二次函数讲义

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二次函数

【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式

(1)二次函数的定义：形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f (x )＝___ax 2＋bx ＋c (a ≠0)___.

已知三个点的坐标时，宜用一般式.

②顶点式：f (x )＝__a (x －m )2＋n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.

③零点式：f (x )＝___a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便.

点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质

图象函数性质

a >0

定义域

x ∈R (个别题目有限制的，由解析式确定)

值域

a >0

a <0

y ∈[4ac －b 24a

，＋∞)

y ∈(－∞，4ac －b 2

4a

]

a <0

奇偶性

b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数

单调性

x ∈(－∞，－

b

2a

]时递减，x ∈[－b

2a ，＋∞)时递增

x ∈(－∞，－

b 2a

]时递增，

x ∈[－b

2a

，＋∞)

时递减

图象特点

①对称轴：x ＝－

b 2a

；②顶点：(－b 2a ，4ac －b 2

4a

)

3.二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2

－4ac >0时，图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、

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M 2(x 2,0)，|M 1M 2|＝|x 1－x 2|＝

Δ|a |

.【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系

当0∆<⇔()f x =2

ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔2

0ax bx c ++=无实根

⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;

当0∆=⇔()f x =2

ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔2

0ax bx c ++=有两个相等的实根

⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;

当0∆>⇔()f x =2

ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔2

0ax bx c ++=有两个不等的实根⇔

20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是

(,)(,)αβ-∞+∞ 。

【知识点3】一元二次方程20ax bx c ++=实根分布的充要条件

一般地对于含有字母的一元二次方程20ax bx c ++=的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：

令()f x =2

ax bx c ++（0a >）（同理讨论0a <的结论）

(1)x 1<α,x 2<α,则0

/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪

-<⎨⎪>⎩;

(2)x 1>α,x 2>α,则0

/(2)()0b a f α

α∆≥⎧⎪

->⎨⎪>⎩

(3)α

⎪⎨

⎧<-<>>≥∆β

αβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,

x 2>β(α<β),则()0()0

f f αβ<⎧⎨

<⎩(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0

))(<(βαf f 点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.

【知识点4】二次函数()02

≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值

二次函数()02

≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值一般分为三种情况讨论：

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（1）若对称轴2b

x a

=-

在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）（2）若对称轴2b

x a

=-

在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大（小）值；（3）若对称轴2b x a =-

在区间内，则()2b

f a

-是函数的最小值（0a >）或最大值（0a <），再比较(),()f p f q 的大小决定函数的最大（小）值。

点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。（2）二次函数()02

≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上

的最值的讨论的基点是对称轴a

b

x 2-=与区间[]q p ,的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数a 的符号对抛物线开口及

结论的影响。

【题型1】求解二次函数的解析式问题

【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数.

探究提高二次函数的解析式有三种形式：

(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；(3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).

变式训练1：

已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0，-3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。

（1）求f(x)的解析式；

（2）求函数g(x)=f(x 2)的单调递增区间。