第十章 弹性力学专题问题

第十章弹性力学专题问题布西内斯克问题赫兹接触热应力弹性波•柱坐标问题•——基本方程•球坐标问题•——基本方程目录§10.1 布西内斯克问题§10.2 赫兹接触§10.3 热应力§10.4 弹性波§10.1布西内斯克(Boussinesq)问题半无限平面作用法向集中力——布西内斯克问题应力和位移)]1(2[π2)1(])21([π2)1(222v Rz ER F v w zR v R z ER F v u -++=+--+=ρρρ52532322π23π23][π2)21(])21(3[π2R z F RFz zR R R z R F v zR R v R z R F rz z ρτσσρσθρ-=-=+--=+-+-=ρE F v w z π)1(|20-==表面沉陷半无限平面作用法向分布载荷布西内斯克问题的推广载荷作用区下位移外部沉陷内部沉陷§10.2赫兹接触问题赫兹（hertz, H.R ）1881年研究弹性球体的接触问题弹性接触对于球体是局部区域ρ<<R 1，R 1采用布西内斯克解分析局部变形接触压力是ρ的函数q (ρ)与接触区域半球面的纵坐标成正比ψρρ222max sin )(-=a a q q)sin (2πd )(222m ax ψρρ-=⎰a a q s q aa q s q 4)2(πd d )(22max 2ρψρ-=⎰⎰2π)11(m ax 222121aq E v E v -+-=δq v v π)11(max 22221ρβ-+-=2m ax π23aF q =ψρ222sin 2-=a s s 长度mn mn 中点压力q (ρ)回代可得最大接触压力32221212121)11()(43E E R R R FR a νν-+-+=322212122213221max )11(π)(6E E R R R R F q νν-+-+=接触区域半径最大接触压力如3.0,2111====ννE E E 3222212max )(6388.0R R R R FE q +=321221)(11.1R R E R FR a +=3212212)(23.1R R E R R F +=δ§10.3热应力•热应力——环境温度变化导致弹性体膨胀和收缩，因此产生的应力。

•温度应力•某些工程结构，热应力是不容忽视的。

•温度场——环境温度随着时间和空间变化•T=T (x,y,z,t )•定常温度场0=∂∂t TETv ETv E xyxy x y y y x x τνγασσεασσε)1(2)(1)(1+=+-=+-=ETv E Tv E xyxy x y y y x x τνγασνσνεασνσνε)1(2)1()1(1)1()1(122+=++---=++---=热应力基本方程平面应力平面应变TlTlααε==除物理方程之外，其余方程相同。

§10.3 热应力2受热管道热应力受热厚壁管道，内径为a ，外径为b 。

管道内温度增量为T a ，管道外温度增量为0。

管道内无热源时热应力为0，定常温度场。

根据热传导方程轴对称温度场积分可得根据边界条件则,02=∇=∂∂T tT0d d 1d d 22=+ρρρTT BA T +=ρln 0====baaTT TρρbT B T A a a ln -==T b T ln ln -=ρ§10.3 热应力3轴对称问题平衡微分方程几何方程本构方程将应力分量代入平衡微分方程)(,0ρρu u w ==0=-+∂∂ρσσρσϕρρρερερϕρρu u ==,d d νανννθσναεθνννσναεθνννσϕϕρρ21)21)(1(21)21(121)21(1---+=--+-+=--+-+=ETE ET E ET E z ραννρρρρρρρd d 11d d 1d d 222T u u u -+=-+热弹性势函数F(ρ)注意到热弹性势函数表示的平衡方程求解可得令ρρd d F =u )d d(d d 1d d 1d d 22ρρρρρρρ=+a T ba ln ln 111d 1d )d d (d d --+=F -F αννρρρρ)1ln (ln ln ln 2+--=F ρβρb ab aT αννβ-+=114ρρεσρεσϕϕρρd d 22d d 2222F-=-=F-=-=GG G G )1ln 2(ln ln 2)1ln 2(ln ln 2---=+--=ρβσρβσϕρba b G ba b G借助平面轴对称问题解，叠加可以得到管道热应力应力分量]1)(1)(ln ln 1ln ln [)1(2]1)(1)(ln ln ln ln [)1(22222-++-----=-------=ab b a b b ET ab b a b b ET a a ρρνασρρνασϕρ)1ln 2(ln ln 2)1ln 2(ln ln 2---=+--=ρβσρβσϕρba b G ba b G 应力分量在边界ρ=a和ρ=b 分别等于常数q 1和q 2，这与命题边界条件不符。

坝体热应力热应力顶角为2β的楔形体坝体楔形坝体中心线温度变化为T 0，两侧面温度变化为零。

设坝体内部的温度变化为平面应变问题，但是为简化问题，先按平面应力问题分析。

对于平面应力位移解法，热弹性势函数满足§10.3 热应力7cos 1cos cos T T ββϕ--=Tαν)1(2+=F ∇ββϕανϕρρρρcos 1cos cos )1()(022222--+=F ∂∂+∂∂+∂∂T热弹性势函数回代所以根据上述热弹性势函数，可以得到应力分量的特解应力特解边界值)cos(2DC+=Fϕρββϕανϕcos1coscos)1(4cos30--+=+TDC)cos1(4cos)1(,)cos1(3)1(ββανβαν-+-=-+=TDTC)cos41cos31()cos1)1(20βϕβραν--+=FTϕτϕσϕσρϕϕρsin31')cos32(')cos31('12121kkkkk=-=-=ββαcos21cos121=-=kTEk11)2sin 2cos (2D C B A ++-=F ϕϕϕρ12212216)cos (cos sin '6)cos (cos 6)cos cos cos (sin k k k k k k βϕϕτβϕσβϕβϕσρϕϕρ--=--=+--=最大应力在坝体边界)1(cos 6221max -==±=βσσβϕρk k 为了消除与原命题不符的应力场，叠加一个相反的应力场。

考虑应力函数双调和函数根据平面问题的极坐标解，可以求解应力场)(2ϕρf =F§10.4弹性波初等理论突加载荷引起的变形和应力不能立即传递到物体的各个部分。

物体的变形和应力以波的形式传播。

物体的运动方式主要表现为波的传播。

根据介质的物理性质，边界条件和载荷的作用方式，波的传播过程呈现各种不同的特性。

本节以半无限长弹性细杆为例研究弹性应力波在杆内向远处传播的规律。

设压缩应力为正,杆端应力σ<σ。

sd22022xuC t u ∂∂=∂∂ρEC =0tuv ∂∂=xvt ∂∂=∂∂εxvt E ∂∂=∂∂σ1010=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂xvt E x t v σσρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00,,1010,,100t t t t v v E σσρ0,,=+t t BW AW ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=σρv E W B A ,1010,100波动方程质点运动速度§10.4 波2☐质点运动速度v 与瞬时应力σ成正比，比例常数称为声阻抗率。

☐作用压力，波的传播方向与质点的运动速度方向和应力方向一致。

反之，拉力作用，则波的传播方向与质点的运动速度方向和应力方向相反。

vZ v C s ==0ρσ)(0t C x f u -=)]('[)(')('0000t C x f C u v t C x Ef E t C x f xu --=∂=-==-=∂∂=εσεEC v σ0=反射波右行波左行波右行波，应力和质点速度符号相反——负应力对应于正速度左行波，应力和质点速度符号相同),(),()()(),(210201t x u t x u t C x f t C x f t x u +=-+-=22221111v Z t u Z x u E v Z tu Z x u E s s s s =∂∂=∂∂=-=∂∂-=∂∂=σσ。