第十章 弹性力学专题问题

最大应力在坝体边界
max
k1 (cos2 1) 6k 2
§10.4 弹性波初等理论
突加载荷引起的变形和应力不能立即传递到物 体的各个部分。 物体的变形和应力以波的形式传播。 物体的运动方式主要表现为波的传播。 根据介质的物理性质，边界条件和载荷的作用 方式，波的传播过程呈现各种不同的特性。 本节以半无限长弹性细杆为例研究弹性应力波 在杆内向远处传播的规律。 设压缩应力为正,杆端应力sd。
•某些工程结构，热应力是不容忽视的。
•温度场——环境温度随着时间和空间变化
•T= T (x, y, z, t)
•定常温度场
T 0 t
§ 10.3 热应力2
热应力基本方程 平面应力
1 x ( x v y ) T E 1 y ( y v x ) T E 2(1 ) xy xy E
AW , t BW , t 0
A 0
0 1 , E
0 1 B 0 1 ,
v W
§ 10.4 波3
质点运动速度v与瞬时应力成正比，比例常 数称为声阻抗率。 C0 v Z s v 作用压力，波的传播方向与质点的运动速度 方向和应力方向一致。反之，拉力作用，则 波的传播方向与质点的运动速度方向和应力 方向相反。
d d 1 1 1 ( )dF dF Ta d d 1 ln a ln b
F
2
ln b ln a 1 4 Ta 1
(ln b ln 1)
2G b (2 ln 1) ln b ln a 2G b (2 ln 1) ln b ln a
u1 u1 1 E Z s Z s v1 x t u 2 u 2 2 E Zs Z s v2 x t
左行波
右行波，应力和质点速度符号相反 ——负应力对应于正速度 左行波，应力和质点速度符号相同

Tl
l
T
平面应变
1 2 v x ( x y ) (1 )T E 1 1 2 v y ( y x ) (1 )T E 1 2(1 ) xy xy E
除物理方程之外，其余方程相同。
§ 10.3 热应力3

§ 10.3 热应力6
2G b (2 ln 1) ln b ln a 2G b (2 ln 1) ln b ln a
应力分量在边界=a 和=b分别等于常数 q1和 q2，这与命题边 界条件不符。
借助平面轴对称问题解，叠加可以得 到管道热应力 应力分量
T A ln B
T
a
Ta
T
b
0
T
ln b ln Ta ln a ln b
§ 10.3 热应力4
轴对称问题
平衡微分方程 几何方程 本构方程
将应力分量代入平衡 微分方程
d 2u d 2 1 du u 1 d T 2 d 1 d
' k1 ( cos k 2 )
ET0 k1 1 cos 1 k 2 cos 2
1 k1k2 3
'

1 k1 sin 3
§ 10.3 热应力9
为了消除与原命题不符的应力场，叠加一个相 反的应力场。 考虑应力函数 双调和函数
受热管道热应力
受热厚壁管道，内径为a，外径为b。 管道内温度增量为Ta，管道外温度增量为0。 管道内无热源时热应力为0，定常温度场。
根据热传导方程
T 0, t
2T 0
d 2 T 1 dT 0 2 d d
轴对称温度场
积分可得
根据边界条件 则
A Ta Ta ln b B ln a ln b ln a ln b
采用布西内斯克解分析局部变形 接触压力是的函数 q()与接触区域半球面的纵坐标 成正比
qmax q( ) a a 2 2 sin 2
§ 10.2 赫兹接触2
s长度mn
s 2 a 2 2 sin 2
mn中点压力q()

q( )ds
qmax π 2 (a 2 sin 2 ) a 2
w 0,

u u( )
0
du d ,



u

E ET ( ) 1 1 2 1 2 E ET ( ) 1 1 2 1 2 E ET z (1 )(1 2 ) 1 2
u (1 v) F z (1 2v) [ 2 ] 2 πER R Rz (1 v) F z 2 w [ 2 2(1 v)] 2 πER R
§ 10.1布西内斯克问题2
来自百度文库
F 3 2 z (1 2v) R [ 3 ] 2 2 πR R Rz (1 2v) F z R [ ] 2 2 πR R Rz 3Fz 3 z 2 πR 5 2 3Fz rz 2 πR 5
表面沉陷
(1 v 2 ) F w | z 0 πE
§ 10.1布西内斯克问题3
半无限平面作用法向分布载荷
布西内斯克问题的推广
载荷作用区下位移 外部沉陷 内部沉陷
§10.2 赫兹接触问题
赫兹（hertz, H.R）1881年研究 弹性球体的接触问题 弹性接触对于球体是局部区域 R1， R1
第十章 弹性力学专题问题
布西内斯克问题
赫兹接触
热应力
弹性波
•柱坐标问题
•——基本方程
•球坐标问题 •——基本方程
目录
§10.1 §10.2 布西内斯克问题 赫兹接触
§10.3
§10.4
热应力
弹性波
§10.1 布西内斯克 (Boussinesq)问题
半无限平面作用法向集中力
——布西内斯克问题
应力和位移
2 2 cos cos ( 2 2 2 )F (1 )T0 1 cos
§ 10.3 热应力8
热弹性势函数
F 2 (C cos D)
3C cos 4 D (1 )T0 cos cos 1 cos (1 )T0 cos D 4(1 cos )
§ 10.3 热应力5
热弹性势函数F()
注意到
dF d d2 1 d 1 d d ( ) 2 d d d d u
热弹性势函数表 示的平衡方程
求解可得 令
d 2F 2G 2G 2 d dF 2G 2G d
F 2 f ( )
F 2 ( A cos 2 B sin 2 C D)
根据平面问题的极坐标解，可以求解应力场
k1 (sin cos cos cos2 ) 6k 2 k1 (cos cos ) 2 6k 2 k1 sin (cos cos ) ' 6k 2
u f ( x C0 t )
u f ' ( x C0t ) x E Ef ' ( x C 0 t ) u v C 0 [ f ' ( x C 0 t )] t
C0 v E
§ 10.4 波4
反射波 u( x, t ) f1 ( x C0t ) f 2 ( x C0t ) u1 ( x, t ) u2 ( x, t ) 右行波
E1 E1 E ,
3
1 2 0.3
3
F 2 ( R1 R2 ) 1.23 E 2 R1 R2
3
FR1 R2 a 1.11 2 E ( R1 R2 )
qmax
6 FE 2 ( R1 R2 ) 2 0.388 2 2 R1 R2
§10.3
热应力
•热应力——环境温度变化导致弹性体膨胀和 收缩，因此产生的应力。 •温度应力
回代
所以
(1 )T0 C , 3(1 cos )
(1 )T0 2 1 1 F ( cos cos ) 1 cos ) 3 4
根据上述热弹性势 函数，可以得到应 力分量的特解 应力特解边界值
'

1 3 2 ' k1 ( cos k 2 ) 3 1 ' k1 sin 3
§ 10.3 热应力7
坝体热应力热应力 顶角为2的楔形体坝体 楔形坝体中心线温度变化为T0，两侧面温度变 化为零。 设坝体内部的温度变化为
cos cos T T0 1 cos
平面应变问题，但是为简化问题，先按平面应 力问题分析。
对于平面应力位移解法，热弹性势函数满足
2 F (1 )T
ETa ln b ln [ ] 2 2(1 ) ln b ln a ( b ) 1 a ( b )2 1 ETa ln b ln 1 [ ] 2 2(1 ) ln b ln a (b ) 1 a ( b )2 1
π 2 qmax (2a 2 2 ) q( )dsd 4a
回代可得
1 v1 1 v2 πaqmax ( ) E1 E2 2
2 2
最大接触压力
qmax 3F 2πa 2
1 v1 1 v2 π qmax ( ) E1 E2 4a
2 2 2
§ 10.4 波2
波动方程
质点运动速度
v 0 t x 1 v 0 E t x
2u 2u C0 2 2 t x
C0 E
v t x

1 v E t x
u v t
0
0 v, t 0 1 v, t 0 1 , 0 1 , 0 t t E
§ 10.2 赫兹接触3
接触区域半径
a
3
3FR1 R2 1 1 1 2 ( ) 4( R1 R2 ) E1 E2
2 2
最大接触压力
qmax 3 6 F ( R1 R2 ) 2 2 2 1 2 2 2 1 1 π 3 R1 R2 ( ) E1 E2
如