0,1,0)(1,cos,3AB n⋅-<>==11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos7……12分（II）证法三：由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD的法向量…………………7分设平面VDB的方程为mx+ny+pZ+q=0,将V.B.D三点的坐标代入可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+-=++232121qpqmqnm解之可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==qpqnqm3222令q=,21则平面VDB的方程为x-y+33Z+21=0故平面VDB的法向量是)33,1,1(-=………………………………9分∴(0,1,0)(1,cos,3AB n⋅-<>==11分又由题意知，面VAD与面VDB所成的二面角，所以其大小为arccos7……12分（20）解：由题意得：2214a a a=………………………………1分即2111()(3)a d a a d+=+…………………………………………3分又0,d≠∴1a d=……………………………………………………4分又1a,3a,1ka,2ka,……,nka,……成等比数列，∴该数列的公比为3133a dqa d===，………………………6分所以113nnka a+=⋅…………………………………………8分又11(1)nk n na a k d k a=+-=…………………………10分∴13nnk+=所以数列{}n k 的通项为13n n k +=……………………………12分（21）解：设容器的高为x ，容器的体积为V ，……………………1分 则V=（90-2x ）（48-2x ）x,(0<V<24)…………………………………5分 =4x 3-276x 2+4320x∵V ′=12 x 2-552x+4320……………………………………………7分 由V ′=12 x 2-552x+4320=0得x 1=10，x 2=36 ∵x<10 时，V ′>0, 10<x<36时，V ′<0, x>36时，V ′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960………………………………10分 又V(0)=0,V(24)=0,…………………………………………………11分所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960……………………………………12分 （22）解：（Ⅰ）∵抛物线22y x =，即22y x =，∴14p =， ∴焦点为1(0,)8F ………………………………………………1分 （1）直线l 的斜率不存在时，显然有12x x +=0……………3分 （2）直线l 的斜率存在时，设为k ， 截距为b即直线l ：y=kx+b 由已知得：12121212221k bk y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩………………………………5分 2212122212122212222k bk x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩…………………………………7分 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F ………………………8分 所以当且仅当12x x +=0时，直线l 经过抛物线的焦点F …………9分 （Ⅱ）当121,3x x ==-时，直线l 的斜率显然存在，设为l ：y=kx+b ……………………10分 则由（Ⅰ）得：22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩12102122k b k x x +⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎪-=-⎪⎩………………………………11分 14414k b ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩……………………………………………13分所以直线l 的方程为14144y x =+，即4410x y -+=………………14分。
2005年全国各地高考数学试题及解答分类大全(解析几何初步)
A．0
B．－8
C．2
D．10
【思路点拨】本题考查直线方程中系数与直线几何性质的关系.
【正确解答】解法(1)两直线平行，则斜率相等，因此有
4m m2
2
，得
m
8
.选
B.
解法 2：直线 2x+y-1=0 的一个方向向量为 a =(1,-2), AB (m 2, 4 m) ,由 AB ∥ a
即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)
2005 年全国各地高考数学试题及解答分类大全
（解析几何初步）
一、选择题：
1、(2005 春招北京文)直线 x 3y 2 0 被圆 (x 1)2 y2 1 所截得的线段的长为（ C ）
A．1
B． 2
C． 3
D．2
2. (2005 北京文)从原点向圆 x2＋y2－12y＋27=0 作两条切线，则这两条切
0 x 3, 0 y 4 ，则 AB 直线方程为 4x 3y 12 0 .
点 P 到 AC、BC 的距离乘积 xy x( 4 x 4) 4 (x 3) 2 3 3
3
32
所以最大值为 3.
解法 2：P 到 BC 的距离为 d1,P 到 AC 的距离为 d2,则三角形的面积得 3d1+4d2=12,∴3d1 4d2≤
【名师指津】
以数形结合的思想解决此类题,抓图中直角三角形中边角关系.
3．(2005 北京理)从原点向圆 x 2 y 2 12 y 27 0 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为
（）
A．π B．2π C．4π D．6π 【答案】B 【详解】
将圆的方程配方得： x2 ( y 6)2 9 圆心在 (0, 6) 半径为 3,如图： 在图中 RtPAO 中, OP 6 2PA ,从而得到 AOP 30o , 即 AOB 60o. 可求 BPA 120o. P 的周长为 2 3 6 劣弧长为周长的 1 ,可求得劣弧长为 2 .
2005年全国高考数学试卷三(四川理)
2005年全国高考数学试卷三（四川理）(必修+选修II)第一卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是( ) A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限 解：α第三象限，即3222k k k Z πππαπ+<<+∈,∴3224k k k Z παπππ+<<+∈,可知2α在第二象限或第四象限,选(D)2、已知过点()2A m -，和()4B m ，的直线与直线210x y +-=平行，则的值为 ( ) A 0 B 8- C 2 D 10解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为a =(1,-2),(2,4)AB m m =+- ,由AB a即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)3、若()()811x x -+的展开式中5x 的系数是( )A 14-B 14C 28-D 28解：(x+1)8展开式中x 4,x 5的系数分别为48C ,58C ,∴(x-1)(x+1)8展开式中x 5的系数为458814C C -=,选(B)4、设三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，P Q 、分别是侧棱1AA 、1CC 上的点，且1PA QC =，则四棱锥B APQC -的体积为( )A 16VB 14VC 13VD 12V解：如图，1111111113A ABCB A BC B AC Q ABC A B C V V V V ----===111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+,∵AF=QC 1,∴APQC 1,APQC 都是平行四边形, ∴111B PCQA B CQA B PCA V V V ---=+=12(11B CQA B PCA V V --+) =1111223ABC A B C V -⋅=11113ABC A B C V -,选(C) 5、22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭ ( )A 12-B 12C 16- D 16解：22112lim 3243x x x x x →⎛⎫-= ⎪-+-+⎝⎭112lim (1)(2)(1)(3)x x x x x →⎛⎫-= ⎪----⎝⎭11(1)11limlim (1)(2)(3)(2)(3)2x x x x x x x x →→---==------,选(A)6、若ln 2ln 3ln 5235a b c ===，，，则( ) A a b c << B c b a << C c a b << D b a c <<解：由题意得a=ln,b=ln ln ∵62353153525105(5)(2)2(2)(3)3=<==<=,∴c<a<b,选(C)7、设02x π≤<sin cos x x =-，则（ ）A 0x π≤≤ B744x ππ≤≤C 544x ππ≤≤D 322x ππ≤≤sin cos x x =-得|sinx-cosx|=sinx-cosx,又02x π≤<, ∴544x ππ≤≤,选(C) 8、22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+ ( ) A tan α B tan 2α C 1 D 12解：22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+222sin 2cos tan 22cos cos 2ααααα⋅=,选(B) 9、已知双曲线2212y x -=的焦点为12F F 、，点M 在双曲线上且120MF MF ⋅= ，则点M 到x 轴的距离为（ ）A 43B 53解：由120MF MF ⋅= ,得MF 1⊥MF 2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上，且在x 轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c 2，即(ex)2+a 2=2c 2,∵得x 2=53,y 2=23,由此可知M 点到x 选(C)10、设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）21解：由题意可得22b c a=,∵b 2=a 2-c 2e=c a ,得e 2+2e-1=0,∵e>1,解得1,选(D) 11、不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ）A 3个B 4个C 6个D 7个 解：共有7个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选(D)12、计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F 共16个记数符A 6EB 72C 5FD B0解：∵A=10,B=11,又A ×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A ×B=6E,∴选(A) 二、填空题：本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。
2005年高考理科数学试题及答案全国卷3(四川、陕西、云南)[1]-推荐下载
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2005 年高考理科数学（四川）参考答案
①求 cotA+cotB 的值。
②设 BA BC
3
，求 a
2
+
c
（20）(本小题满分 12 分)
在等差数列 在等差数列{中a公n}差,与的d等差0中, a项2是, a1 a4
的值。
已知数列 , , , , 成等比数列,求数列{ }的通项
a1 a3 ak1 ak2
(21) (本小题满分 14 分)
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
（18）(本小题满分 12 分)
在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面
VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD．
（Ⅰ）证明 AB⊥平面 VAD．
（Ⅱ）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小．
(19)在 ABC ,内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.已知 a,b,c 成等比数列，且 cosB= 3 .若 a ln 2 ,b ln 3 , c ln 5 ,则
(A)a<b<c
2
3
2
（B） 1 V 4
x2
1
(B)
2
(7)设 0 x 2 ,且 1 sin 2x sin x cos x ,则
5
(B)c<b<a
1 4x
) 3
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【正确解答】以 为原点， 为x轴， 为y轴建立直角坐标系， ，设 且 ，则 直线方程为 .
点P到AC、BC的距离乘积
所以最大值为3.
【解后反思】近年来高考题不再只是直接考查线性规划问题，而是需要考生通过对问题的分析整理，将原有问题转化为线性规划问题，并用数形结合的方法加以解决.数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法.随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题已成为高考数学考试的热点.要加强在这一方面的练习,此类问题还有一些,例如使用材料的最优化,部分概率应用题、数理统计题等等.
P（ξ）
故有 .
【解后反思】准确确定随机变量的所有可能取值及其概率是正确解题的关键.细心也是解决此类问题的决窍之一,平时应多进行数的复杂运算,少用计算器，以便在高考中争取时间，取得先机.
16．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，则点P到AC、BC
的距离乘积的最大值是
所以 ，即 所在的象限是第二或第四象限.选D
解法(2)用图象法类似角分线，由图象可以轻易得到答案.选D
解法(3)用特值法令 和 ,也可以得到答案D
【解后反思】熟悉角的终边在坐标系内的画法,可以求任意角简单分割后的终边所在象限.如何求任意角经复杂分割后的终边所在象限如 (1)先写出 范围(2)再求出除以 的范围(3)再分成 类情况讨论可完成.
【思路点拨】本题考查对数函数单调性和分数比较法则.
【正确解答】 ， ， .
选C
【解后反思】在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.
11．不共面的四个定点到平面 的距离都相等，这样的平面 共有（）
A．3个B．4个C．6个D．7个
【思路点拨】本题考查分类思想的运用和立体几何的基本性质.
【正确解答】由题意可知，四个点不可能都在平面 的同侧.只要考虑将四个平面分成两组， .共有7种可能.选D
【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的.
9．已知双曲线 的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且 则点M到
x轴的距离为（）
A． B． C． D．
【思路点拨】本题主要考查向量垂直的等价条件，要求会根据双曲线方程求出其几何性质.
【正确解答】设 ， ， ，
则
由 ，则 ，
又因为点M在双曲线上， ，
所以 .选C
【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别.圆锥曲线的性质也是高考重要知识点之一,不仅要注意它们的第一定义,同时对于第二定义(圆锥曲线上的点到一定点的距离比此点到一定直线的距离为一常数,此常数是圆锥曲线的离心率)也要作深入了解,第二定义对解决关于圆锥曲线的最值等问题有很强的运用.
解法2：设三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，P、Q、R分别为侧棱AA1、CC1、BB1上的中点，则 ，
进而有 .选C.
【解后反思】掌握特殊化方法和分解几何体的基本原则.在求这一类的问题中,如果题目中没有对几何体作任何规定时,可将几何体进行特殊化,变成有规律的几何体,不但不影响我们求解,相反会给我们解题带来柳暗花明又一村的感觉.
4．设三棱柱ABC—A1B1C1的体积为V，P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且PA=QC1，则四棱锥B—APQC的体积为（）
A． B． C． D．
【思路点拨】本题考查几何体的分解后求体积的方法（化整为零）及考查棱锥,棱柱体积公式的运用.
【正确解答】解法1：可以假设三棱柱为直三棱柱，则四棱锥B-APQC的高 等于底面三角形 边上的高.所以
三.解答题（共74分）
17．(本小题满分12分)
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、
乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概
率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
12．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
十六进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
D
E
F
十进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（）
A．6EB．72C．5FD．B0
18．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小．
【思路点拨】熟练掌握线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定及其相互推导.并了解每个定理所需要的条件和适用的范围.
【正确解答】（Ⅰ）作AD的中点O，则VO⊥底面ABCD．
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，
则A（ ，0，0），B（ ，1，0），C（- ，1，0），D（- ，0，0），V（0，0， ），
【思路点拨】本题考查独立事件概率的求法.
【正确解答】（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，
则A、B、C相互独立，
由题意得：
P（AB）=P（A）P（B）=0.05
P（AC）=P（A）P（C）=0.1
P（BC）=P（B）P（C）=0.125
解得：P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5
【解后反思】掌握直线方程五种形式的相互转化及其参数对几何性质的影响.即把相应条件变成等式,从平行等重要条件入手.
3．在 的展开式中 的系数是（）
A．－14B．14C．－28D．28
【思路点拨】本题考查二项式定理通项公式的应用.
【正确解答】 ， 的系数为 .
选B.
【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 .在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.
所以,甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5
（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴ 相互独立，
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为
【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法，而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已.
15．设l为平面上过点（0，1）的直线，l的斜率等可能地取 用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ=.
【思路点拨】理解随机变量、数学期望等概念，会写离散型随机变量的分布列，并能在此基础之上求其数学特征.
【正确解答】由题意及点（0,0）到直线 距离 有，随机变量ξ的分布列为
斜率k
0
ξ
1
14．已知向量 ，且A、B、C三点共线，则k=.
【思路点拨】本题主要考查三点共线的等价条件.
【正确解答】解法(1)由三点共线的性质知： .
解法(2)利用向量本身的性质求解:由三点共线,得 ，
, ,解之得 .
【解后反思】由于以原点为起点的向量坐标等于其终点坐标，所以本题也可用定比分点中三点共线的充要条件求解.向量的解法也可以轻易求解的,多种方法在同一题目的使用,既加深我们对题目的了解,又使得我们对数学方法能更好地掌握,所以解决数学问题时,要尽量一题多解,丰富自己的数学知识,加强数学解题能力,加深对学习数学的兴趣,达到解一题,取得是解多题的效果.
【思路点拨】本题考查计数法则和进位规则.
【正确解答】 ，
.选A
【解后反思】这是一道新型题目,让学生体会各种进制之间的异形同质.不管哪一种进制都是十进制的一种拓展,类比一下十进制,我们可以轻易解决这一系列问题,当然我们如果对计算机的进制有一个了解,解决这个问题会变得非常简单,高考每年都有一到二道新型题目,解决胜这些问题,不仅仅需要数学,其他知识也是一个重要的补充,所以在平时请同学们要多多进行知识积累.
10．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）
A． B． C． D．
【思路点拨】重点知识，重点考查,本题考查椭圆各相关参数的几何意义及其求法.
【正确解答】设 ， ，由题意易知， ， ，选D.
【解后反思】本题有很强有隐蔽性,本题提到的重点是椭圆,那椭圆的性质也在可用范围之列.这一点往往是同学所忽略.巧用圆锥曲线的几何性质来解决有关解析几何有关问题是一个好的方法,本题目是一道综合题,综合运用所学的知识,能简化数学问题.
A． B． C．1D．
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及三角公式的熟练运用