声波的辐射(1)
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声 波 的 辐 射(一)
Keynotespeaker: Shiqing Liu
教学要求:肾刻理解辐射阻抗的概念,建立起脉动球源(单极子)声辐射的物理图像,明确声辐射与球源大小的关系及其辐射声场的特点。
教学形式:讲授或多媒体
〖引言〗 本章主要讨论声波的辐射问题。从两方面来研究:一是研究声源振动时,其向介质辐射声波的各种规律,如声场中声压与声源的关系,声压随距离的变化及声源的指向性等;二是研究由声源激发的声场对声源振动状态的影响,亦即辐射阻抗的问题。这些问题在工程技术领域具有很重要的意义。是电声系统设计的理论基础,如扬声器、水声声纳系统等。
一、 辐射阻抗
辐射阻抗是一个很重要的概念。当振源振动向介质辐射声波时,振动面要推动附近介质形变并把一部分机械能传给介质,形成声场中的声能并由近及远传播。显然,声源辐射声波时也要受到介质对声源的反作用力。怎样描述这一作用和反作用呢? (一) 声场对辐射器的作用
考虑为一般情况,设辐射器振动面对介质作用力为s f ,可表示如下 0
d s a
s f p
s =
⎰⎰ (1)
a p ——辐射面处介质声压分布函数,一般非均匀,相位也不同。
而辐射面声压分布可表示为:a a a p u Z =⋅, Z a ——是辐射面处介质波阻抗或声阻抗率。
u ——辐射面处质点法向振速。由(1)式,得声场对辐射器的作用力为r f (法向指向介质)
d d r a a a s s f p s u Z s =-=-⎰⎰⎰⎰ (2) 偌辐射面上法向振速等幅同相(一般不同),称为“活塞”声源,则上式
d r a a
s f u Z s =-⎰⎰ (3) 如前述,只有在平面波时波阻抗才为实数。一般声场中的波阻抗是空间函数,且是复数,即a a a Z r jx =+,则上式为
()d ()r a a a a
A A a
A
s f u r j x s u R j X u Z =-+=-+=-⎰⎰ (4) 其中 A A A Z R j X =+,为复数,说明声场对辐射器的作用力与辐射面的振速相位不同。
因此,振源在介质中工作并辐射声波时,除受策动力之外,还受到了声场(或介质)
对它的反作用力f r ,此外力可等效为一个附加的机械阻抗,相当于声源的辐射负载。 (二) 辐射阻抗
定义:声源向介质辐射声波时,由于声场反作用所表现出的附加于辐射系统的等效机械阻抗,称为辐射阻抗,在量值上等于力与质点振速的比值,即
s r A A A a
a
f f Z R jX u u -=
==+ (5)
A R ——辐射阻;A X ——辐射抗
A
Z A
X ϕ
A
R
说明:1)辐射阻A R 吸收有功功率,实际中表现为声源的部分机械能转换为向介质辐射的声能;2)辐射抗A X 和机械系统中的无功阻抗相似,它并不消耗系统能量,而是起到储能作用,表现为声场和力源之间的能量交换。3)对于工作在介质中的单自由度辐射器,A R >0,若A X >0,则辐射抗表现为惯性作用,可表示为A s X m ω=,s m 称为共振质量(辐射质量,同振质量),即
A
s X
m ω
=
(6)
物理含义:声场反作用于辐射器(声源)而附加于声源振动系统的等效质量。换言之,表示声源辐射声波时推动周围介质需要克服介质的某种惯性作用。
二、 单极子声源的辐射
实际声源的形状各样,如人的嘴,扬声器等。要求得形状不规则的声源辐射声场的严格数学解很困难,因此理论上往往将模型理想化,如近似看作平面、球面等规则声源,数学上处理较简单,且结果不失共性。单极子声源,也称简单声源、脉动球,是最简单声源。 (一) 脉动球
模型:作均匀涨缩振动的球面声源。即球源表面上各点沿径向作等幅、同位相振动。 1.球面声场
如图1所示,球面半径a ,表面沿径向作均匀微小简谐振动,振幅为d r 。由于球面振动具有各向均匀的脉动性质,因而向介质辐射的是均匀球面波。 声场具有球对称性,取球坐标,且声压p 将只是r 的函数与θ、φ无关,拉普拉斯算符成为 22
2
2r r r ∂
∂
∇=
+
∂∂
球面简谐波波动方程可写为
2
2
2
2
()()0rp k rp r
∂∇=+=∂ (7)
通解 exp[()]exp[()]A B p j t kr j t kr r
r
ωω=
-++ (8)
对于无界空间,无反射波,有B =0,则(8)式成为 exp[()]A p j t kr r
ω=
- (9)
上式为向外辐射的均匀球面波表达式(扩散,声压振幅随距离反比衰减),A 是积分常数,一般是复数,A /r 的模为声压振幅。不计阻尼,质点的径向振速为 000
1
1(1)exp[()]p
A
v j t kr j r c r jkr
ωωρρ∂=-
=
+
-∂ (10)
(9)式和(10)式是脉动球源辐射声场的一般形式。 2.声辐射与球源大小关系
令球源表面振速为 exp[()]A u u j t ka ω=-。球源表面处边界条件:r a
v u ==。
由(10)式结合边界条件得 2002
()exp()1()
A c ka
A u ka j A j ka ρθ=
+=+ (11)
图1 脉动球辐射模型