2.2 转动惯量的计算 平行轴定理
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先文字计算求解， 文字计算求解， 代入数据求值. 后代入数据求值
m′
R o
m′
T
T'
o R m
ay = 2mg (2m + m' )
m
P y
T = m' mg /(2m + m' ) β = 2mg [(2m + m' ) R]
有一半径为R质量为 匀质圆盘, 例2 有一半径为 质量为 m 匀质圆盘 以角速度ω0绕 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相 同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘, 同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢. 力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出. 压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试 问经过多长时间圆盘才停止转动? 问经过多长时间圆盘才停止转动? 在圆盘上取面积微元, 解: 在圆盘上取面积微元 面积元所受对转轴的摩擦力矩 大小
i i
质点系角动量变化定理
M外
dL = dt
内力总成对出现， 内力总成对出现，则质点系所受合内力矩 等于零，对总角动量没有影响。 等于零，对总角动量没有影响。
角动量守恒定律 如果质点系所受合外力矩 M 外 = 0，则
dL = 0 ，L =常矢量 dt
刚体定轴转动定理： 刚体定轴转动定理：
M z = Iβ
2
2µNr dr 2 M = ∫ dM = ∫ = µNR 2 0 R 3 M 3 µN = 圆盘角加速度 β = J 4 MR ω0 3 mRω0 停止转动需时 t = = β 4 µN
ω0
R
dr r dl
dFf
匀质细杆竖直放置， 例3 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 相接，并可绕其转动. 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 由于此竖 直放置的细杆处于非稳定平衡状态， 直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动. 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 转动 试计算细杆转动到与竖直线成 θ 角时的角加速度和角 速度. 速度 解 细杆受重力和 m l 铰链对细杆的约束力 F 作用， 作用，由转动定律得
m′
R o
m′
T
m
解：1） 分析受力 ） 2）选取坐标 ） 注意： 注意：转动和平
o R
m
T'
P y
动的坐标取向要一致. 动的坐标取向要一致
3）列方程（用文字式） ）列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） 牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 转动定律（刚体） 约束条件 转动惯量
mg − T = ma y T ′R = Jβ a y = Rβ T = T ′ J = m' R 2 / 2
l
FN
l 2
N
θ
1 mgl sin θ = Jβ 2
o
P
1 mgl sin θ = Jβ 2 1 2 式中 J = ml 3 3g β= sin θ 得 2l
由角加速度的定义
m l
FN
l 2Baidu Nhomakorabea
θ
o
P
dω dω dθ dω = =ω β= dt dθ dt dθ 3g ω dω = sin θ d θ 2l 3g ω= (1− cosθ ) 代入初始条件积分 得
1 mL2 12
1 2 mL 3
mR
2
1 2 mR 2
2 2 mR 3 2 2 mR 5
讨论： 均匀细长棒， 讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒 垂直的轴的位置不同， 垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 . O O
r
dr
−l 2
O´
dr
l2
O´
l
设棒的线密度为 λ ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 质量元 dm = λdr dJ = r dm = λr dr 转轴过中心垂直于棒 J = 2λ 转轴过端点垂直于棒
M =r× f
方向用右手螺旋定则判断， 方向用右手螺旋定则判断，大小为
M = rf sin ϕ
质点角动量变化定理
dl M= dt
质点角动量守恒定律： 质点角动量守恒定律： 当质点不受力，或所受合力矩 = 时 当质点不受力，或所受合力矩M=0时 dl = 0 ， = 常矢量 l dt 质点系角动量
L = ∑ l i = ∑ ri × mi v i
刚体绕 z 轴的转动惯量 ：
I = ∑ ∆mi ri
i
2
I = ∫ r dm
2
2.2 转动惯量的计算 平行轴定理
如果刚体的一个轴 与过质心轴平行并相 距 d， 则质量为 的刚 ， 则质量为m的刚 体绕该轴的转动惯量， 等于刚体绕过质心轴 的转动惯量与 md 2 之 和
I = I C + md
2
一些均匀刚体的转动惯量 细棒绕中心轴 细棒绕一端轴 薄圆环(筒)绕中心轴 薄圆环 筒 绕中心轴 圆盘(柱 绕中心轴 圆盘 柱)绕中心轴 薄球壳绕中心轴 球体绕中心轴
ω0
dr r dl
刹车片
N rdF f = r ⋅ µ ⋅ 2 ⋅ dldr πR
dFf
面积微元所受摩擦力矩 圆环所受摩擦力矩
N rdF f = r ⋅ µ ⋅ ⋅ d ld r 2 πR
dM = ∫ rdF f =
圆盘所受摩擦力矩
R 2
µNrdr
πR
2
∫0
2 πr
2µNr dr dl = 2 R
r 处的
∫0
l/2 2
1 2 r dr = ml 12
l 2
1 2 J = λ ∫ r dr = ml 0 3
2.3 用刚体转动定理解题
如图, 例1 如图 有一半径为 R 质量为 ′ 的匀质圆盘 m 的匀质圆盘, 垂直盘面的水平轴转动. 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动 转轴与圆盘之 间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一 间的摩擦略去不计 圆盘上绕有轻而细的绳索 端固定在圆盘上, 的物体. 端固定在圆盘上 另一端系质量为 m 的物体 试求物体 下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度. 下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度
质点对O点的角动量： 质点对 点的角动量： l = r × p = r × mv 点的角动量 角动量的大小： 角动量的大小：
l = rp sinθ = mrvsinθ
右手螺旋定则： 右手四指由r经小于 经小于180° 角 右手螺旋定则 ： 右手四指由 经小于 ° 转向p，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。 转向 ，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。 力矩： 力矩：
m′
R o
m′
T
T'
o R m
ay = 2mg (2m + m' )
m
P y
T = m' mg /(2m + m' ) β = 2mg [(2m + m' ) R]
有一半径为R质量为 匀质圆盘, 例2 有一半径为 质量为 m 匀质圆盘 以角速度ω0绕 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. 通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相 同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘, 同的粗糙平面(俗称刹车片)挤压此转动圆盘,故而有正压 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢. 力N 均匀地作用在盘面上, 从而使其转速逐渐变慢.设正 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出. 压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试 问经过多长时间圆盘才停止转动? 问经过多长时间圆盘才停止转动? 在圆盘上取面积微元, 解: 在圆盘上取面积微元 面积元所受对转轴的摩擦力矩 大小
i i
质点系角动量变化定理
M外
dL = dt
内力总成对出现， 内力总成对出现，则质点系所受合内力矩 等于零，对总角动量没有影响。 等于零，对总角动量没有影响。
角动量守恒定律 如果质点系所受合外力矩 M 外 = 0，则
dL = 0 ，L =常矢量 dt
刚体定轴转动定理： 刚体定轴转动定理：
M z = Iβ
2
2µNr dr 2 M = ∫ dM = ∫ = µNR 2 0 R 3 M 3 µN = 圆盘角加速度 β = J 4 MR ω0 3 mRω0 停止转动需时 t = = β 4 µN
ω0
R
dr r dl
dFf
匀质细杆竖直放置， 例3 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 相接，并可绕其转动. 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 由于此竖 直放置的细杆处于非稳定平衡状态， 直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动. 动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 转动 试计算细杆转动到与竖直线成 θ 角时的角加速度和角 速度. 速度 解 细杆受重力和 m l 铰链对细杆的约束力 F 作用， 作用，由转动定律得
m′
R o
m′
T
m
解：1） 分析受力 ） 2）选取坐标 ） 注意： 注意：转动和平
o R
m
T'
P y
动的坐标取向要一致. 动的坐标取向要一致
3）列方程（用文字式） ）列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） 牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 转动定律（刚体） 约束条件 转动惯量
mg − T = ma y T ′R = Jβ a y = Rβ T = T ′ J = m' R 2 / 2
l
FN
l 2
N
θ
1 mgl sin θ = Jβ 2
o
P
1 mgl sin θ = Jβ 2 1 2 式中 J = ml 3 3g β= sin θ 得 2l
由角加速度的定义
m l
FN
l 2Baidu Nhomakorabea
θ
o
P
dω dω dθ dω = =ω β= dt dθ dt dθ 3g ω dω = sin θ d θ 2l 3g ω= (1− cosθ ) 代入初始条件积分 得
1 mL2 12
1 2 mL 3
mR
2
1 2 mR 2
2 2 mR 3 2 2 mR 5
讨论： 均匀细长棒， 讨论： 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，与棒 垂直的轴的位置不同， 垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 . O O
r
dr
−l 2
O´
dr
l2
O´
l
设棒的线密度为 λ ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 质量元 dm = λdr dJ = r dm = λr dr 转轴过中心垂直于棒 J = 2λ 转轴过端点垂直于棒
M =r× f
方向用右手螺旋定则判断， 方向用右手螺旋定则判断，大小为
M = rf sin ϕ
质点角动量变化定理
dl M= dt
质点角动量守恒定律： 质点角动量守恒定律： 当质点不受力，或所受合力矩 = 时 当质点不受力，或所受合力矩M=0时 dl = 0 ， = 常矢量 l dt 质点系角动量
L = ∑ l i = ∑ ri × mi v i
刚体绕 z 轴的转动惯量 ：
I = ∑ ∆mi ri
i
2
I = ∫ r dm
2
2.2 转动惯量的计算 平行轴定理
如果刚体的一个轴 与过质心轴平行并相 距 d， 则质量为 的刚 ， 则质量为m的刚 体绕该轴的转动惯量， 等于刚体绕过质心轴 的转动惯量与 md 2 之 和
I = I C + md
2
一些均匀刚体的转动惯量 细棒绕中心轴 细棒绕一端轴 薄圆环(筒)绕中心轴 薄圆环 筒 绕中心轴 圆盘(柱 绕中心轴 圆盘 柱)绕中心轴 薄球壳绕中心轴 球体绕中心轴
ω0
dr r dl
刹车片
N rdF f = r ⋅ µ ⋅ 2 ⋅ dldr πR
dFf
面积微元所受摩擦力矩 圆环所受摩擦力矩
N rdF f = r ⋅ µ ⋅ ⋅ d ld r 2 πR
dM = ∫ rdF f =
圆盘所受摩擦力矩
R 2
µNrdr
πR
2
∫0
2 πr
2µNr dr dl = 2 R
r 处的
∫0
l/2 2
1 2 r dr = ml 12
l 2
1 2 J = λ ∫ r dr = ml 0 3
2.3 用刚体转动定理解题
如图, 例1 如图 有一半径为 R 质量为 ′ 的匀质圆盘 m 的匀质圆盘, 垂直盘面的水平轴转动. 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动 转轴与圆盘之 间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一 间的摩擦略去不计 圆盘上绕有轻而细的绳索 端固定在圆盘上, 的物体. 端固定在圆盘上 另一端系质量为 m 的物体 试求物体 下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度. 下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度
质点对O点的角动量： 质点对 点的角动量： l = r × p = r × mv 点的角动量 角动量的大小： 角动量的大小：
l = rp sinθ = mrvsinθ
右手螺旋定则： 右手四指由r经小于 经小于180° 角 右手螺旋定则 ： 右手四指由 经小于 ° 转向p，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。 转向 ，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。 力矩： 力矩：