第8讲 数论(余数问题)
数论中的同余定理
数论是研究整数的性质和结构的学科，它涉及了很多有趣而又重要的定理和原理。
在数论中，同余定理是一个非常基础而且重要的概念。
同余定理通过研究整数的除法运算与取余运算之间的关系，帮助我们理解整数的性质和规律。
下面我们将详细讨论同余定理的概念和其在数论中的应用。
首先，我们来了解一下同余的概念。
在数学中，同余是指整数之间满足某种特定关系的性质。
具体而言，如果两个整数除以同一个正整数所得的余数相等，则这两个整数被称为同余的。
用数学符号来表示，即对于整数a、b和正整数m，如果a与b除以m所得的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a≡b (mod m)。
例如，5≡11 (mod 3)，表示5与11关于模3同余。
接下来，我们来介绍同余定理及其相关概念。
同余定理是数论中的一组基本定理，它揭示了整数之间同余关系的一些基本性质。
常见的同余定理有三类：欧拉定理、费马小定理和中国剩余定理。
欧拉定理是数论中最重要的定理之一。
它是基于欧拉函数的一个结论，表明对于任意正整数a和正整数m，如果a与m互质（即它们没有公共因子），则有a^φ(m)≡1 (mod m)，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。
费马小定理是同余定理中的另一个重要定理。
它是费马定理的一个特殊情况，宣称对于任意正整数a和质数p，有a^p≡a (mod p)。
这个定理常常用于证明一些数论问题，尤其是在素数的应用中经常被使用。
中国剩余定理是一组定理的集合，用于解决一类同余方程组的问题。
对于给定的一组余数和模数，中国剩余定理可以找到一个与这组余数同余的最小非负整数。
这个定理在密码学和计算机科学中有着广泛的应用，被用于构建高效的算法和数据结构。
同余定理在数论中有着重要的应用。
首先，同余定理可以帮助我们简化复杂的计算。
由于同余关系的转换性，我们可以通过将整数转换为其对模m的余数，将复杂的运算转化为简单的模运算，从而简化了问题的求解过程。
此外，同余定理还能够帮助我们证明数论问题中的一些重要结论。
小学生六年级奥数数论考点：余数问题
小学生六年级奥数数论考点：余数问题
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m);
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m);
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m);
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m);
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m);
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m);
⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c);
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或(mod 3);
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod 11);
五、费尔马小定理：
如果p是质数(素数)，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
数论之同余问题
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整 除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余 数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除 以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位 数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以
余数知识点总结
余数知识点总结一、余数的定义在进行整数除法时，如果被除数不能被除数整除，我们就会得到一个余数。
例如，当我们用10除以3时，商是3，余数是1，因为10除以3得到3余1。
一般来说，对于任意的整数a和b（b不为0），都存在唯一的整数q和r，使得a=bq+r，其中q是商，r是余数。
二、余数的性质1. 余数的范围余数r的范围是0到b-1。
这是因为如果r=b-1，那么a=bq+r=bq+(b-1)=(q+1)b-1。
所以当r大于等于b时，我们可以用b来替换掉r，而商q则加1。
所以余数r必然小于b。
2. 余数的相等性如果两个整数a和b除以同一个整数m得到相同的余数，那么它们的差也一定能被m整除，即如果a%m=b%m，则(a-b)%m=0。
3. 余数的加法性两个整数a和b的余数之和等于它们的和的余数，即(a+b)%m=(a%m+b%m)%m。
4. 余数的乘法性两个整数a和b的余数之积等于它们的积的余数，即(a*b)%m=(a%m*b%m)%m。
5. 余数的幂运算如果要计算a的n次幂的余数，我们可以先计算a%m的n次幂的余数，然后再对m取余。
即a^n%m=(a%m)^n%m。
6. 余数的倒数两个整数a和b互素，即它们的最大公约数是1，那么a在模b意义下一定有倒数。
即对于方程ax≡1 mod b，一定存在整数x满足条件。
三、余数的应用1. 余数的运算余数在算术运算中有着广泛的应用，可以用于简化复杂的运算。
例如在大数运算中，我们往往会对结果取模，以减小结果的数值大小，提高运算效率。
2. 余数的模运算模运算是指对一个数除以另一个数后得到的余数。
在计算机科学中，模运算常常被用于实现循环、加密和散列等操作。
例如在密码学中，模运算可以用于加解密算法中的步骤之一。
3. 余数的逆元余数的逆元是指在模意义下存在的一个数，使得与它相乘后得到的余数是1。
余数的逆元在密码学和数论中有着重要的应用，例如在RSA算法中，逆元的存在性是保证算法有效性的关键。
数学秋季教案 四年级-8 余数问题
4.总结交流。
答案：
235÷18=13……1
1×1×1×1×1=1
答：被除数是395，除数是17。
三、巩固应用、尝试成功。
（一）拓展问题4
4.在一道除法算式中，被除数比除数的25倍多3。被除数、除数、商、余数的和是369，除数是多少？
1.学生读题，分析题目。
2.师生合作，教师提示。
师：分析这道题目，与我们之前做的例4，例5有什么不同之处呢？
生：之前的题目告诉了四个量之间的和，还已知了商和余数具体是多少，但这道题目没有给出来。
1.学生读题，明确题意。
2.教师引导。
师：在一道除法算式中，被除数，除数与商有什么关系呢？大家列举出来。
生：被除数÷除数=商；
被除数÷商=除数；
商×除数=被除数。
师：根据这些关系，结合题目中的数目，你能得出什么？
生1：已知被除数，除数和商的和，还知道了商，所以被除数+除数=674-26。
生2：因为被除数=商×除数，也就是被除数=26×除数。
3.学生独立完成，同桌之间相互交流。
4.总结交流。
答案：
现除数：(1039-7-4×5-4×5)÷（7+1）=124
原除数：124÷4=31
原被除数：31×7+5=222
答：原来的被除数是222，原来的除数是31。
四、拓展视野
5个235相乘，再来除以18，余数是多少？
1.学生读题，寻找思路。
2.师生合作。
答案：
35÷11=3（箱）……2（箱）
答：分完后还剩2箱矿泉水没人搬。
(35×3)÷(11×3)=3（箱）……6（箱）
答：每人搬运一次后，地上还剩6箱“芬达”。
小学奥数题目-四年级-数论-余数问题2
在做整数之间的除法时，常常会碰到不能除尽的情况。
带余除法也因此成为了数论中一块重要的组成部分。
五年级的余数问题，需要在四年级的计算基础上，掌握一些复杂的计算技巧，包括结合最小公倍数和最大公约数来计算。
同时，中国剩余定理也是非常重要的知识点。
知识点汇总中国剩余定理中国剩余定理，又称为中国余数定理、孙子定理，古有“韩信点兵”、“孙子定理”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”之名，是数论中的一个重要命题。
解题方法：1）逐步满足法。
列出一列满足一个或两个条件的数列，从中寻找第一个满足所有条件的数。
这个方法的难点在于，如何选择这个数列，能够简化我们的选择过程。
2）最小公倍数法。
该方法适用于同余的情况，或者可以转化成同余的特殊情况。
重点在于转换问题的方法。
某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几1.1.2016年4月有4个周四，5个周五，请问2016年4月12日是星期几？、星期一、星期二、星期三、星期四2.2.2015年10月23日是星期五，2015年10月有___个星期日？3.3.奶奶告诉小明：2006年共有53个星期日。
聪明的小明立刻告诉奶奶：2007年的元旦一定是星期__？（请回答一、二、三、四、五、六或日）视频描述3101除以7的余数是________1.1.2^2016除以13的余数为？(A^B表示A的B次方)2.2.若a为自然数，证明10整除a^1985- a^1949(输入0看解析)3.3.视频描述一个两位数去除251，得到的余数是41。
求这个两位数1.1.数1257除以一个三位数，余数是150，这个三位数是__？2.2.数235除以一个数的余数是30，可能的除数有哪几个？(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)3.3.2016除以一个两位数余数为40，求出所有可能的两位数。
(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述一个自然数除429,791,500所得的余数分别是a+5,2a和a，求这个自然数和a的值1.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是__？2.2.若有一个大于1的正整数除314,257,447所得的余数相同，则2002除以这个数的余数是__？3.3.已知有一个数除309,222,251所得的余数相同，这个余数为__？视频描述一个整数除以3余2，商除以5余3，再用新的商除以7余5，则此数除以35余______1.1.一个小于200的整数除以7余3，商除以8余5，求问该数最大为多少？2.2.一个整数除以9余2，商除以3余1，再用新的商除以5余3，则此数除以45余___？3.3.一个大于50小于200的整数除以10余2，商除以7余5，求问该数可能为多少？(写出所有答案，答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)视频描述有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______1.1.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)2.2.有一个整数，用它去除90，50，100所得到的3个余数之和是35，那么这个整数是______．3.3.三个不同的自然数的和为2016，它们分别除以17,23,34所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数分别是_______,_______,_______(答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2 3)在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被4整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？1.1.某个两位数是2 的倍数, 加1 是3 的倍数, 加2 是4 的倍数, 加1 是5 的倍数, 那么这个两位数是________(写出所有答案答案中间请用一个空格隔开答案并按小到大顺序填写例:1 2)2.2.有一个自然数用7除余3，用9除余4。
奥数数论：余数问题要点及解题技巧
奥数数论：余数问题要点及解题技巧(总2页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除奥数数论：余数问题要点及解题技巧一、基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0余数，q叫做a除以b的不完全商。
二、余数的性质：①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
三、同余的定义：①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
四、同余的性质：①自身性：a≡a(modm)；②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；五、被3、9、11除后的余数特征：①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；六、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。
二年级下册数学课件(数学思维)-第8讲 余数问题｜全国通用 (21页)PPT
答：李老师原来有26张画片。
举一反三
莉莉和5名小朋友一共要做32朵花，平均每名小朋友做几朵花？ 莉莉需要多做几朵，才能完成任务？
32 ÷ 6 = 5（朵）……2（朵）
答：平均每名小朋友做5朵花，莉莉 需要多做2朵，才能完成任务。
举一反三
一个游乐项目玩一次需5元，李老师带了43元，可供几人玩？
摆一摆 用火柴棒摆正方形。
（3）用15根摆
除数大于余数法！
列式：15÷4=3（个）……3（根）
列一列 看图填空。
（19 ）÷（ 5 ）=（ 3 ）……（ 4 ） 想一想：可以互换吗？ 除数大于余数法！
19÷5=3……4
练一练
巧算余数，再填空。
（1）48÷（ 5 ）=9……3 （2）（ 35 ）÷（ 9 ）=3……8 （3）（26 ）÷6=4……2 （4）67÷（ 9 ）=7……4 （5）在算式（ ）÷8=6……（
15 ÷ 4 = 3（张）……3（人）
3 + 1 = 4（张） 答：不够，需要4张桌子。
余数不能舍， 添份才oK!
练一练
有22名小朋友要过河，每条船上最多可以坐6名小朋友， 至少需要几条船才可以把所有小朋友送过河？
22 ÷ 6 = 3（条）……4（名） 3+1=4（条）
答：最少需要4条船。
拿一拿
最大时，被除数是（ 55 ）。
）中，余数
练一练
从1~90的自然数中找符合条件的数填在下面的横线上。 （1）除以9没有余数的有：
9、18、27、36、45、54、63、72、81、90 （2）除以9余4的有：
13、22、31、40、49、58、67、76、85
初中数学竞赛讲座——数论部分8(同余系的应用)
第8讲剩余系及其一次同余方程一、基础知识：（1）剩余系对于任意正整数n而言，一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。
依次可将整数分成n个类（例如n＝2时，就是奇数或偶数），从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系，简称为模的完系。
定义1：如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,...,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。
定义2：剩余系：设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成[0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。
例如：当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}最小非负完全{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}绝对值最小{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}绝对值最小（一）根据剩余类的概念，很容易得到以下几条有关剩余类的性质：①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中②整数p所属的模m的剩余类中的每一个数都可以写成km+p的形式，这里k是整数用符号p mod m表示p所属的模m的剩余类，这条性质写成数学表达式就是p mod m= {p+km（k是整数）}③整数p、q在模m的同一个剩余类中的充要条件是p、q对模m同余。
这条性质用数学符号就可表示为：p mod m= q mod m p≡q（mod m）实际上，同余式就是剩余类等式的一个特殊情况，是集合中的一个元素，前面有关同余的一些性质对剩余类仍然成立。
这条性质表明，对于模m的两个剩余类要么相等，要么它们的交集为空集，因此，模m有且仅有m个剩余类，它们是：0mod m，1 mod m，2 mod m，…（m―1）mod m。
在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。
余数问题
数论模块数论题的特点就是简洁明了，信息量看起来往往比较少，所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要的一点就是寻找突破口，走对方向。
另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。
但相比组合而言，数论至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战略上藐视，战术上重视”，战略上要相信，考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。
我就不详细讲每一个知识点（确实非常之多，关键在于平常积累），在这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。
还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从三个角度去分析它，例如154：（1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个100，5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度；（2）154＝2×7×11，分解质因数；（3）154除以5余4，除以9余1，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和余数；以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数论问题的三种方式，三个突破口。
下面我来详细讲讲每一个角度。
一、位值原理和整除。
其实所有数字的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头，知道它们是怎么来的，这样就不用背那么多知识点了。
言归正传，什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，就不用多说了，举个最简单的例子：55□39能被11整除，请问□是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。
考得比较多的，比如这样的题目：“一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用位值原理。
利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把文字翻译成数学语言（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。
小学奥数题库《数论》余数问题带余除法1星题(含解析)全国通用版
数论-余数问题-带余除法-1星题课程目标知识提要带余除法•定义一般的，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q⋯⋯r，也就是说a=b×q+r，0≦r<b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
（1）当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；（2）当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
精选例题带余除法1. 有一个除法算式，被除数和除数的和是136，商是7，则除数是．【答案】17【分析】（1）被除数÷除数=7，因此我们能得到被除数是除数得7倍．（2）如果设除数是1份，那么被除数就是7份，它们的和是136．所以每份量为：136÷8=17．即除数是17．2. 在一个除法算式中，被除数是12，除数小于12，则可能出现的不同的余数之和是．【答案】15【分析】除数小于12且有不同余数，除数可能是11、10、9、8、7．余数分别是1、2、3、4、5．余数之和是1＋2＋3＋4＋5=15.3. 已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10．那么这些自然数共有个．【答案】11个【分析】2008−10=1998一定能被这些数整除，且这些数一定大于10，1998=2×3×3×3×37．1998的因数一共有：(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个．其中小于10的有：1，2，3，6，9那么大于10的因数有16−5=11个．即这些自然数共有11个．4. 买一支水彩笔需要1元7角，用15元钱最多可以买这样的水彩笔支．【答案】8【分析】1元7角相当17角，15元相当于150角．可列出如下算式：150÷17=8⋯14.故最多可以买这样的水彩笔8支．5. 两数相除，商4余8，被除数、除数两数之和等于73，则被除数是．【答案】60【分析】被除数=4×除数+8，被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为(73−8)÷(4+1)=13，所以，被除数为13×4+8=60．6. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是．【答案】1968【分析】设除数为a，被除数为17a+13，即可得到(17a+13)+a+17+13=2113,那么除数=115，被除数=115×17+13=1968．7. 在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数最小是．【答案】152【分析】根据余数小于除数，得到除数最小为9，那么被除数的最小值为16×9+8=152．8. 在一个除法算式中，如果商是16，余数是8，那么被除数与除数的和最小是．【答案】161【分析】由上题152+9=161．9. （1）34÷4=8⋯⋯2，则[34÷4]=，{34÷4}=；（2）已知a÷125=b⋯⋯10，[a÷125]=6，求{a÷125} = ；（3）已知a÷20=3⋯⋯b，{a÷20}=0.45，求[a÷20] = ，a = ．【答案】（1）8,0.5；（2）0.08；（3）3,69【分析】（1）34÷4的整数部分就是商，因此为8，{34÷4}相当于余数除以4，因此为0.5．（2）如果a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q,{a÷b}=r÷b方法1：b=6，a=6×125+10=760，{760÷125}=0.08；方法2：b=6，{a÷125}=10÷125=0.08．（3）如果a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q，{a÷b}=r÷b，所以[a÷20]=3，b=0.45×20=9，a=3×20+9=69．10. 用一个自然数去除另一个自然数，商为5．被除数、除数的和是36，求这两个自然数各是多少？【答案】被除数为30，除数为6．【分析】被除数÷除数=5，所以根据和倍问题可知，除数为36÷(5+1)=6，所以被除数为5×6=30．11. 若a÷b=7⋯⋯9，则a的最小值是多少？【答案】79【分析】根据余数小于除数，得到除数最小为10，那么a的最小值为7×10+9=79．12. （1）25÷6=4⋯⋯1；34÷6=5⋯⋯4，那么(25+34)÷6=( )⋯⋯( )．（2）45÷7=6⋯⋯3；26÷7=3⋯⋯5，那么(45+26)÷7=( )⋯⋯( )．（3）a÷8⋯⋯5；b÷8⋯⋯6，那么(a+b)÷8⋯⋯( )．（4）a÷8⋯⋯5；b÷8⋯⋯6；c÷8⋯⋯7，那么(a+b+c)÷8⋯⋯( )．【答案】（1）(25+34)÷6=(9)⋯⋯(5)；（2）(45+26)÷7=(10)⋯⋯(1)．（3）(a+b)÷8⋯⋯(3)．（4）(a+b+c)÷8⋯⋯(2)．【分析】（1）(25+34)÷6=9⋯⋯5；（2）(45+26)÷7=10⋯⋯1．（3）所以余数的和为5+6=11，11÷8=1⋯⋯3，余数为3．（4）余数的和为5+6+7=18，18÷8=2⋯⋯2，余数为2．13. 请在下列括号中填上适当的数．（1）a÷8⋯⋯6；b÷8⋯⋯7，那么(a+b)÷8⋯⋯( )．（2）a÷10⋯⋯5；b÷10⋯⋯6；c÷10⋯⋯7，那么(2a+b+c)÷10⋯⋯( )．【答案】（1）5；（2）3【分析】（1）余数的和为6+7=13，13÷8=1⋯⋯5，余数为5．（2）2a+b+c=a+a+b+c，所以余数的和为5+5+6+7=23，23÷10=2⋯⋯3，余数为3．14. 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【答案】13,77,91【分析】1013−12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．15. 1013除以一个两位数，余数是12．求出所有符合条件的两位数．【答案】13,77,91【分析】1013−12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有11,13,77,91，因为“余数小于除数”，所以舍去11，答案只有13,77,91．16. 甲、乙两数的和是16，甲数除以乙数商是2余1，求甲数和乙数各是多少？【答案】乙=5，甲=11【分析】设乙数为a，即甲为2a+1，可得到(2a+1)+a=16，那么乙=5，甲=11．17. 2025除以一个两位数，余数是75，这个两位数是多少？【答案】78【分析】这个两位数是2025−75=1950的约数，其中比75大的只有78．18. 一个数除以另一个数，商是3，余数是3．如果除数和被除数都扩大10倍，那么被除数、除数、商、余数的和是263，求这2个自然数各是多少？【答案】5、18【分析】设除数为a，被除数为3a+3，即可得到10(3a+3)+10a+3+30=263,那么除数=5，被除数=5×3+3=18．19. 甲、乙两数的差是113，甲数除以乙数商7余5，则甲数和乙数各是多少？【答案】乙=18，甲=131【分析】设乙数为a，即甲为7a+5，可得到(7a+5)−a=113，那么乙=18，甲= 131．20. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．【答案】324【分析】设被除数和除数分别为x，y，可以得到\[ \begin{cases} x = 4y + 8\hfill \\ x + y + 4 + 8= 415 \hfill \\ \end{cases} \]解方程组得\[ \left\{ \begin{gathered} x = 324 \hfill\\ y = 79 \hfill\\ \end{gathered} \right. \]即被除数为324．21. 78除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是3，求除数和余数．【答案】除数为9，余数为6．【分析】78÷除数=8⋯⋯(余数−3)，81÷除数=9⋯⋯0被除数加上除数与余数的差3的和刚好是除数的9倍，则除数为(78+3)÷9=9，余数为6．22. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【答案】a=43，r=14【分析】由1992是a的46倍还多r，得到1992÷46=43......14，得1992=46×43+ 14，所以a=43，r=14．23. 甲、乙两个数，甲数除以乙数商2余17，乙数的10倍除以甲数商3余45．求甲、乙二数．【答案】乙=24，甲=65【分析】设乙数为a，即甲为2a+17，可得到10a÷(2a+17)=3⋯⋯45，整理为10a= 3(2a+17)+45，那么乙=24，甲=65．24. 一个三位数除以43，商是a余数是b，求a+b的最大值．【答案】64【分析】试除法：999÷43=23⋯⋯10；999−10−1=988；988÷43=22⋯⋯42．余数最大为42，所以a+b的最大值为42+22=64．25. （1）82÷6=13⋯⋯4；50÷6=8⋯⋯2，那么(82−50)÷6=( )⋯⋯( )．（2）74÷6=12⋯⋯2；22÷6=3⋯⋯4，那么(74−22)÷6=( )⋯⋯( )．（3）a÷6余5；b÷6余1，那么(a−b)÷6余几呢？（4）a÷6余3；b÷6余5，那么(a−b)÷6余几呢？【答案】（1）(82−50)÷6=(5)⋯⋯(2)．（2）(74−22)÷6=(8)⋯⋯(4)．（3）余4．（4）余4．【分析】（1）(82−50)÷6=5⋯⋯2．（2）(74−22)÷6=8⋯⋯4．（3）余数的差是4，所以余数是4．（4）余数不够减时借1当6用来减，3+6=9，9−5=4，所以余数是4．26. 用一个自然数去除另一个自然数，商为8，余数是3．被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【答案】被除数为43，除数为5．【分析】因为被除数减去3后使除数的8倍，所以根据和倍问题可知，除数为(48−3)÷(8+1)=5，所以被除数为5×8+3=43．27. 50除以一个一位数，余数是2．求出符合条件的一位数．【答案】3，4，6，8【分析】50÷除数=商⋯⋯2，50−2=48，48=除数×商，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，因为“余数小于除数且除数是一位数“那么符合条件的所有的数有3，4，6，8．28. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数．【答案】39；91【分析】本题为余数问题基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题---即“不整除问题”转化为整除问题．方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数．本题中310−37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的两位数有39，91．29. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【答案】83【分析】因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于78，并且小于13×(6+1)=91；又因为这个两位数除以11余6，而78除以11余1，这个两位数为78+5=83．30. 43除以一个数得到的商是8，并且除数与余数的差是2，求除数和余数．【答案】除数为5，余数为3．【分析】43=8×除数+余数，被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的9倍，则除数为(43+2)÷(8+1)=5，余数为3．31. 用一个自然数去除另一个自然数，商为7．被除数、除数的和是48，求这两个自然数各是多少？【答案】除数为6，被除数为42．【分析】被除数÷除数=7，所以根据和倍问题可知，除数为48÷(7+1)=6，所以被除数为6×7=42．32. 计算：（1）已知a÷25=b⋯⋯5，[a÷20]=4，求a=；（2）已知a÷10=7⋯⋯b，{a÷10}=0.5，求[a÷10]=，a=．【答案】（1）105；（2）7,75【分析】（1）b =4，a=4×25+5=105（2）a÷b=q⋯⋯r，[a÷b]=q，{a÷b}=r÷b，所以[a÷10]=7，b=0.5×10=5，a=7×10+5=75．33. 46除以一个一位数，余数是1．求出符合条件的一位数．【答案】3，5，9【分析】46÷除数=商⋯⋯1，46−1=45，45÷除数=商⋯⋯0，45=除数×商，45=3×15=5×9，因为“余数小于除数且除数是一位数”那么符合条件的所有的一位数有3，5，9．34. 博士要给小朋友们分糖，一共128块，如果每人分5块，最多可以分给几个小朋友？【答案】25【分析】128÷5=25⋯⋯3，最多分给25个小朋友，还剩3块．35. 128除以一个数得到的商是9，并且除数与余数的差是2，求除数和余数．【答案】除数为13，余数为11．【分析】128÷除数=9⋯⋯(余数−2)，130÷除数=10⋯⋯0被除数加上除数与余数的差2的和刚好是除数的10倍，则除数为(128+2)÷10=13，余数为11．36. 有一个整数，39，51，147被它除所得的余数都是3，求这个数．【答案】4；6；12【分析】方法一：39−3=36，147−3=144，(36,144)=12，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4，6，12．方法二：由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．51−39=12，147−39=108，(12,108)=12，所以这个数是4，6，12．37. 一个除法算式中，被除数、除数、商与余数都是自然数，并且商与余数相等．若被除数是47，则除数是多少？【答案】46【分析】设除数为b，商和余数都是c，这个算式就可以表示为：47÷b=c⋯⋯c，即b×c+c=47；c×(b+1)=47，所以c一定是47的因数，47的因数只有1和47；c为47肯定不符合条件，所以c=1，即除数是46，余数是1．38. 已知2012被一些正整数去除，得到的余数为10，则这样的正整数共有多少个？【答案】13个【分析】2012−10=2002一定能被这些数整除，2002=2×7×11×13．因为2002中一共有(1+1)×(1+1)×(1+1)×(1+1)=16个，排除小于10的因数1、2、7，满足条件的正整数共有16−3=13个．39. 188＋288＋388＋…＋2088除以9、11的余数各是多少？【答案】8；11．【分析】根据等差数列求和列式：188＋288＋388＋…＋2088=22760，所以22760÷9⋯⋯8；22760÷11⋯1．40. 著名的斐波那契数列是这样的：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【答案】0【分析】斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将斐波那契数列转换为被3除所得余数的数列：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，⋯，第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以斐波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8的余数为0，所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数为0．。
小升初数论重点考查内容————(余数问题——余数三宝)
千里之行，始于足下。
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【例】一个数除以4余2，除以5余3，则这个数最小是？
【例】一个数除以3余2，除以4余1，则这个数最小是？
(★★★)
两位天然数ab 与ba 除以7都余1，并且a ＞b ，求ab ba ⨯
小升初数论重点考查内容
朽木易折，金石可镂。
(★★★) (2005年全国小学数学奥林匹克试题)
有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是________。
(★★★) (2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛个人赛)
试求22008＋20082除以7的余数。
(★★★)(2009年第十届中环杯五年级试题)
有一个数除以3余数是2，除以5余数是3，那么这个数除以15的余数是( )
(★★★★)(1998年小学数学奥林匹克预赛B卷)
一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是______。
(★★★★)( 1998年小学数学奥林匹克预赛)
某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是______。
千里之行，始于足下。
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余数定理的推导过程
余数定理的推导过程余数定理（又称模运算定理）是高中数学中的一个重要定理，用于计算整数除法中的余数。
它在数论、代数和计算机科学等领域有着广泛的应用。
下面我们将详细介绍余数定理的推导过程。
在进行余数定理的推导前，我们先来了解一下余数的定义。
给定两个整数a和b（其中b不为0），我们定义a与b的余数为r，记作r = a mod b。
如果存在一个整数q，使得a = b * q + r，其中q为商，则简单地说，r就是a除以b所得到的余数。
现在我们开始推导余数定理。
设a和b为任意两个不全为零的整数，我们要证明以下等式成立：a mod b ≡ a mod (-b)。
首先，将a写成a = b * q + r的形式，其中r是a除以b所得的余数。
由于q为整数，我们可以得知r = a - b * q。
然后，我们将上述式子两边同时除以(-b)，得到r / (-b) = (a - b * q) / (-b)。
注意到在数学运算中，除法可以用乘法的“倒数”来代替，即除以一个数b可以转化为乘以其倒数1/b。
所以，我们继续推导：r / (-b) = (a - b * q) * (1 / (-b))。
由于两个负数相乘的结果是正数，所以(-b) * (1 / (-b)) = -1，我们可以将上式继续化简为：r / (-b) = a * (-1) + b * q * (-1)。
进一步简化，我们得到：r / (-b) = -a + (-b) * (-q)。
注意这里的负号是暂时加上去的，可以去掉，所以上式可以写为：r / (-b) = a + (-b) * (-q)。
我们可以变换一下符号顺序，整理得到：r / (-b) = a + b * (-q)。
根据定义，我们知道r = a mod b，所以将其代入上式，可以得到：r / (-b) = (a mod b) + b * (-q)。
再次根据定义，我们知道(a mod b)的值应介于0到b-1之间，即0 ≤ (a mod b) ≤ b-1。
余数定理总结归纳
余数定理总结归纳余数定理（又称为模运算定理或余式定理）是数论中的重要概念之一，由数学家费马于17世纪提出。
该定理描述了当一个整数被除以另一个不为零的整数时，所得到的余数具有一定的规律性。
本文将对余数定理进行总结归纳，并介绍其应用。
一、余数定理的基本定义余数定理指出，当一个整数a被除以一个不为零的整数b时，所得到的余数可用a和b的关系表达出来。
具体而言，设整数a和b满足a = kb + r，其中k为整数，r为余数，且满足0 ≤ r < |b|。
则称a除以b的商为k，余数为r，即a ≡ r (mod b)。
二、余数定理的特性根据余数定理的定义，我们可以总结出一些重要特性：1. 同余关系：如果两个整数a和b满足a ≡ r1 (mod m)且b ≡ r2 (mod m)，则a和b对于模m同余，即r1 ≡ r2 (mod m)。
这意味着当两个整数除以同一个模m时，它们的余数相等。
2. 模的加法性质：设a ≡ r1 (mod m)且b ≡ r2 (mod m)，则a + b ≡ (r1 + r2) (mod m)。
也就是说，将两个同余的整数相加后，其和仍然与模m 同余。
3. 模的乘法性质：设a ≡ r1 (mod m)且b ≡ r2 (mod m)，则a × b ≡ (r1 × r2) (mod m)。
这表明两个同余的整数相乘后，其积与模m同余。
4. 模的幂次性质：对于整数a和b，如果a ≡ r (mod m)，则a^b ≡r^b (mod m)。
即同余关系在幂运算中仍然成立。
三、余数定理的应用余数定理在数论和代数等领域有广泛的应用，以下介绍几个常见的应用场景：1. 素数判定：根据余数定理，如果一个整数a ≡ 0 (mod p)，其中p为素数，那么a一定是p的倍数，即a是一个合数。
因此，可以利用余数定理来进行素数的判定。
2. 同余方程：余数定理可以用于解决同余方程，即形如ax ≡ b (mod m)的方程。
人教版小学数学小升初思维拓展(知识梳理+典题精讲+专项训练)专题8-带余除法
专题8-带余除法小升初数学思维拓展数论问题专项训练（知识梳理+典题精讲+专项训练）1、如：16÷3=5…1，即16=5×3+1，此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
2、一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=q×b+r。
当r=0时，我们称a能被b整除当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）．3、对任意整数a，b且b≠0，存在唯一的数对q，r，使a=bq+r，其中0≤r＜|b|．这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础．若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数．若d是a，b的公因数，d≥0，且d可被a，b的任意公因数整除，则称d是a，b的最大公因数．若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素．累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法．又称欧几里得算法。
【典例一】有一堆苹果，2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，5个5个地数却少4个，这堆苹果最少有()个．A．13B．19C．61D．121【分析】2个2个地数少1个，3个3个地数余1个，4个4个地数余1个，就是求出2、3、4三个数的最小公倍数多1的数；由此解答求出2、3、4的公倍数，然后加上1，再找到其中满足5个5个地数却少4个的最小的数即可求解．【解答】解：2、3、4三个数的最小公倍数是23212⨯⨯=，⨯+=，13不满足5个5个地数却少4个；121113⨯+=，25不满足5个5个的数却少4个；122125⨯+=，37不满足5个5个的数却少4个；123137⨯+=，49不满足5个5个的数却少4个；124149⨯+=，61满足5个5个的数却少4个．125161答：这堆苹果最少有61个．故选：C．【点评】此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．【典例二】某小学四、五、六年级学生是星期六下午参加劳动，其中一个班学生留下来打扫环境卫生，一部分学生到建筑工地搬砖，其余的学生到校办工厂劳动，到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍．各个班级参加劳动人数如下表．留下来打扫卫生的是班．班级四（1）四（2）四（3）四（4）五（1）五（2）五（3）五（4）六（1）六（2）六（3）人数5554575554515453515248【分析】根据“到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动的人数的2倍”，可得到这两个地方去的10个班的学生数之和应是3的倍数.11个班的学生总数是584人，而584除以3余2，因此留下来打扫卫生的这个班的学生人数应除以3余2，而各班人数中只有53除以3余2，故留下来打扫卫生的是五（4）班．【解答】解：5554575554515453515248584++++++++++=人，58431942÷=⋯，各班人数中，只有53除以3余数是2，所以留下来打扫卫生的是五（4）班．故答案为：五（4）．【点评】本题主要考查带余的除法问题，根据到建筑工地搬砖是到校办工厂劳动人数的2倍，可知这些人数的和是3的倍数是解答本题的关键．【典例三】桌子上有七个纸盒，分别装有3，4，5，6，8，9，15千克糖，小明和小丽共拿走了六个纸盒，已知小明拿走糖的重量是小丽的3倍．剩下的一个纸盒有多少千克糖？【分析】根据题意，小明拿走糖的重量是小丽的3倍，那么小明和小丽拿走糖的重量是4的倍数，我们可以先从这一组数字(34568915)4122++++++÷=⋯，去掉一个除以4余2的数即可，只有6符合题意，由此列式解答即可．【解答】解：7个纸盒共重：3456891550++++++=（千克），50(31)12÷+=（千克）2⋯（千克），只有6除以4余2，所以剩下一个纸盒是6千克．答：剩下的一个纸盒有6千克．【点评】解答此题的关键是分析出小明和小丽拿走糖的重量是4的倍数，然后再将7个数相加除以4，结果有余数，就找那个除以4是与余数相同的，也就是剩下的一个纸盒．一．选择题（共3小题）1．一个数被7除，余数是3，该数的3倍被7除，余数是()A．3B．6C．2D．12．两个自然数同时除以13，所得的余数分别是6和9，它们之积除以13的余数为()A．9B．7C．6D．23．所有被4除余1的两位数的和为()A．1200B．1208C．1210D．1224E．1229二．填空题（共13小题）4．一个整数除以8余7，除以12余11，那么这样的数中，最小的一个是，在小于1000的数中，这样的整数有个．5．一个数除以2余1，它的商除以5余4，再用得到的商除以6余1，那么原来这个数除以60余．6．把1~2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数1234567892005⋯⋯，这个多位数除以9的余数是。
数论中的同余方程应用
数论是数学中的一个分支，研究的是整数的性质和结构。
同余方程是数论中的一个重要概念，它是指在模一个数的情况下，两个数的差是这个模的倍数。
同余方程在密码学、编程以及数学证明等领域有着广泛的应用。
同余方程最早可以追溯到中国古代的《西河数术》，它记载了一些关于同余的方法和定理。
同余方程的形式为：a ≡ b (mod n)，意味着a与b除以n的余数相等。
例如，10 ≡ 1 (mod 3)，意味着10除以3的余数是1。
同余方程具有以下性质：1.若a ≡ b (mod n)，则a + c ≡ b + c (mod n)。
即同余方程在加法运算下是封闭的。
2.若a ≡ b (mod n)，则ac ≡ bc (mod n)。
即同余方程在乘法运算下是封闭的。
3.若a ≡ b (mod n)，则a^2 ≡ b^2 (mod n)。
即同余方程在幂运算下是封闭的。
同余方程的应用非常广泛，以下是其中几个典型的应用：1.密码学同余方程在密码学中起着重要的作用。
RSA算法是一种基于同余方程的非对称加密算法，广泛应用于信息安全中。
RSA算法的关键就是利用了同余方程的性质来实现加密和解密过程。
2.时间和日期计算同余方程可以用来计算日期的加减运算。
例如，我们可以利用同余方程来计算某一天是星期几，或者计算某一天再过几天是哪一天。
3.网络传输和编程在网络传输和编程中，同余方程可以用来进行数据校验。
例如，校验和算法就是利用同余方程来计算一组数据的校验和，以确保数据传输的完整性和正确性。
4.数学证明同余方程在数学证明中也有重要的应用。
例如，费马小定理就是基于同余方程的性质来进行证明的。
费马小定理指出：若p是一个素数，a是一个整数，且a不是p的倍数，那么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这个定理在数论证明和密码学中有着广泛的应用。
同余方程是数论中的一个重要概念，具有广泛的应用。
它在密码学、编程以及数学证明中发挥着重要的作用。
同余方程的性质使得它在加法、乘法和幂运算下都封闭，这使得我们可以方便地进行计算和推导。
小学数学数论专项-余数问题五年级讲课上课精品PPT教学课件
2.同余问题
余数问题要点
余数问题（笔记）
特点：已知几个被除数和余数，求除数 思路：
从被除数中减掉余数，所得到的差就能够被除数整除！
例6：一个数去除73余13，去除184余4，去除220余10，这个数 最大是多少？
练：把97个苹果和128个梨平均分给六年级（1）班的学生，每 个人分到的苹果一样多，分到的梨也一样多．还剩下7个苹果 和8个梨，那么这个班最多有多少人？
最大公因×不同质因数→最小公倍数；
余数问题（笔记）
特点：已知几个除数、余数求被除数 思路：从余同入手，逐步满足
余数问题要点
1.余同、缺同、物不知数。
例1：一个三位数除以5余2，除以4余2，除以6也余2．这个三 位数最小是_________．
练：一个数被2、3、7除结果都余1，这个数最小是_______．
例2：一盒棋子，4个4个数多1个，6个6个数多1个，15个15个 数多1个，这盒棋子数在150~200之间。问这盒棋子有多少个？
练：一个自然数在200到250之间，这个数除以9余1，除以13也 余1。那么这个数是_______．
例3：一个自然数除以6余5，除以7余6，那么这个数最小是多 少？
练：有不足100个苹果，如果是10个一堆，那么剩余9个；9个 一堆，那么剩余8个；6个一堆，剩余5个；5个一堆，剩余4个； 3个一堆，2个剩余．求开始有多少个苹果．
例4：篮子里装有不多于500个的苹果，如果每次二个，每次三 个，每次四个，每次五个，每次六个地取出来，篮子里最后都 剩下一个苹果；而如果每次七个地取出，那么恰好没有苹果剩 下。篮子里共有苹果__________个．
练：一筐鸡蛋两个两个地数多1个，三个三个地数也多1个，四 个四个地数少3个，五个五个地数少4个，六个六个地数又多一 个，七个七个地数不多也不少．这筐鸡蛋至少有_____个．
余数问题
精心整理数论模块数论题的特点就是简洁明了，信息量看起来往往比较少，所以很多同学在见到数论题的时候总会觉得无从入手，因此，做数论题时很重要的一点就是寻找突破口，走对方向。
另外，数论模块的另一个特点就是：知识点非常多。
但相比组合而言，数论至少显得更“有法可依”，考场上一定要敢去思考数论题，“战略上藐视，战术上重视”，战略上要相信，考题所用的知识点绝对不会超出小学知识范畴，而考前我们能做的，就是好好研究一下战术——如何应对每一类题目。
我就不详细讲每一个知识点（确实非常之多，关键在于平常积累），在这里，我就解数论题的三个突破口来谈谈考场上如何找到数论题的解题思路。
还是那个我在课堂上讲过很多遍的例子：任意找一个数，我们都可以从三个角度去分析它，例如154：（1）我们可以说它是一百五十四，在这里，1是百位上的数字，它代表1个100，5代表5个10，4代表4个1，这可以说是位值原理的角度；（2）154＝2×7×11，分解质因数；（3）154除以5余4，除以9余1，我们可以研究它除以任意一个数所得的商和余数；以上三种角度分析一个数也映射出数论体系的三大块内容，同时也是我们分析数论问题的三种方式，三个突破口。
下面我来详细讲讲每一个角度。
一、位值原理和整除。
其实所有数字的整除特性都是利用位值原理推导出来的，从这个也反映出了学习数论的一个策略：找到知识点的源头，知道它们是怎么来的，这样就不用背那么多知识点了。
言归正传，什么样的题目我们往这个角度去思考呢？有些题目比较明显，就不用多说了，举个最简单的例子：55□39能被11整除，请问□是几？这种题就直接利用整除特性就OK了。
考得比较多的，比如这样的题目：“一个三位数A的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是数A，这个三位数A是多少？”题中提到了X位数或者提到了这个数里面的某几位数字的，可以考虑用位值原理。
利用位值原理对题目进行“翻译”——也就是把文字翻译成数学语言（数学式子），再结合其他的知识点去“加工”，一步步地解答它。
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第8讲数论（余数问题）
1、带余除法的定义及性质：
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，
也就是a＝b×q＋r,
0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
这里：
(1)当0
r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；
(2)当0
r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
余数一定要比除数小。
2、三大余数定理：
（1）余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
（2）余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
（3）同余定理
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除
用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)。
3、弃九法：
任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。
（思考：有没有求一个整数被11除的余数的快速方法呢？）
4、同余同补问题：
例1：（1）用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。
（2）有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
练习：（1）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数；
（2）用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
例2：三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。
练习：一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。
例3：有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数。
练习：（1）有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数。
（2）在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)
例4：20032与22003的和除以7的余数是________。
练习：（1）求2461135604711⨯⨯÷的余数；
（2）
"
2"20002222个除以13所得余数是_____；
（3）求89143除以7的余数。
（4）222212320012002+++++ 2除以7的余数是多少？
例5：有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______。
练习：用自然数n去除63，90，130得到的三个余数之和为25，那么n=________。
例6：一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2
a+，
a+，5
则这个自然数是多少？
练习：（1）甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少？
（2）一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5
a+、2a、a，求这个自然数和a的值。
例7：（1）自然数k被5除余数为1，7除余数为3，被11除余数为7，求k的最小值。
（2）自然数n被5除余数为1，7除余数为2，被11除余数为3，求n的最小值。
练习：有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。
一：带余除法的定义和性质
1、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。
2、有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
3、一个两位数除以13的商是6，有余数；除以11所得的余数是6，求这个两位数．
二：三大余数定理的应用
1、两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b
>，求ab ba
⨯．
2、除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是几？
3、在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中三个数的和被9除余7，那么这三个数是？
4、六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价发现：其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是多少元？
5、求478296351
⨯⨯除以17的余数．
6、()
3031
+被13除所得的余数是多少？
3130
7、12342005
除以10所得的余数为多少？
+++++
12342005
8、一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？
三：余数综合应用
1、著名的裴波那契数列是这样的：1、1、
2、
3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
2、小明想了一个正整数，并且求出了它分别除以
3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．
3、将12345678910111213......依次写到第1997个数字，组成一个1997位数，那么此数除以9的余数是 ________．
4、已知n是正整数，规定!12
，
n n
=⨯⨯⨯
令1!12!23!32007!2007
，则整数m除以2008的余数为多少？
m=⨯+⨯+⨯++⨯
巩固练习：
1、1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．
2、有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？
3、若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？
4、2008222008 除以7的余数是多少？
5、一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．。