含参变量广义积分

（2）
A a,
积分 A a
f (x, y)dx
存在且对 y Y 一致有界,
即存在常数 M 0, 满足
A
f (x, y)dx M ,
A a, y Y;
a
则含参变量无穷积分 f (x, y)g(x, y)dx 在 Y 一致收敛。 a
定理3（ 阿贝耳判别法）
若函数 f (x, y) , g(x, y) 满足：
一致收敛积分具有如下性质：
定理4： 设函数 f (x, y) 在区域{(x, y) | a x , c y d} 连续，
且积分
g( y) f (x, y) dx ,
y c, d ,
a
在 c, d 上一致收敛，则
（1）g(y) 在c,d 上连续； （2）g(y) 在c,d 上可积，且有
11－3 含参变量的广义积分
本节研究形如
a f (x, y) dx
b
f (x, y) dx,
( b为瑕点 )
a
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积性， 以及与之相关的特殊函数。下面主要对无穷限积分 讨论，无界函数的情况可类似处理。
含参量广义积分与函数项级数在所研究问题与 论证方法上极为相似，学习时应注意比较。
且无穷积分 (x) dx 收敛，则含参变量的无穷积分
a
f (x, y)dx 在 Y 上一致收敛。
a
例 1Biblioteka Baidu
积分
e x sin x dx
0
在 [ 0 ,)
(0 0) 内一致
收敛 .
解 因为
| e x sin x | e0x
x 0 , 0 ,
而积分 e0 x dx 收敛，所以 e x sin x dx 在
a
又积分
a f y (x, y) dx
在c, d 上一致收敛，
则含参变量的无穷积分
g( y) f (x, y) dx
a
在c, d 上可导且
d
dy a
f (x, y) dx a
f (x, y) dx y
3. 函数和函数
本段介绍用含参数广义积分表达的两个特殊
函数 , 即 ( ) 和 B( p, q) 。 在积分计算等方面, 它
一致收敛的柯西收敛准则:
含参变量的无穷积分 f (x, y)dx 在区间 Y 上一致收敛的 a
充要条件是： 0 , 存在与y 无关的常数 N, 使得
A N, A N, y Y , 都有
A
f (x, y) dx
。
A
利用柯西收敛准则证明下列M判别法:
定理1： 若 | f (x, y) | (x), x a , y Y ,
们是很有用的两个特殊函数。
一、 Gamma 函数 ( )
考虑含参数无穷限积分
x e 1 xdx.
0
特点: 1) 积分区间为无穷，是一个无穷积分；
2) 当 1时，x 0为瑕点，所以它又是一 个瑕
积分，称此类积分为无穷瑕积分. 将它分为两项：
0
0
[0,) (0 0) 内一致收敛.
例2 考虑积分 J (t) tetx2 dx, 0 t . 0
证明 (1) J (t)在区间[c, d]上一致收敛，其中 0 c d;
(2) J (t)在区间[0, d]上不一致收敛 .
证 (1) 当c t d时，由于 tetx2关于x连续，所以
设二元函数 f (x, y) 在 (x,y) a x , c y d上有定义，
固定 y c , d , 若无穷积分 f (x, y)dx 收敛，
a
则在c , d 上定义了一个函数
g( y) f (x, y)dx , c y d ,
a
称其为含参变量的无穷积分。
若 y0 c , d , 则 g(y0) 收敛，即 0 , N N(, y0)
（1） y Y, 函数 g(x, y) 关于 x 单调且对 y 一致有界，
即存在常数 M 0, 满足 g(x, y) M , y Y , x 充分大;
（2）含参变量无穷积分 f (x, y)dx 在 Y 上一致收敛 ; a
则含参变量无穷积分
f (x, y)g(x, y)dx
a
在 Y 上一致收敛。
它在任意区间[0, A]上关于x是可积的，即定积分 A 0
存在. 又这时
| tetx2 | decx2 ,
tetx2 dx
而无穷积分 d ecx2 dx是收敛的. 因此J(t)在[c, d ]上一 0
致收敛.
(2) 当0 t d时，对于任意取定的 A 0, 有
|
tetx2 dx |
0, N N( ) a, A N, y Y,
A f (x, y) dx
则称含参变量的无穷积分在区间 Y 上一致收敛。
关于不一定收敛的充分条件：
命题 设含参变量的无穷积分 f (x, y)dx在 Y上点 a
点收敛，若存在常数 l 0 ，不论 N多大，总存在 A N
及 yA Y ，使
tetx2 dx u
tx
A
A
eu2 du t 0 eu2 du .
tA
0
2
这样 J (t)在区间[0, d]上不一致收敛 .
定理2（ 狄利克雷判别法）
若函数 f (x, y) , g(x, y) 满足： （1） y Y, 函数 g(x, y) 关于 x 单调且
g(x, y) 0 , y Y, x ,
| a
f (x, yA )dx| l,
则无穷积分 在 Y 上不一致收敛. 命题的极限形式：
若对于任意取定的 A，当y Y趋向于某一值 y0,时有极限
lim f (x, y)dx k 0,
yy0 A
其中k是一个与 A无关的常数，则积分
在 Y 不一致收敛.
a f (x, y)dx
含参变量无穷积分一致收敛的判别方法：
d
d
d
g( y)dy dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy 。
c
c
a
a
c
定理5： 设函数 f (x, y) , f y (x, y) 在区域
{(x, y) | a x , c y d} 上连续且积分
g( y) f (x, y) dx
在c, d 上逐点收敛，
只要 A N, 则有
A
f (x, y0 )dx f (x, y0 )dx g( y0 ) 。
A
a
上面收敛定义中的常数 N 通常与 y0 有关。许多应用
中都需要如下一致收敛概念。
定义： 设无穷积分
g( y) f (x, y)dx ,
a
对区间Y（Y 为任意区间）中的一切 y 都收敛，如果