声波的辐射(1)

声 波 的 辐 射(一)

Keynotespeaker: Shiqing Liu

教学要求：肾刻理解辐射阻抗的概念，建立起脉动球源（单极子）声辐射的物理图像，明确声辐射与球源大小的关系及其辐射声场的特点。

教学形式：讲授或多媒体

〖引言〗 本章主要讨论声波的辐射问题。从两方面来研究：一是研究声源振动时，其向介质辐射声波的各种规律，如声场中声压与声源的关系，声压随距离的变化及声源的指向性等；二是研究由声源激发的声场对声源振动状态的影响，亦即辐射阻抗的问题。这些问题在工程技术领域具有很重要的意义。是电声系统设计的理论基础，如扬声器、水声声纳系统等。

一、 辐射阻抗

辐射阻抗是一个很重要的概念。当振源振动向介质辐射声波时，振动面要推动附近介质形变并把一部分机械能传给介质，形成声场中的声能并由近及远传播。显然，声源辐射声波时也要受到介质对声源的反作用力。怎样描述这一作用和反作用呢？ （一） 声场对辐射器的作用

考虑为一般情况，设辐射器振动面对介质作用力为s f ，可表示如下 0

d s a

s f p

s =

⎰⎰ （1）

a p ——辐射面处介质声压分布函数，一般非均匀，相位也不同。

而辐射面声压分布可表示为：a a a p u Z =⋅， Z a ——是辐射面处介质波阻抗或声阻抗率。

u ——辐射面处质点法向振速。由（1）式，得声场对辐射器的作用力为r f （法向指向介质）

d d r a a a s s f p s u Z s =-=-⎰⎰⎰⎰ （2） 偌辐射面上法向振速等幅同相（一般不同），称为“活塞”声源，则上式

d r a a

s f u Z s =-⎰⎰ （3） 如前述，只有在平面波时波阻抗才为实数。一般声场中的波阻抗是空间函数，且是复数，即a a a Z r jx =+，则上式为

()d ()r a a a a

A A a

A

s f u r j x s u R j X u Z =-+=-+=-⎰⎰ （4） 其中 A A A Z R j X =+，为复数，说明声场对辐射器的作用力与辐射面的振速相位不同。

因此，振源在介质中工作并辐射声波时，除受策动力之外，还受到了声场（或介质）

对它的反作用力f r ，此外力可等效为一个附加的机械阻抗，相当于声源的辐射负载。 （二） 辐射阻抗

定义：声源向介质辐射声波时，由于声场反作用所表现出的附加于辐射系统的等效机械阻抗，称为辐射阻抗，在量值上等于力与质点振速的比值，即

s r A A A a

a

f f Z R jX u u -=

==+ （5）

A R ——辐射阻；A X ——辐射抗

A

Z A

X ϕ

A

R

说明：1）辐射阻A R 吸收有功功率，实际中表现为声源的部分机械能转换为向介质辐射的声能；2）辐射抗A X 和机械系统中的无功阻抗相似，它并不消耗系统能量，而是起到储能作用，表现为声场和力源之间的能量交换。3）对于工作在介质中的单自由度辐射器，A R >0，若A X >0，则辐射抗表现为惯性作用，可表示为A s X m ω=，s m 称为共振质量（辐射质量，同振质量），即

A

s X

m ω

=

（6）

物理含义：声场反作用于辐射器（声源）而附加于声源振动系统的等效质量。换言之，表示声源辐射声波时推动周围介质需要克服介质的某种惯性作用。

二、 单极子声源的辐射

实际声源的形状各样，如人的嘴，扬声器等。要求得形状不规则的声源辐射声场的严格数学解很困难，因此理论上往往将模型理想化，如近似看作平面、球面等规则声源，数学上处理较简单，且结果不失共性。单极子声源，也称简单声源、脉动球，是最简单声源。 （一） 脉动球

模型：作均匀涨缩振动的球面声源。即球源表面上各点沿径向作等幅、同位相振动。 1．球面声场

如图1所示，球面半径a ，表面沿径向作均匀微小简谐振动，振幅为d r 。由于球面振动具有各向均匀的脉动性质，因而向介质辐射的是均匀球面波。 声场具有球对称性，取球坐标，且声压p 将只是r 的函数与θ、φ无关，拉普拉斯算符成为 22

2

2r r r ∂

∂

∇=

+

∂∂

球面简谐波波动方程可写为

2

2

2

2

()()0rp k rp r

∂∇=+=∂ （7）

通解 exp[()]exp[()]A B p j t kr j t kr r

r

ωω=

-++ （8）

对于无界空间，无反射波，有B =0，则（8）式成为 exp[()]A p j t kr r

ω=

- (9)

上式为向外辐射的均匀球面波表达式（扩散，声压振幅随距离反比衰减），A 是积分常数，一般是复数，A /r 的模为声压振幅。不计阻尼，质点的径向振速为 000

1

1(1)exp[()]p

A

v j t kr j r c r jkr

ωωρρ∂=-

=

+

-∂ （10）

（9）式和（10）式是脉动球源辐射声场的一般形式。 2．声辐射与球源大小关系

令球源表面振速为 exp[()]A u u j t ka ω=-。球源表面处边界条件：r a

v u ==。

由（10）式结合边界条件得 2002

()exp()1()

A c ka

A u ka j A j ka ρθ=

+=+ （11）

图1 脉动球辐射模型