高中物理竞赛解题方法之降维法例题
3.“降维法”求解立体问题1
第三讲 降维法求解立体问题方法概述：所谓“降维法”是指在解题过程中，根据问题的需要，利用特定的观察角度将物理图形的空间维数降低，即将立体转化为平面、平面转化为直线、直线转化为点，从而使研究的对象更为直观、求解的过程更为简捷的方法。
降维法的优点是把不易观察的三维空间物理量的关系在二维图中清晰地表现出来，或者把二维复杂的物理过程用简单的一维物理过程呈现出来，从而找到各物理量之间的关系。
例1、如图所示，有一边长为a 的正方体盒子，在盒子的底部A 处有一只蜘蛛，而在对角的顶点B 处有一只苍蝇，假定苍蝇在B 处不动，蜘蛛才恒定的速率v 沿着盒子的表面爬行，求蜘蛛册捕捉到苍蝇的最短时间。
答案：va t 5min =例2、如图所示,在倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体,重力为G ,现在用与斜面底边平行的力F=G/2推物体,物体恰能在斜面上斜向下匀速直线运动,则物体与斜面之间的动摩擦因数是多少?答案： 36例4、如图所示，A 、B 为竖直墙壁上等高的两点AO 、BO 为长度相等的两根轻绳，CO 为一根轻杆．转轴C 在AB 中点D 的正下方，AOB 在同一水平面上．∠AOB=90°，∠COD=60°．若在O 点处用轻绳悬挂一个质量为m 的物体，则平衡后绳AO 所受拉力的大小为（ D ）A ．mgB ．mgC ．mgD ．mg例5、 如图所示，静止的圆锥体铅直放置， 顶角为ɑ，有一质量为m 并分布均匀的细炼条圆环水平地套在圆锥体上。
忽略炼条与锥面之间的摩擦力，试求炼条中的张力T 。
答案：2cot 2απmg T =例6、 把一根长为L 的光滑钢丝均匀地绕成一个高为h 的弹簧，现把该弹簧竖直固定在地面上，让一个小环穿在钢丝上，并使其由静止开始下滑，假设整个过程中弹簧的形变不计，小环下滑过程中所用的时间t= 。
ghL t 2=例6、边长为L 的正方形线框abcd 在磁感应强度为B 的匀强磁场中绕轴OO′匀速转动．初始时刻线框平面与磁场垂直，如图所示．经过t 时间，线框转过120°．求线框转动周期和线框转过120°时感应电动势的瞬时值；答案：线框转动周期和线框转过120°时感应电动势的瞬时值：tBL 332π例7、一根通有电流I 1的长直导线OOʹ竖直放置，另有一矩形导线框abcd 的电流平面放在竖直平面内，通有如图所示得电流I 2。
专题46 割补法、微元法、递推法和降维法(原卷版)
2023年高三物理二轮常见模型与方法强化专训专练专题46 割补法、微元法、递推法和降维法【特训典例】一、割补法1．如图所示，一个质量为M 的匀质实心球，半径为R ，如果从球中挖去一个直径为R 的小球放在相距为2d R =的地方，则挖去部分与剩余部分的万有引力为（ ）A ．227256GM RB ．2217144GM RC ．227288GM RD ．2223800GM R2．均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。
如图所示，半径为R 的球体上均匀分布着正电荷，在过球心O 的直线上有A 、B 、C 三个点，OB BA R ==，2CO R =。
若以OB 为直径在球内挖一球形空腔，球的体积公式为343V r π=，则A 、C 两点的电场强度大小之比为（ ）A ．9:25B ．25:9C ．175:207D ．207:1753．已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势处处相等．如图所示，正电荷均匀分布在半球面上，Ox 为通过半球顶点与球心O 的轴线．A 、B 为轴上的点，且OA=OB ．则下列判断正确的是（ ）A．A点的电场强度与B点的电场强度相同B．A点的电势等于B点的电势C．在A点由静止开始释放重力不计的带正电粒子，该粒子将做匀加速直线运动D．带正电的粒子在O点的电势能为零二、微元法4．解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用，如图所示，假设驴拉磨的力F总是与圆周轨迹的切线共线，运动的半径为R，则驴拉磨转动一周所做的功为()A．0B．FR C．2πFR D．无法判断5．半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。
点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为ΔL的小圆弧上的电荷。
将一点电荷q置于OC延长线上距C 点为2R的D点，O点的电场强度刚好为零。
圆环上剩余电荷分布不变，则q为（）A ．正电荷，2Q Lq R π∆= B ．正电荷，9Δ2Q Lq R π= C ．负电荷，2Q Lq Rπ∆=D ．负电荷，9Δ2Q Lq Rπ=6．2006年9月，中国第一座太空娱乐风洞在四川省绵阳市建成并投入运营。
13.降维法
十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。
由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。
降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。
赛题精讲例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G ，静止在斜面上。
现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。
但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。
我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。
将重力沿斜面、垂直于斜面分解。
我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。
如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G F F 22212=+=' F ′的方向沿斜面向下与推力成α角， 则 ︒=∴==451tan 1ααFG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f N μ 例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n 周时，外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π①圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =② 解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDga π=例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B 的半径R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
降维法解题
降维法解题
邵琼
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2008(000)012
【摘要】变量的个数称为“维数”，平面是二维空间．《解析几何》课本中两点间距离公式，线段定比分点公式，直线的斜率公式以及点到直线的距离公式，都是通过作点或线段在坐标轴x轴（或y轴）上的射影，将问题转化为只与横坐标（或纵坐标）有关问题，化二维空间的问题为一维空间的问题，
【总页数】3页(P14-16)
【作者】邵琼
【作者单位】福建省晋江二中,362212
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.降维法解题例谈 [J], 谢红
2."降维法"解题的"四化"策略 [J], 姜峰
3.偏最小二乘降维法在粤西层控型铅锌矿床发育区水系沉积物地球化学测量数据分析中的应用 [J], 高乐; 周永章; 王琨; 曾志强; 卢宇彤; 黄勇杰
4.胸腔镜下膨胀萎陷联合立体降维法处理肺段间平面的临床应用 [J], 张雷;李小军;王伟;宋超;耿阳;陈鹏飞
5.基于均值点展开的单变元降维法在EIT不确定性量化研究中的应用 [J], 赵营鸽;李颖;王灵月;崔阳阳;王冠雄
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物理习题中的三维问题的处理方法
图1B物理习题中的三维问题的处理方法湖南省浏阳市一中（410300）张学明同学们一般习惯于解答一维问题（如直线运动）和二维问题（如平抛运动），对于三维问题往往感到比较困难，其原因在于三维问题要求有比较强的空间想象能力。
如何处理三维问题呢？降维法是一种常见的处理方法。
1利用三视图，将三维问题转化为二维护问题三视图是从三个不同的侧面观察和描述立体图形的一种重要手段。
它包括正视图形、侧视图、俯视图。
通过三视图可以将三维问题转化为二维问题。
例1：如图1，一个矩形线圈abcd 绕其对称轴OO ’轴在水平向右的匀强磁场中以角速度ω旋转，已知磁场的磁感应强度为B ，线圈的电阻为R ，ab=L 1,bc=L 2。
线圈的起始位置与磁场方向平行。
当线圈旋转600的角度时，求线圈所受的安培力矩M.解析：为了便于求解，我们采取俯视图（图2） (1)在转到600的位置时，线圈的感应电动势230sin 22101ωL BL v BL E ==, 感应电流RL BL i 221ω=故安培力矩RL L B i L BL L i BL LF M 22222222122121ω====2利用等效法将三维问题二维问题例2：如图，质量为m ，带电量为q 的粒子，从坐标轴原点O沿+y 方向以速度v 匀强磁场，电场强度为E ，磁感应强度为B 。
当带电粒子从原点O 出发到第一次与xoz 平面相交于P 点，OP 间的距离为多大？用运动的分解的等效方法将其转化为二维问题。
粒子在平行于xoy 平面内作匀速圆周运动，内作初速度为0的匀加速运动。
作圆周运动的半径为R =qB m T π2=，粒子到达P 点时，所用的时间qB m t π=，在轴方向的位移为qBmvR x 22==A CBO ’ α在oy 方向的位移2(21qBm m Eq y π=故OP 之间的距离2222222224)2(qB v m q B m E y x OP +=+=π3选择适当的截面图，将三维问题转化为二维问题例3：三个半径为r ,质量相等的球放在一个半球形碗内，现把第四个半径也为r 质量也相同的球放在这三个球的正上方，要使四个球都静止，大的半球形碗的半径应该满足什么条件？解：设A 、B 、C 、D 为四个球的球心，构成一个正四面体。
高中物理竞赛试题解题方法
高中物理竞赛试题解题方法：整体法方法简介整体是以物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一种把具有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体，多个状态，或者多个物理变化过程组合作为一个融洽加以研究的思维形式。
整体思维是一种综合思维，也可以说是一种综合思维，也是多种思维的高度综合，层次深、理论性强、运用价值高。
因此在物理研究与学习中善于运用整体研究分析、处理和解决问题，一方面表现为知识的综合贯通，另一方面表现为思维的有机组合。
灵活运用整体思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”的魅力，把物理问题变繁为简、变难为易。
赛题精讲例1：如图1—1所示，人和车的质量分别为m和M，人用水平力F拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向，不计滑轮质量及摩擦，若人和车保持相对静止，且水平地面是光滑的，则车的加速度为。
解析：要求车的加速度，似乎需将车隔离出来才能求解，事实上，人和车保持相对静止，即人和车有相同的加速度，所以可将人和车看做一个整体，对整体用牛顿第二定律求解即可。
将人和车整体作为研究对象，整体受到重力、水平面的支持力和两条绳的拉力。
在竖直方向重力与支持力平衡，水平方向绳的拉力为2F，所以有：2F = (M + m)a，解得：a =2F M m例2：用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图1—2所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是（）解析：表示平衡状态的图是哪一个，关键是要求出两条轻质细绳对小球a和小球b的拉力的方向，只要拉力方向求出后。
图就确定了。
先以小球a、b及连线组成的系统为研究对象，系统共受五个力的作用，即两个重力(m a + m b)g ，作用在两个小球上的恒力F a、F b和上端细线对系统的拉力T1。
因为系统处于平衡状态，所受合力必为零，由于F a、F b大小相等，方向相反，可以抵消，而(m a + m b)g的方向竖直向下，所以悬线对系统的拉力T1的方向必然竖直向上。
巧用“降维”思想解决物理立体图难题
数理出 解题研究2019年第13期总第434期第(1)个问题是在步骤④中可以减小对下落时间/测量的误差的类型是什么？时间测量自然属于人为操作 快慢和读数问题带来的误差，因此属于偶然误差.第(2)个问题是在本实验要求小钩码的质量m 远远小于重锤的质量M,其目的是什么？给出了四个选项，是 一种判断性的问题,可以通过对自由落体的特征进行分析，因为重力加速度较大，造成下落〃高度的时间较短, 测量时间越短实验误差自然就越大，要使重锤下落的时 间变得更长，就必须采取减小系统下降的加速度，因此小 钩码的质量m 远远小于重锤的质量M.第(3)个问题是探究轮的摩擦阻力会引起实验误差 问题.是一种开放性的问题,本问较为巧妙，也代表着命题的趋势，考生需要弄清减小摩擦阻力变化的原理方法， 橡皮泥粘在什么物体上，其作用的原理是什么,这都需要学生在平时从实验操作中用心体会的，这也是在高考备考中必须具备的物理实验素养.第(4)个问题是根据测量数据(在题干中已经给出)进一步处理，目的是让学生能够通过牛顿第二定律进行思考，通过公式简单的变形和分析得出相应的答案，分析 简单而基础.在2018年江苏的高考物理试卷中类似例3的试题还有许多，如第10题,该题是对测量某干电池的电动势和 内阻的物理实验的考查，属于电学的基本实验，其目的在于考查学生的实验数据处理能力和误差分析能力，在这里就不再一一细说了.通过上述实验案例就可以对今天的备考有清晰的脉络.在注意“双基”的同时，应该去发展学生的物理思维的 方法，比如去分析实验数据、比较不同实验结果、抽象出 实验蕴含的物理规律等等，其中在物理备考过程中，通过 基本实验的提炼让抽象的物理概念形象化，让学生在备考中掌握对物理规律以演绎、归纳与概括的方法，从而达成提升学生物理学科的核心素养.总之，高考备考过程是将物理基本概念、基本规律重新打磨的过程，只有在这个过程中要求学生的勤于思考,通过学生在备考中积极的思考的过程,才能务实的挖掘出物 理概念和原理的内涵与夕卜延，才能在高考中蟾宫折桂.参考文献：［1］ 朱亚军.2017年江苏高考物理试卷评析与2018 年高三物理复习建议［J ］.中学教学参考,2017 (23)： 34 - 37.［2］ 金溢.近五年江苏高考物理实验题的特点分析与复习策略［J ］.中学物理教学参考,2017(23) ：47 -49.［3］ 张丹彤.高考物理实验试题的创意思想对高中物 理实验教学的启示——以江苏省高考物理试题为例［J ］. 物理教师,2015,36(11) ：84 -88.［责任编辑：闫久毅］巧用“降维”思想 解决物理立体图难题钱启明(江苏省启东市第一中学226200)摘要:在高中物理当中，很多题目组成都要用到三维立体图，这就给很多同学理解，分析以及解题造成 了很大的困难，为了让立体图变得更加“亲切”，同学们应该掌握如何将三维图简化的方法，让三维图不再是同 学们解题路上的“拦路虎”.关键词：立体图；降维思想中图分类号:G632 文献标识码：a 文章编号：1008 -0333(2019)13 -0074 -02三维视图问题对学生空间思维能力和综合处理问题 能力要求高，多数同学会觉得问题所描述的情况无法想象，无法熟练的运用知识来解决这类问题.学生在数学中已经了解了三视图的方法，所以需要做的就是引导学生 运用这个方法解决物理问题.一、运动方向一分为二，化繁为简在很多力学问题当中，物体运动除了直线外,会遇到某些特殊的运动轨迹，这样的运动方式让受力分析成为难点，我们不妨换一个思路,将复杂运动分解为若干简单收稿日期:2019-02 -05作者简介:钱启明(1982. 4 -),男，江苏省启东人，本科，中学一级教师，从事高中物理教学研究.—74—2019年第13期总第434期数理化解题研究运动，化繁为简，让复杂运动不再复杂.例1某人骑电动车车在圆筒形内沿着筒壁骑行.电动车加速行驶直到可以在筒壁上以匀速骑行，如图1所示.如果电动车(包括人)的总质量为M,筒壁半径为R,匀速率行驶的速率为”，每行驶一圈上升爪求电动车匀速行驶时的向心力.解析电动车的速度"，可分解为水平分速度v,和垂2直分速度为”2，则向心加速度为a=乍.问题的关键是将运动轨迹展开为一个面，如图2所示，其倾角为a,倾角的余弦为沁=7^帶+产向心加速度为心知~2"*-)，向心力F=Ma=Mv2 V(2tt R)2+h24tt2R (4tt2/?2+/i2)点拨从本题我们可以了解，运动不仅包括直线运动还包括各种复杂运动，而我们要做的就是删繁就简，将复杂问题简单化,在分析当中抽丝剥茧，这就需要同学们掌握数学知识和物理知识，以便从容应对此类问题.二、立体电阻分解，一目了然物理的电磁学当中少不了与电阻打交道，平面的电阻电路图是非常常见的，但是如果遇到立方形的电阻是不是还能从容应对呢，这就需要我们用一定的技巧进行简化，让立体变平面.例2如图3所示，某立方形是用12根阻值均为r的电阻丝构成.求立方形当中4点和G点之间的等效电阻.解析我们看到电路是由立方形组成，现将该立体电路“压平”成平面电路图，如图4所示.D图4由于到D、E、B三点等势,C、F、H三点等势,则立体电路可等效为如图5所示的电路图，所以A点和G点之间总电阻为点拨电磁学问题是物理学的重中之重，掌握电磁学的各种解题方法是非常必要的，但是同学又不能拘泥于物理学当中，这里就非常典型的运用了数学当中的几何知识，是立体变平面的典型问题.三、斜面变平面，信手拈来此问题的图形是三维的,不容易掌握物体的加速度，难度增加•如果我们能通过三视图将三维变成二维，问题就会容易得多.我们可以将立体图用三视图法，将分解成由两个运动轨迹的合体,这样解决起来可谓信手拈来.例3如图6(1)所示光滑带有斜度的平面长为a,宽为b,斜度为a,现有一个圆球在斜面上方P点水平抛出，要想使圆球从Q点离开，则需要圆球的初速度％是解析此题可以分解为两个方向，水平方向(如图6 (3))为匀速直线运动，速度为％.沿斜面向下方向(如图6(2))为初速度为0的匀加速运动，加速度为a=gsina,则a=*gt2sina, b=v o t,联立两个式子解得：％=b点拨三维运动分解为两个或者若干个平面运动，是解决此类问题的关键所在，也是让复杂问题简单化的“黄金钥匙”,深刻理解题意是前提,熟练掌握数学、物理知识是基础，灵活的思维是途径，正确分解图形是“钥匙”.以上三个例题分别介绍了三种“降维”方法，在以后的学习当中还需要同学自己摸索，自己探究，把数学几何思维和物理结合起来，不再让立体图成为难点，化繁为简，数形结合，以发散的思维看问题，这是学习的正确路径之所在.参考文献：［1］王正青.高中物理中解题方法归纳探究［J］.数理化解题研究,2017(22).［2］周杨.关于新课改高中物理解题方法探究［J］.商,2015(5)：277,［责任编辑：闫久毅］—75—。
高中立体几何中球体问题的两类降维方法探究
高中立体几何中球体问题的两类降维方法探究高中立体几何中球体问题的两类降维方法探究吴㊀婷（无锡市第一女子中学，江苏㊀无锡㊀２１４００２）ʌ摘要ɔ高中立体几何有着深厚的数学文化背景，与社会实践息息相关．而立体几何中的球体是现实生活中最常见的数学模型之一．学生通过立体几何球体部分知识的学习能更好地提升数学学科素养，以适应今后的社会发展．然而，在实际教学过程中，不少学生表现出对球体问题的畏难情绪，主要原因在于基础知识概念的模糊㊁空间想象能力不足以及立体几何到平面几何的知识迁移能力不足等．基于此，文章从将球体问题降维至球心所在平面，将球体问题降维至其他辅助平面两个方面指导学生使用 降维思想 ，促使学生利用 降维思想 去解决球体问题．学生掌握这两种降维方法对于掌握立体几何中的球体问题有着重要意义．ʌ关键词ɔ立体几何；球体；降维思想引 言降维思想泛指将一个复杂的数学问题转化为一个相对简单的问题，从而达到简化解决数学问题的思维模式．在处理与球相关的问题时，教师可以指导学生进行立体几何和平面几何知识间的迁移，实现数学上的降空间维度，从而将原本复杂的空间球体问题转化为更容易理解和求解的平面问题．对于高中数学立体几何球体问题的降维策略，教师可尝试指导学生进行以下两大类降维处理方法．一㊁将球体问题降维至球心所在平面过球心的平面截球产生的截面圆即 大圆 ，大圆中涵盖了球的关键要素，所以在进行有关球的计算时，可以将空间问题降维转化至大圆所在平面，即运用转化化归思想实现化球为圆来解决问题．在平面内可以利用相似三角形关系㊁勾股定理㊁正余弦定理等几何原理求解．例１㊀在直角三角形ＡＢＣ中，斜边ＡＢ长为２，绕直角边ＡＣ所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球的表面积为１６π３，则ＡＣ长为（㊀㊀）．Ａ．３２㊀㊀㊀Ｂ．１㊀㊀㊀Ｃ．２㊀㊀㊀Ｄ．３分析㊀本题考查球的表面积公式和圆锥的结构特征，考查学生的空间想象能力．设ＡＣ＝ｍ，则ＢＣ＝４－ｍ２．依题意可得旋转后得到的几何体为圆锥．根据外接球的表面积求出球的半径，设外接球的球心为Ｏ，则球心在直线ＡＣ上，利用勾股定理得到方程，即可求出ｍ．㊀图１解㊀如图１，设ＡＣ＝ｍ，因为ＡＢ＝２，所以ＢＣ＝ＡＢ２－ＡＣ２＝４－ｍ２，绕直角边ＡＣ所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为Ｒ，则４πＲ２＝１６π３，解得Ｒ＝２３３，设外接球的球心为Ｏ，则球心在直线ＡＣ上，所以４－ｍ２＋ｍ－２３３æèçöø÷２＝４３，解得ｍ＝３．故选Ｄ．㊀图２例１变式㊀三星堆古遗址作为 长江文明之源 ，被誉为人类最伟大的考古发现之一．３号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代 天圆地方 观念，是天地合一的体现．如图２，假定某玉琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为１２ｃｍ，圆柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球Ｏ上，则球Ｏ的表面积为（㊀㊀）．Ａ．７２πｃｍ２㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．１６２πｃｍ２Ｃ．２１６πｃｍ２Ｄ．２８８πｃｍ２分析㊀本题以数学传统文化切入，考查球的切㊁接问题，圆柱与正方体的结构特征．由题意可设圆柱９５１底面半径为ｒ，则正方体的棱长为２ｒ，进而可求正方体的外接球半径为３ｒ，再根据圆柱的底面圆在球面上可结合勾股定理构造等量关系式求ｒ，则球半径可求，最后利用球的表面积公式求解．㊀图３解㊀如图３，设圆柱的底面半径为ＡＢ＝ｒ，则正方体的棱长为２ｒ，正方体外接球半径ＯＢ＝Ｒ＝３２ˑ２ｒ＝３ｒ，因为圆柱的高ｈ＝１２ｃｍ，则１２２æèçöø÷２＋ｒ２＝Ｒ２⇒ｒ２＝１８⇒ｒ＝３２，所以外接球半径Ｒ＝３ｒ＝３６，外接球表面积为Ｓ＝４πＲ２＝２１６π（ｃｍ２）．故选Ｃ．点评㊀例１及变式中与球有关的切㊁接等问题，教师可以引导学生通过球心和多面体的特殊点或特殊面作截面，从而实现三维问题至平面问题的转化，紧扣其中的垂直本质，利用勾股定理运算．二㊁将球体问题降维至其他辅助平面另一种降维处理的策略是将球体问题投影到其他辅助平面上，例如球的外接几何体的底面㊁球的内接几何体的对角面㊁小圆所在平面等．在这些平面上，可以使用圆的性质㊁平面向量㊁基本不等式等数学工具解决问题．例２㊀如图４所示，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，Ｏ１，Ｏ２为圆柱两底面的圆心，Ｏ为球心，ＥＦ为底面圆Ｏ１的一条直径，若球的半径ｒ＝２，则（㊀㊀）．图４㊀图５Ａ．球与圆柱的体积之比为２ʒ３Ｂ．四面体ＣＤＥＦ的体积的取值范围为（０，３２］Ｃ．平面ＤＥＦ截得球的截面面积最小值为４π５Ｄ．若Ｐ为球面和圆柱侧面的交线上一点，则ＰＥ＋ＰＦ的取值范围为［２＋２５，４３］分析㊀本题考查圆柱与球的表面积㊁体积以及折线段长度和的最值问题，考查学生的空间思维能力和逻辑推理能力．解㊀由球的半径为ｒ，可知圆柱的底面半径为ｒ，圆柱的高为２ｒ，则球体积为４３πｒ３，圆柱的体积为πｒ２㊃２ｒ＝２πｒ３，所以球与圆柱的体积之比为２３，故Ａ正确．如图５（１），连接ＤＯ１，过Ｏ作ＯＧʅＤＯ１于Ｇ，则由题可得ＯＧ＝１２ˑ２ˑ４２５＝２５５，设Ｏ到平面ＤＥＦ的距离为ｄ１，平面ＤＥＦ截得球的截面圆的半径为ｒ１，则ｄ１ɤＯＧ，ｒ２１＝ｒ２－ｄ２１＝４－ｄ２１ȡ４－４５＝１６５，所以平面ＤＥＦ截得球的截面面积最小值为１６５π，当ｄ１＝０时，平面ＤＥＦ截得球的截面面积最大，为４π，故Ｃ错误．在图４中连接ＤＯ１，ＣＯ１，则由题可知四面体ＣＤＥＦ的体积等于２ＶＥ－ＤＣＯ，点Ｅ到平面ＤＣＯ１的距离ｄɪ（０，２］，又ＳәＤＣＯ＝１２ˑ４ˑ４＝８，所以２ＶＥ－ＤＣＯ＝２３ˑ８ｄɪ０，３２３æèçùûúú，故Ｂ错误．由题可知点Ｐ在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设Ｐ在底面的射影为Ｐᶄ，如图５（２）所示，则ＰＰᶄ＝２，ＰＥ＝２２＋ＰᶄＥ２，ＰＦ＝２２＋ＰᶄＦ２，ＰᶄＥ２＋ＰᶄＦ２＝１６，设ｔ＝ＰᶄＥ２，则ｔɪ［０，４２］，ＰＥ＋ＰＦ＝２２＋ｔ＋２２＋１６－ｔ，所以（ＰＥ＋ＰＦ）２＝（２２＋ｔ＋２２＋１６－ｔ）２＝２４＋２－ｔ２＋１６ｔ＋８０＝２４＋２－（ｔ－８）２＋１４４ɪ［２４＋８５，４８］，所以ＰＥ＋ＰＦɪ［２＋２５，４３］，故Ｄ正确．故选ＡＤ．点评㊀在处理选项中截面圆面积最值时，将面积最值转化成半径的最值，而通过对球问题的扁平化处理，结合圆的知识，不难发现当球心至截面距离最大时，可以取到截面圆面积最小值，从而只需在轴截面ＡＢＣＤ中进行平面几何基本量的运算．在折线段长之和最值选项中，通过 投影 关键几何要素，将异面转化成共面，实现问题平面化㊁图形可视化，最终做到维度降低，化繁为简．例２变式㊀已知球Ｏ的半径为４，球心Ｏ在大小为６０ʎ的二面角α－ｌ－β内，二面角α－ｌ－β的两个半平面所在的平面分别截球面得两个圆Ｏ１，Ｏ２，若两圆Ｏ１，Ｏ２的公共弦ＡＢ的长为４，Ｅ为ＡＢ的中点，四面体ＯＡＯ１Ｏ２的体积为Ｖ，则正确的是（㊀㊀）．Ａ．Ｏ，Ｅ，Ｏ１，Ｏ２四点共圆㊀㊀Ｂ．ＯＥ＝２３Ｃ．Ｏ１Ｏ２＝３Ｄ．Ｖ的最大值为３２０６１分析㊀本题结合二面角模型主要考查了球的几何性质的应用，考查了学生的空间想象㊁运算能力．利用球的几何性质㊁正弦定理㊁余弦定理㊁基本不等式等依次验证每个选项的正误．图６解㊀如图６，因为公共弦ＡＢ在棱ｌ上，连接ＯＥ，Ｏ１Ｅ，Ｏ２Ｅ，Ｏ１Ｏ２，ＯＡ，则ＯＥ＝ＯＡ２－ＡＥ２＝２３，故Ｂ正确．因为二面角α－ｌ－β的两个半平面分别截球面得两个圆圆Ｏ１㊁圆Ｏ２，Ｏ为球心，所以ＯＯ１ʅα，ＯＯ２ʅβ，又Ｏ１Ｅ⊂平面α，Ｏ２Ｅ⊂平面β，所以ＯＯ１ʅＯ１Ｅ，ＯＯ２ʅＯ２Ｅ，故Ｏ，Ｅ，Ｏ１，Ｏ２四点共圆，故选项Ａ正确．因为Ｅ为弦ＡＢ的中点，所以Ｏ１ＥʅＡＢ，Ｏ２ＥʅＡＢ，故øＯ１ＥＯ２即为二面角α－ｌ－β的平面角，所以øＯ１ＥＯ２＝６０ʎ，由正弦定理得Ｏ１Ｏ２＝ＯＥ㊃ｓｉｎ６０ʎ＝３，故选项Ｃ错误．设ＯＯ１＝ｄ１，ＯＯ２＝ｄ２，在әＯＯ１Ｏ２中，由余弦定理可得，Ｏ１Ｏ２２＝９＝ｄ２１＋ｄ２２＋ｄ１ｄ２ȡ３ｄ１ｄ２，所以ｄ１ｄ２ɤ３，故ＳәＯＯＯɤ３３４，所以Ｖ＝１３ＡＥ㊃ＳәＯＯＯɤ３２，当且仅当ｄ１＝ｄ２时取等号，故选项Ｄ正确．故选ＡＢＤ．点评㊀本题Ａ选项的设置为后续选项降维思考提供了台阶．题中对空间想象能力要求较高的选项Ｂ，Ｃ，Ｄ可转化到截面圆圆心㊁弦中点以及球心所构成的四边形内，实现知识的综合运用，降维思想的运用得以促使学生更好地认识球体．例３㊀在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，ＡＢʅＢＣ，ＡＣ＝８，点Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为７．若点Ｐ，Ａ，Ｂ，Ｃ均在一个半径为５的球面上，则ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２的最小值为．分析㊀本题考查多面体的外接球，求解最值的关键是确定Ｐ的轨迹．由已知可得，Ｐ在与平面ＡＢＣ平行的截面圆上，设Ｐ在平面ＡＢＣ上的射影为Ｑ，ＰＱ＝７，把问题转化为求ＱＡ２＋ＱＢ２＋ＱＣ２的最小值，再由数量积运算求解．解㊀如图７，әＡＢＣ的外接圆的圆心为ＡＣ的中点Ｏ１，点Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为７，设Ｐ所在截面圆的圆心为Ｏ２，半径为ｒ，此截面与平面ＡＢＣ平行，球心Ｏ在Ｏ１Ｏ２上，设球半径为Ｒ，则ＯＯ１＝Ｒ２－Ｏ１Ｃ２＝５２－４２＝３，ＯＯ２＝Ｏ１Ｏ２－图７ＯＯ１＝７－３＝４，则ｒ＝Ｏ２Ｐ＝Ｒ２－ＯＯ２２＝３．设Ｐ在平面ＡＢＣ上的射影为Ｑ，则Ｑ在以Ｏ１为圆心，３为半径的圆上，ȵＰＱʅ平面ＡＢＣ，ʑＰＱ与平面ＡＢＣ内所有直线垂直，ＰＱ＝７，ʑＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２＝ＰＱ２＋ＱＡ２＋ＰＱ２＋ＱＢ２＋ＰＱ２＋ＱＣ２＝ＱＡ２＋ＱＢ２＋ＱＣ２＋１４７．而ＱＡ２＋ＱＢ２＋ＱＣ２＝（ＱＯ１ң＋Ｏ１Ａң）２＋（ＱＯ１ң＋Ｏ１Ｂң）２＋（ＱＯ１ң＋Ｏ１Ｃң）２＝３ＱＯ１ң２＋Ｏ１Ａң２＋Ｏ１Ｂң２＋Ｏ１Ｃң２＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ａң＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｂң＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｃң＝２７＋１６＋１６＋１６＋２ＱＯ１ң㊃（Ｏ１Ａң＋Ｏ１Ｃң）＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｂң＝７５＋２ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｂң．当ＱＯ１ң，Ｏ１Ｂң反向时，ＱＯ１ң㊃Ｏ１Ｂң取得最小值为－１２．ʑＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２的最小值为１４７＋７５－２ˑ１２＝１９８．故答案为１９８．点评㊀该题通过投影技巧，将三棱锥中线段平方和问题降维至外接球小圆内的线段平方和问题，结合向量方法优化处理，亦可在该小圆所在平面建系实现几何问题代数化．结 语通过以上两种降维策略，学生可以更深刻地理解空间问题平面化 的重要思想，在解决球体问题时更好地理解和应用相关的数学知识．同时这两种降维处理的方法可以帮助学生减少对空间概念的畏惧，更加直观地理解和解决复杂的立体几何问题．因此，在教学中，教师可以通过实际案例和练习来引导学生善于利用动态的思维，根据问题中的关键信息进行加工分析，提高他们解决立体几何球体问题的能力．任何一种思维形态的形成都是始于问题，成于思考，用于实践．教学中的灌溉渗透有利于学生逻辑思维和空间想象能力的发展，能更好地落实立德树人的根本任务．ʌ参考文献ɔ［１］中国高考报告学术委员会．高考试题分析（２０２３）［Ｍ］．北京：现代教育出版社，２０２１．［２］周明墩．谈高中数学解题中的降维思维［Ｊ］．中学数学，２０２１（１９）：５６－５７．［３］季峰．升维思考，降维解题：例谈高考数学中的 高观点 试题［Ｊ］．中学数学，２０２１（３）：３０－３１，３３．１６１。
高中物理竞赛方法集锦降维法132
高中物理竞赛方法集锦降维法132例10：六个相同的电阻〔阻值均为R 〕连成一个电阻环，六个结点依次为1、2、3、4、5和6，如图13—10所示。
现有五个完全相同的如此的电阻环，分不称为D 1、D 2、…、D 5。
现将D 1的1、3、5三点分不与D 2的2、4、6三点用导线连接，如图13—10—甲所示。
然后将D 2的1、3、5三点分不与D 3的2、4、6三点用导线连接……依次类推，最后将D 5的1、3、5三点分不连接到D 4的2、4、6三点上。
证明：全部接好后，在D 1上的1、3、两点间的等效是电阻为R 627724。
解析：由于连接电阻R的导线，连接环D 之间的导线均不计电阻，因此，可改变环的半径，使五个环的大小满足：D 1<D 2<…<D 5.将图13—10—甲所示的圆柱形网络变成圆台形网络，在沿与底面垂直的方向将此圆台形网络压缩成一个平面，如图13—10—乙所示的平面电路图。
现将圆形电阻环变成三角形，1、3、5三点为三角形的顶点，2、4、6三点为三角形三边的中点，图13—10—乙又变为如图13—10—丙所示电路图。
不难发觉，图13—10—丙所示的电路相对虚直线3、6具有左右对称性。
能够用多种解法求。
如将电路等效为图13—10—丁。
A 1B 1以内的电阻R R B A 5411= A 2B 2以内的电阻 R RR R RR R R B A B A B A 1914)2()2(111122=+++= A 3B 3以内的电阻R RR R R R R R B A B A B A 7152)2()2(222233=++⋅+= A 4B 4以内的电阻R R R R RR R R B A B A B A 265194)2()2(333344=++⋅+=A 5B 5以内的电阻R R R R R R R R B A B A B A 627724)2()2(444455=++⋅+= 即为D 1环上1、3两点间的等效电阻。
2021届一轮复习 物理解题方法导练 降维法(含解析)
1．如图所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心 处放一个小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘间的动摩擦因数为 ，假设木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同。若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大不能超过（ ）
A．2 rad/sB．8 rad/sC． D．
（1）击打白球后，白球与黑球发生碰撞，可以使黑球进入不同的洞口。请在以下两种情况下，画出白球的初速度方向以及碰前瞬间的位置，作图时请画出必要的辅助线。
a.使黑球进入1号洞（在图2中作图）；
b.使黑球进入2号洞（在图3中作图）。
（2）黑球进入2号洞的情况比进入1号洞的情况复杂一些。在处理复杂的物理问题时，常将其分解为简单的问题，如运动的分解、力的分解等等。将这些矢量在相互垂直的x、y两个方向上进行分解，然后分别进行研究。在黑球进入2号洞的情境下，若已知两球的质量均为m，碰前瞬间白球的速度大小为v0，碰后瞬间黑球的速度大小为v，v0与v方向的夹角θ= 53o，求两球碰撞过程中损失的机械能。（已知：sin53o= 0.8，cos53o= 0.6）
（______）
11．动量定理可以表示为，其中力F和动量p都是矢量．在运动动量定理处理二维问题时，可以在相互垂额直的x、y两个方向上分别研究．
如图所示，质量为m的小球斜射钢板上，入射的角度是，碰撞后弹出的角度也时，碰撞前后的速度发小都时v，碰撞过程中忽略小球所受重力，碰撞时间为已知．求小球对钢板的作用力F．
D．地面对杆的支持力与杆的重力是一对作用力和反作用力
5．如图所示，倾角θ的斜面上有一重为G的物体，在与斜面底边平行的水平推力作用下在斜面上做匀速直线运动，则
A．物体可能沿水平方ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ运动
高中的物理解题技巧及例题
觉得还不错的时间+汗水≠效果苦学、蛮学不如巧学第一部分高中物理活题巧解方法总论整体法隔离法力的合成法力的分解法力的正交分解法加速度分解法加速度合成法速度分解法速度合成法图象法补偿法（又称割补法）微元法对称法假设法临界条件法动态分析法利用配方求极值法等效电源法相似三角形法矢量图解法等效摆长法等效重力加速度法特值法极值法守恒法模型法模式法转化法气体压强的参考液片法气体压强的平衡法气体压强的动力学法平衡法（有收尾速度问题）穷举法通式法逆向转换法比例法推理法密度比值法程序法等分法动态圆法放缩法电流元分析法估算法节点电流守恒法拉密定理法代数法几何法第二部分部分难点巧学一、利用“假设法”判断弹力的有无以及其方向二、利用动态分析弹簧弹力三、静摩擦力方向判断四、力的合成与分解五、物体的受力分析六、透彻理解加速度概念七、区分s-t 图象和v-t图象八、深刻领会三个基础公式九、善用匀变速直线运动几个重要推论十、抓住时空观解决追赶（相遇）问题十一、有关弹簧问题中应用牛顿定律的解题技巧十二、连接体问题分析策略——整体法与隔离法十三、熟记口诀巧解题十四、巧作力的矢量图，解决力的平衡问题十五、巧用图解分析求解动态平衡问题十六、巧替换、化生僻为熟悉，化繁难就简易十七、巧选研究对象是解决物理问题的关键环节十八、巧用“两边夹”确定物体的曲线运动情况十九、效果法——运动的合成与分解的法宝二十、平抛运动中的“二级结论”有妙用二十一、建立“F供＝F需”关系，巧解圆周运动问题二十二、把握两个特征，巧学圆周运动二十三、现代科技和社会热点问题——STS问题二十四、巧用黄金代换式“GM＝R2g”二十五、巧用“比例法”——解天体运动问题的金钥匙二十六、巧解天体质量和密度的三种方法二十七、巧记同步卫星的特点——“五定”二十八、“六法”——求力的功二十九、“五大对应”——功与能关系三十、“四法”——判断机械能守恒三十一、“三法”——巧解链条问题三十二、两种含义——正确理解功的公式，功率的公式三十三、解题的重要法宝之一——功能定理三十四、作用力与反作用力的总功为零吗？——摩擦力的功归类三十五、“寻”规、“导”矩学动量三十六、巧用动量定理解释常用的两类物理现象三十七、巧用动量定理解三类含“变”的问题三十八、动量守恒定律的“三适用”“三表达”——动量守恒的判断三十九、构建基本物理模型——学好动量守恒法宝四十、巧用动量守恒定律求解多体问题四十一、巧用动量守恒定律求解多过程问题四十二、从能量角度看动量守恒问题中的基本物理模型——动量学习的提高篇四十三、一条连等巧串三把“金钥匙”四十四、巧用力、能的观点判断弹簧振子振动中物理量的变化四十五、弹簧振子运动的周期性、对称性四十六、巧用比值处理摆钟问题四十七、巧用位移的变化分析质点的振动：振动图像与振动对应四十八、巧用等效思想处理等效单摆四十九、巧用绳波图理解机械波的形成五十、波图像和振动图像的区别五十一、波的叠加波的干涉五十二、物质是由大量分子组成的五十三、布朗运动五十四、分子间作用力五十五、内能概念的内涵五十六、能的转化和守恒定律五十七、巧建模型——气体压强的理解及大气压的应用五十八、活用平衡条件及牛顿第二定律——气体压强的计算五十九、微观与宏观——正确理解气体的压强、体积与温度及其关系六十、巧用结论——理想气体的内能变化与热力学第一定律的综合应用六十一、巧用库仑定律解决带电导体球间力的作用六十二、巧选电场强度公式解决有关问题六十三、巧用电场能的特性解决电场力做功问题六十四、巧用电容器特点解决电容器动态问题六十五、利用带电粒子在电场中不同状态解决带电粒子在电场中的运动六十六、巧转换，速求电场强度六十七、巧用“口诀”，处理带电平衡问题六十八、巧用等效法处理复合场问题六十九、巧用图象法处理带电粒子在交变电场中运动问题第一部分高中物理活题巧解方法总论高中阶段，最难学的课程是物理，既要求学生有过硬的数学功底，还要学生有较强的空间立体感和抽象思维能力。
“降维类比”：由三角函数余弦和角公式联想到二面角大小共8页word资料
“降维类比”：由三角函数余弦和角公式联想到二面角大小求解二面角大小问题是高考的热点问题.传统解题方法主要有定义法、三垂线法、垂面法、异面直线的距离法、法向量法.因此其求解中作图思维与推理具有一定难度.本文运用“降维类比法”，在三角函数余弦和角公式基础上类比出的二面角大小求解的“通用”公式，把空间形体转化为平面图形有关角的计算，能给予学生一定的解题思维程序，降低题目难度与思维难度，具有直观、简捷、套用明快的优点.1问题提出有关三面角公式求解二面角大小问题，一些文献作了探究，但是所推出的公式形式不一，也难以记忆【1】【2】【3】.笔者备课中研究发现，两角和与差的余弦公式cos（α+β）=cosα?cosβ-sinα?sinβ也是求二面角大小的“计算公式”（“三线四角”公式）的一种特例.这种由三角函数余弦和角公式“降维类比”（即三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象）出二面角大小计算“通用”公式，只需计算出同一顶点发出的三个线线间角，即可快速求出二面角大小.图1三角函?涤嘞液徒枪?式如图1，OA、OB、OC是一平面内共端点的三条射线，记∠AOB=θ1，∠COB=θ2，∠AOC=θ，直线EF与OB垂直（垂足为H），且直线EF分别与射线OA、OC相交于E、F两点.则由三角函数和角公式有：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1?cosθ2-sinθ1?sinθ2.考虑到直线EHF，∠EHF=180°，则有：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1?cosθ2+sinθ1?sinθ2?cos180° 即：cosθ=cos（θ1+θ2）=cosθ1?cosθ2+sinθ1?sinθ2?cos∠EHF （*）图2三面角余弦定理如图2，将图1中射线OA、OC分别围绕OB旋转到任意位置，形成“三线四角”（共点三条射线两两所成的面角以及它们所构成的一个二面角）.类比公式（*），可得二面角A-OB-C（记二面角大小为α）的一个“通用”计算公式（简称“三线四角”公式）.此公式又称为三面角余弦定理.cosθ=cosθ1?cosθ2+sinθ1?sinθ2?cosα（**）略证在△EOF中，由余弦定理得：cos∠AOC=OE2+OF2-EF22OE?OF.在△EHF中，由余弦定理得：EF2=EH2+FH2-2EH?F Hcos∠EHF.所以有：cos∠AOC=OE2+OF2-EH2-FH2+2EH?FHcos∠EHF2OE?OF=（OE2-EH2）+（OF2-FH2）2OE?OF+EH?FHOE?OFcos∠EHF=2OH22OE?OF+EH?FHOE?OFcos∠EHF=cos∠AOB?cos∠BOC+sin∠AOB?sin∠BOC?cos∠EHF即：cosθ=cosθ1?cosθ2+sinθ1?sinθ2?cosα（**）cosα=cosθ-cosθ1?cosθ2sinθ1?sinθ2（***）即三面角余弦定理内涵表述：三面角中任一二面角的余弦值，等于其所对面角的余弦减去另两个面角的余弦之积，再除以这两个面角的正弦之积.同样可推出三面角正弦定理：三面角正弦定理三面角中面角的正弦的比等于所对二面角的正弦的比.如图2，二面角A-OB-C大小记为α，二面角A-OC-B大小记为β，二面角B-OA-C大小记为γ，则有sinαsinθ=sinβsinθ1=sinγsinθ2.实际解决有关高考试题二面角问题时，只要把求二面角的问题转化为考虑三个三角形中角的三角函数问题求解即可.（***）公式方向明确，方法简单.通过公式（**），也可速证最小角定理.图3最小角定理如图3，设A为平面α上一点，过A的直线AO在平面α上的射影为AB，AC为平面α上的一条直线，则∠OAC=θ，∠BAC=θ2，∠OAB=θ1，三角的余弦关系为：cosθ=cosθ1?cosθ2.此式又叫最小角定理（爪子定理），主要用于求平面斜线与平面内直线成的最小角.略证因O-AB-C二面角α=90°，由（**）即得：cosθ=cosθ1?cosθ2.2公式运用“三线四角”公式，将三维空间的对象降到二维（或一维）空间思考，它以最简约、最概括的方式呈现.不仅促进学生对原有“二面角”知识透彻的理解，还可以帮助学生更快捷地获取与弄清二面角概念及其计算公式的内涵和外延，理解结论的由来与适用范围，达到二面角知识学习的精练化、条理化、网络化，从而培养了学生的创新精神和创新意识.应用公式求二面角大小时，只需在棱上任找一点，分别在两个半平面内各引一条射线，使之与棱形成共点三线，由此共点三线两两所成面角.计算三个面角的三角函数值，即可通过公式快速求出相应二面角大小，从而减少作辅助线求解二面角的推理难度.2.1求两相交直线的夹角大小此类题一般条件是已知一个二面角大小及“三线”的二个面角，通过“三线四角”公式求解，求其另一个面角.解题时三面角顶点的确定是关键，应在所求二面角的交线上.有时也可依据三面角正弦定理直接求解.例1（2017年新课标Ⅲ卷理第16题）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最大值为60°；其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）图4解析如图4.由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由AC⊥a，AC⊥b，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D.BE为底面圆直径，连结DE，则DE⊥BD，DE∥b.连结AD，等腰ΔABD中，不妨设AB=AD=2.（1）当直线AB与a成60°角时，∠ABD=60°，故BD=2.又在Rt△BDE中，BE=2，DE=2，故cos∠FBC=cos∠DEC=22，因二面角F-BC-A大小α=90°，由（**）即得：cos∠ABF=cos∠ABC?cos∠FBC=22.22=12，∠ABF=60°，即AB与b成60°角.故②正确，①错误.（2）因A-BC-D二面角大小α=90°，由（**）即得：cos∠ABD=cos∠ABC?cos∠DBC=22cos∠DBC，当∠DBC=0°，cos∠ABDmax=22?1=22，（∠ABD）min=45°，即直线AB与a所称角的最小值为45°，故③正确.∠DBC=90°，cos∠ABDmin=0，（∠ABD）max=90°，即直线AB与a所成角的最大值为90°，故④错误.因此正确的说法为②③.2.2求异面直线的夹角大小此类题一般条件是通过直线平移，转化为已知一个二面角大小及“三线”间二个面角，从而转化为“求两相交直线的夹角大小”类型，再通过“三线四角”公式求解.有时也可借助异面直线的距离公式d=l2-m2-n2±2mncosθ求异面直线的夹角θ大小（其中AC 和BD互为异面直线，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB=d，CD=l，AC=m，BD=n）.例2（2017年新课标Ⅱ卷理第10题）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）.A.V=32B.155C.105D.33图5解析如图5，设异面直线AB1与BC所成角记为θ（θ∈（0°，90°]），只要将直线AB1平移过点B（此时平移后直线为A2B）即可.此时二面角A2-BB1-C1大小α=120°.cos∠AB1B=15，sin∠AB1B=25，cos（180°-∠C1BB1）=-cos∠C1BB1=-12，sin（180°-∠C1BB1）=12，由公式（**）得：cosθ=cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2cosα=cos∠AB1Bcos（180°-∠C1BB1）+sin∠AB1Bsin（180°-∠C1BB1）?cos120°=-[SX （]1[][KF（]5[KF）][SX）]?[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]+[SX（]2[][KF （]5[KF）][SX）]?[SX（]1[][KF（]2[KF）][SX）]（-[SX（]1[]2[SX）]）=-[SX（][KF（]10[KF）][]5[SX）].即cosθ=105.因此正?_答案为C.2.3求二面角的夹角大小“三线四角”公式求解二面角大小，一般比“作角求角法”与“法向量法”显得更简洁.此类题一般条件是已知三面角的“三线”的三个面角，求其中二面角的大小.解题识别关键是通过三角函数关系求出三个面角大小，直接代入“三线四角”公式求解即可.有时证明两平面垂直关系也可转换成通过“三线四角”公式求平面二面角的夹角大小为90°即可，并且省去推理证明过程的麻烦.例3（2017年新课标Ⅰ卷文第18题）如图6，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.图6（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.解析（1）设二面角B-AP-D大小为α.因为∠BAP=∠CDP=90°，AB∥CD，所以AB⊥AP，CD⊥DP，AB⊥DP，由公式（***）得：cosα=cos∠BAD-cos∠BAP?cos∠DAPsin∠BAP?sin∠DAP=cos90°-cos90°?cos∠DAPsin90°?sin∠DAP=0，α=90°，即平面PAB⊥平面PAD.（2）设二面角A-PB-C大小为α.由（1）知，四边形ABCD为矩形.设PA=PD=AB=DC=1，则易得PB=PC=AD=BC=2，由公式（***）得：cosα=cos∠ABC-cos∠ABP?cos∠CBPsin∠ABP?sin∠CBP=0-22?120-22?3 2=-33.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、常自认为是福薄的人，任何不好的事情发生都合情合理，有这样平常心态，将会战胜很多困难。
高中的物理解题技巧及例题
觉得还不错的时间+汗水≠效果苦学、蛮学不如巧学第一部分高中物理活题巧解方法总论整体法隔离法力的合成法力的分解法力的正交分解法加速度分解法加速度合成法速度分解法速度合成法图象法补偿法又称割补法微元法对称法假设法临界条件法动态分析法利用配方求极值法等效电源法相似三角形法矢量图解法等效摆长法等效重力加速度法特值法极值法守恒法模型法模式法转化法气体压强的参考液片法气体压强的平衡法气体压强的动力学法平衡法有收尾速度问题穷举法通式法逆向转换法比例法推理法密度比值法程序法等分法动态圆法放缩法电流元分析法估算法节点电流守恒法拉密定理法代数法几何法第二部分部分难点巧学一、利用“假设法”判断弹力的有无以及其方向二、利用动态分析弹簧弹力三、静摩擦力方向判断四、力的合成与分解五、物体的受力分析六、透彻理解加速度概念七、区分s-t 图象和v-t图象八、深刻领会三个基础公式九、善用匀变速直线运动几个重要推论十、抓住时空观解决追赶相遇问题十一、有关弹簧问题中应用牛顿定律的解题技巧十二、连接体问题分析策略——整体法与隔离法十三、熟记口诀巧解题十四、巧作力的矢量图,解决力的平衡问题十五、巧用图解分析求解动态平衡问题十六、巧替换、化生僻为熟悉,化繁难就简易十七、巧选研究对象是解决物理问题的关键环节十八、巧用“两边夹”确定物体的曲线运动情况十九、效果法——运动的合成与分解的法宝二十、平抛运动中的“二级结论”有妙用二十一、建立“F供＝F需”关系,巧解圆周运动问题二十二、把握两个特征,巧学圆周运动二十三、现代科技和社会热点问题——STS问题二十四、巧用黄金代换式“GM＝R2g”二十五、巧用“比例法”——解天体运动问题的金钥匙二十六、巧解天体质量和密度的三种方法二十七、巧记同步卫星的特点——“五定”二十八、“六法”——求力的功二十九、“五大对应”——功与能关系三十、“四法”——判断机械能守恒三十一、“三法”——巧解链条问题三十二、两种含义——正确理解功的公式,功率的公式三十三、解题的重要法宝之一——功能定理三十四、作用力与反作用力的总功为零吗——摩擦力的功归类三十五、“寻”规、“导”矩学动量三十六、巧用动量定理解释常用的两类物理现象三十七、巧用动量定理解三类含“变”的问题三十八、动量守恒定律的“三适用”“三表达”——动量守恒的判断三十九、构建基本物理模型——学好动量守恒法宝四十、巧用动量守恒定律求解多体问题四十一、巧用动量守恒定律求解多过程问题四十二、从能量角度看动量守恒问题中的基本物理模型——动量学习的提高篇四十三、一条连等巧串三把“金钥匙”四十四、巧用力、能的观点判断弹簧振子振动中物理量的变化四十五、弹簧振子运动的周期性、对称性四十六、巧用比值处理摆钟问题四十七、巧用位移的变化分析质点的振动：振动图像与振动对应四十八、巧用等效思想处理等效单摆四十九、巧用绳波图理解机械波的形成五十、波图像和振动图像的区别五十一、波的叠加波的干涉五十二、物质是由大量分子组成的五十三、布朗运动五十四、分子间作用力五十五、内能概念的内涵五十六、能的转化和守恒定律五十七、巧建模型——气体压强的理解及大气压的应用五十八、活用平衡条件及牛顿第二定律——气体压强的计算五十九、微观与宏观——正确理解气体的压强、体积与温度及其关系六十、巧用结论——理想气体的内能变化与热力学第一定律的综合应用六十一、巧用库仑定律解决带电导体球间力的作用六十二、巧选电场强度公式解决有关问题六十三、巧用电场能的特性解决电场力做功问题六十四、巧用电容器特点解决电容器动态问题六十五、利用带电粒子在电场中不同状态解决带电粒子在电场中的运动六十六、巧转换,速求电场强度六十七、巧用“口诀”,处理带电平衡问题六十八、巧用等效法处理复合场问题六十九、巧用图象法处理带电粒子在交变电场中运动问题第一部分高中物理活题巧解方法总论高中阶段,最难学的课程是物理,既要求学生有过硬的数学功底,还要学生有较强的空间立体感和抽象思维能力;本总论较详细地介绍了48种高中物理活题巧解的方法,加上磁场部分“难点巧学”中介绍的“结论法”,共计有49种方法,这些方法中有大家很熟悉的、用得很多的整体法、隔离法、临界条件法、矢量图解法等,也有用得很少的补偿法、微元法、节点电流法等,更多的是用得较多,但方法名称还未统一的巧解方法,这些方法用起来很巧,给人以耳目一新、豁然开朗的感觉,本总论给出了较科学合理的方法名称;古人云：授人以鱼,只供一饭之需；授人以渔,则一生受用无穷,本书编者本着“一切为了学生,为了一切学生,为了学生的一切”的宗旨,呕心沥血地编写了这本书,以精益求精的质量、独具匠心的创意,教会学生在短时间内提高物理分析、解题技能,缩短解题时间,对减轻学习负担、开发智力、提高学习成绩有极大地帮助;一、整体法研究对象有两个或两个以上的物体,可以把它们作为一下整体,整体质量等于它们的总质量;整体电量等于它们电量代数和;有的物理过程比较复杂,由几个分过程组成,我们可以把这几个分过程看成一个整体;所谓整体法就是将两个或两个以上物体组成的整个系统,或由几个分过程组成的整个过程作为研究对象进行分析研究的方法;整体法适用于求系统所受的外力,计算整体合外力时,作为整体的几个对象之间的作用力属于系统内力不需考虑,只需考虑系统外的物体对该系统的作用力,故可使问题化繁为简;例1：在水平滑桌面上放置两个物体A 、B 如图1-1所示,m A =1kg,m B =2kg,它们之间用不可伸长的细线相连,细线质量忽略不计,A 、B 分别受到水平间向左拉力F 1=10N 和水平向右拉力F 2=40N 的作用,求A 、B 间细线的拉力;巧解由于细线不可伸长,A 、B 有共同的加速度,则共同加速度221401010/12A B F F a m s m m --===++对于A 物体：受到细线向右拉力F 和F 1拉力作用,则1A F F m a -=,即11011020A F F m a N =+=+⨯=∴F=20N答案=20N例2：如图1-2所示,上下两带电小球,a 、b 质量均为m,所带电量分别为q 和-q,两球间用一绝缘细线连接,上球又用绝缘细线悬挂在开花板上,在两球所在空间有水平方向的匀强电场,场强为E,平衡细线都被拉紧,右边四图中,表示平衡状态的可能是：巧解对于a 、b 构成的整体,总电量Q=q-q=0,总质量M=2m,在电场中静止时,ab 整体受到拉力和总重力作用,二力平衡,故拉力与重力在同一条竖直线上;答案A说明：此答案只局限于a 、b 带等量正负电荷,若a 、b 带不等量异种电荷,则a 与天花板间细线将偏离竖直线;例3：如图1-3所示,质量为M 的木箱放在水平面上,木箱中的立杆上套着一个质量为m 的小球,开始时小球在杆的顶端,由静止释放后,小球沿杆下滑的加速度为重力加速度的12,即12a g =,则小球在下滑的过程中,木箱对地面的压力为多少巧解对于“一动一静”连接体,也可选取整体为研究对象,依牛顿第二定律列式：()N mg Mg F ma M +-=+⨯0故木箱所受支持力：22N M m F g +=,由牛顿第三定律知：木箱对地面压力2'2N N M m F F g +==; 答案木箱对地面的压力22N M m F g += 例4：如图1-4,质量为m 的物体A 放置在质量为M 的物体B 上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上做简谐振动,振动过程中A 、B之间无相对运动,设弹簧的劲度系数为k ,当物体离开平衡位置的位移为x 时,A 、B 间摩擦力f 的大小等于A 、0B 、kxC 、()m kx MD 、()m kx M m+ 巧解对于A 、B 构成的整体,当系统离开平衡位置的位移为x 时,系统所受的合力为F=kx ,系统的加速度为kx a m M=+,而对于A 物体有摩擦力f F ma ==合,故正确答案为D;答案D例5：如图1-5所示,质量为m=2kg 的物体,在水平力F=8N 的作用下,由静止开始沿水平方向右运动,已知物体与水平面间的动摩擦因数μ=,若F 作用t 1=6s 后撤去,撤去F 后又经t 2=2s 物体与竖直壁相碰,若物体与墙壁作用时间t 3=,碰后反向弹回的速度ν=6m/s,求墙壁对物体的平均作用力F N g 取10m/s 2;巧解如果按时间段来分析,物理过程分为三个：撤去F 前的加速过程；撤去F 后的减速过程；物体与墙壁碰撞过程;分段计算会较复杂;现把全过程作为一个整体整体法,应用动量定理,并取F 的方向为正方向,则有1123()0N F t mg t t F t mv μ⋅-+-⋅=--代入数据化简可得F N =280N答案F N =280N巧练：如图1-6所示,位于水平地面上的斜面倾角为а,斜面体的质量为M,当A 、B 两物体沿斜面下滑时,A 、B 间无相对滑动,斜面体静止,设A 、B 的质量均为m,则地面对斜面体的支持力F N 及摩擦力f 分别是多少若斜面体不是光滑的,物体A 、B 一起沿斜面匀速下滑时,地面对斜面体的支持力F N 及摩擦力f 又分别是多少巧练2：如图1-7所示,MN 为竖直墙壁,PQ 为无限长的水平地面,在PQ 的上方有水平向左的匀强电场,场强为E,地面上有一点A,与竖直墙壁的距离为d,质量为m,带电量为+q 的小滑块从A 点以初速v o 沿PQ 向Q 运动,滑块与地面间的动摩擦因数为μ,若μmg ＜Eq,滑块与墙MN 碰撞时无能量损失,求滑块所经历的总路程s;二、隔离法所谓隔离法就是将研究对象物体同周围物体隔离开来,单独对其进行受力分析的方法;隔离法适用于求系统内各物体部分间相互作用;在实际应用中,通常隔离法要与整体法结合起来应用,这样更有利于问题的求解;例1：如图2-1所示,在两块相同的竖直木板之间,有质量均为m 的4块相同的砖,用两个大小均为F 的水平力压木板,使砖静止不动,则第1块对第2块砖摩擦力大小为A、0B、mg/2C、mgD、2mg巧解本题所求解的是第1块对第2块砖摩擦力,属于求内力,最终必须要用隔离法才能求解,研究对象可以选1,也可以选2,到底哪个更简单呢若选2为研究对象,则1对2的摩擦力及3对2的摩擦力均是未知的,无法求解；而选1为研究对象,尽管2对1的摩擦力及左板对1的摩擦力均是未知的,但左板对1的摩擦力可以通过整体法求解,故选1为研究对象求内力较为简单;先由整体法4块砖作为一个整体可得左、右两板对系统的摩擦力方向都竖直向上,大小均为4mg/2=2mg,再以1为研究对象分析,其受力图2-2所示一定要把它从周围环境中隔离开来,单独画受力图,1受竖直向下的重力为mg,左板对1的摩擦力f左板竖直向上,大小为2mg,故由平衡条件可得：2对1的摩擦力f21竖直向下,大小为mg,答案应选C项;答案C例2：如图2-3所示,斜面体固定,斜面倾角为а,A、B两物体叠放在一起,A的上表面水平,不计一切摩擦,当把A、B无初速地从斜面顶端释放,若运动过程中B没有碰到斜面,则关于B的运动情况描述正确的是A、与A一起沿斜面加速下滑B、与A一起沿斜面匀速下滑C、沿竖直方向匀速下滑D、沿竖直方向加速下滑巧解本题所求解的是系统中的单个物体的运动情况,故可用隔离法进行分析,由于不计一切摩擦,而A的上表面水平,故水平方向上B不受力;由牛顿第一定律可知,B在水平方向上运动状态不变静止,故其运动方向必在竖直方向上;因A加速下滑,运动过程中B没有碰到斜面A、B仍是接触的,即A、B在竖直方向上的运动是一样的,故B有竖直向下的加速度,答案D正确;答案D例3：如图2-4所示,固定的光滑斜面体上放有两个相同的钢球P、Q,MN为竖直挡板,初状态系统静止,现将挡板MN由竖直方向缓慢转至与斜面垂直的方向,则该过程中P、Q间的压力变化情况是A、一直增大B、一直减小C、先增大后减小D、一直不变巧解本题所求解的是系统内力,可用隔离法来分析,研究对象可以选P,也可以选Q,到底选哪个更简单呢当然选P要简单些,因为P受力个数少,P受到重力、斜面的支持力N斜垂直斜面向上和Q的支持力NQ沿斜面斜向上共三个力作用,由平衡条件可知,这三个力的合力为零,即重力沿N斜,NQ反方向的分力分别与N耕、NQ的大小相等,在转动挡板过程中,重力的大小及方向都不变,而N耕、NQ的方向也都不变,即分解重力的两个方向是不变的,故分力也不变,故D选项正确答案D例4：如图2-5所示,人重G1=600N,木板重G2=400N,人与木板、木板与地面间滑动摩擦因数均为μ=,现在人用水平力F拉绳,使他们木板一起向右匀速动动,则A、人拉绳的力是200NB、人的脚给木板的摩擦力向右C、人拉绳的力是100ND、人的脚给木板的摩擦力向左巧解求解人与板间的摩擦力方向,属求内力,须用隔离法,研究对象可选人,也可以选板,到底选哪个更简单呢当然选人要简单些,因为人受力个数少,以人为研究对象,人在水平方向上只受绳的拉力水平向右和板对人的摩擦力两个力作用,属二力平衡,故板对人的摩擦力向左,由牛顿第三定律可知,人的脚给木板的摩擦力向右,B 、D 两个选项中B 选项正确;绳的拉力属外力,可用整体法来求解,人与板相对地向右运动,滑动摩擦力水平向左,而其大小为12()0.2f N G G μμ==+=⨯(600+400)=200N ；人与板系统水平向右受到两个拉力,故由平衡条件可得：2T=f ,故T=100N,答案C 选项正确;答案B 、C巧练1：如图2-6所示,半径为R 的光滑球,重为G,光滑木块厚为h,重为G 1,用至少多大的水平F 推木块才能使球离开地面巧练2：如图2-7所示,A 、B 两物体叠放在转台上A 在上,B 在下,并随转台一起匀速运动,则关于A 对B 的摩擦力的判断正确的是A 、A 对B 没有摩擦力B 、A 对B 有摩擦力,方向时刻与线速度方向相反C 、A 对B 有摩擦力,方向时刻指向转轴D 、A 对B 有摩擦力,方向时刻背离转轴三、力的合成法一个力如果产生的效果与几个力共同作用所产生的效果相同,这个力就叫做那几个的合力,而那几个力就叫做这个力的分力,求几个力的合力叫力的合成;力的合成遵循平行四边形法则,如求两个互成角度的共点力F 1、F 2的合力,可以把表示F 1、F 2的有向线段作为邻边,作一平行四边形,它的对角线即表示合力大小和方向;共点的两个力F 1、F 2的合力F 的大小,与两者的夹角有关,两个分力同向时合力最大,反向时合力最小,即合力取值范围力│F 1-F 2│≤│F 1+F 2│合力可以大于等于两力中的任一个力,也可以小于任一个力,当两力大小一定时,合力随两力夹角的增大而减小,随两力夹角的减小而增大;如果一个物体A 对另一个物体B 有两个力作用,当求解A 对B 的作用力时,通常用力的合成法来求解;例1：水平横梁的一端A 插在墙壁内,另一端装有一小滑轮B,一轻绳的一端C 固定于墙壁上,另一端跨过滑轮后悬挂一质量m=10kg 的重物,∠CBA=30°,如图3-1所示,则滑轮受到绳子的作用力大小为g 取10m/s 2A 、50NB 、503NC 、100ND 、1003N巧解绳子对滑轮有两个力的作用,即绳子BC 有斜向上的拉力,绳子BD有竖直向下的拉力,故本题所求的作用力应该为以上这两个力的合力,可用力的合成法求解;因同一根绳张力处处相等,都等于物体的重力,即T BC =T BD =mg=100N,而这两个力的夹角又是特殊角120°,用平行四边形定则作图,可知合力F 合=100N,所以滑轮受绳的作用力为100N,方向与水平方向成30°角斜向下;答案C例2：如图3-2所示,一质量为m 的物块,沿固定斜面匀速下滑,斜面的倾角为θ,物体与斜面间的动摩擦因数为μ,则斜面对物块的作用力大小及方向依次为A、sinmgθ,沿斜面向下B、sinmgθ,沿斜面向上C、cosmgμθ,垂直斜面向下D、mg,竖直向上巧解斜面对物块有两个力的作用,一个是沿垂直斜面向上支持力N,另一个是沿斜面向上的摩擦力f,故本题所求的作用力应该为以上这两个力的合力,可用力的合成法求解;物块共受三个力作用：重力mg、支持力N、摩擦力f；由平衡条件可知,这三个力的合力为0,即支持力N、摩擦力f的合力重力mg等大反向,故答案D选项正确答案D例3：如图3-3所示,地面上放在一个质量为m的物块,现有斜向上的力F拉物块,物块仍处于静止状态,则拉力F与物体所受到摩擦力f的合力方向为A、斜向左上B、斜向右上C、竖直向上D、条件不足,无法判断巧解物块共受四个力作用,重力G、拉力F、摩擦力f以及支持力N,其受力图如图3-4所示,我们可以用力的合成法,把四力平衡转化成二力平衡：即F与f合成,G与N合成,G与N的合力一定竖直向下,故F与f的合力一定竖直向上,故答案C正确;答案C巧练1：如图3-5所示,A、B两小球穿在水平放置的细杆上,相距为d,两小球各用一根长也是d的细绳连接小球C,三个小球的质量均为m,整个系统处于静止状态,而杆对小球A的作用力大小是A、B、mg C、36mg D、213mg巧练2：如图3-6所示,在倾角为θ=30°的粗糙斜面上放有一重为G的物体,现用与斜面底边平行的力F=G/2推物体,物体恰能沿斜面作匀速直线运动,则物体与斜面间的动摩擦因数为A、B、C、63D、32四、力的分解法由一个已经力求解它的分力叫力的分解,力的分解是力的合成的逆过程,也同样遵循平行四边形法则,由平行四边形则可知,力的合成是惟一的,而力的分解则可能多解,但在处理实际问题时,力的分解必须依据力的作用效果来进行的,答案同样是惟一的;利用力的分解法解题时,先找到要分解的力,再找这个力的作用效果,根据作用效果确定两个分力的方向,然后用平行四边形定则求这两个部分;例1：刀、斧、刨等切削工具都叫劈,劈的截面是一个三角形,如图4-1所示,设劈的面是一个等腰三角形,劈背的宽度是d,劈的侧面的长度是L使用劈的时候,在劈背上加力F,则劈的两侧面对物体的压力F1、F2为A、F1=F2=F B、F1=F2=L/dF C、F1=F2=d/LF D、以上答案都不对巧解由于F的作用,使得劈有沿垂直侧面向外挤压与之接触物体的效果,故所求的F1、F2大小等于F的两个分力,可用力的分解法求解;如图4-2所示,将F分解为两个垂直于侧面向下的力F1′、F2′,由对称性可知,F1′=F2′,根据力的矢量三角形△OFF1与几何三角形△CAB相似,故可得：F1′/L=F/d,所以F1′=F2′=LF/d,由于F1= F1′, F2= F2′故F 1=F 2=d/LF;答案例2：如图4-3所示,两完全相同的小球在挡板作用下静止在倾角为θ的光滑斜面上,甲图中挡板为竖直方向,乙图中挡板与斜面垂直,则甲、乙两种情况下小球对斜面的压力之比是A 、1：1B 、1：2cos θC 、1：2sin θD 、1：tan θ巧解由于小球重力G 的作用,使得小球有沿垂直侧面向下挤压斜面及沿垂直挡板方向挤压挡板的效果,故所求的小球对斜面压力大小等于重力G 沿垂直斜面方向的分力,可用力的分解法求解,如图所求,甲情况下将G 分解G 2,乙情况下将G 分解G 2′,所求压力之比即为G 1：G 1′,而G 1=G/cos θ,G 1′=G cos θ,故可得压力之比G 1：G 1′=1：2cos θ;答案B例3：如图4-4所示,用两根轻绳将质量为m 的物块悬挂在空中,已知ac 和bc 与竖直方向的夹角分别为30°和60°,则ac 绳和bc 绳中拉分别为A 、31,22mg mgB 、13,22mg mgC 、31,42mg mgD 、13,24mg mg 巧解由于小球重力G 的作用,使得小球有沿两绳方向斜向下拉紧绳的效果,故两绳的拉力大小等于重力的两个分力,力的分解图如上所示,由几何知识可得：T ac =G 1=mgcos30°,T bc =G 2=mgcos60°;答案A例4：如图4-5所示,小车上固定着一根弯成θ角的曲杆,杆的另一端固定一个质量为m 的球,小车以加速度a 水平向右运动,则杆对球的弹力大小及方向是A 、mg,竖直向上B 、22()()mg ma +,沿杆向上C 、ma,水平向右D 、22()()mg ma +,与水平方向成arctan mg ma角斜向上 巧解本题中,小球只受重力mg 和杆对球的弹力N 两个力作用,杆对球的弹力N 有两个作用效果；竖直向上拉小球及水平向右拉小球,因两个作用效果是明确的,故可用力的分解法来求解;杆竖直向上拉小球,使小球在竖直方向上保持平衡,故竖直向上的分力N 1=mg ；杆水平向右拉小球,使小球获得向右的加速度,故水平向右的分力N 2=ma ,由几何知识可知杆对球的弹力与水平方向的夹角为arc tan 12N N =arc tan mg ma,故答案D 选项正确; 答案D巧练1：如图4-6所示,用一根细绳把重为G 的小球,挂在竖直光滑的墙上,改用较长的细绳,则小球对绳的拉力T 及对墙的压力N 将A 、T 减小,N 增在B 、T 增大,N 减小C、T减小,N减小D、T增大,N增大巧练2：如图4-7所示,轻绳AC与水平角夹角а=30°,BC与水平面的夹角β=60°,若AC、BC能承受的最大拉力不能超过100N,设悬挂重物的绳不会拉断,那么重物的重力G 不能超过A、100NB、200NC、1003ND、20033N五、力的正交分解法力的正交分解法：即是把力沿着两个经选定的互相垂直的方向作分解,其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量的运算,坐标轴的选取是以使问题的分析简化为原则,通常选取坐标轴的方法是：选取一条坐标轴与物体运动的速度方向或加速度的方向相同包括处理物体在斜面上运动的问题,以求使物体沿另一条坐标轴的加速度为零,这样就可得到外力在该坐标轴上的分量之和为零,从而给解题带来方便,物体受力个数较多时,常用正交分解法来解;例1：如图5-1所示,用与水平成θ=37°的拉力F=30N,拉着一个重为G=50N的物体在水平地面上匀速前进,则物体与地面间的动摩擦因数μ为A、B、C、D、巧解物体受四个力作用而匀速,这四个力分别为重力G、拉力F、地面的支持力N、地面的摩擦力f,由于受多个力作用,用正交分解法来解题较为简单;怎样选取坐标轴呢选水平方向与竖直方向为坐标轴,只需分解F,最简单,如图5-2所示,将F进行正交分解,由平衡条件可得：答案D例2：如图5-3所示,重为G=40N的物体与竖直墙间的动摩擦因数μ=,若受到与水平线成45°角的斜向上的推力F作用而沿竖直墙匀速上滑,则F为多大巧解物体受四个力作用而匀速上滑,这四个力分别为重为N、推力F、墙的支持力N、墙的摩擦力f,由于受多个力作用,用正交分解法来解题较为简单;怎样选取坐标轴呢选水平方向与竖直方向为坐标轴,只需分解F,最简单,如图5-4所示,将F进行正交分解,由平衡条件可得：答案推力F为71N例3：如图5-5所示,物体Q放在固定的斜面P上,Q受到一水平作用力F,Q处于静止状态,这时Q受到的静摩擦力为f,现使F变大,Q仍静止,则可能A、f一直变大B、f一直变小C、f先变大,后变小D、f先变小后变大巧解隔离Q,Q物体受重力G支持力N,外力F及摩擦力f四个力而平衡,但f的方向未知当F较小时,f沿斜面向上；当F较大时f沿斜面向下,其受力图如图5-6所示;怎样选取坐标轴呢选水平方向与竖直方向为坐标轴,需分解N与f,而选沿斜面方向与竖直斜面方向为坐标轴,需分解G与F都需要分解两个力,但N、f是未知力,G、F是已知力,分解已知力更简单些,故应选沿斜面方向与坚直斜面方向为坐标轴;如图5-6所示,将G、F进行正交分解,由平衡条件可得：当F较小时有：。
奥林匹克物理竞赛之力学解题方法
点评：
以车和人组成的系统为研究对象，进行受力分析和运动状 态分析，应用牛顿第二定律列方程求解。
(M m )g sin m a 0
a(Mm)gsin
m
高中物理竞赛辅导
点评： 相同时间内，M保持静止、m1和m2
分别以不同的加速度下滑，将三个过程 视为一个整体过程来研究。
a1g(sin1cos1) a 2g(sin2co s2) aM 0
F x M a M m 1 a 1 x m 2 a 2 x
答案：劈块受到地面的摩擦力的大小为2.3N，方向水平向右。
高中物理竞赛辅导
点评：五说题意
a 2F M m
高中物理竞赛辅导
例2.用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示， 今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续 施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表 示平衡状态的图可能是
点评：力偶、力偶臂、力偶矩
高中物理竞赛辅导
例3．有一个直角架AOB，OA水平放置，表面粗糙，OB竖直向
高中物理竞赛辅导
奥林匹克物理竞赛之力学解题方法
高中物理竞赛辅导
整体法 隔离法 等效法 对称法 图像法 类比法 递推法 微元法 极限法
高中物理竞赛辅导
一、整体法
1．方法简介:从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律 的方法。 层次深、理论性强，运用价值高。变繁为简、变 难为易。
2．赛题精讲
例1．如图所示，人和车的质量分别为m和M，人用水平力F拉 绳子，图中两端绳子均处于水平方向，不计滑轮质量及摩擦， 若人和车保持相对静止，且水平地面是光滑的，则车的加速度 为多少？
高中奥林匹克物理竞赛解题方法之十三降维法
例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G ，静止在斜面上。
现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。
但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。
我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。
将重力沿斜面、垂直于斜面分解。
我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。
如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G F F 22212=+='F ′的方向沿斜面向下与推力成α角，则︒=∴==451tan 1ααFG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f N μ例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n 周时，外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π① 圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh=② 解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDgaπ=例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B 的半径R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
正方形物块A 的厚度△h=10cm ，质量m=2kg ，物体A 与墙之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s 2。
降维法与对称法
第六节 降维法与对称法一．方法介绍1．对称法由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中．应用这种对称性不仅能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法.物理中对称现象比比皆是，对称的结构、对称的作用、对称的电路、对称的物像等等．一般情况下，对称表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等．我们可以通过人为地填补、分割等办法使原来不对称的事物也可以用对称性来分析。
对称法作为一种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现，从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力.既有利于高校选拔能力强素质高的优秀人才，又有利于中学教学对学生的学科素质和美学素质的培养.作为一种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现.2．降维法降维法是将一个三维图变成几个二维图的思维方法，例如当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。
由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。
降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。
二．对称法的典型应用1、镜物对称及拓展应用例1．如图所示，设有两面垂直于地面的光滑墙A 和B ，两墙水平距离为1.0 m ，从距地面高19.6 m 处的一点C 以初速度为5.0 m/s ，沿水平方向投出一小球，设球与墙的碰撞为弹性碰撞，求小球落地点距墙A 的水平距离.球落地前与墙壁碰撞了几次？（忽略空气阻力）命题意图：考查考生综合分析、推理归纳的能力.B 级要求.错解分析：部分陷于逐段分析求解的泥潭，而不能依对称性将整个过程等效为一个平抛的过程，依水平位移切入求解.[解析]：如图所示，设小球与墙壁碰撞前的速度为v ，因为是弹性碰撞，所以在水平方向上的原速率弹回，即v ⊥′=v ⊥；又墙壁光滑，所以在竖直方向上速率不变，即v ‖′=v ‖，从而小球与墙壁碰撞前后的速度v 和v ′关于墙壁对称，碰撞后的轨迹与无墙壁时小球继续前进的轨迹关于墙壁对称，以后的碰撞亦然，因此，可将墙壁比作平面镜，把小球的运动转换为统一的平抛运动处理，由h =21gt 2和n =d t v 0可得碰撞次数n =d v 0g h 2 =15×8.96.192 次=10次. 由于n 刚好为偶数，故小球最后在A 墙脚，即落地点距离A 的水平距离为零.2．简谐运动中的对称性例2 如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B 相连，木图27-4块A 放在木块B 上，两木块质量均为m , 在木块A 上施有竖直向下的力F ,整个装置处于静止状态。
高中的物理解题技巧及例题
觉得还不错的时间+汗水≠效果苦学、蛮学不如巧学第一部分高中物理活题巧解方法总论整体法隔离法力的合成法力的分解法力的正交分解法加速度分解法加速度合成法速度分解法速度合成法图象法补偿法（又称割补法）微元法对称法假设法临界条件法动态分析法利用配方求极值法等效电源法相似三角形法矢量图解法等效摆长法等效重力加速度法特值法极值法守恒法模型法模式法转化法气体压强的参考液片法气体压强的平衡法气体压强的动力学法平衡法（有收尾速度问题）穷举法通式法逆向转换法比例法推理法密度比值法程序法等分法动态圆法放缩法电流元分析法估算法节点电流守恒法拉密定理法代数法几何法第二部分部分难点巧学一、利用“假设法”判断弹力的有无以及其方向二、利用动态分析弹簧弹力三、静摩擦力方向判断四、力的合成与分解五、物体的受力分析六、透彻理解加速度概念七、区分s-t 图象和v-t图象八、深刻领会三个基础公式九、善用匀变速直线运动几个重要推论十、抓住时空观解决追赶（相遇）问题十一、有关弹簧问题中应用牛顿定律的解题技巧十二、连接体问题分析策略——整体法与隔离法十三、熟记口诀巧解题十四、巧作力的矢量图，解决力的平衡问题十五、巧用图解分析求解动态平衡问题十六、巧替换、化生僻为熟悉，化繁难就简易十七、巧选研究对象是解决物理问题的关键环节十八、巧用“两边夹”确定物体的曲线运动情况十九、效果法——运动的合成与分解的法宝二十、平抛运动中的“二级结论”有妙用二十一、建立“F供＝F需”关系，巧解圆周运动问题二十二、把握两个特征，巧学圆周运动二十三、现代科技和社会热点问题——STS问题二十四、巧用黄金代换式“GM＝R2g”二十五、巧用“比例法”——解天体运动问题的金钥匙二十六、巧解天体质量和密度的三种方法二十七、巧记同步卫星的特点——“五定”二十八、“六法”——求力的功二十九、“五大对应”——功与能关系三十、“四法”——判断机械能守恒三十一、“三法”——巧解链条问题三十二、两种含义——正确理解功的公式，功率的公式三十三、解题的重要法宝之一——功能定理三十四、作用力与反作用力的总功为零吗？——摩擦力的功归类三十五、“寻”规、“导”矩学动量三十六、巧用动量定理解释常用的两类物理现象三十七、巧用动量定理解三类含“变”的问题三十八、动量守恒定律的“三适用”“三表达”——动量守恒的判断三十九、构建基本物理模型——学好动量守恒法宝四十、巧用动量守恒定律求解多体问题四十一、巧用动量守恒定律求解多过程问题四十二、从能量角度看动量守恒问题中的基本物理模型——动量学习的提高篇四十三、一条连等巧串三把“金钥匙”四十四、巧用力、能的观点判断弹簧振子振动中物理量的变化四十五、弹簧振子运动的周期性、对称性四十六、巧用比值处理摆钟问题四十七、巧用位移的变化分析质点的振动：振动图像与振动对应四十八、巧用等效思想处理等效单摆四十九、巧用绳波图理解机械波的形成五十、波图像和振动图像的区别五十一、波的叠加波的干涉五十二、物质是由大量分子组成的五十三、布朗运动五十四、分子间作用力五十五、内能概念的内涵五十六、能的转化和守恒定律五十七、巧建模型——气体压强的理解及大气压的应用五十八、活用平衡条件及牛顿第二定律——气体压强的计算五十九、微观与宏观——正确理解气体的压强、体积与温度及其关系六十、巧用结论——理想气体的内能变化与热力学第一定律的综合应用六十一、巧用库仑定律解决带电导体球间力的作用六十二、巧选电场强度公式解决有关问题六十三、巧用电场能的特性解决电场力做功问题六十四、巧用电容器特点解决电容器动态问题六十五、利用带电粒子在电场中不同状态解决带电粒子在电场中的运动六十六、巧转换，速求电场强度六十七、巧用“口诀”，处理带电平衡问题六十八、巧用等效法处理复合场问题六十九、巧用图象法处理带电粒子在交变电场中运动问题第一部分高中物理活题巧解方法总论高中阶段，最难学的课程是物理，既要求学生有过硬的数学功底，还要学生有较强的空间立体感和抽象思维能力。
高中的物理解题技巧及例题
觉得还不错的时间+汗水≠效果苦学、蛮学不如巧学第一部分高中物理活题巧解方法总论整体法隔离法力的合成法力的分解法力的正交分解法加速度分解法加速度合成法速度分解法速度合成法图象法补偿法（又称割补法）微元法对称法假设法临界条件法动态分析法利用配方求极值法等效电源法相似三角形法矢量图解法等效摆长法等效重力加速度法特值法极值法守恒法模型法模式法转化法气体压强的参考液片法气体压强的平衡法气体压强的动力学法平衡法（有收尾速度问题）穷举法通式法逆向转换法比例法推理法密度比值法程序法等分法动态圆法放缩法电流元分析法估算法节点电流守恒法拉密定理法代数法几何法第二部分部分难点巧学一、利用“假设法”判断弹力的有无以及其方向二、利用动态分析弹簧弹力三、静摩擦力方向判断四、力的合成与分解五、物体的受力分析六、透彻理解加速度概念七、区分s-t 图象和v-t图象八、深刻领会三个基础公式九、善用匀变速直线运动几个重要推论十、抓住时空观解决追赶（相遇）问题十一、有关弹簧问题中应用牛顿定律的解题技巧十二、连接体问题分析策略——整体法与隔离法十三、熟记口诀巧解题十四、巧作力的矢量图，解决力的平衡问题十五、巧用图解分析求解动态平衡问题十六、巧替换、化生僻为熟悉，化繁难就简易十七、巧选研究对象是解决物理问题的关键环节十八、巧用“两边夹”确定物体的曲线运动情况十九、效果法——运动的合成与分解的法宝二十、平抛运动中的“二级结论”有妙用二十一、建立“F供＝F需”关系，巧解圆周运动问题二十二、把握两个特征，巧学圆周运动二十三、现代科技和社会热点问题——STS问题二十四、巧用黄金代换式“GM＝R2g”二十五、巧用“比例法”——解天体运动问题的金钥匙二十六、巧解天体质量和密度的三种方法二十七、巧记同步卫星的特点——“五定”二十八、“六法”——求力的功二十九、“五大对应”——功与能关系三十、“四法”——判断机械能守恒三十一、“三法”——巧解链条问题三十二、两种含义——正确理解功的公式，功率的公式三十三、解题的重要法宝之一——功能定理三十四、作用力与反作用力的总功为零吗？——摩擦力的功归类三十五、“寻”规、“导”矩学动量三十六、巧用动量定理解释常用的两类物理现象三十七、巧用动量定理解三类含“变”的问题三十八、动量守恒定律的“三适用”“三表达”——动量守恒的判断三十九、构建基本物理模型——学好动量守恒法宝四十、巧用动量守恒定律求解多体问题四十一、巧用动量守恒定律求解多过程问题四十二、从能量角度看动量守恒问题中的基本物理模型——动量学习的提高篇四十三、一条连等巧串三把“金钥匙”四十四、巧用力、能的观点判断弹簧振子振动中物理量的变化四十五、弹簧振子运动的周期性、对称性四十六、巧用比值处理摆钟问题四十七、巧用位移的变化分析质点的振动：振动图像与振动对应四十八、巧用等效思想处理等效单摆四十九、巧用绳波图理解机械波的形成五十、波图像和振动图像的区别五十一、波的叠加波的干涉五十二、物质是由大量分子组成的五十三、布朗运动五十四、分子间作用力五十五、内能概念的内涵五十六、能的转化和守恒定律五十七、巧建模型——气体压强的理解及大气压的应用五十八、活用平衡条件及牛顿第二定律——气体压强的计算五十九、微观与宏观——正确理解气体的压强、体积与温度及其关系六十、巧用结论——理想气体的内能变化与热力学第一定律的综合应用六十一、巧用库仑定律解决带电导体球间力的作用六十二、巧选电场强度公式解决有关问题六十三、巧用电场能的特性解决电场力做功问题六十四、巧用电容器特点解决电容器动态问题六十五、利用带电粒子在电场中不同状态解决带电粒子在电场中的运动六十六、巧转换，速求电场强度六十七、巧用“口诀”，处理带电平衡问题六十八、巧用等效法处理复合场问题六十九、巧用图象法处理带电粒子在交变电场中运动问题第一部分高中物理活题巧解方法总论高中阶段，最难学的课程是物理，既要求学生有过硬的数学功底，还要学生有较强的空间立体感和抽象思维能力。
高中物理奥林匹克竞赛解题方法解物理竞赛题的数学技巧
解物理竞赛题的数学技巧在生物理竞赛中，不难发现这样一类试题：题目描述的物理情境并不陌生，所涉及的物理知识也并不复杂，若能恰当地运用数学技巧求解，问题就可顺利得到解决．然而，选手在处理这类问题时，往往由于不能灵活运用数学技巧而前功尽弃．辅导教师在对参赛选手进行物理知识传授、物理方法渗透的同时，利用某些典型的物理问题去传授和强化他们的数学技巧，提高他们运用数学解决物理问题的能力是十分必要的．笔者通过实例剖析，就解物理竞赛题中的数学技巧作一简要探讨．一、引入参数方程，简解未知量多于方程数的问题例1（第15届全国生物理竞赛试题） 1ｍｏｌ理想气体缓慢的经历了一个循环过程，在ｐ－Ｖ图中这一过程是一个椭圆，如图1所示．已知此气体若处在与椭圆中心Ｏ′点所对应的状态时，其温度为Ｔ０＝300Ｋ，求在整个循环过程中气体的最高温度Ｔ１和最低温度Ｔ２各是多少．图1分析与解由题给条件，可列出两个相对独立的方程．即气体循环过程的椭圆方程和理想气体的状态方程，即，①ｐＶ＝ＲＴ．②①、②两方程中含三个未知量ｐ、Ｖ、Ｔ，直接对①、②两式进行演算，要求出循环过程中的最高温度Ｔ１或最低温度Ｔ２，是较为困难的．现根据①式引入含参数定义的方程为②式则转化为Ｔ＝（1／Ｒ）（ｐ０＋（ｐ０／2）ｓｉｎα）（Ｖ０＋（Ｖ０／2）ｃｏｓα即Ｔ＝［1＋（1／2）（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）＋（1／4）ｓｉｎαｃｏｓα］Ｔ０，③（上式中Ｔ０＝ｐ０Ｖ０／Ｒ，为Ｏ′点对应的温度）因为ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ｓｉｎ（（π／4）＋αｓｉｎαｃｏｓα＝（（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２－1）／2，④而－1≤ｓｉｎ（（π／4）＋α）≤1，所以－≤ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝时，由④式知ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2，将上式代入③式得Ｔ≤［1＋（1／2）×＋（1／4）×（1／2）］Ｔ０，即最高温度Ｔ１＝549Ｋ．当ｓｉｎα＋ｃｏｓα≥－，取ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝－时，由④式知ｓｉｎαｃｏｓα＝1／2，代入③式，得Ｔ≥［1＋（1／2）（－＋（1／4）·（1／2））］Ｔ０，即最低温度Ｔ２＝125Ｋ．二、实施近似处理，解决物理规律不明显的问题例2如图2所示，两个带电量均为Ｑ的正点电荷，固定放置在ｘ轴上的Ａ、Ｂ两处，点Ａ、Ｂ到原点的距离都等于ｒ，若在原点Ｏ放置另一带正电的点电荷，其带电量为ｑ．当限制点电荷ｑ在哪些方向上运动时，它在原点Ｏ处才是稳定的?图2分析与解设限制点电荷ｑ在与ｘ轴成θ角的ｙ轴上运动．当它受扰动移动到Ｐ点，即沿ｙ轴有微小的位移ｙ（＝ｙ）时，Ａ、Ｂ两处的点电荷对ｑ的库仑力分别为ｆＡ、ｆＢ．则ｑ在ｙ轴上的合力为ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／）ｃｏｓα－ｋ（Ｑｑ／）ｃｏｓβ，由余弦定理知＝ｒ２＋ｙ２＋2ｒｙｃｏｓθ，＝ｒ２＋ｙ２－2ｒｙｃｏｓθ．又由三角形知，ｃｏｓα＝（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／，ｃｏｓβ＝（ｒｃｏｓθ－ｙ）／，故ｆｙ＝ｋＱｑ（ｒｃｏｓθ＋ｙ）／（ｒ２＋ｙ２－2ｒｙｃｏｓθ）３／２－（ｋＱｑ（ｒｃｏｓθ－ｙ）／（ｒ２＋ｙ２－2ｒｙｃｏｓθ）３／２）．上式已表示出ｆｙ与θ、ｙ间的定量关系．可它们满足的规律并不明显．怎样将合力ｆｙ与方向角θ、位移ｙ之间的物理规律显现出来?由于ｙ很小，故ｙ的二次项可略去，得ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ３即ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ３）［（ｒｃｏｓθ＋ｙ）（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－３／２－（ｒｃｏｓθ－ｙ）（1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－３／２］，根据二项式展开式（1＋ｔ）Ｓ＝1＋Ｓｔ＋（Ｓ（Ｓ－1）／2！）ｔ２＋…＋（（Ｓ（Ｓ－1）…（Ｓ－ｎ＋1））／ｎ！）ｔｎ＋……，（其中Ｓ为任意实数）有（1＋（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－３／２＝1＋（－3／2）（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋（（－3／2）（（－3／2）－1）／2！）（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）２＋……，（1－（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－３／２＝1＋（－3／2）（（－2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）＋（（－3／2）（（－3／2）－1）／2！）（（－2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）２＋……，又由于ｙ＜＜ｒ，或（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ＜＜1，故（（2ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）的二次项及二次项以上高次项可略去，得ｆｙ＝ｋ（Ｑｑ／ｒ３）［（ｒｃｏｓθ＋ｙ）（1－（3ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）－（ｒｃｏｓθ－ｙ）（1＋（3ｙ／ｒ）ｃｏｓθ）］，＝－ｋ（2Ｑｑ／ｒ３）（3ｃｏｓ２θ－1）ｙ．由此可见，当（3ｃｏｓ２θ－1）＞0时，ｆｙ＜0，即合力方向指向原点，与位移方向相反，即ｆｙ具有回复力的特征．因而点电荷ｑ是稳定的．图3根据3ｃｏｓ２θ－1＞0，即ｃｏｓθ＞／3时，得－ａｒｃｃｏｓ（／3）＜θ＜ａｒｃｃｏｓ（／3或当ｃｏｓθ＜－／3时，得π－ａｒｃｏｓ（／3）＜θ＜π＋ａｒｃｃｏｓ（／3）．故当限制点电荷ｑ在如图3的阴影区域运动时，它在原点Ｏ处才是稳定的．三、利用特殊值，求解一般性问题特殊值是指物理量在某一特殊情况下的取值．物理量在一般情况下的量值之间必然与特殊值之间存在一定的联系．我们若能确定某一特殊值，则往往可以借助数学技巧来求出一般情况下该物理量的量值．例3 一个空心的环形圆管沿一条直径截成两部分，一半竖立在铅垂平面内，如图4所示，管口连线在一水平线上．今向管内装入与管壁相切的2ｍ个小滚珠，左、右侧顶部的滚珠都与圆管截面相切．已知单个滚珠重Ｇ，并设系统中处处无摩擦．求从左边起第ｎ个和第（ｎ＋1）个滚珠之间的相互压力Ｑｎ．图4分析与解研究一般性问题——分析第ｎ个滚珠的受力情况，此滚珠受四个力的作用：重力Ｇ，管壁对它的弹力Ｔｎ，第（ｎ－1）个滚珠对它的压力Ｑｎ－１及第（ｎ＋1）个滚珠对它的压力Ｑｎ．由于Ｔｎ的量值未知，且不为本题所求，故选取如图5所示的与Ｔｎ方向共线的轴作为ｙ轴建立直角坐标系．图5 图6由平衡条件知ｘ轴方向的合力为零，得Ｑｎ－１ｃｏｓα＋Ｇｃｏｓβ－Ｑｎｃｏｓα＝0，由几何知识，得α＝θ／2（其中θ＝π／2ｍβ＝（（ｎ－1）π／2ｍ）＋α，故Ｑｎ－Ｑｎ－１＝．①根据①式，如何求得Ｑｎ？对第1个滚珠进行受力分析，如图6所示，得到一特殊值，即Ｑ１＝，②故可对①式进行递推，得Ｑ２－Ｑ１＝，Ｑ３－Ｑ２＝，……Ｑｎ－Ｑｎ－１＝．将上面所列等式左、右两边分别相加，得Ｑｎ－Ｑ１＝［ｃｏｓ（3π／4ｍ）＋ｃｏｓ（5π／4ｍ）＋…＋ｃｏｓ（（2ｎ－1）π／4ｍ）］·Ｇ／ｃｏｓ（π／4ｍ把②式代入，得Ｑｎ＝［ｃｏｓ（（2ｋ－1）π／4 ｍ）］·Ｇ／ｃｏｓ（π／4ｍ）．而ｃｏｓ（（2ｋ－1）π／4ｍ）＝（1／2ｓｉｎ（π／4ｍ））2ｃｏｓ（（ｋπ／2ｍ）－（π／4ｍ））ｓｉｎ（π／4ｍ）＝（1／2ｓｉｎ（π／4ｍ））［ｓｉｎ（ｋπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｋ－1）π／2ｍ）］，又［ｓｉｎ（ｋπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｋ－1）π／2ｍ）］＝［ｓｉｎ（π／2ｍ）－0］＋［ｓｉｎ（2π／2ｍ）－ｓｉｎ（π／2ｍ）］＋［ｓｉｎ（3π／2ｍ）－ｓｉｎ（2π／2ｍ）］＋…＋［ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ）－ｓｉｎ（（ｎ－1）π／2ｍ）］＝ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ故Ｑｎ＝（ｓｉｎ（ｎπ／2ｍ）／ｓｉｎ（π／2ｍ））·Ｇ。
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十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。
由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。
降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。
赛题精讲例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G ，静止在斜面上。
现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？ 解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。
但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。
我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。
将重力沿斜面、垂直于斜面分解。
我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。
如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G FF 22212=+='F ′的方向沿斜面向下与推力成α角， 则 ︒=∴==451tan 1ααF G这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f Nμ例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n周时，外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π①圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =②解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDga π=例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B 的半径R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
正方形物块A 的厚度△h=10cm ，质量m=2kg ，物体A 与墙之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s 2。
求：（1）墙对物块A 的摩擦力为多大？（2）如果要物体A 上施加一个与墙平行的外力，使物体A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a =5m/s 2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？解析：这里物体A 、B 所受的力也不在一个平面内，混起来考虑比较复杂，可以在垂直于墙的竖直平面内分析A 、B 间压力和A 对墙的压力；在与墙面平行的平面内分析A 物体沿墙水平运动时的受力情况。
（1）通过受力分析可知墙对物块A 的静摩擦力大小等于物块A 的重力。
（2）由于物体A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。
又因为物体受竖直向下的重力，所以推力F 方向应斜向上。
设物体A 对墙的压力为N ，则沿垂直于墙的方向，物体B 受到物体A 的支持力大小也为N ，有θμtan ,Mg N N f ==而又因为43tan 53sin ==++∆=θθ所以RL R h在与墙面平行的平面内，对物体A 沿竖直方向做受力分析，如图13—3—甲所示有mg F =αsin沿水平方向做受力分析，有 ma f F =-αcos 由以上各式，解得)5/5a r c s i n (,520)()(22==++=a N ma f mgF因此，对物体A 施加的外力F 的大小为205N ，方向沿墙面斜向上且与物体A 水平运动方向的夹角为).5/5arcsin(例4：一质量m=20kg 的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图13—4所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m ，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。
两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度./40s rad =ω若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为s m /050.00=υ的匀速运动，求推力是多大？（设钢件不发生横向运动）解析：本题关键是搞清滑动摩擦力的方向，滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，由于钢件和圆柱都相对地面在运动，直接不易观察到相对地面在运动，直接不易观察到相对运动的方向，而且钢件的受力不在同一平面内，所以考虑“降维”，即选一个合适的角度观察。
我们从上往上看，画出俯视图，如图13—4—甲所示。
我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力，先分析相对运动的方向，钢件有向前的速度0υ，左边圆住有向右的速度ωr ,则钢件相对于圆柱的速度是0υ与ωr 的矢量差，如图中△v ，即为钢件相对于圆柱的速度，所以滑动摩擦力f 的方向与△v ，的方向相反，如图13—4—甲所示。
以钢件为研究对象，在水平面上受到推力F 和两个摩擦力f 的作用，设f 与圆柱轴线的夹角为θ，当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时，应有22000)(22cos 2ωθr v v fvv ff F +=∆== ①再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出F N ，如图13—4—乙所示，钢件受重力G 和两个向上的支持力F N ，且G=2F N ，所以把N N F f G F μ==,2代入①式，得推力N r v v mg r v v F F N 2)(22)(222002200=+⋅=+⋅=ωμωμ例5：如图13—5所示，将质量为M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水平，链条静止时也水平，求链条内的张力。
解析：要求张力，应在链条上取一段质量元m ∆进行研究。
因为该问题是三维问题，图13—4—乙各力不在同一平面内，所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。
作出俯视图13—5—甲，设质量元m ∆两端所受张力为T ，其合力为F ，因为它所对的圆心角θ很小，所以2sin 2θT F =，即F=T θ。
再作出正视图13—5—乙，质量元受重力m ∆g 、支持力N 和张力的合力F 而处于平衡状态，由几何知识可得：2cot22cot απθα⋅=⋅∆=Mg mg F 所以链条内的张力2cot22απ⋅==Mg F T例6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。
演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增加，圈子越兜越大，最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶，如图13—6所示。
如果演员和摩托车的总质量为M ，直壁半径为R ，匀速率行驶的速率为v ，每绕一周上升的距离为h ，求摩托车匀速走壁时的向心力。
解析：摩托车的运动速度v ，可分解为水平速度v 1和竖直分速度为v 2，则向心力速度为Rv a 21=。
处理这个问题的关键是将螺旋线展开为一个斜面，其倾角的余弦为22)2(2cos hR R a +=ππ，如图13—6—甲所示。
所以有v h R R v v 221)2(2cos +==ππα向心加速度为：222221))2(2(hR R RvR v a +==ππ向心力 )4(422222h R R MvMa F +==ππ例7：A 、B 、C 为三个完全相同的表面光滑的小球，B 、C 两球各被一长为L=2.00m 的不可伸和的轻线悬挂于天花板上，两球刚好接触，以接触点O 为原点作一直角坐标系z Oxyz ,轴竖直向上，O x 与两球的连心线重合，如图13—7所示。
今让A 球射向B 、C 两球，并与两球同时发生碰撞。
碰撞前，A 球速度方向沿y 轴正方向，速率为s m v A /00.40=。
相碰后，A 球沿y 轴负方向反弹，速率A v =0.40m/s 。
（1）求B 、C 两球被碰后偏离O 点的最大位移量；（2）讨论长时间内B 、C 两球的运动情况。
（忽略空气阻力，取g=10m/s 2） 解析：（1）A 、B 、C 三球在碰撞前、后的运动发生在Oxy 平面内，设刚碰完后，A 的速度大小为A v ，B 、C 两球的速度分别为B v 与C v ，在x 方向和y 方向的分速度的大小分别为Bx v ，Cy Cx By v v v ,和，如图13—7—甲所示，由动量守恒定律，有0=-Bx Cx mv mv ①ACy ByAxmvmv mvmv-+= ②由于球面是光滑的，在碰撞过程中，A 球对B 球的作用力方向沿A 、B 两球的连心线，A 球对C 球的作用力方向沿A 、C 两球的连心线，由几何关系，得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==6tan6tan ππCyCx By Bx v v v v ③ 由对称关系可知 Cy Bx v v = ④解①、②、③、④式可得 s m v v Cy Bx /27.1==s m v v Cy Bx /20.2==由此解得 s m v v Cy Bx /54.2==设C 球在x >0, y>0, z >0的空间中的最大位移为,OQ Q 点的z 坐标为z Q ，则由机械能守恒定律可写出Q C m g z mv =221 ⑤所以 gv z C Q 22=代入数值解得 z Q =0.32m而Q 点到O z 轴的距离为 )2()(22Q Q Q z L z z L L QD -=--=图13—7甲所以C 球离O 点的最大位移量 Q Q Lz ODz OQ 222=+= ⑥代入数值，得 m OQ 13.1= ⑦由对称性，可得B 球在0,0,0>><z y x 的空间的最大位移量OP 为m OQ OP 13.1== ⑧（2）当B 、C 两球各达到最大位移后，便做回到原点的摆动，并发生两球间的碰撞，两球第一次返回O 点碰撞前速度的大小和方向分别为s m v Bx /27.1= 方向沿正x 轴方向 By v =2.20m/s 方向沿y 轴方向s m v Cx /27.1= 方向沿正x 轴方向 Cy v =2.20m/s 方向沿y 轴方向设碰撞后的速度分别为11C B v v 和，对应的分速度的大小分别为x B v 1、y B v 1、x C v 1和y C v 1，由于两球在碰撞过程中的相互作用力只可能沿x 轴方向，故碰撞后，沿y 轴方向的速度大小和方向均保持不变（因为小球都是光滑的），即y B v 1=By v 方向沿负y 轴方向 ⑨ y C v 1=Cy v 方向沿负y 轴方向 ⑩碰撞过程中，沿x 轴方向的动量守恒，则 Cx Bx x B x C mv mv mv mv -=-11 因为Cx Bx v v = 所以x B x C v v 11=即碰撞后两球在x 方向的分速度大小也相等，方向相反，具体数值取决于碰撞过程中是否机械能损失。