3.1.1直线的倾斜角与斜率(公开课)
高一数学人教A版必修2课件：3.1.1 倾斜角与斜率 教学课件
[ 思路分析]
y2－y1 (1)利用 k＝ 及 k＝tanα 求解； x2－x1
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第三章 直线与方程
〔跟踪练习 2〕求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角． 导学号 09024638 (1)(－3,0)、(－2， 3)； (2)(1，－2)、(5，－2)； (3)(3,4)、(－2,9)； (4)(3,0)、(3， 3)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
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第三章 直线与方程
已知直线 l 过点 P(－1,2)，且与以 A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线 段相交，求直线 l 的斜率的取值范围. 导学号 09024641
[ 解析]
如图所示，直线 l 绕着 P 点，从 PA 旋转到 PB
2－－3 时，与线段 AB 相交，又因为 PA 的斜率 kPA＝ ＝5， －1＋2 2－0 1 PB 的斜率 kPB＝ ＝－2，所以直线 l 的斜率的取值范围 －1－3 1 是(－∞，－2]∪[5，＋∞)．
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第三章 直线与方程
[ 解析]
(1)∵α＝45° ，∴直线 l 的斜率 k＝tan45° ＝1，
又 P1，P2，P3 都在此直线上， 1－y1 1－5 故 kP1P2＝kP2P3＝k，即 ＝ ＝1，解得 3－2 3－x2 x2＝7，y1＝0. ∴x2＋y1＝7. y (2)x表示直线 OP 的斜率，当点 P 与点 A 重合
3－0 (1)直线的斜率 k＝ ＝ 3＝tan60° ， －2＋3
直线的倾斜角与斜率课件(公开课)
k tan （ 90）
注: 倾斜角是90 °的直线没有斜率。 我们也可以用斜率表示直线的倾斜程度
试一试 提示：tan 180 - - tan
已知下列直线的倾斜角, 求直线的斜率.
(1) 30 ; (2) 45 ; (3) 120 ; (4) 135 ;
y
这些直线有何区别？
l O Px
它们的倾斜程度不同.
用什么量来刻画直 线的倾斜程度？
直线的倾斜角
定义: 当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做 直线 l 的倾斜角．
y
规定 当直线l与x轴平行或重合时，
它的倾斜角为 0.
注意: (1)直线向上方向； o (2)x轴的正方向。
斜率.
（）
④直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大
()
⑤两直线的倾斜角相等, 则它们的斜率也相等 ( )
⑥平行于x轴的直线的倾斜角是 0或π ( )
典例讲解
1、若直线的倾斜角为
6
，
3
，求斜率k的取值范围。
变式训练
1、若直线的倾斜角为
6
，3
4
，求斜率k的取值范围。
1.确定直线位置关系的要素 2.刻画直线倾斜程度的量
解：(1)k tan 30 3 ； 3
(3)k tan120 3；
(2)k tan 45 1； (4)k tan135 1.
倾斜角与斜率有怎样的关系呢？
k tan
[0, π) ( π , π)
22
k (,)
k
π O
2
直线的倾斜角和斜率北师大版必修省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
思索6:任何一条直线都有倾斜角吗？ 不一样直线其倾斜角一定不相同吗？
第9页
知识探究（二）: 直线斜率
思索1:函数 y x, y 3x 图象是直 线，这两条直线倾斜角分别是多少？
y
y=x
y
y 3x
o
x
o
x
思索2:上述两条直线倾斜角分别与x 系数有什么关系？
第10页
思索3:初中学过“坡度（比）”是什 么含义？ 它能否表示直线倾斜程度？ 它与这条直线倾斜角之间有什么关系？
3．1 直线倾斜角与斜率
3．1．1 倾斜角与斜率
第1页
问题提出
t
p
1 2
5730
1.在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b图象是什么？ 其中k，b几何意 义怎样？
2.在平面直角坐标系中，经过一点P 能够作无数条直线，怎样区分这些 直线不一样位置？
第2页
第3页
知识探究（一）: 直线倾斜角
思索8:斜率相等直线其倾斜角相等 吗？ 斜率大直线其倾斜角也大吗？
第14页
知识探究（三）: 直线斜率公式
思索1:在直角坐标系中，经过两点 A（2，4）、B（－1，3）直线有几 条？ 直线AB斜率是多少？
yA
Bα
C
αo
x
第15页
思索2:普通地，已知直线上两点P1
（x1，y1），P2（x2，y2），且直
y
o
x
第6页
以下各图中标出角α是直线倾斜角 吗？
y
y
y
y
α
o
x o α x oα x o α x
第7页
思索4:下列图中直线l1，l2，l3倾斜 角大致是一个什么范围内角？
《直线的倾斜角和斜率》ppt课件优质公开课北师大必修
故斜率的取值范围为
… … … … … … … … … 10分
∴要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围是
或
k≥4. … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1 . 直线x=1的倾斜角等于( )
(A)180°
【规范解答】结合题意画出图形，如图所示.
又
……………………………………3分
……………………………………5分
结合图形可知当直线l由MP变化到与y轴平行时，它的倾斜 角逐渐增大到90°， 故斜率的取值范围为[4 ， + ∞ ) ； … … … … … … … … … 8 分 当直线l由与y轴平行的位置变化到MQ时，它的倾斜角由90° 逐渐增大到MQ的倾斜角的大小，
【规范解答】
又∵A、B、C三点共线，∴kAB=kBC， ∴a2+a=a3-a2，解得a=0或 又a＞0，
【典例】(1 2 分 ) 已知直线l过定点M ( 0 ， - 2 )，且与以P(1， 2 ) 、 Q ( - 4 ， 1 ) 为端点的线段PQ相交，求直线l的斜率的取值 范围. 【审题指导】直线l过定点且与线段PQ相交，因此在同一坐 标系中作出点M、P、Q，然后用运动的观点，结合图形得 出直线l倾斜角的范围，在此基础上结合倾斜角同斜率的关 系得出斜率的取值范围.
一、选择题(每题4分，共16分) 1. 下列说法正确的是( ) (A) 表示直线的倾斜程度，直线的斜率大 ( C ) 直线的斜率k的范围是k≥0 ( D ) 直线的倾斜角α的范围是0°≤α＜180°
【解析】选D . 直线的斜率和倾斜角均刻画直线的倾斜程度， 故A错；不能说直线的倾斜角越大其斜率就越大，应分0°≤α ＜90°和90°＜α＜180°两种情况分别进行讨论，故B错；直 线的斜率k的范围是(-∞，+∞)，故C错；直线的倾斜角α的 范围是0°≤α＜180°，故D正 确 .
【市级公开课】《直线的倾斜角与斜率》教学设计
3.1.1直线倾斜角与斜率的教学设计（第一课时）一、内容及其解析“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始，直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。
通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。
直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。
二、目标及其解析1．三维目标1、知识与技能：（1）在直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；（2）理解直线倾斜角和斜率的概念和关系。
2、过程与方法：（1）结合实际，用实际问题带动数学学习；（2）思维训练，借助图像帮助理解。
3、情感态度与价值观：认识事物之间相互联系——用联系的观点看问题。
2.教学重点：直线的倾斜角和斜率概念。
3.教学难点：斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。
三、问题诊断与分析1．在初中，学生已经知道，两点确定一条直线，但就已知一点需要再增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的倾斜程度不同，从中形成倾斜角的概念，再经过作图发现经过平面上的一个点和他的倾斜角可以确定直线的位置。
2．对斜率概念的理解是本节的难点，教学中通过日常生活的例子（坡度概念），充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。
3.探究直线倾斜角与斜率变化关系是本节的另一个难点，教学中可以采用从特殊到一般的思想方法，先让学生观察特殊角的正切值表，发现并总结规律，随后利用几何画板展示直线倾斜角与斜率的变化过程，拓展到一般情况，加强学生思维训练，同时让学生感受到数学的自然性。
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
直线的倾斜角和斜率【公开课教学PPT课件】
坡度
升高量 前进量
设直线的倾斜程度为K
kAC
BC AB
tan
kAD
BD AB
tan
A
D
C升
高
量
B
前进量
直线斜率的定义：
定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切
叫做这条直线的斜率。斜率通常用k表示，即：
k tan , 00 1800
例如：
a 30 k tan 30
1、直线倾斜角的定义：
当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫 做直线的倾斜角.
y
x
0
注意： (1)直线向上方向； (2)轴的正方向。
2.练习巩固倾斜角的概念：
示例：下列四图中，表示直线的倾斜角的是
(A )
y
y
a
o
oa
x x
A
B
y
y
a
o
ao
x
x
C
D
答：不成立， 因为分母为0。
应用新知、实战演练
练习 求经过下列两点直线的斜率：
(1) A(3,2),B(4,1); K=1/7
(2) P(0,0),Q(1, 3); K 3
(3)C(3,5), D(0,4); K=-3
练一练
1.画出经过原点且斜率为 1 、-1和2的直线.
2.思考：若两直线a和b的倾斜角是 和 ，且=2 ，观察两直线斜率有何关系？会
Q(x2 , y1)
P2(x2, y2 )
o
x
(3)
y P1(x1, y1)
Q( x2 ,
高一数学人教版A版必修二课件：3.1.1 倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2.理解直线倾斜角的惟一性及直线斜率的存在性； 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线的倾斜角
思考1 在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条 直1线呢？ 答案 不能. 思考2 在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线 如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？ 答案 不同.
后摄抑制：可以理解为因为接受了新的内容，而把前 面看过的忘记了
超级记忆法-记忆规律
TIP1：我们可以选择记忆的黄金时段——睡前和醒后！ TIP2：可以在每天睡觉之前复习今天或之前学过的知识，由于不受后摄抑制的 影响，更容易储存记忆信息，由短时记忆转变为长时记忆。
如何利用规律实现更好记忆呢？
超级记忆法-记忆规律
1.直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母k表示，即k＝ tan α . 2.斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) 斜率(范围)
α＝0° k＝0
0°<α<90° k>0
α＝90° 不存在
90°<α<180° k<0
答案
知识点三 过两点的直线的斜率公式
TIP3：另外，还有研究表明，记忆在我们的睡眠过程中也并未停止，我们的大 脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~ TIP4：早晨起床后，由于不受前摄抑制的影响，我们可以记忆一些新的内容或 者复习一下昨晚的内容，那么会让你记忆犹新。
直线的倾斜角与斜率课件PPT
解析： ①k＝－53－－－0 2＝－1，即 tan α＝－1， 所以 α＝135°. ②斜率不存在，α＝90°. ③k＝－52－－－－22 ＝0，α＝0°.
直线倾斜角与斜率的综合应用 多维探究型 已知直线 l 过 P(－2，－1)，且与以 A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段 相交，求直线 l 的斜率的取值范围．
答案： B
2．直线 l 的倾斜角是斜率为 33的直线的倾斜角的 2 倍，则 l 的斜率为( )
A．1
B. 3
C.2 3 3
D．－ 3
解析： ∵tan α＝ 33，0°≤α<180°， ∴α＝30°，∴2α＝60°， ∴k＝tan 2α＝ 3.故选 B. 答案： B
3．已知点 M(5,3)和点 N(－3,2)，若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2 和－74，
自主探究 探究 1：若两条直线平行，斜率一定相等吗？
【答案】不一定，垂直于 x 轴的两条直线，虽然平行，但斜率 不存在．
探究 2：若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1 吗？
【答案】不一定，如果两条直线 l1，l2 中的一条与 x 轴平行(或 重合)，另一条与 x 轴垂直(也即与 y 轴平行或重合)，即两条直线中 一条的倾斜角为 0°，另一条的倾斜角为 90°，从而一条直线的斜率 为 0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．
A.－52，3
B.－∞，－52∪[3，＋∞)
C.－32，1
D.－∞，－32∪[1，＋∞)
解析： kPA＝3，kPB＝－52，如图， 当 l 与线段 AB 有公共点时， k≥3 或 k≤－52. 故选 B. 答案： B
谢谢观看！
自学导引
1．两直线平行的判定
(1)对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，有 __k_1＝__k_2__⇔l1∥l2.
直线的倾斜角与斜率(优质课)PPT课件
、
的斜率为 k2,求.x,y.的值 .
1.直线的倾斜角的定义 2.直线的斜率的定义
3.两点间斜率公式
2021
14
P.89习题3.1 A组 1，2， 3，4，5
2021
15
2021
4
y l3 l2 l1
Q
O
P
x
2021
5
yl
x O
yl
x O
yl
O
x
2021
0
y
l
x O
6
直线的倾斜角
y
l
α o
定义：当直线
l 与x轴相交时， 我们取x轴作为 基准，x轴正向 与直线 l 向上方 向之间所成的角 x α 叫做直线 l 的 倾斜角．
规定：直线和x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
()
()
象限. 象限.
3、已知a,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点直线的倾斜角： （1）A(a,c),B(b,c) （2）C(a,b),D(a,c) （3）P(b,b+c),Q(a,a+c)
2021
12
4、 如图 ，已知 A(3,2), B(4,1),C(0,1)，求直
线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角．
蓬街私立中学林葵31117世纪法国数学家笛卡尔有一天躺在床上观察虫子在天花板上爬行位置激发了灵感产生了坐标的概念创立了解析几何
3.1.1 倾斜角与斜率
蓬街私立中学林葵
2021
1
17世纪，法国数学家笛卡尔，有一天躺在 床上观察虫子在天花板上爬行位置，激发了灵 感，产生了坐标的概念，创立了解析几何。
直线的倾斜角与斜率(公开课)PPT课件
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
利用斜率公式判断两直线平行和垂直
直线方程
l1与l2垂直 的充要条件
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行 的充分条件
AA12＝BB12≠CC12(A2B2C2≠0)
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
k0
k>0
不存在
k<0
拓展延伸
利用斜率公式判断两直线平行和垂直
1.若直线 ax＋2y－6＝0 与 x＋(a－1)y＋a2－1＝0 平 行，则 a＝__2_或__－__1_.
2.已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)， Q(3，m)，若l1⊥l2，则实数m＝_－__6_____.
真金不怕火炼☞
又 0≤θ＜π，且 y＝tan θ 在0，π2及π2，π上均为增函数，
故 θ∈0，π6∪56π，π.
【答案】 (1)B (2)B
规律方法 1 1.解答本例(2)时极易错选 D，出错的原因是 忽视了正切函数在0，π2和π2，π上的变化情况．
2．已知倾斜角的范围，求斜率的范围，实质上是求 k＝ tan α 的值域问题；已知斜率 k 的范围求倾斜角的范围，实质 上 是 在 0，π2 ∪ π2，π 上 解 关 于 正 切 函 数 的 三 角 不 等 式 问 题．由于函数 k＝tan α 在0，π2∪π2，π上不单调，所以一般 运用数形结合思想解决此类问题．
直线的倾斜角和斜率讲义讲义公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
-2 O 2
x
P
反射点 P (2,0)
第22页
1．直线倾斜角 2．直线斜率：
定义 范围
k＝tan （≠90）
k
y2 y1 x2 x1
（其中x1≠x2）
第23页
圆
3.1.1 直线倾斜角与斜率
直线 圆
直线
第1页
直角坐标系使几何研究又一 次腾飞，几何从此跨入了一 个新时代。让我们给直线插
上方程“翅膀”吧！
第2页
y
A
1．由一点能否拟定一条直线？
2．观测并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都通过哪一点？
它们相对于 x 轴倾斜程度相同吗？
第3页
问题1：如何拟定一条直1 x2 x2 x1
第16页
当直线与坐标轴平行或重叠时,上述公 式还合用吗？
P1 (x1, y1 ) y o
P2 (x2 , y2 )
l
x
k y2 y1 0 x2 x1
y
y2
P2 (x2, y2 )
y1
P1(x1, y1)
o
x
k y2 y1 x2 x1
(2).过点C直线 与l 线段ＡＢ有公共点， 求l 斜率k取值范围
y
解：（1）k AB
1 2 4 3
1 7
锐角
A
kBC
1 1 0 (4)
1 2
钝角
B
O
1 2 x kCA 0 3 1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
第20页
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出通过原点且斜率
《直线的倾斜角与斜率》优质课比赛说课教案2018版
直线的倾斜角与斜率一、内容分析本节是人教版数学必修2第三章《直线与方程》第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时——3.1.1倾斜角与斜率.它是高中平面解析几何内容的开始，起着承上启下的重要作用.本课时的学习不仅为研究直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离等本章的后续内容打下基础，而且也为以后进一步学习其他数学知识奠定思想和方法的基础.直线的倾斜角是这一章所有概念的基础，而这一章的概念核心是斜率，理解二者之间的关系将是学此章的关键.过两点的直线的斜率公式要讲透两点，其一是斜率的表象是一种比值，要让学生理解这种表达式，为两条直线垂直时斜率有何关系、导数的概念作好铺垫；其二是斜率的本质是与所取的点无关.二、目标分析1．知识与技能：使学生正确理解倾斜角与斜率的概念，理解二者之间的关系，会求过两点的直线的斜率；2．过程与方法：通过对倾斜角与斜率的探讨，培养学生分类讨论的思想，体验“坐标法”，感受数形结合思想；3．情感、态度与价值观：在探索倾斜角与斜率的关系过程中，明确倾斜角的变化对斜率的影响，并在其中体验严谨的治学态度．三、学生情况分析学生已经学习了一次函数（直线），对直线的倾斜角会具有直观的认同感；三角函数为解决斜率的引入和斜率公式的推导提供了知识的支持.“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，学生对几何的认识仅仅停留在初中所学的直观图形的感性阶段，因此教学时要从学生最熟悉的图形和事例入手，去研究刻画直线性质的量——倾斜角与斜率，将会让学生学会用代数方法研究几何图形的性质.四、教学重难点分析重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率公式.难点：倾斜角概念形成，斜率概念的理解.倾斜角概念的形成对学生来说有点困难.为了突破这个难点，在教学过程中引导学生观察过一点的不同直线的区别，从中形成倾斜角的概念.对斜率概念的理解是本节的难点，为什么要用倾斜角的正切定义斜率对学生来说也有一定困难.教学中通过日常生活的例子，充分利用学生已有的知识——坡度概念，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念.五、教学条件分析考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲解和演示相结合，可以更有效地实现教学目标.因此教学地点选择多媒体教室.学生在课前要复习一次函数以及正切函数图象与性质等有关知识，并对本节内容进行预习，教师要准备好多媒体课件.六、教学过程设计（一）课题引入在平面直角坐标系内，画出几条相对于x轴位置关系不同的几条直线，引导学生观察思考，它们有何不同？确定一条直线的位置需要哪些条件呢？【设计意图】学生在教师“问题串”的引导下去思考，引出本节的课题.（二）探究新知1.倾斜角概念探究1：如图1，对于平面直角坐标系内的一直线l，你认为它的位置由哪些条件确定呢？师生活动：教师可以固定直线上某一点旋转直线，引导学生发现：经过一点可以作无数条直线，即过一点不能确定一条直线的位置.【设计意图】明确探究方向：探索确定直线位置的几何要素.探究2：如图2，在平面直角坐标系中，过点P 1的不同直线的区别在哪里？ 师生活动：学生思考，必要时教师可以提示学生观察直线相对于x 轴的倾斜程度.【设计意图】引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同.从而发现直线上一点和直线的倾斜程度能确定一条直线.探究3：在直角坐标系中，任何一条直线与x 轴都有一个相对倾斜度，怎么描述直线的倾斜程度呢？师生活动：教师板书倾斜角的概念，展示几个倾斜角不同的直线，让学生找出其倾斜角.【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念.2.斜率的概念探究4：在日常生活中，我们有没有碰到过表示倾斜程度的量？师生活动：引导学生在生活中举例，比如，山坡，楼梯等，展示图3和图4.图3 图4【设计意图】结合学生的生活经验寻找表示直线倾斜程度的量.让学生体会数学概念来自于日常生活.探究5：日常生活中，我们经常能够用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”.如果使用“倾斜角”的概念，你认为“坡度”和“倾斜角”有什么关系？由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？师生活动：教师展示图5,学生思考讨论，教师引导总结并板书斜率概念.【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念.探究6：是否每条直线都有斜率？倾斜角不同，斜率是否相同？由此可以得到怎样结论？师生活动：根据斜率和倾斜角的关系式，结合图6探究用斜率表示直线的倾斜程度时应该注意的地方.比如：倾斜角为90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，斜率也不同.【设计意图】沟通数形关系，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度.3.倾斜角和斜率的变化关系探究7：结合图7所示的“几何画板”课件，探究直线的倾斜角和斜率的变化关系.师生活动：教师或学生操作演示“几何画板”课件，观察直线的倾斜角和斜率的变化情况，完成相关问题.前进图5 升高图6方法：点击“点B 运动”的动画按钮，观察直线OB请回答下列问题：（1（2（3）直线的斜率何时为0？此时直线的倾斜角为多少度？（4）直线和x 轴垂直时，倾斜角为多少度？斜率呢？（5）直线的斜率、倾斜角分别在什么范围内变化？直线OB 的倾斜角α=直线OB 的斜率k=70.337°2.799探究1 图7【设计意图】通过动画操作演示，学生会更直观地观察到直线的倾斜角和斜率的变化情况，对这两个概念更加明晰.4.斜率公式探究8：我们知道：两点确定一条直线.直线确定，倾斜角也就确定，斜率也就确定了，那么直线的斜率与直线上两点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2, y 2)（其中x 1≠x 2）的坐标有什么关系呢？师生活动：学生在教师的引导下，通过合作探究推导出过两点的直线的斜率公式.【设计意图】让学生自己通过自主探究，推导出过两点的直线的斜率公式. 探究9：当直线与坐标轴平行或重合时,上述结论还成立吗?师生活动：总结出利用直线上的两点计算斜率的公式：k =（x 1≠x 2）.【设计意图】通过自己的探索，完善两点式斜率公式k =（x 1≠x 2），检验得到公式与P 1、P 2两点的顺序无关.（三）探究应用例1.如图8，已知A (3，2),B (-4，1),C （0，-1）,求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.师生活动：学生自主探究，教师展示学生的解答，师生共同讲评.【设计意图】直接利用斜率定义式求解，熟悉斜率公式，并体验斜率与倾斜角之间的关系.例2.在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2及－3的直线.师生活动：学生自主探究，教师投影展示学生的解答，师生共同探究如何快速作出经过一点和斜率确定的直线.（如图9）.【设计意图】要求学生画图，体验数形结合的思想方法.熟练应用两点式斜率公式.（四）变式训练教材中本节小练习.师生活动：学生自主练习（或请个别同学板演），教师巡查指导，展示讲评学生的解答.【设计意图】通过变式训练，巩固本节所学知识.（五）小结（1）在本节课中，你学到了哪些知识点？（2）你学习了哪些数学方法？图8 图9师生活动：请学生口头小结或写出小结概要，教师指导总结.【设计意图】培养学生反思的习惯，鼓励学生对研究的问题进行质疑和概括.（六）作业教材习题3.1 A组2，3，4.【设计意图】通过作业练习，复习本课所学知识，提高解决问题、分析问题的能力.。
人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.1直线的倾斜角与斜率 3.1直线的倾斜角与斜率》优质课教案_1
倾斜角是从“形”的角度刻画了直线的倾斜程度，但是如何具体刻画直线的倾斜程度呢？这就需要一个能够“量化”的量来刻画。思考2：在日常生活中，有没有其他表示倾斜程度的量？
例2在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1，2，-3的直线 ， ， 及 。
例1的作用是已知给定直线上两点坐标求直线斜率，在练习过程中自主发现直线上两点的坐标与直线的斜率之间的关系，以及斜率和倾斜角的关系。体现数学运算和逻辑推理核心素养。
目的是加强数形结合。通过分析，得到为了方便的画出直线，还需要在确定一个点。从而说明用坐标法表示斜率公式的必要性。体会逻辑推理喝几何直观想象。
板书课题: 3.1.1倾斜角和斜率
通过一些列问题，自然生成寻找确定直线的几何要素的想法。由熟知的两点确定一条直线，去掉一个点后，提出问题：“过一点能确定一条直线吗?”通过与学生共同画图，借助于PPT的展示，直观的看出，过一点可以作出无数条直线，一点不能确定一条直线。那么，紧接引导学生思考“这些直线的区别在哪？什么地方不同？”，学生通过图片很自然地看出直线的倾斜程度不同，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的必要性和形成过程。逐步渗透数学抽象这一核心素养。在几何画板上的操作直观的感受到倾斜程度不同。
既然斜率是直线倾斜程度的一个很好的代数表示？为什么还要引入过两点直线的斜率的公式呢？这是因为倾斜角的正切值表示斜率有其局限性：对有非特殊倾斜角的直线，正切值很难算出，有必要用其他更好的方法来计算斜率，自然而然引入过两点的直线的斜率公式。
重难点分析
重点：探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过
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y2
P2 ( x2 , y2 )
y1
Q( x2 , y1 )
180
P ( x1 , y1 ) 1
o
x2
x1
x
y2 y1 tan x1 x2
k tan tan( ) 180
y2 y1 tan x2 x1
0
想一想?
当
p1 p 2 的位置对调时，k
19:42
练习：已知点P (1，), A(2， 3), B (3，)， 2 0 经过点P的直线l与线段AB有公共点，求l 的斜率k的取值范围。
1 k ( , ] [5,) 2
几何画板 演示
例3、从M (2,2)射出一条光线，经过x轴反射后 过点N (8,3)，求反射点P的坐标。
y
P2 ( x2 , y2 )
o
P ( x1 , y1 ) 1
x
当为锐角时
y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1 , y1 ) 1
Q( x2 , y1 )
o
x1
x2
x
QP2 k tan tan P2 P1Q P1Q
y2 y1 x2 x1
0
当为钝角时
k tan
注意：倾斜角为 90 的直线的 斜率不存在．
做一做
倾斜角
30 45 60 90
3 3
120 135 150
3
斜率k
1
3
不存在
3 1 3
tan( 180 ) tan
想一想
给定两点P ( x1 , y1 )，P2 ( x2 , y2 )，x1 x2， 1 如何用两点的坐标来表示直线P P2的斜率k 1
例2、求经过下列两点的直线的斜率，并判断 其倾斜角是锐角还是钝角。 （1） ,1)， ,4) (1 (2 （3）4,4)， ,5) ( (4 (2)( 3,5), (0,2) (4)(10,2), (10,2)
4 1 解：) k (1 3 0, 倾斜角为锐角 2 1 25 ( 2) k 1 0, 倾斜角为钝角 0 (-3) (3) 倾斜角为90 22 ( 4) k 0, 倾斜角为0 10 10
另解：设P ( x，)， 0 点M ( 2,2)关于x轴的对称点 M ' ( 2,2) y 则N , P , M ' 三点共线 k NP k NM ' 03 -2-3 x ( 8) 2 ( 8) x 2 故反射点P的坐标为( 2,0)
N(-8,3)
O P
M(2,2)
1、预习两直线平行与垂直的判定（P86-P89）
2、习题3.1 A组3、4 (P89)
y
a b c
x
y
a
o
一点+倾斜角 确定一条直线
x
o
问题：生活中也有一些反映倾斜程度的量，你 知道有哪些量可以用来表示某一斜坡的倾斜程 度吗？
升高量 坡度(比) 前进量
升 高 量
前进量
坡度(比) tan
2.直线的斜率
一条直线的倾斜角 的正切值叫做这 条直线的斜率.通常用小写字母k表示，即
解：设P ( x，)， 0 因为入射角等于反射角 k MP k NP 20 30 2 x 8 x 解得：x 2 反射点P ( 2，) 0
19:42
y
N(-8,3)
O
M(2,2)
P
x
例3、从M ( 2,2)射出一条光线，经过x轴反射后 过点N ( 8,3)，求反射点P的坐标。
x
M’(2,-2)
练习：从M (2,2)射出一条光线，经过y轴 反射后过点N (8,3)，求反射点P的坐标。
11 P (0， ) 5
1、直线的倾斜角定义及其范围： 0 180
2、直线的斜率定义：
k tan ( 90)
y2 y1 3、斜率公式： k x2 x1
值又如何呢?
P ( x1 , y1 ) 1
y
P ( x1 , y1 ) 1
o
y
Q( x1 , y2 )
P2 ( x2 , y2 )
Q( x1 , y2 )
P2 ( x2 , y2 )
(3)
x
o
(4)
x
y1 y2 y2 y1 k x1 x 2 x2 x1
3.直线的斜率公式
直线的倾斜角和斜率
直线的位置
我们知道，两点确定一条直线。
y
一点能确定一条直线的位置吗？
x
o
观察：这些直线有什么不同？
y
P
o
x
倾斜程度不同
1.直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准
，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角 叫 y 做直线l的倾斜角 l
o x
下列四图中，表示直线的倾斜角的是( A )
倾斜角越大， 斜率k越大。
几何画板 演示
例1、下列命题正确的是( D ) A.直线的倾斜角表示直线的倾斜程度，直线 的斜率不能表示直线的倾斜程度。 B.直线的倾斜角越大其斜率越大 C.直线的斜率k的取值范围是k 0 D.直线的倾斜角的取值范围是0 180
19:42
练习：有下列三个命题： (1)直线l的倾斜角的取值范围是第一象限角 或第二象限角； (2)已知直线经过P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )两点， 1 y2 y1 则直线l的斜率k ; x2 x1 (3)与x轴垂直的直线的斜率为0。 其中正确的命题有( D ) A.3个 B. 2个 C.1个 D. 0个
综上所述，我们得到经过两点 P ( x1 , y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 x2 )的直线斜率公式：
y2 y1 k x2 x1
想一想
0
1、当直线平行于x轴，或与x轴重合时， k tan 0 0 上述公式还适用吗？为什么？
y
P ( x1 , y1 ) 1
y
y
A
y
a
C D
x x o
x
o
o
aБайду номын сангаас
B
y
a
o
x
a
直线倾斜角的范围：
[0,180)
规定：当直线和x轴平行或重合
时，它的倾斜角为0°
几何画板 演示
想一想：你认为下列说法对吗？
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它 对应。
√
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条 直线。 ×
思考：如图，直线 // b // c，那么它们 a 的倾斜角 相等吗？仅有一个倾斜 角 能不能确定一条直线？
y2 y1 k x2 x1
y1
o
答：斜率不存在, 因 x 为分母为0。
归纳：斜率k与倾斜角 之间的关系
0 90 90 90 180
k 0
k不存在
k 0
当 [0,90)时，k [0,)
倾斜角越大， 斜率k越大。
（ 当 (90,180 )时，k ,0)
P2 ( x2 , y2 )
y2 y1 k x2 x1
x1
o
x2
答：成立，因为分子为 x 0，分母不为0，k=0
想一想
2、当直线平行于y轴，或与y轴重合时， k不存在 上述公式还适用吗？为什么？
90 , tan 90 (不存在)
y
y2
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1 , y1 ) 1