2018年高考南通市数学学科基地密卷(7)
2018年高考南通市数学学科基地密卷(8)
02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第5题）2018年高考模拟试卷（8）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{2 3}A =，，2{1 log }B a =，，若{3}A B =，则实数a 的值为 ▲ ．2． 已知复数z 满足i 1i z =+（i 为虚数单位），则复数i z -的模为 ▲ ．3． 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 4． 工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数，右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差2s 的值为 ▲ ．5． 根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．6．设实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7． 若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦， ,使得2210x x -λ+<成立”是假命题，则 实数λ的取值范围是 ▲ ．8． 设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =，122210S S =+，则d 的值为 ▲ ．9． 若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C ：22221-=y x a b(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．若曲线21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+上存在某点处的切线斜率不大于5-，则正实数a的最小值为 ▲ ．13．在平面凸四边形ABCD中，AB =3CD =，点E 满足2DE EC =，且||||2A E B E ==．若165AE DE ⋅=，则AD BC ⋅的值为 ▲ ． （第4题）14．设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <）．若存在[]011x ∈-，，使0()0f x ≤，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知向量m ＝(cos α，sin α)，n ＝(－1，2)． （1）若m ∥n ，求sin α－2cos αsin α+cos α的值；（2）若|m －n |＝ 2，α∈()ππ2，，求cos ()π4+α的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ； （2）BM ACP ⊥平面． 17．（本小题满分14分）如图，是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值． 18．（本小题满分16分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点为圆2222:(1)C x y r -+=的圆心，且圆2C 截y 轴所得弦长为4．（1）求椭圆1C 与圆2C 的方程；（2）若直线l 与曲线1C ，2C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ，求点A 的坐标．19．（本小题满分16分）设区间[33]D =-，，定义在D 上的函数3()1f x ax bx =++（0a b >∈R ，），集合 {|()0}A a x D f x =∀∈，≥．（1）若16b =，求集合A ；AB CDPM（第16题） O ABC D （第17题）（2）设常数0b <．① 讨论()f x 的单调性； ② 若1b <-，求证：A =∅．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11=a ，前n 项和为n S ，且n n S n a λλ21221=--+，λ为正常数．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记nn nS b a =，11n n k n c S S -=+（*22k n k n ∈+N ，，≥）．求证：① 1+<n n b b ；② 1n n c c +>．2018年高考模拟试卷（8）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知AB ，CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的垂直平分线，已知AB =6，C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是3cos 13sin 3x y αα=+⎧⎨=+⎩，（α是参数）．若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4π+=ρθ求直线l 被曲线C 截得的线段长．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=， 22226a b c ++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，2AB =，4AC =，13AA =.D 是线段BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11A C D 所成角的正弦值； （2）求二面角111B A D C --的大小的余弦值. 23．（本小题满分10分）在教材中，我们已研究出如下结论：平面内n条直线最多可将平面分成211122n n ++个部分．现探究：空间内n 个平面最多可将空间分成多少个部分，N*n ∈． 设空间内n 个平面最多可将空间分成32()1f n an bn cn =+++个部分．（1）求a b c ，，的值；（2）用数学归纳法证明此结论．2018年高考模拟试卷（8）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．【答案】8 【解析】因为{3}A B =，所以2log 3a =，即8a =．2．【解析】本题考查了复数的运算和模的概念． 因为zi 1i =+，所以1z i =-．|i |12z i -=-= 3．【答案】29【解析】设向上的点数之差的绝对值．．．是2为随机事件A ，将一颗质地均匀的骰子先后 抛掷2次共有36个基本事件，事件A 共包含(13)-，(24)-，(31)-，(35)-，(42)-， (46)-，(53)-，(64)-共8个基本事件 ，所以82()369P A ==．4．【答案】225【解析】由茎叶图可以得到样本的平均值20x =，所以 ()()()()()222222182017202220212022202255s -+-+-+-+-==．5．【答案】12ABCDA 1B 1C 1（第22题）(A 33⎪⎭【解析】第一次执行循环体计算两个变量的结果为3,3I S ==；第二次执行循环体计算两个变量的结果为4,7I S ==；第三次执行循环体计算两个变量的结果为5,12I S ==；所以 输出的结果为12． 6．【答案】3【解析】画出可性域如图所示，求出代入点(1,0)A ， 求出32x y +最大值为3． 7．【答案】λ≤【解析】命题的否定是“122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦， ,都有2210x x -λ+≥成立”，且是真命题，所以12x x λ+≤对122x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，所以()min12x x λ+≤．因为12x x +≥122x ⎥⎡⎤⎢⎣⎦，时成立，所以()min12x x +=λ≤8．【答案】10-【解析】因为22410a a =（0d ≠），所以410a a =-．又因为410a a =-即70a =，122210S S =+， 所以11160,24132210,a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩解答10d =-．9．【答案】3【解析】本题考查了抛物线焦点坐标和双曲线的离心率．因为抛物线24x y =的焦点为()0,1P ，双曲线22221x y a b-=的渐近线为b y x a=±．根据点到直线的距离有13=，化简有3c e a ==．10．【答案】1【解析】本题考查了空间几何体的体积问题．因为圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形，所以两个扇形圆心角分别为123l π=和243l π=．1223r ππ=和2423r ππ=，解得123r =，243r =．1h ==，23h ==．所以21112222114313r h v v r h πππ⋅⋅=== 11．【答案】1-【解析】()()()πππ()sin 666f x a x x x ϕ=+-+=++，因为()f x 是偶函数，所以(0)f =，即32a -=1a =-． 12．【答案】9 本题考查了曲线的切线存在性的问题．【解析】因为21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+，所以`1()(2)f x ax a x=+-+．存在某点处的切线斜率不大于5-，所以存在()0,x ∈+∞，1(2)5ax a x+-+≤-．得到(2)5a +≤-，当且仅当1ax x =取“=”，化简得30a -≥，解得9a ≥．13．【答案】2【解析】本题考查了平面向量的线性运算和平面向量数量积． 因为3CD =，点E 满足2DE EC =，所以2DE =，1EC =． ||||2AE BE ==，AB =2AEC π∠=．又因为165AE DE ⋅=，所以16cos 5AE DE AED ∠=，得到4cos 5AED ∠=． 又()3cos cos 5BEC AEB AED π∠=-∠-∠=． ()()A D B C A E E D B EE C ⋅=+∙+，AE EC ED BE ED EC =∙+∙+∙，()()cos cos AE EC AEC ED BE BED ED EC ππ=-∠+-∠-， 4321221255=⨯⨯+⨯⨯-⨯， 2=． 14．【答案】[32]-【解析】① 若1a -≤，222222110()2210 1.x ax a a x f x ax a a x ⎧-+++-<⎪=⎨-+++⎪⎩，≤，，≤≤ 当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当10x -<≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在0[11]x ∈-，，使得0()0f x ≤，则12(1)0a f ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤≤或12()02a a f ⎧>-⎪⎨⎪⎩≤，即22430a a a -⎧⎨++⎩≤≤或221420a a a -<-⎧⎨++⎩≤≤，解得31a --≤≤．② 若10a -<<，22222211()222102210 1.ax a a x a f x x ax a a a x ax a a x ⎧-++-<⎪=-+++<⎨⎪-+++⎩，≤，，≤，，≤≤当01x ≤≤时，2()221f x ax a a =-+++为递增函数，且2(0)(1)f a =+， 当1x a -<≤时，2()221f x ax a a =-++为递减函数，且2()(1)f a a =+， 当0a x <≤时，22()2221f x x ax a a =-+++的对称轴为2a x =，若存在[]011x ∈-，，使得0()0f x ≤， 则()02a f ≤，即2420a a ++≤，解得22a --≤，又10a -<<，所以12a -<．综上可得，32a -≤，即a的取值范围为[32]-． 二、解答题：15．【解】（1）因为 m ∥n ，所以sin α＝－2cos α． …… 4分所以原式＝4． …… 6分 （2）因为 |m －n |＝2，所以2sin α－cos α＝2． …… 9分所以cos 2α＝4(sin α－1)2，所以1－sin 2α＝4(sin α－1)2， 所以α∈()ππ2，， 所以34sin ,cos 55αα==-． …… 12分所以原式＝10-． …… 14分 16．【解】（1）设AC 与BD 交于点O ，连结OM ，因为ABCD 是平行四边形，所以O 为AC 中点，………2分 因为M 为CP 的中点，所以AP ∥OM ，…………………4分 又AP ⊄平面BDM ，OM ⊂平面BDM ，A BCD PM（第16题）O所以AP ∥平面BDM ．…………………………7分 （2）平面ABP ⊥平面BCP ，交线为BP ， 因为90APB ∠=︒，故A P B P ⊥，因为AP ⊂平面ABP ，所以AP ⊥平面BCP ，……………9分 因为BM ⊂平面BCP ，所以AP ⊥BM ． ……………11分 因为BP BC =，M 为CP 的中点，所以BM CP ⊥．……12分 因为APCP P =，AP CP ⊂，平面ACP ，所以BM ⊥平面ACP ，……………………………………………………………14分 17．【解】（1）因为CD ∥OA ，所以rad ODC AOD x ∠=∠=， 在△OCD 中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD =km ，由正弦定理得22sin 3sin()sin 33OC CD x x ===ππ- …………………………4分（注：正弦定理要呈现，否则扣2分）得OC x =km，sin()3CD x π=- km ．…………………………5分 又圆弧DB 长为2()3x π- km ．所以2)2()]33y a x a x x ππ=+⨯-+-2cos )3a x x x π=⨯+-+，(0)3x π∈，．…………………………7分 （2）记()2(cos )3f x a x x x π=⨯+-+，则()2sin 1)2[2cos()1]6f x a x x a x π'=⨯--=⨯+-，………………8分 令()0f x '=，得6x π=． ……………………………………………………9分 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值．即()2)66f a ππ=⨯．………………………………………………………12分 答：（1）y 关于x的函数解析式为2cos )3y a x x x π=⨯+-+，其定义域为(0)3π，；（2）广告位出租的总收入的最大值为)6a π元．………………………14分18．【解】（1）由题意知：112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得12c a =⎧⎨=⎩，，又2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=． …………………………………………3分因为圆2C 截y 轴所得弦长为4，所以222215r =+=，所以圆2C 的方程为22(1)5x y -+=． …………………………………………6分 （2）设直线l 的方程为y kx m =+，则=即 22425k m km -=-①…………………………………………………………8分由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222(34)84120k x kmx m +++-=，…………………………10分因为直线l 与曲线1C 只有一个公共点，所以22226416(3)(34)0k m m k ∆=--+=，化简，得 22430k m -+=②……………………………………………………12分①②联立，解得122k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，或122k m ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.，……………………………………………13分由22122(1)5y x x y ⎧=+⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A (，)， ………………………………………………14分 由22122(1)5y x x y ⎧=--⎪⎨⎪-+=⎩，，解得02A -(，)，………………………………………………15分 故直线l 与圆2C 的公共点A 的坐标为02（，）或(02)-，．…………………………16分 19．【解】（1）当16b =时，31()16f x ax x =++，则21()36f x ax '=+．由0a >可知()0f x '>恒成立，故函数()f x 在[33]-，上单调递增，…… 2分 所以min 1()(3)2702f x f a =-=-+≥，解得1054a <≤，所以集合1{|0}54A a a =<≤． …… 4分（2）① 由3()1f x ax bx =++得2()3f x ax b '=+，因为00a b ><，，则由()0f x '=，得1,212)x x x =<．在R 上列表如下：（ⅰ）当23x ≥，即027b a <-≤时，则12[33][]x x -⊆，，，所以()f x 在[33]-，上单调递减； …… 6分 （ⅱ）当23x <，即27b a >-时，此时13x >-，()f x 在1[3]x -，和2[3]x ，上单调递增；在12()x x ，上单调递减． 综上，当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减； 当27b a >-时，()f x 在3⎡--⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增； 在(上单调递减． …… 8分 ②（方法一）当1b <-时，由①可知，（ⅰ）当027b a <-≤时，()f x 在[33]-，上单调递减，所以min ()(3)2731312110f x f a b b b b ==++-++=+<-<≤，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在； …… 10分（ⅱ）当27b a >-时，()f x 在3⎡-⎢⎣，，3⎤⎥⎦上单调递增；在(上单调递减，所以min 2()min{(3)()}f x f f x =-，． …… 12分 若(3)27310f a b -=--+<，这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾， 故此时实数a 不存在；若(3)27310f a b -=--+>，此时3222()1f x ax bx =++， 又222()30f x ax b '=+=，则223b ax =-，32222222()1()111133bx b f x ax bx x bx =++=-++=+==．…… 14分下面证明10<，也即证：3427b a ->． 因为27ba >-，且27310a b --+>，则2731a b <-+， 下证：3431b b ->-+．令3()431(1)g b b b b =-+<-，则2()1230g b b '=->，所以()g b 在(,1]-∞-上单调递增，所以()(1)0g b g <-=，即2()0f x <． 这与()0x D f x ∀∈，≥恒成立矛盾，故此时实数a 不存在．综上所述，A =∅． …… 16分 （方法二）（ⅰ）当0x =时，(0)1f =≥0成立；（ⅱ）当(0,3]x ∈时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≥-，设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 令()0g x '=，解得32x b =-．因为1b <-，所以3032b<-<，所以()g x 在3(0)2b -，上单调递增，在3(3]2b-，上单调递减， 所以333max3484()()292727b b b g x g b =-=-+=-，所以3427b a ≥-； …… 12分 （ⅲ）当[30)x ∈-，时，由题意可知31ax bx -≥-恒成立，则231b a x x -≤-．设231()b g x x x =--，则3442323()b bx g x x x x+'=+=， 因为1b <-，所以()0g x '>恒成立，所以()g x 在[3,0)-上单调递增，所以min 1()(3)927b g x g =-=-+，所以1927b a -+≤．若A ≠∅，则存在实数a 满足34127927b b a -+-≤≤，则34127927b b -+-≤成立，即34310b b -+≥， 也即2(1)(21)0b b +-≥成立，则1b -≥，这与1b <-矛盾，所以A =∅． …… 16分20．【解】（1）由22112n n a n S λλ+--=，得221(1)12(2)n n a n S n λλ----=≥，两式相减得22212n n n a a a λλ+--=，也即221()n n a a λ+=+．又00n a λ>>，，所以1(2)n n a a n λ+=+≥． …… 2分当1n =时，2221122a a λλλ--==，则211a a λλ=+=+， 所以1n n a a λ+=+（*n ∈N ），所以数列{}n a 是首项为1，公差为λ的等差数列，所以1(1)1n a n n λλλ=+-=+-． …… 4分 （2）① 由（1）知2(2)2n n nS λλ+-=，所以22(2)(2)12()12(1)21n n nn nSn n n b n a n n n λλλλλλλλλλ+-+-====++-+-+-，…… 6分 则21111(1)(22)2(1)021(1)12(1)((1)1)n n n n n n n b b n n n n ++-+-+-=+-=⋅>+-++-+λλλλλλ， 所以1n n b b +<得证． …… 8分 ② 1111111()()n n n k n n k nc c S S S S ++----=+-+ 111111k n k n n n S b S b ---+=⋅-⋅， …… 12分 因为22k n +≥，所以1n k n +<-，1n k n <--． 由0n a >，所以10n k n S S --<<，所以1110k n nS S --<<， 又因为10n k n b b +-<<，所以1110k n n b b -+<<，所以10n n c c +-<，所以1n n c c +>得证． …… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案21-A ．连接BC 设,AB CD 相交于点E ，AE x =，因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90° ……………………2分 则6EB x =-，CE ……………………………4分 由射影定理得2CE AE EB = ……………………………6分 即有(6)5x x -=解得1x =（舍）或5x = ………………………………8分 所以 25630AC AE AB ==⨯=，AC ……………………………………………10分21-B ．由条件知，2=A αα，即1222111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2422a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦， 所以24,22,a b +=⎧⎨-+=⎩ 解得2,4.a b =⎧⎨=⎩所以1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ． …… 5分 则12221444x x x y y y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，所以22,44,x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=⎩ 所以x ，y 的值分别为0，1． …… 10分21-C ．由3cos 1,3sin 3,x y αα=+⎧⎨=+⎩得13cos ,33sin ,x y αα-=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)(3)9x y -+-=． ………………………………4分 所以曲线C 是以(1,3)为圆心，半径等于3的圆．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=， ……………… …………………………6分 圆心C 到l的距离是d ==，所以直线l 被曲线C截得的线段长为 ……………………………10分 21-D ．因为22262a b c -=+ ………………………………………………………………2分2221(2)(1)32b c =++2222()(3)33b c a +=-≥，………………………6分 即25120a a -≤，所以 1205a ≤≤．……………………………………………10分22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ．因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ， …… 2分 （1）因为111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n A C n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-，所以111111335cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅ 所以直线1DB 与平面11A C D ． …… 5分 （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C -- …… 10分 23． (1)由(1)2(2)4(3)8f f f ===，，，得18+42327937a b c a b c a b c ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，，，解得15066a b c ===，，．3分(2)用数学归纳法证明315()1N*66f n n n n =++∈，．①当1n =时，显然成立． ……………………………………………4分 ②假设当n k =时成立，即315()166f k k k =++，那么当+1n k =时，在k 个平面的基础上再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得到k 条互不平行且不共点的交线，且其中任 何3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划分成211122k k ++个部分． 每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了211122k k ++个，所以 (1)()f k f k +=+211122k k ++……………………………………………7分315166k k =+++211122k k ++ 315(1)(1)166k k =++++， 即+1n k =时，结论成立． ……………………………………………9分根据①②可知，315()1N*66f n n n n =++∈，．…………………………………10分。
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（第3题）2018年高考模拟试卷(9）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分)一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分．1． 设集合A = ｛1，x ｝，B = {2，3，4},若A ∩B =｛4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5,则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度(单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间［25，30）的为一等品，在区间［20,25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品,则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图,会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ．5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元， 0.73元，2。
高考南通市数学学科基地密卷
2018年高考模拟试卷(4)南通市数学学科基地命题 第I 卷(必做题，共160分)、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分. 1 •设复数z 满足(2 -i)z =1 i ( i 为虚数单位)，则复数z 二▲ 2 •已知集合, B 」0,2?，贝U AUB 共有 ▲ 个子集.3 •根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 S 为 ▲ •4 •在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余 9个小矩形的面积和的 丄，且第一组5 数据的频数为25，则样本容量为▲在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 的渐近线方程为y = x ,若函数y 二sin( •・x W )(门，0)的部分图象如图所示， 则•，的值为 ▲•现有5张分别标有数字1, 2, 3, 4, 5的卡片，它们的大小和颜色完全相同.从中随机抽取 2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 •9 •在三棱锥P-ABC 中，D , E 分别为PB , PC 的中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为 V ,三棱锥P - ABC 的体积为V ，则也=▲•V 2T ■ T10 •设点P 是 ABC 所在平面上的一点，点D 是BC 的中点，且BC • 2BA =3BP ,设1011 .已知数列｛a n ｝中，a 1 =1, a ? =4 , a^10 .若｛a n ^a n ｝是等比数列，则a^_▲_i=12212.已知 a , b R , a b ，若 2a -ab -b -4=0，则 2a-b 的最小值为▲ •2 2 2 2 213•在平面直角坐标系 xOy 中，动圆C:(x-3)，(y-b)二r (其中r -b <9)截x 轴所得的弦长恒为4 .若过点O 作圆C 的一条切线，切点为 P ，则点P 到直线2x • y -10 =0距离的 最大值为S —1IT Whil e 1 ：：：7S — S + 3I — I + 2End While Print S--1PD = h AB +P AC 贝V 九+ 卩=(2,0)，则双曲线C 的方程为 ▲ 函数f(x)二-4的定义域为_▲且它的一个焦点为（第 7题）▲ .14.已知 —〔0,2二，若关于k 的不等式•而一 .CO^^k si n 3v_cos 3r 在「：，-2 ］上恒成立, 则二的取值范围为 ▲.二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.15. 已知向量 订二(sin 今，舟),n 二(-2 厂.3cos|)，函数 f(x)二m n .(1) 求函数f(x)的最小正周期；T 呻7T(2) 若 m // n ，且 x 三(0,—)，求 f (4x)的值.216.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，CD // AB , AB=2CD , AC 交BD于O ，锐角 PAD 所在平面 PAD 丄底面 ABCD ,圆 O 是一块半径为1米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形ABCDFGE .其中AD 为圆O 的直径，B ,C ,G 在圆O 上，BC // AD , E ,F 在AD 上，且 1OE =OF BC, EG 二 FG .2(1)设.AOB -二，试将多边形 ABCDFGE 面积S 表示成二的函数关系式;(1) 求证: (2) 求证:PA// 平面 QBD ;BD _AD . 17.如图所示,(2)多边形已知函数f(x) =(x-1)e x ax 2，其中a R , e 是自然对数的底数. (1)若a =0 ,求函数y = f (x)的单调增区间; (2)若函数f (x)为R 上的单调增函数，求 a 的值;(3) 当a 0时，函数y = f (x)有两个不同的零点 x ! , x 2，求证：为x 2 0 .已知数列 江［的前n 项和为S n ,把满足条件空S n (N *)的所有数列〈aj 构成的集合 (1) 若数列订」通项公式为a n 1，求证：爲〕M ；2(2) 若数列faj 是等差数列，且^a n - n» M ，求2a^a 1的取值范围；(3 )设b n 二丄(n ・N *)，数列Sn ［的各项均为正数，且 'a n 〉M •问数列 Y 中是否存在 a n无穷多项依次成等差数列？若存在， 给出一个数列:a 的通项；若不存在，说明理由.18.2 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知F ,2分别为椭圆 笃•爲=1 ( a b 0 )的左、右a b A(2 ,0)和点(1,3e)，其中e 为椭圆的离心率. 焦点，且椭圆经过点 (1)求椭圆的方程; (2)过点A 的直线I交椭圆于另一点 B ，点M 在直线I 上，且OM =MA .若 MF ! _ BF 2 , 求直线I 的斜率.19.20.21 •【选做题】本题包括学习必备欢迎下载2018年高考模拟试卷（4）数学u （附加题）A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A •［选修4』：几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB为O O的直径，D为O O上一点，过若DA = DC,求证：AB = 2BC.C •B .［选修4 _2:矩阵与变换］（本小题满分10分）已知a,b・R，向量为r二2是矩阵A J a 2的属于特征值-3的一个特征向量.1 b 1（1）求矩阵A的另一个特征值；（2）求矩阵A的逆矩阵A」.C .［选修4 Y:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为x - -1 -电t5— ft （t为参数）•以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为匸= 2-2cos（—.—）.4 求直线l被曲线C所截得的弦长.D .［选修4七：不等式选讲］（本小题满分10分）已知实数x, y, z满足x + y + z = 2，求2x2 3y2 z2的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷纸指定区域内.作答.22. (本小题满分10分)某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1, 2, 3的人数分别为3, 3, 4 .现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率；(2)设X为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.23. (本小题满分10分)在各项均不相同的数列a1 , a2, a s，…，a. (N*)中，任取k(k・N ,且k_n)项变动位置，其余n-k项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为P n(k).(1 )求P4(0) F4(1) F4(2) F4(3)的值；(2)求P5(5)的值；n nA kF n(n—k) A n 1=(n 1)、P n(n—k)(3)设k - ，求证：k=°.2018年高考模拟试卷(4)参考答案数学I一、填空题： 1. 1 + 3i ［解析】i)(2 D =口 . 5 5 2 _i (2 —i)(2 i) 52. 8【解析】由条件得 AUB 二｛-1,0,2｝，所以AUB 的子集有8个.3. 10【解析】由题意可知 ^1 3 3 ^10.4. 150【解析】设第一个小矩形面积为 x ，由6x =1，得x = 2，从而样本容量为 25 6 = 150 .62 25.x 2 -y 2 =1【解析】设双曲线 C 的方程为 笃-爲=1(a 0,b ■ 0)，因为双曲线C 的渐近线方a b程为y =_x ，所以a =b ，又因为一个焦点为(.2,0)，所以c= .2，所以a=b=1，所以双曲线 C 的方程为x 2 - y 2 =1g)x -4 _0,所以 X 乞-2号音2込，所以.牛4.210=3 2n 丄—2，所以送 a =3049 .i 士12. 3【解析】因为 a , b R , a b , 2a 2 -ab -b 2 -4 =0 ,所以(a -b)(2a b) =4 .6. (_：:, -2］【解析】由已知得，7. 4【解析】由图知函数的周期为8 . 3【解析】从5张分别标有数字1, 2, 3, 4, 55 的卡片中随机种情况，要使1,2,3,4,5中的两个数组成两位奇数，有 12种情况,_ 1 __PABS PAB h , V | = V E39.-【解析】因为V 2 =V C4所以也V 2 2_ABDS DAB3所以其概率为聖.20 51 1 h 1S PAB V2 ,3 2 2 410三【解析】因为BC 2BA =3BP ，所以BC -BP =2(BP -BA)，即3 1—?=P ，所以AP 」AC ,3TT T 1 T —I T 1 T 所以 ADAD 11. 3049【解析】 a n 1 一弘=3 2n1，所以 a n 二印•(a ? —aj •—a ?) - (a^a nJ )3令 a _b =t , 2a b =4 , t 0 ,则 a =丄 t 4 , b =2 2 _t , t t f 3*t ' 所以2a _b 令 1) > 3 2. t -J =8,当且仅当t =1时取等号. 所以2a - b 的最小值为8 .313. 3 5 [解析】因为动圆C:(x —3)2・(y-b)2 =r 2 (其中r 2 -b 2 <9 )截x 轴所得的弦长恒为4,所以r 2 =b 2 4 ,设P(x °, y °),由已知条件得，9 b^r 2 x 2 - y 2 ,所以x ] y 2 = 5 ,即点P 在10 圆x 2+y 2=5,所以点P 到直线2x+y_10=0距离的最大值为 ~^卡屈=3眞. V 53' cos 3v - sinv -• cosv ,题意即为 f (k) > 0在[-匚j -2 ]上恒成立，即f min (k) > 0 .由于日€0,2兀),Si n 日> 0且cose > 0,则日乏|0,弓.f(k) =0 > 0恒成立，符合;sin ? v -COS3.0 ,所以f (k)在［-匚3 -2 1上单调递增，不符合;sin J-cosJ ：：：0，所以 f (k)在-:,-2 1 上单调递减,此时 f min (k) = f (-2) = -2 sin ： - cos - 、. sin- cos 二 > 0 , 即 2sin % sin v < 2cos % COST .令 f(x)=2x 3+7X ( x > 0)，不等式即为 f (sin6) < f(cos0),J由于f (x) =6x 2 1x^ > 0 ,所以f(x)在0,匚 上单调递增, 而当 v -[0, -j)时，si n^ ::: COST ，所以 f(sin 二)< f(cos^)恒成立.综上所述，二的取值范围是1), =(|, ■ 3COS 2),x C0S2 = sin -15 .解：(1) ； m = (si 门乡, 1 x 3 .f (x)二 m n sin2 2 2 =sinXCOSn+ COS -S in n= sin x n,23 2 3 2 3所以函数f (x)的最小正周期为T 二肚=4 n 1 鸣 2 (2)T m= (si 门乡,* , n =(* , ^3 COS |)T 呻，且 m // n ,..... ^4 分'14.0,才【解析】f(k)=ksi n 3 —_02当-(「，亍］时,当 二［0，；)时,.Xx 1 1sin ■ 3cos0 ,222 2sin X蔷，因为侧面 PAD_底面ABCD ，平面PAD^l 平面ABCD 二AD ,PH 平面PAD ，所以PH _平面ABCD , ...................... 8分 又BD 二平面 ABCD ，所以PH _BD , ...................... 10分 因为「PAD 是锐角三角形，所以 PA 与PH 不重合， 即PA 和PH 是平面PAD 内的两条相交直线，又PA_BD ，所以BD _平面PAD , ....................... 12分又AD 平面PAD ,所以BD _AD . ...................... 14分17•解：连接 EF ,BE,OB,OG ,-OE =OF 」BC , ■ BC =EF _ BE _ EO , 2 - EG =FG , OG _ EF ,......... 2 分(1 )在 Rt BEO 中,BO =1 , AOB - J ,EO =cos v , BE =sin ：, BC =EF =2cos 丁 ,.... 4分1 1s 弟形ABCD S EGF (AD BC) BE — EF OG2 211 二(2 2cosRsin 2cos^ 1 =sin^cos 亠sin 亠 cos^,寫：二(0,—).2 2 2(0,2)，10分.sin 2x =2sin c 矗^'33吊x cos x 二 2 - 6 6 6 512分2\t3cos2x =1 -2sin x =1 -2 () 6 1.f (4x) sin 2x cos2x211 53 1216.证明：(1) 因为 AB//CD , 所 AO =2OC , 又 PQ =2QC ， 所以 PA / /OQ ， 又OQ 二平面QBD ， PA 二平面QBD , 所以PA//平面QBD . ........... 6分 (2)在平面PAD 内过P 作PH _ AD 于H ,如图，连接 AB =2CD , OQ , .cosx = 1 —sin 2 x =33""6"14分B学习必备欢迎下载(2)令t 二sin v cos J,匚三(0, —),2学习必备 欢迎下载=0,t 2 _1兀则 sin ncos，且 t = 2 sin(r —)三(1, . 2], 2 4t 2 _1 t 2 1 1s - t =- t 一一 = —(t i )2 -1, t ・(1, 2],2 2 2 2当 t = 2，即 时，S max =—2 ,42即多边形ABCDFGE 面积S 的最大值为—2平方米.2 18 •解：(1)因为椭圆经过点 A(2,0)和点(1,3e),a =2,所以 1 9c i =1,|4 4 b 2 b 2 c 2 二a 2,2 2 解得a =2, b = •3, c =1,所以椭圆的方程为 丄 11 .4 3(2)解法一：由(1)可得 F(-1 ,0) , F 2(1,0), 设直线I 的斜率为k ，则直线I 的方程为y =k(x -2).y =k(x 「2),由方程组 2 y 2 消去y ,整理得(4k 23)x 2 -16k 2x 16k 2乞 +L —1 4 3 _1 ,2f 2\解得x =2或X =8k2 _6 ,所以B 点坐标为8k2 _6 , -12k.4k 2 +3\4k +3 4k +3丿由OM =MA 知，点 M 在OA 的中垂线x =1上, 所以 F 1M =(2，-k) , F 2B = 8k ^6 -1,4k +3 4k +34k +3 4k +3222若 MF — BF 2，贝y FM F 2B =8k2一18 ¥4k +3 4k+3解法二：由（1）可得 Fd-1,0） , F 2（1, 0）,设 B(x 0, y 0) ( X 。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)
2018年高考模拟试卷（6）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则U A ð= ▲ ． 2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽若干名学生测量视力，若高二抽到118 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如图所示的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．若该球的体积为3，则该三棱柱的体积是▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．若△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ． 11．若函数()1()log 1a x f x a x =+-（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ．13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．（1）若3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值． 16．(本小题满分14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． （1）求证：AF ⊥DD 1； （2）求证：AD //平面1MBC ． 17．(本小题满分16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．BA（第16题）B 1A 1C 1MCFDD18．（本小题满分16分）某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路，休息亭P 与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低． 19．（本小题满分16分）已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范围． 20．(本小题满分16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)若A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷（6）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线PA 与圆P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，A BCP（17题图）FE求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）若两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．（1）当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；（2）当CF 与平面ACDλ的值．23．（本小题满分10分）设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n ，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞f n (x )；(2)若x ＞0，且e x ＝fn (x )+1(n +1)!x n +1e y ，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷（6）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．(]02，C2．5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120， 高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．63 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144． 9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．32 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32． 11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．若01a <<，因为t 没有最大值，所以符合； 若1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2＝na n－n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n}成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在（0,2）上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=，所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B cA B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤二、解答题：15．解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 若(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分16．证明：（1）∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 （2）连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点，∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点，∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ．∴AM // FE ，AM =FE ． ∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分17．解：（1）设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分BAE （第15（2）题图）B 1A 1C 1M CFDD解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分（2）设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由（1）知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ，………………… 12分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．（方法一）（1）由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CAB AEAP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅+⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S=⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =->则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 （方法二）(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ==由PF PE FE +=即12262sin sin y xy x θθ+整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 （方法三）（1）以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ 所以512,1313F y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f (1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f , 所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='x x x x x x x x x F所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增， 当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==. 所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ；当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)( ①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1) ①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0． 所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bpn ＝q n ． 令s ＝ap，t ＝b p，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q＜0，则f(x)为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q＞0，且不妨设由f ′(x)＝0得f ′(x)有唯一零点x0＝log q tln q，于是当x＞x0时，f ′(x)恒大于0或恒小于0，当x＜x0时，f ′(x)恒小于0或恒大于0，这样f(x)在区间(0，x0)与(x0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解．……………………10分当q＜0时，如果t＞0．如果n为奇数，则方程①变为|q|n+tn+s＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①．如果n为偶数，则方程①变为|q|n－tn－s＝0．由q＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个．这样，最多有3个正数满足方程①．对于t＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A中的元素个数最多有3个．………………………………12分再由当a n＝6n－8，，b n＝(－2)n，则a1＝b1，a2＝b2，a4＝b4．A＝{1，2，4}．由此，可知集合A中的元素个数最多有3个．…………………16分数学Ⅱ（附加题）21A．证明：连AC，在△ABC与△ADP中，因为A、B、C、D四点共圆，所以∠ADP＝∠ABC，又因为AD·BC＝DP·AB，即ADDP＝ABBC，所以△ABC∽△ADP，所以∠BAC＝∠DAP．因为直线PA与圆O相切，所以∠DAP＝∠ACD，所以∠BAC＝∠ACD，所以，A B∥CD，所以圆内接四边形ABCD为等腰梯形，所以AD＝BC．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)． 21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)，所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋（y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=（y －3)2－4（y 2 －3y ＋3）=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
江苏省南通基地2018年高考数学密卷7理201902270175
3 ． 5
6 ，求 AB 的长； 5 1 （2）若 tan A B ，求 tan C 的值． 3
16．(本小题满分 14 分) 如图，在三棱锥 P ABC 中， AC BC ，点 D 在 AB 上，点 E 为 AC 的中点，且
BC // 平面 PDE．
（1）求证： DE // 平面 PBC； （2）若平面 PCD⊥平面 ABC， 求证：平面 PAB⊥平面 PCD． A D
23．(本小题满分 10 分) 已知数列 an 满足 an C n
0
C1 C 2 2 C3 Cn n n 1 3 n2 n3 … nn ，n N* ． 2 2 2 2
（1）求 a1 ， a2 ， a3 的值；
-5-
（2）猜想数列 an 的通项公式，并证明．
2 2
截得的弦长是定值（与实数 m 无关） ，则实数 k 的值为
▲
． ▲ ．
12．在△ABC 中， cos A 2sin B sin C ， tan B tan C 2 ，则 tan A 的值为 13．设 F 是椭圆
x2 y 2 ＋ ＝1(a＞0，且 a≠2)的一焦点，长为 3 的线段 AB 的两个端点在椭圆 a2 4
x t cos m x 5cos （t 为参数）恒经过椭圆 C： （为参数） y t sin y 3sin
的右焦点，求实数 m 的值．
D．[选修 4－5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 设 a1 ，a2 ，a3 均为正数，且
1 1 1 1 ，求证： a1 a2 a3≥ 9 ． a1 a2 a3
x y 1 k k 3
▲ ．
（第 6 题）
(完整word版)2018年高考南通市数学学科基地密卷(2)
4高三数学试卷第1页共17页2018年高考模拟试卷（2）南通市数学学科基地命题 第I 卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分. 1 .已知集合 A={1 , 4}, B={ x|1< x <3}，则 A H B= ▲ .22. 设复数z （2 i ） （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲3. 函数的y ... 3 log 2 x 定义域为 ▲4. 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为:s 0i[| :t 1t I 'For I From 1 To 3 !|:s s+I :'t 11 II:End For 丨r stii:Print ri i ! ________________________________________ i（第4题）5. 如图是甲、乙两位同学在 5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小） 的那一位同学的方差为 ▲.6. 将黑白2个小球随机放入编号为 1, 2, 3的三个盒子中，则黑白两球均不在 1号盒子 的概率为 ▲ .7. 在平面直角坐标系 xOy 中，将函数y cos2x 的图象向右平移 一个单位得到g （x ）的图6象，贝U g （—）的值为▲ .22y 28.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 198 79 210013（第 5 题）近线的距离为—▲卄丄冗 c r「sinx 2cosx砧/古斗▲9. 若tan x 3，贝U 的值为▲4 3sinx 4cosx10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x€ R都有f(x+4)= f(x)+ f(2), f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为▲.11.已知S n为数列｛a n｝的前n项和，且a； 1 a n1a n 1, S I32a13 , 则｛a n｝的首项的所有可能值为▲.5 0与圆C 2212.在平面直角坐标系xOy中，已知直线丨：3x 4y:x y 10x 0交A, B两点，P为x轴上一动点，则△ ABP周长的最小值为▲.2 亠x x a , x > a ,、卄13. 已知函数f (x) 2记A ｛x|f(x) 0｝，右AI ( ,2)x x 3a, x a .则实数a的取值范围为▲.14. 若厶ABC中，AB= , 2，BC=8, B 45°,D ABC所在平面内一点且满足uuu uuur uuur uur(AB AD) (AC AD) 4，贝V AD长度的最小值为▲二、解答题：本大题共 6小题，共90分. 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分14分)如图，在厶ABC 中，a, b, c 为A B, (1)求证：sinC 2sin( A B)；3(2 )若 cos A，求 tanC 的值.5请在答题卡指定区域内作答•解答时应写出文字 1C 所对的边，CD 丄AB 于D ，且BD AD c .2(第 15 题)16. (本小题满分14分)在正四棱锥V ABCD 中，E , F 分别为棱VA , VC 的中点. (1) 求证：EF //平面 ABCD ; (2) 求证：平面 VBD 丄平面BEF .锥的底面半径都为r cm .圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为 45° ;圆柱的高为18. (本小题满分16分)已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C : £ 占1(a b 0)离心率为甘，其短轴a b 2长为2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 如图，A 为椭圆C 的左顶点，P , Q 为椭圆C 上两动点，直线 PO 交AQ 于E ,17. (本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为 90 n cm 3, (第16题)它是由圆锥和圆柱两部分连接而成， 圆柱与圆h 2 cm .已知圆柱底面的造价为 2a 元/ cm 2,圆柱侧面造价为a 元/ cm 2,圆锥侧面造价为、.2a 元/cm 2. (1) 将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域; (2)当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？h 2（第 17题）存在，请说明理由.20. (本小题满分16分)已知函数 f(x) x k lnx, k N *， g(x) cx 1，c R . (1) 当k 1时，① 若曲线y f (x)与直线y g(x)相切，求c 的值；② 若曲线y f (x)与直线y g(x)有公共点，求c 的取值范围.(2) 当k >2时，不等式f (x)>ax 2 bx >g(x)对于任意正实数x 恒成立，当c 取得 最大值时，求a ,b 的值.直线 QO 交AP 于 D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为k 1 , k 2，且k ,k 2 luir ADuir uur DP ， AEuu n EQ19.(本小题满分 16分）设数列｛a “｝的前n 项和为 S n ， 已知 a 1 1 ，S n 1 1 （ n N ）.(1)求证：数列｛a n ｝为等比数列;(2)若数列｛b n ｝满足：b! 1，b n b n7an 1①求数列｛b n ｝的通项公式; ②是否存在正整数n ,使得4 n 成立？若存在，求出所有 n 的值；若不为非零实数)2S n2018年高考模拟试卷（2）数学u （附加题）21. 【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定 两题，并在相应的答题区域内作答 A .［选修4 —1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点 上两点，EM = EN ,点F 在MN 的延长线上.求证：/B .［选修4— 2:矩阵与变换］（本小题满分10分）已知在二阶矩阵 M 对应变换的作用下，四边形 ABCD 变成四边形 ABCD ，其中 A(1 ,1) , B( 1 , 1) , C( 1 , 1) , A (3,3) , B( 1 ,1) , D (1, 1). (1) 求矩阵M ;(2) 求向量DC 的坐标.x = t ,l 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方y = t — 3程是p= 4cos 0,求直线I 被圆C 截得的弦长.D .［选修4—5:不等式选讲］（本小题满分10分）E ,F . M , N 为 AB , CD BFM = Z AFM .C .［选修4—4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中 取相同的长度单位.已知直线 A已知 x>0, y>0, z>0, 2x 2y z 1，求证:【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内.作答. 22. (本小题满分10分)某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛.已知该同学数学获一等奖的概率为 2，物理，化学，生物获一等奖的概率都是-1，且四门学科 32是否获一等奖相互独立.(1) 求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率； (2) 用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望 E X23. (本小题满分10分)已知函数 f(x) x x 1，记 f ’(x) f(x)，当 n 》2 时，f n (x) f n1(f(x)). (1) 求证：f 2(x)在(1,)上为增函数；(2) 对于任意n N *，判断f n (x)在(1,)上的单调性，并证明.3xy yz zx < -.52018年高考模拟试卷(2)参考答案、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70 分.{1}【解析】依题意，A n B={1} 3 4i 【解析】由于z (2 i)23 4i ，所以z 的共轭复数为3 4i .0,8【解析】由3 log 2x > 0,解得0 x < 8 .36【解析】s 1 2 3 6, t 1 2 3 6，输出的结果r 6 6 36.2【解析】由茎叶图可知， x 88 89 90 91 9290 ,c1 5一 c所以甲的方差为s2 5,1(x ' x)2 2；有2 2 4种，所以概率为4 .2x的距离为4.3 1 2 得 sin x 2cos x tan x 21 ( 3)' 3sin x 4cos x 3tan x 4【解析】令f(x+4)= f(x)+ f(2)中又因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以2,得 f(2)= f( 2)+ f(2)，所以 f( 2)=0，f(2)=0，所以 f(x+4)= f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(3)+ f(10)= f(2【解析】g(x) cos 2x3，所以 【解析】一条渐近线 y2x 与右准线xg (2) cos 5的交点为 5_1 32 .乙卫)，其到另一条渐近 5将以上各式相加，得 12. 14【解析】设直线11. 3, 4【解析】因为 所以 a 2 1 a ； a ：, 又S 3a 123，所以a f同理乙的方差为 4，所以比较稳定的是甲.9【解析】所3 3 9 种, “黑白两球均不在1号盒子”【解析】由tan x tan x10.x= 1) + f(2)= f(1)+0= 4 .对称点为B ，易知B B 恰为圆C 的直径，记A B 与x 轴 交于点 Q ,则 PA PB PA PB >AB ,所以△ ABP 的周长的最小值为 AB AB ，易求得结果为14.再考虑临界位置不难求解.14. 2【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意,设所以uuuuur设 D(x , y)，所以 AB ( 1 ,1)，AC1v (m n)2 (7m n)2 1 .50m 2 2n 2 12mn8 8当且仅当5m= n= 2 5时，AD 取得最小值 2 . 二、解答题：本大题共 6小题，共90分. 15. (本小题满分14分)(1)证明：因为BD AD ,2n24> 8210mn2413.,丄【解析】条件可转化为函数 f(x)4在(，2)上存在零点， 所以方程x 2 | x a | 2a 有根，所以函数g (x) x 2与h(x) | x a | 2a 的图象 有交点的横坐标在(，2)上，注意到函数h(x) | x a | 2a 的图象为顶点(x 2 |x a| 2a 6•—2a 」.，2一1—・一4 —_2 .a , 2a )在直线y=2x 上移动的折线,uuu UULT 所以(AB AD)LULT uur(AC AD) (x y)(7x 即(x y)(y 7x)x 4，令y m，则 y 7x n 所以AD x 2 y 213B( 1 , 1y(7 ,y) xy8216. (本小题满分14分)(1)因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF // AC ,……3分又因为 EF 平面ABCD , AC 平面ABCD , 所以EF //平面ABCD .(2)连结 AC , BD 交于点O ，连结VO . 因为V ABCD 为正四棱锥， 所以VO 丄平面ABCD .又AC 平面ABCD ，所以VO X AC . 又因为 BD X AC , EF // AC , 所以EF 丄VO , EF 丄BD . •…又 VO , BD 平面 VBD , VO A BD=O 所以EF 丄平面VBD ,……12分又EF 平面BEF ，所以平面 VBD 丄平面BEF .……14分所以 acosB bcosAlC，由正弦定理，得sin AcosB 1sin B cos A —sin C ,所以 sin C 2sin(A B).(2)解：由(1)得，sin(A B) 2sin( A B),所以 sin AcosB cosAsinB 2(sin AcosB cos As in B),化简，得 3cos A si nB si n AcosB . 10分 又cosA 3，所以sinA 害，所以tanA ，tan B 9,12分所以 tanCtan(A B)tan A tan B 1 tan Ata nB48 1114分6分(第 16题)18.17. (本小题满分14分)(1)解：因为圆锥的母线与底面所成的角为45°，所以h r ,圆锥的体积为V 3 n 2h 1 3 n 3，圆柱的体积为 V n 2h 2 ...... 2分3 32d 3因为V V 90n ,所以 V 2n h 2 90 n 3n ,o所以h 2270 r 3 3r 290 rF 3...... 4分因为V 1 n390 n,所以 r 3-10 .因此0r 3310 .所以h 2270 r 33r 2 90 r孑3，定义域为 {r |0 r3310}....... 6分(2)圆锥的侧面积Sn . 2r 2 n 2,圆柱的侧面积Sa2 n h 2，底面积S 32n .……8分当3 r 3110时，f (r) 0 , f (r)在3,33 10上为单调增函数.因此，当且仅当r 3时，f(r)有最小值，y 有最小值90 n a 元.……13分(本小题满分16分) (1 )解：因为短轴长2b=2，所以b=1, ....................................................... 又离心率-¥，所以a 2c ,…… a 2 2 2 2 2 2所以a 2c 2(a b )，所以a 2 ,高三数学试卷第102 ni(r 2 rh 2 r 2) 2n a 2r 2「9° 310n a 「254••…10分3r令 f (r) r 254，则 f (r)2r 54r 2.令 f (r) 0 ,得 r 3 .容器总造价为y 2aS aS 2 2aQ当0 r 3时, f (r) 0 , f(r)在(0,3)上为单调减函数; 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm . 14分2 22 n a 2 n h 2a2 n ay|L2 分.JP4分、丿XX.E页共17页2对任意n N 都成立,高三数学试卷 第13页共17页2所以椭圆C 的标准方程为今 y 2 1 .……6分 (2)由(1),点 A( 42,0)，设 P(x ,yj , D(X o ,y °),则％ 匕儿,y ok 2X o ,所以221.所以数列｛ a n ｝为等比数列，首项为 1,公比为2.19. (本小题满分16分) (1 )解：由 S n 12£1，得 S n 2£ 1n 》2),两式相减，得a n 1 2a n o ，即an 12a n因为印1，由佝 a 2) 2耳1，得a 22，所以竺2 ,a 1an 1所以a nuur 因为ADiuur X DP ，所以Xoy o2(X 1 X o )L ①L ②’(y i y o )L L 由①得,■^X o X 1由②得，y 1宜 k X )k 2(X i 11分两边同时乘以k i 得,k 12x k i k 2(x i 所以 X1(1 2k 12)y i.2k 12，(1 2kf)代入椭圆的方程得, 1，14分同理可得， 2 -A122 丄2 k2k'1 2 k ；'16分(2)①由(1)知，a n 2n 116分由7冷，得b n1 7 2，n n 1 n n 1. _即 2 b n 1 2 b n 1，即 2 b n 1 2 b n 1 ,因为b 1，所以数列2n1b n是首项为1，公差为1的等差数列. 所以2n1b n 1 (n 1)所以b n茹.nb i ,i 1两式相减，(2)0(2)1(2)2 L (护1(1)n 1 ($TT22 (n 2) (2)n,所以T n 4 (2n 4) (l)n.12分n由b ii 14 n，得4 (2n 4) (A n，即显然当n2时，上式成立,设 f (n) 山 2n1( n Nn)，即f(2)因为f(n 1) f(n)常(罟 2所以数列f(n)单调递减,所以f(n) 0只有唯一解n所以存在唯一正整数n 2 , 使得nb 4 n成立.i 120.(本小题满分16分)(1)解：当k 1 时，f (x) xlnx，所以 f (x) 1高三数学试卷第12页共ln x .17页10分②设T n则T n 1 2 (2)11 23 G)2 L n (1)n1,所以1T n 1 ($ 2 3 (2)31、nn (寸),16分1ln沟c①①设切点为P(x°, y°)，则y。
高考南通市数学学科基地密卷
高考南通市数学学科基地密卷LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08-（第3题）2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ．5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为元，随机分配成5份，金额分别为元，元，元， 元，元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ．6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．（第4题）7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B为顶点，且离心率为2，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则cos(2)4πα-的值为 ▲ ．10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值 为 ▲ ． 12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12n x x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π． （1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,)2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面（第16题）17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆2214+25n n n b b S ++=的左、右顶点和右焦点，过点n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程；（2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线过点(22)A -，．① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s >时，试比较()g s 与1(g s的大小； （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），求证：11()2f x >-．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．（1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列，求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD ∥CE ，AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅DA（第21-B ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒，得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围．D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域．．．．．．．内．作答．22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值； （2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角．23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017n nnn C n-=-=-∑． 2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、 填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+i【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i ＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．【答案】50MC 1B 1A 1CBA（第22【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（，）（，），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7934【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ， 因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1， PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥P ABC 的体积为V ＝13×12×32×sin60°×39348．【答案】2300(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l 的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)
（第3题）2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则x 的值为 ▲ ． 2． 若复数z 1＝2+i ，z 1·z2()2z ＝5，则z 2＝ ▲ ．3． 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30）的为一等品，在区间[20，25）和[30，35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为 ▲ ．4． 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为 ▲ ． 5． 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动．某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元，0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为 ▲ ． 6． 函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7． 已知P -ABC 是正三棱锥，其外接球O 的表面积为16π，且∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO＝30°，则三棱锥的体积为 ▲ ．8． 已知双曲线2214y x -=的左、右顶点为A 、B ，焦点在y 轴上的椭圆以A 、B ，过A 作斜率为k 的直线l 交双曲线于另一点M ，交椭圆于另一点N ，若AN NM =，则k 的值为 ▲ ． 9． 已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )12-，若()6f α=，则cos(2)4πα-的值为 ▲ ． 10．已知{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b 满足11b a =，且12n b a a =++1121n n n a a a a a --++++++（2,n n *∈N ≥），若(28)2018m m a b +-=，则m 的值为 ▲ ．11．定义在[]1,1-上的函数()sin (1)f x x ax b a =-+>的值恒非负，则a b -的最大值为 ▲ ．12．在△ABC 中，若352115CA AB AB BC BC CA==⋅⋅⋅，则cos C 的值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：221x y +=，直线:l 30x ay +-=，过直线l 上一点Q 作圆O 的切线，（第4题）切点为,P N ，且23QP QN ⋅=，则正实数a 的取值范围是 ▲ ． 14．已知偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，且在[]2,0x ∈-时，2()1f x x =-+，若存在12nx x x ，，，满足120n x x x <<<≤，且()()()()1223f x f x f x f x -+-+()()12017n n f x f x -+-=，则n x 最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知函数()()()sin 0,0f x A x A ϕϕ=+><<π的最小值是－2，其图象经过 点(,1)3M π．（1）求()f x 的解析式；（2）已知,(0,2αβπ∈，且8()5f α=，24()13f β=，求()f αβ-的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90BAD ∠=︒，AD BC ∥，2AD BC =，AB PA ⊥．（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若E 为PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB17．（本小题满分14分）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．（本小题满分16分）如图，点128n n a a +=+，{}n b ，n S 分别为椭圆221n n b b ++=n *∈N 的直线{}n a （异于{}n b 轴）交椭圆C 于点{}n b ，n n n c a b =+．（第16题）（1）若3AF =，点4r s t ，，与椭圆C 左准线的距离为5，求椭圆C 的方程； （2）已知直线()r s t <<的斜率是直线r s t ，，斜率的()()f m x f x +<倍． ① 求椭圆C 的离心率；② 若椭圆C 的焦距为()()f m x f x +<，求△AMN 面积的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数2()ln f x x x ax =+．（1）若曲线()y f x =在1x =① 求实数a 的值；② 设函数()()f x g x x =，当0s > （2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项均为不等的正整数，其前n 项和为n S ，我们称满足条件“对任意的*m n ∈N ，，均有()()()n m n m n m S n m S S +-=+-”的数列{}n a 为“好”数列．（1）试分别判断数列{}n a ，{}n b 是否为“好”数列，其中21n a n =-，12n n b -=，*n ∈N ，并给出证明；（2）已知数列{}n c 为“好”数列．① 若20172018c =，求数列{}n c 的通项公式；② 若1c p =，且对任意给定正整数p s ，（1s >），有1s t c c c ，，成等比数列， 求证：2t s ≥．2018年高考模拟试卷（9）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 为⊙O 的直径，BD 是⊙O 的切线，连接AD 交⊙O 于E ，若BD ∥CE ，AB 交CE 于M ，求证：2AB AE AD =⋅AB ．[选修4－2：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知点A 在变换T :2x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒， 得到点B ．若点B 的坐标为(34)-，，求点A 的坐标． C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴 正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31,(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围． D ．[选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知正数,,a b c 满足2362a b c ++=，求321a b c++的最小值． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为等边三角形，延长1BB 至M ，使11BB B M =，连接11,,A M AC CM ，若190MA C ︒∠=． （1）求直线1C M 与平面1CA M 所成角的正弦值；（2）求平面1CA M 与平面11AAC C 所成的锐二面角． 23．（本小题满分10分）（1）求证：11()k k n k n k kC n k C ----=-；（2）求证：100820170(1)120172017nnnn Cn -=-=-∑． 2018年高考模拟试卷（9）参考答案数学Ⅰ一、填空题： 1．【答案】4【解析】因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4． 2．【答案】2+iMC 1B 1A 1CBA（第22题）【解析由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i ＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．【答案】50【解析】三等品总数[1(0,050.03750.0625)5]20050n =-++⨯⨯=． 4．【答案】30【解析】3A =，1N =，输出3；6A =，2N =，输出6；30A =，3N =，输出30；则这列数中的第3个数是30． 5．【答案】15【解析】两名同学抢红包的事件如下：（2.53，1.19）（2.53，3.21）（2.53，0.73）（2.53，2.33）（1.19，3.21）（1.19，0.73）（1.19，2.33）（3.21，0.73）（3.21，2.33）（0.73，2.33），共10种可能，其中金额不低于5元的事件有（2.53，3.21）（3.21，2.33），共2种可能，所以不低于5元的概率21105P ==． 6．【答案】(],2-∞【解析】因为(]2232(1)40,4x x x --=-++∈，所以(]22log (32),2x x --∈-∞，即值域为(],2-∞．7．【解析】设球的半径为R ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，则由球的表面积为16π， 可知4πR 2＝16π，所以R ＝2.设△ABC 的边长为2a ，因为∠APO ＝∠BPO ＝∠CPO ＝30°，OB ＝OP ＝2， 所以BO ′＝32R ＝3，OO ′＝OB 2－BO ′2＝1，PO ′＝OO ′＋OP ＝3.在△ABC 中，O ′B ＝23×32×2a ＝3，所以a ＝32，所以三棱锥P ABC 的体积为V ＝13×12×32×sin60°×38．【答案】【解析】对于椭圆，显然1,c b a =，所以椭圆方程为2214x y +=，设00(,)N x y ，则由AN NM =得00(21,2)M x y +．因为点M 在双曲线上，点N 在椭圆上，所以220014x y +=，2200(21)414x y +-=，解得，001,2x y ==l 的斜率k =．9．【答案】13解析一：f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，因为()f α=，所以1sin(2)43πα+=，所以1cos(2)cos (2)sin(2)42443ππππ⎡⎤-α=-α+=α+=⎢⎥⎣⎦。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(8)
02While 41End While Pr intS I I I I S S I S←←←+←+≤（第5题）2018年高考模拟试卷（8)第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{2 3}A =，，2{1 log }B a =，，若{3}A B =,则实数a 的值为 ▲ ．2． 已知复数z 满足i 1i z =+(i 为虚数单位），则复数i z -的模为 ▲ ．3． 将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2,3，4,5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次,则向上的点数之差的绝对值．．．是2的概率为 ▲ ． 4． 工人甲在某周五天的时间内，每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图(左边一列的 数字表示零件个数的十位数,右边的数字表示零件个数的个位数)，则该组数据的 方差2s 的值为 ▲ ．5． 根据上图所示的伪代码，可知输出的结果S为 ▲ ．6．设实数y x ,满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥，则32x y +的最大值为 ▲ ．7． 若“122x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦， ，使得2210x x -λ+<成立"是假命题,则 实数λ的取值范围是 ▲ ．8． 设等差数列{}n a 的公差为d （0≠d ），其前n 项和为n S ．若22410a a =,122210S S =+,则d 的值为 ▲ ．9． 若抛物线24=x y 的焦点到双曲线C ：22221-=y x a b(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．10．将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1：2的两个扇形,且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面,则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 363f x a x x =+-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．若曲线21()ln (2)+12f x x ax a x =+-+上存在某点处的切线斜率不大于5-,则正实数a的最小值为 ▲ ．1872212（第4题）13．在平面凸四边形ABCD 中,AB =3CD =,点E 满足2DE EC =，且 ||||2AE BE ==．若165AE DE ⋅=，则AD BC ⋅的值为 ▲ ． 14．设函数()()21f x x a x a x x a =---++（0a <)．若存在[]011x ∈-，,使0()0f x ≤，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知向量m ＝(cos α，sin α),n ＝(－1，2)． (1）若m ∥n ，求错误!的值； （2）若|m －n ｜＝错误!，α∈()ππ2，，求cos ()π4+α的值．16．（本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形，平面ABP ⊥平面BCP ，90APB ∠=︒，BP BC =，M 为CP 的中点．求证：（1）AP //平面BDM ； (2）BM ACP ⊥平面．ABCDPM（第16题）如图，是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图．点C 是半径OB 上一点，点D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA ．现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是:线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元． (1）求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2)试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．18．（本小题满分16分)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,右焦点为圆2222:(1)C x y r -+=的圆心，且圆2C 截y 轴所得弦长为4．（1)求椭圆1C 与圆2C 的方程；（2）若直线l 与曲线1C ,2C 都只有一个公共点，记直线l 与圆2C 的公共点为A ,求点A 的坐标．OABCD（第17题）设区间[33]D =-，,定义在D 上的函数3()1f x ax bx =++(0a b >∈R ，），集合 {|()0}A a x D f x =∀∈，≥．（1）若16b =，求集合A ；(2）设常数0b <．① 讨论()f x 的单调性; ② 若1b <-，求证：A =∅．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，11=a ，前n 项和为n S ，且n n S n a λλ21221=--+，λ为正常数．（1）求数列{}n a 的通项公式; (2)记nn nS b a =，11n n k n c S S -=+(*22k n k n ∈+N ，，≥)．求证：① 1+<n n b b ；② 1n n c c +>．2018年高考模拟试卷（8)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题．．．．,．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．A．［选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分)如图,已知AB,CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，已知AB=6，CD=AC的长度．B．[选修4－2：矩阵与变换］（本小题满分10分）已知矩阵11ab⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A的一个特征值为2,其对应的一个特征向量为21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．若x ay b⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A，求x，y的值．C．［选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是3cos13sin3 xyαα=+⎧⎨=+⎩，（α是参数）．若以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4π+=ρθl被曲线C截得的线段长．D．［选修4－5：不等式选讲] （本小题满分10分）已知,,a b c∈R，且3a b c++=，22226a b c++=，求a的取值范围．DCBA（第21—A题）【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥，2AB =,4AC =,13AA =.D 是线段BC 的中点。
南通市数学学科基地密卷
2018年南通市数学学科基地密卷(1)高三数学试卷 第 1 页共 27 页A BC（第7题） 2018年高考模拟试卷（1）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i 1i z =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ． 4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )A B CD PE高三数学试卷 第 2 页 共 27 页6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28yx=的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x=，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．高三数学试卷 第 3 页 共 27 页（第10题）A BCM N（第12题）11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ．14．设等比数列{a n }满足：12cos 3sin n n na a θθ==，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则数列{}nθ的前2 018项之和是 ▲ ．高三数学试卷 第 4 页 共 27 页AB CB 1C 1A 1MN （第16题）二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，． （1）求θ的值； （2）设函数()22()sinsin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知M ，N 分别为线段1BB ，1AC 的中点，MN 与1AA 所成角的大小为90°，且1MA MC =．求证：（1）平面1A MC ⊥平面11A ACC ；（2）//MN 平面ABC ．高三数学试卷 第 5 页 共 27 页17．(本小题满分14分某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，，（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．高三数学试卷 第 6 页 共 27 页（第18题）（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：222210x y a b a b+=>>()过点12⎛⎫⎪⎝⎭，．设P 为椭圆C 在第一象限上的点，A，B 分别为椭圆C 下顶点，且PA 交y （1）求a b ，的值；（2）若F为椭圆C的右焦点，求点E 的坐标；（3）求证：四边形ABFE 的面积为定值．高三数学试卷 第 7 页 共 27 页19．(本小题满分16分)设数列{a n }的前n 项和为nS ，且满足：()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，．（1）若29p =，求a 1的值；（2）若123aa a ，，成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．(本小题满分16分)已知函数()e(1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成高三数学试卷 第 8 页 共 27 页立，求ab 的最大值；（3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得0()()f xg x =成立，求a 的取值范围．2018年高考模拟试卷（1）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．区．域内作答．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点高三数学试卷 第 9 页 共 27 页PAE ∽△BDE ．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M ，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦N ．求满足方程=MX N 的二阶矩阵X ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， （t 为参数），圆C 的参数方程为2cos 22sin x a y θθ=+⎧⎨=+⎩，（θ为参数）.设直线l 与圆C 相切，求正实数a 的值．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)A B C DP（第22题） 设0x y z >，，，证明：222111x y z y z x x y z++++≥． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)如图，在四棱锥P ABCD -中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC AD λ= （01λ<≤）．（1）若1λ=，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）若二面角B PC D --的大小为120°，求实数λ的值．23．(本小题满分10分)甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢．此时， 两人正在游戏，且知甲再赢m （常数m >1）次就获胜，而乙要再赢n （常数n >m ）次才获胜，其中一人获胜游戏就结束．设再进行ξ次抛币，游戏结束．（1）若m 2=，n 3=，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()P m k ξ=+（23k =，，…1m +，）的最大值（用m 表示）．2018年高考模拟试卷（1）参考答案数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． {}2． -1 3．0.54． 16 5．6．7． 17【解析】设最右边的正方形的右下角顶点为D ， 则()11tan tan 123tan tan 1tan tan 117123BCD BAD ABC BCD BAD BCD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠∠+⨯．8． 23【解析】因为2PE ED =，所以三棱锥E ACD -的体积是三棱锥P ACD -体积的13，所以三棱锥 P ACE-的体积是P ACD -体积的23．因为三棱锥P ABC-与三棱锥P ACD -体积相等，所以12:V V =23． 9． 6【解析】如图，过点M 作准线的垂线，垂足为T ，交y 轴于点P ，所以112MP OF ==，3MF MT ==， 所以26FN MF ==．10． (,e)-∞-【解析】11()ln 1,(0,),(,),(e)e e ef x x f '=++∞=为减区间为增区间． 由于()f x 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,e)-∞-．11． 8【解析】设99根相同的圆钢捆扎成的尽可能大的1个正六边形垛的边长为n 根，则这个正六边形垛的层数是21n -，每一层的根数从上往下依次为：12(2)(1)(2)21n n n n n n n n n n n n ++⋅⋅⋅+-+-+-⋅⋅⋅++，，，，，，，，，，，则圆钢的总根数为：()222(1)2(21)33 1.2n n n n n n +--⨯+-=-+由题意2331nn -+≤99即2993n n --≤0，设函数299()3f x xx =--，则299()3f x xx =--在[)1+∞，上单调递增．因为(6)0(7)0f f <>，，所以6n =．此时剩余的圆钢根数为299(36361)8-⨯-⨯+=． 12． 54-【解析】由极化恒等式知，22AB AC AM BM ⋅=-，则2342BM AB AC -⋅=，所以()222235124NB NC MN BM ⋅=-=-=-． 13． 2【解析】设1a x y=+，19b y x =+，则10a b +=． 因为ab =()1x y +⋅()1191091016y xy x xy+=+++=≥（当且仅当19xy xy =时取“=”），所以()1016a a -≥，解得28a ≤≤，所以1x y +的最小值是2． 14．1009π6【解析】因为()π02n θ∈，，所以()(]πcos 2sin 126n n n n a θθθ==+∈，，所以等比数列{a n }的公比0q >． 若1q >，由1an 充分大，则2na>，矛盾；若01q <<，由1an 充分大，则1na<，矛盾，所以1q =，从而1naa ==，所以π12nθ=．则数列{}nθ的前2 018项之和是1009π6． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分) 解：（1）由sin cos θθ+=2(sin cos )1θθ+=即22sin 2sin cos cos 1θθθθ++=，所以sin 2θ=．因为()ππ44θ∈-，，所以()ππ222θ∈-，，所以π23θ=-，即π6θ=-． （2）由（1）知，()22π()sinsin 6f x x x =--，所以()()11π()1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦()1πcos 2cos223x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦112cos222x x ⎫=-⎪⎭()1πsin 226x =-．令πππ2π22π+262k x k --≤≤， 得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ABCB 1C 1A 1M N ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈．16．(本小题满分14分证明：（1）因为MN 与1AA 所成角的大小为90°，所以MN ⊥1AA ， 因为1MA MC =，且N 是A 1C 的中点，所以MN ⊥1A C ．又111AAAC A =，1AC ，1AA ⊂平面11A ACC ，故MN ⊥平面11A ACC ， 因为MN ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11A ACC ．（2）取AC 中点P ，连结NP ，BP ．因为N 为A 1C 中点，P 为AC 中点，所以PN //AA 1，且PN 12=AA 1． 在三棱柱111ABC A B C -中，BB 1 // AA 1，且BB 1=AA 1．又M 为BB 1中点，故BM // AA 1，且BM 12=AA 1． 所以PN // BM ，且PN =BM ，于是四边形PNMB 是平行四边形，从而MN // BP ．又MN ⊄平面ABC ，BP ⊂平面ABC ，故//MN 平面ABC ． 17．(本小题满分14分 解：（1）考虑05x <≤时，利润()()22()20.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-．令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得，17x ≤≤，从而15x ≤≤，即min1x =． （2）当05x <≤时，由（1）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+，所以当4x =时，max3.6y=（万元）．当5x >时，利润()()()99()214.729.7333y P x x x x x x =-+=--+=--+--． 因为9363x x -+=-≥（当且仅当933x x -=-即6x =时，取“=”）， 所以max3.7y=（万元）．综上，当6x =时，max3.7y=（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元． 18．(本小题满分16分) 解：（1）依题意，221314a b+=，c a =222(0)ca b c =->，解得2241ab ==，．因为0a b >>，所以21a b ==，． （2）由（1）知，椭圆C的右焦点为)0F ，椭圆C的方程为2214x y+=，①所以()()2001A B --，，，．从而直线BF的方程为：1y =． ②由①②得，)17P ，．从而直线AP 的方程为：2)y x +．令0x =，得7y =-E的坐标为(07-，． （3）设()0P x y ，（0000xy >>，），且220014x y +=，即220044xy +=．则直线AP 的方程为：00(2)2y y x x =++，令0x =，得0022y y x =+． 直线BP 的方程为：011y y x x ++=，令0y =，得01x x y =+．所以四边形ABFE 的面积S =()()00002121212x y y x ++++00000022221212x y x y y x ++++=⋅⋅++ ()2200000000004222441222x y x y x y x y x y +++++=⋅+++00000000224422x y x y x y x y +++=+++2=．19．(本小题满分16分)解：（1）因为29p =，所以()211129a S a ==+，即211540981aa -+=，解得119a=或49． （2）设等差数列123a a a ，，的公差为d ． 因为()()2*nn S a p n p =+∈∈N R ，，所以()211a a p =+，①()2122a a a p +=+，②()21233a a a a p ++=+．③ ②-①，得()()22221aa p a p =+-+，即()2122ad a a p =++， ④③-②，得()()22332a a p a p =+-+，即()3232a d a a p =++， ⑤⑤-④，得()()32231222a ad a a p a a p ⎡⎤-=++-++⎣⎦，即22d d =．若0d =，则230a a ==，与0na>矛盾，故12d =． 代入④得()1111112222a a a p+=+++，于是14p =． 因为()()2*14n n S a n =+∈N ，所以()21114n n S a ++=+，所以()()221111144n n n n na S S a a +++=-=+-+， 即()()221111044n n n a a a +++--+=，整理得()()22111044n na a +--+=， 于是()()11102n n n na a a a +++--=． 因为0na >，所以1102n n aa +--=，即112n n aa +-=．因为()21114a a =+，所以114a =．所以数列{a n }是首项为14，公差为12的等差数列． 因此，*1121(1)()424nn an n -=+-=∈N ．20．(本小题满分16分) 解：（1）由()e(1)xf x a x =-+，知()exf x a'=-．若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在()-∞+∞，上单调递增；若0a >，令()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以()f x 在(ln )a -∞，上单调递减；在(ln )a +∞，上单调递增．（2）由（1）知，当0a >时，min()(ln )ln f x f a a a==-．因为()f x b≥对任意x ∈R 都成立，所以ln b a a -≤，所以2ln ab a a -≤．设2()ln t a a a =-，（0a >），由21()(2ln )(2ln 1)t a a a aa a a'=-+⋅=-+，令()0t a '=，得12e a -=，当120e a -<<时，()0t a '>，所以()t a 在()120e -，上单调递增；当12e a ->时，()0t a '<，所以()t a 在()12e-∞，+上单调递减，所以()t a 在12e a -=处取最大值，且最大值为12e． 所以21ln 2eab a a -≤≤，当且仅当12e a -=，121e 2b -=时，ab 取得最大值为12e． （3）设()()()F x f x g x =-，即()e e 2x F x x ax a =--- 题设等价于函数()F x 有零点时的a 的取值范围．① 当0a ≥时，由(1)30F a =-≤，1(1)e e 0F a --=++>，所以()F x 有零点． ② 当e 02a -<≤时，若x ≤，由e 20a +≥，得()e (e 2)0x F x a x a =-+->；若0x >，由（1）知，()(21)0F x a x =-+>，所以()F x 无零点．③ 当e 2a <-时，(0)10F a =->， 又存在010e 2a xa-=<+，0()1(e 2)0F x a x a <-+-=，所以()F x 有零点．综上，a 的取值范围是e 2a <-或0a ≥．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分． C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ． 因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ，所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分) 21B.【解】设1-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a cb d A，因为12 -1 1 02 1 0 1-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a cb d AA，所以2a b 1,2c d 0,2a b 0,2c d 1,-=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩解之得1a 41b 21c 41d 2⎧=⎪⎪=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩ ，所以A －1＝11 4411- 22⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．所以12131111 16164444()111131- - 222288-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：直线l 的普通方程为3y =+，圆C 的参数方程化为普通方程为22()(2)4x a y -+-=．因为直线l 与圆C 相切，所以2=．解得a =a =0a >，所以a = D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：由柯西不等式，得()()2222111y x z x y z y z x ++++≥，即()()()2222111111y x z x y zx y z y z x ++++++≥，所以222111y x z x y zy z x ++++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）以{} AB AD AP ，，所示的空间直角坐标系A所以BC AD =．依题意，()110C ，，，()001P ，，，()100B ，，，()010D ，，， 所以()111PC =-，，，()101PB =-，，，()11PD =-0，，．设平面PBD 的一个法向量为n ()x y z =，，，则00PB PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，．取1z =得，n ()111=，，．所以1 cos 3PC PC PC ⋅〈〉===⋅，n n n ． 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13． （2）依题意，()10C λ，，，101PB，，，11PCλ，，，011PD，，．设平面PBC 的一个法向量为1n ()111x y z ，，=，则1100PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即1111100x z x y z λ-=⎧⎨+-=⎩，，取11z =得，()1101=，，n ． 设平面PCD 的一个法向量为2n()222x y z ，，=，则2200PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即2222200x y z y z λ+-=⎧⎨-=⎩，，取21z =得，2n ()111λ=-，，．所以121212cos⋅〈〉==⨯，n n n n n n 1cos120 2==，解得1λ=或5λ=，因为01λ<≤，所以1λ=．23．(本小题满分10分) 解：（1）依题意， ()()31343128P ξ==⨯⨯=． （2）依题意，()()()11111CC2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅（23k =，，…1m +，）． 设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦．而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦+++-⎡⎤⎣⎦≥ （＊） ()()()32221220k m k m k m m m ⇔-++----≤()()2220k m k k m m ⇔--+--≤．（＃）因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---< 2704m m ⇔--<（显然在*1m m >∈N ，时恒成立），所以2220kk m m -+-->．又因为k m ≤，所以（＃）恒成立，从而（＊）成立．所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)，所以()f k 的最大值为()()()()21112211CC2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221CC2m m m mm+-++⋅．。
(完整版)2018年南通市数学学科基地密卷(1)
B（第7题）2018年高考模拟试卷（1）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合{}11A x x =-<<，{}102B =-，，，则A B = ▲ ．2． 复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的实部是 ▲ ． 3． 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．4． 某地区连续5天的最低气温（单位：°C ）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为 ▲ ．5． 根据如图所示的伪代码，当输出y 的值为12时，则输入的x 的值为 ▲ ．6． 在平面直角坐标系xOy 中，圆224440x y x y +-++=被直线50x y --=所截得的弦长为 ▲ ．7． 如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为 ▲ ．8． 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 上一点，且2PE ED =．设三棱锥P ACE -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的体积为2V ，则12:V V = ▲ ．9． 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 是FN 的中点，则FN 的长度为 ▲ ．（第5题）( 第8题 )ABCD PE（第10题）A BCMN（第12题）10．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢 捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12．如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13．已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14．设等比数列{a n }满足：1cos n n n a a θθ==，其中π02n θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，*n ∈N ．则 数列{}n θ的前2 018项之和是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．。
高考南通市数学学科基地密卷
2018年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题第I卷（必做题，共160 分）、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1.复数z a i （a R , i是虚数单位），若z2是实数，则实数a的值为▲2.在平面直角坐标系xOy中，角的始边为射线Ox点P 1,2在其终边上，则sin的值为▲N x x 2 ，则图中阴影部分所表示的设全集U是实数集R M x x 3集合为▲.U（第3题）45名学生的高校招生体检表中视力情况进行从某校高三年级随机抽取一个班，对该班统计，其结果的频率分布直方图如右上图•若某高校A专业对视力要求不低于，则该班学生中最多有▲人能报考A专业.5 .袋中共有大小相同的4只小球，编号为1 , 2, 3, 4.现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为▲.6 .执行如图所示的算法，则输出的结果是▲.2 27.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 - y 1 k k 3的一个焦点为（.5,0）,则该双曲线的离心率为▲（第6题）8 .现用一半径为10 cm,面积为80 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗) ，则该容器的容积为▲cm3.9 .平行四边形ABCD^，已知AB= 4, AD= 3，/ BAD= 60°，点E F分别满足T T T T ur ULTAE= 2ED DF= FC,贝U AF BE 的值为▲S10.设S是等比数列｛a n｝的前n项和，若满足a4 + 3 a ii= 0,则西=▲ 色411•在平面直角坐标系xOy中，已知直线y kx被圆x2 y2 2mx 2.3my 3m2 1 0 截得的弦长是定值(与实数m无关)，则实数k的值为▲.12 .在△ ABC中, cosA 2sinBsinC , tanB tanC 2，则tan A 的值为▲.13.设F是椭圆竺+ 坐 =1( a>0,且a z2)的一焦点，长为3的线段AB的两个端点在椭a2圆上移动.则当4AF- BF取得最大值a的值是▲ .k 172 ------- x 2,x < 0 , 414.设函数f (x)4g(x)k x —，其中k 0 .若存23x , x 0,在唯一的整数x，使得f(x) g(x)，则实数k的取值范围是▲、解答题：本大题共6小题，共计90分.15. (本小题满分14分)3 在厶ABC中，A为锐角，且si nA -.5(1)若AC 2 , BC -，求AB 的长；51(2)若tan A B ，求tanC 的值.316. (本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC中，AC BC，点D在AB上，点E为AC的中点，且BC// 平面PDE(1)求证：DE//平面PBC(2)若平面PCD-平面ABC求证：平面PABL平面PCD17. (本小题满分14分h与l2间的距离是1 m, |2与|3间的距离设I, , l2, l3是同一平面内的三条平行直线,是2 □,△ ABC的三个顶点分别在|1, |2, |3.(1) 如图〔，△ ABC为等边三角形，求△ ABC勺边长；18. (本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，设P为圆0：x2 y2umr ^uurn垂线，垂足为Q点M满足PQ V2MQ .(1)求证：当点P运动时，点M始终在一个确定的椭圆上;(2)过点T 2 , t (t R)作圆0的两条切线，切点分别为代B.①求证：直线AB过定点(与t无关);(2) 如图2,A ABC为直角三角形，且B为直角顶点，求AB 4BC的最小值.20. (本小题满分16分)已知函数 f(x) e x , g(x) mx 2 .(1) 若直线y kx 1与f (x)的图象相切，求实数 k 的值； (2)设函数h(x) f (x) g(x)，试讨论函数h(x)在(0 ,)上的零点个数;(3) 设为必R ，且治X 2，求证：迪电f(x2)f(x1).AB②设直线AB 与(1)中的椭圆交于 C, D 两点，求证：W 、2 .CD19. (本小题满分16分)设等差数列 a n 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数, (1)设数列4 其前n 项和为S n ， b na n①若32 5，S s 40，求b 2的值; ②若数列 b n 为等差数列，求b n ； (2)求证：数列a n 中存在三项(按原来的顺序)成等比数列.2 x2 x-i2018年高考模拟试卷(数学u (附加题)21. 【选做题】本题包括A B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答A. ［选修4—1:几何证明选讲］（本小题满分10分）求证：AE平分DAF .B. ［选修4—2:矩阵与变换］（本小题满分10分）1 a已知矩阵M 所对应的变换T M把直线I : 2x y 3变换为自身，求实数b 3C. ［选修4 —4:坐标系与参数方程］（本小题满分10分）的右焦点，求实数m的值.D. ［选修4 —5:不等式选讲］（本小题满分10分）1 1 1设a , a2, a3均为正数，且1，求证:4 a2 a3【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.如图，四边形ABCD是圆的内接四边形, BC BD , BA、CD的延长线交于点E .已知直线I: x tcos ytsi n（t为参数）恒经过椭圆C：x 5cosy 3si n（为参数）22. (本小题满分10分)k k! * 设随机变量E的分布列为P( k) ，其中k N , k 6,c(1)求c的值；(2)求E的数学期望日E ).("求a1, a2, a3 的值;(2)猜想数列a n的通项公式，并证明.【答案】【解析】2a 1 2ai是实数，则【答案】2.5 5【解析】根据三角函数定义，sin2.(1)2 22c为常数.23. (本小题满分10分)已知数列a n满足a n C C n 12C2222C3323c n nV2018年高考模拟试卷(7)参考答案填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70 分.3.【答案】2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为 （C J M ）I N ，即为2,34.【答案】18【解析】校 A 专业对视力要求不低于的学生数为 45 1 0.75 0.25 0.2 18 .5 .【答案】23【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的 有4种，则所求概率为 2 .3 6 .【答案】2【解析】根据循环，依次得到 n,M,S 的值分别为3, 3, iog 24 ;3 3 545 12 4 5 124,5,10924 log 2 5，…，11, 12, log 24 |如2扌 L log 212, 因为S log 24 log 2 4- L 晦斧 2> 2，所以最后的输出结果为 2. 7 .【答案】-52【解析】由题意，2k 3 5，即k 4，所以双曲线为 手 y 2 1，所以离心率为 £ . 8 .【答案】128 n所以h 6，容积为3 n 2h 暫n 8 6 128 n.3 3 9. 【答案】 610.【答案】76【解析】由a 4 + 3 an= 0,知q 71，所以鱼 1 q"7 . 3 気1 q 14 611.【答案】-i3【解析】由x 2 y 2 2mx 2 3my 3m 21 0得,【解析】设圆锥底面半径为 r ，高为h ，由题意,n 10 80 n ,得 r 8 .LUT 因为AEULT ULT AFBE2uun uur -AD , AF3UUL 1 uurAD 1AB2UUL UUL uurAD DF AD1 ULT 1AB ； UJT BE UJ BAcur AE 2 uur -AD 3ULTAB , 那么 2 LILT uuu 2 UUL 21 UIT 22 uu uur2AD AB 2AD AB AB AD 6 8 46 .3323m 2234km J3m则圆心 m , . 3m 到直线y kx 的距离为 ------- =—，设截得的半弦长为 p ,所以吨Z C 詈需乎子II °所以cos AII sin 2 A13 •【答案】 【分析】当a >2时，设椭圆的另外一个焦点为 F ',联结AF , BF .贝V AF + BF > | AB = 3.故 AF + BF = 4a — (AF'+ BF ) w 4 a — 3. AF- BF 2 4 a — 3 2 4 a — 3所以AF BF w (—2 )2 w (— )2.当且仅当线段 AB 过点F ',且AF = BF = 厂时,上式等号成立，此时， ABL x 轴，且AB 过点F '.于是 2 2 4 a — 3 2 3 2 2 2 2 34c = | FF | = (—2 )— (2)= 4a — 6a ,即 c = a — 2 a . 3贝U a 2 = 4+ (a 2—2a ),14. 【答案】17,6 3类似地，当O v a v 2时，可得a — . 3. 【分析】当k 16时，f(x), g(x)的图象相切; k 6时，f (x), g(x)的图象均过点 2 ,4 , 4, 16，故唯一的正整数 x 3，同时匸」7 w k ，从而17w k <6 . 4 3、解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分14分)解：("因为sinA 5, A 0，n,则 p 2 m 2 1k灵m 21 k2 所以3k 1 0 , k3 3 .12.【答案】1【解析】由cosA 2sin BsinC 得，3k 1 m 2 k 212 (与实数m 无关)，1 ksinBsinC 2sin BsinC ，所以 tanBtanCcos B C 2sin Bsin C ,即 cosB cosC2解得c 8，所以AB 的长为8 •5 516. （本小题满分14分）证明：（1）因为BC//平面PDE BC 平面 ABC 平面PDE 平面AB （=DE ,所以BC// DE……3分因为DE 平面PBC BC 平面PBC 所以DE//平面PBC ……6分 （2）由（1）知，BC// DE在厶ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点. 因为AC BC ，所以AB CD ,……9分 因为平面 PCD_平面 ABC平面PCD I 平面 ABC CD , AB 平面ABC 贝U AB 平面PCD因为AB 平面PAB 所以平面PABL 平面PCD17. （本小题满分14分.2 2 2 /心ABC 中，由余弦定理cosA JCb 汙得，善22 c 22 2c(2)由(1)知，ta nAcos A3- 43-5- 4-5所以 tanB tan A A B在厶ABC 中，ABC所以 tan C tan A B3 14 3 13 ……11分 1 3 1 4 39 •79 ~3 •.…14分12分 14分 tan A tan A B 1 ta nAta n A Bn ,3 13 tan A tan B4 9 tan A tan B 13 134 ~955 ，12分列表:1 cos(2)如图2,过点B 作12的垂线，分别交 I 1 ,13于点D,E.设 DBA ，贝U EBC n2 贝U AB —,cos BC 2 sin 是AB4BC 1 cos 8 sin求导,1 cos8 sin sin 2 cos8cos ・2 sin38cossin cos sin 3图2 tan 31sin cos10分tan2 .记 tan解: (1)如图1,过点B 作12的垂线，分别交h , 13，于点D, E,13所以边长AB 2.... 2分DA8分55 ，12分时，f()取最小值，此时sin2、5cos答：("边长AB为今(2) AB 4BC长度的最小值为5仞……14分18. (本小题满分16分)_LULffl UULT —解：(1)设点M (x , y)，由.2MQ PQ，得P x ,、.2y .因为P为圆O：x2 y22上的动点，2 2所以x22y 2，即22 y2 1 ,2所以当点P运动时，点M始终在定椭圆22 y2 1 上. ……4分(2)①设Ag , y1), B(X2 , y2),当％ 0时，直线AT的方程为：y % 上1 x为，即%y皆y；,y1因为xj y12 2，所以X1X %y 2 ,当％0时，直线AT的方程为：X2,综上，直线AT的方程为：NX 2 .同理，直线BT的方程为: X2X y?y2. 又点T 2, t (t R)在直线AT, BT上,4 0 ,则2x1 ty1 2，①2x2 ty2 由①②知，直线AB的方程为：2x 所以直线AB过定点 1 ,0 . ②设C(X3 , y a), D(X4 , y4),贝y O到AB的距离d2AB 4 t2 '2x ty 2由『2 J得(t 8)y4ty 2，②ty 2 ....... 9分2 r2 d2 2. £ 4 .……11 分所以AB < .2 .……16分CD19. （本小题满分16分） 解：设等差数列a n 的公差为d .(1)①由 a 25 , S 5 40得， a 1 d 5, 5a 15 4 2 d 40,..... 2分解得a 12, d 3 .所以b 21 色 24分a 2a 2 5②因为数列b n 为等差数列，所以2b 2b 14，即2 蛍1S 1 1 S 3 1 .a 2 a 1 a a2所以2a 1 d 13 a 1 d1 ，解得 a 1d ( d 0已舍）.6分a 1da 1 2dn n 1此时， b n S n1 a 1丄- 1 n18分a nna t2(2) 因为a a ! 1 aa 1 1 d 是数列 a n的第a 1 1项，因为无穷数列 a n 的各项均为互不相同的正整数，所以 a 1 N * , d Na na a1 (d 2) 1a 12a 122,a 1aa !(d 2) 1印印(d 2)d ,~2t 813分4 2t (t2TXi ： < 2 ^)2t 2 2 < 2 (t 2 4)2 t 2 46) > 0 (显然)的第a 1（d 2） 1项, 2) 11 d 是 a 1 (d (t 24)t 24CD 4 t 8 2 .?~42t 2 80 ,又 a 1 a 1 a 1 (d 2) 1,所以数列a n 中存在三项a i , a ai ! , a ai (d 2)1按原来的顺序)20. (本小题满分16分)解：(1)设直线y kx 1与f(x)的图象的切点为(x 0 ,e“).所以 e x0(x 0 1) 1 0 .令 (x) e x (x 1) 1 , (x) e x x .令(x)所以min (x)(0) 0,所以x 0 0 ,所以k 1 .x(2) h(x) e x mx 2 (x 0).令 h(x) 0 得 与 m .xx “e (x 2)32当x 2时，t(x)有最小值t(2) e 4 m .因为t(x)在(0 ,)上的图象是连续不断的,2当m ep 时，t(x) 0在(0 ,)上恒成立，所以h(x)在(0 ,)无零点; 当m 牙时，Mx) 0所以h(x)在(0 ,)有且仅有一个零点;2 彳当m 亍时，此时t ming t(2) 0，因为t m所以t(x)在(0,2)上有且仅有一个零点.3m.又因为 t(3m)豆三 m4(e 3m 9m3), 9m9m成等比数列. …16分因为f (x)e x ，所以e x0 k xe 0kx 01x令 t(x)禺 m (x 0) , t (x)丄 丄m 2e mm m 2 e m —m令u(x) e x 则u (x) e x 1 x , x (2,),x2u (x) e x 2x，所以u (x) e x所以u (x)在(2,所以u (x)在(2,所以u（x）在（2,所以所以所以3me）上单调递增，所以u （x） u）单调递增，所以u（x） u（2））单调递增，所以u（x） u（2）3x3在（2,）恒成立,小39m ,h(x)在(0 ,综上所述，m (3)因为f(x) 即t(3m) 0，所以t(x)在(2,）上有两个零点.2er时,2e T时，e x在所以f(X2) f(x),所以f(X i) f(X2)X2h(x)在(0，h(x)在(0，h(x)在(0 ,X i仏)X2）无零点;）有且仅有e2e2e2）上有且仅有一个零点.个零点;）有两个零点.上单调增，且f (X i)XX2X.eX i ,e xx2x i$ Je eX.ee X10分2(X2令(X)X i)因为x所以（x）X2 Xi eX2 X eXe所以(0)i (x2(X20), (x) 0,所以0 ,所以（）式成立，所以【选做题】本题包括AX i) X2Xli().2e x(e x2 (e x i )22(e x i ):(x)在(0 ,)上单调递增,(X)f(X i) f(X2) f(X2) f(X i)X2i6分X数学H（附加题）B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作演算步骤.C.［选修4—1几何证明选讲］(本小题满分10分)证明：因为四边形ABCD是圆的内接四边形，所以EAD BCD .因为BC BD，所以BCD BDC . 又BAC EAF ,BAC BDC ,所以EAD EAF，即AE平分DAF .D.［选修4—2:矩阵与变换］(本小题满分10分)解：设P(x , y)是I : 2x y 3上任意一点，1 a在矩阵M 对应的变换得到点为(x, y ),b 3由1 a x x x，得y y x ay , bx 3y , ..... 5分b 3y代入直线I:2x y 3，得( 2 b)x (2a 3)y 3, ……7分2所以b 2,解得a 1, b 4. ……10分2a 3 1 :C.［选修4 —4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)解：将直线I化为普通方程，得y tan (x m)3分2 2将椭圆C化为普通方程，得x y 1.……6分25 9因为a 5,b 3,c 4，则右焦点的坐标为(4,0) .8分而直线l经过点(m,0),所以m 4.8分……10分（当且仅当a i a2 a3 3时等号成立）8分D.［选修4 —5:不等式选讲］(本小题满分10分)证明：因为a1, a2, a3均为正数，且丄丄丄1 ,a 1 a2a3J所以a1 a2 a3 (a a? a3)丄1—》3 a1a2a3 3 3丄19 ,a*i a2 83 a i a2 a3（当且仅当a i a 2 a 33时等号成立）8分3447 719 .(2)猜想:a n =2n因为k k!(k 1) 1 k! (k 1) k! k! (k1)! k!,又由概率分布的性质可知k5P( 15k) 1 ,55即 k k! 1 k k! 1 (k 1)!k! 1 6! 1!719 1k1 c c k 1ck 1 cc所以 c719.由（ 1)知 P( k) k k!)719,k N *,k6 ,于是 P(2)2 2! 4,P(1) 1 ，亠 5 P( 3) 3 3! 719719 719719P(4) 4 4!96 ,P(5)5 5! 600719719719719 .解：（1）18 预，证明：①当n 1 , 2, 3时，由上知结论成立;②假设 k 时结论成立, 则有 a kC k 1 Ck TC k 21 时，a k1C 0 1c k 3 C k 1 1 2C k C k 1 2 C k+1 3k+1C k+1 k+1~ck+1 ~2所以a 1 a 2 a 3》9 .10分【必做题】第22题、第 23题，每题 10分，共计20分. 22. （本小题满分10分） 所以1 18 96 7195^ 10分23. （本小题满分10分）解：(1) ai= 2 , a 2=4 ,a 3= 8 .由c k c n 1 c：得C0C1：C k+k 1 C： 12C：-1C k+k2C k 2 C： 222C： 3 c k 3 K3K2a： i2k 又c k+1a k 所以a k C01 ~2~1 J ^(C k2(C：由①②得,C1： 2c1：11)!k!(k 1)!2k2k2k1(C0k+1C k+1 k+12C23亍C： 3C k 322C k 212(2 k2n1)!(k 1)(k 1)k!(k 1)!C1：22C： 32C： k矿C： k刃C：1k-1FT~2：+1 C k+1 k+12 ：+1 ，k+1C：+1 ：+1、厂)k k+1C k+1 k + C k+1 k k21)!(2k 2)(k 1)!(k 1)!c：1k-12c：C：+1k2C k+1—C k+1 k 1：+1C：+1 ： 1o~ ),21时结论也成立.10分。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(6)
2018年高考模拟试卷〔6〕南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷〔必做题，共160分〕一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分． 1．已知集合{|0}U x x =>，={|2}A x x >，则UA = ▲ ．2．已知复数z ＝21－i－i 3，其中i 虚数单位，则z 的模为 ▲ ．3．某高级中学高一，高二，高三在校生数分别为1200，1180，1100．为了了解学生视力情况，现用分层抽样的方法抽假设干名学生测量视力，假设高二抽到118名学生测视力，则全校共抽到测视力的人数为 ▲ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，假设抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的 焦点到准线的距离为 ▲ ．5．执行如下图的流程图，则输出S 的值为 ▲ ．6．已知一球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切．假设该球的体积为4π3，则该三棱柱的体积是 ▲ ．7．将函数()π()sin 6f x x ω=-〔0ω>〕的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ▲ ．8．两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:810C x y x m ++-+=与直线10x ++=相交于A ，B 两点．假设△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为 ▲ ．10．设正△ABC 的边长为1，t 为任意的实数．则|AB →＋tAC →|的最小值为 ▲ ．11．假设函数()1()log 1a x f x =+-〔0a >且1a ≠〕没有最小值，则a 的取值范围是 ▲ ．12．数列{a n }满足a 1＝14，a 2＝15，且a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1对任何正整数n 成立，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 10的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，假设函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题总分值14分)已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b ．〔1〕假设3m =，1n =-，且()λ⊥+a a b ，求实数λ的值； 〔2〕假设5+=a b ，求⋅a b 的最大值．16．(本小题总分值14分)在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB AC =，平面BB 1C 1C ⊥底面ABCD ，点M 、F 分别是线段1AA 、BC 的中点． 〔1〕求证：AF ⊥DD 1； 〔2〕求证：AD //平面1MBC ． BA〔第16题〕B 1A 1C 1MCFDD 117．(本小题总分值16分)如图，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．假设椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕过椭圆右焦点F 的直线〔不经过P 点〕与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．18．〔本小题总分值16分〕某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P与入口的距离为米〔其中a 为正常数〕，过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12tan 5CAB ∠=． 〔1〕设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； 〔2〕试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．A OB OC OP O〔17题图〕F E19．〔本小题总分值16分〕已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；(2)假设函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 223)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k的取值范围．20．(本小题总分值16分)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q (q ≠1)．令A ＝{k |a k ＝b k ，k ∈N*}． (1)假设A ＝{1，2}，①当a n ＝n ，求数列{b n }的通项公式；②设a 1＞0，q ＞0，试比较a n 与b n (n ≥3)的大小？并证明你的结论． (2)问集合A 中最多有多少个元素？并证明你的结论．2018年高考模拟试卷〔6〕数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．[选修4-1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕如图，圆O 内接四边形ABCD ，直线P A 与圆O 相切于点A ，与CD 的延长线交于点P ，AD ·BC ＝DP ·AB ，求证：AD ＝BC ．B ．[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕二阶矩阵M 对应的变换将△ABC 变换成△A 1B 1C 1，其中△ABC 三个顶点坐标分别为A (1，－1)、B (－2，1)，C (2，2)，△A 1B 1C 1中与A 、B 对应的两个坐标分别为 A 1(－1，－1)、B 1(0，－2)．求C 1点的坐标．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕假设两条曲线的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π3)＝1与ρ＝2sin(θ＋π3)，它们相交于A 、B两点，求线段AB 的长．D ．[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕求证：对任意x ，y ∈R,不等式x 2＋xy ＋y 2≥3(x ＋y －1)总成立．〔第21题〔A 〕【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．〔本小题总分值10分〕如图，在三棱锥A BCD -中，已知,ABD BCD ∆∆都是边长为2的等边三角形，E 为BD 中点，且AE ⊥平面BCD ，F 为线段AB 上一动点，记BF BAλ=．〔1〕当13λ=时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；〔2〕当CF 与平面ACDλ的值．23．〔本小题总分值10分〕设函数f n (x )＝1+x +12!x 2＋…＋1n !x n ，n ∈N*．(1)求证：当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞f n (x )；(2)假设x ＞0，且e x ＝f n (x )+1(n +1)!x n +1e y，求证：0＜y ＜x ．2018年高考模拟试卷〔6〕参考答案数学Ⅰ1．(]02，2． 5 解：z ＝21－i－i 3＝1＋i ＋i ＝1＋2i ，所以| z |＝5．3．348 解：因为高二学生总数1180人，抽到118人，故抽了10%，所以高三学生抽到的人数为120，高一抽到的人数为110，共348人． 4．6 解：由题意抛物线定义可知，142p+=，所以6p =，即焦点到准线的距离为6． 5．4860 解：由题设可知，S ＝100+99+98+…+20＝4860．6．6 3 解：由体积得球半径R ＝1，三棱柱的高为2，底面边长为23．V ＝34(23)2×2＝63．7． 12 解：将()f x 的图象向左平移π3个单位得到()ππsin 36y x ωω=+-，因为图象关于直线πx =对称，所以()4ππsin 136ω-=±，所以4ππππ362k ω-=+，即3142k ω=+，k ∈Z ，所以ω的最小值为12．8．23144 解：设两人到达A 地的时间分别是7点边m 分和7点过n 分(0≤m 、n ≤60)． 用数对(m ，n )表示两人分别到达A 地的时间．则在直角坐标系中， 点(m ，n )的存在域是一个边长为60的正方形，其面积为3600． 两人能够在当天一同去A 地等价于|m －n |≤5．此时，相应点的存在 域是正方形中位于两直线m －n ＝±5之间的部分区域(如图)， 其面积为3600－552＝575．故所求概率为5753600＝23144．9．11- 解：圆C的半径r =ABC 为等边三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ==11m =-．10．3 解：令a ＝AB →，b ＝AC →．则|a |＝|b |＝1，a 、b 的夹角为60°．于是，|AB →＋tAC →|2＝|a＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2 t a ·b ＝t 2＋t +1＝(t ＋12)2＋34≥34．所以|AB →＋tAC →|≥32．11．01a <<或4a ≥ 解：令11x t a x =+-，则log a y t =．假设01a <<，因为t 没有最大值，所以符合；假设1a >，因为111x t a x =+-≥，要使原函数没有最小值，必须10≤，解得4a ≥．12．85 解法一：由a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3及a 1＝14，a 2＝15，得a 3＝16，再由a 1a 2+a 2a 3+ a 3a 4＝3a 1a 4，a 4＝17．进一步得a 5＝18，a 6＝19， a 7＝110，a 8＝111，a 9＝112，a 10＝113，故1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝4+5+6+7+8+9+10+11+12+13＝85．解法二：由a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1＝na 1 a n +1 ①，a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1+ a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2 ②，②－①得，a n +1a n +2＝(n +1)a 1 a n +2－na 1 a n +1⇒1a 1＝n +1a n +1－na n +2 ＝n a n －n －1a n +1⇒2a n +1＝1a n ＋1a n +2，(n ≥2)，则a 1a 2+a 2a 3＝2a 1a 3⇒2a 2＝1a 1＋1a 3，所以数列{1a n }成等差数列，公差为1，即1a n ＝n +3，a n ＝1n +3．代入可得1a 1＋1a 2＋…＋1a 10＝85．13． 2(,)4e -∞- 解：由对称性，只需当0x >时，2x e mx =-有两解即可.即2x e m x =-在0x >时有两解.设2()xe g x x =，由3(2)()0x e x g x x -'=>得()g x 在〔0,2〕上递减，在(2,)+∞上递增. 由图可知24e m ->，所以24e m <-．14．λ≤ 解：由条件，sin sin sin sin A B A B λ+=-．因为2a b c +=，所以sin sin 2sin A B C +=， 所以sin sin 12sin A B C +=，所以22()sin sin sin sin 2sin sin 2sin 2sin sin a b A B A B c A B C ab C ab C λ+++=-⨯=-=-． 而2222()2323cos 1222a b ab c c ab c C ab ab ab+---===-，所以22(1cos )3c C ab =+．由2a b c +=，得1cos 2C ≥，即π03C <≤，所以41cos 3sin C C λ=-+⋅≤．二、解答题：15．解：〔1〕当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，所以(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ+=+-=+-a b ， 假设(λ⊥+)a a b ，则(0λ⋅+)=a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． …… 7分 〔2〕因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=， 所以211122()216644mn m n ⋅⨯+++=+⨯=≤a b =，故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． …… 14分 16．证明：〔1〕∵AB =AC ，点F 是线段BC 的中点，∴AF ⊥BC ．…………………………………………2分 又∵平面11BB C C ⊥底面ABC ，AF ⊂平面ABC ， 平面11BB C C ⋂底面ABC BC =，∴AF ⊥平面11BB C C ． ……………………………………………………………………5分 又CC 1⊂平面11BB C C ，∴AF ⊥CC 1，又CC 1∥DD 1，∴AF ⊥DD 1．………………………………………………………………7分 〔2〕连结B 1C 与BC 1交于点E ，连结EM ，FE ．在斜三棱柱111ABC A B C -中，四边形BCC 1B 1是平行四边形， ∴点E 为B 1C 的中点． ∵点F 是BC 的中点， ∴FE //B 1B ，FE 12=B 1B ．…………………………10分 又∵点M 是平行四边形BCC 1B 1边AA 1的中点， ∴AM //B 1B ，AM 12=B 1B ． ∴AM // FE ，AM =FE ．∴四边形AFEM 是平行四边形．∴EM // AF ．…………………………………………12分 又EM ⊂平面MBC 1，AF ⊄平面MBC 1，∴AF //平面MBC 1．……………………………………………………………………14分 17．解：〔1〕设右焦点)0,(c F ，由x PF ⊥轴，设),(t c P 代入椭圆方程，即得),(2ab c P ，BAE 〔第15〔2〕题图〕B 1A 1C 1M C FDD所以232==a b PF ，联立2222321e 2b a c a b c a ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩， …………………3分解得1,3,2===c b a ，所以椭圆方程为13422=+y x ，右准线l 的方程为42==ca x . ………………… 6分〔2〕设)1)(,(000≠x y x A ，则直线AB 的方程为)1(100--=x x y y ，即100-=x y k ， 联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=134)1(12200y x x x y y ， 消去y ， 即得0)1(1248]4)1(3[20202022020=--+-+-x y x y x y x (※)， ………………… 9分 又0x 为方程(※)的一根，所以另一根为()0202024138x y x y x B -+-=，又点)1)(,(000≠x y x A 在椭圆上，所以满足134220=+y x ，代入另一根即得528500--=x x x B ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---523,52850000x y x x B .由〔1〕知，点⎪⎭⎫⎝⎛231，P 则直线PA 的斜率()1232001--=x y k ，直线PB 的斜率)1(25220002-+-=x x y k ， (12)分①当APB ∠的平分线为PF 时，PA ，PB 的斜率1k ，2k 满足021=+k k ， 所以0)1(2522)1(2320000021=-+-+--=+x x y x y k k ，即1200-=x y ，所以21=k ，故直线AB 的方程为 x －2y －1＝0． …………… 14分18．〔方法一〕〔1〕由12tan 5CAB ∠=得12sin CAB =∠，5cos CAB =∠且sin sin()sin(45)FAP CAB PAE CAB ∠=∠-∠=∠-︒=由题可知AEFAEPAFPS SS=+所以111sin sin sin 222AE AF CABAE AP PAE AP AF FAP ∠=∠+∠得1121121322xy x y ⋅=⋅⋅⋅ 即1232113213xy ax ay =+ 所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 (2) 设三条路围成地皮购价为y 元，地皮购价为k 元/平方米，则AEFy k S =⋅(k 为常数)，所以要使y 最小，只要使AEFS 最小由题可知2111266136sin 221313134747AEFax ax S AE AF CAB xy xy x x a x a=⋅⋅∠=⋅==⋅=-- 定义域为7(,)4a+∞ 令470t x a =-> 则2222763144934941488AEFt a a a t at a a a St a t t t +⎛⎫ ⎪⎛⎫++⎝⎭==⋅=++ ⎪⎝⎭23211482a a a ⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当7t a =即72ax =时取等号 所以，当72ax =时，AEFS 最小，所以y 最小答：当点E 距离点A72a米远时，三条路围成地皮购价最低……………14分 〔方法二〕(1) 由12tan 5CAB ∠=得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠ sin sin()sin(45)FAP FAE PAE FAE ∠=∠-∠=∠-︒设FPA θ∠=APF 中，由正弦定理sin sin sin AF PF APAPF FAP AFE==∠∠∠所以26,sin sin yPF AFE θ=∠=同理可得122,sin xy PE FE θ= 由PF PE FE +=即12262sin sin y xy θθ+=整理得1347axy x a=-，由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 〔方法三〕〔1〕以AB 所在直线为x 轴，点A 为坐标原点，建立如图直角坐标系，则(),0E x ，()3,3P a a ，由12tan 5CAB ∠=，得12sin 13CAB =∠，5cos 13CAB =∠所以512,1313F y y ⎛⎫⎪⎝⎭因为PE 与PF 共线所以()()51233331313y a a y a x a ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1347axy x a=-由013047x axy x a >⎧⎪⎨=>⎪-⎩得定义域为7(,)4a +∞ ……………………6分 19．解：)0(22)(2>+-=-+='x xax x a x x x f(1)当3=a 时,xx x x x x x f )1)(2(23)(2--=+-=', 令100)(<<⇒>'x x f 或2>x ,令210)(<<⇒<'x x f ,所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(. (2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=>⇒≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>==+>-=∆∴1221121212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a )21ln 2()21ln 2()()(2222121121ax x x ax x x x f x f -+--+=- ))((2121)ln (ln 22121222121x x x x x x x x -+--+-= 21211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 4121211≤<--+=x x x x设)10(2ln 222ln 4)(22≤<--+=x x xx x F ，所以0)2(4444)(3223423<--=--=--='xx x x x x x x x F 所以)(x F 在]1,0(上递减，所以2ln 223)1()(-=≥F x F即2ln 223)()(21-≥-x f x f . (3)由题意知：只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 21ln )(2--+=, 所以a xx x g -+='1)(，因为]2,1[∈x ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+25,21x x ，而)2,0(∈a ，所以0)(>'x g ，所以)(x g 在]2,1[∈x 递增，当2=x 时，a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立，令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ，则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立，aa k k a a h 1)2(21)(---=---='，又0)2(=h 当02≤--k 时，0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时，+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ，所以2-≥k ； 当02>--k 即2-<k 时，ka a h --=⇒='210)(①2210<--<k即25-<k 时，)(a h 在)2,21(k --上递增， 存在ka --=21，使得0)2()(=<h a h ，不合； ②221≥--k 即225-<≤-k 时，0)(<'a h ，)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时，+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ，所以225-<≤-k 综上, 实数k 的取值范围为),25[+∞-.20．解：(1) 由A ＝{1,2}，得a 1＝b 1，a 2＝b 2．设数列{a n }公差为d ，数列{b n }公比为我q ，由a 2＝b 2⇒ a 1+ d ＝a 1q ，故d ＝a 1(q －1)①因为a n ＝n ，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2＝2，所以数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2，所以，b n ＝2n -1．……2分② 答：a n ＜b n (n ＝1，2，…)．证明如下： 因为a 1＞0，q ＞0，q ≠1，所以b n －a n ＝a 1q n -1－［(a 1＋(n －1) a 1(q －1)］＝a 1( q n -1－1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)(q n -2+q n -1+…+1)－a 1(q －1) (n －1)＝a 1(q －1)［q n -2+q n -3+…+1－(n －1)］ ＝a 1(q －1)［(q n -2－1)+( q n -3－1)＋…＋(q －1)］＝a 1(q －1)2［(q n -3＋q n -4＋…+1)＋(q n -4＋q n -5＋…＋1)＋…＋(q ＋1)＋1］＞0．所以a n ＜b n (n ＝1，2，…)． ……………………………… 6分 (2)不妨设a n ＝a +bn (b ≠0)，b n ＝pq n ，由a n ＝b n ⇔ a +bn ＝pq n ⇒a p ＋bp n ＝q n ．令s ＝a p ，t ＝bp，(t ≠0)，原问题转化为关于n 的方程q n －tn －s ＝0 ① ……………………………… 8分 最多有多少个解．下面我们证明：当q ＞0时，方程①最多有2个解；q ＜0时，方程②最多有3个解． 当q ＞0时，考虑函数f (x )＝q x －tx －s ，则f ′(x )＝q x ln q －t如果t ln q ＜0，则f (x )为单调函数，故方程①最多只有一个解；如果t ln q ＞0，且不妨设由f ′(x )＝0得f ′(x )有唯一零点x 0＝log q tln q ，于是当x ＞x 0时，f ′(x )恒大于0或恒小于0，当x ＜x 0时，f ′(x )恒小于0或恒大于0， 这样f (x )在区间(0，x 0)与(x 0，＋∞)上是单调函数，故方程①最多有2个解． …………………… 10分 当q ＜0时，如果t ＞0．如果n 为奇数，则方程①变为 |q |n +tn +s ＝0，显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①． 如果n 为偶数，则方程①变为|q |n －tn －s ＝0．由q ＞0的情形，上式最多有2个解，即满足①的偶数最多有2个． 这样，最多有3个正数满足方程①．对于t ＜0，同理可以证明，方程①最多有3个解．综上所述，集合A 中的元素个数最多有3个． ……………………………… 12分 再由当a n ＝6n －8，，b n ＝(－2)n ，则a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 4＝b 4．A ＝{1，2，4}．由此，可知集合A 中的元素个数最多有3个． ………………… 16分数学Ⅱ〔附加题〕21A ．证明：连AC ，在△ABC 与△ADP 中， 因为A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠ADP ＝∠ABC ，又因为AD ·BC ＝DP ·AB ，即 AD DP ＝ABBC，所以 △ABC ∽△ADP ， 所以 ∠BAC ＝∠DAP ．因为 直线P A 与圆O 相切，所以 ∠DAP ＝∠ACD ， 所以 ∠BAC ＝∠ACD ，所以，A B ∥CD ，所以圆内接四边形ABCD 为等腰梯形，所以AD ＝BC ．21B ．解：设M =a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则有a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以11a b c d -=-⎧⎨-=-⎩，，且2022a b c d -+=⎧⎨-+=-⎩，．解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，所以M =12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤614，即C 点坐标为(6,14)．21C ．解：由ρsin(θ＋π3)＝1得，3x ＋y －2＝0，由ρ＝2sin(θ＋π3) 得，x 2+y 2－3x －y ＝0，直线3x ＋y －2＝0过圆x 2+y 2－3x －y ＝0的圆心(32，12)， 所以线段AB 的长为圆ρ＝2sin(θ＋π3)的直径长，即AB ＝2．21D ．法一：左－右=x 2 ＋〔y －3) x ＋y 2 －3y ＋3∵Δ=〔y －3)2－4〔y 2 －3y ＋3〕=－3 y 2＋6 y －3 ≤ 0 ∴左－右≥0 得证。
2018年高考南通市数学学科基地密卷(9)
2018年高考模拟试卷（9）南通市数学学科基地命题第I卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1 .设集合A = {1 , x }, B = {2 , 3, 4}，若A A B ={4}，则x 的值为▲.2. 若复数Z1= 2+i, z1 -z2（） z2 = 5，则z2= ▲ .3. 对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，样本容量为200,右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25, 30）的为一等品，在区间[20 , 25）和[30, 35）的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲4. 执行如图所示的流程图，会输出一列数，则这列数中的第3个数为▲.5. 为活跃气氛，某同学微信群进行了抢红包活动•某同学发了一个“长长久久”随机分配红包，总金额为9.9元，随机分配成5份，金额分别为2.53元，1.19元，3.21元,0.73元，2.33元，则身处海外的两名同学抢得的金额之和不低于5元的概率为▲.26. 函数y log2（3 2x x ）的值域为▲.7. 已知P ABC是正三棱锥，其外接球O的表面积为16 n且/ APO = / BPO = / CPO=30°则三棱锥的体积为▲.28. 已知双曲线x2— 1的左、右顶点为A、B，焦点在y轴上的椭圆以A、B为顶点，4且离心率为—，过A作斜率为k的直线I交双曲线于另一点M，交椭圆于另一点N, 2若AN UJUJTNM，贝U k的值值为▲19. 已知函数f(x) = cosx(sin x+ cosx)—,若f()22—，则cos(— 2 )的值为▲6 410 •已知a n是首项为1,公比为2的等比数列, 数列b n满足b印，且b n a i a2 La n 1 a n a n 1 L a2 a1 (n》2, n，若a m (b m 28) 2018，则m的11.定义在1,1上的函数f (x)sin x ax b(a 1)的值恒非负，贝U a b的最大值12.在厶ABC中，若35UUJUUU21uuruuurAB BC15uur uuu，贝H cosC 的值为BC CA13.在平面直角坐标系xOy 中, 2 y 1,直线l : x ay 3 0 ,过直线l上一点Q作圆O的切线，切点为uunP,N，且QPUJIT 2QN ,则正实数a的取值范围是▲3 —14.已知偶函数y f(x)满足f(x 2) f(2 2x)，且在x 2,0 时，f (x) x 1 ,若存在x-i, X2,L , x n满足0W x-i x2X n ,x-i f x2 f x? f X3 f X n 1 2017，则X n最小值二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15. (本小题满分14分)已知函数f (x) As in x A 0,0 的最小值是一2,其图象经过点M (— ,1) •3(1) 求f (x)的解析式;(2)已知(o,牙)，且 f ()8，2 524f () ，求f ( )的值.1316. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD 中，BAD 90 , AD // BC , AD 2BC , AB PA.(1) 求证：平面PAD 平面ABCD ；(2) 若E为PD的中点，求证：CE //平面PAB .A17. (本小题满分14分)有一块以点0为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离0点2百米的D点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A, B两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA, 0B，其中小路的宽度忽略不计.(1) 若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2) 若要这块圆形广场的最大面积. (结果保留根号和)在△ ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求18. (本小题满分16分)如图，点a n 1 2a n 8 , {g} , &分别为椭圆b： b； 14S n+25的左、右顶点和右焦点，过点n N的直线｛务｝(异于｛0｝轴)交椭圆C于点｛g｝, c. a. b n .(1)若AF 3，点4r, s, t与椭圆C左准线的距离为5，求椭圆C的方程;(2)已知直线(r s t)的斜率是直线r，s, t斜率的f(m x) f (x)倍.①求椭圆C的离心率;②若椭圆C的焦距为f(m x)19. (本小题满分16分)已知函数f (x) xlnx ax2.(1) 若曲线y f (x)在x 1处的切线过点A(2, 2).①求实数a的值；f (x) 1②设函数g(x) ，当s 0时，试比较g(s)与g(-)的大小;x s1(2) 若函数f (x)有两个极值点X1 , X2 ( X1 X2),求证：f(xj -.220. (本小题满分16分)设数列｛a n｝的各项均为不等的正整数，其前n项和为S n，我们称满足条件“对任意的m , n N*，均有(n m)S n m (n m)(S n S m) ” 的数列｛a n｝为“好”数列.（1 ）试分别判断数列｛a n ｝ , ｛b n ｝是否为好”数列，其中a n 2n 1, b 2n 1 ,n N * ,并给出证明；（2）已知数列｛C n ｝为好”数列.① 若C 20172018，求数列｛C n ｝的通项公式；② 若G p ，且对任意给定正整数p ，s （ s 1），有G ，C s ，C t 成等比数列,求证：t > s 2 •2018年高考模拟试卷（9）数学U （附加题）21 •【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题,并在相应的答题区域内作答 A •［选修4 — 1:几何证明选讲］（本小题满分10分）如图，AB 为O O 的直径，BD 是O O 的切线，连接 AD 交O O 于E ,若BD // CE ,2AB 交 CE 于 M ，求证：AB AE ADxxx 2v已知点A 在变换T :y作用后，再绕原点逆时针旋转 90 ,v v v得到点B •若点B 的坐标为（3,4），求点A 的坐标.B •［选修4 — 2:矩阵与变换］ （本小题满分10分）（第 21-A ）C .［选修4 —4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，圆C的方程为2acos (a 0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴x 3t 1I的参数方程为(t为参数)，若直线I y 4t 3与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围.D .［选修4 —5:不等式选讲］(本小题满分10分)3 2 1已知正数a,b,c满足2a 3b 6c 2，求的最小值.a b c【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答卷纸指定区域内作答.连接AM, AC,CM，若MAQ 90 .(1)求直线C1M与平面CA1M所成角的正弦值；(2)求平面CAM与平面AAC1C所成的锐二面角.23.(本小题满分10分)(1)求证：kC：k (n k)C：；1 ；(2)求证：1008( 1 )n C n 1 n 0 2017 n 2017 n 2017正半轴建立平面直角坐标系，设直线22.已知直三棱柱ABC A1BQ1 中，ABC为等边三角形, 延长BB1至M，使BB1B1M ,B1B(第22 题)M2018年高考模拟试卷(9)参考答案数学I一、填空题:1 .【答案】4【解析】因为AQB ={4}，所以4 € A,故x= 4.2 .【答案】2+i5【解析由z i Z2 = 5,得玄=化=2-i,所以Z1= 2+i.' 2+i3 .【答案】50【解析】三等品总数n [1 (0,05 0.0375 0.0625) 5] 200 50 .4 .【答案】30【解析】A 3, N 1,输出3；A 6, N 2，输出6；A 30, N 3，输出30；则这列数中的第3个数是30.15 .【答案】丄5【解析】两名同学抢红包的事件如下：(2.53, 1.19) (2.53, 3.21 ) (2.53, 0.73) (2.53, 2.33)(1.19, 3.21) (1.19, 0.73) (1.19 , 2.33) (3.21 , 0.73) (3.21 , 2.33) (0.73 , 2.33),共10 种可能，其中金额不低于5元的事件有(2.53 , 3.21) (3.21, 2.33),共2种可能，所以不低于5元的概率P —1.10 56 .【答案】,2【解析】因为3 2x x2(x 1)2 4 0,4 ,所以log2(3 2x x2) ,2 ,即值域为,2 .7 •【答案】9、34【解析】设球的半径为R, △ ABC的外接圆圆心为0',则由球的表面积为16n,2 )因为f （壘所以sin 2 a+ cos 2 a= 3cos(- 所以 4cos — cos2 4sin 一sin2 4厘 cos22si n2可知4n 1 2= 16n,所以R = 2•设△ ABC 的边长为2a , 因为/ APO =Z BPO =Z CPO = 30° OB = OP = 2, 所以 BO '= ~^R = 3, 00 ' = , OB 2- BO ' 2= 1 , PO ' = 00 ' + 0P = 3•在△ ABC 中，O ' B = |2a = 3, 所以a = 3，所以三棱锥PABC 的体积为V = * * 32X sin60° 3=2 3 248 .【答案】3c32【解析】对于椭圆，显然 b 1,--，所以椭圆方程为 今y 2 1，设N （x o ,y 。
江苏省南通基地高考数学密卷7理
江苏省南通基地2018年高考数学密卷（7）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．复数（是虚数单位），若是实数，则实数的值为▲．2．在平面直角坐标系xOy中，角的始边为射线Ox，点在其终边上，则的值为▲．3．设全集U是实数集R，，，则图中阴影部分所表示的集合为▲．4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班统计，其结果的频率分布直方图如右上图．若某高校A专业对视力要求不低于0.9，则该班学生中最多有▲ 人能报考A专业．5．袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和是奇数的概率为▲ ．6．执行如图所示的算法，则输出的结果是▲ ．7．在平面直角坐标系中，已知双曲线的一个焦点为，则该双曲线的离心率为▲ ．8．现用一半径为10 cm，面积为80 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为▲ cm3．9．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，∠BAD＝60°，点E，F分别满足AE→＝2ED→，DF→＝FC→，则的值为▲ ．10．设S n是等比数列{a n}的前n项和，若满足a4 + 3a11= 0，则= ▲．11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线被圆截得的弦长是定值（与实数m无关），则实数k的值为▲．12．在△ABC中，，，则的值为▲．13．设F是椭圆＋＝1(a＞0，且a≠2)的一焦点，长为3的线段AB的两个端点在椭圆上移动．则当AF·BF取得最大值时，a的值是▲ ．14．设函数，其中．若存在唯一的整数，使得，则实数的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(本小题满分14分)在△中，为锐角，且．（1）若，，求的长；（2）若，求的值．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，点D在AB上，点E为AC的中点，且BC平面PDE．（1）求证：平面PBC；（2）若平面PCD⊥平面ABC，求证：平面PAB⊥平面PCD．17．(本小题满分14分设，，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1 m，与间的距离是2 m，△ABC的三个顶点分别在，，．（1）如图1，△ABC为等边三角形，求△ABC的边长；（2）如图2，△ABC为直角三角形，且为直角顶点，求的最小值．BC Al3l2l1图1 BCl3l2l1图2A18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，设P为圆：上的动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足．Array（1）求证：当点P运动时，点M（2）过点T作圆的两条切线，切点分别为A，B．①求证：直线AB过定点（与无关）；②设直线AB与（1）中的椭圆交于C，D（第18题）19．(本小题满分16分)设等差数列是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，．（1）设数列其前项和为，，．①若，，求的值；②若数列为等差数列，求；（2）求证：数列中存在三项（按原来的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数，．（1）若直线与的图象相切，求实数的值；（2）设函数，试讨论函数在上的零点个数；（3）设，且，求证：．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形是圆的内接四边形，，、的延长线交于点．求证：平分．B． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵所对应的变换把直线：变换为自身，求实数的值．C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线：（t为参数）恒经过椭圆C：（为参数）的右焦点，求实数的值．D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设均为正数，且，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为，其中，c为常数．（1）求c的值；（2）求ξ的数学期望E(ξ)．23．(本小题满分10分)已知数列满足…．（1）求，，的值；（2）猜想数列的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．【答案】0【解析】是实数，则．2．【答案】【解析】根据三角函数定义，．3．【答案】【解析】图中阴影部分所表示的集合为，即为．4．【答案】18【解析】校A专业对视力要求不低于0.9的学生数为45．5．【答案】【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为．6． 【答案】2【解析】根据循环，依次得到的值分别为； ，…，，因为，所以最后的输出结果为2． 7． 【答案】【解析】由题意，，即，所以双曲线为，所以离心率为． 8． 【答案】【解析】设圆锥底面半径为，高为，由题意，，得． 所以，容积为． 9． 【答案】因为，；，那么 ． 10． 【答案】【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知，所以． 11． 【答案】【解析】由得，，则圆心到直线的距离为，设截得的半弦长为， 则（与实数m 无关）， 所以，．12． 【答案】1【解析】由得，， 即，所以， 所以．13．【答案】 83或 3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′． 则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3． 所以AF ·BF ≤(AF ·BF2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时，上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是 4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝ 3．14． 【答案】【分析】当时，的图象相切；时，的图象均过点 ， ，故唯一的正整数，同时，从而．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为，，所以． ……3分 在△中，由余弦定理得，，解得，所以的长为． ……6分 （2）由（1）知，， ……8分 所以． ……11分 在△中，，所以． ……14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC 平面PDE ， BC 平面ABC ，平面PDE 平面ABC =DE ，所以BC ∥DE . ……3分 因为DE 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以平面PBC ． ……6分 （2）由（1）知，BC ∥DE ．在△ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点． 因为，所以， ……9分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD 平面ABC CD ，平面ABC ，则AB 平面PCD ． ……12分 因为AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ……14分 17．(本小题满分14分 解：（1）如图1，过点B 作的垂线，分别交，，于点D ，E ，设，则．则，． ……2分因为，所以， 化简得，所以，则，所以边长． ……6分 （2）如图2，过点B 作的垂线，分别交，于点D ，E ． 设，则，则，．于是．……8分 记，．求导，得．……10分 令，得．记， 列表：当时，取最小值，此时，，．……12分 答：（1）边长为m ；（2）长度的最小值为m ．……14分 18．(本小题满分16分) 解：（1）设点，由，得．因为P 为圆：上的动点， 所以，即，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆上． ……4分 （2）①设，，当时，直线AT 的方程为：，即， 因为，所以，当时，直线AT 的方程为：， 综上，直线AT 的方程为：．BCAl 3 l 2l 1图2DE同理，直线BT的方程为：．又点T在直线AT，BT上，则，①，②由①②知，直线AB的方程为：．所以直线AB过定点．……9分②设,，则O到AB的距离，．……11分由，得，于是，，所以，……13分于是，0（显然）所以．……16分19．(本小题满分16分)解：设等差数列的公差为．因为无穷数列的各项均为互不相同的正整数，所以，．（1）①由，得，，，……2分解得，．所以．……4分②因为数列为等差数列，所以，即．所以，解得（已舍）．……6分此时，．……8分（2）因为是数列的第项，是的第项，且，，所以．又，所以数列中存在三项，，按原来的顺序）成等比数列．……16分20．(本小题满分16分)解：（1）设直线与的图象的切点为．因为，所以，……2分所以．令，．令得．所以，所以，所以．……4分（2）．令得．令，．当时，有最小值．因为在上的图象是连续不断的，当时，在上恒成立，所以在无零点；当时，所以在有且仅有一个零点；当时，此时，因为，所以在上有且仅有一个零点．又因为，令，，则，，所以．所以在上单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以在恒成立，所以，即，所以在上有且仅有一个零点．所以在上有两个零点．综上所述，时，在无零点；时，在有且仅有一个零点；时，在有两个零点．……10分（3）因为在上单调增，且，所以，，所以．令，．因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以式成立，所以．……16分数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)证明：因为四边形是圆的内接四边形，所以．…… 2分因为，所以．…… 4分又，…… 6分，…… 8分所以，即平分．…… 10分D． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设是：上任意一点，在矩阵对应的变换得到点为，由，得…… 5分代入直线：，得，…… 7分所以解得．…… 10分C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线化为普通方程，得…… 3分将椭圆C化为普通方程，得．…… 6分因为，则右焦点的坐标为. …… 8分而直线经过点，所以. …… 10分D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为均为正数，且，所以，（当且仅当时等号成立）…… 8分所以. …… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．(本小题满分10分)解：（1）因为，又由概率分布的性质可知，即，所以c ． (3)分（2）由（1）知，，于是．…… 8分所以ξ的数学期望E(ξ)．……10分23．(本小题满分10分)解：（1），，．…… 3分（2）猜想：．证明：①当，2，3时，由上知结论成立；…… 5分②假设时结论成立，则有．则时，．由得，．又，于是．所以，故时结论也成立．由①②得，．…… 10分。
高三数学-2018年南通密卷七 精品
2018年数学学科高考模拟试卷（七）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若全集U=R ，)(x f ，)(x g 均为关于x 的二次函数式，集合P={}0)( x f x ，Q={}0)(≥x g x ，则不等式⎩⎨⎧0)(0)( x g x f 的解集可用P ，Q 表示为A φB （PC U ）∩（Q C U ）C （P C U ）∩QD P ∩（Q C U ）2.函数()1log 2-=x y 的反函数的图象是A B C D3.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,对任意实数x ,有)()2(x f x f =+成立,又知)(x f 在[]2,3--上是减函数,α,β是锐角三角形的两内角，则下列结论正确的是A )(sin αf ＜)(cos βfB )(sin αf ＞)(cos βfC )(sin αf ＜)(sin βfD )(cos αf ＜)(cos βf4.若不等式21--+x x ＞a 在R x ∈上有解,则a 的取值范围是A ()3,3-B ()3,∞-C (]3,3-D ()3,-∞-5.10个大小形状相同的球,只有一个是红色的,有放回抽取,每次取一个球,直到第n 次才取到第k (k ≤n )次红球的概率为A 11--k n C (101)k (109)k n -B k nC (101)k (109)k n -C (101)k (109)k n -D 11--k n C (101)1-k (109)k n - 6.已知二面角βα--l 的大小为600,c b ,是两条异面直线,则在下列四个条件中,能使b 和c 所成的角为600的是A b ∥α,c ∥βB b ∥α,c ⊥βC b ⊥α,c ⊥βD b ⊥α,c ∥β7.设1F ,2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点,点P 在双曲线上,且021=⋅PF PF ,则的值等于A 2B 22C 4D 88.在ABC ∆中,已知三边a ,b ,c 成等差数列,且有t B B =+cos sin ,则t 的取值范围是A ()2,0B (]2,1C ()1,0 D()+∞,2 9.圆()()22253r y x =-+-上有且只有两个点到直线0234=-+y x 的距离等于1,则半径r 的取值范围是A 4≤r ＜6B 4＜r ≤6C 4≤r ≤6D 4＜r ＜610.数列{}n a 的前n 项的和c S n n +=2,则“1-=c ”是“数列{}n a 为等比数列”的A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件11.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即 “逢2进1”,如(1101)2表示二进制数,将它转换成为十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数(111…11)2,转换成十进制形式是A 22018-2B 22018-1C 22002-2D 22002-112.过双曲线068222=+--x y x 的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若AB =4，则这样的直线存在A 1条B 2条C 3条D 4条2018年数学学科高考模拟试卷（七）第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二 填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13 二项式()91-x x 的展开式中的第五项的系数为14 与直线053=+-y x 平行且与曲线y x 322=相切的直线方程是 15 将函数x y 2sin =的图象按向量=（1,4π）平移，则平移后的图象对应的函数解析式为16 已知：实数x ，y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x 2+=ω的最小值为三 解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 有甲,乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机地抽取一粒,求： ⑴ 两粒种子都能发芽的概率；⑵ 至少有一粒种子能发芽的概率；⑶ 恰好有一粒种子能发芽的概率.18 已知奇函数)(x f 对任意实数x ,y 都有)()()(y f x f y x f +=+成立,且当x ＞0时,)(x f ＜0；⑴ 判断函数)(x f 在R 上的单调性，并说明理由；⑵ 若3)1(-=f ，[]2,20-∈x ，求证：-9≤)1(0+x f ≤319 4=3=，61)2()32(=+⋅-，⑴ 求与的夹角θ；⑵ +-；⑶ 若=，=，求∆ABC 的面积.20 已知四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上一点，⑴ 求证：平面EBD ⊥平面SAC ；⑵ 假设SA=4，AB=2，求点A 到平面SBD 的距离；⑶ 当ABSA 的值为多少时，二面角B-SC-D 的大小为1200B21 如图，已知动直线经过点P ()0,4，交抛物线mx y 22=（m ＞0）与A ，B 两点，坐标原点O 为PQ 的中点.⑴ 求证：∠AQP=∠BQP⑵ 当2=m 时，是否存在垂直于x 轴的直线l 被以AP 为直径的圆截得的弦长恒为定值？.22 已知等差数列{}n a 及等比数列{}n b 中，11b a =＞0，n n b a =，公差d ＞0，公比q ＞1， 求证：⑴ i a +i n a -+1＞i n i b b -++1（2≤i ≤1-n ）⑵ i a ＜i b （2≤i ≤1-n ）。
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2018年高考模拟试卷（7）南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 复数i z a =+（a ∈R ，i 是虚数单位），若2z 是实数，则实数a 的值为 ▲ ． 2． 在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为射线Ox ，点()12P -，在其终边上，则sin α的值为 ▲ ．3． 设全集U 是实数集R ，{}3M x x =>，{}2N x x =>，则图中阴影部分所表示的集合为 ▲ ．4． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右上图．若某高校 A 专业对视力要求不低于，则该班学生中最多 有 ▲ 人能报考A 专业．5． 袋中共有大小相同的4只小球，编号为1，2，3，4．现从中任取2只小球，则取出的2只球的编号之和 是奇数的概率为 ▲ ．6． 执行如图所示的算法，则输出的结果是 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2213x y k k -=-频率组距视力（第3题）US ≥2S+log 2MSn+1n Mn+1n2nS是否输出S 结束开始（第6题）的一个焦点为(5,0)，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 8． 现用一半径为10 cm ，面积为80cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3． 9． 平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，∠BAD ＝60°，点E ，F 分别满足AE →＝2ED →，DF →＝FC →，则AF BE ⋅的值为 ▲ ．10．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则2114S S = ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =被圆22223310x y mx my m +--+-=截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．设F 是椭圆22x a ＋24y ＝1(a ＞0，且a ≠2)的一焦点，长为3的线段AB 的两个端点在椭圆上移动．则当AFBF 取得最大值时，a 的值是 ▲ ．14．设函数2172 2 044()()3 0k x x f x g x k x x x ⎧+⎛⎫-+⎪⎛⎫ ⎪==-⎝⎭⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎩≤，，，，，其中0k >．若存在唯一的整数x ，使得()()f x g x <，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，A 为锐角，且3sin 5A =． （1）若2AC =，65BC =，求AB 的长； （2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值．（第16题）AB16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且BC //平面PDE ．（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．17．(本小题满分14分设1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是1 m ，2l 与3l 间的距离 是2 m ，△ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l ． （1）如图1，△ABC 为等边三角形，求△ABC 的边长；（2）如图2，△ABC 为直角三角形，且B 为直角顶点，求4AB BC +的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，设P 为圆O ：222x y +=上的动点，过P作x 轴的BCAl 3l 2l 1 图1 BCl 3l 2l 1 图2A垂线，垂足为Q ，点M 满足2PQ MQ =．（1）求证：当点P 运动时，点M 始终在一个确定的椭圆上； （2）过点T ()2()t t -∈R ，作圆O 的两条切线，切点分别 为A ，B ．① 求证：直线AB 过定点（与t 无关）；② 设直线AB 与（1）中的椭圆交于C ，D两点，求证：ABCD19．(本小题满分16分)设等差数列{}na 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，． （1）设数列{}na 其前n 项和为n S ，1n n nSb a =-，*n ∈N ．① 若25a =，540S =，求2b 的值； ② 若数列{}nb 为等差数列，求n b ；（2）求证：数列{}n a 中存在三项（按原来的顺序）成等比数列．20．(本小题满分16分)已知函数()e x f x =，2()g x mx =．（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数；（3）设12x x ∈R ，，且12x x <，求证：122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-．2018年高考模拟试卷（7）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定．．两题，并在相应．．．．．．．的答题区域内作答．．．．．．．．． A ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 、CD 的延长线交于点E ． 求证：AE 平分DAF ∠．B ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 所对应的变换T M 把直线l ：23x y -=变换为自身，求实数a b ，的值．C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆C ：5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（为参数）的右焦点，求实数m 的值．ABFC DE（第21—A 题）D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)设123a a a ，，均为正数，且1231111a a a ++=，求证：1239a a a ++≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．(本小题满分10分)设随机变量ξ的分布列为!()k k P k cξ⋅==，其中*6k k ∈<N ，，c 为常数． （1）求c 的值；（2）求ξ的数学期望E (ξ )．23．(本小题满分10分)已知数列{}n a 满足123012323C C C C 222n n n n na +++=++++…*C 2n n nn n ++∈N ，． （1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明．2018年高考模拟试卷（7）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 【答案】0【解析】()222i 12i z a a a =+=-+是实数，则0a =．2．【解析】根据三角函数定义，sin α==．3． 【答案】(]2,3【解析】图中阴影部分所表示的集合为()U C M N ，即为(]2,3．4． 【答案】18【解析】校A 专业对视力要求不低于的学生数为45()10.750.250.218⨯++⨯=． 5． 【答案】23【解析】从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为23．6． 【答案】2【解析】根据循环，依次得到,,n M S 的值分别为2443,,log 33；225454,,log log 434+，…，22212451211,,log log log 113411+++，因为2224512log log log 223411S =+++=≥，所以最后的输出结果为2．7．【解析】由题意，235k -=，即4k =，所以双曲线为2214x y -=． 8． 【答案】128π【解析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，由题意，π1080πr ⨯=，得8r =． 所以6h =，容积为2211ππ8633128πr h =⨯⨯=．9． 【答案】6-因为23AE AD =，12AF AD DF AD AB =+=+；23BE BA AE AD AB =+=-，那么AF BE ⋅=()()1223AD AB AD AB +⋅-22212323AD AB AB AD =--⋅6846=--=-． 10． 【答案】76【解析】由a 4 + 3a 11= 0，知713q =-，所以212114147116S q S q -==-．11．【解析】由2222310x y mx m +--+-=得，()()2221x m y m -+=+，则圆心()m 到直线y kx =2km -，设截得的半弦长为p ，则()221pm =+-(2221k mk -=+)2222111m k k -+++（与实数m无关），10-=，k =．12． 【答案】1【解析】由cos 2sin sin A B C =得，()cos 2sin sin B C B C -+=， 即cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C -+=，所以tan tan 1B C =-， 所以()tan tan 2tan tan 1tan tan 111B C A B C B C +-=-+===---．13．【答案】 83或3．【分析】当a ＞2时，设椭圆的另外一个焦点为F ′，联结AF ′，BF ′． 则AF ′＋BF ′≥|AB |＝3．故AF ＋BF ＝4a －(AF ′＋BF ′)≤4 a －3．所以AFBF ≤(AFBF2)2≤(4 a －32)2．当且仅当线段AB 过点F ′，且AF ＝BF ＝4 a －32时， 上式等号成立，此时，AB ⊥x 轴，且AB 过点F ′．于是 4c 2＝|FF ′|2＝(4 a －32)2－(32)2＝4a 2－6a ，即c 2＝a 2－32a ．则a 2＝4＋(a 2－32a )，得a ＝83．类似地，当0＜a ＜2时，可得a ＝3．14． 【答案】1763⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】当163k =时，()()f x g x ，的图象相切；6k =时，()()f x g x ，的图象均过点()24，， ()416，，故唯一的正整数3x =，同时174k k +≤，从而1763k ≤≤．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．(本小题满分14分)解：（1）因为3sin 5A =，()π02A ∈，，所以4cos 5A ==． ……3分 在△ABC 中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得，()2226254522c c+-=⨯⨯，解得85c =，所以AB 的长为85． ……6分（2）由（1）知，3sin 35tan cos 445A A A ===， ……8分所以()()()31tan tan 1343tan tan 3191tan tan 143A AB B A A B A A B +--=--===⎡⎤⎣⎦+--⨯． ……11分 在△ABC 中，πA B C ++=，所以()313tan tan 7949tan tan tan tan 13133149A B C A B A B ++=-+===-⨯-． ……14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为BC //平面PDE ， BC ⊂平面ABC ，平面PDE平面ABC =DE ，所以BC ∥DE . ……3分 因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ． ……6分 （2）由（1）知，BC ∥DE ．在△ABC 中，因为点E 为AC 的中点，所以D 是AB 的中点．因为AC BC =，所以AB CD ⊥， ……9分因为平面PCD ⊥平面ABC ，平面PCD平面ABC =CD ，AB ⊂平面ABC ，则AB ⊥平面PCD ． ……12分 因为AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ……14分 17．(本小题满分14分 解：（1）如图1，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l ，于点D ，E ，设DBA θ∠=，则23EBC θπ∠=-．则1cos AB θ=，()22πcos 3BC θ=-．……2分 因为AB BC =，所以()12cos 2πcos 3θθ=-，化简得5cos θθ=，所以tan θ=，则cos θ=，B CAl 3l 2 l 1图1D E所以边长1cos AB θ==． ……6分 （2）如图2，过点B 作2l 的垂线，分别交1l ，3l 于点D ，E ． 设DBA θ∠=，则π2EBC θ∠=-，则1cos AB θ=，2sin BC θ=． 于是184cos sin AB BC θθ+=+．……8分记18()cos sin f θθθ=+，()π02θ∈，．求导，得333222221sin 8cos sin 8cos tan 8()cos sin sin cos sin cos f θθθθθθθθθθθθ---'=-==．……10分 令()0f θ'=，得tan 2θ=．记0tan 2θ=， 列表：当0θθ=时，()f θ取最小值，此时sin θ=，cos θ，0()f θ=……12分 答：（1）边长AB ；（2）4AB BC +长度的最小值为．……14分18．(本小题满分16分)解：（1）设点()M x y ，PQ =，得()P x ．因为P 为圆O ：222x y +=上的动点， 所以)222x +=，即2212x y +=，所以当点P 运动时，点M 始终在定椭圆2212x y +=上． ……4分 （2）①设11()A x y ，，22()B x y ，，BCAl 3l 2l 1 图2 DE当10y ≠时，直线AT 的方程为：()1111x y y x x y -=--，即221111x x y y x y +=+， 因为22112x y +=，所以112x x y y +=，当10y =时，直线AT的方程为：x = 综上，直线AT 的方程为：112x x y y +=． 同理，直线BT 的方程为：222x x y y +=．又点T ()2()t t -∈R ，在直线AT ，BT 上， 则1122x ty -+=，① 2222x ty -+=，② 由①②知，直线AB 的方程为：22x ty -+=．所以直线AB 过定点()10-，． ……9分 ②设33()C x y ，,44()D x y ，， 则O 到AB的距离d =AB ==． ……11分 由222212x ty x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(8)440t y ty +--=， 于是34248t y y t +=+，34248y y t -=+，所以34CD y =-， ……13分于是AB CD ，AB CD ⇔⇔()222(8)2t t ++2≤()222(4)4t t ++ ⇔42(6)t t +≥0（显然）所以AB CD． ……16分19．(本小题满分16分) 解：设等差数列{}na 的公差为d ．因为无穷数列{}n a 的各项均为互不相同的正整数，所以*1a ∈N ，*d ∈N ．（1）①由25a =，540S =得，15a d +=，1545402a d ⨯+=， ……2分解得12a =，3d =．所以21222215S ab a a =-==． ……4分 ②因为数列{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即()3212132111S S Sa a a -=-+-．所以()()111122312a d a d a d a d++=+++，解得1a d =（0d =已舍）． ……6分 此时，()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=． ……8分 （2）因为()111111a a a a d +=++-⎡⎤⎣⎦是数列{}n a 的第()11a +项， ()1(2)111(2)11a d a a a d d ++=+++-⎡⎤⎣⎦是{}n a 的第()1(2)1a d ++项，且()()1222111a a a d +=+，[]11(2)1111(2)a d a a a a a d d ++⋅=⋅++，所以()121a a +11(2)1a d a a ++=⋅．又1111(2)1a a a d <+<++， 所以数列{}na 中存在三项1a ，11a a +，1(2)1a d a ++按原来的顺序）成等比数列． ……16分 20．(本小题满分16分)解：（1）设直线1y kx =+与()f x 的图象的切点为00(e )x x ，． 因为()e xf x '=，所以000e e 1x x kkx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩， ……2分所以00e (1)10x x -+=．令()e (1)1x x x ϕ=-+，()e x x x ϕ'=⋅．令()0x ϕ'=得0x =．所以min ()(0)0x ϕϕ==，所以00x =，所以1k =． ……4分（2）2()e x h x mx =- (0)x >．令()0h x =得2e xm x=． 令2e ()xt x m =- (0)x >，3e (2)()x x t x -'=．当2x =时，()t x 有最小值2e (2)4t m =-．因为()t x 在(0)+∞，上的图象是连续不断的，当2e 4m <时，()0t x >在(0)+∞，上恒成立，所以()h x 在(0)+∞，无零点； 当2e 4m =时，min ()0t x = 所以()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点； 当2e 4m >时，此时min ()(2)0t x t =<，因为()112211e e 0m m t m m m m m ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭，所以()t x 在(02)，上有且仅有一个零点．又因为33322e 1(3)(e 9)99mm t m m m m m=-=-，令31()e 3x u x x =-，(2,)x ∈+∞， 则2()e x u x x '=-，()e 2x u x x ''=-，所以()e 20x u x '''=->． 所以()u x ''在(2)+∞，上单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''''>=->， 所以()u x '在(2)+∞，单调递增，所以2()(2)e 40u x u ''>=->，所以()u x 在(2)+∞，单调递增，所以28()(2)e 03u x u >=->，所以31e 3x x >在(2)+∞，恒成立，所以33e 9m m >，即(3)0t m >，所以()t x 在(2)+∞，上有且仅有一个零点． 所以()h x 在(0)+∞，上有两个零点．综上所述，2e 4m <时，()h x 在(0)+∞，无零点；2e 4m =时，()h x 在(0)+∞，有且仅有一个零点；2e 4m >时，()h x 在(0)+∞，有两个零点． ……10分 （3）因为()e x f x =在()-∞+∞，上单调增，且21x x >， 所以21()()f x f x >，210x x ->，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-122121e e e e 2x x x x x x +-⇔>-212121e e 2e e x x x x x x --⇔>+ 2121211e 1()2e 1x x x x x x ---⇔->+212112()1()2e 1x x x x -⇔->-*+． 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0)x >，222(e 1)12e ()2(e 1)2(e 1)x x x x x ϕ-'=-=++． 因为0x >，所以()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(0)+∞，上单调递增， 所以()(0)0x ϕϕ>=， 所以()*式成立，所以122121()()()()2f x f x f x f x x x +->-． ……16分 数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．C ． [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分) 证明：因为四边形ABCD 是圆的内接四边形，所以EAD BCD ∠=∠． …… 2分 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠． …… 4分 又BAC EAF ∠=∠， …… 6分 BAC BDC ∠=∠， …… 8分所以EAD EAF ∠=∠，即AE 平分DAF ∠． …… 10分 D ． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)解：设()P x y ，是l ：23x y -=上任意一点，在矩阵13a b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 对应的变换得到点为()x y ''，， 由13a x x b y y '-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得3x x ay y bx y '=-+⎧⎨'=+⎩，， …… 5分 代入直线l ：23x y -=，得(2)(23)3b x a y --+-=， …… 7分 所以22231b a --=⎧⎨-=-⎩，，解得14a b ==-，． …… 10分C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)解：将直线l 化为普通方程，得tan ()y x m α=- …… 3分将椭圆C 化为普通方程，得221259x y +=． …… 6分 因为5,3,4a b c ===，则右焦点的坐标为(4,0). …… 8分 而直线l 经过点(,0)m ，所以4m =. …… 10分D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)证明：因为123 a a a ，，均为正数，且1231111a a a ++=， 所以123a a a ++()123123111()a a a a a a =++++()()1133123123111339a a a a a a ⋅=≥，（当且仅当1233a a a ===时等号成立） …… 8分所以1239a a a ++≥. …… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．(本小题满分10分)解：（1）因为[]!(1)1!(1)!!(1)!!k k k k k k k k k ⋅=+-⋅=+⋅-=+-， 又由概率分布的性质可知51()1k P k ξ===∑，即()[]()555111!111719!(1)!!6!1!1k k k k k k k k k c c c c c ===⋅=⋅=+-=-==∑∑∑，所以c 719． (3)分（2）由（1）知!()719k k P k ξ⋅==，*6k k ∈<N ，，于是22!4(2)719719P ξ⨯===，1(1)719P ξ==，33!18(3)719719P ξ⨯===，44!96(4)719719P ξ⨯===，55!600(5)719719P ξ⨯===． …… 8分 所以ξ的数学期望E (ξ )14189660012345719719719719719=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯3447719=． ……10分23．(本小题满分10分)解：（1）12a =，24a =，38a =． …… 3分 （2）猜想：2n n a =． 证明：①当1n =，2，3时，由上知结论成立； …… 5分 ②假设n k =时结论成立， 则有123012323C C C C C 22222k k k k k k k k kk a ++++=+++++=． 则1n k =+时，123101112131111231C C C C C2222k+k k k+k+k+k k k+a ++++++++=+++++． 由111C C C k k k n n n +++=+得102132112233123C C C C C C C 222k k k k k k k ka ++++++++++=++++11111C C C 22k k -k+k+k k+k k+k+k k+++++0121112311231C C C C C 222222k k+k k k k k k k+k+k k+-+++++=++++++， 12110231111121C C C C 12(C )22222k k+kk k k k k+k+k k k k a -++++++-=++++++ 121102311111121C C C C C 12(C )22222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k+-+++++++-=++++++． 又111111(21)!(22)(21)!(21)!(1)12C C !(1)!(1)!(1)!(1)!(1)!2k+k+k+k k+k k k k k k =k k k k k k k ++++++++===+++++ 12110231111111211C C C C C 12(C )222222k k k+kk k k k -k+k k+k k k k k -++++++++-+=+++++++， 于是11122k k k a a ++=+．所以112k k a ++=， 故1n k =+时结论也成立．由①②得，2n n a =*n ∈N ，． …… 10分。