第8讲 数论(余数问题)

第8讲数论（余数问题）

1、带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，

也就是a＝b×q＋r,

0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

(1)当0

r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；

(2)当0

r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。

余数一定要比除数小。

2、三大余数定理：

（1）余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

（2）余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

（3）同余定理

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除

用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)。

3、弃九法：

任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

（思考：有没有求一个整数被11除的余数的快速方法呢？）

4、同余同补问题：

例1：（1）用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。

（2）有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？

练习：（1）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数；

（2）用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？

例2：三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

练习：一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。

例3：有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数。

练习：（1）有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数。

（2）在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)

例4：20032与22003的和除以7的余数是________。

练习：（1）求2461135604711⨯⨯÷的余数；

（2）

"

2"20002222个除以13所得余数是_____；

（3）求89143除以7的余数。

（4）222212320012002+++++ 2除以7的余数是多少？

例5：有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______。

练习：用自然数n去除63，90，130得到的三个余数之和为25，那么n=________。例6：一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2

a+，

a+，5

则这个自然数是多少？

练习：（1）甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？

（2）一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5

a+、2a、a，求这个自然数和a的值。

例7：（1）自然数k被5除余数为1，7除余数为3，被11除余数为7，求k的最小值。

（2）自然数n被5除余数为1，7除余数为2，被11除余数为3，求n的最小值。

练习：有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。

一：带余除法的定义和性质

1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

2、有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？

3、一个两位数除以13的商是6，有余数；除以11所得的余数是6，求这个两位数．

二：三大余数定理的应用

1、两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b

>，求ab ba

⨯．

2、除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是几？

3、在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中三个数的和被9除余7，那么这三个数是？

4、六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价发现：其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是多少元？

5、求478296351

⨯⨯除以17的余数．

6、()

3031

+被13除所得的余数是多少？

3130

7、12342005

除以10所得的余数为多少？

+++++

12342005

8、一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？

三：余数综合应用

1、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、

2、

3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？