上海市位育中学2021届高三上学期期中考试数学试卷(2020.11) Word版含答案

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上海市位育中学2021届高三上学期10月月考数学试题(解析版)

【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：令可得，即，则，分别求出的展开式中的含和和的项的系数分别为，所以展开式中的常数项为 .
考点：二项式展开式的通项公式及待定系数法．
10.若是椭圆的左、右两个焦点，是椭圆上的动点，则的最小值为_____
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆定义可将所求式子化为，利用基本不等式可求得的最大值，代入即可求得所求式子的最小值.
又对任意的，，，均有，
，即，
，
，即实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能力，属于中档题．
二､选择题
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为， , , ,则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据向量共线得边角关系，再根据正弦定理求解
2.若虚数是实系数方程的一个根，则的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题中条件，得到，，，由复数的运算，以及复数相等的条件，求出，即可得出结果.
【详解】因为虚数是实系数方程的一个根，
所以，，，
即，，，
即，，，
则，解得，
所以 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查复数的运算，考查由复数相等求参数，属于基础题.
【答案】
【解析】
【分析】
根据互为反函数的关系，即求的值域
【详解】 ,
在为增函数，的值域为，
即为的定义域.
故答案为: .
【点睛】本题考查互为反函数之间的关系，求函数的值域，要注意复合函数的定义域，是解题的易错点，属于中档题.

2020-2021上海市南中学高三数学上期中试题及答案

2020-2021上海市南中学高三数学上期中试题及答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（） ABCD． 3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（） A ．1B ．32C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 5．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （）A ．18B ．34C ．23 D ．166．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（） A ．()3,-+∞B．()-+∞C ．[)3,-+∞D．)⎡-+∞⎣7．若x ，y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最大值为（）．A ．8-B ．4-C ．1D ．28．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B相距，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km9．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（） A ．9B ．92C ．5D ．5210．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（） A ．9B ．22C ．36D ．6612．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a=4b =，则B =（） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒ D ．60B =︒二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．已知数列{}n a 中，11a =，且1113()n nn N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）15．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____． 16．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．17．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1； a b 2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 18．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a 使得1=，则14m n+的最小值为__________． 19．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．20．已知数列{}n a的通项n a =15项的和等于_______.三、解答题21．已知函数()cos f x x x =-. （1）求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域；（2）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围． 22．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.23．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13,n n n n b T a a +=是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积；（2）若ABC Va ，c . 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,ab c，已知222,3A b c a π=+=．（1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）143a a ⨯=33，即4a +13a ≤-433 故1212a x x x x ++的最大值为433-．故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．B解析：B 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可．【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1，作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-，则k 的最大值为：32故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-，由19a =，所以211n a n =-+，令2110n a n =-+<，即112n >，所以n S 取最大值时的n 为5，故选B ．5．A解析：A 【解析】【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)22,⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.7．D解析：D 【解析】作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图所示，当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，max 2z =，当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =，综上，2z y x =-的最大值为2．故选D ．点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.8．D【解析】【分析】先判断三角形DAB 为直角三角形,求出BD ,然后推出CBD ∠为直角,可得CD ,进一步可得cos BDF ∠,最后在三角形EDB 中用余弦定理可得BF . 【详解】取AB 的中点E ,连DE ,设飞机飞行了15分钟到达F 点,连BF ,如图所示:则BF 即为所求.因为E 为AB 的中点,且120AB km =,所以60AE km =, 又60DAE ∠=o ,60AD km =,所以三角形DAE 为等边三角形,所以60DE km =,60ADE ∠=o ,在等腰三角形EDB 中,120DEB ∠=o ,所以30EDB EBD ∠=∠=o , 所以90ADB ∠=o ,由勾股定理得2BD 22221206010800AB AD =-=-=, 所以3BD km =,因为9030CBE ∠=+o o 120=o ,30EBD ∠=o ,所以CBD ∠90=o , 所以222108006013240CD BD BC =+=+⨯=km ,所以6033cos BD BDC CD ∠===, 因为1360904DF km =⨯=, 所以在三角形BDF 中,2222232cos (603)902603904BF BD DF BD DF BDF =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯g 10800=,所以603BF =km .故一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有603km . 故选D . 【点睛】本题考查了利用余弦定理解斜三角形,属于中档题.9．B【解析】【分析】设f （x ）1221x x=+-，根据形式将其化为f （x ）()1152221x x x x-=++-．利用基本不等式求最值，可得当且仅当x 13=时()11221x x x x-+-的最小值为2，得到f （x ）的最小值为f（13）92=，再由题中不等式恒成立可知m ≤（1221x x +-）min ，由此可得实数m 的最大值．【详解】解：设f （x ）11222211x x x x=+=+--（0＜x ＜1）而1221x x+=-[x +（1﹣x ）]（1221x x +-）()1152221x x x x -=++- ∵x ∈（0，1），得x ＞0且1﹣x ＞0∴()11221x x x x -+≥-=2，当且仅当()112211x x x x -==-，即x 13=时()11221x x x x -+-的最小值为2 ∴f （x ）1221x x =+-的最小值为f （13）92= 而不等式m 1221x x ≤+-当x ∈（0，1）时恒成立，即m ≤（1221x x+-）min 因此，可得实数m 的最大值为92故选：B ．【点睛】本题给出关于x 的不等式恒成立，求参数m 的取值范围．着重考查了利用基本不等式求函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．10．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q=++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.11．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=，所以可得113151856a d a d +=⇒+=，所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式，意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.12．C解析：C 【解析】【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin 2b A B a === a b >Q 60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.二、填空题13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发解析：20462047-【解析】【分析】对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律，利用()()112121n n n n a b ++=--，求出10S .【详解】由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律，利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，，，求出1020462047S =-. 故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.14．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题解析：128【解析】【分析】由1113()n nn N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩通项公式，则10a 可求【详解】1113()n nn N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228n n n a a =+-=-∴=故答案为：128【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题15．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角解析：14-【解析】在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故222132,3,cos .24a b c a b b c ab +-=∴===-故答案为：14-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60ooo等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.16．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等；解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；17．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误解析：①③⑤ 【解析】【分析】【详解】对于①：因为，，所以，所以，故①项正确；对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误；而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；对于④：()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误；对于⑤1a +1a =a b ab +=2ab≥2，故⑤项正确；故本题正确答案为：①③⑤.18．【解析】【分析】由求得由可得结合为正整数讨论四种情况可得的最小值【详解】设等比数列的公比为由可得到由于所以解得或因为各项全为正所以由于存在两项使得所以可得当时;当时；当时;当时;综上可得的最小值为故解析：116【解析】【分析】由7652a a a =+求得2q =122m n a a a ⋅=可得5m n +=，结合,m n 为正整数，讨论四种情况可得14m n+的最小值. 【详解】设等比数列的公比为q ,由7652a a a =+, 可得到6662a a q a q=+, 由于0n a >,所以21q q=+,解得2q =或1q =-. 因为各项全为正,所以2q =.由于存在两项,m n a a 122m n a a a ⋅=，所以,218m n a a a ⋅=,112211188m n m n a q a q a q --+-⋅=∴=，28m n q +-∴=,可得5m n +=.当1,4m n ==时,142m n+=; 当2,3m n ==时，14116m n +=；当3,2m n ==时,1473m n +=;当4,1m n ==时,14174m n +=; 综上可得 14m n +的最小值为116, 故答案为116. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和性质,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题. 分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】Q 1112222n n n n b b b H n-++++==L ,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,故2121()(22212)n nn b b n b n --⋅++=-≥+L ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35．【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20．【解析】【分析】将通过分母有理化化简得出再利用裂项相消法求出前15项的和【详解】利用分母有理化得设数列的前项的和为所以前15项的和为：即：故答案为：3【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前项的和还解析：3【解析】【分析】将n a =15项的和. 【详解】利用分母有理化得na ===设数列{}n a 的前n项的和为n S ，所以前15项的和为：151215S a a a=+++L1=L1= 413=-= 即：153S =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用裂项相消法求数列的前n 项的和，还运用分母有理化化简通项公式，属于基础题.三、解答题21．（1）[]1,2；（2）1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦计算出6x π-的取值范围，再由正弦函数的基本性质可求出函数()y f x =在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）根据题中条件得出4sin sin 3A B +=，可得出4sin sin 3A B =-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，可求出1sin 13B ≤≤，利用正弦定理以及不等式的性质可得出sin 41sin 3sin a A b B B ==-的取值范围. 【详解】（1）()1cos 2cos 2sin cos cos sin 2266f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，5366x πππ∴≤-≤，则1sin 123x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()12f x ∴≤≤，因此，函数()y f x =在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2；（2）78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，即()82sin 2sin 3A B π+=-，化简得4sin sin 3A B +=，4sin sin 3A B ∴=-，由0sin 1A <≤，0sin 1B <≤，即40sin 130sin 1B B ⎧<-≤⎪⎨⎪<≤⎩，得1sin 13B ≤≤. 由正弦定理得4sin sin 4131,3sin sin 3sin 3Ba Ab B B B -⎡⎤===-∈⎢⎥⎣⎦.因此，a b 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦型函数值域的求解，同时也考查了三角形中边长比值取值范围的计算，考查运算求解能力，属于中等题.22．（1）2n a n =；（2）21nn +. 【解析】【分析】(1)直接根据累加法即可求得数列{}n a 的通项公式； (2)利用裂项相加即可得出数列{}n b 的前n 项和。

2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案

2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=．（1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值；（Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=．（1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值．【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知，当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值，此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =．由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8．故选D ．【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-，即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

上海市位育中学2021届高三上学期期中考试数学试卷(2020.11)Word版含答案

位育中学高三期中数学试卷2021.11一. 填空题1. 设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，那么AB = 2. 计算：1lim 31n n n →∞-+=- 3. 复数zi =，i 为虚数单位，那么z = 4. 函数3y x =，那么此函数的反函数是5. x 、y 满足202300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，那么2z y x =-的最大值为6. 行列式129300a b c d =，那么a b c d = 7. 某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本， 6号、32号、45号职工在样本中，那么另一个在样本中的职工编号为8. 数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，假设233a a +=，3432a a +=，那么 9. 在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，那么每个工程都有该校教师参加的概率为〔结果用数值表示〕10. 1F 、2F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60° 的直线与椭圆C 的一个交点为M ，假设1212||||MF MF MF MF +=-，那么椭圆C 的长轴长为11.点M 、N 在以AB 为直径的圆上，假设5AB =，3AM =，2BN =，那么AB MN ⋅=12. 球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =，点D 为 BC的中点，且PD =O 的体积为二. 选择题13. 以下不等式恒成立的是〔〕A.222a b ab +≤B. 222a b ab +≥-C.22a b +≥D. 22a b +≥-14. 假设函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4x π=对称，那么a 的值为〔〕A. 1B. 1-15. 对于函数1(1)()2n f n +-=〔*n ∈N 〕，我们可以发现()f n 有许多性质，如：(2)1f k = 〔*k ∈N 〕等，以下关于()f n 的性质中一定成立的是〔〕A.(1)()1f n f n +-=B. ()()f n k f n +=〔*k ∈N 〕C.()(1)()f n f n f n αα=++〔0α≠〕D. (1)(1)()f n f n ααα+=-+〔0α≠〕16. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，假设函数()()g x f x x m =--有三个零点，那么实数m 的取值范围是〔〕 A.11(,)44- B. (12,21)--C.11(4,4)()44k k k -+∈ZD. (412,421)()k k k +-+-∈Z 三. 解答题17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，22AB AC ==，D 是AB 的中点. 〔1〕假设三棱柱111ABC A B C -的体积为33，求三棱柱111ABC A B C -的高；〔2〕假设12C C =，求二面角111D B C A --的大小.18. 函数4()31x f x a =-+〔a 为实常数〕. 〔1〕讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；〔2〕当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x u f x ≥恒成立，求实数u 的最大值.19. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为503米、圆心为60°的扇形OAB 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M N 、在线段OB 上，另两个顶点P 、Q 分别在弧AB 、线段OA 上.〔1〕假设组成的红旗是长PN 与宽MN 的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；〔2〕求组成的红旗图案的最大面积.20. 抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.〔1〕求抛物线方程；〔2〕证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；〔3〕假设P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.21. 设数列{}n a 的各项都是正数，假设对于任意的正整数m ，存在k ∈*N ，使得m a 、m k a +、 2m k a +成等比数列，那么称数列{}n a 为“k D 型〞数列.〔1〕假设{}n a 是“1D 型〞数列，且11a =，314a =，求12lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+的值；〔2〕假设{}n a 是“2D 型〞数列，且1231a a a ===，88a =，求{}n a 的前n 项和n S ；〔3〕假设{}n a 既是“2D 型〞数列，又是“3D 型〞数列，求证：数列{}n a 是等比数列.参考答案一. 填空题1.{|02}x x ≤≤2.13-3.12i -4.y =5.36. 37. 198. 89. 4910.1212. 27 二. 选择题13. B14. A15. C16. C三. 解答题17.〔1〕6；〔2〕17. 18.〔1〕()f x 是奇函数；〔2〕max 3u =.19.〔12m ；〔2〕2. 20.〔1〕24y x =；〔2〕证明略；〔3〕2()02t d t tt ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩. 21.〔1〕2；〔2〕212222122n n n n n S n n -⎧-+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩为偶数为奇数；〔3〕证明略.。

2020-2021上海位育初级中学高三数学上期中一模试卷带答案

2020-2021上海位育初级中学高三数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸2．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（） A ．1B ．32C ．2D ．33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．4或5 4．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （）A ．18B ．34C ．23 D ．165．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（）A ．-3B ．1C ．-1D ．36．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b cc+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A ．7B ．5C ．5-D ．7-9．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（） A ．2B ．92 C ．143D ．510．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（） A ．9B ．92C ．5D ．5211．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（） A ．32B ．36C ．38D ．4012．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（） A ．95B ．100C ．135D ．80二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知274sincos 222A B C +-=，且5,a b c +==，则ab 为．15．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________．16．设0,0,25x y x y >>+=______.17．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令114(1)n n n n nb a a -+=-，则数列{}n b 的前100的项和为______． 18．已知数列{}n a 满足11a =，111n na a +=-+，*n N ∈，则2019a =__________． 19．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．20．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．三、解答题21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 3a B b A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求A ；（2）若3,,2b ac 成等差数列，ABC ∆的面积为23，求a ． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？24．已知函数()sin 2(0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间；（Ⅱ）ABC ∆中,()()46sin 44f A f B A B ππ-+-=,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．25．已知函数()f x a b =⋅v v ，其中()()2cos 32,cos ,1,a x sin x b x x R ==∈v v．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,7a b c f A a ==2b c =，求ABC ∆的面积．26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=尺。

2023届上海市上海中学高三上学期期中数学试题(解析版)

2023届上海市上海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{||1|3}M x x =-≤，1|33xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N ⋂=（）A ．[2,)-+∞B ．[2,4]-C ．[1,4]-D ．[2,1]--【答案】C【分析】首先解绝对值不等式求出集合M ，再根据指数函数的性质求出集合N ，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：由|1|3x -≤，即313x -≤-≤，解得24x -≤≤，所以{}{}||1|3|24M x x x x =-≤=-≤≤，由133x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即11133x -⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1x ≥-，所以{}11|3|3xN x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩≥-⎭，所以{}|14M N x x =-≤≤；故选：C2．已知实数a 、b ，那么||||||a b a b +=-是0ab <的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】B【分析】等式两边平方即可判断.【详解】因为2222||||||2|2|||0a b a b a ab b a ab b ab ab ab +=-⇔++=-+⇔=-⇔≤，所以||||||a b a b +=-是0ab <的必要不充分条件，故选:B ．3．已知x y 与之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a =+若某同学根据上表中的前两组数据()1,0和()2,2求得的直线方程为,y b x a ''+'=则以下结论正确的是（）A ．,b b a a '>'>B ．,b b a a '>'<C ．,b b a a ''D ．,b b a a '<'<【答案】C【详解】b ′＝2，a ′＝－2，由公式b ＝61621()()()iii i i x x y y x x ==---∑∑求得．b ＝57，a ＝x －b x ＝136－57×72＝－13，∴b <b ′，a >a ′4．对正整数n ，记{1,2,3,,},,n n n n I n P m I k I ⎫==∈∈⎬⎭．若n P 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“破晓集”．那么使n P 能分成两个不相交的破晓集的并集时，n 的最大值是（） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】B【分析】先证当15n ≥时，n P 不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当15n ≥时，n P 可以分成两个不相交的破晓集的并集，设A 和B 为两个不相交的破晓集，推出A 为破晓集相矛盾，再证14P 满足要求，当1k =时，141414,⎫=∈∈⎬⎭P m I k I ，可以分成2个破晓集的并集去证明，当9k =时，去证明，最后它与n P 中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案. 【详解】先证当15n ≥时，n P 不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当15n ≥时，n P 可以分成两个不相交的破晓集的并集，设A 和B 为两个不相交的破晓集，使n n A B P I ⋃=⊇．不妨设1A ∈，则由于2132+=，所以3A ∉，即3B ∈，同理可得，6A ∈，10B ∈．又推出15A ∈，但21154+=，这与A 为破晓集相矛盾，再证14P 满足要求，当1k =时，141414,⎫=∈∈⎬⎭P m I k I ，可以分成2个破晓集的并集，事实上，只要取1{1,2,4,6,9,11,13}A =，1{3,5,7,8,10,12,14}B =，则1A 和1B 都是破晓集，且1114B A P =．当4k=时，集合14m I ⎫∈⎬⎭中，除整数外，剩下的数组成集合13513,,,,2222⎧⎫⋯⎨⎬⎩⎭，可以分为下列2个破晓集的并：22159113713,,,,,,2222222A B ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，当9k =时，集合14m I ⎫∈⎬⎭中，除整数外，剩下的数组成集合12451314,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭，可以分为下列2个破晓集的并：3314510132781114,,,,,,,,,3333333333A B ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，最后，集合1414,,,1,49⎫≠⎬⎭=∈∈C m I k I k 中的数的分母都是无理数，它与n P 中的任何其他数之和都不是整数，因此，令123A A A A C =⋃⋃⋃，123B B B B =⋃⋃，则A 和B 是不相交的破晓集，且14A B P ⋃=．综上，n 的最大值为14. 故选：B ．【点睛】思路点睛：先证当15n ≥时，n P 不能分成两个不相交的破晓集的并集，利用反证法推出A 为破晓集相矛盾，再证14P 满足要求去证明，最后它与n P 中的任何其他数之和都不是整数，本题考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题..二、填空题5．函数()f x =__．【答案】[3,)+∞【分析】根据复合函数定义域，单调性进行求解.【详解】由题知()f x 所以2430x x -+≥，所以1x ≤ 或3x ≥ 因为243y xx =-+在(]1∞-，上单调递减，在[)3+∞，上单调递增，又因为y =在[)0+∞，上单调递增，所以由复合函数单调性可知()f x [)3+∞，. 故答案为：[)3+∞，. 6．若4log 3a =，则22a a -+= ．【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=，∴222a -+=【解析】对数的计算7．设a ，b ∈R ，12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，求42a b -的取值范围是______．【答案】[]5,10【分析】把42a b -用a b -和a b +表示，然后由不等式的性质得出结论．【详解】令()()()()42a b m a b n a b m n a n m b -=-++=++-，则42m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得13n m =⎧⎨=⎩. ∵12a b ≤-≤，24a b ≤+≤， ∴53()()10a b a b ≤-++≤．即54210a b ≤-≤，所以42a b -的取值范围是[]5,10 故答案为：[]5,10.8．设函数f (x )在(0,＋∞)内可导，且f (ex )＝x ＋ex ，则()1f '＝__________．【答案】2【详解】试题分析：令x t e =，()ln (0)f t t t t =+>，所以()ln ,(0)f x x x x =+>，1()1+f x x='，()12f '=，所以答案应填：2．【解析】导数的运算．9．已知实数a 、b 、c 满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则a 的最大值为_______.【详解】试题分析：因为0a b c ++=，所以()c a b =-+，所以222[()]1a b a b ++-+=，所以2222210b ab a ++-=，由()22442210a a ∆=-⨯⨯-≥，解得a故实数a .【解析】一元二次方程的根的判别式，容易题.10．已知函数()|1||3|||f x x x x a =++-+-的图象关于垂直于x 轴的直线对称，则实数a 的值是__．【答案】1或7或5-【分析】利用绝对值不等式以及对称性求解.【详解】考虑每个绝对值的端点，分别为1,3,a -，则这三个端点必关于垂直于x 轴的直线对称，所以132a -+=或123a -+=⨯或32(1)a +=⨯-，所以1a =或7或5-．故答案为：1或7或5-.11．已知实数,,a b m ，集合{}2|[0,)A y y x ax b ==++=+∞，若关于x 的不等式2x ax b c 的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为__．【答案】9【分析】由已知，2()f x x ax b =++的最小值为0，可得到,a b 的关系.由2x ax b c 的解集为(,6)m m +，可得对应一元二次方程的两根之差为6，根据韦达定理可得,,a b c 关系式，两式联立，即可求得c 的值.【详解】因为函数()()2,f x x ax b a b =++∈R 的值域为[0,)+∞，所以222()24a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭的最小值为0，即204a b -+=，则24a b =，不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，即20x ax b c 解集为(,6)m m +，则20x ax b c 的两个根1x 、2x 分别为m 、6m +，所以两根之差为12|||6|6x x m m -+-==，由韦达定理得121ax x a +=-=-，121b c x x b c -==-，因为12||x x -=6==，将24a b =代入得， 6，解得9c =．故答案为：9.12．下列命题中错误的是__．①将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变； ②在一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y （122,,,,n n x x x ≥不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为12-；③在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有99%的可能性患肺病．【答案】①②③【分析】根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对于①，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以①错误；对于②，在散点图中，若所有样本点都在直线112y x =-+上，则这组样本数据的线性相关系数为1-，所以②错误；对于③，由独立性检验得，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，所以③错误．综上，错误的命题序号是①②③．故答案为：①②③.13．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值_________.【答案】20 【分析】设11,2131x y a b ==--，利用,x y 表示12,a b ，利用127a b +=得到(1)(5)12x y --=，再变形得到313(1)(5)802131x y a b +=-+-+--，利用基本不等式求出最小值. 【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++，去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥=--，当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：2014．已知函数()213,11log ,12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()1xg x x =+，若对任意的实数12,x x ，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__．【答案】3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】由已知可得，需满足()()max min f x g x ≤，即需求出()f x 的最大值和()g x 的最小值，得到不等式，即可解出k 的取值范围.【详解】由于对任意的12,R x x ∈，均有()()12f x g x ≤，因此max min ()()f x g x ≤，当0x >时，1()1g x x x=+，而12x x +≥，当且仅当=1x 时，等号成立，因此()()110,0012g x g x x<=≤=+，当0x <时，21()11x g x x x x==++，1120x x x x ⎛⎫+=---≤-< ⎪⎝⎭，当且仅当=1x -时，等号成立，此时，11()12g x x x=≥-+，所以，min 1()2g x =-.对()f x ，由已知，()2f x x x k =-++在1x ≤上最大值为1124f k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；()131log 2f x x =-+在1x >时单调递减，所以有()12f x <-满足.所以要使()()max min f x g x ≤成立，只需满足1142k +≤-所以34k ≤-，则实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．故答案为：3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.15．已知集合[]1,,16A s s t t ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，其中1A ∉且16s t +<，记()11x f x x +=-，且对任意x A ∈，都有()f x A ∈，则s t +的值是___________.【答案】112或32【分析】根据两端区间和1x =的关系分三种情况讨论：1x =在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦左边，在1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦和[],1t t +之间，在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦右边三种情况，根据单调性可得()f x 的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可. 【详解】①当1s >时，区间[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦在1x =的右侧，且()211f x x =+-在区间1,,[,1]6s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，易得()22221,11,15116f x t t s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∈++++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，故此时2121116s ts t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩且21562111t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩，即212156t s t s ⎧≤⎪-⎪⎨+≤⎪-⎪⎩且215621t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，所以212156t s t s ⎧=⎪-⎪⎨+=⎪-⎪⎩，故212516s ts t ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，故252116t t +=+-，即21216t t t +=-，2120t t --=，因为1t >，故4t =，代入可得32s =，此时112s t += ②当116s t +<<，即56s <时，1x =在1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦和[],1t t +之间.因为()11x f x x +=-在区间1,6s s ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为减函数，故当1,6x s s ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，()716,516s s f x s s ⎡⎤+⎢⎥+∈⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，因为111s s +<-，而1t >，故此时7116,,5166s s s s s s ⎡⎤+⎢⎥+⎡⎤⊆+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，即11167656s s s s s s +⎧≤+⎪-⎪⎪⎨+⎪≥⎪-⎪⎩，因为56s <，故22511667566s s s s s s ⎧+≥--⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩即22117066117066s s s s ⎧--≤⎪⎪⎨⎪--≥⎪⎩，故261170s s --=，即()()21370s s +-=，因为56s <，故12s =-.因为此时[,1]t t +在1x =右侧.故当[,1]x t t ∈+时，()21,1t t f x t t ++⎡⎤∈⎢⎥-⎣⎦，因为21t t +>，故[]21,,11t t t t t t ++⎡⎤⊆+⎢⎥-⎣⎦，所以1112t t t t t t+⎧≤+⎪⎪-⎨+⎪≥⎪⎩ ，此时()()2210t t t ≥⎧⎨-+≤⎩，故2t =，满足1t >，此时32s t +=③当11t +<，即0t <时，1x =在[]1,,16s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦右边.此时()211f x x =+-在区间1,,[,1]6s s t t ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上单调递减，易得()22221,11,15116f x t t s s ⎡⎤⎢⎥⎡⎤∈++++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，故此时2121116s ts t ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩且21562111t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪+≤+⎪-⎩，即212156t s t s ⎧≤⎪-⎪⎨+≤⎪-⎪⎩且215621t s t s ⎧+≥⎪-⎪⎨⎪≤⎪-⎩，所以212156t s t s ⎧=⎪-⎪⎨+=⎪-⎪⎩，故212516s ts t ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪-⎩，故252116t t +=+-，即21216t t t +=-，2120t t --=，因为1t <，故3t =-，代入可得13s =，不满足16s t +<.综上所述，有112s t +=或32s t +=故答案为：112或32【点睛】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围.求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解.属于难题.16．已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由ln 10b m --=，则(),P a b 在直线ln 10l x y m +--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则ln 10b m --=，所以点(),P a b 在直线ln 10l x y m +--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，OP=≥=，2e,e m ，设t ⎤=⎦，设()2ln 1t g t t+=，则()()212ln 0t g t t t -⎤'=≤∈⎦，所以()g t 在⎤⎦上单调递减，所以()()min 3e eg t g ==，3e 即2229e a b +≥，所以22a b +的最小值为29e ，故答案为：29e三、解答题17．已知函数f(x)＝3x ＋k·3－x为奇函数．(1)求实数k 的值； (2)若关于x 的不等式f(2291axx--)＋f(213ax --)<0只有一个整数解，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1k =-；（2）[1,2)．【详解】试题分析：（1）根据题意奇函数，从而可知()()0f x f x +-=对任意x R ∈恒成立，从而即可求得k 的值；（2）利用（1）中的结论以及()f x 的单调性，可将不等式等价转化为(2)(21)0ax x --<，再有题意只有一个整数解，即可得到关于a 的不等式，从而求解．试题解析：（1）显然()f x 的定义域为R ，又∵()f x 是奇函数，∴()()()()33331330x x x x x xf x f x k k k ---+-=+⋅++⋅=++=对一切实数x 都成立， ∴1k =-；（2）易得()f x 为R 上的单调递增函数，又由()f x 是奇函数，∴()()22291+130a xxa x f f ----<22222422913133242(2)(21)0ax x ax ax x ax ax x ax ax x ----⇒-<-⇒<⇒-<-⇒--<，当0a ≤时，显然不符合题意，当0a >时，由题意不等式的解只有一个整数，从而可知不等式的解为12(,)2a ，∴该整数解为1，∴21212a a<≤⇒≤<，即实数a 的取值范围是[1,2)．【解析】1．奇函数的性质；2．不等式的性质．【思路点睛】若已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数，常常采用待定系数法：利用()()0f x f x ±-=产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值，此外将函数的单调性、奇偶性、周期性等性质放在几个函数中进行综合考查，是近几年高考中对函数考查的新特点，本题涉及了二次函数、指数函数等．只要能够熟练掌握基本初等函数的性质、图象特征，此类问题就很容易解决．18．已知关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为A ，集合(2,3)B =． (1)若A B ⊆，求实数a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】(1)25a ≥； (2)25a ≤；【分析】(1)(2)由集合的包含关系转化为一元二次方程根的分布问题进行讨论即可. 【详解】（1）由题意得0a >，同时注意B ∅⊆，所以00a A B >⎧⊆⇔⎨∆≤⎩或()()0,020,30123a f f a ⎧⎪>∆>⎪≥≥⎨⎪⎪<<⎩，解得25a ≥；（2）()0B A f x ⊆⇔<在B 上恒成立；同时注意当a<0时，对称轴10a<，所以()020a B A f <⎧⊆⇔⎨≤⎩或()()0,02030a f f ⎧>∆>⎪≤⎨⎪≤⎩或0a =，解得25a ≤． 19．1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式15y at =-（0a >，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式21,45,1 4.t y t t⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．(1)若1a =，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；(2)若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a 的取值范围．【答案】(1)当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为6 (2)504a <≤【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；（2）讨论01t <<和14t ≤≤两种情况，【详解】（1）当1a =时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t 的关系为125,01,410,1 4.t t y y y t t t ⎧-+<<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩ ①当01t <<时，251)66y t =-+=-+<．②当14t ≤≤时，因为44t t+≥（当且仅当2t =时，等号成立），所以max 1046y =-=．故当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为6．（2）由题意得5,01,410,1 4.at t y at t t ⎧-+<<⎪=⎨⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎩①当01t <<时，1541at at a t -+≥⇒≤⇒≤，设u =()22211a u u u ≤+=+-，()1,u ∈+∞，则()()2113,u +-∈+∞，故3a ≤； ②当14t ≤≤时，44410466at at at t t t ⎛⎫-+≥⇒+≤⇒≤- ⎪⎝⎭，由14t ≤≤，得246a t t≤-+，令1v t =，则223946444a v v v ⎛⎫≤-+=--+ ⎪⎝⎭，1,14v ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则239594,4444v ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故54a ≤．综上，504a <≤． 20．如果函数()y f x =的定义域为R ，且存在实常数a ，使得对于定义域内任意x ，都有()()f x a f x +=-成立，则称此函数()f x 具有“性质()P a ”．(1)已知函数()y f x =具有“性质(2)P ”，且当01x <<时，2()f x x x =+，求函数()y f x =在区间(1,2)上的函数解析式；(2)已知函数()y g x =既具有“性质(0)P ”，又具有“性质(2)P ”，且当11x -≤≤时，()||g x x =，若函数()y g x =的图象与直线y px =有2023个公共点，求实数p 的值；(3)已知函数()y h x =具有“性质(2)P ”，当1x >时，4()21h x x x =+--，若2()2()40h x mh x m -+=有8个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)2()56f x x x =-+； (2)12023p =±； (3)9(4,)2【分析】（1）设(1,2)x ∈，则2(0,1)x -+∈，由题意可得()(2)f x f x =-+，代入即可得解；（2）利用数形结合，函数()y g x =的图象与过原点的直线y px =有2023个公共点，结合周期性求解即可；（3）根据分析可得()3h x ≥，令()t h x =，若2()2()40h x mh x m -+=有8个不同的实数解，则2240t mt m -+=，两个大于3的根，利用一元二次方程结合根的判别式即可得解.【详解】（1）因为函数()y f x =具有“(2)P 性质”，所以(2)()f x f x +=-恒成立，所以(2)()f x f x -+=，设(1,2)x ∈，则2(0,1)x -+∈，所以22()(2)(2)256f x f x x x x x =-+=-+-+=-+；（2）()y g x =既具有“性质(0)P ”，即()()g x g x =-，所以函数()y g x =偶函数，又()y g x =既具有“性质(2)P ”，即(2)()()g x g x g x +=-=，所以函数()y g x =是以2为周期的函数．作出函数()y g x =的图象如图所示：由图象得当0p =时，函数()y g x =与直线y px =交于点(2,0)()k k Z ∈，即有无数个交点，不合题意．当0p >时，在区间[0,2022]上，函数()y g x =有1011个周期，要使函数()y g x =的图象与直线y px =有2023个交点，则直线在每个周期内都有2个交点，且第2023个交点恰好为(2023,1)，所以12023p =．同理，当0p <时，12023p =-．综上，12023p =±；（3）当1x >时，44()211311h x x x x x =+-=-+-≥--，当且仅当3x =时取等号，函数()y h x =具有“性质(2)P ，则(2)()h x h x +=-，所以当1x <时，44()(2)2211h x h x x x x x =-+=-++-=---+-，则4()(1)131h x x x =--+-≥-，当且仅当=1x -时取等号，若2()2()40h x mh x m -+=有8个不同的实数解，令()t h x =，则2240t mt m -+=有两个大于3的根，所以2416039640m m m m m ⎧∆=->⎪>⎨⎪-+>⎩，所以942m <<．所以m 的取值范围为9(4,)2. 21．已知实数1a >，函数(),()2log x a f x a g x x ==+．(1)当e a =时，过原点的直线l 与函数()f x 相切，求直线l 的方程；(2)讨论方程()2()f x g x +=的实根的个数；(3)若()2()f x g x +=有两个不等的实根12,x x ，求证：122log e a x x +>．【答案】(1)e y x =；(2)答案见解析；(3)证明见解析【分析】（1）求曲线过某点处的切线方程，设切点，根据导数的几何意义表示出关系即可解出；（2）方程等价于log x a a x =，通过变换构造函数()ln m x x x =，对函数进行分析，转化为分析函数ln ()ln x n x a x=-的零点情况；（3）根据（2）的结果，知1e 1e a <<，设两根为12,x x ，解决指对有关题目时，常借助12xt x =构造函数.【详解】（1）当e a =时，()x f x e =，设切点为(,e )t t ，()e x f x '=，因为切线过原点，所以e e tt t=，得1t =，所以直线l 的方程为e y x =. （2）即讨论log x a a x =的实根的个数，log x a a x =，即ln ln e ln x a x a=，所以ln ln e ln =x a x a x x ，设()ln m x x x =，则()1ln m x x '=+，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1ln 0m x x '=+<；1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()1ln 0m x x '=+>. 所以()m x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意得()ln e ()x a m m x =，即()()xm a m x =，当1a >时，1x a >，当01x <≤时，ln 0x x ≤；当1x >时ln 0x x >，此时()ln ()ln x x x m am x a x a x =⇔=⇔=，设2ln 1ln ()ln ,()x x n x a n x x x -=-'=， ()n x 在(0,e)上单调递增，(e,)+∞上单调递减，max 1()(e)ln en x n a ==-，当1e e a >时，1ln 0e a -<，ln ln x a x =无解，即log x a a x =无解；当1e e a =时，1ln 0e a -<，ln ln x a x=有1解e x =，即x a log =a x 有1解；当1e 1e a <<时，则1(1)ln 0,(e)ln 0eg a g a =-<=->，ln ()ln ln x n x a a x =-，所以210ln n a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由零点存在定理，()n x 有2个零点，即log x a a x =有2个解；综上，当1e e a =时，log x a a x =有1个零点；当1e 1e a <<时，log x a a x =有2个零点；当1e e a >时，log x a a x =有0个零点.（3）由已知可得，log x a a x =有两个不等的实根12,x x ，由（2）得1e 1e a <<，由于x y a =单调递增，所以log x a a x =的两个不等的实根12,x x ，即等价于x a x =的两个不等的实根12,x x ，所以1212,x x a x a x ==，不妨设12x x <，令12(0,1)x t x =∈，则1212x x x a t x -==，所以，1212log a x tx x x t =⎧⎨-=⎩ 所以2log 1a t x t =-，要证122log e a x x +>，即证2(1)2log e a t x +>，即证log (1)2log e 1a a t t t +>-，即证2(1)log log e 1a a t t t -<+，即证2(1)ln 1t t t -<+，01t << 令2(1)()ln 1t t t t ϕ-=-+，则22214(1)()0(1)(1)t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在()0,1单调递增，所以()(1)0t ϕϕ<=，证毕．【点睛】用导数解决复杂的函数零点问题时，常用到同构函数，即将原式等号两端构造为相同的形式，然后进行多次求导简化函数，另外要注意对参数进行分类讨论，从而解决问题.。

2020-2021上海位育初级中学高一数学上期中一模试卷带答案

2020-2021上海位育初级中学高一数学上期中一模试卷带答案一、选择题1．若偶函数()f x 在区间(]1-∞-，上是增函数，则( ) A ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B ．3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D ．3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭2．函数()ln f x x x =的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．3．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．c b a >>4．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( )A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x xx =≥5．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.56．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（） A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-7．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =8．已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33210．已知函数2()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区间是（） A ．(,1]-∞-B ．[1)-+∞，C ．[1,1)-D ．(3,1]--11．定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3xf x =，则()3log 54f =（）A ．32B ．23-C ．23D ．32- 12．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞二、填空题13．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________. 14．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .15．设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.16．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.17．已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 18．若集合(){}22210A x k x kx =+++=有且仅有2个子集，则满足条件的实数k 的最小值是____.19．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________.20．函数()f x =________．三、解答题21．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由．22．已知函数()222,00,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增，求实数a 的取值范围.23．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？24．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由；（3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 25．我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数. （1）求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.26．已知()221g x x ax =-+在区间[]13，上的值域为[]0,4。

上海市五爱高级中学2021届高三上学期期中考试数学试卷2020.11Word版含答案

五爱高中高三期中数学试卷2021.11一. 填空题1. 集合{|10}A x x =-≤，{0,1,2}B =，那么AB = 2. 假设角α的终边经过点(5,12)P -，那么sin()2πα-= 3. 复数z 满足26i z z +=+，那么z =4. 函数3()log (1)f x x =-的反函数为1()f x -，那么1(2)f -=5. 向量(2,1)a =，(,3)b m =，假设向量(2)a b -∥b ，那么实数m =6. 二项式5(2x +，那么展开式中3x 的系数为7. 假设一圆锥的底面半径为3，体积是12π，那么该圆锥的侧面积等于8. 第三届进博会招募志愿者，某校高一年级有3位同学报名，高二年级有6位同学报名，现要从报名的学生中选取5人，要求高一年级和高二年级的同学都有，那么不同的选取方法种数为〔结果用数值表示〕9. 各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =，418a =，那么满足 n S >400n a 时n 的最小值为10. 函数(5)11()1x a x x f x a x -+<⎧=⎨≥⎩〔0a >，1a ≠〕是实数集R 上的增函数，那么实数a 的取值范围为11. 数列{}n a 中，32n n a a a =-〔10a -<<〕，假设数列{}n a 的最大项M 与最小项m 的比值为227a -，那么3521lim()n n a a a a -→∞+++⋅⋅⋅+的值为 12. 1A 、2A 、3A 、4A 、5A 五个点，满足1120n n n n A A A A +++⋅=〔1,2,3n =〕，112||||21n n n n A A A A n +++⋅=+〔1,2,3n =〕，那么15||A A 的最小值为二. 选择题13. 假设矩阵12a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性方程组321x y x y -=⎧⎨-=⎩的系数矩阵，那么〔〕 A.1a =，1b =- B. 1a =，1b = C.1a =-，1b = D. 1a =-，1b =-14. a 、b 为实数，那么a b >是22log log a b >的〔〕A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件15. 双曲线22221x y a b-=〔0a >，0b >〕的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，那么其渐近线方程为〔〕A.20x y ±=B. 20x y ±=C.430x y ±=D. 340x y ±=16. 函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，给出以下三个命题： ① 直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴；② 函数()f x 在区间[9,6]--上为增函数；③ 函数()f x 在区间[9,9]-上有五个零点；其中真命题的个数有〔〕A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题17.如图，几何体EF ABCD -中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形， AB ∥CD ，AD DC ⊥，AD DE ⊥，2AD =，4AB =.〔1〕求三棱锥A BED -的体积；〔2〕求异面直线BE 和DF 所成角的大小.18.函数22()23sin cos sin cos f x x x x x =+-.〔1〕求()f x 的最小正周期和单调递减区间；〔2〕在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假设()2f B =，7b =，且4a c +=，求△ABC 的面积S . 19.函数21()21x x f x -=+. 〔1〕求证：函数()f x 是奇函数；〔2〕假设关于x 的不等式()2f x k k<+在[1,3]x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围. 20. 抛物线2:2C x py =〔0p >〕的焦点为F ，且经过点(2,1)P .〔1〕求抛物线C 的方程，及其准线方程；〔2〕设直线l 过点(0,2)，且与抛物线C 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，假设△OAB 的面积为8，求直线l 的方程；〔3〕过点(2,0)的直线m 与抛物线C 交于不同的两点M 、N ，假设0FM FN ⋅>，求直线m 的斜率的取值范围.21.设各项{}n a 均为正数的数列的前n 项和为n S ，且满足2n S n =〔*n ∈N 〕. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设11n n n n n a a b a a ++=+〔*n ∈N 〕，试求12lim(2)n n b b b n →∞++⋅⋅⋅+-的值；〔3〕是否存在大于2的正整数m 、k ，使得12300m m m m k a a a a ++++++⋅⋅⋅+=？假设存在，求出所有符合条件的m 、k ，假设不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1.{0,1}2.513- 3.2i - 4.10 5.66. 107. 15π 8. 1209. 9 10.[3,5)11. 38-12.5二. 选择题13. A14. B15. C16. B三. 解答题17.〔1〕83；〔2〕arccos 6. 18.〔1〕T π=，5[,]36k k ππππ++，k ∈Z ；〔2. 19.〔1〕证明略；〔2〕31((,)33--+∞. 20.〔1〕24x y =，1y =-；〔2〕2y =+；〔3〕1(,0)(2,)12-+∞. 21.〔1〕21n a n =-，*n ∈N ；〔2〕2；〔3〕存在，23m =，5k =或11m =，9k =.。

上海市位育中学2021届高三第一学期期中考试数学试卷(含简答)

位育中学高三期中数学试卷2020.11一.填空题1.设集合A={x|-1≤x ≤2},B={x|0≤x ≤4},则A ∩B=____.2.计算:1lim 31n n n →∞-+=- ____. 3.已知复数z,i =,i 为虚数单位,则z=____. 4.已知函数3,y x =则此函数的反函数是____.5. 已知x ､y 满足20230,0x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z=y- 2x 的最大值为____.6.已知行列式129300a b c d =,则a b c d＝____. 7.某单位现有职工52人,将所有职工编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号､32号､45号职工在样本中,则另一个在样本中的职工编号为____.8.已知数列{}n a 是无穷等比数列,其前n 项和记为,n S 若233433,,2a a a a +=+=则lim n n S →∞=____. 9.在停课不停学期间,某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动,每位教师任选一项,则每个项目都有该校教师参加的概率为______. (结果用数值表示)10. 已知12F F 、是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左､右焦点,过原点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M,若|212|||MF MF MF MF +=-,则椭圆C 的长轴长为____.11.已知点M ､N 在以AB 为直径的圆上,若AB=5, AM=3, BN=2,则AB MN ⋅=____.12. 已知球O 是三棱锥P- ABC 的外接球,PA= AB= BC=CA=2,PB =点D 为BC 的中点,且PD =则球O 的体积为____.二.选择题13.下列不等式恒成立的是( )22.2A a b ab +≤22.2B a b ab +≥-22.C a b +≥ 22.D a b +≥-14. 若函数f(x)= sinx + acosx 的图像关于直线4x π=对称,则a 的值为()A.1B. -1 .C .D -15.对于函数*1(1)()()2nf n n +-=∈N ,我们可以发现f(n)有许多性质,如: f(2k)= 1(k ∈N *)等,下列关于f(n)的性质中一定成立的是( )A. f(n+1)- f(n)=1B.*()()()f n k f n k +=∈N().(1)()(f n C f n f n ααα=++≠0 ) (1).(1)()(f n D f n αααα+=-+≠0)16. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(x-1)为偶函数,当x ∈[0,1]时,()f x =g(x)= f(x)-x-m 有三个零点,则实数m 的取值范围是( )11.(,)44A - .(11)B11.(4,4)()44C k k k -+∈Z .(4141)()D k k k ++∈Z三.解答题 17. 如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°, AB=2AC=2, D 是AB 的中点.(1)若三棱柱111ABC A B C -的体积为求三棱柱111ABC A B C -的高;(2)若12,C C =求二面角111D B C A --的大小.18. 已知函数4()31x f x a =-+(a 为实常数). (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2) 当f(x)为奇函数时,对任意的x ∈[1,5],不等式,()3xu f x ≥恒成立, 求实数u 的最大值.19.某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年,在一个半径为米､圆心为60°的扇形OAB 草坪上,由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案,已知红旗为矩形,其四个顶点中有两个顶点M ､N 在线段OB 上,另两个顶点P ､Q 分别在弧AB ､线段OA 上.(1)若组成的红旗是长PN 与宽MN 的长度比为3: 2的国旗图案,求此国旗的面积; (2)求组成的红旗图案的最大面积.20.已知抛物线22(0),y px p =>其准线方程为x+1=0,直线l 过点T(t,0)(t>0)且与抛物线交于A ､B 两点, O 为坐标原点.(1)求抛物线方程;(2)证明:OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关;(3)若P 为抛物线上的动点,记|PT|的最小值为函数d(t),求d(t)的解析式.21. 设数列{}n a 的各项都是正数,若对于任意的正整数m,存在*,k ∈N 使得m m k a a +、、2m k a +成等比数列,则称数列{}n a 为“k D 型”数列.(1)若{}n a 是“1D 型”数列,且1311,,4a a ==求12lim()n x a a a →∞+++的值;(2)若{}n a “2D 型”数列,且12381,8,a a a a ====求{}n a 的前n 项和n S ；(3)若{}n a 既是“2D 型”数列,又是“3D 型”数列,求证:数列{}n a 是等比数列.参考答案一.填空题1. {x|0≤x ≤2}12.3- 3.1-2i4.y =5.36.37.198.8 49.910.11.12二.选择题13. B14. A15. C16. C三.解答题17. (1) 6;(2)18. (1) f(x)是奇函数; max (2) 3.u =2219.(1)(2).220.(1)4y x = (2)证明略;022(3)()t d t t t ⎧≥<<⎪=⎨⎪⎩ 21. (1) 2; 221222(2)122n n n n n S n n -⎧-+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩，为偶数，为奇数 (3)证明略.。

2020-2021上海中国中学高三数学上期中试题带答案

2020-2021上海中国中学高三数学上期中试题带答案一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形2．若不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U3．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（） A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．在ABC V 中，4ABC π∠=，AB =3BC =，则sin BAC ∠=（）A．10B．5CD6．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（） A ．10B ．120C ．130D ．1407．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（）. A ．13B ．15C ．19D ．218．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形9．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ) A ．256B ．25C ．253D ．510．若不等式1221m x x≤+-在()0,1x ∈时恒成立，则实数m 的最大值为（） A ．9B ．92C ．5D ．5211．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（） A ．14B ．21C ．28D ．3512．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4二、填空题13．设0,0,25x y x y >>+=，则xy的最小值为______.14．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．15．已知实数,x y 满足102010x y x y x y ++≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为____．16．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____． 17．已知120,0,2a b a b>>+=，2+a b 的最小值为_______________.18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________． 19．不等式211x x --<的解集是． 20．在△ABC 中，2BC =，AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 公比1q >，且2420b b a +=，38b a =.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c ，满足4nn n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <． 22．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知24sin 4sin sin 22A BA B -+=（1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC ∆的面积为6，求边长c 的值.23．已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===．（1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ． 25．如图，Rt ABC V中，,1,2B AB BC π===点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；（2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积， 26．围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：元）．（Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅱ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC Cπππ=-=-=-，那么，2222A B Cπ++=，矛盾，所以222A B C∆是钝角三角形，故选D.2．D解析：D【解析】【分析】要确定不等式组22yx yx yx y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a值进行分类讨论，找出满足条件的实数a的取值范围．【详解】不等式组22yx yx y⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x yx y=⎧⎨+=⎩得22,33A⎛⎫⎪⎝⎭，由22yx y=⎧⎨+=⎩得()10B,．若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．3．B解析：B 【解析】【分析】从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===尺，所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==，所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-，所以1257 2.5a a d =+=尺。

上海市位育高级中学2021-2022学年高三数学文月考试卷含解析

上海市位育高级中学2021-2022学年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 命题“?n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是( )A．?n∈N*，f（n）?N*且f（n）＞n B．?n∈N*，f（n）?N*或f（n）＞nC．?n0∈N*，f（n0）?N*且f（n0）＞n0 D．?n0∈N*，f（n0）?N*或f（n0）＞n0参考答案：D【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：?n0∈N*， f（n0）?N*或f（n0）＞n0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2. 函数和图象是（）．A．B．C．D．参考答案：C3. 已知不重合的直线、和平面,且,给出下列命题:①若∥，则；②若⊥，则;③若，则∥；④若，则.其中正确命题的个数是A．1 B． C． D．参考答案：B4. 已知双曲线的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点，，点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为S1，S2，则（）A. 4B. 8C.D.参考答案：A【分析】根据离心率公式和双曲线方程的a，b，c的关系，可知，根据题意表示出点p和m的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于m的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值，进而问题得解.【详解】由，得，故线段所在直线的方程为，又点在线段上，可设，其中，由于，即，得，所以．由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则．故选A.【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、最值等问题.5. 对于三次函数（），定义：设是函数的导数，若方程有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数的“拐点”．有同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，若函数，则=（）（A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013参考答案：A令，，则g（x）=h（x）+m（x）．则，令，所以h（x）的对称中心为（，1）．设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（，1）的对称点P′（1﹣x0，2﹣y0）也在曲线上，∴h（1﹣x0）=2﹣y0 ，∴h（x0）+h（1﹣x0）=y0+（2﹣y0）=2．∴h（）+h（）+h（）+h（）+…+h（）=[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+[h（）+h（）]+…+[h（）+h（）]=1005×2=2010．由于函数m（x）=的对称中心为（，0），可得m（x0）+m（1﹣x0）=0．∴m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+[m（）+m（）]+…+[m（）+m（）]=1005×0=0．∴g（）+g（）+g（）+g（）+…+g（）=h（）+h（）+h （）+h（）+…+h（）+m（）+m（）+m（）+m（）+…+m（）=2010+0=2010，选A.6. 已知=A． B． C．D．参考答案：D由得，所以所以，选D.7. 某锥体三视图如右，根据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（）A. 3B. 2C. 6D. 8参考答案：C【知识点】由三视图求面积、体积．G2解析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选C．【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．8. （5分）角α的终边经过点P（﹣2sin60°，2cos30°），则sinα的值（）A．B．﹣C．D．参考答案：D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：先利用角α的终边求得tanα的值，进而利用点（﹣2sin60°，2cos30°），判断出α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值．解答：依题意可知tanα==﹣1，∵2cos30°＞0，﹣2sin60°＜0，∴α属于第二象限角，∴sinα==．故选：D．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用．解题的关键是利用α的范围确定sinα的正负．9. 设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则=( )A．3 B．5 C．7 D．21参考答案：A考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的通项公式，将条件进行化简，即可得结论．解答：解：在等差数列中，若S9=3a8，则=3a8．即9a5=3a8，∴a 8=3a 5，∴=3，故选：A ．点评：本题主要考查等差数列通项公式的应用，根据等差数列的性质是解决本题的关键，考查学生的计算能力．10. 已知全集U ＝R,A ＝｛x ｜lgx≤0｝，B ＝｛x ｜x 2≤x ｝，则B∩＝（）A.B. ｛0｝C.（0，1］D.｛0，1｝参考答案： B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小正周期为______________ .参考答案：12. 在△中，已知D 是AB 边上一点，若，，则.参考答案：-13. 已知满足约束条件,则目标函数的最大值是___________参考答案：略14.若则＝参考答案：答案：15. 关于x ，y 的一元二次方程组的系数矩阵．参考答案：【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】直接利用方程组与系数矩阵写出结果即可．【解答】解：关于x ，y 的一元二次方程组的系数矩阵，故答案为：．【点评】本题考查方程组与系数矩阵的关系，是基础题．16. 边长为的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，则这个定值为；推广到空间，棱长为的正四面体内任一点到各面距离之和为___________________. 参考答案：略17. 阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的整数的最大值为．参考答案：5三、解答题：本大题共5小题，共72分。

上海市徐汇区位育中学2021届高三上学期期中数学试题

上海市徐汇区位育中学2021年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}U C M =；则集合M =________．2．已知3sin()25πα-=，则cos()πα-=__________． 3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则210log a =__. 4．求值：4arcsin(cos )7π=__. 5．在等差数列{}n a 中，若346725a a a a +++=，则28a a +=__.6．在在ABC ∆中，3a =，b ，3A π=，则B =__.7．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .8．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．9．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ．10．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 11．设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+，则使得()(21)f x f x ≥-成立的x 的取值范围是__.12．已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x R ∈,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为．13．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于________．14．已知()(2)(3),()22x f x m x m x m g x =-++=-，若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0<g x ；②(,4),()()0x f x g x ∃∈-∞-<.则m 的取值范围是________________.二、单选题15．设S n 是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是 A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列16．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=（） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 17．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3，4]上的减函数”的A ．既不充分也不必要的条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．充要条件18．对于函数()f x ，若存在区间[],A m n =，使得(){}|,y y f x x A A =∈=，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．给出下列4个函数： ①()sin 2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()221f x x =-； ③()12x f x =-； ④()()2log 22f x x =-．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三、解答题19．已知二次函数2()23f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为(1,)n -．（1）解关于x 的不等式：224(1)1x x n m x -+>+-；（2）是否存在实数(0,1)∈a ，使得关于x 的函数()14x x y f aa +=-（[1,2]x ∈）的最小值为-4？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．20．在ABC ∆中，已知5cos 13A =，10tan cot 223B B +=，21C = （1）求cos()A B -的值；（2）求ABC ∆的面积.21．已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2．（ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切整数n 都成立.（1）求12,a a 的值（2）若10a >，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足110lgn na b a =，证明{}n b 是等差数列；（3）当n 为何值时，n T 最大？并求出n T 的最大值.23．已知函数()f x ，如果存在给定的实数对(,)a b ，使得()()f a x f a x b +⋅-=恒成立，则称()f x 为“Γ-函数”．(1) 判断函数12(),()3x f x x f x ==是否是“Γ-函数”； (2) 若3()tan f x x =是一个“Γ-函数”，求出所有满足条件的有序实数对(,)a b ；(3) 若定义域为R 的函数()f x 是“Γ-函数”，且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4)，当x ∈[0,1]时，()f x 的值域为[1,2]，求当x ∈[-2016,2016]时函数()f x 的值域．参考答案1．{}3,5,6【解析】【分析】利用补集的概念进行运算即可【详解】解：因为集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,4}U C M =，{}3,5,6M =，故答案为：{}3,5,6【点睛】本题考查补集的运算，是基础题.2．35【分析】已知等式左边利用诱导公式化简求出cos α的值，原式利用诱导公式化简后把cos α的值代入计算即可求出值．【详解】解：3sin()cos 25παα-==， 3cos()cos 5παα∴-=-=-，故答案为：35．【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式，熟练掌握诱导公式是解决本题的关键，属于基础题． 3．5【分析】由已知条件利用等比数列通项公式和下标性质，求出1116a =，从而得到5102a =，由此利用对数性质能求出结果.【详解】∵公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，∴74a ====，∴6124a ⋅=，解得1641216a ==， ∴99510112216a a q =⋅=⨯=， ∴52102log log 25a ==.故答案为：5.【点睛】本题考查对数的运算，考查了等比数列的下标性质和通项公式的应用，考查了数学运算能力. 4．14π-【分析】利用反三角函数的定义，结合三角函数的诱导公式进行求解即可.【详解】令4arcsin cos7πα⎛⎫= ⎪⎝⎭，则4sin cos sin 714ππα⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴14πα=-，故答案为：14π-.【点睛】本题考查反三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式，考查数学运算能力，属于基础题. 5．252【分析】利用等差数列的下标性质进行求解即可.【详解】解：由等差数列的下标性质可得：374628a a a a a a +=+=+，346725a a a a +++=，则281252522a a +=⨯=. 故答案为：252. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其下标性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 6．4π 【分析】由已知及正弦定理可求sin B ，利用大边对大角可求B 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解.【详解】∵3a =，b =，3A π=，∴sin 2sin 32b A B a ===，∵b a <，可得B 为锐角， ∴4B π=. 故答案为：4π. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.7．21n -【详解】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q ，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---，故答案为21n -. 考点：1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.8．(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.9．1【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x =为偶函数⇒函数()ln(g x x =+为奇函数，(0)ln 01g a a ==⇒=．考点：函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x =为偶函数转化为函数()ln(g x x =为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln 01g a a ==⇒=．10．1n- 【解析】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-= ，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111n n n S =-+--=- ，即1n S n =-. 【点睛】这类型题使用的公式是11{n n n S a S S -=- 12n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.11．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据函数的表达式可知函数()f x 为偶函数，判断函数在x 大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，可得21x x >-，解绝对值不等式即可.【详解】 21()ln(1||)1f x x x =+-+定义域为R ， ∵()()f x f x -=，∴函数()f x 为偶函数，当0x >时，()()21ln 11f x x x =+-+值函数单调递增，根据偶函数性质可知：得()()21f x f x >-成立， ∴21x x >-，∴()2221x x >-，∴x 的范围为1,13⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】考查了偶函数的判断，考查了利用偶函数的性质求解不等式的解集.12．2【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤ ,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 考点:本题主要考查三角函数的性质.13．9【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案．【详解】由题意可得：a+b=p ，ab=q ，∵p＞0，q ＞0，可得a ＞0，b ＞0，又a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故答案为9．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ，b 均为正值，当他们与-2成等差数列时，共有6种可能，当-2为等差中项时，因为，所以不可取，则-2只能作为首项或者末项，这两种数列的公差互为相反数；又a,b 与-2可排序成等比数列，由等比中项公式可知-2必为等比中项，两数列搞清楚以后，便可列方程组求解p ，q ．14．()4,2m ∈-- 【解析】根据()220xg x =-<可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在1x ≥是必须是()0f x <，当m=0时，()0f x =不能做到f(x)在1x ≥时()0f x <，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需1221{31x m x m =<=--<1{24m m <⇒>-，和大前提m<0取交集结果为40m -<<；又由于条件2的限制，可分析得出在(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内g(x)有得正数的可能，即-4应该比12x x 两个根中较小的来的大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为24->-，舍．当(4,1)m ∈--时，24m <-，解得2m <-，综上所述，(4,2)m ∈--．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想． 15．C 【解析】特殊值验证排除．选项C 显然是错的，举出反例：－1，0，1，2，…，满足数列{S n }是递增数列，但是S n >0不恒成立选C. 16． D【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 17．D 【解析】函数在[]0,1上递增,利用偶函数得函数在[]-1,0上递减,利用周期得函数在[]3,4上递减,故充分性成立;函数在[]3,4上递减,利用周期得函数在[]-1,0上递减,利用偶函数得函数在[]0,1上递增,必要性成立,综上,充分性与必要性均成立,故选D. 18．B 【详解】①函数的周期是4,正弦函数的性质我们易得,为函数的一个“可等域区间”,同时当时也是函数的一个“可等域区间”,不满足唯一性. ②当时,,满足条件,且由二次函数的性质可知,满足条件的集合只有一个.③为函数的“可等域区间”,当时,,函数单调递增,,满足条件, ,n取值唯一.故满足条件.④单调递增,且函数的定义域为,若存在“可等域区间”,则满足,即,,n是方程的两个根,设,,当时,,此时函数单调递增,不可能存在两个解,故不存在“可等域区间”.所以B 选项是正确的.19．（1）(,1)(2,)-∞⋃+∞；（2）存在，13a = 【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，结合根与系数的关系，求出m 与n 的值，再求不等式的解集；（2）用换元法，得函数2(42)3y t a t =-+-，求出最小值为−4时的a 的值即可．【详解】解：（1）∵2()23f x mx x =--，且()0f x <的解集为(1,)n -，∴方程2230mx x --=的两个实数根是−1，n ，且0m >，2131n m n m ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，代入224(1)1x x n m x -+>+-得(2)(1)0x x -->，解得解集为(,1)(2,)-∞⋃+∞；（2）设x t a =，且(0,1)∈a ，[1,2]x ∴∈时，2,x a a a ⎡⎤∈⎣⎦，函数()124(42)3xx y f aat a t +=-=-+-，对称轴是21t a a =+>，2min (42)34y a a a ∴=-+-=-，解得13a =或1a =-（舍去）， ∴存在实数13a =．【点睛】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了换元法的应用问题，是中档题． 20．（1）5665（2）126 【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得sin A 、sin B 的值，可得cos B 的值，从而求得()cos cos cos sin sin A B A B A B -=+的值.（2）先求得()sin sin C A B =+的值，再利用正弦定理求得a 的值，从而求得ABC ∆的面积为1sin 2ac B ⋅⋅的值. 【详解】（1）ABC ∆中，∵已知5cos 13A =，∴12sin 13A ==，∴3A π>. ∵22sin cos 21022tan cot 22sin 3sin cos 22B B B B B B B ++===⋅，∴31sin ,522B ⎛=∈ ⎝⎭， ∴,64B ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos 5B ==，∴()5412356cos cos cos sin sin 13513565A B A B A B -=+=⋅+⋅=. （2）∵()6321,sin sin sin cos cos sin 65c C A B A B A B ==+=+=，由正弦定理可得sin sin a cA C=，即2163121365a=，∴20a =，∴ABC ∆的面积为113sin 2021126225ac B ⋅⋅=⋅⋅⋅=.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题.21．（1）2π；（2）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）证明见解析.【详解】（Ⅰ）因为()2cos 10cos 222x x x f x =+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =．（Ⅱ）（Ⅰ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =．所以()10sin 8g x x =-．（Ⅱ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由452<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >．因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >．因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．22．（1）121,2a a ==2）证明见解析（3）当7n =，n T 最大，n T 的最大值为217lg 22-【分析】（1）22n n a a S S =+对一切整数n 都成立.分别取1,2n =，联立解出即可得出. （2）由10a >，取121,2a a =可得(2(3n n a S =++，利用递推关系可得：1n n a -=.利用等比数列的通项公式可得11n n a a -=⨯.代入110lg n na b a =，化简即可证明. （3）1(1)1n b n =--⨯1lg 202-<. 可得780,0b b ><，利用等差数列的求和公式即可得出【详解】（1）22n n a a S S =+对一切整数n 都成立.∴()()2112121212,2a a a a a a a a a a =+++=+，联立解得121,2a a ==或1212a a ==（2）证明：∵10a >，取121,2a a ==∴(2(3n n a S =++2n ≥时，11(2(3n n a S --=++，∴1(2(2n n n a a a --=，∴1n n a -.∴数列{}n a.∴11n n a a -=⨯.∴1110lg11(1)n n na b n a -==+=--⨯， ∴{}n b 是等差数列，首项为1，公差为1lg 22-.（3）∵1(1)1n b n =--⨯1lg 202-<. ∴713lg 21lg80b =-=->，7872lg 21lg 2022b -=-=<.∴当7n =，n T 最大，n T 的最大值为7(11lg8)217lg 222+-=-.【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.23．（1）函数1()f x x =不是“Γ-函数”，函数2()3xf x =是“Γ-函数”；（2）(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ；（3）-20162016[22]，. 【分析】(1) 根据题意,结合()()f a x f a x b +⋅-=,代入12(),()3xf x x f x ==即可检验是否满足条件.(2) 根据定义,代入可得关于tan x 的方程.解方程即可求得满足条件的有序实数对(,)a b . (3) 将所给的数对代入,可得函数的周期.根据归纳推理可得函数的值域. 【详解】(1) 若1()f x x =是“Γ-函数”,则存在常数(,)a b ,使得()()a x a x b +-= 即22x a b =-时,对x ∈R 恒成立．而22x a b =-最多有两个解,矛盾因此1()f x x =不是“Γ-函数”若2()3xf x =是“Γ-函数”,则存在常数,a b 使得2333a x a x a b +-⋅== 即存在常数对2(,3)aa 满足条件．因此2()3x f x =是“Γ-函数”；(2) 3()tan f x x =是一个“Γ-函数”,有序实数对(,)a b 满足tan()tan()a x a x b +⋅-=恒成立, 当,2a k k ππ=+∈Z 时,2tan()tan()cot a x a x x +⋅-=-,不是常数∴,2a k k ππ≠+∈Z当,2x m m ππ≠+∈Z 时,有2222tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan 1tan tan a x a x a xb a x a x a x+--⋅==-⋅+⋅-恒成立即222(tan 1)tan (tan )0b a x a b ⋅-+-=恒成立．则222tan 10tan 1tan 01b a a a b b ⎧⎧⋅-==⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩,41a k k Zb ππ⎧=±⎪∈⎨⎪=⎩, 当,2x m m ππ=+∈Z ,4a k ππ=±时,2tan()tan()cot a x a x x +⋅-=-成立．因此满足3()tan f x x =是一个“Γ-函数”,(,)(,1)()4a b k k ππ=±∈Z ．(3) 函数()f x 是“Γ-函数”,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),于是()()1,(1)(1)4f x f x f x f x ⋅-=+⋅-=,(1)(1)4()(2)4f x f x f x f x +⋅-=⇔⋅-=． x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],f (2-x )∈[1,2],4()[2,4](2)f x f x =∈-,∴x ∈[0,2]时,()[1,4]f x ∈,1()()()1()(2)4()(1)(1)44()(2)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x ⎧-=⎪⋅-=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨+⋅-=⎩⎪-=⎪+⎩, x ∈[2,4]时,f (x )∈[4,16], x ∈[4,6]时,f (x )∈[16,64],以此类推可知：x ∈[2k ,2k +2]时,f (x )∈[22k ,22k +2] x ∈[2014,2016]时,f (x )∈[22014,22016], 因此[0,2016]x ∈时，2016()[1,2]f x ∈ [2016,0]x ∈-时，201620161(),[0,2016],()[1,2]()[2,1]()f x x f x f x f x -=-∈-∈⇒∈- 综上可知当[2016,2016]x ∈-时函数()f x 的值域为-20162016[22]，．【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用,函数最值与值域的求法,计算量较为复杂,属于难题.。

上海市2023-2024学年高三上学期期中考试数学含解析

2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷（答案在最后）考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．3.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===-，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.7.若直线()1y k x =-与曲线e xy =相切，则k 的值为___________.8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a=__________.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.11.已知曲线C：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.12.已知函数ln xf x x （）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38xy==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy =D.x y +>14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x=⋅ D.x y k a =⋅；15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a << D.()()()f c f a f b <<16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a 中，4m a =，32m a +=-，其中m 为给定的正整数，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，1m =，求13a ；（2）若{}n a 为等差数列，是否存在正整数m ，使得130S =？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.18.如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA ＝PB ＝PC ，且M ，N 分别为线段AB ，PC 的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D 且3CD =ABC 面积的最小值.20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin xxx x x >++．2023学年第一学期期中教学评估高三数学试卷考试时间：120分钟试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一．填空题（共54分，1-6题4分，7-12题5分）1.已知集合{}0,1,2,3A =，(){}40B x x x =-<，则A B ⋃=______.【答案】{}04x x ≤<【解析】【分析】对集合(){}40B x x x =-<解一元二次不等式，取并集即可.【详解】∵(){}{}4004B x x x x x =-<=<<，∴{}04A B x x ⋃=≤<.2.若1i 1i ()z -=+，则||z =__________．【答案】1【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算法则化简复数z ，再求出其模.【详解】因为1i 1i ()z -=+，所以()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2z ++++====--+，所以||1z =.故答案为：13.已知平面向量a ，b 的夹角为π4，若1,2a a b =-= ，则b 的值为____________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果.【详解】由2a b -=r r ()2210a b-= ，222π44441cos 104a ab b b b -⋅+=-⨯⨯⋅+= ，(260,0b b b b --=-=，解得b =故答案为：4.若α是第三象限角，且()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，则tan α等于_____.【答案】512【解析】【分析】利用差角的正弦公式将已知条件化简后求出sin α，再利用平方关系求出cos α，进而求出tan α.【详解】 ()()5sin cos sin cos 13αβββαβ+-+=-，∴()5sin sin 13αββα+-==-⎡⎤⎣⎦，α是第三象限角，∴12cos 13α==-，∴sin 5tan cos 12ααα==.故答案为：512.5.已知向量()()()1,0,1,1,1,2a b c ===- ，且c a b λμ=+，则λμ+=__________.【答案】1-【解析】【分析】先求得c a b λμ=+的坐标，再利用向量相等求解.【详解】解：因为()()1,0,1,1a b==，所以()c a b λμλμμ=+=+，，又因为()1,2c =-，所以1,2,λμμ+=-⎧⎨=⎩解得3,1λλμ=-∴+=-．故答案为：1-6.在一条直行道路上的十字路口，每次亮绿灯的时长一般为15s ，那么，每次绿灯亮时，请问:会有_________，________等因素会影响在该段时间内，车辆通过的数量.【答案】①.车长②.车速【解析】【分析】由题意求出一辆车通过该路段所需时间表达式，看表达式主要与哪些量有关即可.【详解】设式子路口的宽度、车长、车速为m,m,m /s d l v ，则若车辆在15s 内能够通过该式子路段，需要满足215d lt v+=≤，因此在该段时间内，车辆通过的数量可能会受到车长、车速等因素的影响.故答案为：车长，车速.7.若直线()1y k x =-与曲线e x y =相切，则k 的值为___________.【答案】2e 【解析】【分析】设切点为()00,x y ，利用导数的几何意义结合条件即得.【详解】设切点为()00,x y ，则00e xy =，()001y k x =-，e x y '= ，0e x k ∴=，()000e e 1x x x ∴=-，所以02x =，2e k =.故答案为：2e .8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34114,14S a a =-=，则5a =__________.【答案】32【解析】【分析】利用等比数列通项公式11n n a a q -=⋅将4114a a -=化简，再利用等比数列前n 项和的性质将3S 化为123a a a ++，两式联立解方程即可.【详解】设该数列的公比为q ，则()()()()23123132411111411114S a a a a q q a a a q a q q q ⎧=++=++=⎪⎨-=-=++-=⎪⎩，解得12,2q a ==，则45132a a q =⋅=.故答案为：32.9.设圆222220x y x y +---=的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B两点，若AB =，则直线l 的方程为___________.【答案】0x =或34120x y +-=【解析】【分析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，求出A ，B两点的坐标，再判断AB =是否成立，当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用弦心距，弦和半径的关系列方程可求出k ，从而可求出直线方程【详解】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0x =，由2202220x x y x y =⎧⎨+---=⎩，得01x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或01x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩，此时AB =.当直线l 的斜率存在时，设直线:3l y kx =+，因为圆222220x y x y +---=的圆心(1,1)C ，半径2r =，所以圆心C 到直线l的距离d ==.因为2222AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以222341k k ++=+，解得34k =-，所以直线l 的方程为334y x =-+，即34120x y +-=.综上，直线l 的方程为0x =或34120x y +-=.故答案为：0x =或34120x y +-=10.已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O的表面上，若12π3AB AC AA BAC ∠====，则球O 的体积为__________.【答案】3【解析】【分析】根据正余弦定理可得ABC 的外接圆半径，然后根据球的性质结合条件可得球的半径，再利用球的体积公式即得.【详解】因为2π3AB AC BAC ∠===，所以2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠133232⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，即3BC =，所以ABC 的外接圆半径为12sin BCr BAC∠=⋅=，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，设球O 的半径为R ，则R ==因此球O 的体积为34205ππ33V R ==．故答案为：205π3.11.已知曲线C ：x =l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为.【答案】[2,3]【解析】【详解】故答案为[2,3].12.已知函数ln xf x x（）=，若关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=，有且仅有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______．【答案】(,1e)-∞-【解析】【分析】首先利用导函数求f x （）的单调性，作出函数的大致图象，将方程解得问题转换成交点问题即可求解出答案．【详解】解：因为()ln x f x x=，则'2ln 1()(ln )x f x x -=，当01x <<或1e x <<时，()0f x '<，当e x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在()0,1和(1,e)上单调递减，在(e,)+∞上单调递增，且当0x →时，()0f x →，(e)e f =，故f x （）的大致图像如图所示：关于x 的方程2[()()10f x af x a ]++-=等价于[()1()1]0f x f x a ][++-=，即()1f x =-或()1f x a =-，由图可得，方程()1f x =-有且仅有一解，则()1f x a =-有两解，所以1e a ->，解得1a e <-，故答案为：(,1e)-∞-二．选择题（共18分，13.14每题4分，15.16题每题5分）13.已知23,38x y ==，则（）A.32x >B.32y <C.3xy = D.x y +>【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数与对数的互化，求出,x y ，再根据指数的运算，结合换底公式与基本不等式逐个选项判断即可.【详解】由题意，23log 3,log 8x y ==.对A ，222233log 32log 33log 9log 822x >⇔>⇔>⇔>，成立，故A 正确；对B ，333333log 82log 83log 64log 2722y <⇔<⇔<⇔<，不成立，故B 错误；对C ，232lg 3lg8lg8log 3log 8log 83lg 2lg 3lg 2xy ⨯=⨯====，成立，故C 正确；对D ，因为3xy =，故x y +≥=，当且仅当x y ==x y ≠，故x y +>，成立，故D 正确；故选：ACD14.某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下：上市时间x 天41036市场价y 元905190根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系（）A.y ax b =+B.2y ax bx c =++C.log b y a x =⋅D.x y k a =⋅；【答案】B 【解析】【分析】由题意观察出y 随x 的变化趋势，对比函数单调性即可得解.【详解】∵随着时间x 的增加，y 的值先减后增，而三个函数中y ax b =+、log b y a x =、x y k a =⋅显然都是单调函数，不满足题意，∴选择2y ax bx c =++．故选：B.15.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间[]12，上是减函数，令12121ln2log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为（）A.()()()f b f c f a <<B.()()()f a f c f b <<C.()()()f c f b f a <<D.()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】【分析】由已知得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，这样得出函数在[1,2]上是减函数，再由奇函数得出在[1,1]-上是增函数，利用奇函数得(0)0f =，从而得出(2)0(0)f ==，确定,,a b c 的值或范围后利用单调性可比较大小．【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数且满足()()2f x f x +=-，(2)()()f x f x f x +=-=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，()f x 在[1,2]上是减函数，则在[0,1]上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在[1,0]-上是增函数，所以()f x 在[1,1]-上是增函数，()f x 在[1,3]上是减函数，结合奇函数得(0)0f =，所以(2)0f =，121(24b -==，12log 21c ==-，ln 2(0,1)a =∈，所以(1)(0)(ln 2)f f f -<<，即()()()f c f b f a <<，故选：C ．16.如图，己知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，4=AD ，90ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB BC ===，下列说法正确的是（）A.PB 与CD 所成的角是30B.平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是63C.PB 与平面PCD 所成的角的正弦值是36D.M 是线段PC 上动点，N 为AD 中点，则点P 到平面BMN 距离最大值为433【答案】C 【解析】【分析】根据题设建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线线角、线面角、面面角以及点到面的距离问题.【详解】 90ABC ∠= ，//AD BC ，∴AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，∴以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(0,0,2)P ，∴(2,0,2)BP =- ，(2,2,0)CD =-，(2,2,2)PC =- ，对于A ， 41cos ,22222BP CD BP CD BP CD ⋅===⨯，且0,180BP CD ≤≤，∴,60BP CD =，∴PB 与CD 所成的角是60 ，故A 错误；对于B ，设平面PCD 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111112220,220,n PC x y z n CD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令11x =，则11y =，12z =，所以1(1,1,2)n = ，显然平面PAB 的法向量为(0,1,0)m =，∴111cos ,6m n m n m n ⋅===，∴平面PCD 与平面PBA 所成的锐二面角余弦值是66，故B 错误.对于C，111sin ,6BP n BP n BP n ⋅==，故C 正确；对于D ， M 是线段PC 上动点，∴设()()2,2,201PM PC λλλλλ==-≤≤，N 为AD 中点，∴()0,2,0N ，()2,2,0BN =-，∴()22,2,22BM BP PM λλλ=+=-+-，当1λ=时，M 位于C 点，此时点P 到平面BMN 距离为2PA =,当1λ≠时，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z =，则()()2222222222220,220,n BM x y z n BN x y λλλ⎧⋅=-+++-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令21x =，则21y =，2121z λλ-=-，所以212(1,1,)1n λλ-=- ，∴点P 到平面BMN距离22BP n d n ⋅==，当143λ=，即34λ=时，2min 1123863λλ⎛⎫⋅-+= ⎪⎝⎭，此时maxd==2>，∴点P到平面BMN，故D错误.故选：C.三．简答题（共78分，14+14+14+18+18）17.在数列{}n a中，4ma=，32ma+=-，其中m为给定的正整数，{}n a的前n项和为n S.（1）若{}n a为等比数列，1m=，求13a；（2）若{}n a为等差数列，是否存在正整数m，使得130S=？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14（2）存在，5m=【解析】【分析】(1)利用等比数列任意两项之间的关系求出公比，结合等比数列的通项公式即可得出结果.(2)利用等差数列任意两项之间的关系求出公差，进而求出首项，结合等差数列的求和公式即可.【小问1详解】由题意，14a=，42a=-，设等比数列的公比为q，则34112aqa==-.故41213111424a a q⎛⎫=⋅=⨯-=⎪⎝⎭.【小问2详解】设等差数列{}n a的公差为d，由题意，323m ma ad+-==-.由()11ma a m d=+-可知122a m=+.由()1311312131321002S a d m⨯=+=⨯-=，解得5m=.存在正整数5m=，使得130S=18.如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．（1）若点K 是线段PM 的中点，求证：直线//NK 平面ABC ；（2）求证：平面P C M ⊥平面ABC ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意利用中位线定理知//NK CM ，利用线面平行的判定定理即可证明//NK 平面ABC ．（2）由PA ，PB ，PC 两两垂直，可证PC ⊥平面PAB ，进而可得PC AB ⊥，再证明AB ⊥平面PCM ,根据面面垂直判定定理即可证明平面PCM ⊥平面ABC ．【小问1详解】因为N 为线段PC 的中点，点K 是线段PM 的中点，所以由中位线定理知//NK CM ，又CM 在平面ABC 内，且NK 在平面ABC 外，因此根据线面平行判定定理得直线//NK 平面ABC ，得证．【小问2详解】因为PA ，PB ，PC 两两垂直，所以PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，,,PA PB P PA PB =⊂ 平面PAB ，所以PC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，所以PC AB ⊥，又PA ＝PB ，且M 为线段AB 的中点，所以PM AB ⊥，结合,,PM PC P PM PC =⊂ 平面PCM ,所以AB ⊥平面PCM ,因为AB ⊂平面ABC ，所以平面PCM ⊥平面ABC ，得证．.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且sin(2)sin sin A B B A +=-.（1）求C 的大小；（2）若CD 平分ACB ∠交AB 于D且CD =ABC 面积的最小值.【答案】（1）π3C =；（2【解析】【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得C .（2）根据已知条件求得a b =或a b ab +=，结合基本不等式求得三角形ABC 面积的最小值.【小问1详解】依题意，sin(2)sin sin A B B A +=-，则()sin()sin sin A B A C A A ++=+-，故()sin(π)sin sin A C C A A +-=+-，则()sin()sin sin C A C A A -=+-，sin cos cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C A A -=+-，2cos sin sin C A A =，由于0,πA C <<，所以sin 0A >，所以1cos 2C =，则C 为锐角，且π3C =.【小问2详解】依题意CD 平分ACB ∠，在三角形ACD 中，由正弦定理得3πsin sin 6AD A =，在三角形BCD中，由正弦定理得πsin sin 6BD B =，所以sin sin AD A BD B ⋅=⋅，由正弦定理得AD bBD a=.在三角形ACD 中，由余弦定理得222π3cos336AD b b b =+-⋅=-+，在三角形BCD 中，由余弦定理得222π3cos336BD a a a =+-⋅=-+，所以2222223333AD b b b BD a a a -+==-+，整理得()()0a b ab a b +--=，所以a b =或a b ab +=.当a b =时，三角形ABC 是等边三角形，CD AB ⊥，1AD BD ==，2AB AC BC ===，所以1π22sin 23ABC S =⨯⨯⨯=当a b ab +=时，2,4ab a b ab =+≥≥，当且仅当2a b ==时等号成立，所以三角形113sin 4222ABC S ab C =≥⨯⨯= .综上所述，三角形ABC20.在平面直角坐标系Oxy 中，动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，记动圆P 的圆心的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）不过圆心2C 且与x 轴垂直的直线交轨迹E 于A ，M 两个不同的点，连接2AC 交轨迹E 于点B （i ）若直线MB 交x 轴于点N ，证明：N 为一个定点；（ii ）若过圆心1C 的直线交轨迹E 于D ，G 两个不同的点，且AB DG ⊥，求四边形ADBG 面积的最小值．【答案】（1）22143x y +=（2）28849【解析】【分析】（1）设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，根据题意列出1271||,||22PC R PC R =-=+，即可得12||||4PC PC +=，结合椭圆定义即可求得答案；（2）（i ）设直线AB 的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，进而利用BM 方程，求出N 点坐标，结合根与系数关系式化简，可得结论；（ii ）求出弦长||AB 和||DG ，结合题意可求出四边形ADBG 面积的表达式，利用基本不等式即可求得其最小值.【小问1详解】设动圆P 的半径为R ，圆心为(,)x y ，22145:204C x y x ++-=即22149:(1)4C x y ++=，2223:204C x y x +-+=，即2221:(1)4C x y -+=，而动圆P 与圆22145:204C x y x ++-=内切，且与圆2223:204C x y x +-+=外切，故1271||,||22PC R PC R =-=+，则1212||||4||2PC PC C C +=>=，故动圆P 的圆心的轨迹是以12,C C 为焦点的椭圆，设其方程为()222210x y a b a b +=>>，则23,,24222,a c a b ∴====，故轨迹E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】（i ）由题意知AB 斜率存在，设其方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()11,M x y -，由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，由于直线AB 过椭圆焦点，则必有0∆>，则221212228412,4343k k x x x x k k -+==++，直线BM 的方程为()211121y y y y x x x x ++=--，令0y =，可得()()()()2211212211112112121222N k x x x x x x x x x x y x x y y k x x x x ---+-=+=+=++-+-22222241282434348243k k k k k k -⨯-++==-+，即N 为一个定点(4,0)；（ii ）()222212112||1|14AB k x x k x x x x =+-=++-()22222222121841214.434343k k k k k k k +⎛⎫-=+-⨯ ⎪+++⎝⎭1,DGAB DG k k ⊥∴=- ，同理可得()22121||34k DG k +=+，AB DG ⊥ ，则()()222212112111||||224334ABDGk k SAB DG k k ++=⨯=⨯++四边形22222222272(1)72(1)2884334(43)(34)49()2k k k k k k ++=≥=+++++，当且仅当224334k k +=+，即1k =±时等号成立，即四边形ADBG 的面积的最小值为28849.21.已知函数()e 1xf x x =-，()()lng x a x x =+．（1）若2a =，证明：()42g x x ≤-；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求正实数a 的值；（3）证明：()2e 2ln 2sin x x x x x >++．【答案】（1）证明详见解析（2）1a =（3）证明详见解析【解析】【分析】（1）将()42g x x ≤-转化为ln 10x x -+≤，然后利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.（2）利用换元法，将不等式()()f x g x ≥恒成立，转化为10t e at --≥恒成立，利用构造函数法，结合导数求得正实数a 的值.（3）结合（1）（2），将所要证明的不等式转化为证明222sin x x x -+>，结合二次函数的性质证得不等式成立.【小问1详解】2a =时，()42ln 10g x x x x ≤-⇔-+≤，设()ln 1t x x x =-+，11()1(0)x t x x x x'-=-=>，所以()t x 在区间()()()'0,1,0,t x t x >递增；在区间()()()'1,,0,t x t x +∞<递减.所以()()10t x t ≤=，即ln 10x x -+≤，所以2a =时，()42g x x ≤-.【小问2详解】依题意，ln e 1(ln )e (ln )10x x x x a x x a x x +-≥+⇔-+-≥，令ln t x x =+，ln y x x =+在()0,∞+上递增，且R t ∈，所以10t e at --≥对任意R t ∈恒成立.设()()()'e 10,e t t h t at a h t a =-->=-，所以函数()h t 在区间()()()',ln ,0,a h t h t -∞<递减；在区间()()()'ln ,,0,a h t h t +∞>递增.所以()()min ln ln 1h t h a a a a ==--，所以ln 10--≥a a a ，111ln 1,ln 1a a a a a+≥≥-，由（1）知ln 10x x -+≤，即ln 1≤-x x ，即11ln1a a≤-，所以11ln 1a a =-，当且仅当11a =，即1a =时成立.【小问3详解】由（2）得，当1a =时，()e (ln )1x f x x x x =-+≥对任意0x >恒成立.所以()0,x ∀∈+∞，e ln 1x x x x ≥++，则()22e ln 0x x x x x x x ≥++>，要证明()()2e 2ln 2sin 0x x x x x x >++>，只需证明2ln (2)ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>，即证22ln 2sin (0)x x x x x +>+>，由（1）知()ln 10x x x ≤->，所以只需证()22(1)2sin 0xx x x x +>-+>，即证()222sin 0x x x x -+>>，①当1x >时，()221222sin x x x x x -+=-+>≥，不等式成立.②当01x <≤时，221772()244x x x -+=-+≥，π72sin 2sin12sin34x ≤<=<，不等式成立.所以()222sin 0x x x x -+>>成立，所以()()2e 2ln 2sin 0xx x x x x >++>成立.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可对不等式进行转化，然后利用构造函数法，结合导数求得所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.。

{高中试卷}上海位育中学高三第一学期期中考试(数学理)[仅供参考]

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：位育中学20XX学年第一学期期中考试高三年级数学试卷(理科)一、填空题(每题4分，共计56分)1、已知集合},3,1{mA=，}4,3{=B，}4,3,2,1{=BA ，则=m__________2、不等式3|2|<-x的解集是__________3、设)(xf为定义在R上的奇函数，当0≥x时，bxxf x++=22)((b为常数)，则)2(-f=__________4、已知+∈Ryx,，且满足143=+yx，则xy的最大值为__________5、对任意不等于1的正数a，函数)3(log)(+=xxfa的反函数的图像都经过点P，则点P 的坐标是__________6、若函数xaxy2cos2sin+=的图像关于直线6π-=x对称，则a=__________7、函数||log)(bxxfa-=(0>a且1≠a)是偶函数，且在),0(+∞上单调递减，则)3(-af与)2(-bf的大小关系是______________8、定义在R上的函数⎪⎩⎪⎨⎧>---≤=),2()1(,23sin)(xxfxfxxxfπ，则)2010(f的值为__________9、某种商品，若定价为p元，则每月可卖出n件，设定价上涨x成(一成即%10)，卖出数量将减少32x成，为了使售货金额有所增加，则x的取值范围是__________10、无论m取何值，函数)43sin(2π+=kxy在区间))(43,32[Rmmm∈++上至少有一个最大值和最小值，则正整数k的最小值为11、若关于x 的方程x x k =++2有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是__________12、设1>a ，若仅有一个常数c 使得对于任意的[]a a x 2,∈，都有[]2,aa y ∈满足方程c y x a a =+log log ，这时，a 的取值的集合为13、若关于x 的两个不等式0)(<x f 和0)(<x g 的解集分别为),(b a 和)1,1(ab ，则称这两个不等式为对偶不等式。

2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.若x，y，z为实数，则下列命题正确的是()A. 若x>y，则1x <1yB. 若x>y，则sinx>sinyC. 若x<y，则x2<y2D. 若x−yz2<0，则x<y 2.在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则a9=()A. 19B. 112C. 9D. 123.已知且，且，那么函数的图象可能是()A. B.C. D.4.命题“存在x∈R，使得x2+2x<1”的否定是()A. 对任意x∈R，都有x2+2x>1B. 对任意x∈R，都有x2+2x≥1C. 存在x∈R，使得x2+2x>1D. 存在x∈R，使得x2+2x≥1二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设集合A={a,2a2}，B={1,a+b}，若A∩B={−1}，则实数b=______．6.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，则g(3)=______．7.已知a=log132，b=(13)12，c=(23)12，则a，b，c大小关系为______．8.已知p：a−4<x<a+4，q：(x−2)(x−3)<0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是_____．9.若动直线与函数与的图像分别交于两点，则的最大值为．10. 某学校有一块面积为的锐角空地，欲修一个面积最大的内接矩形作为小运动场(如图所示)，已知，则小运动场的最大面积为． 11. 设全集U =R ，集合A ={x ｜x 2<1}，B ={x ｜x 2−2x >0)则A ∩(C R B )=________．12. 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ∗.若a 3=16，S 20=20，则S 10的值为．13. 已知集合A ={x|x ≥4或x <−5}，B ={x|a +1≤x ≤a +3,a ∈R}，若B ⊆A ，则a 的取值范围为______．14. 已知函数f(x)={log 2x,0<x <2(23)x +59,x ≥2.若函数g(x)=f(x)−k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．15. 从数列{12n }(n ∈N ∗)中可以找出无限项构成一个新的等比数列{b n }，使得该新数列的各项和为17，则此数列{b n }的通项公式为______．16. 已知函数f(x)=|x 2−1|，g(x)=x 2+ax +2，x ∈R ，若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)+2在(0,2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 设0<x 1<x 2<π2．(Ⅰ)证明：x 1>sinx 1(Ⅱ)x 1sinx 2cosx 1>x 2sinx 1cosx 2．18. 已知函数f(x)=|x −1|−2|x +a|．(Ⅰ)当a =3时，求不等式f(x)>2的解集；(Ⅱ)若f(x)+x +1≤0的解集为A ，且[−2,−1]⊆A ，求a 的取值范围．19. 若为正实数且满足． (1)求的最大值为；(2)求的最大值．20. 已知f 1(x)=|3x −1|，f 2(x)=|a ⋅3x −9|(a >0)，x ∈R ，且f(x)={f 1(x),f 1(x)≤f 2(x)f 2(x),f 1(x)>f 2(x)． (1)当a =1时，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，若方程f(x)−m =0有4个不等的实根，求实数m 的范围；(3)当2≤a <9时，设f(x)=f 2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m,n]的长度定义为n −m)，试求l 的最大值．21. 已知数列g(x)的前n 项和为(t,3)，a 1=12,S n =n 2a n −n(n −1)，n =1，2，…．(Ⅰ)证明：数列{n+1n S n }是等差数列，并求S n ； (Ⅱ)设b n =S n n 3+3n 2，求证：b 1+b 2+⋯+b n <512．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于选项A：x=1，y=0，故1y没意义，故错误．对于选项B：x=2π，y=π2，所以sin2π=0<sinπ2=1，故错误．对于选项C：x=−2，y=−1，则x2>y2，故错误．对于选项D：x−yz2<0，所以x<y，故正确．故选：D．直接利用不等式的性质的应用和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2.答案：D解析：解：根据题意，在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则有(a6)2=a3×a9，变形可得a9=(a6)2a3=363=12；故选：D．根据题意，由等比中项的性质可得(a6)2=a3×a9，变形计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比中项的定义，属于基础题．3.答案：A解析：由得到，函数过点(0,1)且单调递减，故选A．4.答案：B解析：解：命题为特称命题，则命题的否定为对任意x∈R，都有x2+2x≥1，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.答案：0解析：解：∵A∩B={−1}，∴−1∈A，−1∈B，∴{a=−1a+b=−1，解得b=0．故答案为：0．根据A ∩B ={−1}，得到关于a ，b 的方程组，解出即可．本题考查了集合的交集的运算，考查对应思想，是一道基础题．6.答案：2解析：解：∵函数g(x)的图象与函数f(x)=log 2(3x −1)的图象关于直线y =x 对称， ∴对于函数f(x)=log 2(3x −1)，令f(x)=3得：log 2(3x −1)=3，∴3x −1=23=8，∴x =2，∴f(2)=3，即g(3)=2，故答案为：2．利用反函数的定义f(x)=3得x =2，所以f(2)=3，即g(3)=2．本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．7.答案：c >b >a解析：解：∵a =log 132<log 131=0，又∵函数y =x 12在(0,+∞)是增函数，∴(23)12>(13)12>0．所以，c >b >a ．故答案为c >b >a ．由对数式的运算性质得到a <0，由幂函数的单调性得到c >b >0，所以答案可求．本题考查了对数式的运算性质，考查了幂函数的性质，是基础的不等式大小比较问题． 8.答案：[−1,6]解析：解：p ：a −4<x <a +4，q ：(x −2)(x −3)<0⇔2<x <3．又¬p 是¬q 的充分条件，即¬p ⇒¬q ，它的等价命题是q ⇒p ．所以{a −4≤2a +4≥3，解得−1≤a ≤6，故答案为[−1,6]．解出p ，q 所对应的x 的范围，根据包含关系得出结论．若A ={x|x 满足条件p}，B ={x|x 满足条件q}：①A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件；②A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A =B ，则p 是q 的充要条件．。

2023-2024学年上海市位育中学高三上学期期中考试数学试卷含详解

2023学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级数学学科（考试时间：120分钟总分：150分）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知集合{}{}1,2,1,3,5A x x B =≤=-，则A B = __________.2.复数12i3i z -=+的模为__________．3.如果22sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+=⎪⎝⎭________．4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=________5.若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，设()()1F x af x =-，且(1)3F =，则(1)F -的值为____________．6.如图，在三棱柱111A B C ABC-中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______7.设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x -<的解集为__________．8.已知正实数x ，y 满足x y 1+=，则14yx y 1-+的最小值是______9.设P 是曲线323y x x =-++上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是__．10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为2，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为________．11.若函数()f x 的图象上存在不同的两点()()1122,,,M x y N x y，坐标满足关系：1212x x y y +≥，则称函数()f x 与原点关联．给出下列函数：①()2f x x =；②()sin f x x =；③1()(0)f x x x x =+>；④()ln f x x =．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．12.已知函数()ln 1f x b x =+--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑13.已知向量()()1,2,2,4a x b =-= ，则“a 与b 夹角为锐角”是“3x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A.①反映建议（2），③反映建议（1） B.①反映建议（1），③反映建议（2）C.②反映建议（1），④反映建议（2） D.④反映建议（1），②反映建议（2）15.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.62f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ D.362f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭16.已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程22023202320230x S x T -+=有实数解，那么以下2023个方程()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.1009B.1010C.1011D.1012三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()1cos cos 22f x x x x =-,（1）求()f x 的最小正周期;（2）在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()1f A =,2cos c a B =⋅,6b =,求ABC 的面积.18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝22110.8,010301081000,103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）19.在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．20.已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线C 的虚轴长与离心率；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点2F 无论怎么转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标：若不存在，请说明理由.21.若定义域为R 的函数()y f x =满足()y f x '=是R 上的严格增函数，则称()y f x =是一个“T 函数”.（1）分别判断()1e xf x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由：（2）设R a ∈，若函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明：（3）已知函数()y F x =是T 函数，过()00,x y 可以作函数()y F x =的两条切线，证明：()00y F x <.2023学年第一学期位育中学期中考试试卷高三年级数学学科（考试时间：120分钟总分：150分）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.已知集合{}{}1,2,1,3,5A x x B =≤=-，则A B = __________.【答案】{}1【分析】解集合A 中的不等式，得到集合A ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】不等式1x ≤解得11x -≤≤，得{}11A x x =-≤≤，又{}2,1,3,5B =-，则{}1A B ⋂=.故答案为：{}12.复数12i3iz -=+的模为__________．【答案】22【分析】由复数的四则运算以及模长公式计算即可.【详解】()()()()12i 3i 12i 17i 2,3i 3i 3i 102z z ----===∴=++-．故答案为：223.如果22sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】13【分析】由条件22sin 3α=-，α为第三象限角，可求出1cos 3α=-，再由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，从而可得答案.【详解】由22sin 3α=-，α为第三象限角,有1cos 3α==-.由诱导公式可得3sin cos 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭所以31sin 23πα⎛⎫+=⎪⎝⎭故答案为：13【点睛】本题考查同角三角函数的关系和诱导公式，注意角的范围，属于基础题.4.已知幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，则()2f -=________【答案】18-【分析】设幂函数()f x x α=，将1,82⎛⎫⎪⎝⎭代入，求得3α=-，进而可得结果.【详解】设幂函数()f x x α=，因为幂函数()y f x =的图象过点1,82⎛⎫⎪⎝⎭，所以311822α-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得3α=-，所以()()()331,22,8f x x f --=-=-=-故答案为18-.【点睛】本题主要考查幂函数的解析式，属于基础题.5.若定义在R 上的函数()f x 为奇函数，设()()1F x af x =-，且(1)3F =，则(1)F -的值为____________．【答案】5-【分析】根据()f x 为奇函数得到()f x 的对称中心为()0,0，再结合()()1F x af x =-得到()F x 的对称中心为()0,1-，然后利用对称性求()1F -即可.【详解】由()13F =可得0a ≠，因为()f x 为奇函数，所以()f x 的对称中心为()0,0，则()F x 的对称中心为()0,1-，又()13F =，则()15F -=-.故答案为：-5.6.如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______【答案】124【详解】试卷分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4，又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍．即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=13S △ADE•h/S △ABC•H ＝124=1：24考点：棱柱、棱锥、棱台的体积7.设1()lg f x x x =-，则不等式1(1)1f x -<的解集为__________．【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据初等函数的性质，得到函数1()lg f x x x =-为单调递减函数，且(1)1f =，把不等式1(1)1f x-<转化为111x->，即可求解.【详解】由题意，函数1()lg f x x x=-，根据初等函数的性质，可得函数()f x 为单调递减函数，且(1)1f =，则不等式1(1)1f x -<等价于111x ->，即11220x x x--=>，解得102x <<，所以不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.8.已知正实数x ，y 满足x y 1+=，则14y x y 1-+的最小值是______【答案】12【分析】由已知分离14y 14y 44144x y 1x y 1x y 1+--=-=+-+++，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x ，y 满足x y 1+=，则()14y 14y 44141144x y 14x y 1x y 1x y 12x y 1⎛⎫+-⎡⎤-=-=+-=+++- ⎪⎣⎦++++⎝⎭()1y 14x 11545442x y 122⎛⎫+=++-≥+-= ⎪+⎝⎭当且仅当y 14x x y 1+=+且x y 1+=即1y 3=，2x 3=时取得最小值是12故答案为12【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9.设P 是曲线323y x x =-++上任意一点，则曲线在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是__．【答案】ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解．【详解】由已知得2πtan 311tan4y x α'==-+≤=，由π)[0,a ∈得ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．故答案为：ππ0,,π42⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．10.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为332，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a 的最大值为________．【答案】【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a 的最大值．【详解】依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P ，球P 的半径为r ，圆锥的轴截面上球与圆锥母线的切点为Q ，圆锥的轴截面如图：则32OA OB ==，332MO =，所以，223MA MB MO OA ==+=，所以，MAB △为等边三角形，11339332224MAB S MO AB =⋅=⨯⨯=△.由等面积法可得19933224MAB r S r AB =⋅⋅==，解得32r =，即四面体的外接球的半径为32r =．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a 时，截得它的正方体的棱长为22a ，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以262322r a ==，所以2a =a 2．2．【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.11.若函数()f x 的图象上存在不同的两点()()1122,,,M x y N x y ，坐标满足关系：1212x x y y +≥，则称函数()f x 与原点关联．给出下列函数：①()2f x x =；②()sin f x x =；③1()(0)f x x x x=+>；④()ln f x x =．其中与原点关联的所有函数为_____________（填上所有正确答案的序号）．【答案】①②④【分析】由“西数函数与原点关联”的定义可知函数f （x ）在其图象上存在不同的两点()()1122,,,A x y B x y ，使得OA、OB共线，即存在点A 、B 与点O 共线，结合4个函数的图象分别判断即可.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,OA OB x x y y OA B O ⋅=+= ，由题意可知·0OA OB OA OB -≥ ，即·OA OB OA OB ≥，即cos ,OA OB OA OB OA OB ≥ ，所以cos ,1OA OB ≥ ，又cos ,1OA OB ≤，所以cos ,1OA OB = ，即,OA OB 共线，亦即,,A O B 三点共线，也即存在过原点的直线与函数的图象有两个不同的交点，称为西数函数与原点关联.对于①，易知函数2y x =经过原点，且图象关于原点对称，存在点A 、B 与点O 三点共线，故①是与原点关联的函数；对于②，设过原点的直线为y kx =，作出函数sin y x =与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数sin y x =图象在R 上有3个交点，即存在点A 、B 与点O 三点共线，故②是与原点关联的函数；对于③，设过原点的直线为y kx =，作出函数()()10f x x x x=+>与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数()()10f x x x x=+>图象在(0,)+∞上有1个交点，即不存在点A 、B 与点O 三点共线，故③不是与原点关联的函数；对于④，设过原点的直线为y kx =，作出函数ln y x =与y kx =的图象，如图，所以存在实数k 使得直线y kx =与函数ln y x =图象在(0,)+∞上有2个交点，即存在点A 、B 与点O 三点共线，故④是与原点关联的函数；故答案为：①②④.【点睛】关键点睛：本题主要考查函数的性质，理解新定义的本质是求解的关键.12.已知函数()1ln 1f x x b x =-+--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．【答案】29e 【分析】设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则由1ln 10m b m ---=，则(),P a b 在直线:1ln 10l m x y m -+--=上，则22a b +可看作是O 到直线l 的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案【详解】解：设函数()f x 在2e,e ⎡⎤⎣⎦上的零点为m ，则1ln 10m b m -+--=，所以点(),P a b 在直线1ln 10l m x y m -+--=上，设O 为坐标原点，则222||a b OP +=，其最小值就是O 到直线l 的距离的平方，22ln 1ln 1m m a b OP mm++=≥，2e,e m 轾Î犏臌，设e,e t m ⎤=⎦，设()2ln 1t g t t+=，则()()212ln 0e,e tg t t t-⎤'=≤∈⎦，所以()g t 在e,e ⎤⎦上单调递减，所以()()min 3e eg t g ==，3e≥即2229e a b +≥，所以22a b +的最小值为29e ，故答案为：29e 二､选择题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑13.已知向量()()1,2,2,4a x b =-= ，则“a 与b夹角为锐角”是“3x >-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求a与b夹角为锐角时，x 的取值范围，再根据集合的包含关系，判断选项.【详解】当()21240a b x ⋅=-+⨯>，解得：3x >-，且当//a b 时，()4140x --=，解得：2x =，所以“a与b夹角为锐角时，x 的取值范围是3x >-且2x ≠，所以“a 与b夹角为锐角”是“3x >-”的充分不必要条件.故选：A14.某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（）A.①反映建议（2），③反映建议（1） B.①反映建议（1），③反映建议（2）C.②反映建议（1），④反映建议（2） D.④反映建议（1），②反映建议（2）【答案】B【分析】根据收支差额的计算公式可得正确的判断.【详解】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.【点睛】本题考查函数图像在实际问题中的应用，注意根据给出的建议结合题设中的计算公式分析出图象变化的规律，此题为基础题.15.函数()sin2f x x =图象上存在两点(),P s t ，()(),0Q r t t >满足6r s π-=，则下列结论成立的是（）A.162f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.62f s π⎛⎫+= ⎪⎝⎭C.162f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D.62f s π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据(),P s t ,()(),0Q r t t >在()sin2f x x =上,可得出222,r s k k Z ππ+=+∈,再根联立6r s π-=,得到s 的值,根据0t>缩小s 的取值范围,进而代入,66f s fs ππ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求值即可.【详解】解:由题知()sin2f x x =,T π∴=,()(),,,P s t Q r t 均在()sin2f x x =上,sin 2sin 20s r t ∴==>,644Tr s ππ-=<= ,0222Tr s ∴<-<,故有:222,Z r s k k ππ+=+∈,两等式联立有2226r s k r s πππ+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩,解得2,Z 3s k k ππ∴=+∈,sin 20s t => ,1122,Z 3s k k ππ∴=+∈,3sin 2sin 2sin 2663332f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,sin 2sin 2sin 2066333f s s s k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,综上选项B 正确.16.已知等差数列{}n a （公差不为零）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程22023202320230x S x T -+=有实数解，那么以下2023个方程()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.1009B.1010C.1011D.1012【答案】D【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到21012101240a b -≥，要想无实根，要满足240i i a b -<，结合根的判别式与基本不等式得到10∆<和2023Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2022Δ0<至多一个成立，……，1011Δ0<和1013Δ0<至多一个成立，且1012Δ0≥，从而得到结论.【详解】由题意得：220232023420230S T -⨯≥，其中()1202320231012202320232a a S a +==，()1202320231012202320232b b T b +==，代入上式得：21012101240a b -≥，要想()201,2,3,,2023i i x a x b i -+== 方程无实数解，则240i i a b -<，显然第1012个方程有解，设方程2110x a x b -+=与方程2202320230x a x b -+=的判别式分别为1∆和2023Δ，则()()()22221202311202320231202312023ΔΔ444a b a b a a b b +=-+-≥+-+()()()()2212023101221202310121012101224824022a a ab b b a b +≥-+=-=-≥，等号成立的条件是12023a a =.所以10∆<和2023Δ0<至多一个成立，同理可证：20∆<和2022Δ0<至多一个成立，……，1011Δ0<和1013Δ0<至多一个成立，且1012Δ0≥，综上，在所给的2023个方程中，无实数根的方程最多1011个，有实数根的方程至少1012个.故选：D.三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.已知函数()1cos cos 22f x x x x =-,（1）求()f x 的最小正周期;（2）在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()1f A =,2cos c a B =⋅,6b =,求ABC 的面积.【答案】（1）π（2）【分析】(1)运用辅助角公式进行化简为()sin A x ωϕ+的形式,进而求出最小正周期即可;(2)先由()1f A =,求得π3A =,再由2cos c a B =⋅用正弦定理,再将()sin sin C A B =+代入展开化简即可得π3A B C ===,故ABC 为等边三角形,再由6b =,即可求面积.【小问1详解】解:由题知()1cos cos 22f x x x x=-1sin 2cos 222x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()f x \的最小正周期2ππ2T ==;【小问2详解】由于在ABC 中,三个角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,()1f A =,()πsin 216f A A ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭,0πA << ,ππ11π2666A ∴-<-<ππ262A ∴-=,π3A ∴=,2cos c ac B = ,在ABC 中由正弦定理得,sin 2sin cos C A B =,又有()sin sin πC A B =-+⎡⎤⎣⎦()sin A B =+sin cos cos sin A B A B =+2sin cos A B =,sin cos cos sin 0A B A B ∴-=,()sin 0A B ∴-=,πA B k ∴-=,Z k ∈,,A B 中ABC 的内角,且π3A =,π3A B C ∴===,6a b c ∴===,ABC ∴的面积136622ABC S =⨯⨯⨯= .18.已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x 千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f （x ）万元，且f （x ）＝22110.8,010301081000,103x x x xx ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩（1）写出年利润W （万元）关于年产品x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入－年总成本）【答案】（1）W ＝318.110,010******** 2.7,103x x x x x x ⎧--<≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）9千件.【分析】（1）根据题意，结合已知条件，即可容易求得结果；（2）由（1）中所求函数解析式，分段考虑函数最值，注意利用导数即可.【详解】（1）由题意得W ＝22110.8 2.710,010********* 2.710,103x x x x x x x x x ⎧⎛⎫-⨯--<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯--> ⎪⎪⎝⎭⎩即W ＝318.110,010******** 2.7,103x x x x x x ⎧--<≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）①当0＜x ≤10时，W ＝8.1x －130x 3－10，则W ′＝8.1－110x 2＝28110x -＝(9)(9)10x x +-，因为0＜x ≤10，所以当0＜x ＜9时，W ′＞0，则W 递增；所以当x ＝9时，W 取最大值1935＝38.6万元.②当x ＞10时，W ＝98－1000 2.73x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤98－38.当且仅当10003x ＝2.7x ，即x ＝1009时等号成立.综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大.【点睛】本题考查函数模型的应用，涉及利用导数求利润的最大值，属基础题.19.在四棱锥P ABCD -中，PD⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．（1）证明：BD PA ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2.【分析】（1）作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，利用勾股定理证明AD BD ⊥，根据线面垂直的性质可得PD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以12AE BF ==，故2DE =，BD ==所以222AD BD AB +=，因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，又=PD AD D ⋂，所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥；【小问2详解】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，BD =，则()()(1,0,0,,0,0,A B P ，则(((,0,,0,0,AP BP DP =-==，设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则有0{0n AP x n BP ⋅=-+=⋅==，可取)n = ，则5cos ,5n DP n DP n DP⋅==，所以PD 与平面PAB20.已知双曲线22:13y C x -=，直线l 交双曲线于A ，B 两点.（1）求双曲线C 的虚轴长与离心率；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率PA k ，PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点2F ，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得直线l 绕点2F 无论怎么转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标：若不存在，请说明理由.【答案】（1）虚轴长2e =（2）证明见解析（3）1m =-【分析】（1）根据双曲线方程直接得虚轴长与离心率；（2）设点()00,A x y ，()00,B x y --，(),P m n ，分别表示PA k ，PB k ，再根据点P 在双曲线上，可得证；（3）当直线斜率存在时，设直线方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线，结合韦达定理，可将0MA MB ⋅= 恒成立转化为()222243530m m k m k ---+=恒成立，所以224533m m m ⎧-=⎨-=-⎩，解得1m =-，当直线斜率不存在时，直线方程为2x =，此时()2,3A ，()2,3B -，由0MA MB ⋅=可解得1m =-.【小问1详解】由双曲线方程为22:13y C x -=，可知1a =，b =，2c ==，所以虚轴长为2b =，离心率2ce a==；【小问2详解】则00PA n y k m x -=-，0PB n y k m x +=+，则220220PA PBn y k k m x -⋅=-，又点()00,A x y 与点(),P m n 均在双曲线上，则220033=-y x ，2233n m =-，所以()22220022220033333PA PBm x n y k k m x m x ----⋅===--，所以PA PB k k ⋅为定值3；【小问3详解】假设存在点(),0M m ，使0MA MB ⋅= 恒成立，由已知得()22,0F 当直线l 斜率存在时，设直线方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线()22132y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()222234430k x k x k --++=，()()()222224434336360k k k k D =---+=+>，且k ≠，212243k x x k +=-，2122433k x x k +=-，()11,MA x m y =-，()22,MB x m y =-，()()()()222212121212121224MA MB x m x m y y x x m x x m k x x k x x k ×=--+=-+++-++()2222243533m m k m k k ---+=-，若0MA MB ⋅= 恒成立，则()222243530m m k m k ---+=恒成立，即224533m m m ⎧-=⎨-=-⎩，解得1m =-，当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时()2,3A ，()2,3B -，()2,3MA m =-，()2,3MB m =--()2290MA MB m ⋅=--= ，解得1m =-或5m =，综上所述，1m =-，所以存在点()1,0M -，使0MA MB ⋅= 恒成立.【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21.若定义域为R 的函数()y f x =满足()y f x '=是R 上的严格增函数，则称()y f x =是一个“T 函数”.（1）分别判断()1e x f x =，()32f x x =是否为T 函数，并说明理由：（2）设R a ∈，若函数()y g x =是T 函数，判断()()12g a g a +++和()()3g a g a ++的大小关系，并证明：（3）已知函数()y F x =是T 函数，过()00,x y 可以作函数()y F x =的两条切线，证明：()00y F x <.【答案】21.()1e x f x =是“T 函数”；()32f x x =不是“T 函数”，理由见解析22.()()()()312g a g a g a g a ++>+++，理由见解析23.证明见解析【分析】（1）利用定义直接判断各函数；（2）构造函数()()()1G x g x g x =+-，可证()G x 在R 上单调递增，即可得证；（3）设切点()11,A x y ，不妨设10x x >，由“T 函数”可知，()01,m x x ∃∈，使()()()1010f x f x F m x x -'=-，又()()()10110F x y F x F m x x -''=>-，化简即可得证.【小问1详解】()1e x f x =，得()1e x f x '=，是R 上的严格增函数，所以()1e xf x =是“T 函数”；()32f x x =，得()223f x x '=，不是R 上的严格增函数，所以()32f x x =不是“T 函数”；【小问2详解】由函数()y g x =是T 函数，可知()g x '是R 上的严格增函数，设()()()1G x g x g x =+-，则()()()10G x g x g x '''=+->，所以()G x 在R 上单调递增，所以()()2G a G a +>，即()()()()321g a g a g a g a +-+>+-，即()()()()312g a g a g a g a ++>+++；【小问3详解】过()00,P x y 作函数()y F x =的切线，设切点为()11,A x y ，不妨设10x x >则()()10110AP f x y F x k x x -'==-，由函数()y F x =是“T 函数”，所以()F x '是R 上的严格增函数，所以()()01F x F x ''<，则()01,m x x ∃∈，使()()()1010F x F x F m x x -'=-，所以()()1F m F x ''<，即()()()10101010F x F x F x y x x x x --<--，化简可得()00y F x <.。

上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．2B ．1169C ．16．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，()h x 依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记{}()max (),(),()K x f x g x h x =．则对于下列命题：①若()K x 是严格增函数，则()()K x f x =；三、解答题17．已知:31x m a <-或x m >-，:2x b <或4x ³．(1)若a 是b 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若a 是b 的必要条件，求实数m 的取值范围．18．已知0a >，关于x 的不等式223ax bx c £++£．分以下两种情形来讨论：情形一：当21x y xy +=->时，有()()113x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是4，所以集合A 中除1以外的最小元素为6，但是336A +=Î，3327A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾.情形二：当2x y xy +¹-时，则1x y xy +=-或(),2x y xy m m +=->，（因为若m 为负整数，则()()110x y m --->，即此时1x y xy m +¹-+），若11x y xy +=->，有()()112x y --=，注意到,*x y ÎN ，所以,x y 中有一个是2，有一个是3，所以集合A 中除1以外的最小元素为5，但是235A +=Î，2324A ´-=Ï，而这与集合A 是“减2集”矛盾；若(),2x y xy m m +=->，有()()111x y m --=+，不妨设(),2,2x a y b a b ==>>，()()111a b m --=+，且此时集合A 中除1以外的最小元素为x y a b A +=+Î，但是122xy a b a b <-=+-<+，所以2xy A -Ï,而这与集合A 是“减2集”矛盾.综上所述：不存在集合A 是“减2集”.（3）假设存在A 是“减1集”，{}1A ¹.假设1A Î，则A 中除了元素1以外，必然还含有其他元素.假设2A Î，则11A +Î，但111A ´-Ï，因此2A Ï，假设3A Î，则12A +Î，且121A ´-Î，因此3A Î，因此可以有{}1,3A =,假设4A Î，则13A +Î，但131A ´-Ï，因此4A Ï，假设5A Î，则23A +Î，且321A ´-Î，因此5A Î，可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集，又当7A Î时，34A +Î，但3412´=，所以A 中元素应该小于7，因此减1集可以有{}{}131,3,5,,.【点睛】关键点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况21x y xy +=->和2x y xy +¹-证出矛盾，第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解.答案第171页，共22页。

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位育中学高三期中数学试卷
2020.11
一. 填空题
1. 设集合{|12}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤≤，则A
B = 2. 计算：1lim 31
n n n →∞-+=- 3. 已知复数z
i =，i 为虚数单位，则z = 4. 已知函数3y x =，则此函数的反函数是
5. 已知x 、y 满足202300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最大值为
6. 已知行列式129300
a b c d =，则a b c d = 7. 某单位现有职工52人，将所有职工编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则另一个在样本中的职工编号为
8. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，若233a a +=，3432a a +=，则 lim n n S →∞
= 9. 在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，则每个项目都有该校教师参加的概率为（结果用数值表示）
10. 已知1F 、2F
是椭圆22
2:1(3
x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60° 的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为
11. 已知点M 、N 在以AB 为直径的圆上，若5AB =，3AM =，2BN =，则AB MN ⋅=
12. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====
，PB =点D 为 BC
的中点，且PD =O 的体积为
二. 选择题
13. 下列不等式恒成立的是（）
A. 222a b ab +≤
B. 222a b ab +≥-
C. 22a b +≥
D. 22a b +≥-
14. 若函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线4x π=对称，则a 的值为（） A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-
15. 对于函数1(1)()2
n
f n +-=（*n ∈N ），我们可以发现()f n 有许多性质，如：(2)1f k = （*k ∈N ）等，下列关于()f n 的性质中一定成立的是（）
A. (1)()1f n f n +-=
B. ()()f n k f n +=（*k ∈N ）
C. ()(1)()f n f n f n αα=++（0α≠）
D. (1)(1)()f n f n ααα+=-+（0α≠）
16. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，
若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（） A. 11
(,)44
- B. (12,21)--
C. 11(4,4)()44k k k -+∈Z
D. (412,421)()k k k +-+-∈Z
三. 解答题
17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，22AB AC ==，D 是AB 的中点.
（1）若三棱柱111ABC A B C -的体积为33，求三棱柱111ABC A B C -的高；
（2）若12C C =，求二面角111D B C A --的大小.
18. 已知函数4()31
x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x u f x ≥
恒成立，求实数u 的最大值.
19. 某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为503米、圆心为60°的扇形OAB 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶点中有两个顶点M N 、在线段OB 上，另两个顶点P 、Q 分别在弧AB 、线段OA 上.
（1）若组成的红旗是长PN 与宽MN 的长度比为3：2的国旗图案，求此国旗的面积；
（2）求组成的红旗图案的最大面积.
20. 已知抛物线22(0)y px p =>，其准线方程为10x +=，直线l 过点(,0)(0)T t t >且与抛物线交于A 、B 两点，O 为坐标原点.
（1）求抛物线方程；
（2）证明：OA OB ⋅的值与直线l 倾斜角的大小无关；
（3）若P 为抛物线上的动点，记||PT 的最小值为函数()d t ，求()d t 的解析式.
21. 设数列{}n a 的各项都是正数，若对于任意的正整数m ，存在k ∈*N ，使得m a 、m k a +、 2m k a +成等比数列，则称数列{}n a 为“k D 型”数列.
（1）若{}n a 是“1D 型”数列，且11a =，314
a =，求12lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+的值；（2）若{}n a 是“2D 型”数列，且1231a a a ===，88a =，求{}n a 的前n 项和n S ；
（3）若{}n a 既是“2D 型”数列，又是“3D 型”数列，求证：数列{}n a 是等比数列.
参考答案
一. 填空题
1. {|02}x x ≤≤
2. 13-
3. 12i -
4. y =
5. 3
6. 3
7. 19
8. 8
9.
49
10. 11. 12
12.
二. 选择题
13. B 14. A 15. C 16. C
三. 解答题
17.（1）6；（2
）. 18.（1）()f x 是奇函数；（2）max 3u =.
19.（1
2m ；（2
）2. 20.（1）24y x =；（2）证明略；（3
）2()02t d t t t ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩
. 21.（1）2；（2）212222122n n n n n S n n -⎧-+⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩
为偶数为奇数；（3）证明略.。