二次函数讲义
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二次函数
【知识点1】二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式
(1)二次函数的定义:形如f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式
①一般式:f (x )=___ax 2+bx +c (a ≠0)___.
已知三个点的坐标时,宜用一般式.
②顶点式:f (x )=__a (x -m )2+n (a ≠0)____.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式.
③零点式:f (x )=___a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)__.已知二次函数与x 轴有两个交点,且横坐标已知时,选用零点式求f (x )更方便.
点评:.求二次函数解析式的方法:待定系数法.根据所给条件的特征,可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求.2.二次函数的图象和性质
图象函数性质
a >0
定义域
x ∈R (个别题目有限制的,由解析式确定)
值域
a >0
a <0
y ∈[4ac -b 24a
,+∞)
y ∈(-∞,4ac -b 2
4a
]
a <0
奇偶性
b =0时为偶函数,b ≠0时既非奇函数也非偶函数
单调性
x ∈(-∞,-
b
2a
]时递减,x ∈[-b
2a ,+∞)时递增
x ∈(-∞,-
b 2a
]时递增,
x ∈[-b
2a
,+∞)
时递减
图象特点
①对称轴:x =-
b 2a
;②顶点:(-b 2a ,4ac -b 2
4a
)
3.二次函数f (x )=ax 2
+bx +c (a ≠0),当Δ=b 2
-4ac >0时,图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0)、
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M 2(x 2,0),|M 1M 2|=|x 1-x 2|=
Δ|a |
.【知识点2】二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系
当0∆<⇔()f x =2
ax bx c ++的图像与x 轴无交点⇔2
0ax bx c ++=无实根
⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;
当0∆=⇔()f x =2
ax bx c ++的图像与x 轴相切⇔2
0ax bx c ++=有两个相等的实根
⇔20(0)ax bx c ++><的解集为∅或者是R;
当0∆>⇔()f x =2
ax bx c ++的图像与x 轴有两个不同的交点⇔2
0ax bx c ++=有两个不等的实根⇔
20(0)ax bx c ++><的解集为(,)αβ()αβ<或者是
(,)(,)αβ-∞+∞ 。
【知识点3】一元二次方程20ax bx c ++=实根分布的充要条件
一般地对于含有字母的一元二次方程20ax bx c ++=的实根分布问题,用图象求解,有如下结论:
令()f x =2
ax bx c ++(0a >)(同理讨论0a <的结论)
(1)x 1<α,x 2<α,则0
/(2)()0b a f αα∆≥⎧⎪
-<⎨⎪>⎩;
(2)x 1>α,x 2>α,则0
/(2)()0b a f α
α∆≥⎧⎪
->⎨⎪>⎩
(3)α ⎪⎨ ⎧<-<>>≥∆β αβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α, x 2>β(α<β),则()0()0 f f αβ<⎧⎨ <⎩(5)若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根,则有0 ))(<(βαf f 点评:(1)讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置.在讨论过程中,注意应用数形结合的思想. 【知识点4】二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值 二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上的最值一般分为三种情况讨论: 第3页共12页 (1)若对称轴2b x a =- 在区间左边,则函数在此区间上具有单调性,只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大(小)值;(或利用函数的单调性直接决定函数的最大(小)值)(2)若对称轴2b x a =- 在区间右边,则函数在此区间上具有单调性,只需比较(),()f p f q 的大小即可决定函数的最大(小)值;(3)若对称轴2b x a =- 在区间内,则()2b f a -是函数的最小值(0a >)或最大值(0a <),再比较(),()f p f q 的大小决定函数的最大(小)值。 点评:(1)两个重要的结论:连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值;单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。(2)二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 在闭区间[]q p ,上 的最值的讨论的基点是对称轴a b x 2-=与区间[]q p ,的相对位置的讨论,尤其当顶点横坐标是字母时,则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数a 的符号对抛物线开口及 结论的影响。 【题型1】求解二次函数的解析式问题 【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)=-1,f (-1)=-1,且f (x )的最大值是8,试确定此二次函数. 探究提高二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0);(2)顶点式:f (x )=a (x -h )2+k (a ≠0);(3)两根式:f (x )=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 变式训练1: 已知二次函数f(x)满足:①在x=1时有极值;②图象过点(0,-3),且在该点处的切线与直线2x+y=0平行。 (1)求f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=f(x 2)的单调递增区间。