3.1.1直线的倾斜角与斜率(公开课)

y
y
A
y
a
C D
x x o
x
o
o
a
B
y
a
o
x
a
直线倾斜角的范围：
[0,180)
规定：当直线和x轴平行或重合
时，它的倾斜角为0°
几何画板 演示
想一想：你认为下列说法对吗？
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它 对应。
√
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条 直线。 ×
思考：如图，直线 // b // c，那么它们 a 的倾斜角 相等吗？仅有一个倾斜 角 能不能确定一条直线？
值又如何呢?
P ( x1 , y1 ) 1
y
P ( x1 , y1 ) 1
o
y
Q( x1 , y2 )
P2 ( x2 , y2 )

Q( x1 , y2 )
P2 ( x2 , y2 )

(3)
x
o
(4)
x
y1 y2 y2 y1 k x1 x 2 x2 x1
3.直线的斜率公式

1、预习两直线平行与垂直的判定（P86-P89）

2、习题3.1 A组3、4 (P89)
P2 ( x2 , y2 )
y2 y1 k x2 x1
x1
o
x2
答：成立，因为分子为 x 0，分母不为0，k=0
想一想
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan 90 (不存在)

y
y2
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1 , y1 ) 1
解：设P ( x，)， 0 因为入射角等于反射角 k MP k NP 20 30 2 x 8 x 解得：x 2 反射点P ( 2，) 0
19:42
y
N(-8,3)
O
M(2,2)
P
x
例3、从M ( 2,2)射出一条光线，经过x轴反射后 过点N ( 8,3)，求反射点P的坐标。
k tan
注意：倾斜角为 90 的直线的 斜率不存在．
做一做
倾斜角
30 45 60 90
3 3
120 135 150
3
斜率k
1
3
不存在
3 1 3
tan( 180 ) tan
想一想
给定两点P ( x1 , y1 )，P2 ( x2 , y2 )，x1 x2， 1 如何用两点的坐标来表示直线P P2的斜率k 1
y
y2
P2 ( x2 , y2 )
y1

Q( xபைடு நூலகம் , y1 )
180

P ( x1 , y1 ) 1
o
x2
x1
x
y2 y1 tan x1 x2
k tan tan( ) 180
y2 y1 tan x2 x1
0
想一想?
当
p1 p 2 的位置对调时，k
倾斜角越大， 斜率k越大。
几何画板 演示
例1、下列命题正确的是( D ) A.直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，直线 的斜率不能表示直线的倾斜程度。 B.直线的倾斜角越大其斜率越大 C.直线的斜率k的取值范围是k 0 D.直线的倾斜角的取值范围是0 180
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练习：有下列三个命题： (1)直线l的倾斜角的取值范围是第一象限角 或第二象限角； (2)已知直线经过P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )两点， 1 y2 y1 则直线l的斜率k ; x2 x1 (3)与x轴垂直的直线的斜率为0。 其中正确的命题有( D ) A.3个 B. 2个 C.1个 D. 0个
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练习：已知点P (1，), A(2， 3), B (3，)， 2 0 经过点P的直线l与线段AB有公共点，求l 的斜率k的取值范围。
1 k ( , ] [5,) 2
几何画板 演示
例3、从M (2,2)射出一条光线，经过x轴反射后 过点N (8,3)，求反射点P的坐标。
y
P2 ( x2 , y2 )
o

P ( x1 , y1 ) 1
x
当为锐角时
y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )

P ( x1 , y1 ) 1
Q( x2 , y1 )
o

x1
x2
x
QP2 k tan tan P2 P1Q P1Q
y2 y1 x2 x1
0
当为钝角时
y
a b c
x
y
a
o
一点+倾斜角 确定一条直线
x
o
问题：生活中也有一些反映倾斜程度的量，你 知道有哪些量可以用来表示某一斜坡的倾斜程 度吗？
升高量 坡度(比) 前进量
升 高 量
前进量
坡度(比) tan

2.直线的斜率
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这 条直线的斜率.通常用小写字母k表示，即
直线的倾斜角和斜率
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
y
一点能确定一条直线的位置吗？
x
o
观察：这些直线有什么不同？
y
P
o
x
倾斜程度不同
1.直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准
，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫 y 做直线l的倾斜角 l

o x
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1 , y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线斜率公式：
y2 y1 k x2 x1
想一想
0

1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时， k tan 0 0 上述公式还适用吗？为什么？
y
P ( x1 , y1 ) 1
例2、求经过下列两点的直线的斜率，并判断 其倾斜角是锐角还是钝角。 （1） ,1)， ,4) (1 (2 （3）4,4)， ,5) ( (4 (2)( 3,5), (0,2) (4)(10,2), (10,2)
4 1 解：) k (1 3 0, 倾斜角为锐角 2 1 25 ( 2) k 1 0, 倾斜角为钝角 0 (-3) (3) 倾斜角为90 22 ( 4) k 0, 倾斜角为0 10 10
x
M’(2,-2)
练习：从M (2,2)射出一条光线，经过y轴 反射后过点N (8,3)，求反射点P的坐标。
11 P (0， ) 5
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180


2、直线的斜率定义：
k tan ( 90)
y2 y1 3、斜率公式： k x2 x1
y2 y1 k x2 x1
y1
o
答：斜率不存在, 因 x 为分母为0。
归纳：斜率k与倾斜角 之间的关系
0 90 90 90 180
k 0
k不存在
k 0
当 [0,90)时，k [0,)
倾斜角越大， 斜率k越大。
（ 当 (90,180 )时，k ,0)
另解：设P ( x，)， 0 点M ( 2,2)关于x轴的对称点 M ' ( 2,2) y 则N , P , M ' 三点共线 k NP k NM ' 03 -2-3 x ( 8) 2 ( 8) x 2 故反射点P的坐标为( 2,0)
N(-8,3)
O P
M(2,2)