根轨迹法

与虚轴交点求法举例一（续1）
Re[1 G(s)] 4 7.46 2 k 0 3 Im[ 1 G ( s )] 4 . 73 5.46 0
5.46 1.07 解得 2 4.73
(1) (2)
kc 7.28
1 4.73 7.46 5.46 k
规则三：根轨迹的起点和终点
根轨迹的一个分支一定起始于某个开环极点 而终止于某个开环零点。 证明：设闭环控制系统的特征方程为
s P k s Z 0
j 1 j i 1 i
n
m
当根轨迹增益k=0时，有
s Pj
j 1,2,
, n
可见，闭环特征方程的根就是开环极点，所 以根轨迹起于开环极点。
根轨迹和根轨迹图
• 根轨迹：特征方程的根（闭环极点）随参 数变化的运动轨迹。 • 根轨迹图：根轨迹的图像。 • 根轨迹法：根据根轨迹图对系统进行分析 和综合的一种近似方法。 • 标准根轨迹图：以根轨迹系数k为参数，以 开环传递函数为依据所绘制的根轨迹图。 • 参数根轨迹图：以k以外的参数（如时间常 数T）绘制的根轨迹图 。
设sl是根轨迹上的点，则对应的k值记为
例6.7负反馈系统开环传递函数如下，复平面 上点s1 1 j 3 是闭环极点吗？若是其对 k 应k值为何？ G (s) ( s 1)( s 2)( s 4)
根轨迹系数k的求取举例
解：画零极点分布图 求s1与开环零极点的 幅角代数和
[(s1 P 1 ) (s1 P 2 ) (s1 P 3 )] [90 60 30] 180
根轨迹的渐近线（续）
只要系统的n-m相同，其夹角是相同的，只是 不同的系统σ不同。下面给出常见情况的渐近 线形式。
规则五：实轴上的根轨迹
如果实轴上有开环零点或极点，则要研究根 轨迹在实轴上的情况，称为实轴上的根轨迹。 实轴上的奇点将整个实轴分割成若干段，每 段作一个开区间，记为 (a,b)（包括实轴上无 穷远点），则： 区间(a,b)右侧实轴上奇点总数若为奇数则该区 间在根轨迹上。若为偶数，则该区间上无闭环 极点。
Z1
P1
Z 2
P2
入射角与出射角的计算方法
设Ph为复平面上任意开环极点，则其出射角
Ph
（P
i 1
m
h
Zi )
（P
j 1 j h
m
n
h
Pi ) (2l 1)
设Zh为复平面上的任意零点，则其入射角
Zh
（Z
j 1
n
h
Pj )
G (s) s ( s 1)
2
解：令s=jω带入系统特征方程 3 2.1k 0 (1) 2 (2) (1 k ) 0.2k 0
由(1)得 由(2)得
2.1k
2
kc -0.9
由于k由0→+∞，故根轨 迹与虚轴无交点。
规则九：根轨迹系数k的求取
（Z
i 1 ih
h
Z i ) (2l 1)
先异后同再反相！
入射角与出射角的计算举例
例6.4已知开环传递函数，求出射角和入射角。
G( s) k ( s 1)( s 4s 5) s( s 4)( s 2 s 9)
2
解：由G(s)知：Z 1 1, Z2 2 j, Z3 2 j
3 2
解：使用方法一，有
d 40d 372d 360 0 解得：
d1 1.093
d 2 12.457
d3 26.451
规则七：出射角与入射角
出射角：根轨迹离开开环复极点处的切线方 向与实轴正方向的夹角。 入射角：根轨迹进入开环复零点处的切线方 向与实轴正方向的夹角。
– 如果两端点为异性奇点。
• 如果没有与实轴的交点，则它为一个完整的分支， 即起始于开环极点，沿实轴运动直至该零点。 • 如果存在会合点，那么一定要有一个分离点也存在。
求根轨迹分离（会合）点的方法
方法一：
k ( s 1)
1 1 方法二： d P d Z j i j 1 i 1

与虚轴交点求法（续）
方法二：利用劳斯表，令相应行所有元素值 为0解得kc值，代入辅助方程求得值。 例6.5负反馈系统开环传递函数如下，求根轨 迹与虚轴的交点及kc 。 k G( s) 2 s( s 2.73)(s 2s 2) 解：由G(s)知系统特征方程为 2 s(s 2.73)(s 2s 2) k 0
1 35 1 35 P1 0, P2 4, P3 j , P4 j 2 2 2 2
由于存在复极点P3，P4故应求出射角。由于存 在复零点Z2，Z3故应求入射角。
入射角与出射角的举例（续1）
( P3 Z1 ) 80.4
( P3 Z 2 ) 52.5
根轨迹的渐近线是当开环零点数目m小于开环 极点数n时，确定(n-m)条根轨迹沿什么方向趋 于[s]平面的无穷远处。渐近线是指向无穷远 n m 处的射线。
j i
渐近线与实轴的交点：
Re( P ) Re(Z )
j 1 i 1
nm
渐近线与实轴正方向的夹角：
(2l 1) , l 0,1,, (n m) 1 nm
连续与离散控制系统
第6章 根轨迹法
主要内容
• • • • • • • 基本概念 绘制根轨迹图的基本规则 绘制根轨迹图 参数根轨迹 开环零极点对根轨迹的影响 利用根轨迹法进行系统性能分析 利用根轨迹法校正
6.1基本概念
• 美国人W.R.EVANS于1948年提出根轨迹法。 它利用图解法而不是代数法求解控制系统 的闭环特征方程的根即闭环极点。 • 当控制系统的某一参数变化时，根据已知 的开环传递函数的极点和零点，利用几条 简单规则，绘制闭环系统的特征根的轨迹。 • 根轨迹法的最重要的价值在于它的图解思 想、控制系统整体感及隐藏在绘制规则背 后的规律，使控制工程师能够对控制系统 有深入的理解。
方法二：劳斯判定法
s 3 s 令34.45－4.73kc=0 2 kc=7.28 带入辅助方程 s1 s 2 6.31s +7.28=0 0 s s=±j1.07 =jω
4
6.31
34.45-4.73k
k
k
与虚轴交点求法举例二
例6.6负反馈系统开环传递函数如下，求根轨 k ( s 0.1)( s 2) 迹与虚轴的交点及kc 。
满足角条件，故s1在根轨迹上，则k为：
3 2 2 3 12
6.3绘制根轨迹图
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 获取系统的开环传递函数； 将开环零、极点绘于S平面； 确定实轴上的根轨迹； 确定有无与实轴交点，有则求出； 确定渐近线条数及渐近线交点，渐近线与实轴夹角 并绘出渐近线； 确定是否需要求取出射角和入射角，需要则求出； 求与虚轴交点及kc； 画出根轨迹各分支图； 需要求出的k值给予求取。
• 根轨迹在s平面上的分支数等于控制系统特 征方程式的阶次，即等于闭环极点数目， 也等于开环极点数目。
规则二：连续性和对称性
• 连续性：由于k从0→∞连续变化时，特征方 程式根的变化也必然是连续的，故根轨迹 必然是连续的。 • 对称性：因为闭环特征方程式的根只有实 根和复根两种，实根位于实轴上，复根必 共轭，因此根轨迹对称于实轴。
n

m
例6.2已知开环传递函数，求其与实轴的交点。
G (s) s 2 2s 4
解：依据G(s)将开环零、 极点画于S平面如图
例6.2（续1）
根据方法一得：
d 2 2d 4 (d 1)(2d 2) 0
解得 d1,2 1 3
舍去不在根轨迹上的点 1 1 1 根据方法二得： d 1 j 3 d 1 j 3 d 1
(d 1)(d 1 j 3 d 1 j 3) (d 1 j 3)(d 1 j 3)
(d 1)(2d 2) d 2d 4

解得相同结果
根轨迹与实轴交点举例二
例6.3已知开环传递函数，求其与实轴的交点。
k ( s 6) G (s) s ( s 2)( s 60)
( P3 Z 3 ) 69.2
( P3 P 1 ) 99.6
( P3 P2 ) 40.2
( P3 P4 ) 90
P 152.3
3
入射角与出射角的举例（续2）
(Z 2 P 1 ) 153.4
(Z 2 P2 ) 26.6
(Z 2 P3 ) 232.5 ( Z 2 P4 ) 127.5 (Z 2 Z1 ) 135 (Z 2 Z 3 ) 90
证明规则五
2
P2
j
3 0
Z3
4 0
P4 s0
2 1 1
Z2 P1 Z1
3
P3
s0 是实轴上的任意测试点；φ 是开环零点到s0 的相角；θ 是开环极点到s0的相角，所有角度 都是以水平线开始，逆时针方向测得的。
实轴上根轨迹举例
例6.1某负反馈系统实轴上的开环零、极点如 图所示，试确定其实轴上的根轨迹。 解：注意原点处为两 个开环极点。 (P1,+∞) (P2, P1) (Z1, P2)
m
i 1 n
k
s Pj s Zi
i 1 j 1 m
n
根轨迹图
角条件和模条件是根轨迹法的理论依据。 对于标准形式的开环传递函数，当k由0连续 变化至+∞时，满足模条件和角条件的所有点 的图像称为该系统的根轨迹图。 点在根轨迹上的充要条件是满足相角条件。 k和开环放大系数K不是一个概念。
(-∞, P4)
(P4, Z1)
规则六：根轨迹与实轴的交点
• 如果某区间是实轴上的根轨迹，则有三种 运动情况：
– 如果两端点为同性奇点，又分为两种情况。
• 同为开环极点，两个分支在k=0时分别从两个端点 出发，然后相向运动。他们只能在某一点相遇且自 此分开进入复平面去找零点，故称该点为分离点。 • 第二种情况是同为开环零点，一定有一个会合点。
模条件和角条件
设控制系统的开环传递函数为G(s)，则其特 征方程为： 1+ G(s)=0 ，则G(s)= -1=ej(2l+1)π 模条件 | G ( s) | 1 角条件 G(s) (2l 1) , l为整数
G (s)
k (s Zi ) ( s Pj )
j 1
标准形式
Z 135
2
规则八：与虚轴的交点及临界值kc
• 根轨迹与虚轴的交点是为了研究是否有不 稳定的情况发生。与虚轴有交点就说明当k 值变化到这个值(称为临界k值，记为kc)时 将有一对共轭虚闭环极点存在，将产生等 幅振荡。 求与虚轴交点有两种方法：
方法一：令s=jω，带入系统特征方程 Re[1 G ( j )] 0 1 G ( j ) 0 Im[1 G ( j )] 0
• • • • • • • • • 规则一：根轨迹的分支 规则二：根轨迹的连续性和对称性 规则三：根轨迹的起点和终点 规则四：根轨迹的渐近线 规则五：实轴上的根轨迹 规则六：根轨迹与实轴的交点 规则七：根轨迹的出射角与入射角 规则八：根轨迹与虚轴的交点及临界值kc 规则九：根轨迹系数k的求取
规则一：根轨迹的分支
k和K的关系
开环传递函数为时间常数表达形式：
( s 1) ( G (s) (T s 1) (T s K
i 2 2 js
2 j j s 1) 2 T s 1)
2 2
则有：
k
K
T T
i
2 j
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2
6.2绘制根轨迹图的基本规则
规则三证明（续）
将特征方程改写为如下形式 m 1 n s Pj s Zi 0 k j 1 i 1 当根轨迹增益k=∞时，有


s Zj
j 1, 2,
, m
所以根轨迹终于开环零点。 一般系统总有n>m，只有s→∞时原式→0，故 在无穷远处为零点。
规则四：根轨迹的渐近线