微积分基础初步及其在中学物理竞赛中的应用

A
A
几何公理：两点之间直线距离最短
∫B ds 的极小值为直线 AB . A
光在均匀介质中沿直线传播
ii. 用费马原理证明折射定律
证: 通过空间两点A、B可以作无数个
平面，其中必有一个平面垂直于两 种介质 n1和n2 之间的界面，OO’是 它们的交线。通过A点折射到B点的 入射线交界面于C点，求C点的位置。
M0
L
N
αϕ
o
AB x
tan α = lim tan ϕ = lim Δy = lim f ( x0 + x) − f ( x0 )
Δx→0
Δ x Δx → 0
Δx→0
x − x0
曲线 y = f (x)在点M0处的纵坐标 y 的增量 Δy 与横坐标
x的增量Δx之比，当Δx → 0时的极限即为曲线在M0点处
即： f ′′(x0 ) = [f ′(x)]′ x=x0
依次类推，可得三阶、四阶导数等.
导数的几何意义与物理意义
z导数的几何意义： 函数 y = f (x) 在点x0处的导数等于函数所
表示的曲线L在相应点（x0,y0)处的切线斜率.
y
y = f (x)
M T
M0
L
N
αϕ
o
AB x
z导数的物理意义： 变速直线运动的速率
(a) C点必在OO'上
如果有另一点C'位于线外，则对应于C’，必可在OO’线上找 到它的垂足C''
因为 AC' > AC' ' C' B > C'' B AC'+C' B > AC''+C'' B 而非极小值．
(b) 确定C (x, 0 )点在OO’上的位置
通过A(x1, y1)和B(x2, y2)两点的入射和折射的光程
问题:
y = sin2 x dy = ? dx
定理 2. 如果函数u = ϕ(x)在点 x 处可导,而函数 y = f (u)对应的
点 u 处可导,那么复合函数 y = f [ϕ(x)]也在点 x 处可导,且有
{ } dy = dy du 或
dx du dx
f ⎡⎣ϕ ( x)⎤⎦ ′= f ′(u)ϕ′( x) .
线所成之角 θ 应为何值？
解I:
在△OAB中，∠OBA=
π 2
−α
，由正弦定理得：
_____
_____
sin[π
−
OB θ − (π
2
−
α)]
=
OA
sin(π 2 −
α)
即：
_____
_____
OB = OA cos(α − θ) cos α
_____
OA =
cos α
_____
OB
cos(α − θ)
θ=α/2
光学费马原理
光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎 样传播的？
费马原理: 光在空间两定点A、B间传播时，实际光程为一特定 的极值。
∫B n ⋅ ds =极值 A
极小值 极大值 恒定值
i.用费马原理证明直线传播定律
在均匀介质中： n = const
∫ ∫ B
B
n ⋅ ds = n ⋅ ds
2. 导数的运算法则
设函数 u = u（x）与 v = v（x）在点 x处可导,则：
(1) [u（x）± v（x）]′ = u′（x）+ v′（x）;
(2) [u(x)v(x)]′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x),
特别地[Cu（x）]′ = Cu′（x）(C 为常数);
⎡ u（x）⎤′ (3) ⎣⎢ υ（x）⎥⎦
(a x )′ = a x ln a
(loga
x)′
=
1 x ln a
( xμ )′ = μxμ −1
(cos x)′ = − sin x (cot x)′ = − csc2 x (csc x)′ = − csc x cot x
(e x )′ = e x (ln x)′ = 1
x
3. 复合函数的求导法则
f
(x)
⋅
lim
x→x0
g(x)
．
法则３
lim
f (x)
=
lim f (x)
x→x0
x→x0 g(x) lim g(x)
x→x0
( lim g(x) ≠ 0). x→x0
3. 两个重要极限
（1） lim sin x = 1 x→0 x
lim sin口 = 1
口→0 口
当x很小时： sin x ≈ x tan x ≈ x
例如: 求 y = sin2 x 的导数．
y = u2 u = sinx dy = y′(u)u′(x) = 2u cos x = 2sin x cos x dx
例 8． 求 y = sin x 的导数．
解：函数 y = sin x 可以看作由函数 y = sin u与u = x 复合而成．
因此： y′ = (sin u)′(
x→1 x −1
x→1
x −1
x→1
2. 极限运算法则
设limf (x)及lim g(x)都存在（假定 x在同一变化过程中）， 则有下列运算法则：
法则 1
lim[f
x→x0
(x)
±
g(x)]
=
lim
x→x0
f
(x)
±
lim
x→x0
g(x)
．
法则２
lim[f
x→x0
(x)
⋅
g(x)]
=
lim
x→x0
=
u′（x）υ（x）− u（x）υ′（x） υ（2 x）
(v(
x)
≠
0)
,
特别地,当u（x）= C (C 为常数)时,有
⎡ C ⎤′ ⎢⎣v（x）⎥⎦
=
−
Cv′（x） v（2 x）
基本初等函数的导数公式
(C )′ = 0 (sin x )′ = cos x (tan x )′ = sec 2 x (sec x )′ = sec x tan x
4 3x→0 3x 4x→0 sin 4x 4
lim sin口 = 1
口→0 口
例 2．求
lim
x→0
1
−
cos x2
x
.
解：
1− cos
lim
x→0
x2
x
=
lim
x→0
2 sin 2 x2
x 2
=
1
⎜⎛ ⎜
lim
sin
2 ⎜ x→0 x
x 2
⎟⎞2 ⎟ ⎟
=
1． 2
⎝ 2⎠
例 3．求 lim⎜⎛1+ 3 ⎞⎟x x→∞⎝ x ⎠
=1 sin x
= csc x.
4. 导数的应用
4.1 判断极值条件
定理 (极值的必要条件) 设 f (x) 在点 x0处具有导数,且在点 x0取得极值 ,那么 f ′(x0 ) = 0．
y
O x0
x
例．一质点自倾角为 α 的斜面的上方 O 点，沿一光滑斜槽 OA 下降，
如欲使质点到达斜面上所需的时间为最短，问斜槽 OA 与竖直
n
n ,...即 +1
un
的极限为
1；
（2）对于数列un
=
1 2n
，即
1 2
,
1 22
,
1 23
,...,
1 2n
,...即
un 的极限为
0；
引例２：观察下列函数在x→１时的极限 y = f (x) = 3x2 − x − 2 x −1
解：在 x ＝１时，f(x)无意义，但可以知道在x无论怎样接近1时
dθ
= −sinθ cos(α −θ)+cosθ sin(α −θ)
=0
sin θ cos θ
=
sin(α − θ) cos(α − θ)
θ=α−θ
θ=α/2
即 θ = α 2 时，t 最小。
解法Ⅱ:
模型:质点从O点沿不同倾角的光滑斜面到 达A、C点，所需时间相同。
在OB上取一点O’为圆心，作过O并与 斜面相切的圆，切点为A，则质点沿 OA斜面下滑到斜面时所需时间最短。 此时：
Δx Δx→0
Δx→0
Δx
存在，那么这个极限值称为函数 y = f (x)在点 x0的导数. 并且说，函数 y = f (x)在点 x0处可导。
导数---增量比的极限，反映了函数的变化率（快慢）
记为 f ′(x0 ),
y'
x=x0
df (x)
，
或
dx x=x0
dy dx
x = x0
即
f ′(x0 )
=
Δy lim Δx→0 Δx
=
lim
Δx→0
f
( x0
+ Δx) − Δx
f
(x0 )
（1）如果 f (x)在(a, b)内可导，那么对应于(a, b)中的每一个确定的 x 值，对应着一个确定的导数值 f ′(x)------ y = f (x)的导函数（导数）
（2）高阶导数：函数 y = f (x)的导函数 f ′(x)再对 x 求导，可得二阶导数，
=
n1 sin i1
−
n2
sin i2
=
0
即 n1 sin i1 = n2 sin i2
5.2 求曲线的曲率半径