9. 刚体习题课解析

3
4kr dr r R 4 3 dr M 4kr dr kR 0 d 1 2 d 4 由转动定理：J M mR kR dt 2 dt 2kR 2 2 2 t t d 2kR d 2kR m e dt dt 0 0 0 m m
2mv1 v 2 t Mg
0
（3） （4）
11
例6、质量为M，长为 l 的均匀棒，如图，若用水平力F 打击在离轴下 y 处，求：轴对棒的作用力。 Ry 解：设轴的作用力为: Rx Ry
d yF J 由转动定律: dt t 为作用时间 yF 得到： 0 t J 由质心运动定理： l d 切向：F Rx m 2 dt
v
2v
0 2v
v
0
16
v 2v
2v
o
解：选四人和转台为系统，对O轴 合外力矩 M=0,角动量守恒。
v
R
0
J J 1 1 J 2 2 J 3 3 J 4 4
1 J MR2 2
J J 1 J 2 J 3 J 4 0
mv1 mv2 MVc
系统角动量守恒
c A
1 2 Vc RA mv1 RA mv2 J RAmv2 ML 3 L2 2
3 弹性球碰撞，机械能守恒 2 1 1 1 2 1 2 Vc 2 mv 1 mv 2 ML 2 2 3 L 2 2
8
例4、质量为m，半径为R的圆盘，可绕过盘中心且垂直 于盘面的轴转动，在转动过程中单位面积所受空气的阻 力为 f kv ， t 0 时，圆盘的角速度为 0 ，求盘在任 意时刻的速度 (t )。 解:先求阻力力矩, 取半径为r宽为dr的圆带 2 dM 2rf (2rdr) 4kvr dr

13 L mRv mRu 8
7
R o
m
4
dL 根据角动量定理： M dt
1 M Rmg 2
13 L mRv mRu 8
v
m
1 d 13 m gR m Rv m Ru 2 dt 8
m
2
du 0 dt
dv 4 a g dt 13
FRA J
质心运动定理 F Mac 联立可得： R 2 L A
1 ML2 3
L ac rc 2
13
3
（2）如果用质量为m=M，速度为v1的弹性球 沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对细杆的作用 力将如何？
Fy o RA Rc
v1
球打在A点，轴间仍没有x方向轴力 球和棒系统，水平方向动量守恒
E p mghc
A Md
6.机械能守恒定律
1
2
Байду номын сангаас
1 E k J 2 2
当只有保守力矩作功 Ek Ep 恒量
说明： （1）粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看 成一个刚体，不要分开考虑。
它们的和均相同，但不同半径处的 和a不同。
如图，在r处：
or R
r1 t 10 1 fdt J1 0 d 2 fr 盘2：J 2 fr2 d2 2 dt dt J2 r2 t 2 fdt 0 J 2 J1 J2 于是有： (10 1 ) 2 r1 r2
0, 例11、两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度为 1、 、 2 求：对接后两轮无相对滑动时的角速度 1
fB
fA
atA = atB
由题意：
1 rB f B = J B B 2 rA A = rB B 3
J A A
6
则：FA : FB = 1 : 2
例3、一轻绳绕过一半径为R，质量为m/4的滑轮。质量 为m的人抓住了绳的一端，在绳的另一端系一个质量为 m/2的重物，如图所示。求当人相对于绳匀速上爬时， 重物上升的加速度是多少？ 解：选人、滑轮与重物为系统 对O轴，系统所受的外力矩为： m o R 4 m 1 M Rmg R g Rmg 2 2 v 设u为人相对绳的匀速度，v 为重物上升 m 的速度, 则系统对o轴的角动量为: m 1m 2 2 L R m v Rm u v J J R 2 2 4
1 2 J 木 mR木 R铁 R木 2 由角动量定理得： M L J t t
J铁
1 2 mR铁 2
J铁 J木
M相同， 也相同 , 所以：
J木 J铁 t 铁 t 木
J木 t木 t铁 t铁 J铁
5
因此，铁圆板先停
例2. 如图，转轮A、B可分别独立地绕o轴转动。
N1 f m1 g N 2 f m2 g
2 2 1 2
10
f
以O1点为参考点，计算系统的外 力矩 M ( N m g )(r r )
r1
f (r1 r2 ) 0
o1
f
o2
r2
作用在系统上的外力矩不为0 ，故系统的角动量不守恒 只能用转动定律做此题
m1 g
解： m与M碰撞过程， 系统（m,M）对O轴角动量守恒
o
mv1 L mv2 L J
1 2 J ML 3
（1） （2）
v 2 v1
碰后细棒转动直至停止，受摩擦阻力矩作用
10
mv1 L mv2 L J
碰后：
（1）
（2）

dm dx
1 2 J ML 3
v1
8v 0 9R
由 以上各式解出：
0
2
2v
o
v
R
0
第二问答案：
自己作
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例9、半径为R的均匀细圆环，可绕通过环上O点且垂直于环面的 水平光滑轴在竖直平面内转动，若环最初静止时直径OA沿水平 方向(如图所示)。环由此位置下摆，求A到达最低位置时的速度
mM
RA
L
Fy 2 Mg MVc / Rc
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6 Vc v 7
例8、在半径为R1,质量为m的静止水平圆盘上，站一 质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖 直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2的 圆周匀速地走动时，设它相对于圆盘的速度为v，问 圆盘将以多大的角速度旋转？ 解： 设圆盘的角速度为 v 人相对于地面的角速度： R2 人走动前后角动量守恒 1 v 2 2 0 J J mR1 mR2 ( ) 2 R2 2 R2 2 v 2
9
o
例5. 质量为M长为L的均质细棒静止平放在滑动摩 擦系数为 的水平桌面上。它可绕O点垂直于桌面 的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m的 小滑块，从侧面垂直于棒方向与棒发生碰撞，设碰 撞时间极短。已知碰撞前后小滑块速度分别为 v1和 。求细棒碰撞后直到静止所需的时间是多少？
v2
其中：
1 2 mr ( M )R 2 J1 J 4 4 2 2 1 R 1 J 2 J 3 mr M MR 2 4 2 16
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人对地 人对台 台对地
R
v 2v



v
v r 1 4 R 2v 2 3
r at r an / r
2
在R处 :
R at R an / R
2
（2）用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考 虑。
3
M 2 o2
B
R2
C
o1R1 M1
D
1
同一根绳上各点的切向
加速度和线速度相同；
A
m2
at A = at B = at C = at D
m1
C D
（2）跨过有质量的圆盘两边的绳子中的张力不相等； （3）两个圆盘的角速度和角加速度不相等。
TA TB TD 但 TB T（忽略绳子的质量） C
1 2
1 2
4
例1. 现有质量相同，厚度相同的铁质和木质圆板各一个。令其 各自绕通过圆板中心且与圆板垂直的光滑轴转动。设其角速度 也相同。某时刻起两者受到同样大小的阻力矩，问：哪种质料 的圆板先停止转动？ 解： 铁质和木质圆板的转动惯量分别为：
解：以环、地球为系统，系统机械能守恒 设O点为势能零点
2
J J c MR 2 2 2 MR MR 2 MR g R
1 2 J MgR 0 O 2
R
A
A 2R 2 gR
A
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例10、两个均质圆盘转动惯量分别为 J1 和 J2 , 开始时第一 个圆盘以10的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使 两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆 盘的角速度. N2 解：受力分析：无竖直方向上的运动 N1
刚体定轴转动习题课
1.刚体定轴转动定律：
M J
J r dm mi ri 2.刚体的转动惯量： J 2 平行轴定理： J J c md
2
2


3.刚体定轴转动的角动量定理：
4.角动量守恒定律： Mz=0 5.刚体转动的功和能：
dLz ( L J ) Mz z dt Lz1 Lz 2 恒量
法向：
Rx
y
F
3y 于是得到： Rx (1 ) F 2l
l 2 R y mg m 2
9 F y (t ) Ry m g 3 2l m 12
2 2 2
例7、如图所示，以水平力F打击悬 Fy 挂着的质量为M、长度为L的均匀细杆。 如果打击点A选择得合适，在打击的过 o 程中，支撑轴o对细杆的水平切向力Fx 为零，称该点为打击中心。试求： Fx （1）打击中心A与支撑轴o之间的距离RA。 RA R c c （2）如果用质量为m=M，速度为v的弹 性球沿水平方向击中A点，碰撞后轴o对 A 细杆的作用力将如何？ F 解(1)由转动定律