与三角形有关的角知识点归纳

合集下载

与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)

与三角形有关的角（提高）知识讲解【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．知识点三、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。

专题02 与三角形相关的角(知识点串讲)(解析版)

专题02 与三角形有关的角知识网络重难突破一、三角形的内角和等于180°1. 三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为180 的方法：①添加平行线： 22112211 ②折叠：332211③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．典例1．（2021·山西九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作CD AB ⊥后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．典例2．（2021·全国）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是__．【答案】22.5°．【分析】设两个锐角度数为x °，3x °，根据直角三角形中两个锐角互余列方程求解即可．【解析】设两个锐角度数为x °，3x °，由题意得：x +3x ＝90，解得：x ＝22.5，∴较小的锐角是22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，以及一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解答本题的关键．典例3．如图，ABC 中，50A ∠=︒，点E ，F 在,AB AC 上，沿EF 向内折叠AEF ，得DEF ，则图中12∠+∠等于（）A ．130︒B ．120︒C ．65︒D ．100︒【答案】D【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF +∠AFE 的度数，再根据折叠的性质求出∠AED +∠AFD 的度数，然后根据平角等于180°解答．【解析】解：∵∠A =50°，∴∠AEF +∠AFE =180°-50°=130°，∵沿EF 向内折叠△AEF ，得△DEF ，∴∠AED +∠AFD =2（∠AEF +∠AFE ）=2×130°=260°，∴∠1+∠2=180°×2-260°=360°-260°=100°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．二. 直角三角形 ↔ 2个锐角互余直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形.典例1.（2020·利辛县启明中学八年级月考）在下列条件中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（） ①A B C ∠+∠=∠，②::1:2:3A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④A B C ∠=∠=∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合三角形的内角和为180°逐个分析4个条件，可得出①②③中∠C=90°，④能确定ABC 为等边三角形，从而得出结论．【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，此时ABC 为直角三角形，①符合题意；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A+∠B=∠C，同①，此时ABC 为直角三角形，②符合题意；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，③符合题意；④∵∠A=∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴ABC为等边三角形，④不符合题意；综上可知：①②③能确定ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是结合三角形的内角和定理逐个分析4个条件．三、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°.等于（）典例1．（2021·湖南八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，则DACA．75°B．90°C．105°D．120°【答案】C【分析】根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．【解析】解：在△AFC中，由三角形外角性质可得：∠DAC=∠DFC+∠C=60°+45°=105°，故选C．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．典例2．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD ＝30°，则∠DCE的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．典例3．（2020·山东八年级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．【答案】360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【解析】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．四. 多边形的对角线1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线．典例1．观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．n 边形有______条对角线；（无需证明）（2）若一个多边形有35条对角线，这个多边形的边数是？【答案】见解析【分析】（1）根据图形求出多边形的对角线条数；（2）设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解方程即可得出答案．【解析】解：()1观察图形可得：四边形的对角线的条数为：()43414222-⨯⨯==；五边形的对角线的条数为：()53525522-⨯⨯==；六边形的对角线的条数为：()63636922-⨯⨯==； ⋅⋅⋅依次类推：n 边形的对角线的条数为：()32n n -． ()2设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解得：110n =，27n =-（不合题意，舍去）.答：这个多边形的边数是10．【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．五. 多边形的内角和1. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．2. n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．证明方法：分割成(n-2)个三角形求内角和3.正多边形的每个内角都相等，都等于n-°；(2)180n典例1．（2021·内蒙古包头市·八年级期末）若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．不能确定【答案】A【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：n边形的内角和是（n−2）•180°，n＋1边形的内角和是（n＋1−2）•180°＝（n−1）•180°，则（n−1）•180°−（n−2）•180°＝180°，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的内角和定理是解决的关键．典例2．（2021·浙江八年级期末）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据n边形的内角和为(n-2)•180°得到(n-2)•180=540，然后解方程即可．【解析】解：设这个多边形的边数为n，∴(n-2)•180=540，∴n=5．故选：C．【点睛】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)•180°．典例3．若一个正多边形的每个内角为144︒，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n-2）180°=144°×n，解得n=10，故选：B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．典例4．一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能【答案】D【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是能理解一个四角形截取一个角后得到的图形的形状．典例5．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．10或11【答案】B【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．【解析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，则(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2为正整数，∴60-x能被180整除，又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故选B【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．六. 多边形的外角和1. 多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；2. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；典例1．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（）A．96米B．128米C．160米D．192米【答案】B【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×16=128（米）．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．典例2．（2021·山东八年级期末）如图，1234∠+∠+∠+∠的度数为__________．【答案】360︒【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．【解析】解：由多边形的外角和定理知，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故答案是：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．典例3．（2021·河北八年级期末）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，对角线BF 的延长线与边DE 的延长线交于点M ，则M ∠的大小为__________．【答案】22.5︒【分析】利用正多边形的内角和公式与外角和公式结合题意即可求出45FEM ∠=︒，67.5EFB ∠=︒，再利用三角形外角性质即可求出M ∠．【解析】解：根据正八边形的性质可知360458FEM ︒∠==︒，180(82)1358EFG ︒⨯-∠==︒，由图可知1113567.522EFB EFG ∠=∠=⨯︒=︒， ∴67.54522.5M EFB FEM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和公式以及三角形外角的性质．掌握正多边形的内角和与外角和公式是解答本题的关键．巩固训练一、单选题1．（2021·四川九年级一模）如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D 【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．【解析】解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°-80°-60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．2．（2021·全国九年级专题练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．【解析】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒，360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．3．（2020·涿州市实验中学八年级期中）下列说法中错误的是（）A ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ＝∠B ﹣∠C ，则△ABC 为直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝2∠C ，则△ABC 为直角三角形【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．【解析】解：A 、在△ABC 中，因为∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，所以∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意．B 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ﹣∠C ，所以∠B ＝90°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． C 、在△ABC 中，因为∠A ＝12∠B ＝13∠C ，所以∠C ＝90°，∠B ＝60°，∠A ＝30°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． D 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ＝2∠C ，所以∠A ＝∠B ＝72°，∠C ＝36°，△ABC 不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．4．（2021·陕西八年级期末）如图，已知12//l l ，45A ∠=︒， 2100∠=︒，则1∠的度数为（）A ．50°B ．55°C ．45°D ．60°【分析】依据12//l l ，得到1ABC ∠=∠，再根据45A ∠=︒，2100A ABC ，即可得到55ABC ∠=︒，可得出155ABC ．【解析】解：12//l l ，1ABC ∴∠=∠，又45A ∠=︒，2100A ABC ， 21004555ABC A ，155ABC故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．如图，1∠，2∠，3∠，4∠一定满足的关系式是（）A ．1234∠+∠=∠+∠B ．1243∠+∠=∠-∠C ．1423∠+∠=∠+∠D ．1423∠+∠=∠-∠【答案】D 【分析】根据外角的性质分别得到∠AEF =∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF ，从而推断出∠2–∠3=∠1+∠4．【解析】解：如图，在△BED 中，∠AEF =∠4+∠3，在△AEF 中，∠2=∠1+∠AEF ，∴∠2=∠1+∠4+∠3，即∠2–∠3=∠1+∠4，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据外角的性质得到∠AEF=∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF．6．（2021·浙江八年级期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（）A．5条B．4条C．3条D．2条【答案】C【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可．【解析】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．7．一个正多边形的一个内角是150 ，则这个正多边形的边数为（）A．2 B．3 C．9 D．12【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】解：外角是：180°-150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．8．（2021·陕西八年级期末）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．【解析】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°∴正多边形的边数是360°÷45°=8．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键．二、填空题9．（2020·辽宁七年级期中）“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是____.【答案】三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【解析】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．10．（第十三章相交线平行线（基础卷）-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为__．【答案】70°【分析】先由AB ∥MN 知∠A +∠ACN ＝180°，结合∠A 度数得出∠ACN 的度数，再由CB 平分∠ACN 知∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，最后根据三角形内角和定理可得答案．【解析】解：∵AB ∥MN ，∴∠A +∠ACN ＝180°，又∵∠A ＝40°，∴∠ACN ＝180°﹣∠A ＝140°，∵CB 平分∠ACN ，∴∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了与平行线有关的三角形内角和问题，结合角平分线的性质求解是解题的关键．11．（2020·山西八年级期末）边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．【答案】9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【解析】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．12．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，根据题意得(2)1803000n x -⨯=+变形为18016(120)2180x n ⨯++-=，由n 是正整数，0180x <<求出x 的值即可得到答案．【解析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，由题意得(2)1803000n x -⨯=+∴18016(120)2180x n ⨯++-=， ∵n 是正整数，0180x <<， ∴x=60，∴这个多边形的内角和为3060，故答案为：3060．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．13．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是144︒，那么这个多边形是_____边形．【答案】10．【分析】根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．【解析】一个多边形的每一个内角都是144︒ ∴它的每一个外角都是18014436︒-︒=︒．多边形的外角和为360︒∴边数等于角的个数3603610=︒÷︒=．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，正多边形的特点，通过外角解决问题是解题的关键．14．（2021·上海奉贤区·八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形．【答案】八【分析】多边形的内角和为()2180,n -︒外角和为360,︒ 再列方程()21803360,n -︒=⨯︒解方程可得答案.【解析】解：设这个多边形为n 边形，则()21803360,n -︒=⨯︒26,n ∴-=8,n ∴=故答案为：八【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键.15．若正多边形的一个外角为40︒，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有________条．【答案】6【分析】根据多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再根据从多边形的一个顶点出发可作的对角线为（n -3）条可求解．【解析】解：∵多边形的外角和为360︒，∴360409︒÷︒=；从它的一个顶点出发，可以引出936-=条对角线．【点睛】本题主要考查多边形的外角和对角线，掌握定理是解题的关键．16．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）如图，小张从P 点向西直走10米后，向左转，转动的角度为α，再走10米，如此重复，小林共走了100米回到点P ，则α的值是___________．【答案】36°【分析】根据题意可先确定出该多边形的边数，再利用外角和求解即可．【解析】由题可知，小张全程下来走了一个正多边形，且边数1001010n ==， ∴根据多边形的外角和定理可求得：3603610α︒==︒，故答案为：36°．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，根据题意准确判断多边形的边数是解题关键．三、解答题17．在一个直角三角形中，如果两个锐角度数之比为2:3，那么这两个锐角为多少度？【答案】见解析【分析】根据比例设两个锐角度数分别为2k ，3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．【解析】解：设两个锐角度数分别为2k ，3k ，由题意得，2390k k +=，解得18k =，所以，236k =，354k =，故这两个锐角分别为36°，54°【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，利用“设k 法”表示出这两个锐角求解更简便．18．四边形ABCD 中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数．【答案】见解析【分析】设四个内角度数分别是x °，2x °，3x °，4x °，由多边形内角和公式可得：x +2x +3x +4x =180（4-2），再解方程即可得到答案．【解析】解：设四个内角度数分别是,2,3,x x x 4x ，根据题意得：()23442180x x x x +++=-⨯，解得：36x =，272,3108,4144x x x === .答：四边形的四个内角的度数分别为：36，72，108，144 ．【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：()2180n -⨯︒（3n ≥，且n 为整数）．。

直角三角形的基本概念与性质知识点总结

直角三角形的基本概念与性质知识点总结直角三角形是一种特殊的三角形，具有独特的性质和概念。

了解直角三角形的基本概念和性质对于数学学习和实际应用具有重要意义。

本文将总结直角三角形的基本概念和一些核心性质，帮助读者更好地理解和应用相关知识。

一、基本概念直角三角形是指一个内角为90度（直角）的三角形。

常用符号表示直角三角形的三个角度如下：- 直角：用∠A表示，∠A = 90°，是直角三角形最重要的特征之一。

- 钝角：用∠B表示，∠B > 90°，是大于90度的角度。

- 锐角：用∠C表示，∠C < 90°，是小于90度的角度。

直角三角形的特殊性质使得它在计算和实际应用中具有广泛的适用性。

二、性质总结1. 边与角的关系：- 斜边：直角三角形中最长的一边称为斜边，通常用c表示。

- 相邻边：直角三角形中与直角相邻的两条边称为相邻边。

- 对边：直角三角形中与直角不相邻的边称为对边。

- 斜边平方定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两个相邻边的平方和。

即c² = a² + b²。

2. 辅助角的关系：- 正弦定理：对于一个直角三角形，斜边的长度与任意一个角的正弦值成正比。

即sinA = a / c，sinB = b / c，sinC = 1。

- 余弦定理：对于一个直角三角形，斜边的平方与两个相邻边的平方之差成正比。

即c² = a² - b²，c² = b² - a²。

- 正切定理：对于一个直角三角形，任意一个角的正切值等于该角的对边与邻边的比值。

即tanA = a / b，tanB = b / a。

3. 角度关系：- 直角三角形中的两个锐角的和为90度，即∠B + ∠C = 90°，∠A + ∠C= 90°，∠A + ∠B = 90°。

- 锐角三角函数：直角三角形中的锐角可以用三角函数来表示，如正弦函数、余弦函数和正切函数等。

与三角形有关的角知识点总结

三角形角的知识点总结
哎哟喂，说起这三角形角的知识点，咱们四川娃儿也得整得巴巴适适的。

你看啊，三角形里头，角可是个关键角色，它分三类，锐角、直角、钝角，听起来就跟咱们四川的火锅一样，有麻辣的、微辣的，还有不辣但味道厚重的。

锐角嘛，就像咱们小时候耍的三角尺上那尖尖的角，小于90度，看起来就精神得很，像是清晨的第一缕阳光，锐利又充满希望。

直角呢，就正规多了，90度，不偏不倚，像是咱们教室里的黑板角，规规矩矩，方方正正，老师经常提醒我们，画图就要画直角，做人也要堂堂正正。

至于钝角，嘿，那就像是咱们四川的某些山路转弯，拐得又大又缓，大于90度，走起来虽不费力，但也要小心别栽了跟头。

钝角在三角形里头，就给人一种稳重、包容的感觉。

还有啊，三角形内角和这个知识点，简直就像咱们四川人的热情一样，加起来总是固定的180度，不管你是等边三角形还是等腰三角形，还是随便哪种三角形，这个规矩都变不了。

就像咱们四川人无论走到哪里，那份热情和团结是不会变的。

总之啊，三角形角的知识点，虽然简单，但里头蕴含的道理可不简单。

就像咱们四川的文化一样，看似简单直接，实则博大精深，耐人寻味。

解三角形知识点归纳总结

解三角形知识点归纳总结三角形是平面几何中重要的图形之一，研究三角形的性质可以帮助我们解决各种几何问题。

下面对常见的三角形知识点进行归纳总结。

一、三角形的定义和分类1.三角形是由三条边和三个顶点组成的图形。

2.根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

3.根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

二、三角形的性质和关系1.三角形的内角和等于180度。

2.等边三角形的三个角都是60度。

3.等腰三角形的两个底角相等。

4.直角三角形的一个角是90度。

5.顶角相等的两个等腰三角形是全等的。

6.等腰三角形的底边上的高是它的中位线、垂直线和角平分线。

7.等边三角形的高、中位线、垂直线和角平分线是重合的。

8.三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

三、三角形的重要线段和关系1.三角形的重心：三条中线的交点，也是三条中线的重心。

2.三角形的垂心：三条高线的交点，也是三条高线的垂心。

3.三角形的外心：三个顶点关于其中一直线对称的焦点，也是三个外接圆的圆心。

4.三角形的内心：三条内角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。

5.等腰三角形的高、两边中线和角平分线等于底边。

6.直角三角形的斜边是其他两边的和。

四、三角形的面积计算1.根据底和高的关系，可以计算普通三角形的面积。

2.根据两边和夹角的关系，可以使用正弦定理、余弦定理和海伦公式计算三角形的面积。

五、三角形的相似与全等1.两个三角形如果对应的角相等，则它们是相似的。

2.两个三角形如果对应的边和角都相等，则它们是全等的。

3.相似三角形的边长比例相等，面积比例为边长比例的平方。

六、勾股定理1.直角三角形中，斜边的平方等于两腰的平方和。

2.勾股定理可以用于证明三角形是否为直角三角形，也可以用于计算三角形的边长。

七、三角函数1.正弦函数：在直角三角形中，其中一锐角的对边与斜边之比。

2.余弦函数：在直角三角形中，其中一锐角的临边与斜边之比。

直角三角形边角关系知识点

直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt△中在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41 2 3 4.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪题型一：三角形内的计算问题（计算三角函数值、面积等）例1．在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，且21sin =A ，AB=3，求BC ，AC 及B ∠.例2．已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积。

例3．如图，在Rt ABC ∆中，90BCA ∠=︒，CD 是中线，5,4BC CD ==，求AC 的长。

B变式训练：1、ABC Rt ∆中，∠C=90°，AC=4，BC=3，B cos 的值为…………………【】 A 、51 B 、53 C 、 34 D 、 432、在菱形ABCD 中，∠ABC=60° ， AC=4，则BD 的长是…………………【】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、83、在ABC Rt ∆中，∠C=90° ，A tan =3，AC=10，则S △ABC 等于………【】 A 、３ B 、３00 C 、350D 、1５0 4、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化5、在ABC Rt ∆中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边，则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【】 A 、B c a sin ⋅= B 、B c a cos ⋅= C 、Bac tan =D 、A a c sin ⋅= 6、等腰三角形的腰长为10cm ，顶角为120，此三角形面积为。

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。

②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１（２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１（３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==特殊角的三角函数值三角函数值0 11１不存在三角函数诱导公式：“ （2k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。

三角形的基本性质与分类知识点总结

三角形的基本性质与分类知识点总结三角形是几何学中的重要概念，具有广泛的应用。

本文将总结三角形的基本性质和分类知识点，让读者全面了解三角形的特点和特性。

一、基本性质1. 三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的内角和为180度。

2. 三角形的边界线段称为边，相交的两条边称为角。

3. 三角形的三个内角分别为锐角、直角和钝角，其中锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度。

4. 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两角的度数之和大于第三角的度数。

5. 三角形的高是从一个顶点到对边的垂直距离，三角形的重心是三条中线的交点，三角形的外心是三条垂直平分线的交点，三角形的内心是三条角平分线的交点。

二、分类知识点1. 根据边的长度可以将三角形分类为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。

a) 等边三角形的三条边长度相等，三个内角都是60度。

b) 等腰三角形的两条边长度相等，两个角度相等。

c) 一般三角形没有边长相等的情况。

2. 根据角的大小可以将三角形分类为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

a) 锐角三角形的三个角都小于90度。

b) 直角三角形的一个角等于90度。

c) 钝角三角形的一个角大于90度。

3. 根据角的位置可以将三角形分类为顶角三角形、基角三角形和底角三角形。

a) 顶角三角形的一个角位于三角形的顶点。

b) 基角三角形的一个角位于三角形的底边的端点。

c) 底角三角形的一个角位于三角形的底边的另一端点。

4. 正三角形是既是等边三角形又是等腰三角形的三角形。

5. 根据边的关系可以将三角形分类为相似三角形和全等三角形。

a) 相似三角形的对应角度相等，对应边的比值相等。

b) 全等三角形的对应边和对应角都相等。

6. 根据面积可以将三角形分类为直角三角形、等腰三角形和一般三角形。

a) 直角三角形的面积为底边乘以高的一半。

b) 等腰三角形的面积为底边乘以高的一半。

c) 一般三角形的面积通过海伦公式计算：面积 = 开方(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))，其中s为半周长，a、b、c为三角形的三条边。

第四章三角形知识点

第四章三角形一、认识三角形●三角形的有关概念1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。

2、三角形的边：组成三角形的线段叫作三角形的边，可以用两个大写英文字母表示，也可以用一个小写英文字母表示。

3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。

4、三角形的角：相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。

5、角与边的对应关系：大边对大角。

6、三角形的表示：用符号“△”表示，以A,B,C为顶点的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

●三角形的分类1、按内角的大小分类锐角三角形（三个角都是锐角）直角三角形（最大内角为直角），互相垂直的两条边叫作直角边，最长的边叫作斜边，直角三角形ABC可以用符号“Rt△ABC”表示钝角三角形（最大内角为钝角）注：在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个直角，最多有一个钝角。

2、按边的相等关系分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。

等边三角形：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，即腰和底边相等的等腰三角形叫作等边三角形，也叫正三角形。

不等边三角形：三边都不相等的三角形。

注：●三角形的三边关系1、三角形的两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。

（证明可以依据两点之间线段最短，大角对大边，不等式性质）2、三边关系的运用（1）判断以已知的三条线段为边能否构成三角形（2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围（3）解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）●三角形的高1、三角形的高的概念：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高。

2、三角形高的几何语言表达形式AD是△ABC的边BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD垂直BC与点D，或∠BDA=∠CDA=90°3、三角形三条高的位置锐角三角形三条高都在三角形的内部。

解三角形常用知识点归纳与题型总结-解三角形题型归纳总结

解三角形常用知识点归纳与题型总结1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；②.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒. 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== （1）和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.（2）二倍角公式 sin2α = 2cosαsinα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+==（3）辅助角公式（化一公式）)sin(cos sin 22ϕ±+=±=x b a x b x a y 其中ab =ϕtan 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B =2R 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---(海伦公式)8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。

(完整版)解三角形题型汇总

《解三角形》知识点归纳及题型汇总1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；②.角平分线性质:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比. ③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒.2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin .2222A B C A B C ++== （1）和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m . （2）二倍角公式sin2α = 2cosαsinα.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221tan 1tan αα-=+. 221cos 21cos 2sin ,cos 22αααα-+== （3）辅助角公式（化一公式） )sin(cos sin 22ϕ±+=±=x b a x b x a y 其中a b =ϕtan 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B =2R6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4 =2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---(海伦公式) 8、余弦定理：在C ∆AB 中，2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量.②已知三边求角11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o ；②若222a b c +>，则90C <o ；③若222a b c +<，则90C >o ．12、三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点题型之一：求解基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1.在中，，，，则．2.在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上中线BD =5，求sin A ．题型之二：判断形状：1.在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形2．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1. 在∆ABC 中sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求A tan 和∆ABC 的面积.2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（1）求边AB 的长.（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．题型之四：求值问题ABC △4a =5b =6c =sin 2sin A C =1. 在ABC ∆中， 222a bc c b =-+,321+=b c ，求A ∠和B tan2．在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3A =，（1）求22tan sin 22B C A++的值. （2）若2a =，ABC S =△b 的值.题型之五：求最值问题1.在△ABC 中，已知 cos (cos )cos 0C A A B +-=.(1)求角B 的大小.(2)若1a c +=，求b 的取值范围2．△在内角的对边分别为,已知.(1)求.(2)若,求△面积的最大值.。

初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理

初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理三角形的正弦定理与余弦定理是初中数学中重要且常用的知识点。

它们是解决三角形相关问题的基本工具，能够帮助我们计算三角形的各个边长和角度。

本文将对三角形的正弦定理与余弦定理进行归纳和解释，以帮助同学们更好地理解和应用这两个定理。

1. 三角形的正弦定理三角形的正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC。

其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。

简单来说，正弦定理表明三角形的每条边的长度与其对应的角的正弦值成比例。

这个关系可以通过以下示例来理解：【示例1】已知一个三角形的两边长度分别为5cm和8cm，夹角为60°，求第三边的长度。

解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有5/sin60° = c/sin(180°-60°-60°)，化简得c = 5*sin120° / sin60° ≈ 8.66cm。

【示例2】已知一个三角形的两边长度分别为7cm和9cm，夹角为45°，求第三边的长度。

解：根据正弦定理，设第三边长度为c，则有9/sin45° = c/sin(180°-45°-45°)，化简得c = 9*sin135° / sin45° ≈ 14.14cm。

从这两个示例可以看出，正弦定理可以帮助我们在已知两边和夹角的情况下求解三角形中的第三边长度。

2. 三角形的余弦定理三角形的余弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c 与它们对应的角A、B、C之间有一个重要的关系：c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cosC。

其中，a、b、c分别表示三边的长度，A、B、C表示对应的角的度数或弧度。

专题4.2 与三角形有关的角(知识解读)(解析版)

专题4.2 与三角形有关的角（知识解读）【学习目标】1、理解三角形内角的概念；2、探索并证明三角形的内角和定理；3、探索定掌握直角三角形的两个锐角互角，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形；4、能够运用三角形内角和定理理解解决简单问题。

【知识点梳理】考点 1 三角形的内角①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。

②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。

测量法：剪角拼角法：考点2 直角三角形：①直角三角形的两个角互余。

直角三角形用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC。

②有两个角互余的三角形是直角三角形【典例分析】【考点1 三角形的内角】【典例1】（2022秋•临西县期末）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：4，则△ABC中最大的内角度数为（）A．80°B．90°C．100°D．120°【答案】B【解答】解：∵在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：4，∴设∠A＝x，∠B＝3x，∠C＝4x，∴x+3x+4x＝180°，∴解得：x＝22.5°，∴∠C＝4x＝4×22.5°＝90°，故选：B．【变式1-1】（2021•南宁）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C 等于（）A．100°B．80°C．60°D．40°【答案】B【解答】解：由三角形内角和定理得，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，故选：B．【变式1-2】（2021•阳西县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C 的度数为（）A．100°B．80°C．60°D．40°【答案】B【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，故选：B．【变式1-3】（2021•滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C等于（）A．45°B．60°C．75°D．90°【答案】C【解答】解：180°×＝＝75°即∠C等于75°．故选：C．【考点2 直角三角形】【典例2】（2022秋•宁明县期末）在△ABC中，若∠A＝∠C﹣∠B，则△ABC 是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】D【解答】解：∵∠A＝∠C﹣∠B，∴∠A+∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．故选：D．【变式2-1】（2022秋•嘉兴期末）若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解答】解：∵直角三角形中两锐角互余，∴若一个直角三角形其中一个锐角为40°，则该直角三角形的另一个锐角是90°﹣40°＝50°．故选：B．【变式2-2】（2022秋•丛台区校级期末）下列条件不能确定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3C．∠A＝90°﹣∠B D．∠A＝∠B+∠C【答案】D【解答】解：A：∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故A能确定；B：∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，∴∠A＝30°，∴∠C＝90°，故B能确定；C：∵∠A＝90°﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，∴90°+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故C能确定；D：∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B+＝180°，故D不能确定，故选：D．【变式2-3】（2022秋•西山区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠B＝65°，则∠1的度数为（）A．125°B．135°C．145°D．155°【答案】D【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣90°﹣65°＝25°．∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠C＝25°．又∠1+∠CDE＝180°，∴∠1＝180°﹣∠CDE＝180°﹣25°＝155°．故选：D．【典例3】（2022春•镇平县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD ⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F．（1）如果∠CFE＝70°，求∠B的度数；（2）试说明：∠CEF＝∠CFE．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CFE＝70°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，∵AF平分∠CAB交CD于E，∴∠CAB＝2∠CAF＝40°，∴∠B＝90°﹣40°＝50°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠CFE＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴∠DAE+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB交CD于E，∴∠CAF＝∠DAE，∴∠CFE＝∠AED，∵∠AED＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE．【变式3-1】（2022秋•亳州期中）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F、G分别落在直线AB、CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠E＝28°，求∠EFB的度数．【解答】解：∵∠EFG＝90°，∠E＝28°，∴∠FGE＝90°﹣28°＝62°，∵GE平分∠FGD，∴∠FGD＝2∠FGE＝124°，∵AB∥CD，∴∠BFG＝180°﹣∠FGD＝180°﹣124°＝56°，∴∠EFB＝90°﹣56°＝34°．【变式3-2】（2022春•南安市期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD＝35°．（1）求∠CBD的度数；（2）斜边AB在直线EF上，求∠CAE的度数．【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，∠BCD＝35°，∴∠CBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°；（2）∵△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵∠CAE是△ABC的一个外角，∴∠CAE＝∠ACB+∠CBD＝90°+55°＝145°．【变式3-3】（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．【解答】（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD＝36°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝18°，∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；（2）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠AFE．【考点3 三角形角度综合运用】【典例4】（2022秋•江门期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAE和∠BOA的度数．【解答】解：∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝60°又∵AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∴，，∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝5°，∵BF是∠ABC的角平分线∴∠ABO＝30°∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．【变式4-1】（2022春•源城区校级期中）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°；求：（1）∠ACB的度数；（2）∠BCD的度数；（3）∠ECD的度数．【解答】解：（1）由∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A＝20°，∠B＝60°，得∠ACB＝100°；（2）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；（3）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝50°，∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°，∴∠ECD＝20°．【变式4-2】（2022秋•古冶区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝50°，∠ADB＝95°，求∠AOC和∠BCE的度数．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，∴，∵CE是△ABC的高，∴∠CEA＝∠CEB＝90°，∴∠AOC＝∠CEA+∠BAD＝90°+25°＝115°，∵∠BAD+∠ADB+∠B＝180°，∠ADB＝95°，∴∠B＝60°，∴∠BCE＝30°．【变式4-3】（2023•三河市开学）如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA，∠B ＝54°．（1）求∠EAC的度数；（2）若∠CAD：∠E＝2：5；求∠E的度数．【解答】解：（1）∵∠EAD＝∠EDA，∴∠EAC+∠CAD＝∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD．∴∠EAC＝∠B．∵∠B＝54°，∴∠EAC＝54°．（2）设∠CAD＝2x，则∠E＝5x，∠DAB＝2x，∵∠B＝54°，∴∠EDA＝∠EAD＝2x+54°．∵∠EDA+∠EAD+∠E＝180°，∴2x+54°+2x+54°+5x＝180°．解得x＝8°．∴∠E＝5x＝40°．。

与三角形有关的角

与三角形有关的角一、三角形的内角和定理三角形的内角和等于180°．证明三角形内角和定理的几种辅助线的作法：（1）如图①，过点A 作DE ∥BC ；（2）如图②，过BC 上任意一点，作DE ∥AC ，DF ∥AB ；（3）如图③，过点C 作射线CD ∥AB ．ABC ABC ABCDED EFD①②③二、三角形的外角及其性质三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．ABCD知识点一：三角形的内角和定理例1. 已知一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（） A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°例2. 如图所示，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°，∠BAC ＝70°，求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数．ABCD例3. 如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝40°，AD 是BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，求∠DAE 的度数．ABCD E例4. 如图所示，已知在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B 与∠C 的角平分线相交于点D ．求∠BDC 的度数．ABC D知识点二：三角形的外角例5. 如图所示，△ABC 中，∠A ＝90°，∠D 是∠B 、∠C 的外角平分线的夹角，求∠D 的度数．AB CDEF1234例6. 如图所示，∠C ＝48°，∠E ＝25°，∠BDF ＝140°，求∠A 与∠EFD 的度数．ABCDEF例7. 如图所示，已知CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 交BA 延长线于点E ．求证：∠BAC ＞∠B ．ABC DE12例8. （1）如图①所示，CD 是直角三角形斜边AB 上的高，图中有与∠A 相等的角吗？为什么？（2）如图②所示，把图①中的CD 平移得到ED ，图中还有与∠A 相等的角吗？为什么？（3）如图③所示，把图①中的CD 平移得到ED ，交BC 的延长线于E ．图中还有与∠A 相等的角吗？为什么？AB CAB CABCD EE①②③和三角形有关的角的度数问题一般有两类：一类是求角的度数，解答这类问题时，通常要综合运用三角形的内角和定理、三角形外角的性质等．另一类是求证角之间的不等关系，解答这类问题时，应该依据“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”这一性质求解．分析解答这两类问题的共同之处是要分清已知角或所求角是哪一个三角形的内角，或是哪一个三角形的外角．（答题时间：60分钟）一、选择题．1. 在△ABC 中，∠A ＝2∠B ＝80°，则∠C 的度数为（） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°2. 一个三角形的三个内角中至多有（） A. 一个锐角 B. 两个锐角C. 一个钝角D. 两个直角3. 如图所示，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 等于（） A. 480°B. 360°C. 240°D. 180° ABCD E FABC D EF第3题图第5题图4. 三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定5. 如图所示，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝115°，∠A ＝25°，则∠E ＝（）A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°6. 如图所示，已知D 是△ABC 中BC 边上的一点，连接AD ，E 是AD 上的任意一点，连接CE ，则∠ADB 和∠DCE 的大小关系是（）A. ∠ADB ＝∠DCEB. ∠ADB ＞∠DCEC. ∠ADB ＜∠DCED. 大小关系不确定A BCDEABC DABD C6x第6题图第7题图第8题图*7. 如图所示，∠C ＝∠ABC ＝2∠A ，BD 是AC 边上的高，则∠DBC 等于（） A. 36° B. 18° C. 72° D. 28° **8. 如图所示，在直角△ADB 中，∠D ＝90°，C 为AD 上一点，则x 可能是（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°二、填空题．9. 如图所示，l 1∥l 2，∠α＝__________度．l 1l 2α25°120°AB C1240°1234第9题图第10题图第12题图10. 如图所示，用大于号“＞”表示∠A 、∠1、∠2三者的关系是__________． 11. 在△ABC 中，∠A ∶∠B ＝2∶1，∠C ＝60°，那么∠A ＝__________． 12. 如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝__________度． **13. 三角形中至少有一个角不小于__________度．**14. 在△ABC 中，若∠A －∠B ＝50°，最小角为30°，则最大角为__________．三、解答题．15. 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝100°，∠C ＝2∠B ．求∠A 、∠B 、∠C 的度数．16. 如图所示，∠BAF 、∠CBD 、∠ACE 是△ABC 的三个外角，试求∠BAF ＋∠CBD ＋∠ACE 的度数．123A B CEFD*17. 如图所示，P 是△ABC 中∠B 的角平分线与△ABC 的外角∠ACE 平分线的交点，则∠A ＝2∠P ，试说明理由．ABCEP18. 已知：如图所示，∠1是△ABC 的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．试说明∠1＞∠2的理由．ABCD E F12345四、拓广探索．19. （1）如图甲所示，在五角星中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．（2）把图乙、丙、丁叫做蜕化的五角星形，问它们的五角之和与五角星形的五角之和仍相等吗？ABC DE甲ABC DE乙ABC DE丙ABC DE丁一、选择题：1. D2. C3. B4. C5. C6. B7. B8. B二、填空题：9. 3510. ∠1＞∠2＞∠A11. 80°解析：设∠B＝x，则∠A＝2x，则x＋2x＋60°＝180°，解得x＝40°，则∠A ＝2x＝80°．12. 280 解析：因为∠1＋∠2＋40°＝180°，∠3＋∠4＋40°＝180°，所以∠1＋∠2＝140°，∠3＋∠4＝140°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°．13. 60 解析：因为三角形的三个内角之和等于180°，如果三角形的每个内角都小于60°，则三角形的三个内角之和一定小于180°，这就与定理矛盾了，所以三角形中至少有一个角不小于60°．14. 80°或100°解析：因为∠A－∠B＝50°，所以最小角有可能是∠B或是∠C．（1）若∠B是最小角，则∠A－30°＝50°，得∠A＝80°，则∠C＝180°－80°－30°＝70°，这个三角形的三个内角分别是80°、30°、70°，则最大角是80°．（2）若∠C是最小角，则∠A＋∠B＝180°－30°＝150°，又因为∠A－∠B＝50°，所以∠A＝50°＋∠B，即50°＋∠B＋∠B＝150°，解得∠B＝50°，所以∠A＝100°，这个三角形的三个内角分别是100°、50°、30°，则最大角是100°．综上所述，最大角为80°或100°．三、解答题：15. 解：因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝100°，所以∠C＝180°－100°＝80°，所以2∠B＝80°，所以∠B＝40°，所以∠A＝180°－40°－80°＝60°．16. 解：由三角形的外角的性质可知∠BAF＝∠2＋∠3，∠CBD＝∠1＋∠3，∠ACE＝∠1＋∠2．由此可将求三角形的三个外角和的问题转化为求三角形的内角和．解题过程如下：因为∠BAF、∠CBD、∠ACE是△ABC的三个外角，所以∠BAF＝∠2＋∠3，∠CBD＝∠1＋∠3，∠ACE＝∠1＋∠2，所以∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝2（∠1＋∠2＋∠3）．又因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以∠BAF＋∠CBD＋∠ACE＝360°．17. 解：因为BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的平分线，所以∠ABC＝2∠PBC，∠ACE ＝2∠PCE．又因为∠A＝∠ACE－∠ABC，所以∠A＝2（∠PCE－∠PBC）．又因为∠P＝∠PCE－∠PBC，所以∠A＝2∠P．18. 解：因为∠1是△ABC的一个外角，所以∠1＞∠3．因为∠3是△DCE的一个外角，所以∠3＞∠2，所以∠1＞∠2．四、拓广探索：19. 解：（1）如图所示，标注两个字母．因为∠CGD是△ACG的一个外角，所以∠CGD＝∠A＋∠C，因为∠EFD是△EFB的一个外角，所以∠EFD＝∠B＋∠E．所以∠CGD＋∠EFD＝∠A＋∠B＋∠C＋∠E．又因为∠CGD＋∠EFD＋∠D＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°（2）仍然相等，用类似于（1）中的方法可以证明．。

与三角形有关的角知识点归纳

6x ＢＤＣＡ第(3)题第(4)与三角形有关的角知识点归纳知识点篇:知识点一：三角形的内角和定理:三角形内角和为180°知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.基础篇:(1)在△ABC 中，若7836A '∠=，5724B '∠=，则C ∠= ．(2) 在ABC △中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，B C ∠∠，越来越大．若A ∠减少α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是．(3)如图，在Rt ADB △中，90D ∠=，C 为AD 上一点，则x 可能是（）Ａ.10 Ｂ20 Ｃ.30Ｄ40(4)如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，• 且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（）（A ）150° （B ）130°（C ）120°（D ）100°(5)四边形ABCD 中，如果∠A+∠C+∠D=280°，则∠B 的度数是（）（A ）80° （B ）90°（C ）170°（D ）20°(6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) （A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6方法篇:A.注意方程思想的应用例题1．已知△ABC 中,(1)∠A=20°,∠B －∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°.ABCβ2β3β例题2如图所示，则ABC △的形状是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．钝角三角形Ｃ．直角三角形Ｄ．等腰三角形练习:下列选项中,能确定三角形是直角三角形的是( )A.∠A+∠B=90°B.∠A=∠B=0.5∠CC.∠A-∠B=∠CD.∠A-∠B=90° B.注意整体思想的应用例题3如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则12∠+∠=______°练习: 如图,△ABC,∠A=40°,则(1)∠1+∠2+∠B+∠C=______°; (2)∠3+∠4=_______°例题4. 如图,已知△ABC 中,∠A=40°,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O,求∠O 的度数.变式:已知△ABC ，①如图1，若P 点是ABC ACB ∠∠和的角平分线的交点，请说明1902P A ∠=+∠； ②如图2 ，若P 点是ABC ∠∠和外角ACE 的角平分线的交点,你能说明∠P= ∠A 吗? ③如图３，若P 点是外角CBF BCE ∠∠和的角平分线的交点，你能说明1902P A ∠=-∠吗?练习:(1)直角三角形两锐角的角平分线所成的角为_______度;(2) 如图,已知△ABC 中,∠A=50°,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O,求∠DOE 的度数;(3) 如上图,已知△ABC 中,∠A=80°,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O,求∠BOD 的度数. C.注意转化思想的应用例题5 (1)一个三角形的最大的外角是钝角,则这个三角形是______三角形;(2)一个三角形的不共顶点的三个外角中,最多可以有_____个锐角;最多可以有______个直角; 最多有_____个钝角;12图21 图1 ABCD E 例题6 (1) 如图1，A B C D E ++++=∠∠∠∠∠_____． (2). 如图2，123456+++++∠∠∠∠∠∠=_____. (3).如图3,1234+++=∠∠∠∠_____． D.熟悉几个基本图形练习: (1)如上左图中, ∠1=40°,∠2=45°,∠C=50°,则∠B=____°(2)如上右图中,∠A=40°,∠B=45°,∠C=50°,则∠D=____° 例题7 (1) 如图1，五角形的顶点分别为A 、B 、C 、D 、E.求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数;(2) 如图2 ,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.(3)如图3、4中，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数.例题8 已知，如图5，在ABC △中，O 是高AD 和BE 的交点，观察图形，试猜想C∠和DOE ∠之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．例题9 把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度．课堂检测第1题. 三角形的一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形一定是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形第2题. (2006 陕西非课改)如图，123，，∠∠∠的大小关系为（） A ．213>>∠∠∠ B ．132>>∠∠∠ C ．321>>∠∠∠ D ．123>>∠∠∠ 第3题.如图，已知AB CD ∥，则（）Ａ．123=+∠∠∠Ｂ．1223=+∠∠∠Ｃ．1223=-∠∠∠ Ｄ．118023=--∠∠∠ 第4题. (2006 江西非课改)在ABC △中，8060A B ==∠，∠，则_____C =∠．第5题. (2006 镇江课改)锐角三角形的三个内角是AB C ，，∠∠∠．如果A B α=+，∠∠∠B C β=+，∠∠∠C A γ=+∠∠∠，那么αβγ，，∠∠∠这三个角中（）2 1 A BCD E 图2F5 643 2 1 图4AD CB2 13A BC P图3 654321 45α30（图12）A ．没有锐角B ．有1个锐角C ．有2个锐角D ．有3个锐角第6题. （2006 贵阳课改）如图，P 为ABC △中BC 边的延长线上一点，50A =∠，70B =∠，则ACP =∠___________．第7题. （2006 济宁课改）如图，将一等边三角形剪去一个角后，12+∠∠等于（）A ．120B ．240C ．300D ．360第9题. 如右图，已知142ABE =∠，72C =∠，则A =∠ ，ABC =∠．第10题. （2006 吉林非课改）如图，3120=∠，则12-=∠∠_________度．第11题. 如图12，三角形纸片ABC 中，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内， (1)若∠A ＝65°，∠B ＝75°，∠1＝20°，则∠2的度数为______． (2)∠1,∠2,∠C 有何关系?课后练习2．在△ABC 中，∠A =55°，高BE 、CF 交于点O ，则∠BOC =______．4．如图所示，已知点D 是AB 上的一点，点E 是AC 上的一点，BE ，CD 相交于点F ， ∠A =50°，∠ACD =40°，∠ABE =28°，则∠CFE 的度数为______．5．如图，AM 是△ABC 的中线，△ABC 的面积为4cm 2，则△ABM 的面积为（）． A ．8cm 2 B ．4cm 2 C ．2cm 2 D ．以上答案都不对7．现有两根木棒，它们的长分别为40cm 和50cm ，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（）． A ．10cm 的木棒 B ．50cm 的木棒 C ．100cm 的木棒 D ．110cm 的木棒 8．上午9时，一艘船从A 处出发以每小时20海里的速度向正北航行，11时到达B 处，若在A 处测得灯塔C 在北偏西34°，且∠ACB =32∠BAC ，则在B 处测得灯塔C 应为（）． A ．北偏西68° B ．南偏西85° C ．北偏西85° D ．南偏西68° 9．如图，AC ⊥BC ，CD ⊥AB ，DE ⊥BC ，分别交BC ，AB ，BC 于点C ，D ，E ，则下列说法中不正确的是（）．A ．AC 是△ABC 和△ABE 的高B ．DE ，DC 都是 △BCD 的高 C ．DE 是△DBE 和△ABE 的高 D ．AD ，CD 都是 △ACD 的高11.如图所示，在绿茵场上，足球队员带球进攻时，总是尽力向球门冲进，•你能说明这是为什么吗？12ABCE1427223112. 已知在斜△ABC中，∠A=45°，高BD和CE所在直线交于H，求∠BHC的度数．13．（综合题）如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE 平分∠ADC交AC于E，则∠BDE=_________．。

专题03 与三角形有关的角(知识点串讲)(解析版)

专题03 与三角形有关的角知识网络重难突破知识点一三角形的内角内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

【备注】在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

等角的补角相等，等角的余角相等。

三角形的内角构成：典例1 （2019春仓山区期末）如图，BC AE ⊥，垂足为C ，过C 作CD ∥AB .若43ECD ∠=︒，则B Ð的度数是（）A．43°B．45°C．47°D．57°【答案】C【详解】∵CD∥AB，∠ECD=43°，∴∠A=∠ECD=43°，∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠A=90°-43°=47°．故选C.典例2 （2017春西湖区期中）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（）A．①②③B．①②③④C．①②D．①【答案】A【解析】解：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．故选A．典例3 （2017秋越秀区期中）已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【答案】B【详解】解：∵三角形的内角和为180°,且三个内角的度数之比为1∶2∶3,∴三个内角分别为30°、60°、90°,∴这个三角形是直角三角形.故选B.知识点二三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

人教版八年级数学上册 11.2与三角形有关的角知识点归纳

人教版八年级数学上册11.2与三角形有关的角知识点归纳
按角来分类：
三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。

直角三角形的两个锐角互余。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形每个顶点处都有两个外角，它们互为对顶角，因此相等。

三角形有6个外角。

但是算外角和的时候，只从每个顶点处抽一个外角来相加,所得的和就是这个三角形的外角和。

三角形外角和等于360°。

如图，∠1+∠3+∠5=360°。

三角形外角定理：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。

②三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角。

三角形全部知识点的总结

第一章图形的初步认识考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线有下面的性质定理：〔1〕角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

〔2〕到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

考点二、平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

4、平行线的性质〔1〕两直线平行，同位角相等；〔2〕两直线平行，内错角相等；〔3〕两直线平行，同旁内角互补。

考点三、投影与视图1、投影投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。

平行投影：由平行光线〔如太阳光线〕形成的投影称为平行投影。

中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。

2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。

物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。

俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。

第二章三角形考点一、三角形1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形〔有一个角为直角的三角形〕三角形锐角三角形〔三个角都是锐角的三角形〕斜三角形钝角三角形〔有一个角为钝角的三角形〕把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

与三角形有关的角知识点归纳

与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)

专题02 与三角形相关的角(知识点串讲)(解析版)

直角三角形的基本概念与性质知识点总结

与三角形有关的角知识点总结

解三角形知识点归纳总结

直角三角形边角关系知识点

解三角形知识点归纳(附三角函数公式)

三角形的基本性质与分类知识点总结

第四章 三角形知识点

解三角形常用知识点归纳与题型总结-解三角形题型归纳总结

(完整版)解三角形题型汇总

初中数学知识归纳三角形的正弦定理与余弦定理

专题4.2 与三角形有关的角(知识解读)(解析版)

与三角形有关的角

与三角形有关的角知识点归纳

专题03 与三角形有关的角(知识点串讲)(解析版)

人教版八年级数学上册 11.2与三角形有关的角 知识点归纳

三角形全部知识点的总结

第四章三角形知识点

人教版八年级数学上册 11.2与三角形有关的角知识点归纳