2.2 转动惯量的计算 平行轴定理
平行移轴定理公式
平行移轴定理公式平行移轴定理（Parallel Axis Theorem）是刚体力学中的一个重要定理，它描述了一个物体绕轴旋转时，转动惯量与轴的位置的关系。
该定理在物理学和工程学中有着广泛的应用，可以帮助我们计算刚体的转动惯量。
1. 定理表述在刚体力学中，平行移轴定理表明，如果一个物体在某个轴上的转动惯量已知，并且该物体与该轴平行的另一个轴的距离也已知，那么可以通过移动轴的位置，将原来的转动惯量转化为新的转动惯量。
2. 公式推导设物体的质量为m，转动惯量对于某个轴的距离为d，该轴的转动惯量为I，新的轴离物体的距离为r，则根据平行移轴定理，新的转动惯量I'与原转动惯量I的关系可以表示为：I' = I + md^2这个公式是平行移轴定理的数学形式，它揭示了转动惯量与轴的位置之间的关系。
公式中的md^2项表示了质量和距离的平方的乘积，是由于物体的质量离轴越远，对转动惯量的贡献越大。
3. 应用举例为了更好地理解平行移轴定理，我们可以通过一个具体的例子来进行说明。
考虑一个长方形薄板，它的质量为m，长为L，宽为W，转动惯量对于通过长边中点的轴的距离为d。
则根据平行移轴定理，可以计算出薄板绕通过宽边中点的轴的转动惯量。
首先，计算薄板相对于通过长边中点的轴的转动惯量。
根据长方形薄板的转动惯量公式：I = (1/12) * m * (L^2 + W^2)其中的1/12为长方形薄板的转动惯量的系数。
然后，计算薄板相对于通过宽边中点的轴的转动惯量。
根据平行移轴定理公式：I' = I + md^2其中的d为通过长边中点的轴与通过宽边中点的轴的距离。
可以通过几何关系计算出d的值，将其代入公式，就可以得到薄板绕通过宽边中点的轴的转动惯量。
通过这个例子，我们可以看到平行移轴定理可以简化计算过程，只需要通过已知的转动惯量和轴的位置，就能够得到新的转动惯量的值。
4. 应用范围平行移轴定理在物理学和工程学中有着广泛的应用。
证明平行轴定理
证明平行轴定理平行轴定理是力学中的一个重要定理，它描述了质点系的转动惯量与质点距离转轴的关系。
在本文中，我将详细介绍平行轴定理的概念、原理和应用，并通过实例进行说明。
让我们来了解一下平行轴定理的概念。
平行轴定理是指当质点系绕通过质心的轴旋转时，其转动惯量等于质点系转动惯量与质点系质量与质心距离平方的乘积之和。
这个定理的重要性在于它可以帮助我们计算复杂物体的转动惯量，从而更好地研究物体的转动性质。
接下来，我们来看一下平行轴定理的原理。
假设有一个质点系，其中包含n个质点，质量分别为m1、m2、...、mn。
质点系的转动惯量可以表示为Ic，质点系质量的总和为M，质心到转轴的距离为d。
根据平行轴定理，我们可以得到以下公式：I = Ic + Md^2其中，I表示质点系绕平行于转轴的轴的转动惯量。
这个公式告诉我们，质点系的转动惯量等于质点系质量的总和与质心距离平方的乘积之和。
平行轴定理的应用非常广泛。
例如，在工程中，我们经常需要计算复杂物体的转动惯量。
通过使用平行轴定理，我们可以将复杂物体分解成多个简单的部分，然后分别计算它们的转动惯量，最后将它们相加得到整个物体的转动惯量。
这种方法不仅简化了计算过程，还提供了一种更直观的理解物体转动性质的方法。
为了更好地理解平行轴定理的应用，让我们来看一个实例。
假设有一个由三个质点构成的质点系，质量分别为m1、m2、m3，质心到转轴的距离分别为d1、d2、d3。
根据平行轴定理，我们可以计算出质点系绕转轴的转动惯量：I = m1d1^2 + m2d2^2 + m3d3^2通过这个例子，我们可以看到平行轴定理的具体应用过程。
首先，我们需要确定质点系的质量和质心到转轴的距离。
然后，根据平行轴定理的公式，我们可以计算出转动惯量。
最后，我们可以利用这个转动惯量来分析物体的转动性质，如角加速度、角动量等。
总结起来，平行轴定理是力学中一个重要的定理，它描述了质点系的转动惯量与质点距离转轴的关系。
转动惯量平行轴定理特点
转动惯量平行轴定理特点
圆周运动的惯性矩是指物体围绕中心点作圆周运动时的旋转惯量的矩形，这是一条重要的力学定律。
圆周运动的惯性矩定律也称为转动惯量平行轴定理，是一种不变的定律。
转动惯量平行轴定理犹如转动惯量的一面镜子，它表示任何一条直线，其上的惯量自轴心沿直线发散，都不会被改变。
1、沿着平行轴运动，惯量保持不变。
如果想要改变惯量，则必须改变半径。
2、半径相等，惯量也保持不变。
在具有相同惯量的系统里，半径越大，速度越低，自旋越大，二者相反。
3、具有不同惯量的物体，距离中心点越远，其惯量越大，自旋越快。
4、转动惯量平行轴定理可以用来解释物体在圆周运动时为什么旋转速率会改变。
转动惯量平行轴定理有着重要的科学意义，可以用来研究物体运动时的速率，加速度和机械能。
此外，它也可以帮助我们解决物理实验中遇到的一些问题。
转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究
Abstrat:Using three-wire pendulum, double pendulum, torsion, to measure different rigid body moment of inertia, and further validating parallel axis theorem, and application characteristics of torsion modulus to measure trimming
打开计数器，调节适当的 柱
周期次数。分别使摆进行小角度摆动，并记录周期，
带入操作原理中得转动惯量计算式，求得待测物体的
转动惯量，并验证平行轴定理。
三． 数据记录及结果讨论
双 线 摆 ： L=12.00 ㎝
=30.00 ㎝
=0.266 ㎏
小圆柱参数： l=2.970 ㎝
=2.760 ㎝ X=13.75
惯量为 Ic ，当转轴平行移动距离 x 时（如
右图所示），则此物体对新轴 OO 的转动惯
量为 I x Ic m1x2
（19）
这一结论称为转动惯量的平行轴定理。
O
x
'
xC
m
O
平行轴定理
①用双线摆验证平行轴定理：
将质量均为 m2，形状和质量分布完全相同的两个圆柱体 对称地放置在均匀细杆上。按同样的方法，测出两小圆
扭摆平均周期的计算：
周期
盘 25 盘环 25
52.7 89.7
52.7 89.7
转动惯量合成公式
转动惯量合成公式首先，让我们来复习一下刚体的转动惯量的定义：刚体的转动惯量描述了刚体绕轴旋转时的惯性。
转动惯量的大小与刚体的质量分布有关。
对于一个质量为m的刚体绕一个与其质心距离为r的轴旋转，其转动惯量可以通过以下公式计算：I = mr^2其中，I表示刚体绕轴旋转的转动惯量。
然而，当刚体绕不通过其质心的轴旋转时，转动惯量的计算就会复杂一些。
这时候，我们需要使用转动惯量合成公式。
转动惯量合成公式可以通过已知的转动惯量以及刚体质量分布的相关信息，计算出刚体绕其他轴旋转时的转动惯量。
1.平行轴定理：平行轴定理适用于刚体绕与通过其质心平行且偏离其质心的轴旋转的情况。
假设刚体原始绕其质心转动的转动惯量是I_cm，与其质心平行且距离质心为d的轴旋转的转动惯量可以通过以下公式计算：I = I_cm + md^2其中，I表示刚体绕平行于通过其质心的轴旋转的转动惯量，m表示刚体的质量。
2.垂直轴定理：垂直轴定理适用于刚体绕通过其质心的轴旋转的情况。
假设刚体原始绕其质心转动的转动惯量是I_cm，与其质心垂直且偏离质心为d的轴旋转的转动惯量可以通过以下公式计算：I = I_cm + md^2其中，I表示刚体绕与通过其质心垂直的轴旋转的转动惯量，m表示刚体的质量。
通过转动惯量合成公式，我们可以计算出刚体绕不同轴旋转时的转动惯量。
这对于理解刚体的旋转运动和计算刚体的动力学性质非常重要。
最后，需要注意的是，转动惯量合成公式仅适用于刚体绕固定轴旋转的情况。
在一些特殊情况下，需要使用更加复杂的积分运算来计算刚体的转动惯量。
这超出了本文的范围，但是可以通过学习刚体的旋转动力学来深入理解这些情况。
总结起来，转动惯量合成公式是用来计算刚体绕不同轴旋转时的转动惯量的公式。
它可以通过已知的转动惯量和刚体质量分布的相关信息，计算出刚体绕其他轴旋转时的转动惯量。
转动惯量合成公式包括平行轴定理和垂直轴定理两种形式，分别适用于刚体绕通过其质心平行和垂直的轴旋转的情况。
大学物理 2.1 刚体的定轴转动和平面平行运动
对轴的力矩的计算:
把外力分解成转动平面内的 分力和垂直于转动平面的分力。
垂直分力与转轴平行，对O点力矩垂直于转轴，则对 转轴力矩为零。
外力对转轴的力矩，就是转动平面内的分力对 该转轴的力矩
M z rf sin rf hf
【思考】如何确定正、负号？
证明：重力对过质心轴的合力矩等于零
刚体各个质元所受重力对任意
2.1.1 刚体的定轴转动
平动：刚体中任意两个质点的连线在运动
刚体的运动
中始终保持平行。 转动
刚体平动的运动特点：刚体平动时各个质元的运动情况 完全相同，可以用刚体质心的运动来表达刚体的平动。
vi ri
ai ri
转 轴：在某一惯性参考系中固定不变的质点集合。 转动平面：垂直于转轴的平面。
刚体转动的运动特点：除转轴上的质元之外，刚体各个质 元都在转动平面内做圆周运动。
把刚体想象地分割成许多质元，刚体就可以看成是由 这些质元组成的质点系。在整个运动和受力过程中，这 种质点系中任何两个质点之间的距离都保持不变。
刚体的运动规律，可通过把牛顿运动定律应用到这种 特殊的质点系上得到。
2.1 刚体的定轴转动和平面平行运 动
2.1.1 刚体的定轴转动 2.1.2 刚体定轴转动定理 转动惯量 力矩 2.1.3 刚体的平面平行运动
例如：圆柱体、球等轴对称刚体在平面上的滚动，等 等。
平面平行运动可分解成：质心运动和绕垂直于运动平 面的过质心轴的转动。
质心运动服从质心运动定理；刚体绕过质心轴的转动 定理与定轴转动定理的形式相同
MC IC
证明：质心运动定理
如果过质心轴没有加速度，相对刚体质心静止的参
考系是惯性系，MC=IC 显然成立。
一点O的合力矩
2.2转动惯量的计算平行轴定理
当质点不受力，或所受合力矩M=0时
d l 0 ，l 常矢量 dt
质点系角动量 L li rim ivi
i
i
质点系角动量变化定理
M外
dL dt
内力总成对出现，则质点系所受合内力矩 等于零，对总角动量没有影响。
角动量守恒定律
如果质点系所受合外力矩 M外 0，则
d L 0 ，L常矢量 dt
2l
m FN
l2
l oP
由角加速度的定义
dd t d d ddt d d
d3gsind
2l
代入初始条件积分 得
3g(1cos)
l
l 2 O´ dr l 2
dr
O´
l
r 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的
质量元 dmdr dJr2dm r2dr
转轴过中心垂直于棒 转轴过端点垂直于棒
J2l/2r2dr1m2l
0
12
J lr2dr1m2l
0
3
2.3 用刚体转动定理解题
例1 如图, 有一半径为 R 质量为m 的匀质圆盘,
MdM0R2N R22d rr3 2NR 0
R
圆盘角加速度 M 3 N
J 4MR
dr
r
dFf
dl
停止转动需时 t 0 3mR0
4 N
例3 一长为 l质量为 m匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
质点对O点的角动量： lrprm v
角动量的大小： lrspin msrivn
右手螺旋定则：右手四指由r经小于180角 转向p，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。
转动惯量的计算平行轴定理
速度.
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m FN
l2
l oP
1 mgl sin J
2
式中
J 1 ml2
3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
m FN
l2
l oP
d d d d dt d dt d
d 3g sind
2l
代入初始条件积分 得
l
r 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的
质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
转轴过中心垂直于棒 转轴过端点垂直于棒
J 2 l / 2 r2dr 1 ml2
0
12
J l r 2dr 1 ml2
0
3
2.3 用刚体转动定理解题
例1 如图, 有一半径为 R 质量为 m的匀质圆盘,
可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之 间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一
端固定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体. 试求物体
下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.
m
Ro
m
oR
m
T
m
T'
Py
解：1） 分析受力 2）选取坐标
注意：转动和平 动的坐标取向要一致.
J 4 MR
dr r
dFf
dl
停止转动需时 t 0 3 mR0
4 N
例3 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究
转动惯量的测定与平行轴定理验证的实验研究摘要：采用三线摆，双线摆，扭摆，测量不同刚性物体的转动惯量，并进一步验证平行轴定理，同时应用扭摆的特性测量切边模量。
关键字：转动惯量；平行轴定理；切变模量转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量分布和转轴位置有关。
根据物体的规则与否，转动惯量的获得分为理论公式法与实验法。
对于规则物体，测量其尺寸和质量，即可通过理论公式计算获得；对于不规则、质量分布不均匀的物体则要通过实验测定。
一． 实验原理（一） 双线摆本实验中，认为双线摆是纯转动的理想模型。
这样，双线摆摆锤的运动可分解为：水平面上的转动以及竖直方向上的振动。
设均匀细杆质量、长为l、绕通过质心竖直轴转动的惯量为；两相同圆柱体的质量之和为2m 1,之间距离为2c ；双绳之间距离为d ，绳长L 。
由右图几何关系分析，当很小时，，得81)2cos -L(1=h 2θθL = （1）由上式可得系统的势能为20018p E m gh m gL θ== （2）杆的转动动能为20)(21dtd I E k θ=（3）由能量守恒得图2几何分析图１双线摆结构图22000011() 28d I m gL m gh dt θθ+= （4）用（4）关于时间求导，并除以，得202004m gL d dt I θθ+= （5）解上面的简谐振动方程，得杆的转动惯量：2020016T gL m I π=（6）测量物体的转动惯量：202()16x m m gL I T π+= (7)待测物体的转动惯量为：22200000222()()161616x x x m m gL m m gL m gL I T I T T πππ++=-=- (8)（二） 三线摆和扭摆① 三线摆左图是三线摆示意图。
上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。
三根对称分布的等长悬线将两圆盘相连。
拨动转动杆使圆盘进行小角度转动，当转动角很小时，忽律空气阻力，以及悬线扭力的影响，由刚体转动定理，得圆盘的转动惯量为(9)式中，m 0为下圆盘的质量；r 和R 分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H 0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T 0为下圆盘的摆动周期，g 为重力加速度。
转动惯量的叠加原理及应用
转动惯量的叠加原理及应用转动惯量的叠加原理是指当物体由多个部分组成时，整个物体的转动惯量等于各个部分的转动惯量之和。
在运用这一原理时，需要考虑到物体的形状、质量和质量分布等因素。
转动惯量是描述物体转动惯性的物理量。
对于质点，其转动惯量可以用质量乘以距离平方来表示。
而对于刚体，其转动惯量则取决于刚体质量分布的性质。
对于具有质点构成的刚体，可以通过对所有质点的转动惯量的叠加来计算刚体的整体转动惯量。
具体地说，如果一个刚体由N个质点组成，其转动惯量可以表示为：I = Σmi * ri^2其中，mi是刚体中第i个质点的质量，ri是第i个质点到转轴的距离。
对于具有连续质量分布的刚体，可以通过分割刚体为多个微元，然后对每个微元的转动惯量进行积分来计算整个刚体的转动惯量。
换句话说，连续体的转动惯量等于各个微元的转动惯量之和：I = ∫r^2 dm在实际应用中，转动惯量的叠加原理有着广泛的应用。
下面将介绍两个典型的应用：1. 旋转刚体的转动惯量：对于旋转刚体而言，可以将其划分为不同的部分，然后利用转动惯量的叠加原理来计算整个刚体的转动惯量。
例如，在机械工程中，设计工程师需要计算旋转部件（如飞轮、摩托车轮）的转动惯量，以便评估其旋转性能。
利用转动惯量的叠加原理，工程师可以将旋转物体划分为若干个简单的几何形状，然后计算每个部分的转动惯量，并将它们相加得到整个物体的转动惯量。
2. 平行轴定理的应用：平行轴定理是转动惯量计算中常用的一种方法。
它利用了转动惯量与转轴位置的关系，通过平移转轴并在新位置上计算转动惯量，从而简化计算。
平行轴定理的应用经常出现在刚体的旋转运动研究中。
举例来说，对于一个规则几何形状的刚体，如长方形板，可以通过计算绕质心的转动惯量，然后利用平行轴定理将质心的转动惯量转换到其他转轴上。
这种方法可简化计算过程，提高计算效率。
总的来说，转动惯量的叠加原理是一种十分有用的方法，可以应用于计算旋转刚体的转动惯量。
用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理
用最小二乘法验证转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理是指，一个物体在一根轴心附近转动的转动惯量，可以通过平移这个轴心到距离原轴心一定距离的地方，再绕新的轴心转动，计算得到。
用最小二乘法可以验证这个定理。
首先，需要测量物体在原轴心处的转动惯量，可以通过在原轴心处旋转物体并测量旋转周期来得到。
然后，需要测量新轴心与原轴心的距离。
接下来，按照平行轴定理，将物体平移并固定在新轴心处，然后在新轴心处旋转物体并测量旋转周期。
根据平行轴定理，新轴心处的转动惯量应该等于原轴心处的转动惯量加上物体质量乘以新轴心与原轴心距离的平方。
即 I_new = I_origin + m * d^2。
使用最小二乘法，可以通过拟合这个公式来验证平行轴定理的正确性。
将 I_new 和 I_origin 分别作为 Y 和 X 轴坐标，m 和 d^2 作为斜率和截距，画出拟合直线并计算相关系数。
如果相关系数接近于 1，则说明平行轴定理得到了验证。
- 1 -。
理论力学中的角动量与转动惯量的计算与分析
理论力学中的角动量与转动惯量的计算与分析在理论力学中，角动量和转动惯量是两个重要的物理量，它们在描述刚体的旋转运动时起着关键作用。
本文将介绍角动量和转动惯量的概念、计算方法以及在不同物理问题中的应用。
1. 角动量的概念及计算方法角动量是描述物体旋转运动的物理量，其大小与刚体的转动惯量和角速度之积相关。
角动量的计算公式为：L = Iω其中，L表示角动量，I是刚体的转动惯量，ω为角速度。
2. 转动惯量的概念及计算方法转动惯量是衡量物体对于转动运动的惯性大小，不同物体的转动惯量与物体的质量分布和几何形状有关。
对于不同形状的刚体，转动惯量的计算方法也不同。
2.1 质点的转动惯量计算对于一个质点绕轴的转动运动，其转动惯量的计算公式为：I = mr²其中，m表示质点的质量，r为质点到轴的距离。
2.2 刚体的转动惯量计算对于具有一定几何形状的刚体，其转动惯量的计算方法相对复杂，需要根据刚体的几何形状采用不同的公式进行计算。
2.2.1 绕轴的转动惯量计算对于绕某一固定轴旋转的刚体，其转动惯量的计算公式为：I = ∫r²dm其中，r表示轴到刚体某一质点的距离，dm为刚体上一个微小质量元素。
2.2.2 平行轴定理和垂直轴定理平行轴定理和垂直轴定理为刚体的转动惯量计算提供了便捷的方法。
平行轴定理表明，如果已经知道了刚体对于通过质心轴的转动惯量I₀，则刚体绕与该轴平行且距离为d的离心轴的转动惯量I可以通过以下公式计算：I = I₀ + md²其中，m为刚体的质量，d为刚体质心到离心轴的距离。
垂直轴定理表明，如果已知了刚体绕垂直于某一轴的转动惯量I₀，则刚体绕与该轴平行且距离为d的轴的转动惯量I可以通过以下公式计算：I = I₀ + md²其中，m为刚体的质量，d为刚体到该轴的距离。
3. 角动量和转动惯量的物理意义及应用角动量和转动惯量在物理学中有广泛的应用。
它们在解析力学、刚体力学以及量子力学等领域起着重要的作用。
3个方向转动惯量关系
3个方向转动惯量关系3个方向转动惯量关系是刚体力学中的一个重要概念，它描述了刚体绕不同轴旋转时所具有的不同转动惯量。
在本文中，我们将深入探讨这个概念，并从不同角度对其进行评估和分析。
1. 什么是转动惯量？在刚体力学中，转动惯量是描述刚体绕某一轴旋转时所具有的旋转惯性的物理量。
它可以看作是刚体对旋转的抵抗能力，类似于物体对直线运动的惯性。
在三维坐标系中，我们可以用三个不同的转动惯量来描述刚体绕不同轴旋转时的行为。
2. 转动惯量的三个方向关系2.1. 主轴定理主轴定理是刚体力学中的一个重要定理，它规定了一个刚体绕其主轴旋转时转动惯量的特性。
根据主轴定理，任意一个刚体都存在三个相互垂直的主轴，绕这些主轴旋转时，转动惯量取得最小或最大值。
具体来说，第一主轴上的转动惯量最大，第二主轴上的转动惯量居中，第三主轴上的转动惯量最小。
这是由于刚体的质量分布和几何形状的关系导致的。
2.2. 转动惯量和质量分布转动惯量的大小取决于刚体的质量分布情况。
如果刚体的质量分布均匀，则转动惯量相对较小；而如果质量分布不均匀，则转动惯量相对较大。
这是因为质量集中在离轴线较远的地方会增加转动惯量的值。
我们在设计和制造一些机械装置时，需要考虑刚体的转动惯量，以确保其稳定性和安全性。
2.3. 转动惯量和旋转方向转动惯量还与旋转方向有关。
当一个刚体绕某一轴旋转时，转动惯量的值和旋转方向有关。
具体来说，如果刚体绕一个轴逆时针旋转，其转动惯量的值与绕同一轴顺时针旋转时的值是不同的。
这是由于刚体的质量分布和旋转方向之间的差异导致的。
3. 个人观点和理解在我看来，转动惯量是刚体力学中一个非常重要的概念。
它不仅帮助我们理解刚体绕不同轴旋转时的物理行为，还在许多实际应用中起着重要作用。
在工程设计中，我们需要考虑刚体的转动惯量，以确保设计的装置可以稳定运行。
转动惯量还有助于解释一些自然现象，如陀螺的旋转稳定性和行星的自转。
总结：通过本文的探讨，我们对转动惯量和其三个方向关系有了更深入的理解。
平行轴定理
平行轴定理（建议）预备知识转动惯量平行轴定理若我们已知刚体关于一个通过其质心的轴（称为质心轴）的转动惯量为 I_0，那么我们可以通过平行轴定理简单地求出刚体关于另一个与质心轴平行的轴的转动惯量 I，而无需重新算一次定积分．令两个轴之间的距离为 R，刚体质量为 M，则计算公式为\begin{align}&I = I_0 + MR^2&(1)\\\end{align}要证明该式，我们把刚体看做质点系，令质心轴到质点 m_i 的垂直矢量为 \boldsymbol{\mathbf{r}} _i，平行轴到质心轴的垂直矢量为\boldsymbol{\mathbf{R}}，则刚体关于平行轴的转动惯量为\begin{align}&I = \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{R}} +\boldsymbol{\mathbf{r}} _i)^2 = R^2\sum_i m_i + \sum_i m_i r_i^2 + 2 \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\cdot \sum_i m_i\boldsymbol{\mathbf{r}} _i&(2)\\\end{align}由于质心轴经过刚体的质心，上式最后一项中的求和为零（），而右边第二项恰好是 I_0，右边第一项中 \sum_i m_i = M，立即可得．证毕．垂直轴定理若我们要求一个刚体薄片关于一条与其垂直的轴（称为垂直轴）的转动惯量 I，我们可以在薄片上取两个互相垂直且与垂直轴相交的轴并分别计算薄片关于这两条轴的转动惯量 I_x 和 I_y．这样就有\begin{align}&I = I_x + I_y&(3)\\\end{align}要证明该式，我们建立空间直角坐标系，令垂直轴与 z 轴重合，另外两条轴分别与 x 轴和 y 轴重合．把刚体看做质点系，令质点 m_i 的坐标为 (x_i, y_i, 0)\begin{align}&I = \sum_i m_i (x_i^2 + y_i^2) = \sum_i m_ix_i^2 + \sum_i m_i y_i^2 = I_x + I_y&(4)\\\end{align}证毕．。
转动惯量的平行轴定理
由上节的定义可知，刚体的转动惯量矩(或回转半径)与惯性积和连体基及其基点的定义有关。
从例5.1-1可以看到。
对于同一个基点不同方位的两个连体基，一般情况下刚体关于两基的转动惯量与惯性积各不相同，但它们有一定的关系(详见6.4节)。
本节讨论当基点改变，连体基的方向不变时刚体的转动惯量间的关系。
在刚体的质心C上建立另一个与平行的连体基。
质心C相对于O的矢径为。
质点P k相对于点O与C的矢径分别为与。
由图5-2可见，这些矢径有如下关系图5-2 不同基点转动惯量的关系(5.1-5)由于两基平行，该矢量式在基上的坐标表达式为(5.1-5')其中为质心C矢径在基上的坐标阵，为P k的矢径在基上的坐标阵。
将式(5.1-5')代入(5.1-2c)，有(5.1-6)考虑到矢径由质心C出发，由质心的矢径与质点矢径间的关系式(2.3-24)，有在连体基的坐标式为(5.1-7)，，因此式(5.1-6)右边的后两项为零。
根据定义，该式右边第一项为刚体相对于Cz轴的转动惯量J Cz，即(5.1-8)右边第二项中的为Oz轴与Cz轴的垂直距离，记为h z。
这样式(5.1-6)变为(5.1-9)同理可得(5.1-10)式(5.1-9)与(5.1-10)描述的是刚体转动惯量的平行轴定理：刚体对任意轴的转动惯量等于它对过质心的平行轴转动惯量加上刚体的质量与两轴垂直距离平方的乘积。
利用同样的方法可得到刚体关于O惯性积与关于C惯性积间的关系式(5.1-11a)(5.1-11b)(5.1-11c)图示一摆由长为l均质杆与一半径为r的均质圆球刚连而成。
质量分别为m1与m2。
计算该摆对过O且垂直杆的z轴的转动惯量。
例5.1-2图解：令过点O杆绕z轴的转动惯量为，球对过质心C2的平行z轴的z2转动惯量为。
由附录A 知，(1)令球对过点O绕z轴的转动惯量为，由式(5.1-9)，考虑到式(1)，有(2)令整个摆对过点O绕z轴的转动惯量为，由定义式(5.1-2c)，考虑到式(1)与(2)有质点系转动惯量与惯量积的定义一质点惯性的度量为该质点的质量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m′
R o
m′
T
Tཧ m' )
m
P y
T = m' mg /(2m + m' ) β = 2mg [(2m + m' ) R]
有一半径为R质量为 匀质圆盘, 例2 有一半径为 质量为 m 匀质圆盘 以角速度ω0绕 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相 同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘, 同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢. 力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出. 压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试 问经过多长时间圆盘才停止转动? 问经过多长时间圆盘才停止转动? 在圆盘上取面积微元, 解: 在圆盘上取面积微元 面积元所受对转轴的摩擦力矩 大小
刚体绕 z 轴的转动惯量 ：
I = ∑ ∆mi ri
i
2
I = ∫ r dm
2
2.2 转动惯量的计算 平行轴定理
如果刚体的一个轴 与过质心轴平行并相 距 d， 则质量为 的刚 ， 则质量为m的刚 体绕该轴的转动惯量， 等于刚体绕过质心轴 的转动惯量与 md 2 之 和
I = I C + md
2
一些均匀刚体的转动惯量 细棒绕中心轴 细棒绕一端轴 薄圆环(筒)绕中心轴 薄圆环 筒 绕中心轴 圆盘(柱 绕中心轴 圆盘 柱)绕中心轴 薄球壳绕中心轴 球体绕中心轴
i i
质点系角动量变化定理
M外
dL = dt
内力总成对出现， 内力总成对出现，则质点系所受合内力矩 等于零，对总角动量没有影响。 等于零，对总角动量没有影响。
角动量守恒定律 如果质点系所受合外力矩 M 外 = 0，则
dL = 0 ，L =常矢量 dt
刚体定轴转动定理： 刚体定轴转动定理：
M z = Iβ
l
质点对O点的角动量： 质点对 点的角动量： l = r × p = r × mv 点的角动量 角动量的大小： 角动量的大小：
l = rp sinθ = mrvsinθ
右手螺旋定则： 右手四指由r经小于 经小于180° 角 右手螺旋定则 ： 右手四指由 经小于 ° 转向p，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。 转向 ，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。 力矩： 力矩：
ω0
dr r dl
刹车片
N rdF f = r ⋅ µ ⋅ 2 ⋅ dldr πR
dFf
面积微元所受摩擦力矩 圆环所受摩擦力矩
N rdF f = r ⋅ µ ⋅ ⋅ d ld r 2 πR
dM = ∫ rdF f =
圆盘所受摩擦力矩
R 2
µNrdr
πR
2
∫0
2 πr
2µNr dr dl = 2 R
r 处的
∫0
l/2 2
1 2 r dr = ml 12
l 2
1 2 J = λ ∫ r dr = ml 0 3
2.3 用刚体转动定理解题
如图, 例1 如图 有一半径为 R 质量为 ′ 的匀质圆盘 m 的匀质圆盘, 垂直盘面的水平轴转动. 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动 转轴与圆盘之 间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一 间的摩擦略去不计 圆盘上绕有轻而细的绳索 端固定在圆盘上, 的物体. 端固定在圆盘上 另一端系质量为 m 的物体 试求物体 下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度. 下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度
M =r× f
方向用右手螺旋定则判断， 方向用右手螺旋定则判断，大小为
M = rf sin ϕ
质点角动量变化定理
dl M= dt
质点角动量守恒定律： 质点角动量守恒定律： 当质点不受力，或所受合力矩 = 时 当质点不受力，或所受合力矩M=0时 dl = 0 ， = 常矢量 l dt 质点系角动量
L = ∑ l i = ∑ ri × mi v i
1 mL2 12
1 2 mL 3
mR
2
1 2 mR 2
2 2 mR 3 2 2 mR 5
讨论： 均匀细长棒， 讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒 垂直的轴的位置不同， 垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 . O O
r
dr
−l 2
O´
dr
l2
O´
l
设棒的线密度为 λ ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 质量元 dm = λdr dJ = r dm = λr dr 转轴过中心垂直于棒 J = 2λ 转轴过端点垂直于棒
FN
l 2
N
θ
1 mgl sin θ = Jβ 2
o
P
1 mgl sin θ = Jβ 2 1 2 式中 J = ml 3 3g β= sin θ 得 2l
由角加速度的定义
m l
FN
l 2
θ
o
P
dω dω dθ dω = =ω β= dt dθ dt dθ 3g ω dω = sin θ d θ 2l 3g ω= (1− cosθ ) 代入初始条件积分 得
2
2µNr dr 2 M = ∫ dM = ∫ = µNR 2 0 R 3 M 3 µN = 圆盘角加速度 β = J 4 MR ω0 3 mRω0 停止转动需时 t = = β 4 µN
ω0
R
dr r dl
dFf
匀质细杆竖直放置， 例3 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 相接，并可绕其转动. 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 由于此竖 直放置的细杆处于非稳定平衡状态， 直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动. 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 转动 试计算细杆转动到与竖直线成 θ 角时的角加速度和角 速度. 速度 解 细杆受重力和 m l 铰链对细杆的约束力 F 作用， 作用，由转动定律得
m′
R o
m′
T
m
解：1） 分析受力 ） 2）选取坐标 ） 注意： 注意：转动和平
o R
m
T'
P y
动的坐标取向要一致. 动的坐标取向要一致
3）列方程（用文字式） ）列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） 牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 转动定律（刚体） 约束条件 转动惯量
mg − T = ma y T ′R = Jβ a y = Rβ T = T ′ J = m' R 2 / 2